Calculs de résidus toriques

C. R. Acad. Sci. Paris, t. 327, Shie I, p. 639-644, Analyse complexe/Complex Analysis (Ghomhtrie algt?brique/Algebraic Geometry)

Calculs Hti

toriques

ZHANG

Laboratoire (ReCu

de rhsidus

1998

de mathkmatiques

le 22 septembre

RCsumC.

1997,

pures, accept6

Universitk aprbs

Bordeaux r6vision

1, 33405

le 19 janvier

Talence,

France

1998)

&ant donnt n+ 1 polyn8mesde Laurentfl , . , fn, Q. avecsuppfk = W,, on calcule la sommecompli?tedesr&idus de Q relativementau systkme(fl , . , fn), aux points du sous-ensemble V*(f) du tore complexeT” oh J; = . . = fn = 0 (l’ensemble V*(f) &ant supposC de dimensionz&o). 0 AcadCmiedesScienceslElsevier,Paris Computation

of to&

residues

Abstract.

Given n + 1 Laurent polynomials fi,. . , f,,, Q, with supp6 = Wk, one computes the complete sum of residues of Q, with respect to ( fl, . . . , fit), at all points of the subset V’ (f) uf the complex torus T” where fl = . . = fn = 0 (such a set V’ (f) is assumed to be zero-dimensional). 0 Academicdes SciencesElsevier,Paris

Abridged

English

Version

Given n Laurent polynomials in n variables, f~, . . . , fn with respective exact supports Wi C Z” satisfying: R” \ (0) = lj S(Wi) i=l

(where S({aI,. . . , 6%~))is the union of the relative interiors of the cones --al, . . . , aj - aj-1, aj aj - a~)), we introduce, for any monomial zb := ,$I . . . z>, the total sum of toric residues aj+1,..., iT(uj

,\...A

!G &I

’

where r, is a cycle made of disjoints n cycles {C E T” : Ifi = E,1 5 i 5 n} about each common zero of the f3 in T”, with the orientation such that r\TZ1 arg fj > 0 on Fe (see [6], chapitre 6). We show that for any b E Z”, I&(f) is a Laurent polynomial, homogeneous of degree -n in the coefficients of fI , . . , fn. Moreover, we give a closed formula for such a global sum of toric residues, all computations being made on the toric variety X := Spec [z+,

a;j E W;, i = 1,. . . , n]

whose trace on the torus is {X~T~;x~,-l,j=l Note pr&entt!e

,“‘,

N - n),

par Pierre LELONG.

0764~4442/98/03270639 0 AcadCmie desSciencesElsevier, Paris

639

H. Zhang

for N = Cy=“=, #Wi and convenient Bj E Z". We deduce from our formula the vanishing of Ib when b is a point in the sum of the convex closed enveloppes Aj of the Wj which is not a vertex of A, +.. . + A,. We also give a formula for the complete sum of residues when Cb is replaced by $, where g is a Laurent polynomial which does not vanisln on T” fl { fi = . . . = fn = 0). We have, under the same geometric hypothesis on the Wi, i = 1,. . . ,7~, xb(f,g)

=

2, b

where Pb and Qb are Laurent polynomials in the coefficients of fi, . . . , fn (homogeneous with respective degrees -n and 0) and homogeneous polynomials in the coefficients of g (with respective degrees M(Al,. . . , A,) - 1 and M(Al, . . , A,), where M(Al,. . . , A,) denotes the Minkowski mixed volume of the polyedron Aj).

Introduction Soit f = (fi,. . . , fn) un n-uplet de fonctions holomorphes de 12 variables dans un voisinage D d’un point (Y de C”. On suppose que a est le seul zero commun aux fj dans D. Soit h une fonction holomorphe dans D. On rappelle que le residu local de Grothendieck de h en a (relativement a l’application holomorphe f) est note et defini par :

oti FE est, pour un choix convenable de t E (R+*)n,

le ,n-cycle

orient6 selon la regle habituelle, soit A,“=, arg fj > 0 sur I’, (v&r [6], chapitre 6). Cette notion se globalise dans le cadre torique comme suit : lorsque les donnees sont cette fois des polynomes de Laurent en n variables, fl, . . . , fn, defimssant une variete discrete (notee cette fois V* (f)) dans T” := (C”)“, et une fraction rationnelle en n. variables R dont le lieu polaire darts T” ne rencontre pas V* (f ), on peut definir ce que nous conviendrons d’appeler le rt%idu torique global (2(1/f),

R(<)dh

:=

Convenons d’abord de quelques definitions. Nous associerons a tout sous ensemble fini W = a~} de R” les objets suivants : A(W) sera l’enveloppe convexe de W, E(W) (resp. {%.., E’(W)) l’ensemble des sommets (resp. des vecteurs directeurs des a&es) de A(W). Enfin, on notera par S(W) l’union des interieurs relatifs des duaux des cones gal,, e = 1, . . . , &I, oti gar est le cone engendre par les vecteurs ae - at!, P # C. Soient Wi = {Ue}e~~,, 1 < i < 12, n sous-ensembles finis de Z”, indexes par des ensembles Ii disjoints, et d’enveloppes convexes ferrnees respectives A,, . . . , A,. Soient fl, . . . , fn n polynomes de Laurent en n variables, de supports respectifs exactement WI, . . . : W,, soit fi(Z) = C &Zae , n
Calculs

DEFINITION.

-

de rCsidus toriques

Le systeme (IV,, . . . , Wn) est dit rkduit si et seulement si R” \ (0) = UT=1 S(Wi).

Cette hypothbse implique en particulier que tout systbme (de polynomes de Laurent de supports respectifs les Wi, satisfait aux hypotheses de D.N. Bernstein (les adherences Di des ensembles T” n {fi = 0} d ans toute variete torique associee a un &entail compatible avec les polybdres Ai satisfont II1 n .. n D, c T’“, voir [3] et [7]). Sous l’hypothese que WI: . . . , IV, constituent un systeme rCduit, on donnera (au theoreme 1) une formule close pour

d’ou il ressortira, comme dans le cas n = 1, qu’il s’agit d’un polynome de Laurent homogene de degre -n en les coefficients des fi ; on donnera aussi des majorations concernant les degres partiels de ce polynome en les diverses variables ; ces majorations s’apparentent a celles obtenues dans [4]. Signalons qu’un autre jeu d’hypotheses geometriques, different de celui propose ici, a CtC introduit plus recemment dans [5] ; il y est aussi couple avec un algorithme de calcul pour les sommes &. Comme premiere application de ces resultats, on peut obtenir, lorsque les W, forment un systeme reduit, une expression combinatoire pour le volume mixte M( AI, . . . , A,) qui represente dans ce cas (d’apres un theoreme classique de Bernstein-Kouchnirenko [3] ) le cardinal de V*(f) (les multiplicites Ctant prises en compte), soit la somme complete des residus toriques du jacobien de (ft, . . . , fn). Pour d’autres applications (voir [2], [9]), on exprimera aussi (toujours dans le cas rkduit) la somme des residus de Q aux points de V*(f) relativement aux systemes f”+’ := (fr’+‘, . . . , f,“-+‘), m E N”. Ce type de resultat a inspire certains developpements ulterieurs dans [5] (voir en particulier le lemme 6 de cette reference). On Cnoncera Cgalement un re:sultat (corollaire 1 ci-apres) lorsque Q est remplace par Q/g, ou Q et 9 sont deux polynomes de Laurent tels que T” n { 9 = 0} n V” (f) = 0. 1. Le rksultat

principal

Afin de ne pas alourdir notre &once, precisons tout d’abord quelques notations de nature geometrique. l&ant donne n ensembles W; = {ae}eE1, c Z”, i = 1,. . . , n, oti les ensembles d’indtces II, . . . , I, realisent une partition de { 1, . . . , N} en des ensembles disjoints condcutifs, S(Wl, . . . , Wn) designe l’ensemble des sommets de A(kVI) + . . . + A(W,), et & = E(kVr, . . . , Wn) le sous-ensemble de II x . . . x I, constitue des n-uplets (e,, . . . , C,) tels que la somme des ae, E IV, correspondants soit un Clement de S( WI, . . . , Wn). Enfin, pou:r tout fdans & et pour tout b E Z”, on designe par A,-(b) le sous-ensemble des NN constitue des ClCments (X,, . . . , X,) tels que b= 2

Ue, + 2

i=l

i=l

C

Ae(Ue, - ae)

BEI, E#l,

avec aussi At, = C At, i = 1,. . . ,n. et1, P#U, nous pouvons Cnoncer le :

Ces points &ant precids, THBORBME 1. - Soient N 2 n deux entiers strictement positifs et I1 u I2 u . . . u I, une partition de (1,. . . , N} en n sous-ensemblescons&x&ifs disjoints. Soit ‘Wi = {~e}~~~,, 1 5 i < n, un sy.&me rkduit et B1, . . , , BN-, N - n flkments de ZN tels que : Spec (C[X~~, ! = 1,. . . , N]) n T”

= {X E TN ; Pj(X)

= XBl - 1 = 0, j = 1,. . . , N - n}.

(2) 641

H. Zhang

Soient en&t fi, 1 5 i 5 n, n polynbmes de Laurent de supports respectifs exactement WI,. . . , W,, de la forme :

fi(z) = C&P, EEI,

1 < i 5 n,

et Li, 1 5 i 5 n, les formes lineaires sur CN x -

Li(X1,.

. . ,xN)

1 x<&[, fiEI,

i=

qui leur correspondent. Alors, les classesd’homologie darts HN(T~ y = Tt,R : = {x

E TN;

I,...,

n

\ {Ll . . . L, = 0)) des cycles

= Ek, XBj = Rj, 1 5 k _< n, 1 2 j 5 N - n},

ILk(

Y(e1’-‘8n) = +&“.“en) = {ILk(

= Ek, lxtl = &, 1 < k 5 n, 1 < t _
(02 c ~10, CXJ[~,6, R ~10, KI[~+ et l’on a : bl =

~z[y&v..>~n)]

c

(3)

7

(e,,...,e,)EIlx...xI, oti les M,- sont des entiers relatifs ne d&pendant que des Wi et du choix des Bj. De plus, (1) les fi dejinissentdes zeros communsisolesdans T” et, pour b E Z”, la sommecomplete des residus zb

:=

@(l/f),

CbWr-

est un polynome de Laurent homogtne de degre -n a coejkients dans Z en les coefJicients des fi

(4) oi le signe f ne depend que du choix des vecteurs Bj, j == 1, . . . , N - n, introduits darts (2), et les Ikf~ sont les entiers introduits dans (3). (2) Si, pour m E N”, on pose

2:-)

:= @(l/f”+‘),

on a, pour tout choix de ([I,. . . , e,) dans II

x

.. .

cbdC)T,, x

I,,

(3) La formule (4) induit des majorations explicites pour les degres partiels de &, par rapport aux coefJicients des fj. Esquissede demonstration. - Pour l’existence des Bj associCs B la variCt~ torique Spec (C[z9,

1,. . . , N]), on se reportera 2 [7], section 1.3. En ce qui conceme la premibre affirmation, le fait que les N-formes mkromorphes dans CN : W(el,...,e,) :=

n dLI,

A-

k=l

642

Lk

N A t=l t#el,....en

2,

(a,,...,&)

EIl

x *.. x I,

e= on utilise

Calculs

de rbidus

toriques

induisent (vair [l], p. 130, 131, theoremes 19.2 et 19.3) un systeme dans HN(TN \ {LI . . . L, = 0)) qui est dual du systeme que forment les classes [y(el,.,.lsn)] des cycles y(ell,.,>en) dans HN(T“’ \ {Lt . . ‘L, = 0)). En particulier, la classe d’homologie [r] de y dans Hjv(TN \ {L1 s+. L, = 0)) se decompose sous la forme :

oti les nombres nil,, 7 = (J?,, . . . ,&) E II x . . . x I,, sont des entiers relatifs. En utilisant les deformations Xe F+ &Xe, on voit que ces entiers sont indtpendants des coefficients & et ne dependent done que des supports WI, . . . , W, (ainsi Cventuellement que des Bj). Venons en maintenant au calcul de & ou des 2,(-) (c’est-a-dire les points (l), (2), (3) de l’enond). fitant donne CI = (al,. . . , a~) dans ZN tel que b = cj ~j;aj, on obtient via un changement de variables :

ou le signe f ne depend que du choix du systbme (Bj)llj<;N-n

et (5)

On represente alors le residu au second membre de (5) comme I’integrale X”

we(X) := n;=,

Lk(x)

de la forme meromorphe

n dXI,

nj^l;”

Akc1

pj(-c

(6)

xk

sur le N-cycle Fe,& = {x E TN, L’hypothbe

I&(X)1

= ek, [p,(X)\

= 6j,

1 < k 5 n, 1 5 j 2 N - n}.

faite sur les Wi (le systeme est reduit) implique {x E TN;

ILk(x)I

que les ensembles de la forme :

= fk, rj 5 IxBJI 5 Rj, 1 :; k < n, 1 5 j < N - n}

(oh E E [0, CXI[~,r, R E [0, c@-*, avec rj < Rj pour tout j) sont compacts. Si nous fixons de tels T et R, une application iteree de la formule de Stokes nous permet d’exprimer & comme N-n

‘ix

=

oti yJ est, a l’orientation {x E TN ; ILk(x)I

@+

c [X,-J

Jc{l

c ,,, N1,

(-1)N-n-e } #J& R.9

J

w,, YJ

p&s, le cycle = ck, 15 k 5 n; IXBJI = Rj, j E J; lXBJI = rj !j $ J}.

Sur chaque cycle ye, on developpe en serie geombtrique, de la man&e autorisee, le noyau singulier figurant dans la for-me w,. On remarque que tous les ye sont homologues (dans TN \ { L1 . . . L, = 0)) au cycle y dont la classe est decomposee dans la formule (3). On acheve les calculs en utilisant le fait 643

H. Zhang

(provenant encore de l’hypothese geometrique sur les supports) que seule subsiste du developpement complet l’expression figurant au second membre de (4). Lie calcul est long et relativement technique ; pour plus de details, on renvoie a [lo]. Remarque. - Sous les hypotheses du theorbme 1, on a I6 = 0 si b n’appartient

&

E(Wl,...

pas a l’union,

pour

, Wn). des ensembles

2i=lae, +e c bet--ae)N. i=l

PEI, C#l,

Ceci est en particulier le cas si b est un Clement de A := A, + . . . + A, qui n’est pas un point de S(W1,. . . , Wn), On trouve done dans ce cas particulier une version plus forte que celle qu’a propose Khovanskii [S] de la formule d’Euler-Jacobi. On peut aussi exprimer le residu global d’une fraction rationnelle, ce qui s’adre utile pour le Nullstellensatz effectif (voir [2], [9]). COROLLAIRE 1. - Suit IV; = {G~}~~~,, 1 < i < n, un s,yst.?mereduit constitue’ d’elements de Z”, d’enveloppes convexes fermees respectives A,, . . . , A,. Soit W,+, = {ar}~G~,,+, un sous-ensemble fini de Z” (on supposeles ensemblesd’indices deux a deux disjoints). Soit (f;), i = 1,. . , n, g, une collection de polynGmesde Laurent de supports respectifs I’esWi, i = 1, . . . , n + 1. On suppose

On suppose que fi, . . . , fn, g n’ont pas des zero commun dans T”. Alors, pour b E Z”, le residu torique global de la fraction rationnelle cb/g retativement a fl, . . . , fn s’tkrit sous la forme Pb/&b, 06 Pb et Qb sont des formes a coefticients rationnels en tous les coeficients des fi et de g. Plus precisement, en les coeficients des (fi)~
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