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Über Modale Aussagenlogiken und Ihren Zusammenhang Mit Strukturen. III
MATHEMATICAL LOGIC
UBER MODALE AUSSAGENLOGIKEN UND IHREN ZUSAMMENHANG MIT STRUKTUREN. III VON
J. RIDDER
(Communicated by Prof. L. E. J. BROUWER at the meeting of November 29, 1952) Dieser dritte Teil enthalt Losungen des Entscheidungsproblems fiir die Systeme 82- S2*, S4 _ S4* [= x
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1 Series A
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A uf3erdem gelten die Theoreme:
XII. (X-< MX) C A ; XIII. [(MX +MY)-< M(X + Y)] C A mit [M(X + Y)-< (MX +MY)] C },. 43) A us dieser Eigenschaft und der Definition von S2* in Teil I, § 13 folgt: S2* laf3t sich auch charakterisieren als eine BooLEsche Algebra in bezug auf-<, +, ·, ', welche XII, XIII, B6*-B8*, und die Regeln I*-IV* erfullt (siehe Teil I, § 8), daneben die zugehOrigen Definitionen von Teil I, § 10, (58 G m) CA. . und das Schema 58 C m H (Tml I, § 13). § 26. Definition. Eine Klasse K von Elementen x, y, ... liefert eine 82*-Struktur, falls sie ein Nullelement n und ein Einheitselement e enthalt, und die zugehorigen Operationen +, ·, ' und die zugehorige Relation < folgende Axiome erfiillen: a 1 . x < x; b1 aus x < y und y < z folgt x < z; c1 . x < (x + y) und y < (x + y); d1 . aus x < z und y < z folgt (x + y) < z; e1 . n < x; f1 . (x·y) < x und (x·y) < y; g1 . aus z < x und z < y folgt z < (x·y); h1 • x < e; i 1 . (x·x') < n; j 1 . e < (x + x'); k1 . {x· (y + z)} < {(x·y) + (x·z)} und {(x·y) + (x·z)} < {x·(y + z)}; l1 . aus x < y und y < x folgt x identisch gleich y (geschrieben: x = y). 43bis) AuBerdem soll es eine unitare Operation C und eine echte ausgezeichnete Teilklasse L von K geben; fiir diese seien dann folgende weitere Axiome erfiillt: a 1. L ist ein multiplikatives Ideal von K [d.h. aus x E L, y E L folgt (x + y) EL; aus x EL, y EK folgt (x·y) EL]; (31 • x < Cx; y 1 . C(x + y) < (Cx + Cy) und (Cx + Cy) < C(x + y); (\. Cn EL; c:1• aus Cx E L folgt x identisch gleich n (also x = n). Bemerkung. Aus x < y folgt C(x·y') E L, und umgekehrt. Fiihren wir eine binare Operation -< ein mit der Bedeutung: x -< y sei eine andere Schreibweise fiir C(x·y'), so gilt somit: aus x < y folgt (x
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§ 27. Definitionen. Eine mit einem Kalkul S2* korrespondierende Matrix ist eine Klasse von Elementen, welche eine (nicht leere) echte ausgezeichnete Teilklasse L, ein Nullelement n und ein Einheitselement e enthalt, wahrend es mit den Verkniipfungen -<, +, ·, ', M, C von S2* korrespondierende Operationen -<, +, ·, ', C, C gibt, welche bei Anwendung auf Elemente der Klasse wieder zu Elementen der Klasse fiihren, und zwischen den en folgende Zusammenhange bestehen: x C y sei eine andere Schreibweise fiir x · y'; x -< y fiir C(x C y); x · y fiir (x' + y')'. Eine derartige Matrix genugt einer Formel ~CA. von S2*, falls bei jeder Bewertung der in ~ vorkommenden elementaren Kalkiilformeln mittels Elemente der Matrix und ev. die Bewertungen n von A., e von v, unter Anwendung der mit den Verkniipfungen in~ korrespondierenden Operationen der Matrix, ein Element der Klasse L erhalten wird. Definition. Eine S2*-Matrix ist eine mit dem Kalkiil S2* korrespondierende Matrix, welche allen Theoremen ~ C A. von &2* gentigt. Definition. Eine mit S2* korrespondierende Matrix heiBt normal, wenn sie folgende Regeln erfiillt: b;_. a us (x -< y) E L und (y-< z) E L folgt (x-< z) E L; d.r. aus (x-< z) E L, (y-< z) E L folgt [(x + y)-< z] E L; ~. aus (z
a
dal3 die Formulierung des Theorems 3 unklar ist; das Zeichen < soli loc. cit. als Relationszeichen der BoOLEschen Algebra K aufgefal3t werden, nicht als Zeichen im Sinne der Definition 2 von McKINSEY, wie PARRY dies tut. Dal3 die hier vertretene Auffassung die richtige ist, geht auch aus den McKINSEYschen Beweisen seiner Theoreme 5 und 12 hervor, deren Formulierungen dieselbe Unklarheit anhaftet. Durch die Einfiihrung obiger Definition werden hier derartige Schwierig· keiten vermieden.
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[ (x -< z) -< {(x-< y) + (y-< z)}] E L. So mit geniigt die Matrix Axiom B6*. Es ist [y-< {(y·x') + x}] E L. Da die Matrix Axiom XII geniigt, hat sie die Eigenschaft $;_: (x-< Cx) E L, wodurch [y-< {C(y·x') + x}] E L, oder [y-< {(y-< x) + x}] E L. Die Matrix geniigt Axiom B7*. Es ist [{(x'·y') + x'}-< x'] E L, [x'-< {(x'·y') + x'}] E L, somit nach l;_ und ; [{C(x' ·y') + Cx'}-< Cx'] E L, also auch [C(x' ·y')-< Cx'] E L, [(Cx')'-< {C(x' ·y')}'] E L. Da NX sich in S2* schreiben laBt (MX')', geniigt die Matrix Axiom B8*. Mit "7;:, m1 und n 1 folgt, daB die Regeln I*-IV* (Teil I, § 8) nur von Theoremen, welchen die Matrix geniigt, zu Theoremen mit derselben Eigenschaft fiihren konnen. Aus der in § 25 gegebenen Charakterisierung von S2* folgt, daB die betrachtete Matrix eine S2*-Matrix ist. Gehen wir nun von einer normalen S2*-Matrix aus; sie hat die Eigenschaften a 1 -Z1 (§ 26), wenn man p < q durch (p-< q) E L definiert. a1 folgt a us J;_, m 1 und n 1 ; (31 und y 1 folgen a us der Giiltigkeit von XII und XIII in ff2 *. Nach L.a.L. 18.8 ist in S2 v C {M(X ·X')}', somit gilt, dual, in S2* {N(X + X')}' CA. oder M(X ·X') CA. Die Matrix ist eine S2*-Matrix; also C(x · x') E L. a 1 - k1 macht die Matrix zu einer BooLEschen Algebra; so mit (x · x') < n, n < (x · x'). Mit Z1 folgt nun Cn E L, also 01 (§ 26). Aus x < (x·e) und der Identitat von e und n' (nach Z1 ) folgt x < (x·n'), wahrend auch (x·n')
Eigenschaft. Die drei Klassen der S2*-Strukturen, der normalen S2*-Matrices und der mit S2* korrespondierenden normalen Matrices, welche den Axiomen I, III, V, VI, VIII-XIII von S2* (§ 25) genugen, fallen zusammen. Beweis. Wegen der vorigen Eigenschaft brauchen wir nur noch zu zeigen, daB jede S2*-Struktur eine normale S2*-Matrix, jede normale S2*-Matrix eine mit S2* korrespondierende normale Matrix ist, welche den Axiomen I, III, V, VI, VIII-XIII von S2* geniigt. Aus Definition und Bemerkung von§ 26 und dem ersten Teile der vorangehenden Eigenschaft geht hervor, daB eine S2*-Struktur eine normale S2*-Matrix ist, wenn aus y E L, (x-< y) E L folgt x E L. Aus y E Lund (x-< y) E L folgt schon x < y, x < (y·x), wahrend auch gilt (y·x) < x. Somit sind, nach lv (y·x) und x identisch gleich. Aber mit a 1 folgt (y · x) E L. Dadurch auch x E L. DaB jede normale S2*-Matrix eine mit S2* korrespondierende normale Matrix ist, welche den Axiomen I, III, V, VI, VIII-XIII von S2* geniigt, folgt sofort aus den Definitionen.
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Bemerkungen iiber S2*-Strukturen. 1. n E L. Denn nach a,_ und e1 (§ 26) ist x < x oder (x-< x) E L, n < (x-< x) oder [n-< (x-< x)] E L, somit nach n 1 (§ 27) auch n E L. 2. non e E L. Denn sonst folgte fiir jedes x der Struktur aus x < e oder (x -< e) E L (§ 26, h1) und e E L, wegen n 1 (§ 27), auch x E L; L ware keine echte Teilklasse. § 28. Definition. Eine charakteristische S2*-Matrix ist eine mit dem Kalkiil S2* korrespondierende Matrix, welche allen und nur allen Formeln m: CA. von S2* geniigt, die (negierende) Theoreme von S2* sind. Eigenschaft. Es gibt eine normale charakteristische S2*-Matrix U 0 • (Nach § 27 ist eine derartige Matrix eine S2*-Struktur). Beweis. Wir wenden wieder das Verfahren von LINDENBAUM an. 45 ) Wir betrachten eine Matrix U, welche alle Kalkiilformeln von &2*, unter Ersetzung von M durch C, von A. durch n, von v durch e, enthalt, wahrend die ausgezeichnete Klasse L der Matrix die Klasse aller Formeln m: von S2* sei, fiir die m: C A. ein Theorem von S2* darstellt, wieder mit Ersetzung von M durch C, von A. durch n, von v durch e in m:. Die Relationszeichen-<, +, ·, ', M, C sind bzw. in die Operationszeichen-<, +, ·, ', C, C der Matrix iibergegangen, A. in das Nullelement n, v in das Einheitselement e, jedes Zeichen fiir eine elementare Kalkiilformel in sich selbst. Es ist sofort klar, daB diese Matrix eine charakteristische S2*-Matrix ist; auBerdem geniigt sie den Regeln h;_, ~. g;_, m 1 und n 1 von § 27. Dagegen geniigt die Matrix Regel von § 27 nicht. Denn in S2* sind (X -
r;
r;
=
§ 28bis. Berner kung. S2* liif3t sich charakterisieren als eine BooLEsche Algebra in bezug auf -<, +, ·, ' (im Sinne von § 25), welche XII und XIII von§ 25, und die Regeln I*-IV* erfullt (siehe Teil I, § 8), daneben die Siehe J. C. C. McKINSEY, Journal of symb. logic 6, 122 (1941). Vergleiche den vorletzten Absatz von § 22. 47 } 21 und 5B seien "gleich", falls (21-< 5B) E L und (5B -< 21) E L, d.h. falls (21-< 5B) C A und (5B-< 21) C A negierende Theoreme von 82* sind. 45 ) 46 )
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zugehorigen Definitionen von Teil I, § 10, und das Schema
(~CW)CA.
~ C 21:
H
(Teil I, § 13). [Beim Vergleich mit der in § 25 gegebenen Charakterisierung von S2* folgt, daB B6*-B8* iiberfltissig, und somit aus den tibrigen Annahmen ableitbar sind]. DaB die eingeschrankten Annahmen schon gentigen, laBt sich wie folgt einsehen. Wir gehen von einem System, das nur diesen Annahmen gentigt, a us, und nennen dies schon S2*. Auf dieses System S2* tibertragen wir die Definitionen von §§ 27 und 28. Die Eigenschaft des vorigen Par. giltftir ein S2* wie hier eingefiihrt; das Beweisverfahren bleibt dassel be. Es sei U* eine normale charakteristische 82*-Matrix (im eingeschrankten Sinne) mit ausgezeichneter Klasse L*. Dann zeigen Betrachtungen wie in den ersten Absatzen des Beweises der ersten Eigenschaft von § 27, daB [(x < z) < {(x < y) + (y < z)}] E L*, [y < {(y < x) + x}] E L, [(Cx')' < < {C(x' ·y')}'] E L*; da die Matrix charakteristisch ist, sind somit B6*, B7* und B8* negierende Theoreme von S2*. Damit ist, metamathematisch, bewiesen, daB die hier und in§ 25 gegebenen Charakterisierungen von S2* vollig aequivalent sind. § 29. Eigenschaft. Zu einer S2*-Struktur V mogen die Elemente av ... , ak.gehoren. Dann gibt es eine kleinste BooLEsche Teilalgebra U (mit den Operationen +, · und ') von V, welche die Elemente Cn, av ... , ak enthiilt, und daneben eine S2*-Struktur U0 , welche hochstens 22k+ 1 Elemente enthiilt, und als BooLEsche Algebra (mit den Operationen [E), EJ, []) betrachtet ein isomorphes Bild von U ist (mit Cn und den a,_, ... , ak mogen dabei in U 0 bzw. b0 , b1 , •.. , bk korrespondieren; die Operationen in der Strulctur U 0 seien durch G , L:J , rl, @], 8] , die Relationen durch 1<1 , G angedeutet); auf3erdem sind folgende Bedingungen erfullt: 1 o fur p E U, Cp E U und Cp identisch gleich einem mittels der Operationen +, . , ' in U aus·Cn uiul den a,_, ... , ak hervorgehenden Element, isomorphes Bild von p ist in U0 @) identisch gleich einem in gleicher Weise mittels der korrespondierenden Operationen [t], EJ, [] aus den korrespondie1·enden b0 , b1 , .•. , bk hervorgehenden Element; 2° fur p E U und das isomorphe Bild E U 0 folgt aus pEL auch E L 0 , und u"mgekehrt (hierbei deuten L und L 0 die ausgezeichneten Teilklassen von V bzw. U0 an). Beweis. Die Existenz einer BooLEschen Teilalgebra U, welche Cn, a,_, ... , ak enthalt, ist sofort ldar; U enthalt hochstens 22k+l (paarweise nicht identisch gleiche) Elemente; diese sind Summen von Produkten Cn. a 1 ••• ak, Cn. a 1 ••. a~, ... , (Cn)'. a{ ... a~; n E U, e E U. Die Axiome a 1 - l1 von § 26 sind im System U erftillt. . Das Element x E U heiBe vom Element y E U uberdeckt, falls x < y und Cy E U; jedes Element x E U wird vom Einheitselement e tiberdeckt; denn Ce < e (§ 26, Axiom h1 ), e < Ce (§ 26, Axiom {31 ), also e = Ce (§ 26, Axiom ~), Ce E U. UmfaBt {x1, x2, ... , xn} alle (paarweise nicht identisch gleichen)
p
p
p
p
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Elemente von U, welche x uberdecken, so definieren wir. Cux durch das Produkt Cx1 ••• Cxm; also ist immer Cux E U. Fur jedes x E U gilt (in V) Cx < Cux. Denn wird x uberdeckt durch die paarweise nicht identisch gleichen Elemente xv ... , x,; von U, so ist Cux definiert durch Cxl ... Cxm, wahrend a us X < xl, ... ' X < Xm folgt Cx < (Cx1 ••• Cxm). 48) Aus x E U, Cx E U folgt sogar, daB Cux und Cx identisch gleich sind. Dennin diesem Fall gehort x unter den Elementen (xi) von U, welche x uberdecken, wodurch Cux < Cx. Die echte ausgezeichnete Teilklasse Lu von U soli aus den zu L gehorigen Elementen von U bestehen; sie enthalt e nicht (§ 27 Ende). Zu zeigen ist, daB U eine S2*-Struktur ist. Sie genugt schon 8.:1- l 1 von § 26. Da Lu = L · U, und L ein multiplikatives Ideal von V ist, folgt sofort Lu multiplikatives Ideal von U; das ist a 1 von § 26. Mit Cx < Cux folgt sofort {31 von § 26 fur U. Aus X E u, uberdeckt durch moglichst viele (paarweise nicht identisch gleiche) Elemente xl, ... 'Xm (von U); y E U, uberdeckt durch moglichst viele Yv ... y 1 (von U), folgt x + y uberdeckt durch jede Summe X;.+ y1• (j1 = l, ... , m; j 2 = l, ... , l); denn C (xi,+ Yi,) = Cxi, + Cyi, E U. Wird X+ y uberdeckt durch moglichst viele ~ •... 'Zp (von U), so ist X< z,, y < Z;, und Cz;, E U; zu jedem z;, gibt es ein Paar (xi,, Yi,) mit Z;, = X;, = Yi,. Das liefert Cux + Cuy = {Cx1 • Cx2 ••• Cxm} + {Cy1 • Cy2 ••• Cy1} = {Cx1 + + Cy1 } • {Cx1 + Cy2 } ••• {Cx1 + Cy1} • {Cx2 + Cy1 } ••• {Cxm + Cy1} = C (x1 + + Y1) ••. C (xm + y 1) = Cu (x + y); das ist Axiom y1 von § 26 in U. DanE U, Cn E U, sind Cun und Cn identisch gleich (wir bewiesen diese Folgerung fiir willkurliches x E U, Cx E U). Also nach ~1 von§ 26 Cun EL · U oder Lu · U erfullt Axiom ~1 . Aus Cux E Lu (mit x E U) folgt auch Cux E L. Wie abgeleitet, ist (in V) Cx < Cux, oder, nach der Bemerkung von § 26, {Cx < Cux} E L. Da die S2*-Struktur V auch eine mit S2* korrespondierende normale Matrix ist (§ 27), folgt Cx E L. Dadurch liefert e1 von§ 26 x identisch gleich n. Somit erfullt U das Axiom e1 ebenfalls. U ist eine S2*-Struktur. Nun andern wir die Benennungen: U0 , mit den Elementen bi (j = = 0, l, ... , k), den Operationen I.!J, 0, [], @], B] und den Relationen EL El sei die S2*-Struktur U mit den Elementen a,i (j = 0, l, ... , k), den Operationen +, ·, ', Cu, < u 49 ) und den Relationen <, =. Die Struktur U 0 erfullt dann alle Bedingungen der Eigenschaft. § 30. Definition. Teilformel einer Kalkulformel 2{ in S2* ist jede Formel von S2*, welche bei der Herstellung von 2{ auftritt. 50 ) 48 ) Aus x < x 1 folgt, mit § 26, Axiom l1 , die identische Gleichheit von x + x 1 und x 1 • Dadurch liefert y1 (§ 26) (Cx + Cx1 ) < Cx1 , wodurch Cx < Cx1 • 49 ) x uY ist eine andere Schreibweise von Cu (x.y'). Vergl. die Bemerkung in § 26. 50 ) Die Formeln seien mittels folgender Relationszeichen ausgerlriickt: +, ·,',C.
<
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Eigenschaft. Ist 2{ eine Kalkulformel von S2*, welche k Teilformeln enthalt, so ist 2{ C A. dann und nur dann Theorem von S2*, falls jede normale S2*-Matrix mit nicht mehr als 2 2k+ 1 Elementen, 91 CA. genugt. Beweis. Ist 2{ CA. nicht Theorem von S2*, so geniigt die nach § 28 existierende, normale charakteristische S2*-Matrix T2f C). nicht; diese Matrix ist, nach § 27, eine 82*-Struktur. Die in 2{ auftretenden elementaren Kalkiilformeln seien Av ... , A,. Bei Ersetzung von Av ... , A, durch geschickt gewahlte Elemente von T, bzw. av ... , a, (bei ev. Auftreten von A., Punter den elementaren Teilformeln von 2{ seien diese bzw. durch n und e von T ersetzt), geht 2{ in ein Element von T iiber, das nicht zu der ausgezeichneten Klasse L von T gehort. Sind [,+1, ... , [k die von den A 1 , . . . , A, verschiedenen Teilformeln von 2{, wobei [k mit 2{ zusammenfallen soH, so deuten wir die durch die Ersetzungen a us [,+ 1 , ••• , [k hervorgehenden Elemente vonTbzw. durch a,+l, ... ,ak an. Somit non akEL. Nach §§ 29 u. 27 existiert nun eine endliche normale S2*-Matrix U, mit hochstens 22k+ 1 Elementen, zu welcher Elemente b0 , bv ... , bk gehoren, die folgende Bedingungen erfiillen: 51 ) a. aus a; E L (j == 0, 1, ... , k) folgt b1 E L 0 (L 0 ausgezeichnete Teilklasse von U0), und umgekehrt; (3. a us a;, = a1, folgt bi, G b;,, und umgekehrt; y. a us a;, + a;, = a;, oder a;,· a 1, = a;, folgt b;, [!j b;, G b;, bzw. b;, fl b1, G b1, , und umgekehrt ; lJ. aus Ca; = a1 folgt @] b; B b1• Ersetzen wir nun die elementaren Kalkiilformeln Av ... , A, in 2{ bzw. durch bv ... , b,. Dann folgt a us {3, y und lJ, daB dabei die Teilformeln [r+v ... , [k bzw. in br+l• ... , bk iibergehen. [k, welche mit 2r zusammenfallt, wird somit in bk iibergefiihrt, welches, nach a, nicht zu L 0 gehort. Die endliche normale S2*-Matrix U0 geniigt 91 CA. nicht. Ist dagegen 2{ CA. Theorem, so geniigen alle normalen S2*-Matrices, also insbes. diejenigen, welche hochstens 22k+ 1 Elemente enthalten, der Formel 2{ C A.. Sofort ist deutlich, daf3 diese Eigenschaft ein Entscheidungsverfahren fur S2* liefert. Das negierende System S4*.
§ 31. Da in S4* (§§ 13, 10) die Axiome A8* und B8* sich aus dem weiteren Teil des Systems ableiten lassen, 52 ) folgt sofort a us § 28bis: S4* laf3t sick charakterisieren wie 82* in § 28bis unter Hinzufugung des Axioms C 10*. [M(MX) < MX] CA.. Definition. Eine S4*-Struktur sei eine S2*-Struktur (§ 26), welche auBerdem folgendes Axiom erfiillt:
C1 · C(Cx) <
Cx.
Die De:finitionen fiir folgende Begriffe: mit einem Kalkul M* korrespon51 ) Durch Identifikation von Cn mit a,0 laufen die unter a bis !5 zugelassen en Indiceswerte von Null bis k. - a 0 oder Cn e L, b0 e £ 0 • 52 ) Vergl. LEWIS a. LANGFORD, Symbolic logic (1932}, S. 501, Absatz 1.
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dierende Matrices; S 4*- Matrices; normale m-it S4 * kor1·espondierende Matrices; charakteristische S4*-Matrices liegen auf der Hand (vergl. §§ 27, 28). Aus den Eigenschaften von § 27 und den hier angedeuteten Definitionen folgt sofort : Eigenschaft. Die drei Klassen der S4*-Strukturen, der normalen S4*Matrices und der mit S4* korrespondierenden normalen Matrices, welche den Axiomen I, III, V, VI, VIII-XIII von § 25 und dem Axiom 0 10* genugen, fallen zusammen. Wie die Eigenschaft von § 28 laBt sich beweisen die Eigenschaft: Es gibt eine normale charakteristische S4*-Matrix. (Eine derartige Matrix ist eine S4*-Struktur). Eigenschaft: Wortlaut wie der Eigenschaft von§ 29 mit S4* statt S2*. Auch hier ist der Beweis fast wortlich derselbe wie der des Analogous fiir S2*. Nur soil noch abgeleitet werden: Cu(Cux) < Cux. Sind {x1 , .•. , xk} alle (paarweise nicht gleiche) Elemente von U, welche x iiberdecken, so ist Cux das Produkt Cxl ... Cxk; es ist X; E u, Cx; E U, und (wegen Axiom cl mit {J1) C (Cx;) = Cx;, also auch C (Cx;) E U (j = l, ... , k). Cux wird von jedem Cx; iiberdeckt; somit Cu (Cux) < Cux. Eigenschaft: Wortlaut wie der Eigenschaft von§ 30 mit S4* statt S2*. Beweis wieder fast wortlich wie der des korrespondierenden Satzes von § 30. Die letzte Eigenschaft liefert ein Entscheidungsverfahren fur S4*. Das negierende System S5*. § 32. Definition. Das System S5* sei ein System S2*, welches das Axiom 0 ll *. [MX < N(MX)] CA. erfiillt. 53) Da in S5* die Axiome A8* und 0 10* sich aus dem weiteren Teil des Systems ableiten lassen, 54 ) folgt, da[J das System S5* auch ein System S4* ist; 55 ) aus der Definition folgt weiter, da[J S5* sick charakterisieren lii{Jt wie S2* in § 28bis unter Hinzufugung des Axioms 0 l l *. Definition. Eine S5*-Struktur sei eine S2*-Struktur (§ 26), welche auBerdem folgendes Axiom erfiillt: "h· Cx < I(Cx), wobei Ix definiert als Abkiirzung von {C(x')}'. 56 ) Die Definitionen fiir folgende Begriffe: mit einem Kalkul S5* korrespondierende Matrices; S5*-Matrices; normale mit S 5* korrespondierende Matrices; charakteristische S5*-Matrices liegen auf der Hand (vergl. §§ 27, 28).
<
<
53 ) In S2* sind [M(NX) NX] CA. und [MX N(MX)] CA. auseinander ableitbar. 54 ) Vergl. LEWIS a. LANGFORD, loc. cit. S. 498, (12) und 501. 55 ) Die Umkehrung gilt nicht. Vergl. L. a. L., loc. cit. S. 498, (9). 56 ) Da aus Axiom {31 folgt (Cx)' < C{(Cx)'}, also I(Cx) < Cx, la.l3t sich Axiom "h auch schreiben: Cx = I(Cx).
10 Aus den Eigenschaften von§ 27 und den eben angegebenen Definitionen folgt sofort: Eigenschaft. Die drei Klassen der 8"5*-Strukturen, der normalen S5*-Matrices und der mit S5* korrespondierenden normalen Matrices, welche den Axiomen I, III, V, VI, VIII-XIII von§ 25 und dem Axiom 0 ll * genugen, fallen zusammen. Wie die Eigenschaft von § 28 laBt sich beweisen die Eigenschaft: Es gibt eine normale charakteristische S5*-Matrix. Eigenschaft: Wortla~tt wie der Eigenschaft von§ 29 mit S5* statt S2*. Auch hier ist der Beweis fast wortlich derselbe wie der des Analogons. Nur soll noch abgeleitet werden: Cux = lu(Cux), oder Cux = [Cu{(Cux)'}]'. Sind {xv ... , xk} alle Elemente von U, welche x iiberdecken, so ist Cux das Produkt (Cx1) ••• (Cxk); es ist xi E U, Cxi E U. Man hat [Cu{(Cux)'}]' = = [Cu{(Cx1 . . . Cxk)'}]' = [Cu{(Cx1 )' + ... + (Cxk)'}]' = (Axiom y1 in U) [Cu{(Cx1 )'} + ... + Cu{(Cxk)'}]'. Axiom 'Y}1 liefert (Cxi)' = C{(Cxi)'}. Aus Cxi E U folgt (Cxi)' E U, somit C{(Cxi)'} E U. Wir sahen im Beweise von § 29, daB aus x E U, Cx E U folgt Cux = Cx. Das liefert hier Cu{(Cxi)'} = C {(Cx;)'} = (Cxi)', wodurch [Cu{(Cx1 )'} + ... + Cu{(Cxk)'}]' = [(Cx1 )' + ... . . . + (Cxk)']' = Cux. Aus den vorangehenden identischen Gleichheiten folgt nun [Cu{(Cux)'}]' = Cux, somit 'Yj1 in U. 57 ) Eigenschaft: Wortlaut wie der Eigenschaft von§ 30 mit S5* statt S2*. Beweis fast wortlich wie in § 30. Die letzte Eigenschaft liefert ein Entscheidungsverfahren fur S5*. Das negierende System S2* erganzt mit Axiom 0 13*. N(NX) CA.. 58 ) § 33. Wir wollen hier das negierende System S2* erganzt mit Axiom 0 13* S6* nennen. Die zugehorige S6*-Struktur sei dann eine S2*-Struktur (§ 26), welche folgendes Axiom erfiillt: 01 • I(Ix) E L. Nun lassen sich einfiihren: mit einem Kalkiil S6* korrespondierende Matrices; &>*-Matrices; normale mit S6* korrespondierende Matrices; . charakteristische S6*-Matrices. Die Eigenschaften von §§ 27 und 28 sind auf S6* iibertragbar, ebenso wie die Eigenschaften von § 29. Der Beweis der letzten Ubertragung fordert die Ableitung von lu(lux) E Lu fiir jedes x E U. 57 ) Aus den Par. 14, 15bis (insbes. Axiom a 2 und Schema .d*) und 32 geht hervor, dal3 85* sich charakterisieren liil3t als System 84* ergiinzt mit dem Axiom MX C N(MX). Dies ermoglicht eine Losung des Entscheidungsproblems fiir 85* liings den in Teilll fiir K*(m) == 84* gefolgten Linien. Par. 22 soH dazu in analoger
Weise ergiinzt werden wie oben im Texte der Par. 29. 58 ) Vergl. L. a. L., S. 497, Axiom C 13.
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Fur ein solches x gilt (in V) Cx < Cux (siehe § 29), also auch Cx' < Cux' oder lux< Ix. Mit Axiom y1 (§ 26) folgt (in V) I(y·z) = (Iy)·(Iz), wodurch mit Axiom "4 (§ 26) I (lux) < I (Ix). Weiter folgt lu(lux) < I (lux) < I (Ix); somit lu(lux)~= lu(lux)·l(lx). Nach Axiom ()1 gilt I(lx) E L; somit folgt mit Axiom a1 (§ 26) lu (lux) E L · U oder Lu. Die "Obertragung der Eigenschaft von § 30 auf S6* liefert keine Muhe; aie fuhrt zu einem Entscheidungsverfahren fur S6*. Die affirmativen Systeme S2, S4, S5; S2 erganzt mit 0 13. v C M(MX). § 34. Die vorangehenden Betrachtungen dieses Teiles III fuhren durch duale Umsetzung 59 ) zu S2-, S4-, S5- und S6-Strukturen, zu Matrices fur die obengenannten affirmativen Kalkiile und zu Entscheidungsverfahren fur diese Kalkiile, welche, wegen S2 S2*, S4 S4*, S5 _ S5* und S6 S6*, auch Entscheidungsverfahren bzw. fur S2*, S4*, S5*, S6* sind.
=
=
=
59 ) Ein Kalkill S5 ist somit ein Kalkiil S2, in welchem das Axiom C 11 in einer der Formen: v C [M(NX) NX], v C [MX N(MX)] gilt.
<
<
UBER MODALE AUSSAGENLOGIKEN UND IHREN ZUSAMMENHANG MIT STRUKTUREN. III VON
J. RIDDER
(Communicated by Prof. L. E. J. BROUWER at the meeting of November 29, 1952) Dieser dritte Teil enthalt Losungen des Entscheidungsproblems fiir die Systeme 82- S2*, S4 _ S4* [= x
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A uf3erdem gelten die Theoreme:
XII. (X-< MX) C A ; XIII. [(MX +MY)-< M(X + Y)] C A mit [M(X + Y)-< (MX +MY)] C },. 43) A us dieser Eigenschaft und der Definition von S2* in Teil I, § 13 folgt: S2* laf3t sich auch charakterisieren als eine BooLEsche Algebra in bezug auf-<, +, ·, ', welche XII, XIII, B6*-B8*, und die Regeln I*-IV* erfullt (siehe Teil I, § 8), daneben die zugehOrigen Definitionen von Teil I, § 10, (58 G m) CA. . und das Schema 58 C m H (Tml I, § 13). § 26. Definition. Eine Klasse K von Elementen x, y, ... liefert eine 82*-Struktur, falls sie ein Nullelement n und ein Einheitselement e enthalt, und die zugehorigen Operationen +, ·, ' und die zugehorige Relation < folgende Axiome erfiillen: a 1 . x < x; b1 aus x < y und y < z folgt x < z; c1 . x < (x + y) und y < (x + y); d1 . aus x < z und y < z folgt (x + y) < z; e1 . n < x; f1 . (x·y) < x und (x·y) < y; g1 . aus z < x und z < y folgt z < (x·y); h1 • x < e; i 1 . (x·x') < n; j 1 . e < (x + x'); k1 . {x· (y + z)} < {(x·y) + (x·z)} und {(x·y) + (x·z)} < {x·(y + z)}; l1 . aus x < y und y < x folgt x identisch gleich y (geschrieben: x = y). 43bis) AuBerdem soll es eine unitare Operation C und eine echte ausgezeichnete Teilklasse L von K geben; fiir diese seien dann folgende weitere Axiome erfiillt: a 1. L ist ein multiplikatives Ideal von K [d.h. aus x E L, y E L folgt (x + y) EL; aus x EL, y EK folgt (x·y) EL]; (31 • x < Cx; y 1 . C(x + y) < (Cx + Cy) und (Cx + Cy) < C(x + y); (\. Cn EL; c:1• aus Cx E L folgt x identisch gleich n (also x = n). Bemerkung. Aus x < y folgt C(x·y') E L, und umgekehrt. Fiihren wir eine binare Operation -< ein mit der Bedeutung: x -< y sei eine andere Schreibweise fiir C(x·y'), so gilt somit: aus x < y folgt (x
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§ 27. Definitionen. Eine mit einem Kalkul S2* korrespondierende Matrix ist eine Klasse von Elementen, welche eine (nicht leere) echte ausgezeichnete Teilklasse L, ein Nullelement n und ein Einheitselement e enthalt, wahrend es mit den Verkniipfungen -<, +, ·, ', M, C von S2* korrespondierende Operationen -<, +, ·, ', C, C gibt, welche bei Anwendung auf Elemente der Klasse wieder zu Elementen der Klasse fiihren, und zwischen den en folgende Zusammenhange bestehen: x C y sei eine andere Schreibweise fiir x · y'; x -< y fiir C(x C y); x · y fiir (x' + y')'. Eine derartige Matrix genugt einer Formel ~CA. von S2*, falls bei jeder Bewertung der in ~ vorkommenden elementaren Kalkiilformeln mittels Elemente der Matrix und ev. die Bewertungen n von A., e von v, unter Anwendung der mit den Verkniipfungen in~ korrespondierenden Operationen der Matrix, ein Element der Klasse L erhalten wird. Definition. Eine S2*-Matrix ist eine mit dem Kalkiil S2* korrespondierende Matrix, welche allen Theoremen ~ C A. von &2* gentigt. Definition. Eine mit S2* korrespondierende Matrix heiBt normal, wenn sie folgende Regeln erfiillt: b;_. a us (x -< y) E L und (y-< z) E L folgt (x-< z) E L; d.r. aus (x-< z) E L, (y-< z) E L folgt [(x + y)-< z] E L; ~. aus (z
a
dal3 die Formulierung des Theorems 3 unklar ist; das Zeichen < soli loc. cit. als Relationszeichen der BoOLEschen Algebra K aufgefal3t werden, nicht als Zeichen im Sinne der Definition 2 von McKINSEY, wie PARRY dies tut. Dal3 die hier vertretene Auffassung die richtige ist, geht auch aus den McKINSEYschen Beweisen seiner Theoreme 5 und 12 hervor, deren Formulierungen dieselbe Unklarheit anhaftet. Durch die Einfiihrung obiger Definition werden hier derartige Schwierig· keiten vermieden.
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[ (x -< z) -< {(x-< y) + (y-< z)}] E L. So mit geniigt die Matrix Axiom B6*. Es ist [y-< {(y·x') + x}] E L. Da die Matrix Axiom XII geniigt, hat sie die Eigenschaft $;_: (x-< Cx) E L, wodurch [y-< {C(y·x') + x}] E L, oder [y-< {(y-< x) + x}] E L. Die Matrix geniigt Axiom B7*. Es ist [{(x'·y') + x'}-< x'] E L, [x'-< {(x'·y') + x'}] E L, somit nach l;_ und ; [{C(x' ·y') + Cx'}-< Cx'] E L, also auch [C(x' ·y')-< Cx'] E L, [(Cx')'-< {C(x' ·y')}'] E L. Da NX sich in S2* schreiben laBt (MX')', geniigt die Matrix Axiom B8*. Mit "7;:, m1 und n 1 folgt, daB die Regeln I*-IV* (Teil I, § 8) nur von Theoremen, welchen die Matrix geniigt, zu Theoremen mit derselben Eigenschaft fiihren konnen. Aus der in § 25 gegebenen Charakterisierung von S2* folgt, daB die betrachtete Matrix eine S2*-Matrix ist. Gehen wir nun von einer normalen S2*-Matrix aus; sie hat die Eigenschaften a 1 -Z1 (§ 26), wenn man p < q durch (p-< q) E L definiert. a1 folgt a us J;_, m 1 und n 1 ; (31 und y 1 folgen a us der Giiltigkeit von XII und XIII in ff2 *. Nach L.a.L. 18.8 ist in S2 v C {M(X ·X')}', somit gilt, dual, in S2* {N(X + X')}' CA. oder M(X ·X') CA. Die Matrix ist eine S2*-Matrix; also C(x · x') E L. a 1 - k1 macht die Matrix zu einer BooLEschen Algebra; so mit (x · x') < n, n < (x · x'). Mit Z1 folgt nun Cn E L, also 01 (§ 26). Aus x < (x·e) und der Identitat von e und n' (nach Z1 ) folgt x < (x·n'), wahrend auch (x·n')
Eigenschaft. Die drei Klassen der S2*-Strukturen, der normalen S2*-Matrices und der mit S2* korrespondierenden normalen Matrices, welche den Axiomen I, III, V, VI, VIII-XIII von S2* (§ 25) genugen, fallen zusammen. Beweis. Wegen der vorigen Eigenschaft brauchen wir nur noch zu zeigen, daB jede S2*-Struktur eine normale S2*-Matrix, jede normale S2*-Matrix eine mit S2* korrespondierende normale Matrix ist, welche den Axiomen I, III, V, VI, VIII-XIII von S2* geniigt. Aus Definition und Bemerkung von§ 26 und dem ersten Teile der vorangehenden Eigenschaft geht hervor, daB eine S2*-Struktur eine normale S2*-Matrix ist, wenn aus y E L, (x-< y) E L folgt x E L. Aus y E Lund (x-< y) E L folgt schon x < y, x < (y·x), wahrend auch gilt (y·x) < x. Somit sind, nach lv (y·x) und x identisch gleich. Aber mit a 1 folgt (y · x) E L. Dadurch auch x E L. DaB jede normale S2*-Matrix eine mit S2* korrespondierende normale Matrix ist, welche den Axiomen I, III, V, VI, VIII-XIII von S2* geniigt, folgt sofort aus den Definitionen.
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Bemerkungen iiber S2*-Strukturen. 1. n E L. Denn nach a,_ und e1 (§ 26) ist x < x oder (x-< x) E L, n < (x-< x) oder [n-< (x-< x)] E L, somit nach n 1 (§ 27) auch n E L. 2. non e E L. Denn sonst folgte fiir jedes x der Struktur aus x < e oder (x -< e) E L (§ 26, h1) und e E L, wegen n 1 (§ 27), auch x E L; L ware keine echte Teilklasse. § 28. Definition. Eine charakteristische S2*-Matrix ist eine mit dem Kalkiil S2* korrespondierende Matrix, welche allen und nur allen Formeln m: CA. von S2* geniigt, die (negierende) Theoreme von S2* sind. Eigenschaft. Es gibt eine normale charakteristische S2*-Matrix U 0 • (Nach § 27 ist eine derartige Matrix eine S2*-Struktur). Beweis. Wir wenden wieder das Verfahren von LINDENBAUM an. 45 ) Wir betrachten eine Matrix U, welche alle Kalkiilformeln von &2*, unter Ersetzung von M durch C, von A. durch n, von v durch e, enthalt, wahrend die ausgezeichnete Klasse L der Matrix die Klasse aller Formeln m: von S2* sei, fiir die m: C A. ein Theorem von S2* darstellt, wieder mit Ersetzung von M durch C, von A. durch n, von v durch e in m:. Die Relationszeichen-<, +, ·, ', M, C sind bzw. in die Operationszeichen-<, +, ·, ', C, C der Matrix iibergegangen, A. in das Nullelement n, v in das Einheitselement e, jedes Zeichen fiir eine elementare Kalkiilformel in sich selbst. Es ist sofort klar, daB diese Matrix eine charakteristische S2*-Matrix ist; auBerdem geniigt sie den Regeln h;_, ~. g;_, m 1 und n 1 von § 27. Dagegen geniigt die Matrix Regel von § 27 nicht. Denn in S2* sind (X -
r;
r;
=
§ 28bis. Berner kung. S2* liif3t sich charakterisieren als eine BooLEsche Algebra in bezug auf -<, +, ·, ' (im Sinne von § 25), welche XII und XIII von§ 25, und die Regeln I*-IV* erfullt (siehe Teil I, § 8), daneben die Siehe J. C. C. McKINSEY, Journal of symb. logic 6, 122 (1941). Vergleiche den vorletzten Absatz von § 22. 47 } 21 und 5B seien "gleich", falls (21-< 5B) E L und (5B -< 21) E L, d.h. falls (21-< 5B) C A und (5B-< 21) C A negierende Theoreme von 82* sind. 45 ) 46 )
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zugehorigen Definitionen von Teil I, § 10, und das Schema
(~CW)CA.
~ C 21:
H
(Teil I, § 13). [Beim Vergleich mit der in § 25 gegebenen Charakterisierung von S2* folgt, daB B6*-B8* iiberfltissig, und somit aus den tibrigen Annahmen ableitbar sind]. DaB die eingeschrankten Annahmen schon gentigen, laBt sich wie folgt einsehen. Wir gehen von einem System, das nur diesen Annahmen gentigt, a us, und nennen dies schon S2*. Auf dieses System S2* tibertragen wir die Definitionen von §§ 27 und 28. Die Eigenschaft des vorigen Par. giltftir ein S2* wie hier eingefiihrt; das Beweisverfahren bleibt dassel be. Es sei U* eine normale charakteristische 82*-Matrix (im eingeschrankten Sinne) mit ausgezeichneter Klasse L*. Dann zeigen Betrachtungen wie in den ersten Absatzen des Beweises der ersten Eigenschaft von § 27, daB [(x < z) < {(x < y) + (y < z)}] E L*, [y < {(y < x) + x}] E L, [(Cx')' < < {C(x' ·y')}'] E L*; da die Matrix charakteristisch ist, sind somit B6*, B7* und B8* negierende Theoreme von S2*. Damit ist, metamathematisch, bewiesen, daB die hier und in§ 25 gegebenen Charakterisierungen von S2* vollig aequivalent sind. § 29. Eigenschaft. Zu einer S2*-Struktur V mogen die Elemente av ... , ak.gehoren. Dann gibt es eine kleinste BooLEsche Teilalgebra U (mit den Operationen +, · und ') von V, welche die Elemente Cn, av ... , ak enthiilt, und daneben eine S2*-Struktur U0 , welche hochstens 22k+ 1 Elemente enthiilt, und als BooLEsche Algebra (mit den Operationen [E), EJ, []) betrachtet ein isomorphes Bild von U ist (mit Cn und den a,_, ... , ak mogen dabei in U 0 bzw. b0 , b1 , •.. , bk korrespondieren; die Operationen in der Strulctur U 0 seien durch G , L:J , rl, @], 8] , die Relationen durch 1<1 , G angedeutet); auf3erdem sind folgende Bedingungen erfullt: 1 o fur p E U, Cp E U und Cp identisch gleich einem mittels der Operationen +, . , ' in U aus·Cn uiul den a,_, ... , ak hervorgehenden Element, isomorphes Bild von p ist in U0 @) identisch gleich einem in gleicher Weise mittels der korrespondierenden Operationen [t], EJ, [] aus den korrespondie1·enden b0 , b1 , .•. , bk hervorgehenden Element; 2° fur p E U und das isomorphe Bild E U 0 folgt aus pEL auch E L 0 , und u"mgekehrt (hierbei deuten L und L 0 die ausgezeichneten Teilklassen von V bzw. U0 an). Beweis. Die Existenz einer BooLEschen Teilalgebra U, welche Cn, a,_, ... , ak enthalt, ist sofort ldar; U enthalt hochstens 22k+l (paarweise nicht identisch gleiche) Elemente; diese sind Summen von Produkten Cn. a 1 ••• ak, Cn. a 1 ••. a~, ... , (Cn)'. a{ ... a~; n E U, e E U. Die Axiome a 1 - l1 von § 26 sind im System U erftillt. . Das Element x E U heiBe vom Element y E U uberdeckt, falls x < y und Cy E U; jedes Element x E U wird vom Einheitselement e tiberdeckt; denn Ce < e (§ 26, Axiom h1 ), e < Ce (§ 26, Axiom {31 ), also e = Ce (§ 26, Axiom ~), Ce E U. UmfaBt {x1, x2, ... , xn} alle (paarweise nicht identisch gleichen)
p
p
p
p
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Elemente von U, welche x uberdecken, so definieren wir. Cux durch das Produkt Cx1 ••• Cxm; also ist immer Cux E U. Fur jedes x E U gilt (in V) Cx < Cux. Denn wird x uberdeckt durch die paarweise nicht identisch gleichen Elemente xv ... , x,; von U, so ist Cux definiert durch Cxl ... Cxm, wahrend a us X < xl, ... ' X < Xm folgt Cx < (Cx1 ••• Cxm). 48) Aus x E U, Cx E U folgt sogar, daB Cux und Cx identisch gleich sind. Dennin diesem Fall gehort x unter den Elementen (xi) von U, welche x uberdecken, wodurch Cux < Cx. Die echte ausgezeichnete Teilklasse Lu von U soli aus den zu L gehorigen Elementen von U bestehen; sie enthalt e nicht (§ 27 Ende). Zu zeigen ist, daB U eine S2*-Struktur ist. Sie genugt schon 8.:1- l 1 von § 26. Da Lu = L · U, und L ein multiplikatives Ideal von V ist, folgt sofort Lu multiplikatives Ideal von U; das ist a 1 von § 26. Mit Cx < Cux folgt sofort {31 von § 26 fur U. Aus X E u, uberdeckt durch moglichst viele (paarweise nicht identisch gleiche) Elemente xl, ... 'Xm (von U); y E U, uberdeckt durch moglichst viele Yv ... y 1 (von U), folgt x + y uberdeckt durch jede Summe X;.+ y1• (j1 = l, ... , m; j 2 = l, ... , l); denn C (xi,+ Yi,) = Cxi, + Cyi, E U. Wird X+ y uberdeckt durch moglichst viele ~ •... 'Zp (von U), so ist X< z,, y < Z;, und Cz;, E U; zu jedem z;, gibt es ein Paar (xi,, Yi,) mit Z;, = X;, = Yi,. Das liefert Cux + Cuy = {Cx1 • Cx2 ••• Cxm} + {Cy1 • Cy2 ••• Cy1} = {Cx1 + + Cy1 } • {Cx1 + Cy2 } ••• {Cx1 + Cy1} • {Cx2 + Cy1 } ••• {Cxm + Cy1} = C (x1 + + Y1) ••. C (xm + y 1) = Cu (x + y); das ist Axiom y1 von § 26 in U. DanE U, Cn E U, sind Cun und Cn identisch gleich (wir bewiesen diese Folgerung fiir willkurliches x E U, Cx E U). Also nach ~1 von§ 26 Cun EL · U oder Lu · U erfullt Axiom ~1 . Aus Cux E Lu (mit x E U) folgt auch Cux E L. Wie abgeleitet, ist (in V) Cx < Cux, oder, nach der Bemerkung von § 26, {Cx < Cux} E L. Da die S2*-Struktur V auch eine mit S2* korrespondierende normale Matrix ist (§ 27), folgt Cx E L. Dadurch liefert e1 von§ 26 x identisch gleich n. Somit erfullt U das Axiom e1 ebenfalls. U ist eine S2*-Struktur. Nun andern wir die Benennungen: U0 , mit den Elementen bi (j = = 0, l, ... , k), den Operationen I.!J, 0, [], @], B] und den Relationen EL El sei die S2*-Struktur U mit den Elementen a,i (j = 0, l, ... , k), den Operationen +, ·, ', Cu, < u 49 ) und den Relationen <, =. Die Struktur U 0 erfullt dann alle Bedingungen der Eigenschaft. § 30. Definition. Teilformel einer Kalkulformel 2{ in S2* ist jede Formel von S2*, welche bei der Herstellung von 2{ auftritt. 50 ) 48 ) Aus x < x 1 folgt, mit § 26, Axiom l1 , die identische Gleichheit von x + x 1 und x 1 • Dadurch liefert y1 (§ 26) (Cx + Cx1 ) < Cx1 , wodurch Cx < Cx1 • 49 ) x uY ist eine andere Schreibweise von Cu (x.y'). Vergl. die Bemerkung in § 26. 50 ) Die Formeln seien mittels folgender Relationszeichen ausgerlriickt: +, ·,',C.
<
8
Eigenschaft. Ist 2{ eine Kalkulformel von S2*, welche k Teilformeln enthalt, so ist 2{ C A. dann und nur dann Theorem von S2*, falls jede normale S2*-Matrix mit nicht mehr als 2 2k+ 1 Elementen, 91 CA. genugt. Beweis. Ist 2{ CA. nicht Theorem von S2*, so geniigt die nach § 28 existierende, normale charakteristische S2*-Matrix T2f C). nicht; diese Matrix ist, nach § 27, eine 82*-Struktur. Die in 2{ auftretenden elementaren Kalkiilformeln seien Av ... , A,. Bei Ersetzung von Av ... , A, durch geschickt gewahlte Elemente von T, bzw. av ... , a, (bei ev. Auftreten von A., Punter den elementaren Teilformeln von 2{ seien diese bzw. durch n und e von T ersetzt), geht 2{ in ein Element von T iiber, das nicht zu der ausgezeichneten Klasse L von T gehort. Sind [,+1, ... , [k die von den A 1 , . . . , A, verschiedenen Teilformeln von 2{, wobei [k mit 2{ zusammenfallen soH, so deuten wir die durch die Ersetzungen a us [,+ 1 , ••• , [k hervorgehenden Elemente vonTbzw. durch a,+l, ... ,ak an. Somit non akEL. Nach §§ 29 u. 27 existiert nun eine endliche normale S2*-Matrix U, mit hochstens 22k+ 1 Elementen, zu welcher Elemente b0 , bv ... , bk gehoren, die folgende Bedingungen erfiillen: 51 ) a. aus a; E L (j == 0, 1, ... , k) folgt b1 E L 0 (L 0 ausgezeichnete Teilklasse von U0), und umgekehrt; (3. a us a;, = a1, folgt bi, G b;,, und umgekehrt; y. a us a;, + a;, = a;, oder a;,· a 1, = a;, folgt b;, [!j b;, G b;, bzw. b;, fl b1, G b1, , und umgekehrt ; lJ. aus Ca; = a1 folgt @] b; B b1• Ersetzen wir nun die elementaren Kalkiilformeln Av ... , A, in 2{ bzw. durch bv ... , b,. Dann folgt a us {3, y und lJ, daB dabei die Teilformeln [r+v ... , [k bzw. in br+l• ... , bk iibergehen. [k, welche mit 2r zusammenfallt, wird somit in bk iibergefiihrt, welches, nach a, nicht zu L 0 gehort. Die endliche normale S2*-Matrix U0 geniigt 91 CA. nicht. Ist dagegen 2{ CA. Theorem, so geniigen alle normalen S2*-Matrices, also insbes. diejenigen, welche hochstens 22k+ 1 Elemente enthalten, der Formel 2{ C A.. Sofort ist deutlich, daf3 diese Eigenschaft ein Entscheidungsverfahren fur S2* liefert. Das negierende System S4*.
§ 31. Da in S4* (§§ 13, 10) die Axiome A8* und B8* sich aus dem weiteren Teil des Systems ableiten lassen, 52 ) folgt sofort a us § 28bis: S4* laf3t sick charakterisieren wie 82* in § 28bis unter Hinzufugung des Axioms C 10*. [M(MX) < MX] CA.. Definition. Eine S4*-Struktur sei eine S2*-Struktur (§ 26), welche auBerdem folgendes Axiom erfiillt:
C1 · C(Cx) <
Cx.
Die De:finitionen fiir folgende Begriffe: mit einem Kalkul M* korrespon51 ) Durch Identifikation von Cn mit a,0 laufen die unter a bis !5 zugelassen en Indiceswerte von Null bis k. - a 0 oder Cn e L, b0 e £ 0 • 52 ) Vergl. LEWIS a. LANGFORD, Symbolic logic (1932}, S. 501, Absatz 1.
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dierende Matrices; S 4*- Matrices; normale m-it S4 * kor1·espondierende Matrices; charakteristische S4*-Matrices liegen auf der Hand (vergl. §§ 27, 28). Aus den Eigenschaften von § 27 und den hier angedeuteten Definitionen folgt sofort : Eigenschaft. Die drei Klassen der S4*-Strukturen, der normalen S4*Matrices und der mit S4* korrespondierenden normalen Matrices, welche den Axiomen I, III, V, VI, VIII-XIII von § 25 und dem Axiom 0 10* genugen, fallen zusammen. Wie die Eigenschaft von § 28 laBt sich beweisen die Eigenschaft: Es gibt eine normale charakteristische S4*-Matrix. (Eine derartige Matrix ist eine S4*-Struktur). Eigenschaft: Wortlaut wie der Eigenschaft von§ 29 mit S4* statt S2*. Auch hier ist der Beweis fast wortlich derselbe wie der des Analogous fiir S2*. Nur soil noch abgeleitet werden: Cu(Cux) < Cux. Sind {x1 , .•. , xk} alle (paarweise nicht gleiche) Elemente von U, welche x iiberdecken, so ist Cux das Produkt Cxl ... Cxk; es ist X; E u, Cx; E U, und (wegen Axiom cl mit {J1) C (Cx;) = Cx;, also auch C (Cx;) E U (j = l, ... , k). Cux wird von jedem Cx; iiberdeckt; somit Cu (Cux) < Cux. Eigenschaft: Wortlaut wie der Eigenschaft von§ 30 mit S4* statt S2*. Beweis wieder fast wortlich wie der des korrespondierenden Satzes von § 30. Die letzte Eigenschaft liefert ein Entscheidungsverfahren fur S4*. Das negierende System S5*. § 32. Definition. Das System S5* sei ein System S2*, welches das Axiom 0 ll *. [MX < N(MX)] CA. erfiillt. 53) Da in S5* die Axiome A8* und 0 10* sich aus dem weiteren Teil des Systems ableiten lassen, 54 ) folgt, da[J das System S5* auch ein System S4* ist; 55 ) aus der Definition folgt weiter, da[J S5* sick charakterisieren lii{Jt wie S2* in § 28bis unter Hinzufugung des Axioms 0 l l *. Definition. Eine S5*-Struktur sei eine S2*-Struktur (§ 26), welche auBerdem folgendes Axiom erfiillt: "h· Cx < I(Cx), wobei Ix definiert als Abkiirzung von {C(x')}'. 56 ) Die Definitionen fiir folgende Begriffe: mit einem Kalkul S5* korrespondierende Matrices; S5*-Matrices; normale mit S 5* korrespondierende Matrices; charakteristische S5*-Matrices liegen auf der Hand (vergl. §§ 27, 28).
<
<
53 ) In S2* sind [M(NX) NX] CA. und [MX N(MX)] CA. auseinander ableitbar. 54 ) Vergl. LEWIS a. LANGFORD, loc. cit. S. 498, (12) und 501. 55 ) Die Umkehrung gilt nicht. Vergl. L. a. L., loc. cit. S. 498, (9). 56 ) Da aus Axiom {31 folgt (Cx)' < C{(Cx)'}, also I(Cx) < Cx, la.l3t sich Axiom "h auch schreiben: Cx = I(Cx).
10 Aus den Eigenschaften von§ 27 und den eben angegebenen Definitionen folgt sofort: Eigenschaft. Die drei Klassen der 8"5*-Strukturen, der normalen S5*-Matrices und der mit S5* korrespondierenden normalen Matrices, welche den Axiomen I, III, V, VI, VIII-XIII von§ 25 und dem Axiom 0 ll * genugen, fallen zusammen. Wie die Eigenschaft von § 28 laBt sich beweisen die Eigenschaft: Es gibt eine normale charakteristische S5*-Matrix. Eigenschaft: Wortla~tt wie der Eigenschaft von§ 29 mit S5* statt S2*. Auch hier ist der Beweis fast wortlich derselbe wie der des Analogons. Nur soll noch abgeleitet werden: Cux = lu(Cux), oder Cux = [Cu{(Cux)'}]'. Sind {xv ... , xk} alle Elemente von U, welche x iiberdecken, so ist Cux das Produkt (Cx1) ••• (Cxk); es ist xi E U, Cxi E U. Man hat [Cu{(Cux)'}]' = = [Cu{(Cx1 . . . Cxk)'}]' = [Cu{(Cx1 )' + ... + (Cxk)'}]' = (Axiom y1 in U) [Cu{(Cx1 )'} + ... + Cu{(Cxk)'}]'. Axiom 'Y}1 liefert (Cxi)' = C{(Cxi)'}. Aus Cxi E U folgt (Cxi)' E U, somit C{(Cxi)'} E U. Wir sahen im Beweise von § 29, daB aus x E U, Cx E U folgt Cux = Cx. Das liefert hier Cu{(Cxi)'} = C {(Cx;)'} = (Cxi)', wodurch [Cu{(Cx1 )'} + ... + Cu{(Cxk)'}]' = [(Cx1 )' + ... . . . + (Cxk)']' = Cux. Aus den vorangehenden identischen Gleichheiten folgt nun [Cu{(Cux)'}]' = Cux, somit 'Yj1 in U. 57 ) Eigenschaft: Wortlaut wie der Eigenschaft von§ 30 mit S5* statt S2*. Beweis fast wortlich wie in § 30. Die letzte Eigenschaft liefert ein Entscheidungsverfahren fur S5*. Das negierende System S2* erganzt mit Axiom 0 13*. N(NX) CA.. 58 ) § 33. Wir wollen hier das negierende System S2* erganzt mit Axiom 0 13* S6* nennen. Die zugehorige S6*-Struktur sei dann eine S2*-Struktur (§ 26), welche folgendes Axiom erfiillt: 01 • I(Ix) E L. Nun lassen sich einfiihren: mit einem Kalkiil S6* korrespondierende Matrices; &>*-Matrices; normale mit S6* korrespondierende Matrices; . charakteristische S6*-Matrices. Die Eigenschaften von §§ 27 und 28 sind auf S6* iibertragbar, ebenso wie die Eigenschaften von § 29. Der Beweis der letzten Ubertragung fordert die Ableitung von lu(lux) E Lu fiir jedes x E U. 57 ) Aus den Par. 14, 15bis (insbes. Axiom a 2 und Schema .d*) und 32 geht hervor, dal3 85* sich charakterisieren liil3t als System 84* ergiinzt mit dem Axiom MX C N(MX). Dies ermoglicht eine Losung des Entscheidungsproblems fiir 85* liings den in Teilll fiir K*(m) == 84* gefolgten Linien. Par. 22 soH dazu in analoger
Weise ergiinzt werden wie oben im Texte der Par. 29. 58 ) Vergl. L. a. L., S. 497, Axiom C 13.
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Fur ein solches x gilt (in V) Cx < Cux (siehe § 29), also auch Cx' < Cux' oder lux< Ix. Mit Axiom y1 (§ 26) folgt (in V) I(y·z) = (Iy)·(Iz), wodurch mit Axiom "4 (§ 26) I (lux) < I (Ix). Weiter folgt lu(lux) < I (lux) < I (Ix); somit lu(lux)~= lu(lux)·l(lx). Nach Axiom ()1 gilt I(lx) E L; somit folgt mit Axiom a1 (§ 26) lu (lux) E L · U oder Lu. Die "Obertragung der Eigenschaft von § 30 auf S6* liefert keine Muhe; aie fuhrt zu einem Entscheidungsverfahren fur S6*. Die affirmativen Systeme S2, S4, S5; S2 erganzt mit 0 13. v C M(MX). § 34. Die vorangehenden Betrachtungen dieses Teiles III fuhren durch duale Umsetzung 59 ) zu S2-, S4-, S5- und S6-Strukturen, zu Matrices fur die obengenannten affirmativen Kalkiile und zu Entscheidungsverfahren fur diese Kalkiile, welche, wegen S2 S2*, S4 S4*, S5 _ S5* und S6 S6*, auch Entscheidungsverfahren bzw. fur S2*, S4*, S5*, S6* sind.
=
=
=
59 ) Ein Kalkill S5 ist somit ein Kalkiil S2, in welchem das Axiom C 11 in einer der Formen: v C [M(NX) NX], v C [MX N(MX)] gilt.
<
<