Über modale aussagenlogiken und ihren zusammenhang mit strukturen. II

MATHEMATICAL LOGIC

UBER MODALE AUSSAGENLOGIKEN UND IHREN ZUSAMMENHANG MIT STRUKTUREN. II VON

J. RIDDER (Communicated by Prof. L. E. J. BROUWER at the meeting of September 27, 1952)

Dieser zweite Teil enthalt Losungen des Entscheidungsproblems fiir die Systeme Klul = K*lul und S4 _Kim)= K*lml = S4*. Die Behandlung von Matrices ist etwas ausfiihrlicher als fiir diese Losungen unbedingt notwendig. Die negierenden Systeme Arlul,

A~lul,

M*lul, J*lul, K*lul;

Arlb), ... , J*lb), K*lm).

Die (in den Par. 8-12 eingefiihrten) Kalkule Arlul bis K* 101 konnen ebenfalls definiert werden bzw. als Kalkule At, ... ,I*,K*, welche die ,topologischen" Axiome rc, nc, yc und das ,topologische" Schema nrc erfullen: § 15.

rc.

XC MX; nc. MAC A; nrc.

M:~!m:;

vc. M(X + Y) C [MX +MY]

und (MX + MY) C M(X + Y). ·26) Beweis. Es wird geniigen den Beweis fiir Ai 1ul zu liefern. Nehmen wir erstens in Ai die Axiome a 2 , fJi und das Schema L1* als erfiillt an (siehe § 8). a2 liefert sofort rc. Ax. 1a, Regel E* (F.B. I, § 2): A C A; Soh. L1*: MAC A, d.i. nc. >S C ~!; Satz 23 (F.B. I, § 2), Soh. L1 *: M(>S C ~) C A; Ax. fJi, Satz 23: [(M>S C M~) C M(>S C ~)] C A; Satz 22 (F.B. I, § 2): (M>S C M~) C A; Satz 23: M>S C M~. D.i. Schema nrc. yc ist eine Zusammenfassung der in AiluJ ableitbaren Satze C und D. 27 ) Seien, umgekehrt, in I 0 , nc, nrc und yc erfiillt. rc liefert a 2• Ax. P, Soh. Et (F.B. I, § 2): Y C [X+ (Y C X)]; nrc: MY C M[X + + (Y C X)]; vc, Sch. 1P: MY C [MX + M(Y C X)]; Sch. Et: (MY C C MX) C M(Y C X), d.i. Ax. fJi. ~ C A; IIF: M~ C MA; nc: MAC A; Sch. 1P: M~ CA. D.i. Schema L1*.

Ar

26 ) M ubernimmt hier die Rolle der abgeschlossenen Hillle (closure) in der Topologie. Der zweite Teil von vc ist schon in ableitbar mit Schema IIIc. 27 ) Siehe Teil I dieser Arbeit, § 8. Bei der Ableitung werden f3i, Lf* benutzt; dagegen nicht a 2 • 30 Series A

Ar

460

§ 15bis. Die Aussagenkalhale Ai, ... , J*, und K* gehen aus den korrespondierenden Systemen Ai, ... , 1*, und K* (siehe F .B. I, §§ 2, 4; II,§§ 10, ll, 12) hervor 28 ) durch Hinzufiigung der (hier folgenden) Axiome a2, {Ji, y 2 und des SOO.eJ)las ..1*. Axiom a 2• . X C MX; Axiom fJi. (MYCMX)CM(YCX); Axiom y 2 • M(MX) C MX; $Ci. S c h ema LJ"* • M$Ci.

· Da Axiom y 2 iibereinstimmt mit Axiom : IV0 •

M(MX)

c MX,

folgt aus den Eigenschaften des Par. 15 unmittelbar: Die Kalkule Ai, ... , 1*, K* k6nnen auch definiert werden bzw. ala Kalkule Ai, ... , 1*, K*, welche die ,topologischen" Axiome I 0 , II0 , IV0 , yc und das ,topologische" Schema III0 erfullen. § 16. Def'initionen. Eine Klasse von Elementen x, y, ... liefert eine l::i-Struktur, falls sie ein Nullelement n und eine echte ausgezeichnete Teilklasse L entha.It, urtd die zugehorigen binaren Operationen + und C folgende Axiome erfiillen :. a 1• (x C x) E L; b1 • aus (x C y) E L und (y C z) E L folgt (x C z) E L; c1 . [xC(x+y)]EL und [yC(x+y)]EL; d1 . aus (xCz)EL und (y C z) E L folgt [(x + y) C z] E L; e1 • (n C x) E L; / 1 • aus [x C (y + z}] E L folgt [(x C y} C z] E L, und umge~ehrt; g1 • aus (x C y) E L, (y C x} E L und x EL folgt y EL. Eine 1:: -Struktur ist eine .E:i -Struktur, in welcher iiberdies fiir die hinzukommende binare Operation · die heiden folgenden Axioine erfiillt sind: h1 • [(x·y)Cx)] EL und [(x·y) C y)] EL; i 1 . aus (z C x) E Lund (z C y) E L folgt [z C (x·y)] E L. Eine 1::-Struktur ist eine 1::-Struktur, in welcher fiir die hinzukommende Operation ' und ein hinzukommendes Einheitselement e folgende Axiome erfiillt sind : j 1. [x' C (e C x)] E L; kl" [(e C x) C x'] E L. Eine .J:t-Struktur ist eine 1:: -Struktur, in welcher erfiillt ist das Axiom: ~· (x C e) E L. Eine .J:t-Struktur ist eine .J:t -Struktur, in welcher erfiillt ist das Axiom: m 1• [(x·x') C n] E L.

Definitionen. Eine (topologische) .J:{0 k-Struktur (i= 1, ... ,5; k = 1, 2) ist eine J:{-Struktur, in der es eine unitare Operation C gibt, welche fiir k = 1 die topologischen Axiome 1°, 2°, 3°, 5°, fiir k = 2 au.Berdem das topologische Axiom 4° erfiillt: § 17.

28 )

Vergl. die Andeutungen in F.B. VII, §59, daneben VI, § 47.

46I

Axiom Axiom Axiom Axiom Axiom

(x C Cx) eL; (CnCn)EL; aus (x C y) E L folgt ,(Cx C Cy) E L; [C(Cx) C Cx] E L;

Ic.

2c. 3c. 4c. 5c.

[C(x+y)C(Cx+Cy}]EL und [(Cx+Cy)CC(x+y)]EL.

§ IS. Definition. In einer ..r;-Struktur (j =I, ... , 5) sei x < y eine andere Schreibweise von (x C y) E L. Definition. In jeder ..r;-Struktur (j = I, ... , 5) sei x = y eine andere Schreibweise von: x < y und y < x. 29) Eine .Ei -Struktur hat so mit folgende Eigenschaften der partiellen Ordnung: X< x; bl. aus X< y und y < z folgt X< z; ~. X< (x + y) und y < (x + y); d 1• aus X< Z und y < Z folgt (x + y) < z; 1 . fiir jedes Element x ist n < x; h. aus x < (y + z) folgt (x C y) < z, und umgekehrt; g1• aus x = y und x E L folgt y E L. Bemerkung. x = x; aus x = y folgt y = x; aus x = y, y = z folgt x = z; aus x = y, u = v folgt (x + u) = (y + v) und (x C u) = (y C v). Eine ..r;-Struktur geniigt daneben: h1 . (x·y) < x und (x·y) < y; ~1 . aus z < x und z < y folgt z < (x·y); eine ..r:-Struktur auBerdem: }1 . x' < < (e C x); k1 . (eCx) < x'; eine .Et-Struktur dabei: ~. fiir jedes Element x ist x < e 29 bis); eine ..r; -Struktur dabei: 1 • (x · x') < n. Bemerkung. Aus x = y, u = v folgt (x·u) = (y·v) (in einer ..r;Struktur); aus x = y folgt x' = y' (in einer ..r:-Struktur). In den .Ej0 k-Strukturen (j = I, ... , 5) hat man dane ben fiir k = I die topologischen Eigenschaften: I 0. x < Cx; 2°. Cn < n; 3°. a us x < y folgt Cx < Cy; 5c. C(x + y) < (Cx + Cy) und (Cx + Cy) < C(x + y), fiir k = 2 auBerdem: 4°. C(Cx) < Cx. Bemerkung. Aus x = y ·folgt Cx = Cy (in jeder .EjC1-Struktur). Schon in einer ..r;-Struktur gilt [(x + y)·z] = [(x·z) + (y·z)] und [(x·y) + z] = [(x + z)·(y + z)]; 30 ) die .Ej-Strukturen mit j > 2 sind

al.

e

m

29 ) Beispiel eim;r 1:;-struktur: Elemente 1, 2, 3, 4, mit: Nullelement 4, Einheitselement l, ausgezeichnete Klasse L {3, 4}, Operationen:

q

p.q

p

I

r~! I

~-

1

2

3

4

1 2 3 4

2 2 4 4

3 4 3 4

4 4 4 4

p

+q

l

2

3

4

p

p'

pCq

1

2

3

4

1 2 3 4

l

1 2 1 2

1 3 3

1 2 3 4

l

1 1

2 3 4

4 3 2 1

1 2 3 4

4 4 4 4

3 4 3 4

2 2 4 4

1 2 3 4

l

Hier ist 3 = 4 und 1 = 2; das Zeichen = ist somit kein Identitats-, nur Gleichheitszeichen. 2obis) Die -Strukturen fallen, bei Auszerachtlassung von Axiom 1, zusammen mit den BROUWERSchen Algebren im Sinne von McKINSEY a. TARSKI, On closed elements in closure algebras, Ann. of math. 47, 122-162 (1946), insbes. S. 124 (Definitionen 1.1, 1.2; Theorem 1.3).

1::

30 )

Man benutze f1 • Vergl. F.B.I., § 3 (Satz 25 u. Satz 26).

g

462 distributiv. In einer L't-Struktur gilt (x + x') = e; 31 ) daneben in einer L't-Struktur (x·x') = n. Eine L't-Struktur ist somit eine BooLEsche Algebra.

§ 19. Die L'j-Strukturen und die L'jck_Strukturen (§§ I6 u. I7) konnen nun auch charakterisiert werden als Klassen mit einer echten ausgezeichneten Teilklasse L, Z1t welchen es die in § I8 angegebenen ,zugehorigen" speziellen Elemente, ·Relationen und Operationen gibt, und die. dabei die dort angegebenen ,zugehorigen" Eigenschaften aus den Gruppen 1 - ~' fc - 5° haben. Aus (x C y) = n folgt in jeder Struktur (definiert wie eben angegeben) (x C y) E L, und umgekehrt. Beweisen wir die kursiv gedruckte Behauptung fiir die L'i'-Struktur. 8:1. X< x, also (x c x) E L. D.i. a]. (x C y) E L, (y C z) E L liefern x < y, y < z, also nach b1 x < z, oder (x C z) E L. D.i. b1 . c1. X < (x + y), y < (x + y). Also [x c (x + y)] E L, [y c (x + y)] E L. D.i. c1 • ~1 wie b1 . e1 • n < x. Also (n C x) E L. D.i. e1 • x < (y + x) und [x C (y + z)] E L folgen auseinander, ebenso wie (x C y) < z und [(x C y) C z] E L. Damit folgt / 1 aus 71 . Aus (x C y) E L, (y C x) E L folgt x < y, y < x, dadurch mit x E L, wegen "iv auch y E L. D.i. g1.

a

§ I9bis. Eigenschaft. In jeder L'j-Struktur (j =I, ... , 5) gilt: I. aus (x C n) E L (oder x < n) folgt x = n und (x C n) = n; 2. immer ist x= (xCn) 32 ) ; 3. n EL; 4. aus y EL und (xCy) EL folgt x E L; 5. aus x E L, y E L folgt (x + y) E L. · Beweis. Aus X< n folgt mit n
a

av

31 )

Man benutze / 1 , k 1 und l 1 • Vergl. F.B.II, §§ 7 u. 11.

32 )

Aus 2. und g1 folgt, dasz x

E

L liefert (x C n) e L, und umgekehrt.

463

Beweis. l1 : (x C e) E L; Nr. 4: x E L falls eEL; L ware keine echte Teilklasse. Also non eEL. Eigenschaft. In den .EJ0 k-Strukturen (j = 1, ... , 5; k = 1, 2) gilt: 7. Cn E L; 8. aus Cx E L folgt x E L. Beweis. 2° : (Cn C n) E L; Nrn. 3, 4: Cn E L. D.i. 7. 1° : (x C Cx) E L; somit folgt aus Cx E L, mit 4., x E L. D.i. 8. Bemerkung. Aus den Nummern 4. und 5. dieses Par. folgt, daB in jeder .EJ- oder .E1°k-Struktur (j = 1, ... , 5; k = 1, 2) aus x EL, y willkiirlich in der Struktur folgt (x·y) E L, und daB x E L, y E L liefert (x + y) E L. Die ausgezeichnete Klasse L ist ein multiplikatives Ideal der Struktur. § 20. Definitionen. Eine mit einem Kalkul Ar [Ai(u) bzw. Atb)] korrespondierende Matrix ist eine Klasse von Elementen, welche eine echte ausgezeichnete Teilklasse L und ein Nullelement n enthalt, wahrend es mit den Verkniipfungen C, + [C, +, M] von Ai [von Ai(u) bzw. Ai(b)] korrespondierende Operationen C, + [C, +, C] gibt, welche bei Anwendung auf Elemente der Klasse wieder zu Elementen der Klasse fiihren. Eine derartige Matrix genugt einer Formel 'll C 1.5 von Ai [von Ai(o) bzw. von Ai(b)], falls bei jeder Bewertung der in 'll und 1.5 vorkommenden elementaren Kalkiilformeln mittels Elemente der Matrix und ev. die Bewertung n von )., unter Anwendung der mit den Verkniipfungen in 'll C 1.5 korrespondierenden Operationen der Matrix, ein Element der Klasse L erhalten wird. In analoger Weise definiert man mit den Kalkulen Ai', A~(u), A~(b), M*, ... ,I*, ... , K*, K*(o), K*(m) korrespondierende Matrices; mit einem ev. auftretenden v im Kalkiil soH ein sodann in der Matrix auftretendes Einheitselement e korrespondieren; mit ev. auftretenden Verkniipfungen · , ' im Kalkiil sollen Operationen · , ' fiir die Matrix korrespondieren. Es wird auch deutlich sein wann eine Matrix einer .Formel 'll C 1.5 des zugehorigen Kalkiils genugt; mit einem ev. auftretenden v korrespondiere das Element e der Matrix als Wert. Definitionen. Eine Ai- [Ai(g)_ bzw. Ai(b)_] Matrix ist eine mit dem Kalkiil Ai [mit Ai(u) bzw. Ai(b)] korrespondierende Matrix, welche allen Satzen 'll C 1.5 von Ai [von Ai(ol bzw. Ai(b)] geniigt. In analoger Weise definiert man Ai'-, Ai(u)_, Ai'(b)_, M*-, ... , 1*-, ... , J*(b)_' K*-, K*(u)_ und K*(m)_Matrices. Definitionen. Eine mit Ai [mit Ai(u) oder Ai(b)] korrespondierende Matrix heiBt normal, wenn sie die Regeln bv dv fv g1 von§ 16 [die Regeln bv d1 , fv g1 von § 16 und 3° von § 17] erfiillt. Eine mit Ai oder M* oder I* oder K* [mit Ai((r) oder Ai(b) oder M*(u) ... oder K*(g) oder K*(m)] korrespondierende Matrix heiBt normal, wenn sie daneben Regel i 1 von § 16 erfiillt. Eigenschaft. Genugt eine m~t einem Kalkul korrespondierende normale Matrix den Axiomen dieses Kalkuls, so genugt sie auch allen Siitzen des Kalkuls, und ist somit Kalkul-Matrix.

464

Eigenschaft. Die normalen Ai~, A~-, M*-, 1*- und K*-Matrices fallen bzw. mit den l:i-, ... , 1::-Strukturen zusammen; die normalen A~(ol_, ... , K*(ol_Matrices fallen bzw. mit den .1:;' 01 -, ••• , .I:t01 -Strukturen zusammen; die normalen A~(bl_, ... , J*(bl_, K*(ml_Matrices fallen bzw. mit den .1::'02 -, ••• , .I:t02 -Strukturen zusammen. § 21. Definition. Eine charakteristische A~-Matrix ist eine mit dem Kalkiil Ai korrespondierende Matrix, welche allen und nur allen Formeln 21: C ~von Ai geniigt, welche Satze von A~ sind. In analoger Weise definiert man die charakteristischen A~(ol_, A~(bl_, A~-, A~(ol-,A;(bl_, M*-, ... , 1*-, ... , J*(bl_, K*-, K*(ol_ und K*(ml_Matrice8. Eigenschaft. Zu jedem der Kalkule A~,A~(ol,A~(bl, ... ,K*,K*(ol und K*(ml gibt es eine korrespondierende normale charakteristische Matrix. (Nach § 20 sind derartige Matrices bzw . .I:i-, .1::' 01 -, .J:i'C2-, ... , .1::-, .J:tC1 -, oder .J:t02 -Strukturen.) Beweis. Das hier anzuwendende Verfahren riihrt von LINDENBAUM her. 33 ) Wir wollen den Beweis fiir den Kalkiil A~(bl fiihren. Die Matrix soU alle Kalkiilformeln von At(bl, unter Ersetzung von M durch C, von .?. durch n, enthalten, wahrend die ausgezeichnete Klasse L der Matrix die Klasse aller Formeln 21: von A~(bl sei, fiir die 21: C A ein Theorem von A~(b) darstellt, wieder mit Ersetzung von M durch C, von A durch n in 21:. Die Relationszeichen C, +, M sind bzw. in die Operationszeichen C, +, C der Matrix iibergegangen, A in das Nullelement n, jedes Zeichen fiir eine elementare Kalkiilformel in sich selbst. Es ist sofort klar, daB diese Matrix A~(bl_charakteristisch ist. Auch sieht man leicht, daB sie den Regeln bl> dl> f1 , 3° von§§ 16 und 17 geniigt. Regel g1 von § 16 laBt sich wie folgt verifizieren. Aus (21: C ~) E L, (~ C 21:) E Lund 21: E L folgt, daB im Kalkiil A~(bl beweisbar sind (~ C 21:) C.?., und 21: C.?.. Daraus folgt, mit F.B. I, § 2 (Satz 22), das Theorem ~ C A in A~(b), somit ~ E L. Die Matrix ist normal. § 22. Eigenschaft. Zu einer .I:t0 i-Struktur T 5 (j = 1 oder 2) mogen die Elemente a,_, a 2 , ••• , a,k gehoren. Dann gibt es eine kleinste BooLEsche Teilalgebra U 5 von T 5 , welche n und die a 1 enthiilt (l = 1, ... , k) und mit einem Element auch alle Elemente von T 5 , die in T 5 gleich 34 ) diesem Element sind, und daneben eine .I:t0 i-Struktur ug (j = 1 bzw. 2), welche hOchstens 22k Elemente enthalt, und als BooLEsche Algebra betrachtet ein homomorphes Bild von U5 ist (mit den a,_, ... , ak mogen dabei in ug bzw. b~> b2 , ••• , bk korrespondieren ; die Operationen und Relationen seien durch EJ, [], 0, 1£1, @), [], R angedeutet); au[Jerdem sind folgende Bedingungen erfullt: 1° fur p E U5, Cp E u5 und Cp = einem mittels der Operationen +, . ' in u5 aus den a,_, ... , a,k hervorgehenden Element, homomorphes Bild von p ist in ug @j pG einem in gleicher eise mittels der korrespondierenden Opera-

w

88) 34 )

p

Siebe J. C. C. McKINSEY, Journ. symb. logic 6, 122 (1941). Siebe die Definition von Gleichheit ( =) in § 18.

I

465

EJ, []

tionen G, a us den korrespondierenden bv ... , bk hervorgehenden Element; 2° fur p E us und das homomorphe Bild E ug folgt aus p E Lr. auch p E Lg, und umgekehrt (hierbei deuten L 5 und Lg die ausgezeichneten Teilklassen von T 5 bzw. Ug an). Beweis. Die Existenz der BooLEschen Teilalgebra Us ist sofort klar; es gibt hochstens 22k paarweise nicht gleiche Elemente in U 5 • Us (mit

p

den Operationen und Relationen +, ·, ', C, <, = wie in Ts) wird zu einer L't01-Struktur N durch Einfiihrung einer abgeschlossenen Hillle eN und der ausgezeichneten K.lasse. Das Element x E Us heiBe vom Element y E Us uberdeckt, falls x < y und eyE Us as); jedes Element x E Us wird vom Einheitselement e von Ts iiberdeckt; denn x < e und ee < e (§ 16, Axiom~), e < ee (§ 17, Axiom 1°), also e = ee, ee E Us. Ist {31_, x2, ••• , xm} eine groBtmogliche Gruppe von Elementen von Us (oder N), welche x iiberdecken und paarweise nicht gleich sind, so definieren wir eNx durch das Produkt ex1 ••• exm; 36 ) also ist immer eNx EN. Fiir jedes x EN gilt (in Ts) ex< eNx. Denn wird x iiberdeckt durch die paarweise nicht gleichen Elemente x1, ••• , Xm von N, so ist eNx definiert durch Cx1 ••. Cxm, wahrend a us x < x1 , . . . , x < Xm folgt Cx < (C31_ ... Cxm)• Aus x EN, Cx EN folgt sogar, daB CNx und Cx gleich sind. Denn in diesem Fall gehort x unter den Elementen (x1) von N, welche x iiberdecken, wodurch CNx < Cx. Die echte ausgezeichnete Klasse L 6• N von N soll a us den zu Ls gehorigen Elementen von N bestehen; sie enthalt e nicht (§ 19bis). Zu zeigen ist, daB N eine L'Z01-Struktur ist. Sie ist schon eine BooLEsche Algebra, und geniigt somit ~ - /1 und h1 - ~ (§ 18). Auch die ,closure"-Eigenschaften sind erfiillt. 1°, 2° und 3° folgen Ieicht (j ~ 1 oder 2). Fiir x EN, x iiberdeckt durch eine groBtmogliche Zahl von paarweise nicht gleichen Elementen x1 , ••• , xm von N, wird CNx definiert durch das Produkt Cx1 • Cx2 ••• Cxm; eNx wird somit, fiir j = 2, iiberdeckt durch jedes ex,; wird es durch ein y iiberdeckt, so ist auch x < y und Cy E N; y ist somit gleich einem x,; daraus folgt, daB eN (eNx) und CNx durch dasselbe Produkt definiert werden. Das liefert 4°, falls j = 2. Aus x EN, iiberdeckt durch moglichst viele paarweise nicht gleiche xl, ... 'xm; yEN, iiberdeckt durch moglichst viele paarweise nicht gleiche y1 , •.. , y 1, folgt x + y iiberdeckt durch jede Summe X;,+ Y;, (it= 1, ... , m; j 2 = 1, ... , l); denn e (x;, + y1,) = = (Cx;, + ey;,) EN. Wird X+ y iiberdeckt durch moglichst viele paarweise nicht gleiche zt, ... , zP, so ist x < z,, y < z, und Czi EN; zu jedem z, gibt es ein Paar (x1,, y 1,) mit zi = x 1, = Y;,· Das liefert eNx + CNy = = {Cx1· Cx2 ... exm} + {Cy1· Cy2 ... Cy1} = {Cx1 + Cy1}· {C31_ + Cy 2} ... . ~ . {Cx1 + Cy1} • {ex2+ Cy1} ... {Cxm + Cy1} = C (x1 + '!II} ..• C (xm + y 1) = = (N (X + y); SOmit 5° (j = 1 oder 2). Vergleiche McKINSEY, loc. cit. 33), S. 124 u. 118. In U 5 gleiche Elemente y, sind in T 5 gleich, wodurch in T 5 auch Cy und Cy gleich sind (wegen Axiom 3°). CNx ist somit definiert ,bis auf Gleichheit". 85 ) 36 )

y

466 x < y hat fiir Elemente x, yEN sowohl die Bedeutung (x C y) E L 5 wie (x C y) E L 5• N· Dadurch folgt schlieBlich leicht die Giiltigkeit von ih (§ 18) fiir N, Die in der Eigenschaft genannte Struktur ug geht nun aus N in bekannter Weise durch Abstraktion hervor. Jede Klasse von gleichen Elementen von N wird als Element von ug gedeutet. Es seien z.B. ,a= {x.}, fJ = {y"} zwei derartige Klassen. Dann definieren wir a G {3, a[] {3, aE!, a III {3,@] a als die Klassen von gleichen Elementen von N, welche bzw. x, + y", x,y", x;, x, C y", CNx, enthalten. 37 ) Die ausgezeichnete Teilklasse Lg von ug enthalte die und nur die Elemente a= {x.} von U~, fiir die jedes x, E L 5.N; die Bedeutung der Relationen a EJ {3, a E1 fJ in ug ist hiernach klar. ug erfiillt die in der Eigenschaft geforderten Bedingungen. 38 )

§ 23. Definition. Teilformel einer Kalkiilformel m: in K*'u> oder K*(m> ist jede Formel von K*'u> bzw. K*(m>, welche bei der Herstellung von m: auftritt. So hat die Formel (A· B') C CD die Teilformeln A, B, D, B', .(A·B'), CD und (A·B')CCD. Eigenschaft. Ist m: eine Kalkulformel von K*'u> [von K*'m>], welche k von). verschiedene Teilformeln enthalt (ev. auch). selbst), so ist m: C). dann und nur dann Theorem von K*'u> [von K*'m>], falls jede normale K*'u>_ Matrix [jede normale K*'m>-Matrix] mit nicht mehr als 2 2k+ 2 Elementen, deren ausgezeichnete Klasse nur ein einzelnes Element enthalt, 38 ) m: C ). genugt. Beweis. Ist m: C). nicht Theorem von K*'u> [von K*'m>], so geniigt die nach § 21 existierende, normale charakteristische K*(u>-Matrix [K*'m>_ Matrix] T 5 m: C). nicht; di~se Matrix ist, nach § 20, eine £; 01 -Struktur

feine £;02-Struktur]. Die in m: auftretenden, von). verschiedenen elementaren Kalkiilformeln seien Av ... , A,. Bei Ersetzung von Av ... , A, durch geschickt gewahlte Elemente von T 5 , bzw. av ... , a, (ein ev. auf:tretendes v soll durch e ersetzt werden), und von ). durch n, geht m: C). in ein Element von T 5 iiber, das nicht zu der ausgezeichneten Klase L 5 von T 5 gehort. Sind (f,+I, ... , (fk+ 1 die von den A 1 , ••• , A, und). verschiedenen Teilformeln von m: C)., wobei (fk+ 1 I;llit m: C). zusammenfallen soll, so deuten wir die durch die Ersetzungen a us - [K*'m>_] Matrix ug mit hochstens 22k+ 2 Elementen, zu welcher Elemente b0 , bv ... , bk+ 1 37 ) Die Unzweideutigkeit dieser Klassen geht aus den Bemerkungen in § 18 hervor. 38 ) Aus der Konstruktion von mit der ausgezeichneten Kla.Sse geht hervor: 1o zwei gleiche Elemente von sind auch identisch gleich, 2° zur Klasse L~ gehoren nur Elemente, welche identisch gleich dem Nullelemente von sind (siehe § 19bis).

ug, ug

Lg, ug

467

gehoren, 39 ) die folgende Bedingungen erfiillen: a. aus a1 E L 5 (j = 0, ... . . . , k + 1) folgt b1 E Lg (Lg ausgezeichnete Teilklasse von Ug), und umge-

btJ b

kehrt; {3. a us a;, = a1, folgt G 1,, und umgekehrt; y. a us a 1, + a1, = a1, oder a h. . a,.= a,. oder (a. C a,.)= a,.1s folgt b.1t L..:...1 '+'b.12 r:"lb. 12 1s 'It 1s l=.J 1a bzw. b1, [J b1, G b1, bzw. (b1, [9 b1,) G b1,, und umgekehrt; 1:5. a us Ca1 = a 1 folgt [2J b1 R b1 • 38) Ersetzen wir nun die elementaren Kalkiilformeln A 1 , . . . , A, in 21: CA. bzw. durch bv ... , b., A. durch das Nullelement von ug. Dann folgt aus {3, y und 1:5, daB dabei die Teilformeln
§ 24. Die Betrachtungen der Par. 15-23 fiihren durch duale Umsetzung zu Er, J:fk-Strukturen (j = 1, ... , 5; k = 1, 2), zu Matrices fiir die obengenannten affirmativen logischen Kalkiile und zu einem Ent'scheidungsverfahren fiir die Kalkiile Kig) und Kim), welches, wegen Kiul - K*ig) und Kim) K*iml, auch Entscheidungsverfahren fiir K*iu> und K*im> ist. b0 wird das Nullelement von ug sein. Nicht nur ist entscheidbar ob m: C A Theorem, sondern auch ob m: C )8 Satz ist; denn letzte Frage laszt sich zuriickfiihren auf die ob (m: C )8) C A ein Theorem ist. 41 ) Die Zahl 2 2k+Z in der Eigenschaft dieses Par. laszt sich verringern zu 2 2k+l. 39 )

40)