Das Nilssonsche Kernmodell unter einbeziehung nichtdiagonaler elemente

Nuclear Physics 64 (1965) 310--320; @) North-Holland Publishing Co., Amsterdam Not to be reproduced by photoprint or microfilm without written permission from the publisher

DAS N I L S S O N S C H E K E R N M O D E L L UNTER EINBEZIEHUNG NICHTDIAGONALER ELEMENTE D. GRAU und O. HITTMAIR Institut fdr theoretische Physik der Technischen Hochschule, Wien Eingegangen am 22. Juni 1964

Abstract: The bound states of the Nilsson model are obtained considering also non-diagonal matrix elements of the Hamilton operator which have been neglected in the original presentation of the model by Nilsson. This is achie~ced by introduction of suitable deformation dependent coordinates first suggested by Nilsson thus giving a new meaning to the deformation parameters J, o~0, r/. With this new definition of the parameters the old tables may be used and slightly different energy levels and wave functions are thus obtained.

1. Das Niissonpotential 1.1. ANSATZ Zur Erkl~irung der Eigenschaften der Kerne der Regionen A g25,

150 < A < 190,

A >225

(1)

(extrem groBe Quadrupolmomente, Rotationsniveaus) muB man annehmen, dab diese Kerne eine bleibend deformierte Gleichgewichtsgestalt besitzen. Wegen der wechselseitigen Abh/ingigkeit von Nukleonendichte und mittlerem Potential der ,,inneren" Bewegung darf man fiir Kerne dieser Regionen letzteres dann nicht mehr kugelsymmetrisch ansetzen. Nesbet 3) wies darauf hin, dab man in der Tat auf Grund eines allgemeinen Theorems, das sowohl fiir die Hartree-Focksche SCF-Methode wie fiir die allgemeinere Bruecknersche Methode gilt, folgende Aussage machen kann: Entspricht die Slaterdeterminante des kugelsymmetrischen Schalenmodells, die zum Minimum der Gesamtenergie geh/Srt, einer Konfiguration mit nicht abgeschlossenen Schalen, so gibt es eine Slaterdeterminante mit niedrigerer Energie, die aus Einteilchenzust~inden gebildet ist, die nur durch Parit~it zci und magnetische Quantenzahl ~2i gekennzeichnet sind und Eigenzust/inde eines Einteilchenhamiltonoperators mit axialsymmetrisch deformiertem Potential sind. Das rechnerisch am einfachsten zu behandelnde und am besten bew/ihrte ,,deformierte Schalenmodell" fiJr die innere Bewegung stammt von Nilsson ~). Nilsson setzt fiir das mittlere Potential ein axialsymmetrisches anisotropes Oszillatorpotential mit einem Zentrifugalterm Dl~ und einem Spin-Bahn-Term C(li's~) an. Wir w~ihlen einen geringfiJgig ver/inderten Ansatz, nnd zwar setzen wir auch Zentrifugalterm und Spin-Bahn-Term nur axialsymmetrisch an. Den Deformationsparameter beze~chnen wir mit 6; zu beachten ist aber, daB der 310

311

NILSSONSCHES KERNMODELL

bier definierte Parameter b mit dem Nilssonschen (bier ~ bezeichnet) nur in erster Ordnung iibereinstimmt (6 = ~ + ~32 + o{~a)). In den Ergebnissen wird aber das hier definierte 6 formal das Nilssonsche ersetzen. Unser Ansatz fiir das mittlere Potential ("Nilssonpotential") lautet: Vi(ri, 6) = ½m[(D.L(X, 2 2 +y,)+(D=z,']+D;~, 2 2 2 2 +C(~, . s,)

(2)

mit D_-_O, (D± = ~o1-1+½6+~62],

C-<_O, (D: =

(DO[I--+I~"~-2~2],

(3)

(~o = konst.) J,, = (2,=, 2,y, 2,=), 2i:-

i

(D±

-

0 Y~ ~

C°=zl 0 -

6o-

=-i 2iy =-

i - -

(D:

0 z i ~x i

(4a)

to. -

(l +6+½62)y, ~z,

x i Ozi

-

=-i

25=-- --i

I(1-~+½6Z)zl ~

E

0 --Yi Xi~Yi

- ( 1 +6+½b2)xi-~zil'

(4b)

= l~z.

Die ,,Volumserhaltungsbedingung" (D2(Dz = konst ist bis auf die Ordnung 6 a erfiillt. 6 > 0 bedeutet ein verl~ingertes Rotationsellipsoid, 6 = 0 bedeutet Kugelsymmetrie und 6 < 0 entspricht einem abgeplatteten Rotationsellipsoid. Der Operator ~,~ist fiir 6 = 0 identisch rnit dem Bahndrehirnpulsoperator Is = - i l h x V~ und kann als Bahndrehimpulsoperator in einern Raum rnit den Ortskoordinaten ¢ =

x, --60 O

=

y,

=

z

(5)

--(D O

aufgefaBt werden. Neben dem Deforrnationspararneter 6, dessert Gleichgewichtswert durch Minimalisieren der gesamten Energie der inneren Bewegung bestirnrnt wird, enth~ilt das Nilssonpotential drei weitere Parameter: eine ,,Oszillatorfrequenz" ~o und die Parameter D < 0, C ___0. Ffir festes A sind ~Oo, D, C Konstanten. Die GrSBe h~o ist ein MaB fiir die ,,L~ingeneinheit" des Systems und kann entsprechend aus Be-

312

D. GRAU UND O. HITTMAIR

trachtungen iiber den mittleren Kernradius bestimmt werden, was auf h~o ~ 41 MeV A~

(6)

ftihrt (Siehe z.B. Ref. 4), S. 469). Es verbleiben noch zwei Parameter (D, C) und diese werden zweckm~iBigerweise durch dimensionslose und von A unabh~ingige Parameter ~c, tr ersetzt: C x = - -2h-o'~

2D a=--C

" '

(7)

lc and a w~iht man so, dab fiir 6 = 0 (kugelsymmetrische Kerne) das empirisch geordnete Schalenrnodellschema m/Sglichst gut reproduziert wird. Es zeigt sich, dab das empirische Schema hinsichtlich der Termfolge vollkommen korrekt wiedergegeben werden kann, wenn man x = 0.05 annimmt und f'tir tr bestimmte, fiir die einzelnen ,,Oszillatorschalen" und iiberdies auch noch fiir Protonen und Neutronen verschiedene Werte zwischen null und 0.55 w/ihlt. Die Tatsache, dab bei geeigneter Wahl yon a nicht nur das Neutronen- sondern auch das Protonenschema ffir 6 = 0 hinsichtlich der Termfolge korrekt wiedergegeben werden kann, bedeutet, dab auch der Einflug der Coulombwechselwirkung bei geeigneter Parameterwahl im Nilssonpotential im wesentlichen wiedergegeben wird. (Nilsson verwendete 1955 das empirische Schalenmodellschema nach Klinkenberg 5). Auch bei optimaler Anpassung konnte dabei das empirische Neutronenschema hinsichtlich der Termfolge nicht vollkommen wiedergegeben werden. Der Vergleich mit neueren empirischen Schemata zeigt aber, dab die Ursache fiir die Abweichungen in der Unsicherheit des empirischen Schemas lag; siehe z.B. Ref. 6)). 1.2. DISKUSSION DES NILSSONPOTENTIALS Man kann eine Reihe von Kriterien angeben, denen ein Ansatz fiir das mittlere Potential V, entsprechen mug, wenn Vi ein guter Repr~sentant des realen SCF sein soll. Die erste Forderung ist, dab das mittlere Potential in seinem Radialverlauf der Nukleonendichte folgen soll. W~hrend ein reines Oszillatorpotential ffir leichte Kerne in idealisierender Weise dieser Forderung entspricht, muB fiir mittelschwere und schwere Kerne das Potential mehr ,,kastenf6rmig" sein. Nilsson fiigte den Term D l 2 mit der Begriindung hinzu, dab ein solcher Term mit D < 0 die beim gewShnlichen Schalenmodell durchgefiihrte Interpolation zwischen Oszillator- und Kastenpotential sozusagen ,,selbstt/Rig durchfiihrt" und somit das Potential kastenf6rmiger macht. In der Tat erniedrigt ein solcher Term die Energien der Zust~nde mit groBer Amplitude fiir gr6Bere r relativ gegentiber anderen Zust~inden, wodurch das Potential einem mehr kastenftirmigen hinsichtlich der Energien der Zustgnde gquivalent wird. Dies bedeutet aber nicht, dab _~quivalenz in jeder Hinsicht besteht. So bringt ein Term D ! 2 eine Geschwindigkeitsabh~ngigkeit des mittleren Potentials mit sich,

313

NILSSONSCHES KERNMODELL

w~.hrend man jederzeit vom Ort allein abh/ingige Potentiale mit flacherem Radialverlauf (z.B. Saxon-Woods-Potential) anschreiben kann. (Eine geschlossene mathematische Li~sung kann fiir solche Potentiale nicht angegeben werden; dies ist gerade der Grund dafiir, warum man geeignete Korrekturterme zum Oszillatorpotential sucht). Nun zeigen aber die empirischen Daten, dab das mittlere Potential geschwindigkeitsabh~ingig ist, und zu demselben Ergebnis kommt die Bruecknertheorie, die auf ein Potential mit nichtlokalem Charakter (Operator des Potentials nicht diagonal in Ortsdarstellung) ftihrt. Es ist also die Frage zu priifen, ob bzw. inwiefern der zun[ichst in anderer Funktion eingefiihrte Term Dl 2 bzw. D;t2 zugleich ein geeigneter Term fiir die Beschreibung der Geschwindigkeitsabh/ingigkeit des mittleren Potentials ist. Diese Frage untersuchte Lemmer 7). Unter Verwendnng eines ph~inomenologischen Ansatzes fiir ein ,,nahez-u lokales Potential" erhielt Lemmer in einer ,,Effektive-Masse-N~iherung" einen Zusatzterm in ~iquivalenten lokalen Potential, der weitgehend denselben Effekt hat wie das Nilssonsche Dl 2 und der sich auch als gr~SBenordnungsm~tBig gleich ergibt. Der Zentrigufalterm hat demnach eine zweifache Funktion: Er macht das Potential kastenf~Srmiger und repr~isentiert die Geschwindigkeitsabh/ingigkeit des mittleren Potentials. Nilsson setzte die Zusatzterme in der Form Dl~, C(l~.s~) an. N/iherliegend erscheint es, diese Terme mit einem Drehimpulsoperator anzusetzen, der zu einem Raum mit den Ortskoordinaten ~,

c.O± = ~-x, (DO

r/'

09± = ~-y, (DO

~,

(Dz = ~-z

(8)

(DO

geh~rt, da die Kugeln im ~'~/'~'-Raum den Rotationsellipsoiden im xyz-Raum entsprechen (Ellipsoide gleicher Nukleonendichte). Allerdings ist ein solcher Unterschied im Ansatz nicht von merklichem EinfluB auf Bindungszustgnde und Bindungsenergien, da es sich bei den betrachteten Termen yon vornherein nur um Korrekturterme handelt. Insbesondere ist deshalb auch die Variante mit D$ 2, C(,~.s~) m~glich, die gewissermaBen einen Mittelweg darstellt. F~ir die Rechnung in der im folgenden verwendeten Darstellung ist gerade diese Form des Ansatzes giinstig. Das unrealistische Unendlichwerden des Potentials (2) augerhalb des Kernes hat keinen EinfluB auf die Reihenfolge der Niveaus und nur unbedeutenden Einflu$ auf ihre relativen Abst~inde. Lemmer und Green s) berechneten unter Verwendung numerischer Methoden die Bindungszust/inde in einem realistischen, an der Kernoberfl~iche gegen Null abfallenden Potential und konnten so diese naheliegende Behauptung in kritischer Weise best/itigen. Zu beachten ist auch, dab das Nilssonpotential (wie die iiblichen Ans/itze beim gewiShnlichen Schalenmodell) eine Spin-Bahn-Wechselwirkung enth/ilt, die ihrem Radialverlauf nach nicht dem Gradienten der Nukleonendichte folgt, w/ihrend sich nach Arbeiten von Nigam und Sundaresan (1958) aus Tensorkraft und L S Term des Zweinukleonenpotentials nach der Bruecknertheorie eine Spin-Bahn-Wechselwirkung im mittleren Potential mit einem solchen Radialverlauf ergibt.

314

D. GRAU UND O. HITTMAIR

2. Wahl der Koordinaten und der Darstellung

Wir gehen nun zur Behandlung der Bindungszust/inde im Nilssonpotential in der modifizierten Darstellung iiber. Den Index i bei Koordinaten, Operatoren und Quantenzahlen lassen wir im folgenden zur Vereinfachung der Schreibweise weg. Der Hamiltonoperator eines Teilchens (Masse m) im Nilssonpotential ist U = n o +D2 2 + C(~" s)

(9)

mit Ho = - - -

h2

(10)

A+½mEco2(x2 + y )2X-}-co2Z2"z J.

2m

Fiihrt man durch x' = ~/m?oolh¢ = 4m--£±lt, x, y' =

,/m-go/','~ = x / ~ f l , y, z'

= ~/m2oolh(

~/m?ofl, z,

=

(lla)

~' = ~/m-g~o/h .,/ ¢~ +,12 + ~ = ,/ (mco. /h )(x ~ + y~) + (mCOflO z2, Z t

~9' = a r c c o s - , T'

!

~p' = arctan y = q~

(llb)

X'

anstelle yon x, y, z dimensions]ose Vefiinderlichex', y', z' ein und definiert man eine Grbl3e COo(b) und einen ~c-abh~ingigen Deformationsparameter t/(5) durch

09o(5) - t~o(1 +162),

(12)

~(6) - b (1 --~b),

(13)

so kann man wegen o92 -- COg(b)[l+~fi],

2 CO~

=

2 42 2 COo(b)[1-~-6+-~6 ],

(14)

H o in der Form

no-- n(o"+ n(o2~

(15)

schreiben, mit Ho(1) = ½hcoo(6)[-A'+ r'Z], 02

02

(16a) 02

Die GdSBen too(b) und ~(5) stimmen in erster 0rdnung mit den korrespondierenden GrbBen yon Nilsson iiberein. Kennzeichnen wir letztere hier durch einen Querstrich, so gilt COo(6) = Wo(8)[1-~321,

r/(b) = f/(~)[1-~321.

(17)

NILSSONSCHESKERNMODELL

315

Der Operator Hotl) ist im ~r/(-Raum kugelsymmetrisch, kommutiert also mit ~2 und 2~. Fiir die Diagonalisierung des Einteilchenhamiltonoperators H und die Entwicklung der zugehSrigen Bindungszust~inde definieren wir nun eine N2A'X-Darstellung durch den folgenden vollst~indigen Satz kompatibler (kommutierender) Observablen: Operatoren:

Hot1),~2, 2~ = I~, s~, (18)

Quantenzahlen: N, 4, A, 27.

Wahrend Nilsson in seiner Arbeit sozusagen mit einem kugelsymmetrischen Kern ,,beginnt" und sich tiber die Kopplungsenergien das deformierte Feld erzeugt, geht man bei dieser Darstellung bereits von einem deformierten Kern aus, da ja Kugelsymmetrie in ~t/~-Raum (x'y'z'-Raum) fiir 6 # 0 nicht mehr Kugelsymmetrie im xyzRaum bedeutet. Mit einer solchen Darstellung kann eine Verbesserung der N/iherung erreicht werden. Wir nennen die Basiszusffmde der N2A2,-Darstellung IN2AF,) und die zugehtirigen normierten Wellenfunktionen der Ortsdarstellung ZNZar(r, 8, q0Die Eigenwertgleichungen zu (18) sind

Hgl)IN2AY.) = (N +½)ho%(6)IN2A~>,

(19a)

3.21N2AZ)

= 4(4+ 1)[N2AZ),

(19b)

2,IN2AZ>

= AIN2AIr,),

(19c)

s=lN2A:r,)

= EIN2AF, ).

(19d)

Die Wellenfunktion der Basiszust~inde erh~ilt man durch L6sen der zeitfreien Schr~5dingergleichung zu Hotl) n ol) o = E o%,

=

(20)

wobei wir Z = q~ real Spineigenfunktion w(½, ~) setzen. Es ergibt sich ZN~az(r, 8, tp) = CN~r'~e-½"'2LXn+~(r'2)y~a(8', tp')w(½, ~,)

(21a)

mit

F

2.,.

CNZ = (--1)" l_[F(n+2+½)]3] \

h

/

n = ½(N-k)

2 = N, N - 2 . . . . (21b)

wobei L verallgemeinerte Laguerrepolynome bezeichnet. 3. Einteilchenenergien und -wellenfunktionen

Fiir die Berechnung der Matrixelemente yon H in der Basis ]N2AX) ist es notwendig Ho~2) in Kugelkoordinaten r', 8', ¢p' anzuschreiben. Zun~ichst einmal ist

x'2+y'2--2z'2= --2r'2p2(cos 8 ' ) = - ~/~-r~ r'2y2o(8').

(22)

316

D. GRAU "UND O. mTrMAIR

Den verbleibenden Anteil 632 63x'2

632 632 +2--= Oy '2 3z '2

632 -A'+3.-63z'2

formen wir (wegen der Gleichberechtigung von x', y') vorerst unter BenLitzung von Zylinderkoordinaten p' = x/x'2-~y '2, ~0', z' urn, im Ergebnis ftihren wir dann Kugelkoordinaten ein. Bei der Umformung machen wir (Striche vori~bergehend weggelassen) zweimal v o n d e r leicht zu beweisenden Operatorgleichung

( 63--2Z~)+(p2--2z2)A

A(p2-- 2z2) = 4 p637

(23)

Gebrauch:

(23)

63 - 2 z

•

i

(2~3)

= A A (p2 _ 2 z 2) -

2A (p2

= [ A , [A, ; 2 - 2 z 2 1 ]

--

2z2)A +

(p2 _ 2 2 2 ) A A

,

632 A - 3 - - = ~[a, [a, p 2 _ 2z2]]. 63z2 Somit gilt die Operatorgleichung 632

632

63x'2

632

t3y52 + 2 O-~- =

x/~[A', [A',/2 Y2o(~')]].

(24)

Setzen wir noch

U(r',

0') -

- x/~rc/2

r2o(0'),

(25)

so schreibt sich Ho(2)

n¢o2~ = ~,~h~,o,7(a){sv- [A', EA', V33}.

(26)

Mit dem dimensionslosen, von der Deformation abh/ingigen Operator R(r/) - -~r/(f){SU-EA', [A', U]]}--a~,z-2(~,.s),

(27)

NILSSOrqSCaESKrgNMOO~LL

317

schreibt sich dann H

= ~/~o" + ~h~'o R(,1).

(28)

Es miissen nun noch die Matrixelemente von R(r/) berechnet werden. Die Matrixelemente von ~2 sind bekannt, die von ~..s kSnnen sofort angegeben werden. Aus ;t. s = ½(2+s_ + 2 _ s + ) + 2 z s z

(29)

und 2+]N2A2~> = A(2, ±A)IN2, A + 1, 2;5,

s+IN2AS,> = A(½, __+2;)IN2A2~,2;± 1>

(30)

A(j, ±m) =- ~/(j-T-m)(jim+ l) erh~ilt man die Matrixelemente von ~,.s. Von Null verschiedene Matrixelemente von X • s gibt es nur fiir (jz = l~+s~

[alN' = N

[b] N' = N

;d=2

2'=2

A'=A } f 2 , = g2 27 = 2~

A'=A±I }i2,=i 2 2;' = 2;T 1

O = A+2;) (31a)

und diese sind [a]

= ±½A,

[b]


(31b)

Die Berechnung der Matrixelemente von Ho~z) ±st wesentlich verwickelter. Wir setzen voriibergehend zur Abkiirzung ZN,~,a,z,(r, O, ~) = Z',

XN~A~(r,O, ~) -- X

(32)

und berechnen die Matrixelemente von

W =_ 8 U - [ A ' , [a', tr]].

(33)

Unter Verwendung der Eigenwertgleichungen (19a), also [ - A ' + r ' 2 ] X = (2N+3)Z,

[-A'+r'2)X '=

(2N'+3)Z',

(34)

ferner unter Beniitzung der Hermitizit/it von A' und U und unter Beriicksichtigung von

A'r'Z)C = 6 x + 4 r ' ~ X+ r ' a X - ( 2 N + 3)r'Zx, or

318

D. GRAU U N D O. ttITTMAIR

(analog fiir X') erh/ilt man aus (X', WX) = 8(Z', UX)-(Z',

A'A'Uz)+2(Z', A'UA'z)-(Z', UA'A'z),

nach Zusammenfassen gleicher Matrixelemente O, X) und dies ist weiter

0(, wz) = 16{1-[½(N'-N)le}(x ', UZ). Man erh~ilt also fiir die Matrixelemente yon H~ 2)

( N'~.'A'T,'IH~o2)IN2A2~) = xh~orl(6){1-¼(N'-N)Z}(N'2'A'7,'I UIN2Ar,). Die Matrixelemente von Es ist

U(r', ~') kann man

(N'2'A'~'IUIN2AZ,)

=

V 54~

22 + 1 22'+~

(35)

unter Heranziehung yon (21) berechnen.

(25201),a)(202012,0)g~,~,,6a,a 6~,~

(36)

mit RuU]~' _-

fdr:.N

uNx(r) =

r~ -~'x*-½"'2r~+~r"2~'. "--Nx ~n ~, j.

(37)

ES ergibt sich dabei ftir N die Auswahlregel N ' = N bzw. N ' = N_+2, dies bedeutet aber wegen ftir N' = N fiir N' = N + 2 , dab Ho~2) in N diagonal ist:

(N'2'A'Z']H~o2)IN2Ar,) = xh~Oorl(O)ON,N(N2'A'~'I UINAAZ).

(38)

Nichtverschwindende Matrixelemente von Ho~2) gibt es entsprechend nut ffir [a] N ' = N

[b] N ' = N

[c] N ' = N

2'= 2

2' = 2 + 2

2'= 2-2

A' = A Z'=Z

A' = A Z'=Z

A'=A Z'=Z

(39a)

NILSSONSCHES KERNMODELL

319

und diese sind gegeben durch (38) mit 2

3" )'(2+1) - A 2

[a]

= - ~ N +-~) ( ~ Z - i ~ - 2 ~ ) '

I'b'l

= - 8[n(n + 2 + g2)]~ ['(2 + A + 1)(2- A + 1)(2 + A + 2 ) ( 2 - A + 2)] ~" (22 + 1)(22 + 3)

I-e] = -- 2[(n + 1)(n + 2 + ½)]½ [(2 + A - 1)(2- A - 1)(2 + A ) ( 2 - A)] ~ (22-1)(22+1)

(39b)

Es schreiben sich somit die Matrixelemente yon H wegen (28)

= (N+3)ho~o(a)6N,N6z, aaa,a6~,~

+xhgOoaN,N. (40) Die Matrixelemente von R (r/) kSnnen fiir vorgegebene Deformation mit Hilfe von (19b), (31) und (39) sofort angeschrieben werden. Da N und f2 = A + 27 gute Quantenzahlen sind, kann man die Bindungszustande durch N, fa und eine weitere Gr~513e ~ kennzeichnen: INlay>. Als Parameter tritt dabei noch 6 bzw. (r/)a auf. Diagonalisiert man den dimensionslosen Operator R (r/) in der N2AZ-Darstellung fiir einen vorgegebenen Wert von 6 bzw. r/in den (N-fa+½)-dimensionalen Unterr~iumen, die zu vorgegebenen Wertepaaren N, fa geh6ren, so sind die N - f a + ½ Eigenvektoren INlay>, = = 1, 2 . . . . N - f 2 + ~ } die gesuchten Zustandsvektoren fiir die vorgegebene Deformation fi und die Quantenzahlen N, 12:

R(rl)lNt'aa> = r~a(r/)]Nl2a>,

~ = 1, 2 . . . . N - f 2 + } .

(41)

Als Ergebnis der Diagonalisierung der Matrizen

(42)

erhgtlt man also Einteilchenzusffmde und -energien im Nilssonpotential INf2=> = Y. aa, a_~(Nc¢; q)lN2, 12-Z, Z>,

(43)

a.E

E~a(6) = ( N + 3)ho9o(6) + tch~or~a(rl).

(44)

4. Diskussion Wegen der formalen fJbereinstimmung der Beziehungen (40), (43) und (44) mit den entsprechenden der urspriinglichen Nilssonschen Darstellung bei gleichzeitiger

320

D.

GRAU

UND

O. H I T T M A I R

formaler Gleichheit der entsprechenden Matrizen (42) ist die praktische Anwendung der Nilssonschen Tabellen auch hier m/Sglich. ,,Forrnale 13bereinstimmung" soil dabei heil3en, dab man aus den angegebenen Beziehungen unmittelbar die Nilssonschen erh/ilt, wenn man die Parameter 6, O9o(~i), r/(di) statt im Sinne der Definitionen (3), (12) und (13) im Sinne der davon geringfiigig abweichenden Definitionen yon Nilsson interpretiert. Der Zusammenhang der Parameter ist durch (17) gegeben. W/ihrend die Gleichung (40) wegen der in der N2AZ-Darstellung beziiglich N bestehenden Diagonalit~it von Ho~2) bzw. R (~/) exakt gilt, gilt die entsprechende Gleichung der urspriinglichen Nilssonschen Darstellung nur n~iherungsweise, da der entsprechende Operator ~ (7/) in jener Darstellung beziiglich N nicht streng diagonal ist, sondern auch von Null verschiedene Matrixelemente fiir N ' = N + 2 besitzt. (Formale Gleichheit besteht zwar fiir die Diagonalelemente yon R(r/) und _R(7/), nicht aber fiir die Operatoren selbst.) Die angegebene Neuinterpretation der Nilssonschen Tabellen ist entsprechend mit einer Verbesserung der Einteilchenenergien und -wellenfunktionen verbunden. Wegen der F o r m des Zusammenhanges der einander ersetzenden Gr~13en ist die ~ n d e r u n g der Niveaus noch von der Deformation abh~ingig. Literatur 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

S. G. Nilsson, Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk. 29, No 16 (1955) B. R. Mottelson und S. G. Nilsson, Mat. Fys. Skr. Dan. Vid. Selsk. 1, No 8 (1959) R. K. Nesbet, Phys. Rev. 109 (1958) 1017 Handb. d. Physik Bd XXIX, Hrsg. S. Fltigge (Berlin, 1957) P. F. A. Klinkenberg, Revs. Mod. Phys. 24 (1952) 63 Lehrbuch der Kernphysik, Hrsg. G. Hertz (Leipzig, 1961) R. H. Lemmer, Phys. Rev. 117 (1960) 1551 R. H. Lemmer und A. E. S. Green, Phys. Rev. 119 (1960) 1043