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Cycles hamiltoniens aléatoires et mesures d'occupation invariantes par une action de groupe
C. R. Acad, Sci. ProbabilitCslProbability
Paris,
t. 329,
Skrie
I, p. 883-886,
1999
Theory
Cycles hamiltoniens alkatoires et mesures d’occupation invariantes par une action de groupe Philippe
MARCHAL
Laboratoire cedex 05,
de probabilitds, France
(ReCu
le
13 juillet
RCsumC.
1999,
accept6
7599,
aprks
CNRS,
r&&ion
U mversit6 .
le 1”
octobre
Paris
VI,
4,
place
Jussieu,
75252
Paris
1999)
Soit X une chaipe de Markov in temps discret sur un ensemble fini E, partant d’un point donnC i. A chaque fois que X revient en i, la procCdure d’effacement des boucles construit un cycle simple (sans sous-cycle) contenant i. Soit T le premier temps en lequel ce cycle simple est hamiltonien, c’est-g-dire contient tous les CltZments de E. Nous caract&isons la loi jointe du cycle hamiltonien obtenu et de la mesure d’occupation au temps T, prouvant notamment que cette loi ne dCpend pas de i. De plus, supposons que les probabilitCs de transition p( . , . ) soient invariantes sous l’action d’un groupe G : pour tous 2, y E E et tout g E G, p(s, y) = p(gz, gy). Alors la loi de la mesure d’occupation au temps T est Cgalement invariante sous I’action de G. Cela gCn&alise un r&ultat de Pitman [5] portant sur les marches alCatoires sur un cercle. 0 1999 Academic des sciences&ditions scientifiques et mt%icales Elsevier SAS
Hamiltonian invariant
Abstract.
UMR
random under the
cycles and occupation action of a group
measures
Let X be an irreducible, discrete-time Markov chain on a finite set E, starting at some point i E E. At each return time to i, the loop-erasing procedure yields a random cycle which is simple (i.e. without subcycle) and contains i. Let T be the$rst time at which this random simple cycle is Hamiltonian, i.e. contains all the points of E. We determine the joint law of this Hamiltonian cycle and of the occupation measure at time T and prove that this law does not depend on i. Furthermore, suppose that that the transition probabilities p( . , .-) are invariant under the action of a group G: for all x, y E E and every g E G, p(x, y) = p(gx, g:y). Then the law of the occupation measure at T is also invariant under the action of G. This generalizes a result of Pitman [5] for random walks on the circle. 0 1999 Acadtmie des sciences&ditions scientifiques et mCdicales Elsevier SAS
1. Introduction Soit X une chaine de Markov 21 temps discret, irrCductible, sur un ensemble fini E. On peut lui associer une chaine de Markov 2 boucles effades, qui est la chdne associCeg valeurs trajectoires Note prbsentke par Paul 0764~4442/99/03290883 Tous droits rkservks.
DEHEUVELS.
0 1999 Acadkmie
des sciences&ditions
scientifiques
et mkdicales
Elsevier
SAS
883
P. Marchal
oti l’on efface les cycles a mesure qu’ils apparaissent [6]. L’etude des marches aleatoires a boucles effacees a connu ces demieres annees de nombreux developpements lies a l’algorithme de Wilson 161, qui les utilise pour construire des arbres couvrants aleatoires. On trouvera de nombreuses references dans Benjamini et al. [l]. Nous avons montre dans [4] que l’on pouvait aussi construire de cette man&e des cycles hamiltoniens (c’est-a-dire visitant exactement une fois chaque point de E) aleatoires. L’algorithme peut se d&ire simplement comme suit. On fait partir X d’un point donne i E E ; a chaque temps de retour en i, la marche a boucles effacees construit un cycle saris sous-cycle passant par i. Si ce cycle n’est pas hamiltonien, on l’efface et on continue ; sinon, on appelle H le cycle hamiltonien obtenu et l’on s’arrete. On designe par T le temps d’arret de l’algorithme. qu’on suppose presque surement fini. Le but de cette Note est de calculer la loi jointe de H et de la mesure d’occupation au temps T sous la loi F’i de la chaPne partant de i. Plus precistment, pour tout entier n et toute arete orientee (z, y), soit Ngy le nombre de passages de la chaine sur (z:, y) jusqu’au temps 71. Nous caracterisons dans le theoreme 2 la loi de (H, (N&)(,,,),Ez) sous $i. I1 apparai”t notamment que cette loi ne depend pas de 1:. Une autre application du theoreme 2 est la suivante : TH~ORBME 1. - Supposonsque les probabilitb de transition p( . , .) de X soient invariantes sous l’action d’un groupe G ope’rant sur E : pour tous 2, y E E et tout g E G, PC& YY)= p(gs, SY).
(1)
Alors la Zoi de (N&) Cz,yjEEZest invariante sous l’action de G : pour tout g E G,
(Cd ) (x, Y)
E E2)
e (N&,
(2, Y) 6 E”).
Par conskquent, la loi de la mesured’occupation au tempsT est elle aussiinvariante sousl’action de G. Pitman [S] avait montre que si l’on art&e une chaine de Markov simple sur un cercle au premier temps oti elle revient a son point de depart en ayant fait un tour complet, la loi de la mesure d’occupation est invariante par rotation. Ce resultat est Cvidemment un cas particulier du theoreme 1 ; reciproquement, l’idee de generaliser le resultat de Pitman en utilisant les marches aleatoires a boucles effacees ne semble pas tvidente. On trouvera d’autres tentatives de generalisation dans Evans-Pitman [2], mais ces generalisations ont une explication trajectorielle, ce qui ne semble pas Ctre le cas du theoreme 1.
2. Calcul
de la loi jointe
Notre preuve consiste essentiellement en une extension multidimensionnelle des resultats Cnonces dans [4]. Considerons un sous-ensembleU c E, notons par Tu le temps d’atteinte de U. Soit Au le chemin auto-evitant obtenu au temps TU apres effacement des boucles. Nous allons dans un premier temps determiner la loi jointe de Au et du nombre de passagesNTu pour toutes les at&es orientees (x:,Y/) E E2. Pour cela, nous associonsa chacune de ces a&es orientees (2, y) une variable formelle t,,, et nous definissons la valuation d’un chemin S = (aa, al, . . . , a,) comme le polynbme en les variables (kJ(z,?4)EE” :
884
Cycles hamiltoniens
alkatoires
Pour V c E, soit Mv la matrice indexke par (E - V) x (E - V) dont le coefficient en (2, y) est le moname p(z, y) tz,y, et soit M = MD. La matrice Id - M est inversible en tant que matrice g coefficients dans l’anneau des skies formelles en les variables (tz,y)(z,y)Ep. Nous avons d’abord : PROPOSITION 1. - Soit y = (ao, al,. . . . a,) tout k 5 m - 1, al, $ u. Alors
un chemin auto-e’vitant, 02 a0 = i, a, E U et pour
det(Id - M-+u)
tN” Z>Y l{A~=~l
=
det(Id _ Mu)
V(Y)-
(z,Y)EE2
Notons en effet vk = u U {ao, . . . arc-l}, 1 5 k 5 m et posons V. = U. La formule suivante dkcoule facilement d’une dkomposition en temps de demier passage(voir [3], section 3.1) :
(2)
oti G( ., .; U) est la fonction de Green pour la marche tuCe en Tu : G(j, j ; U) = 2
IE,
n=O
n
tz$
l{X,=j,
n
= [Id - Mu];;.
(=>y)EE2
Or pour tout k 5 m - 1, G(ak,‘Jk
; vk>
=
det[Id - Mv,u{~,}I = det[Id -
MG+~I det[Id - Mv~]
det[Id - Mvk]
(31
d’apr&s la formule de Cramer d’inversion des matrices. CombinC B (2), cela prouve la proposition 1. 0 Nous en dCduisonsla loi jointe de (H, (N.&)(,,y)EE~)
sous pi :
THBOREME 2. - Notons par C l’ensemble des cycles hamiltoniens et soit C f C. Alors
WCC>
6 rI t
det(Id - M) + CclEc v(O) ’
(x>Y)=’
(4)
En particulier, la loi jointe de (H, (N~,)(x,y)~~~) est indtfpendante du point de d&part i. Pour prouver ce rksultat, commengonspar introduire quelques dtfinitions et notations. On appellera excursion un chemin e = (ao, . . . , a,) tel que a0 = a, = i et pour tout 0 < j < n, aj # i. Soit E l’ensemble de toutes les excursions, Xc l’ensemble des excursions qui, aprks effacement des boucles, donnent le cycle hamiltonien C et ‘H = U ‘MC. Nous avons CEC
G II t2;y (
l{H=C}
(Z,Y)EE2
= 1
1 1-
c
eEE-7-I
1 4-Y). v(e) [email protected]
(5)
En effet, si H = C, la trajectoire jusqu’en T est une suite d’excursions dans I - X, suivie d’une excursion dans XC.
885
P. Marchal
D’autre part, si X part de i, on peut conditionner
par X1 et appliquer la proposition
1, ce qui donne
w(C) c 4-Y) = det (Id - tMlil) . 7EHc Or la fonction
generatrice
des chemins de i a i est donnee par : = det (Id - tA4ci))
1 l-
(6)
&F,
W(e) - &
&
C’ v(y)
det(Id
- M)
’
d’ob I’on tire, grace a (6), 1
1En combinant
C eEE-7-1
det (Id - A+)) w(e) = det(Id - M) + c w(C’)’
(7)
C’EC
(5), (6) et (7), on retrouve (4) et le theoreme est dtmontre.
0
Le theoreme 1 se deduit facilement du theoreme 2 : il suffit de remarquer que les quantites det(Id - M) et C u(C) sont invariantes sous l’action de G, d’apres l’hypothese (1). C’EC
RCf&ences bibliographiques [l] [2] [3] [4] [5] [6]
Benjamini I., Lyons R., Peres Y., Schramm O., Uniform spanning forests, (A paraitre). Evans S., Pitman .I., Stopped Markov chains with stationary occupation times, Probab. Th. Relat. Fields Lawler G., Loop-erased random walks, Volume in honor of Harry Kesten, (a paraitre). Marchal P., Loop-erased random walks, spanning trees and Hamiltonian cycles, Electronic Commun. Pitman J., Cyclically stationary Brownian local time processes, Probab. Th. Relat. Fields 106 (1996) Propp J., Wilson D., How to Get a Perfectly Random Sample From a Generic Markov Chain and Spanning Tree of a Directed Graph, J. Algorithms 27 (1998) 170-217.
886
109 (1997)
425433.
Probab. (a paraitre). 299-326. Generate a Random
Paris,
t. 329,
Skrie
I, p. 883-886,
1999
Theory
Cycles hamiltoniens alkatoires et mesures d’occupation invariantes par une action de groupe Philippe
MARCHAL
Laboratoire cedex 05,
de probabilitds, France
(ReCu
le
13 juillet
RCsumC.
1999,
accept6
7599,
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CNRS,
r&&ion
U mversit6 .
le 1”
octobre
Paris
VI,
4,
place
Jussieu,
75252
Paris
1999)
Soit X une chaipe de Markov in temps discret sur un ensemble fini E, partant d’un point donnC i. A chaque fois que X revient en i, la procCdure d’effacement des boucles construit un cycle simple (sans sous-cycle) contenant i. Soit T le premier temps en lequel ce cycle simple est hamiltonien, c’est-g-dire contient tous les CltZments de E. Nous caract&isons la loi jointe du cycle hamiltonien obtenu et de la mesure d’occupation au temps T, prouvant notamment que cette loi ne dCpend pas de i. De plus, supposons que les probabilitCs de transition p( . , . ) soient invariantes sous l’action d’un groupe G : pour tous 2, y E E et tout g E G, p(s, y) = p(gz, gy). Alors la loi de la mesure d’occupation au temps T est Cgalement invariante sous I’action de G. Cela gCn&alise un r&ultat de Pitman [5] portant sur les marches alCatoires sur un cercle. 0 1999 Academic des sciences&ditions scientifiques et mt%icales Elsevier SAS
Hamiltonian invariant
Abstract.
UMR
random under the
cycles and occupation action of a group
measures
Let X be an irreducible, discrete-time Markov chain on a finite set E, starting at some point i E E. At each return time to i, the loop-erasing procedure yields a random cycle which is simple (i.e. without subcycle) and contains i. Let T be the$rst time at which this random simple cycle is Hamiltonian, i.e. contains all the points of E. We determine the joint law of this Hamiltonian cycle and of the occupation measure at time T and prove that this law does not depend on i. Furthermore, suppose that that the transition probabilities p( . , .-) are invariant under the action of a group G: for all x, y E E and every g E G, p(x, y) = p(gx, g:y). Then the law of the occupation measure at T is also invariant under the action of G. This generalizes a result of Pitman [5] for random walks on the circle. 0 1999 Acadtmie des sciences&ditions scientifiques et mCdicales Elsevier SAS
1. Introduction Soit X une chaine de Markov 21 temps discret, irrCductible, sur un ensemble fini E. On peut lui associer une chaine de Markov 2 boucles effades, qui est la chdne associCeg valeurs trajectoires Note prbsentke par Paul 0764~4442/99/03290883 Tous droits rkservks.
DEHEUVELS.
0 1999 Acadkmie
des sciences&ditions
scientifiques
et mkdicales
Elsevier
SAS
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P. Marchal
oti l’on efface les cycles a mesure qu’ils apparaissent [6]. L’etude des marches aleatoires a boucles effacees a connu ces demieres annees de nombreux developpements lies a l’algorithme de Wilson 161, qui les utilise pour construire des arbres couvrants aleatoires. On trouvera de nombreuses references dans Benjamini et al. [l]. Nous avons montre dans [4] que l’on pouvait aussi construire de cette man&e des cycles hamiltoniens (c’est-a-dire visitant exactement une fois chaque point de E) aleatoires. L’algorithme peut se d&ire simplement comme suit. On fait partir X d’un point donne i E E ; a chaque temps de retour en i, la marche a boucles effacees construit un cycle saris sous-cycle passant par i. Si ce cycle n’est pas hamiltonien, on l’efface et on continue ; sinon, on appelle H le cycle hamiltonien obtenu et l’on s’arrete. On designe par T le temps d’arret de l’algorithme. qu’on suppose presque surement fini. Le but de cette Note est de calculer la loi jointe de H et de la mesure d’occupation au temps T sous la loi F’i de la chaPne partant de i. Plus precistment, pour tout entier n et toute arete orientee (z, y), soit Ngy le nombre de passages de la chaine sur (z:, y) jusqu’au temps 71. Nous caracterisons dans le theoreme 2 la loi de (H, (N&)(,,,),Ez) sous $i. I1 apparai”t notamment que cette loi ne depend pas de 1:. Une autre application du theoreme 2 est la suivante : TH~ORBME 1. - Supposonsque les probabilitb de transition p( . , .) de X soient invariantes sous l’action d’un groupe G ope’rant sur E : pour tous 2, y E E et tout g E G, PC& YY)= p(gs, SY).
(1)
Alors la Zoi de (N&) Cz,yjEEZest invariante sous l’action de G : pour tout g E G,
(Cd ) (x, Y)
E E2)
e (N&,
(2, Y) 6 E”).
Par conskquent, la loi de la mesured’occupation au tempsT est elle aussiinvariante sousl’action de G. Pitman [S] avait montre que si l’on art&e une chaine de Markov simple sur un cercle au premier temps oti elle revient a son point de depart en ayant fait un tour complet, la loi de la mesure d’occupation est invariante par rotation. Ce resultat est Cvidemment un cas particulier du theoreme 1 ; reciproquement, l’idee de generaliser le resultat de Pitman en utilisant les marches aleatoires a boucles effacees ne semble pas tvidente. On trouvera d’autres tentatives de generalisation dans Evans-Pitman [2], mais ces generalisations ont une explication trajectorielle, ce qui ne semble pas Ctre le cas du theoreme 1.
2. Calcul
de la loi jointe
Notre preuve consiste essentiellement en une extension multidimensionnelle des resultats Cnonces dans [4]. Considerons un sous-ensembleU c E, notons par Tu le temps d’atteinte de U. Soit Au le chemin auto-evitant obtenu au temps TU apres effacement des boucles. Nous allons dans un premier temps determiner la loi jointe de Au et du nombre de passagesNTu pour toutes les at&es orientees (x:,Y/) E E2. Pour cela, nous associonsa chacune de ces a&es orientees (2, y) une variable formelle t,,, et nous definissons la valuation d’un chemin S = (aa, al, . . . , a,) comme le polynbme en les variables (kJ(z,?4)EE” :
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Cycles hamiltoniens
alkatoires
Pour V c E, soit Mv la matrice indexke par (E - V) x (E - V) dont le coefficient en (2, y) est le moname p(z, y) tz,y, et soit M = MD. La matrice Id - M est inversible en tant que matrice g coefficients dans l’anneau des skies formelles en les variables (tz,y)(z,y)Ep. Nous avons d’abord : PROPOSITION 1. - Soit y = (ao, al,. . . . a,) tout k 5 m - 1, al, $ u. Alors
un chemin auto-e’vitant, 02 a0 = i, a, E U et pour
det(Id - M-+u)
tN” Z>Y l{A~=~l
=
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V(Y)-
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Notons en effet vk = u U {ao, . . . arc-l}, 1 5 k 5 m et posons V. = U. La formule suivante dkcoule facilement d’une dkomposition en temps de demier passage(voir [3], section 3.1) :
(2)
oti G( ., .; U) est la fonction de Green pour la marche tuCe en Tu : G(j, j ; U) = 2
IE,
n=O
n
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l{X,=j,
n
= [Id - Mu];;.
(=>y)EE2
Or pour tout k 5 m - 1, G(ak,‘Jk
; vk>
=
det[Id - Mv,u{~,}I = det[Id -
MG+~I det[Id - Mv~]
det[Id - Mvk]
(31
d’apr&s la formule de Cramer d’inversion des matrices. CombinC B (2), cela prouve la proposition 1. 0 Nous en dCduisonsla loi jointe de (H, (N.&)(,,y)EE~)
sous pi :
THBOREME 2. - Notons par C l’ensemble des cycles hamiltoniens et soit C f C. Alors
WCC>
6 rI t
det(Id - M) + CclEc v(O) ’
(x>Y)=’
(4)
En particulier, la loi jointe de (H, (N~,)(x,y)~~~) est indtfpendante du point de d&part i. Pour prouver ce rksultat, commengonspar introduire quelques dtfinitions et notations. On appellera excursion un chemin e = (ao, . . . , a,) tel que a0 = a, = i et pour tout 0 < j < n, aj # i. Soit E l’ensemble de toutes les excursions, Xc l’ensemble des excursions qui, aprks effacement des boucles, donnent le cycle hamiltonien C et ‘H = U ‘MC. Nous avons CEC
G II t2;y (
l{H=C}
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= 1
1 1-
c
eEE-7-I
1 4-Y). v(e) [email protected]
(5)
En effet, si H = C, la trajectoire jusqu’en T est une suite d’excursions dans I - X, suivie d’une excursion dans XC.
885
P. Marchal
D’autre part, si X part de i, on peut conditionner
par X1 et appliquer la proposition
1, ce qui donne
w(C) c 4-Y) = det (Id - tMlil) . 7EHc Or la fonction
generatrice
des chemins de i a i est donnee par : = det (Id - tA4ci))
1 l-
(6)
&F,
W(e) - &
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C’ v(y)
det(Id
- M)
’
d’ob I’on tire, grace a (6), 1
1En combinant
C eEE-7-1
det (Id - A+)) w(e) = det(Id - M) + c w(C’)’
(7)
C’EC
(5), (6) et (7), on retrouve (4) et le theoreme est dtmontre.
0
Le theoreme 1 se deduit facilement du theoreme 2 : il suffit de remarquer que les quantites det(Id - M) et C u(C) sont invariantes sous l’action de G, d’apres l’hypothese (1). C’EC
RCf&ences bibliographiques [l] [2] [3] [4] [5] [6]
Benjamini I., Lyons R., Peres Y., Schramm O., Uniform spanning forests, (A paraitre). Evans S., Pitman .I., Stopped Markov chains with stationary occupation times, Probab. Th. Relat. Fields Lawler G., Loop-erased random walks, Volume in honor of Harry Kesten, (a paraitre). Marchal P., Loop-erased random walks, spanning trees and Hamiltonian cycles, Electronic Commun. Pitman J., Cyclically stationary Brownian local time processes, Probab. Th. Relat. Fields 106 (1996) Propp J., Wilson D., How to Get a Perfectly Random Sample From a Generic Markov Chain and Spanning Tree of a Directed Graph, J. Algorithms 27 (1998) 170-217.
886
109 (1997)
425433.
Probab. (a paraitre). 299-326. Generate a Random