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Über Modale Aussagenlogiken und Ihren Zusammenhang Mit Strukturen. V
MATHEMATICAL LOGIC
UBER MODALE AUSSAGENLOGIKEN UND IHREN ZUSAMMENHANG MIT STRUKTUREN. V VON
J. RIDDER (Communicated by Prof. L. E. J.
BROUWER
at the meeting of November 28, 1953)
In diesem Teil folgen Entscheidungsverfahren fiir die Aussagenkalkiile
A;, M*, I*, A;, Ai, M•, M•, I•, I•, undA2, M, I, A~u>, ... , J, I.
§ 55. Die (verneinende) Aussagenlogik Ai wurde definiert in Formal. Betrachtungen iiber intuitionistische und verwandte logische Systeme I, § 4 (Proceedings 53 (1950) oder Indag. math. 12 (1950)). Neben einer Einsetzungsregel E* enthalt das Axiomensystem von A;' nachfolgende Axiome und SchluBschemata.
Axiom 1". und (X· Y)
X eX; SchluBschema 1P.
e Y;
SchluBschema 2P.
me~ ~e~
me~
~cm~c~
~ C (m. ~)
. . ; Axwm 2". (X· Y)eX
. ; Axwm 4". X
e (X+ Y)
me~ ~e~
und Ye(X+Y); SchluBschema 4fl. (m+~)C~; Ersetzungsschema E~.
[~e~]C m H· Axiom 5°. A eX.
' In Teil II, §§ 16, 18, 19 der vorliegenden Arbeit (Proceedings 55 (1952) oder Indag. math. 14 (1952)) findet man Definitionen der L~-Strukturen. Eigenschaft. Zu einer L;-StrukturT2 mogendieElementeav a2 , ••• , ak gehOren (jedes ak :;i=n). Dann gibt es eine kleinste Teilstruktur U2 , welche alle in der Definition von Teil II, § 19 angegebenen Axiome und Regeln einer L;-Struktur mit Ausnahme von fv g1 erfiillt, n und die a 1 enthiilt (l= 1, ... , k) und mit einem Element auch alle Elemente von T 2 , die in T 2 gleich diesem Element sind, und daneben eine L;-Struktur ug, welche weniger als 22k Elemente enthiilt, und ein in bezug auf Addition und M ultiplikation homomorphes Bild von U2 ist (mit den n, av ... , ak mogen dabei in u; bzw. ii, b1 , b2 , ••• , bk korrespondieren ; die Operationen und Relationen in u; seien durch E8 , r:l , ~ , @ , 1=1 angedeutet) ; au(Jerdem sind folgende Bedingungen erfullt: 1° korrespondieren mit X E U2, y E u2 bzw. X E u;, 'fj E u;, und ist (x e y) E U2 , SO korrespondiert X e y mit (x ~ fj) E U;; 2° fur p E u2 und das. homomorphe Bild p E u; folgt aus p E L2 auch p E L;, und umgekehrt (hierbei deuten L2und Lg die ausgezeichneten Teilklassen von T 2 bzw. u; an). Beweis. Die Existenz der kleinsten Teilstruktur U2 ist sofort klar; es gibt weniger als 2 2k paarweise nicht gleiche Elemente in U2 ; die Elemente ~C(~+mJ
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von U2 , welche nicht = n sind, sind = einer Summe von Produkten von Elementen a;; U 2 (mit den Operationen und Relationen +, ·, <, = wie in T 2 ) geniigt den Axiomen und Schemata a1 his i 1 von Teil II, § 18, mit Ausnahme von fv g1 • . In U 2 fiihren wir eine Operation ca ein; zu jedem Paar x, y von Elementen in u2 giht es immer ein Element z von u2 mit X<(y+z); nun sei X ca y definiert als das Produkt einer Hochstzahl paarweise verschiedener Elemente Z; E u2 mit x< (y+z;); X cay ist festgelegt his auf ,Gleichheit". Aus dieser Definition und II, § 18, / 1 folgt, daB aus (x C y) E U2 folgt (xCy)=(xCay); denn x<(y+z;) in U 2 liefert (xCy)
zi
={
=
={
§ 56. Definition. Teilformel einer Kalkiilformel 51( in einem Aussagenkalkiil ist jede Formel des Kalkiils, welche hei der Herstellung von 51( auftritt. Eigenschaft. 1st 51( eine Kalk1llformel von Ai, welche k von A verschiedene Teilformeln enthiilt (ev. auch A selbst), so ist 51( C A dann und nur dann Theorem von Ai, falls jede normale Ai-Matrix (siehe die Definition in II, § 20) mit weniger als 227c+ 1 Elementen, deren ausgezeichnete Klasse nur ein einzelnes Element enthiilt, 51( C A gen1lgt. Beweis. Ist 51( C A nicht Theorem von Ai, so geniigt die nach II, § 21 existierende, normale charakteristische Ai-Matrix T 2 51( C A nicht; diese
"> .. (y Z
< y 15)
Denn aus (x cay) = zl.z2 . . z, mit X
< y
+ Z; (in
+ z1), oder wegen der Distributivitat von + und
+ (~ .. .Zz), somit X< y +(X cay).
In
+
U2) folgt in T2 X< (y zl) • (siehe II, § 18 mit Fussn. 30),
u; sind zwei gleiche Elemente auch identisch gleich.
4
Matrix ist, nach II, § 20, eine :Li-Struktur. Die in ill: auftretenden, von A. verschiedenen elementaren Kalkiilformeln seien Av ... , A,. Bei Ersetzung von Av ... ,A, durch geschickt gewahlte Elemente von T 2 , bzw. a 1 , ••• ,a, und von A. durch n, geht ill: CA. in ein Element von T 2 tiber, das nicht zu der ausgezeichneten Klasse L 2 von T 2 gehort. Sind [,+I, ... , [k+I die von den Av ... , A, und A. verschiedenen Teilformeln von ill: C A., wobei [k+I mit ill: CA. zusammenfallen soH, so deuten wir die durch die Ersetzungen aus [•+~> ... , [k+I hervorgehenden Elemente von T 2 bzw. durch ar+v ... , ak+I an (n sei durch a 0 angedeutet). Somit ist: non ak+I E L 2 • Nach § 55 und II, § 20 existiert nun eine endliche normale Ai-Matrix U~ mit weniger als 22k+ 1 Elementen, zu welcher Elemente b0 , bv ... , bk+I gehoren 86 ), die folgende Bedingungenerfiillen:
0
0'
Die (verneinende) Aussagenlogik M* hat das (in § 55 gegebene) Axiomensystem von Ai erganzt mit: 6"'*. X' C (v C X), und 6P*. (vCX)CX' (siehe F.B. II, § 10, Proceedings 53 (1950) oder Indag. math. 12 (1950)). In Teil II, §§ 16, 18, 19 dieser Arbeit findet man Definitionen der :L: -Strukturen. E i gens c haft. Zu einer :Li -Struktur T 3 magen die Elemente ~' a 2 , •.. , ak gehOren (jedes a 1 #n). Dann gibt es eine kleinste Teilstruktur U3 , welche alle in der Definition von Teil II, § 19 angegebenen Axiome und Regeln einer :Li-Struktur mit Ausnahme von f~, §v J.r, k1 erfullt, n, e und die a 1 enthalt (l= 1, ... , k) und mit einem Element auch alle Elemente von T 3 , die in T 3 gleich diesem Element sind, und daneben eine :Li -Struktur U~, welche weniger als 22H 1 Elemente enthalt, und ein in bezug auf Addition und Multiplikation homomorphes Bild von U 3 ist (mit den n, e, av ... , ak mogen dabei in U~ bzw. n, e, bv b2 , ..• , bk korrespondieren; die Operationen und Relationen § 57.
86)
b0 wird das Nullelement von
u; sein.
87) Die Zahl 2~+l lasst sich verringern zu 2 2k. - Auch ob 9( C 58 ein Satz ist, ist nun entscheidbar; denn dies laszt sich zuriickfiihren auf die Frage ob (~ C 58) C A ein Theorem ist.
5 in u; seien durch 1±1 , [] , [] , [) , E) , EJ angedeutet) ; auf3erdem sind folgende Bedingungen erfullt: l 0 korrespondieren mit x E U3, y E U3 bzw. x E U;, fj E U;, und ist (x C y) E U3 , so korrespondiert x C y mit (x [£] y) E u;; 2° korrespondiert mit X E Ua X E u;' und ist x' E Ua' so korrespondiert x' mit xD E u; ; 3° fur p E Ua und das homomorphe Bild p E u; folgt aus p E La auch p E L;, und umgekehrt (hierbei deuten La und L; die ausgezeichneten Teilklassen von Ta bzw. u; an. Beweis. In Ua gibt es weniger als 22k+ 1 paarweise nicht gleiche Elemente; die Elemente von Ua, welche nicht = n sind, sind = einer Summe von Produkten von Elementen e, ai; Ua (mit den Operationen und Relationen +, ·, <, = wie in Ta) geniigt a1 his e1 , h1 , i 1 von II, § 18. Durch Einfiihrung von ca wie im Beweise von § 55 erhalt f1 die Form: in Ua folgt aus x< (y+z) (xCay)
I:
§ 58. Eigenschaft. 1st 21 eine Kalkulformel von M*, welche k von A. und 11 verschiedene Teilformeln enthalt (ev. auch A., 11 selbst), so ist 21 CA. dann und nur dann Theorem von M*, falls jede normare M*-Matrix (siehe die Definition in II, § 20) mit weniger als 22k+ 2 Elementen, deren ausgezeichnete Klasse nur ein einzelnes Element enthalt, 21 C A. genugt. Der Beweis folgt, unter Anwendung der Eigenschaft des vorigen Par., die gleichen Linien wie der Beweis von § 56. Die Eigenschaft dieses Par. liefert so fort ein Entscheidungsverfahren fur M*. 88 )
In
u; sind gleiche Elemente auch identisch gleich.
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§ 59. Die (verneinende) Aussagenlogik I* entsteht aus dem in § 57 angegebenen Axiomensystem fiir M* durch Hinzufiigung von: 3° XC, (siehe F.B. II, § 11, Proceed. 53 (1950) oder Indag. math. 12 (1950)). In Teil II, §§ 16, 18, 19 dieser Arbeit findet man Definitionen der 1:'-Strukturen; die in§ 18 gegebene:Definition der !:-Strukturen wird zu einer Definition der !!'"Strukturen durch Hinzufiigung eines einzelnen Axioms: l 1 . fiir jedes Element x. ist x
§ 60. Unter Anwendung der letzten Eigenschaft beweist man nach dem Verfahren von § 56 (und § 58): Eigenschaft. Ist m: eine Kalkulformel von I*, welche k von A. und , verschiedene Teilformeln enthalt (ev. auch A., , selbst), so ist m: CA. dann und nur dann Theorem von I*, falls jede normale !*-Matrix (siehe die Definition in II, § 20) mit weniger als 2i<+ 2 Elementen, deren ausgezeichnete Klasse nur ein einzelnes Element (das Nullelement) enthalt, m: CA. gen'ilgt. Diese Eigenschaft liefert sofort ein Entscheidungsverfahren fur I* 89 ). · § 61. Die Aussagenlogiken A:
]plemente a 1 , a 2 , ••• ,a~ gehoren (jedes a1 =;t=n). Dann gibt es eine kleinste Teilstruktur U2 , welche alle in der Definition von II, § 19 angegebenen Axiome und Regeln einer !;-Stru'lctur mit Ausnahme vonft, {j1 erfullt, n und die a 1 enthiilt (l= 1, ... , k) und mit einem Element auch alle Elemente von. T 2 , die in T 2 gleic-, diesem Element sind, und daneben eine !:0 i-Struktur u; (j = 1 bzw. 2), welche weniger als 2 2"' Elemente enthiilt, und ein in bezug auf Addition und Multiplikation homomorphes Bild von U2 ist (mit den n, ~ •... ' ak miigen dabei in u; bzw. fi, bv b2, ... ' bk korrespondieren; die Operationen und Relationen in u; seien durch [J ' [£1 ' @] ' g) ' angedeutet) ; au(Jerdem sind folgende Bedingungen erfullt: 1o korrespondieren mit X E U2, y E U2 bzw. X E U;, 'fi E U;, und ist (x C y) E U2, SO korrespondiert XC y mit (xI£] 'fi) E U;; 2° korrespondiert mit. X E U 2 X E U;, und ist Cx E u2, so korrespondiert Cx mit @) X E u;; 3° fur p E u2 und das homomorphe Bild p E u; folgt aus p E £ 2 auch p E £;, und umgekehrt (hierbei deuten L 2 und L; die ausgezeichneten Teilklassen von T 2 bzw. u; an). Beweis. U2 , mit den Operationen und Relationen +, ·, ca, <, =
FR '
E1
81 ) Durch weitgehende Vereinfachung der Betrachtungen von Teil II, §§ 22 u. 23 erhalt man ein Entscheidungsverfahren fur K*, das in derselben Richtung liegt wie die oben betrachteten. Doch hat es dieselben praktischen Nachteile .wie diese.
7
und der ausgezeichneten Klasse L~ sei die im Beweise von§ 55 eingefiihrte ~i-Struktur. U2 wird zu einer ~:ci_Struktur N durch Einfiihrung einer abgeschlossenen Hiille eN. Das Element X E u2 heiBe vom Element y E u2 uberdeckt, falls x [von Ai], welche k von A verschiedene Teilformeln enthiilt (ev. auch A selbst), so ist m: C A dann und nur dann Theorem von A; [von Ai], falls jede normale A:-Matrix Uede normale Ai-Matrix] (siehe die Definition in II, § 20) mit weniger als 22k+ 1 Elementen, deren ausgezeichnete Klasse nur das Null· element enthalt, m: C A .genugt. Beweis analog wie in § 56. Diese Eigenschaft liefert sofort Entscheidungsverfahren fur die Kalkule A; und Ai.
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§ 63. Eigenschaft. Zu einer 2.:Ci-Struktur T 3 (j= 1, oder 2) mogen die Elemente av a 2 , ••• , ak gehoren (jedes a 1 -:j: n ). Dann gibt es eine kleinste Teilstruktur U 3 , welche alle in der Definition von II, § 19 angegebenen Axiome und Regeln einer 2.: -Struktur mit A usnahme von f1 , §v Jv k1 erfullt, n, e und die a 1 enthalt (l= 1, ... , k) und mit einem Element auch alle Elemente von T 3 , die in T 3 gleich diesem Element sind, und daneben eine 2.;c;_ Struktur u; (j = 1 bzw. 2), welche weniger als 22k+l Elemente enthalt, und ein in bezug auf Addition und Multiplikation homomorphes Bild von U3 ist (mit den n, e, av ... , ak mogen dabei in u; bzw, ii, e, bl, ... , bk korrespondieren; die Operationen und Relationen in u; seien durch 1±1 ' D ' El ' [9 ' @) , EJ , E1 angedeutet) ; au{Jerdem sind folgende Bedingungen erfullt: 1° korrespondieren mit X c U3, y E u3 bzw. X E u;, y E u;, und ist (x c y) E U3, so korrespondiert X c y mit (x [f) y) E u;; 2° [3°] korrespondiert mit X E U3 X E U;, und ist x' E U3 [Cx E U3], so korrespondiert x' mit x0 E u; [Cx mit @] X E u;] ; 4° fur p E u3 und das homomorphe Bild p E u; folgt aus p E L 3 auch p E L;, und umgekehrt (hierbei deuten L 3 und L; die ausgezeichneten Teilklassen von T 3 bzw. u; an). Zur Konstruktion der im Beweise benotigten 2.:- und 2.:0 i-Strukturen (U3 , N) hat man die in den Par. 57 und 61 benutzten Verfahren zu kombinieren. Aus den N entstehen dann die Strukturen u; durch Abstraktion. Die in § 56 angewandte Beweismethode liefert hier: Eigenschaft. Ist m eine Kalkulformel von M( [von M*!b>], welche k von A und v verschiedene Teilformeln enthalt (ev. auch A, v selbst), so ist C A dann und nur dann Theorem von M*!u> [von M*!b>], falls jede normale M*!u>-Matrix [jede normale M*!b>-Matrix] (siehe die Definitionen in II, l20) mit weniger als 22k+ 2 Elementen, deren ausgezeichnete Klasse nur das N ullelement enthalt, mC A genugt. Diese Eigenschaft liefert Entscheidungsverfahren fur M*!u> und M*!b>.
m
§ 64. Die Ubertragung der heiden Eigenschaften des vorigen Par. auf !t0 i-Strukturen (j = 1, 2) und die Aussagenlogiken J*!u>, J*!b> bietet keine Schwierigkeiten (vergleiche auch §§ 59, 60). Sie fiihren zu Entscheidungsverfahren fur J*!u> und J*!b>. § 65. Duale Umsetzung der Betrachtungen in den vorangehenden Par. dieses Teiles fiihrt zu Entscheidungsverfahren fur folgende Aussagenkalkule: A 2 , M, I, A~u>, A~b>, M!u>, M!b>, pu> und J!b> (siehe ihre Definitionen in Forrnalistische Betrachtungen uber intuit. u. verW(J,ndte logische Systeme I, § 3; II, §§ 6 u. 7; Teil I dieser Arbeit, §§ 2-4, und Teil II, § 24). 90) 9°)
Korrektur: Teil IVbis, § 54, 2er Absatz, Anfang ist zu lesen: v
C {(N2fl)
+ (N2f2) + ... + (N2tr)}.
UBER MODALE AUSSAGENLOGIKEN UND IHREN ZUSAMMENHANG MIT STRUKTUREN. V VON
J. RIDDER (Communicated by Prof. L. E. J.
BROUWER
at the meeting of November 28, 1953)
In diesem Teil folgen Entscheidungsverfahren fiir die Aussagenkalkiile
A;, M*, I*, A;, Ai, M•, M•, I•, I•, undA2, M, I, A~u>, ... , J, I.
§ 55. Die (verneinende) Aussagenlogik Ai wurde definiert in Formal. Betrachtungen iiber intuitionistische und verwandte logische Systeme I, § 4 (Proceedings 53 (1950) oder Indag. math. 12 (1950)). Neben einer Einsetzungsregel E* enthalt das Axiomensystem von A;' nachfolgende Axiome und SchluBschemata.
Axiom 1". und (X· Y)
X eX; SchluBschema 1P.
e Y;
SchluBschema 2P.
me~ ~e~
me~
~cm~c~
~ C (m. ~)
. . ; Axwm 2". (X· Y)eX
. ; Axwm 4". X
e (X+ Y)
me~ ~e~
und Ye(X+Y); SchluBschema 4fl. (m+~)C~; Ersetzungsschema E~.
[~e~]C m H· Axiom 5°. A eX.
' In Teil II, §§ 16, 18, 19 der vorliegenden Arbeit (Proceedings 55 (1952) oder Indag. math. 14 (1952)) findet man Definitionen der L~-Strukturen. Eigenschaft. Zu einer L;-StrukturT2 mogendieElementeav a2 , ••• , ak gehOren (jedes ak :;i=n). Dann gibt es eine kleinste Teilstruktur U2 , welche alle in der Definition von Teil II, § 19 angegebenen Axiome und Regeln einer L;-Struktur mit Ausnahme von fv g1 erfiillt, n und die a 1 enthiilt (l= 1, ... , k) und mit einem Element auch alle Elemente von T 2 , die in T 2 gleich diesem Element sind, und daneben eine L;-Struktur ug, welche weniger als 22k Elemente enthiilt, und ein in bezug auf Addition und M ultiplikation homomorphes Bild von U2 ist (mit den n, av ... , ak mogen dabei in u; bzw. ii, b1 , b2 , ••• , bk korrespondieren ; die Operationen und Relationen in u; seien durch E8 , r:l , ~ , @ , 1=1 angedeutet) ; au(Jerdem sind folgende Bedingungen erfullt: 1° korrespondieren mit X E U2, y E u2 bzw. X E u;, 'fj E u;, und ist (x e y) E U2 , SO korrespondiert X e y mit (x ~ fj) E U;; 2° fur p E u2 und das. homomorphe Bild p E u; folgt aus p E L2 auch p E L;, und umgekehrt (hierbei deuten L2und Lg die ausgezeichneten Teilklassen von T 2 bzw. u; an). Beweis. Die Existenz der kleinsten Teilstruktur U2 ist sofort klar; es gibt weniger als 2 2k paarweise nicht gleiche Elemente in U2 ; die Elemente ~C(~+mJ
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von U2 , welche nicht = n sind, sind = einer Summe von Produkten von Elementen a;; U 2 (mit den Operationen und Relationen +, ·, <, = wie in T 2 ) geniigt den Axiomen und Schemata a1 his i 1 von Teil II, § 18, mit Ausnahme von fv g1 • . In U 2 fiihren wir eine Operation ca ein; zu jedem Paar x, y von Elementen in u2 giht es immer ein Element z von u2 mit X<(y+z); nun sei X ca y definiert als das Produkt einer Hochstzahl paarweise verschiedener Elemente Z; E u2 mit x< (y+z;); X cay ist festgelegt his auf ,Gleichheit". Aus dieser Definition und II, § 18, / 1 folgt, daB aus (x C y) E U2 folgt (xCy)=(xCay); denn x<(y+z;) in U 2 liefert (xCy)
zi
={
=
={
§ 56. Definition. Teilformel einer Kalkiilformel 51( in einem Aussagenkalkiil ist jede Formel des Kalkiils, welche hei der Herstellung von 51( auftritt. Eigenschaft. 1st 51( eine Kalk1llformel von Ai, welche k von A verschiedene Teilformeln enthiilt (ev. auch A selbst), so ist 51( C A dann und nur dann Theorem von Ai, falls jede normale Ai-Matrix (siehe die Definition in II, § 20) mit weniger als 227c+ 1 Elementen, deren ausgezeichnete Klasse nur ein einzelnes Element enthiilt, 51( C A gen1lgt. Beweis. Ist 51( C A nicht Theorem von Ai, so geniigt die nach II, § 21 existierende, normale charakteristische Ai-Matrix T 2 51( C A nicht; diese
"> .. (y Z
< y 15)
Denn aus (x cay) = zl.z2 . . z, mit X
< y
+ Z; (in
+ z1), oder wegen der Distributivitat von + und
+ (~ .. .Zz), somit X< y +(X cay).
In
+
U2) folgt in T2 X< (y zl) • (siehe II, § 18 mit Fussn. 30),
u; sind zwei gleiche Elemente auch identisch gleich.
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Matrix ist, nach II, § 20, eine :Li-Struktur. Die in ill: auftretenden, von A. verschiedenen elementaren Kalkiilformeln seien Av ... , A,. Bei Ersetzung von Av ... ,A, durch geschickt gewahlte Elemente von T 2 , bzw. a 1 , ••• ,a, und von A. durch n, geht ill: CA. in ein Element von T 2 tiber, das nicht zu der ausgezeichneten Klasse L 2 von T 2 gehort. Sind [,+I, ... , [k+I die von den Av ... , A, und A. verschiedenen Teilformeln von ill: C A., wobei [k+I mit ill: CA. zusammenfallen soH, so deuten wir die durch die Ersetzungen aus [•+~> ... , [k+I hervorgehenden Elemente von T 2 bzw. durch ar+v ... , ak+I an (n sei durch a 0 angedeutet). Somit ist: non ak+I E L 2 • Nach § 55 und II, § 20 existiert nun eine endliche normale Ai-Matrix U~ mit weniger als 22k+ 1 Elementen, zu welcher Elemente b0 , bv ... , bk+I gehoren 86 ), die folgende Bedingungenerfiillen:
0
0'
Die (verneinende) Aussagenlogik M* hat das (in § 55 gegebene) Axiomensystem von Ai erganzt mit: 6"'*. X' C (v C X), und 6P*. (vCX)CX' (siehe F.B. II, § 10, Proceedings 53 (1950) oder Indag. math. 12 (1950)). In Teil II, §§ 16, 18, 19 dieser Arbeit findet man Definitionen der :L: -Strukturen. E i gens c haft. Zu einer :Li -Struktur T 3 magen die Elemente ~' a 2 , •.. , ak gehOren (jedes a 1 #n). Dann gibt es eine kleinste Teilstruktur U3 , welche alle in der Definition von Teil II, § 19 angegebenen Axiome und Regeln einer :Li-Struktur mit Ausnahme von f~, §v J.r, k1 erfullt, n, e und die a 1 enthalt (l= 1, ... , k) und mit einem Element auch alle Elemente von T 3 , die in T 3 gleich diesem Element sind, und daneben eine :Li -Struktur U~, welche weniger als 22H 1 Elemente enthalt, und ein in bezug auf Addition und Multiplikation homomorphes Bild von U 3 ist (mit den n, e, av ... , ak mogen dabei in U~ bzw. n, e, bv b2 , ..• , bk korrespondieren; die Operationen und Relationen § 57.
86)
b0 wird das Nullelement von
u; sein.
87) Die Zahl 2~+l lasst sich verringern zu 2 2k. - Auch ob 9( C 58 ein Satz ist, ist nun entscheidbar; denn dies laszt sich zuriickfiihren auf die Frage ob (~ C 58) C A ein Theorem ist.
5 in u; seien durch 1±1 , [] , [] , [) , E) , EJ angedeutet) ; auf3erdem sind folgende Bedingungen erfullt: l 0 korrespondieren mit x E U3, y E U3 bzw. x E U;, fj E U;, und ist (x C y) E U3 , so korrespondiert x C y mit (x [£] y) E u;; 2° korrespondiert mit X E Ua X E u;' und ist x' E Ua' so korrespondiert x' mit xD E u; ; 3° fur p E Ua und das homomorphe Bild p E u; folgt aus p E La auch p E L;, und umgekehrt (hierbei deuten La und L; die ausgezeichneten Teilklassen von Ta bzw. u; an. Beweis. In Ua gibt es weniger als 22k+ 1 paarweise nicht gleiche Elemente; die Elemente von Ua, welche nicht = n sind, sind = einer Summe von Produkten von Elementen e, ai; Ua (mit den Operationen und Relationen +, ·, <, = wie in Ta) geniigt a1 his e1 , h1 , i 1 von II, § 18. Durch Einfiihrung von ca wie im Beweise von § 55 erhalt f1 die Form: in Ua folgt aus x< (y+z) (xCay)
I:
§ 58. Eigenschaft. 1st 21 eine Kalkulformel von M*, welche k von A. und 11 verschiedene Teilformeln enthalt (ev. auch A., 11 selbst), so ist 21 CA. dann und nur dann Theorem von M*, falls jede normare M*-Matrix (siehe die Definition in II, § 20) mit weniger als 22k+ 2 Elementen, deren ausgezeichnete Klasse nur ein einzelnes Element enthalt, 21 C A. genugt. Der Beweis folgt, unter Anwendung der Eigenschaft des vorigen Par., die gleichen Linien wie der Beweis von § 56. Die Eigenschaft dieses Par. liefert so fort ein Entscheidungsverfahren fur M*. 88 )
In
u; sind gleiche Elemente auch identisch gleich.
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§ 59. Die (verneinende) Aussagenlogik I* entsteht aus dem in § 57 angegebenen Axiomensystem fiir M* durch Hinzufiigung von: 3° XC, (siehe F.B. II, § 11, Proceed. 53 (1950) oder Indag. math. 12 (1950)). In Teil II, §§ 16, 18, 19 dieser Arbeit findet man Definitionen der 1:'-Strukturen; die in§ 18 gegebene:Definition der !:-Strukturen wird zu einer Definition der !!'"Strukturen durch Hinzufiigung eines einzelnen Axioms: l 1 . fiir jedes Element x. ist x
§ 60. Unter Anwendung der letzten Eigenschaft beweist man nach dem Verfahren von § 56 (und § 58): Eigenschaft. Ist m: eine Kalkulformel von I*, welche k von A. und , verschiedene Teilformeln enthalt (ev. auch A., , selbst), so ist m: CA. dann und nur dann Theorem von I*, falls jede normale !*-Matrix (siehe die Definition in II, § 20) mit weniger als 2i<+ 2 Elementen, deren ausgezeichnete Klasse nur ein einzelnes Element (das Nullelement) enthalt, m: CA. gen'ilgt. Diese Eigenschaft liefert sofort ein Entscheidungsverfahren fur I* 89 ). · § 61. Die Aussagenlogiken A:
]plemente a 1 , a 2 , ••• ,a~ gehoren (jedes a1 =;t=n). Dann gibt es eine kleinste Teilstruktur U2 , welche alle in der Definition von II, § 19 angegebenen Axiome und Regeln einer !;-Stru'lctur mit Ausnahme vonft, {j1 erfullt, n und die a 1 enthiilt (l= 1, ... , k) und mit einem Element auch alle Elemente von. T 2 , die in T 2 gleic-, diesem Element sind, und daneben eine !:0 i-Struktur u; (j = 1 bzw. 2), welche weniger als 2 2"' Elemente enthiilt, und ein in bezug auf Addition und Multiplikation homomorphes Bild von U2 ist (mit den n, ~ •... ' ak miigen dabei in u; bzw. fi, bv b2, ... ' bk korrespondieren; die Operationen und Relationen in u; seien durch [J ' [£1 ' @] ' g) ' angedeutet) ; au(Jerdem sind folgende Bedingungen erfullt: 1o korrespondieren mit X E U2, y E U2 bzw. X E U;, 'fi E U;, und ist (x C y) E U2, SO korrespondiert XC y mit (xI£] 'fi) E U;; 2° korrespondiert mit. X E U 2 X E U;, und ist Cx E u2, so korrespondiert Cx mit @) X E u;; 3° fur p E u2 und das homomorphe Bild p E u; folgt aus p E £ 2 auch p E £;, und umgekehrt (hierbei deuten L 2 und L; die ausgezeichneten Teilklassen von T 2 bzw. u; an). Beweis. U2 , mit den Operationen und Relationen +, ·, ca, <, =
FR '
E1
81 ) Durch weitgehende Vereinfachung der Betrachtungen von Teil II, §§ 22 u. 23 erhalt man ein Entscheidungsverfahren fur K*, das in derselben Richtung liegt wie die oben betrachteten. Doch hat es dieselben praktischen Nachteile .wie diese.
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und der ausgezeichneten Klasse L~ sei die im Beweise von§ 55 eingefiihrte ~i-Struktur. U2 wird zu einer ~:ci_Struktur N durch Einfiihrung einer abgeschlossenen Hiille eN. Das Element X E u2 heiBe vom Element y E u2 uberdeckt, falls x
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§ 63. Eigenschaft. Zu einer 2.:Ci-Struktur T 3 (j= 1, oder 2) mogen die Elemente av a 2 , ••• , ak gehoren (jedes a 1 -:j: n ). Dann gibt es eine kleinste Teilstruktur U 3 , welche alle in der Definition von II, § 19 angegebenen Axiome und Regeln einer 2.: -Struktur mit A usnahme von f1 , §v Jv k1 erfullt, n, e und die a 1 enthalt (l= 1, ... , k) und mit einem Element auch alle Elemente von T 3 , die in T 3 gleich diesem Element sind, und daneben eine 2.;c;_ Struktur u; (j = 1 bzw. 2), welche weniger als 22k+l Elemente enthalt, und ein in bezug auf Addition und Multiplikation homomorphes Bild von U3 ist (mit den n, e, av ... , ak mogen dabei in u; bzw, ii, e, bl, ... , bk korrespondieren; die Operationen und Relationen in u; seien durch 1±1 ' D ' El ' [9 ' @) , EJ , E1 angedeutet) ; au{Jerdem sind folgende Bedingungen erfullt: 1° korrespondieren mit X c U3, y E u3 bzw. X E u;, y E u;, und ist (x c y) E U3, so korrespondiert X c y mit (x [f) y) E u;; 2° [3°] korrespondiert mit X E U3 X E U;, und ist x' E U3 [Cx E U3], so korrespondiert x' mit x0 E u; [Cx mit @] X E u;] ; 4° fur p E u3 und das homomorphe Bild p E u; folgt aus p E L 3 auch p E L;, und umgekehrt (hierbei deuten L 3 und L; die ausgezeichneten Teilklassen von T 3 bzw. u; an). Zur Konstruktion der im Beweise benotigten 2.:- und 2.:0 i-Strukturen (U3 , N) hat man die in den Par. 57 und 61 benutzten Verfahren zu kombinieren. Aus den N entstehen dann die Strukturen u; durch Abstraktion. Die in § 56 angewandte Beweismethode liefert hier: Eigenschaft. Ist m eine Kalkulformel von M(
m
§ 64. Die Ubertragung der heiden Eigenschaften des vorigen Par. auf !t0 i-Strukturen (j = 1, 2) und die Aussagenlogiken J*!u>, J*!b> bietet keine Schwierigkeiten (vergleiche auch §§ 59, 60). Sie fiihren zu Entscheidungsverfahren fur J*!u> und J*!b>. § 65. Duale Umsetzung der Betrachtungen in den vorangehenden Par. dieses Teiles fiihrt zu Entscheidungsverfahren fur folgende Aussagenkalkule: A 2 , M, I, A~u>, A~b>, M!u>, M!b>, pu> und J!b> (siehe ihre Definitionen in Forrnalistische Betrachtungen uber intuit. u. verW(J,ndte logische Systeme I, § 3; II, §§ 6 u. 7; Teil I dieser Arbeit, §§ 2-4, und Teil II, § 24). 90) 9°)
Korrektur: Teil IVbis, § 54, 2er Absatz, Anfang ist zu lesen: v
C {(N2fl)
+ (N2f2) + ... + (N2tr)}.