Methodes d'echelles multiples pour la recherche de solutions invariantes par une transformation de R 2 et applications

MECHANICS RESEARCH COMMUNICATIORS Voi.15(6), 361-370, 1988. Printed in the U S A 0093-6413/88 $3.00 + .00 Copyright (c) 1988 Pergamon Press plc

HETHODESD'ECHELLES HULTIPLES POURLA RECHERCHEDE SOLUT[ONS INVARIANTES PAR UNE TRANSFORMATIONDE ~2 ET APPLICAT]ONS.

M. BELHAO, R.L. CLERCet C. HARTHANN

L.A.C.M.E.~*~'" U.F.R. Hath., Untverstt~ Paul Sabatter, 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse Cddex, France (Received 12 December 1987; accepted for print 22 September 1988)

]ntroduct|on On d~veloppe une •thode as~ptottque f o m e l l e | deux 6chelles de temps pour construtre des approxtmttons des solutions tnvartantes par une transfomatton ponctuelle de/R2 dans ~ 2 vo|stnes d'un potnt ftxe subtssan~ une btfurcat|on de Potncal~ d~g~n~r~e ou non. On compare les ~$ultats asymptottques aux r~sultats obtenus dtrectement par une n,!thode nua~r|que. On constd~re une transfor~tton ponctuel]e polynomtale T de lR2 dens lR2 poss~lant un potnt ftxe N subtssant une bifurcation de Potncal~ que|conque (d~g~n~r~e ou non). Pour le sysUme 6voluttf X(") ~ X (n+t) - T(X (n)) . n ~ 0 . (1) nous voulons contrutre les approxtmttons valables quand n + - . des solutions du probllme aux valeurs |ntttales (pour n - O) prtses dens un volstnege d ' o r d r e , de H. Pour cell nous d~veloppons une~thode asy!ptottque fomelle d'4chelles m l t t p l e ~ n e t T(n). qut est une extension naturelle aux syst~es dynaltques | dvolut|on dtscr~te, de la ,~thode de Potncar~ pour los ~qu~ttons dtffSrenttelles. prtnctpe de la ~thode as~ptottque d'~chelles multiples On constdtre les transformttons

~(z.z-).

~_ " ~ - t . t

(z - x ÷ | y , z -

o~0 J~O

avec

(*) Laboratotre Analyse et Calcul des ModEles Evoluttfs. 361

x-|y)

,

(2)

362

M,

BELHAQ,

R.L.

CLERC

c~ )'c(°)o! "0 '

and C. H A R T M A N N

c(°)to " s •exp t~.o .

Four tout U> Oo cos t.~nsfomJ¢tons (2) r~priisentan¢ los p'Clr'tJJrbll~'[OrlS 1is plus gdn4rlleS (dens 1 'espaca ~ des coefficients de T) de Tolu votstnage de H s O. Ls ~J'ansfom&¢~on non per~rb~e TO correspond i la rome "p~lnomale" (3)

To(Z.Z")" SZ ~' J~,IE¢(o),1..t.t zj..t ~,t

~J • T&Clutlle on Foul: ~u,tours se r u s h e r qmmd 1'application 11n~Ir~ taflgen~ OTo(M) es~ dttgonallsable, cs ClUe nous supposerons ~¢t. On enntr~ Rue pour tou~ w o - Z ~ / k , avec r et k ent~en pmsters en~rm eux et k t 4 ( r ts~ le hombre de /~tatJon at: k l'ord~e de Nso~tnce), l ' t ~ r k e

k-tree de TO est une f o r m normle

(~ sons de DD .

,.ZL_-n,k-I,(zE.rZ)(4)

Obsorvons clue Im ml!thodo ClUe nous proposons na n¢icesstgo pas Tm m~se iu pr~i1able de T sous f o r m normle. Un dJveloppen|n~ asywptottque usuel clu type

z(.).

: ,%(n) ~z~" (o)) • o,t!

z(o) . ~v,a ~=-(°1 . (e~ c.c.).

(s)

a

ne permit pts d'ob~mtr l ' l n s m b l e dos solutions tnvtr~antes s ~ 4 e s

dans le

votstnags de 1'origins. Constd4rons t l o r s une a41~)de tsymtottque t 4chelles uulttples n e t .r(n),

~(n)-.

z .aw.

,

/6)

oG los fonc~tons Z~(n) sont de la rome .

,.,

o.°.,.

L'tn~roduc~ton du *temps con~Jnu" ~ ( i c~tl~ du "temps dtscrs~" n) peme~ d ' e l t m~ner los ~ermes "s~cula~res" condu;sant per l i mt~hode classtcus (S) k des solur.tons non un~fome~nt valsblez Dour n ~ - * .

METHODES D'ECHELLES MULTIPLES

363

La form gdndrale (2) des tronsformttons perturbhs et c,11e (7) des solut4ons pemettent d'obtentr on port|cu14er routes les solut4ons.de type ¢¥cles d'ordre k ; ce rdsultat correspond | une extension (| un systllme de deux 4ClUattons algdbr~ques) du thdorilm de Putseux [21 expHmant, par des sdr4es de O4r4chlet. les rac4nes d'un polyn0m clont les coeff4ctents ddpendent analyttqument d'un parandbtre. $4 les fon¢t4ons (7) sont sufftsamment ddrtvables on T on peut k:r4re : z(n+l)(T(n~l)) • z(n*l)(~(n)) ÷ £ ~ z l ~ t ) (T(n)) /21 ~& " On obttent, | l'ordro U : z ~ n ÷ l ) . s z~n) . ¢ ( 1 )

(8) (9)

d0ob Z~n} - sn(zl(,)-z~)• Z~ ; z ~ " {(o~1)/(1-S) , s , 1, Zl('ir,,>zl O) (10) pu4s | l'ordre u2 :

z(n+l) 2

-s

z~n) +

O~ F(~ ) " " "O?."Co)~ .

;)z~n÷l) /~2 F~2) (Z1,~1) , UtT - :C s ~ ~-2

it(T) • S..! 71 ,

(il)

F~2)"SO+ { I ~ ) Z l ~1 '

'{')" "o(') ', • ',(" • -,o'(°) ~, • =, ",, ".T

,.,. ,c,). ,{~) ol

zT .

2

,L~) -z T

~o "c~). ~(,) 10

Z~ ,

,(1)01 ZT + oi~)

,

Z~ -Z~ +

°;:)

.,~;)

Z~

~1t2.

"o(')" ~('),o "~IT)~T "' 4:)*T • Les terns sdculatres sont dl~mtnds en tmposant l'dquat|on dlffdrent|elle en T dZ1 (lz)

oO • { L=e,

L'|tdra~ton (11) dev4ent IlOrS

=E[-2.oLT

.

st'l.1}

.

364

M.

BELHAQ,

R.L.

CLERC

and C.

HARTMANN

J.-2

(13) 1--2 dont 11 solutton s ' 6 c r t t z~n) - sn(z2-Z~°)) + Z~n)(T),

(14)

z2(T-O) - z~°) .

Z~n) ~tant. la solut4on par'ttcu11Ire de (13) t.-2 Z~n] . L=~.2 s ~ F~2)(11,][1)/(st'-s)

Sl wo F 2wr/k (r et, kent, ler~ prmlers entre eux), on a R • { I }

(;s)

et on dtra qu'11

n'¥ I pIs r~sonance. $t wo • 2wr/k avec r/k • 1/2, on,a R = {-1,1} R = {-2,I}

; avec r/k = 113 ou 2•3, on a

...

Oans t o u s l e s e.as non ~sonants (wo # 2+r/k) ou r~sonants d'ordre I

4

(w0 • 2wr/k. k ~ 4), l'4kluatton' (12) s'6crtt; dZl . a~ 1) s~1 ~ Z1 ;

(;6)

st ~1 # O, (16) donne l'approxtmtton | l'ordre u du potnt ffxe i t de son 11eu de bifurcation de Pofncar11. $t u 1 - O. seul le chotx a~ 1). - 0 pemet d'obtentr d'autr~s solutions stattonnatres que le potnt ftxe. On obttent alors i l'ordMI ,3 : ;iz~n.1) z~n+l) . S Z~n) .~)2 ~ .

Jl-3 s " F ~ 3) T. (Z1~.1) .

(17)

L-3

Les temaes s~culatres sont ~11mtnds en tmposant l'(kluatton d t f f ~ r e n t t e l l e S~z ~ -

" ~--3 cER

en T

METHODES D'ECHELLES MULTIPLES

oO

365

R ,, (£~1:, £GE3,~3.] , s£-I • 1 } .

L*tl~ratton (17) devient ilors

S-3

4~,). ,4,). ~., ,= ,~,,(~.~,).

(19)

Dins tousles ¢as non r~sonantS ou r~sonants d'ordre Z S, on a R • {1} ,t (is) s'Icrtt r=lZT.~..dZl*~'FI3)(ZI.Z,), (a~2)÷ a~O).RIz)ZI. (Z1Z'I " RI~) ,

(zo)

ivl¢

=~z) . i/c(Z) (o) ""'s-s-')÷ -'z C~O (1) + 3¢30 (o)) I 10 o~ .tL,c(1) 01 +C11Zt)/L s/ Z~t ÷

(21)

c(I)11 ~.÷ 2¢20 (o) So/(1"s)~c11)~o/(I"E)4¢t2 (o (o) z,z÷ (o) ,=, I 2¢~1 ZlZ | }

it a~O) " ~ )

÷ ¢(°)c(O)/(s2"S)!1 2o . ÷CI?)c-~117)/(1-S -)

(22)

.,,~:),I~),(,.,) .,,co)~;)~c,,.~} 02 Gins le cas ~sonlnt d'ordrt 4 (r/k - 114 ou 3/~ on a R • {-3,1}

,t (le)

s'k:rtt

,, ,~'~. ,-,I') (z,.~,) • ~!} ~z,.~,). .,=;(,) ~ (o)_,._ ,1,,,. 'o(o~,

• (z3)

0¥e¢

So(°) • i(c~ ) ÷ c(O)c(O),r~.s~ 11 02 " " ' ÷ -.(o)=(o),~.s-)~ ='"oZ "20 "'~" " " On obttent i l'ordre U4, en prefllflt po~r s i l ~ l | f i l r Z4" n'l) (

lz2"÷1)" SZ4 n)( ÷ =2 T "

"

(24)

_(1) = O, Coo

, (n) .-(,) (n) .-(,) .(n) .-(n)). (ZS) $ LZl *Zl 'Z2 " 2 " 3 *3

Les temes s6culatres sont dltslnds en tml~sant l'~lUitton dtffdrenttelle (pour les cos non rtsonents ou rlsonants d'ordre k I 6)

=z "~- " 0(I "1'on I

366

M. BELHAQ,

R.L.

CLERC

and C.

HARTMANN

B(Z) 0

• =.;o)~

(~7)

~

L'avantage de cette ,~thode est de fourntr, dtrectement dens |e systk,e de coordonn~es tn~ttales z, Y, les p r a t e r s tames des d~velopp~ents as~aptottques de routes les solutions de 1l fome (7), sans avo4r besotn de l e t are au pr6alable la transfomatton sous sa form nomale par le changement de coo~lonn~es d~f~n~ par une transfomatton fomelle presque tdenttt~ de type Levt-Ctvtta. El|e donne, pour des perl~rbattons quelconques dens l'espace A des p a r m t r e s (he lltssant pas .nk:essatrment le potnt ftxe | l ' o r t g t n e ) , le premter teme des d~veloppments esymptottques des solutions par la r/isolutton d'un syst~me dtff6renttel autonom, done le second mmbre est une rome nomale tronqu6e | ses temes non 11n6atres doutnants, fourntssant son iutplttude lenl~ment

variable ~1 (T). Le deux~kne teme des d6ve|opp~ents asywptottques des solutions est donn~ d'une part, par son *mp|ttude" lentemnt vlrtab|e|J~Z(~) solutton d'un systime d t f f t rQnttel 11niltre non lutonom non hologlme, d ' l u t r e part, pa~ le r~lsolutton d'une r~currence l | n d l t r e d'ordr~ deux, homog~ne st et seu]ment sl le t r e n l f o r m t t o n non perturb6e TO est |nttta|ement sous form normle (¢e qut est le cls de 1 ' t t 6 r(ie k-km d e ~ 0 pour route r/lsonance d'ordre k). Cette technique permt de trouver |es cycles d'ordrt k I 1, |es lpproxtmtton$ de leurs 11eux de bifurcations dens A. autre solution Invarlante.

etnst que les approximations de route

METHODES D'ECHELLES MULTIPLES

367

Appl~¢sttons (rude des ¢as non ~sonants ou r~sonants d'ordre r/k, k • S

On ¢onstdkre la trensfomatton

"*,(')

• c'~'°l'o ))= • °~oC°)"'- =I~)~; ,=~(o . oc;)=,~, ocl=l'). ~,,,.

L'approxtmtton 1~" li l'ordre U2 de la solutlon stattonnatrt de tyPe =ourl~ tnva-

rt.nt, s'Gcrtt (sol.tton de (S)-(U)-(~)-(26))

,.,,).,

. o~:),,~(,;,). ,(o).,,, ~ ~c,-,) • ,~;);' / ~e-s) *o(Icl =) (z9)

ivec

¢(e) - u r ~ t exp te

• ,,oC;) ,~I/c,'~:l

.

•

(2)/~ < )• >

-

=.~). T.c'~ "to

o3

"

L'6Cluatqon "horatre" Sin" ~* list donndle ;mr

e'(n) • ( % ~ u % ) n

(31)

ivec

(32) On a ftx(! les valeurs des N r e M t r e s de la m n t i r e s u t v n t e : 20 - I m

-h Re ¢ ' ° ) • 11

=;m ,m ¢ ~ ) -

.2. 1 ,

~

-~ll

" Jr~

Re C(0) (o)..1 21 - Z m ¢

Les f t g u r e s ! et 2 comparent cette $olut4on ~* (en potnt|l14s), ou sa tronceture i l'ordrw u ( t t ~ t s ) ,

evec la cou.rbe |nvertinte ~ ( t r a t t s

ple4ns) de (2f~obtenue

par t t l r e t t o n ~)our p • .1, ft9. 2, ~ " est "confondue" ive¢~.]. L'express|on de ~2 pemet de caIculer les 11eux ~2 • 0 |ssus des poln:s Pr/k de

368

M.

BELHAQ,

R.L.

CLERC

and C. H A R T M A N N

resonance r/k ; dens le plan ( h z , - h l ) , on obttent des drottes de pente -h1/h 2 (-.543880 pour r/k • 116 et .4S1850 pour r/k • i f / ) .

Cos drottes correspondent

la tangente commune aux fronttkres des comes de r~sonance pour le ca$ des syst~es d i f f d r e n t t e l s ) ,

(of. [4~

au votstnage desquelles on dott $e

placer pour rechercher les potnts de cycles d ' o r d r t k . Etude du cas resonant d'ordre 1/4

On constdkre la t r a n s f o r m ~ o n

= " V')" c'"'°l:

ocs-l=),

(33)

(s - exp(2wtr/k), r / k - 1/4)• On

now

c(2) • hl+lh 2 et on flxe 10

c(~ ) - 1.5 (l*1)s

p(O) '

~03

•

.8

(1-t)

.

L'ipproxlmatton | l ' o r d r e un est solutton du systime (23): • dz 1 .

(34) Los potnts ftxes de (34) apparetssent par une bifurcation no~d-col • l a travors4e des 11eux d4ftflts par

dont la trace dans le plan (h2,-h 1) (cf. trt9. 3) reprCsente los fmnttkres

sT • s;

de 1 'approxtmtton (k 1 'ordr~ un)

des cycles d'ordre k - 4 de Tu

x;.

de la come d'mxlstence

, J l°~xtGrteur de laquelle l"exTstonce
courbe 4nvartante est assur4e par los ~ s u l t a t s

de ~3] .

Le tableau 1 compa~, pour plusteurs velours de u. los coordonnkls (xJu.Yiu) potnt de cycle d'ordre 4 de Tp calculdtes par une Nthode de Newton et c e l l t s (x*.y*) du patnt ftxe homologue de (34) (h 1 . -.1 1

1

'

h2

°

.1).

METHODES D'ECHELLES MULTIPLES

.4

' ',x

k

i :::/:i

ll/A

~'t

~,I,l

369

•0

=/i :HI . I

.h,

,-' X/._ Pie, J

t=,e • f

~e .o

TABLEAU I •

.

h 1 =--1

h2

-

.1

I/u .!

.OIlSl=

.,,117100

J'/i

.O;4UI

.It

.16796

,oidI?am

.001

. Tr/211

. I

,0001

.S~lll

. U

370

M. BELHAQ,

Sott "r le chemt, d l f t n t pit h2

R.L. C L E R C and C. H A R T M A N N

•

.1

dens le plan (h2.-hl). Pour trots valeurs

de (-h 1) prtses sur y . on compare les portraits de phase ~1e(34) lit de T (ftg. 4-5°6 : t r a t t S pletns pour T et po|nttl14s pour (341 avec ~ • .OS) Dans la situation ! (h I - -.06. ftg. 4). l°untque potn: ftxe F1, foyer tnstable. est en presence d'une unique paire de cycles d'ordre 4, foyer sl;able F4 et c01 S4. Darts la situation I I I (h 1 - -.22, ftg. 6), le potnt ftxe F1 es~ en pr6senc4 d'une patre de cycles d'ordre 4. noeud stable 114 et col 34 el; d'une courbe tnvartante asymptottquemnt stable ~(comm dins [k~). On remrClUera la bonne concordance entre ~ et son approxtmtton ~* au printer ordre par la l £ rhode d'4chelles gulttples. La situation 1I (~h1 - -.2, ftg. S) prllsente une boucle col 4rt assurll la sttton Z * ZZI qut d~ftnt~ une bifurcation globalll de ~ype Lk)ntavtch d ~ r t rant la destab|ltsatton de ~ , Conclusion LI JthodI as~ptottque | dichelles mlttples pour 1 '4rude 4es transformttons (2) permt de c~Sl:ru|re d t ~ C ~ m f l t les printers tanleS des approxtmtton$ des d4veloppemmts formls de solutions tnvartantes dans les problims, rltsonants ou non, de bifurcation de 1Potncarl. ¢es prlmters terms dotvent ~louer un role teportlmt dins les dknonstr4ttons des thiorimes d'extst4nce des solutions tnvsrtantasR~f~rences [1]

Y. ARNOLD, Chapttres supplk|enUtres de le th4orle des kluat|ons dtffirlm-

t t e l l e s ordtmitrlls, Ed. #tr, (chap. S), 1978 V. PUISL~X, Joum. Hath. Pures et App11., (1$), 18S0 Y.H. llAN, Arch. Rat. Hech. Anal., 68, he4, T978, P. 343-3S7. R.L. CL(RC, C. HARTHN¢N,A. HARAJ-TOUZANI, C.R.Acad.Sc., Parts, t. 303. s~rte

nell. 1986° p. 575-S78.