Das verhalten von systemen in gleichgewichtslagen innerhalb von gleichgewichtsbereichen

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DAS VERHALTEN VON SYSTEMEN IN GLEICHGEWICHTSLAGEN INNERHALB VON GLEICHGEWICHTSBEREICHEN HORST Lehrstuhl

I

fiir Mechanik. (Receired

J. KLEPP

Ruhr-Universitlt,

Bochum, Federal

10 October 1983; in reoised /arm

Republic of Germany

18 March

1987)

Abstract-In order to characterize the equilibrium positions of a system inside an equilibrium domain, direction elements are defined. These follow from the response of the autonomous system in such a position to small disturbances by impulses, which effect initial velocities of the system. The direction elementsestablish for the equilibrium domain a direction field, which gives information about the different behaviour of the system in the equilibrium positions of the domain. Examples are also considered.

SYMBOLE Parameter der Anfangsstijrungen Richtungselement der Gleichgewichtslage

4

allgemeine Form der BewegungsditTerentialgleichung orstsabhangige Gewichtsfunktion Bereich im Raum der verallgemeinerten Geschwindigkeiten verallgemeinerte Impulse verallgemeinerte gewichtete Impulse Langen Masse Reibungsmomente in den Gelenken verallgemeinerte Koordinaten Gleichgewichtslage Nachbargleichgewichtslage von rj Bewegung aus der Anfangslage ij nach einer kleinen Stiirung Gleichgewichtsbereich im Koordinatenraum Reaktionskrafte in den Gelenken Zeit Anfangsgeschwindigkeiten nach kleinen Storungen Abstand zwischen den Gleichgewichtslagen tj und q dynamischer bzw. statischer Reibungskoeffizient Abstand zwischen den Lagen q, und q2 im Koordinatenraum.

I.

EINLEITUNG

Das Stabilitatsverhalten isolierter Gleichgewichtslagen wird durch die Bewegungen bestimmt, die das System beschreibt, wenn es durch Stiirungen aus der zu untersuchenden Gleichgewichtslage entfernt wird. Urn die Eigenschaften von Gieichgewichtsbereichen zu kennzeichnen, wurden geeignete Stabilitltsbegriffe eingefiihrt, wie z.B. in [l] oder [2]_ In [3] wird daurauf hingewiesen, daB diese Stabilitatsbegriffe sich auf den ganzen Bereich beziehen und keine Aussagen iiber das Verhalten des Systems in den einzelnen Gleichgewichtsiagen des Bereiches zulassen. Die individuellen Gleichgewichtslagen technischer Systeme innerhalb von Gleichgewichtsbereichen sind in der Regel nicht gleichwertig. Besonders bei Gleichgewichtsbereichen, die auf die Wirkung von Reibungskriften zuriickzufiihren sind, kann ungleichm6Biges Verhalten in den verschiedenen Gleichgewichtslagen zu ruckartigen Belastungen fiihren, wenn sich das System durch solch einen Bereich bewegt. Unter dem EinfluB von kleinen Stiirungen in der Form von Erschiitterungen kann innerhalb der Gleichgewichtsbereiche ein “Wandern” des Systems zu besonderen Gleichgewichtslagen hin beobachtet werden [4,5]. Diese Besonderheit der Gleichgewichtslagen innerhalb von Gleichgewichtsbereichen kann allgemein nicht aus dem Potential des Systems abgeleitet werden. Deshalb mug das Verhalten des Systems auf kleine Stijrungen untersucht werden. In der Regelungstechnik 429 NLll22-s-11

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(f)

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(5)

0 =

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Das

kann eine Bedingung

Verhalten

van

Systcmen

431

in Gleichgewichtslagen

in der Form

IlJll = C = const.

(6)

formuliert werden. Das hat zur Foige, da13 die entsprechenden eine Bedingung in der Form

Anfangsgeschwindigkeiten

IIWI < v(C)

(7)

erfiillen. Die Impulse J, die die Bedingung (6) erfiillen, bilden im ~-dimensionalen verallgemeinerten Impulse einen abgeschlossenen Bereich S

Raum

Ilgi(S) ’ Jill = c}*

S={+=J,

der

(8)

In diese Menge wird eine Halbordnung eingefiihrt, damit die Storungen in einer ~stimmten Reihenfofge genommen werden konnen. Jedem Impuls aus der Menge S kann mit Hilfe der Differentialgieichungen des Systems ein Anfangsgeschwindigkeitszustand zugeordnet werden. Diese Anfangsgeschwindigkeiten bilden im Raum der verallgemeinerten Geschwindigkeiten einen Bereich G. Es kann LB. gefordert werden, daB nicht die Storimpulse eine Bedingung (6), sondern die Anfangsgeschwindigkeiten des Systems oder die kinetische Energie der Anfangsst~rungen in den Gleichgewichtslagen bestimmte Bedingungen erfiillen. Diese Anfangsgeschwindigkeiten bilden im Raum der verallgemeinerten Gerschwindigkeiten einen abgeschiossenen Bereich G, in den eine Halbordnung einzufiihren ist. Die Bewegung fur eine Anfangslage aus dem Gleichgewichtsbereich R und fur Anfangsgeschwindigkeiten aus der Menge G wird aus (1) bestimmt. Diese Bewegungen werden mit q = q(r) bezeichnet und bilden eine Menge

Q = (q 1q = q(t), f;(q, il, ii; $4) = 0) 3.1. Zuerst werden die Gleichgewichtslagen

(9)

fiir die bei geeigneter Wahl alle Bewegungen q = q(t), die aus ihnen

aus R betrachtet,

von C, dem Parameter der Anfangsst~rungen, beginnen, in benachbarte Gleichgewichtslagen wird mit Hilfe der Anfangsgeschwindigkeiten

enden. Einer solchen Gleichgewichtslage ij aus G und der DXerentialgleichung (1) eine Menge benachbarter Gleichgewichtslagen Q zugeordnet, lim q(c) = ij fur c > T,. Diese Gleichgewichtsiagen bilden eine Untermenge von R, die mit P bezeichnet wird P = (p/p = 4, F(a, O,o;&&)

Im Raum der verallgemeinerten q2 durch

Koordinaten

Ph’9$1 = 119’ -

$11

= O,#G).

ist der Abstand

=

definiert. Die AbstPnde E zwischen einer Gteichgewichtsiage Q bidden eine Menge endlicher reeller Zahlen

(lot

zweier Elemente q1 und

Ji

C(4f - 4f12

(11)

4 und den ~achbargIeichgewichtslagen

E = (EIE = p(ij,Q),q~R,q~P}.

(12)

432

H J.

Die obere Schranke

KLEPP

dieser Menge sei E* E” = sup E.

(13)

Dieser Wert hangt im allgemeinen von C ab. Gibt es nur ein Element der Menge P, also nur eine ~a~hbari~g~

gilt, wird im Raum der Systemkoordinaten die Punkte q und q verbindet

der Einssektor

Dieser ist das Richtungselement der Gle~chg~wichtslag~ dieser Gleichgewichtsiage verwendet. Wenn es mehrere Punkte ij E P gibt, fiir die

4 = q”. fur die

e des Vektors

betrachtct.

der

ij und wird zur Ch~~r~~kteris~~rung

gilt, so wird fur die Gle~chgewichtsia~e 4 kein Ri~htungs~~~rn~~t definiert. Sol&e Cleichgcwichtslagen werden mit q* bezeichnet. Es sind entweder Verzweigungspunkt~ qc oder Sammelpunkte q:, je nach der Orientierung der Richtungselemente der benachbarten GIei~hgewichtsiagen. Sie dienen der Abgrenzung und Charakterisierung der Abschnitte der Gieichgewichtsbereiche. 3.2. Jetzt werden die Gleichgewi~htslagen aus R betrachtet, fur die kein C gewghlt werden kann, damit alle Bew~gungen, die aus ihnen als Anfangs~age beginnen und mit den Anfangsgeschwindgkeiten aus G zu benachbarten Gleichgewichtslagen fiihren. Es werden also such Bewegungen eingeleitet, die das System von der Anfangslage entfernen. Wenn die Impulse aus S in einer bestimmten Rcihenfolge entsprechend der Halbordnung in S aufgebracht werden, so seien (&q), und (dq,), die Anfangsgeschwindigkeiten in G, fiir die die aus der Anfangslage q angeregten Bewegungen zu benachbarten Gl~ichge~~i~htslagen qi bzw Qj fiihren. Fur die Anfangsgeschwindigkeite~ zuischen (bq)i und (6g), gibt es keine Liisungen 4. Die Punkte qi und qj bestimmen einen infinitesimalen Bereich des Randes der Menge R. Hat dieser Randbereich eine eindeutige iiul3ere Normale, so bestimmt der Einsvektor dieser Normalen das Richtungselement der Gleichgewichtslage 4. In der Abb. 1 ist der Fall eines Systems mit zwei Freiheitsgrade~ dargestellt und die

Abb.

I. ~ichtun~se~eme~te

der Gleichg~w~chtslagen innerhalb einrs einem System mit zwei Freibeits~raden.

Gl~i~hge~ichts~r~iches

bei

Das Verhaltrn WI-ISystemen in Gleichgewichtslagen

433

der Richtungselemente in verschidenen Giei~hgewi~htsIagen veranschauiicht. Richtungsetemente der Gieichgewichtslagen, die Verzweigungspu~kte und die Sammelpunkte bestimmen das Richtungsfeld eines Gleichgewichtsbereiches. Es dient det Charakterisierung des Gteichgewichtsbereiches und kann i.iber ungleichfiirmiges Verhalten des Systems in den Gteichgewichtstagen des Bereiches Aufschlub geben. 3.3. Fur ein System mit einem Freiheitsgrad in einer bestimmten Gleichgewichtslage besteht die Menge S der Impulse aus zwei, die sich durch ihren Richtungssinn unters~heiden. Diese Stiirungen fiihren zu Anfangsgeschwindigkeiten mit demselben Betrag in die positive und negative Richtung. Mit der Anfangsgeschwindigkeit &j > 0 bewegt sich das System aus der Anfangsiage 4 in die benachbarte Gleichgewichtslage 4’ (Abb.2) und mit der Anfangsgeschwindigkeit - 84 in die Lage q-. Die Abstande E+ = 14’ - 41und E- = 14- - 41 bestimmen das Richtungselement der Gteichgewichtslage 4. In der Abb. 2 sind fiir einen Abschnitt eines G~eichgewichtsbereiches die Kurven e+(q) und E-(G) dargestellt. Die entsprechenden Richtungselemente sind such eingezeichnet. In diesem Abschnitt gibt es such Gleichgewichtslagen q*, fiir die &+(q*) = &-(q*) gilt. Aus dem Vertauf der Richtungselemente der benachbarten Gleichgewichtslagen folgt, welcher dieser Gleichgewichtslagen ein Verzweigungspunkt 4; und wetcher ein Sammelpunkt 4: ist. 3.4. Die oben detinierten Richtungselemente der Gleichgewichtslagen. die Verzweigungspunkte und Sammeipunkte hgngen attgemein sowohi von den Systemparametern als such von den Anfangsstorungen ab. Fur Sonderfdlte kann das einem Gleichgewichtsbereich entsprechende Richtungsfeld von den Anfangsstorungen unabhlngig sein. Sotch ein Richtungsfeld wird als “gleichfijrmig” bezeichnet, und ein von der Art und Intensitat der Anfangsstorungen unabhangiges Verhalten des Systems ist zu erwarten. Definitionen Die

4. BEISPIELE

4.1. Wenn fiir das System in Abb. 3 die Bedingungen 1 ml -=-1=3

1 (17)

11 4

m2

erfiillt sind, ist 0 der Schwerpunkt des Systems. Es besteht also Gleichgewicht fur alle Werte von qt und q2. Dieses System kann als vereinfachtes Model1 eines Zeichentisches, einer Haltevorrichtung oder fiir q2 = const als vereinfachtes Model1 einer Zugbriicke angesehen werden. Die Erfahrung zeigt, dafi die Glei~hgewichtslagen solcher Systeme nicht gleichwertig sind, und dab sich die Systeme unter der Einwirkung von Erschutterungen in bestimmte Gleichgewichtslagen verlagern. Eine Wrsache dieses ungleichfijrmigen Verhaltens sind die Reibungsmomente in den Gelenken. Betrachtet man z.B. q2 als konstanten Parameter, was der Fixierung des Stabes 3-5 gleichkommt, so besteht Gleichgewicht fiir alle Werte von qr. Fur den Sonderfall m, = m2 = m und ti = t, i = I, 2,3,4 sind Ri die Reaktionskr~fte in den Gelenken 1 bis 5,

I-

I

-Q

V

S

Abb. 2. Richtungselemente, Verzeigungspunkte und Sammelpunkte eines Gleichgewichtsbereiches bei einem System mit einem Freiheitsgrad.

H. J. KLEPP

Abb.

3. System

die bei der iterativen

mit zwei Freiheitsgraden,

Losung

der Aufgabe

einen

dessen Gleichgewichtslagen

zum ersten

Schritt

benotigt

Bereich

bilden

werden

(18)

119)

21 .. -gqlslnql

21 .z -gql

sin q1 tan(q, - q2) I

I:2 (20)

Wird z.B. vereinfachend angenommen, dal3 alle Gelenke zylindrische Tragzapfen sind mit den Radien r und den Reibungskoeffizienten ,n bzw. Pi, so ergibt sich fur das Reibungsmoment der Ausdruck

M, = M,(q,

Ri*

4,ij; 14 = Pr i

(21)

1

statischen Reibungsmomentes In der Abb. 4 sind die Werte des bezogenen im Bereich q1 E (0; 180’), q1 E ( - 180’; 180’) R I = M,(q, 0,O; p,)/(2mgrp,) als Hohenlinien dargestellt. Wegen der Symmetrie des Systems konnen diese Werte such in die Bereiche q1 E (180”; 360”) und q1 E (- 360”; 0’) iibertragen werden. Fur einen konstanten Wert von q2, z.B. q2 = -3O”, hat das bezogene Reibungsmoment in den Bereichen q1 E( - 30,150”) und q1 E (- 210’; - 30”) je ein Minimum in den Lagen q, = 22, 80” bzw. qi = - 157,20”. Die Ungleichfijrmigkeiten im Verlauf des Reibungsmomentes sind eine Ursache fur unterschiedliches Verhalten des Systems auf kleine Storungen innerhalb des Gleichgewichtsbereiches. 4.2. Wenn fur das in der Abb. 5 dargestellte System die Bedingung mg = 2cl erfiillt ist, befindet es sich in allen Lagen im Gleichgewicht. Urn die Untersuchung iibersichtlich zu gestalten, wird nur die Reibung im Gelenk 1 beriicksichtigt (zylindrischer Zapfen mit den Radius r und den Reibungskoeffizienten ,u

Das Verhalten van Systemen in Gleichgewichtslagen

435

Abb. 4. Das betogene stat&he Reibungsmoment fiir das System in der Abb. 3.

, Abb. 5. System mit einem Freiheitsgrad. dessen Gleichgewichtslagen einen Bereich bilden.

bzw. p,). Das bezogene Reibungsmoment

ist [f 21

M(q,Cj,cj;fi)=p;

Das bezogene statische Reibungsmoment

ist

(23)

H. J. KLEPP

436

Der Verlauf dieses Momentes ist in der Abb. 6 dargestellt. Aus diesem Verlauf kann nicht geschlossen werden, dal3alle Richtungselemente zur Gleichgewichtslage q = 180’ hinweisen. In einer Gleichgewichtslage 4 werden Storungen, die kleine Anfangsgeschwindigkeiten &j erzeugen, angenommen. Die so eingeleitete Bewegung q = q(t;q,dg) wird aus der Bewegungsdifferentialgleichung

bestimmt. Das System bewegt sich in benachbarte Gleichgewichtslagen mit der Lagekoordinate <’ fur die Anfangsgeschwindigkeit &j > 0 bzw. q- fur die Anfangsgeschwindigkeit - drj. Urn die Richtungselemente der verschiedenen Gleichgewichtslagen in Zusammenhang zu bringen, werden die Anfangsstiirungen bestimmten Bedingungen unterworfen. Es werden hier Storungen in der Form konstanter horizontaler Impulse I = f ml. C angenommen. Fur den Reibungsbeiwert ,u(,/l = 0.005 und fur verschiedene Werte des Storparameters C [I ‘s] wurden im Bereich q~(0, 180’) durch numerische Integration der Bewegungsdifferentialgleichuag (24) die Richtungsfelder bestimmt. In der Abb. 7 ist fur verschiedene C-Werte der Verlauf der Verzweigungspunkte qc und der Sammelpunkte q: gezeichnet. Diese Punkte begrenzen Abschnitte mit unterschiedlichen Richtungselementen, die fur C = 0.05 I/s und C = 0.01 l/s eingezeichnet sind. Wie die Rechnung in diesem Fall gezeigt hat, kann das Richtungsfeld nicht aus dem Verlauf des statischen Reibungsmomentes abgeleitet werden. Die Vernachlassigung der dynamischen Komponenten im Reibungsmoment fiihrte zu Ergebnissen, die sich wesentlich von denen unterscheiden. die mit Beriicksichtigung diescr Komponenten bestimmt wurden [I I]. 5. SCHLUSSFOLCERUNG

Die Gleichgewichtslagen eines Systems innerhalb von Gleichgewichtsbereichen sind in der Regel nicht gleichwertig. Unter dem Einflul3 von Storungen kann sich das System zu

I

M, ki)

Abb. 6. Das bezogene statische Reibungsmoment

-

fiir das Sjstcm

qY

I

!

!

I

i /_

O Abb. 7. Drr

Verlauf

I

10’

in Abb. j

;q

1ao*

der Verzweigungs- und Sammelpunkte des Richtungsfeldes Abb. 5 bei horizontalen StGlIen mit konstantem Impuls.

des Systems in

Das Verhalten

von Systcmen in Gleichgewichtslagen

437

bestimmten Glei~hgewichtsiagen hin veriagem. Urn die individue~~en Gleichgewichtslagen eines Bereiches zu characterisieren, wird die Antwort des Systems auf kleine Sttirungen untersucht. Das fiihrt zur Definition von Richtungselementen fiir die individuelien Gleichgewichtslagen sowie von Verzweigungsund Sammelpunkten. Diese hgngen allgemein von den Anfangsstarungen, vom Potential und vom Verlauf der Reibungscharakteristiken ab. Die Richtungselemente sowie die Verzweigungs-und Sammelpunkte ergeben das Ri~htungsfeld fiir den GIeichgewi~hts~rei~h, das zur Erklgrung des ung~eichf~~igen Verhalten des Systems innerhaib des Gleichgewichtsbereiches dient. Wenn das Richtungsfeld nicht von den Anfangsstiirungen abhlngt, dann ist das Richtungsfeld “gleichf6rmig” und erlaubt Aussagen iiber Verlagerungstendenzen innerhalb des Gleichgewichtsbereiches.

6.

ZUSAMMENFASSUNG

Urn die Gleichgewichtslagen eines Systems innerhalb von Gleichgewi~htsbereichen zu charakterisieren, werden Richtungseiemente definiert. Diese folgen aus dem unterschiedlichen Verhalten des autonomen Systems in einer solchen Gleichgewichtslage auf kleine Stiitungen durch Impulse, die dem System Anfangsgeschwindigkeiten vermitteln. Die Richtungselemente bilden fiir die Gleichgewichtsbereiche ein Richtungsfeld, das iiber das unterschiedliche Verhalten des Systems in den verschiedenen Gleichgewichtslagen Aufschlu~gibt. Abschiie~end werden Beispielegebracht. LITERATUR I. V. I. Zubov, Merhods of A. M. Liapunoe and their Application, S.22. P. Nordhoff, Groningen (1964). 2. T. Yoshizawa. Stability theory by Liapunov’s second method. Math. Sot. Japn, Tokyo, 71 (1966). 3. P. Hagedorn, On the stability of equilibrium sets of discrete conservation mechanical systems. AIAA J. 12, 1057-1059 (19743. 4. A. A. Andronow, A. A. Witt und S. E. Chaikin, Theotie der Schwing~~gen, Teil I, S.160. Akademie, Berlin (1965). 5. P. Naslin, Dynamiii [inearer und nichrlinearer Sysieme, 5.432. R. Oldenbourg, Miinchen (1968). 6. R. L. Cosgriff, Nonlinear Control Systems, St 1.5. McGraw-Hill, New York (1958). 7. K. H. Fasol, Die Frequenzkennlinien, S.131. Springer, Wien (1968). 8. J. Andri und P. Seibert. Uber stiickweise lineare Differentialgleichungen, die bei Regelproblemen auftreten, Teil 1, Archs Marh. VII, No. 3, S.148 (1956). 9. S. Lefschetr Stability of ~~onii~ear Conrrof Systems, S.76. Academic Press, New York (1965). IO. P. Burton, Kinemarics and Dynamics of PLanor ~uchj~ery, S.423, 464. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. ( 1979). 1I. H. J. Klepp. &er die Gleichgewichtstagen und Gleichgewichtsbereiche nichtlinearer autonomer Systeme, Juni 1985, Mirreilungen aus dem Institut fir Mechanik No. 45, Ruhr-Universitlt Bochum. 12. H. Klepp und A. Meyers. Die Bestimmung der Richtungselemente und des Richtungsfeldes fir Systeme mit Gleichgewichtsbereichen, GAMM-Tagung Dubrovnik, l-4 April 1985. 2. angew Math. Mech. 66, T49-T51 (1968).