Distributions stationaires dans des champs magnetiques longitudinaux uniformes

NUCLEAR

INSTRUMENTS

AND METHODS

IOO

(i972) 365-369;

© NORTH-HOLLAND

PUBLISHING

CO.

DISTRIBUTIONS STATIONNAIRES DANS DES C H A M P S M A G N E T I Q U E S LONGITUDINAUX U N I F O R M E S P. T A N G U Y

et C. R O U X

Laboratoire d'Electronique, Universitd de Rennes I, 35 Rennes-Beaulieu, France R e g u le 1 d6cembre 1971

The purpose of this paper is to investigate the modifications which occur in the phase space distribution of a beam of charged particles when one takes into account solenoidal fringing fields. It is shown that in a longitudinal magnetic field following the fringing geometry stationary distributions can be obtained. A method is given to calculate these distributions.

2. Introduction Lorsqu'un faisceau est adapt4 5. un syst6me de focalisation, il progresse darts ce systhme avec un rayon et des 6mittances constants, marne si les forces de charge d'espace ne sont pus lin6aires. C'est pour ces raisons qu'un grand nombre de travaux ont 6t6 consacr6s 5-la recherche de distributions stationnaires dans des systhmes de focalisation. La premiere distribution stationnaire qui ait 4t6 6tudi6e est celle de Kapchinsky-Vladimirsky ~)mais cette distribution (distribution superficielle duns l'espace des phases transversal 5. quatre di~rlensions) n'est pas r6alisable pratiquement. Plus rdcemment, Lapostolle z, 3) a d6couvert une autre fami!le de distributions stationnaires dans un syst6me de focalisation continu. Enfin Sacherer 4) a montr6 qu'il existait une infinit6 de familles de distributions stationnai~ es e t a 6tabli le formalisme permettant de les d6terminer. Toutes les distributions 6tudides jusqu'ici ne peuvent ~tre stationnaires que si elles 6voluent duns des syst6mes de focalisation continus o6 la focalisation est assur6e par des champs 61ectriques radiaux de la forme E ~ = - G r ( G = c t e ) ; malheureusement, de tels syst~mes n'ont pu ~tre r6alis6s pratiquement. Ces remarques nous ont conduits 5. rechercher des distributions stationnaires duns des syst6mes de focalisation physiquement r4alisables, constitu6es par des champs magn&iques longitudinaux uniformes cr6ds par des sol6noides: nous 6tudions Faction des champs de fuites sol6noidaux et nous montrons qu'un faisceau oh la distribution dans l'espace des phases est du type Kapchinsky-Vladimirsky engendre, apr6s la travers4e du champ de fuite sol4noidal, un faisceau/t distribution stationnaire darts le champ longitudinal uniforme Bo du sol6noide. Nous g4n6ralisons ce r6sultat en 6non,ant et d4montrant un th4or6me permettant de construire, /t partir de r4sultats connus, une infinit6 de families de

distributions stationnaires dans le champ longitudina uniforme du sol6noi'de. 2. Action des champs de fuite sol6noidaux Dans le champ de fuite d'un sol6no~de, les 6quations du mouvement des particules de charge q et de masse m s'dcrivent: mSi = qE~ + q ( . g B . - ~B.v), m y = qEy + q(~B~-- .~B~),

(i)

rn2 = q(2By--.gB~),

les points d4signant des ddrivations par rapport au temps t; E~ et Ey d6signent les composantes du champ 61ectrique de charge d'espace. En premi6re approximation, les composantes de l'induction magn6tique du champ 5. sym6trie axiale s'expriment en fonction de l'induction sur l'axe B~(O,z)= B~ grace 5.: Bx=-½x

dB~ dz '

dB~ By=-½y dz"

(2)

Le second membre de la dernibre des 6qs. (1) est du second ordre en x3~ et y 2 , on aura donc au second ordre pr6s: (3)

2 = cte = v~ ~- v

(v~: vitesse longitudinale des particules, v: vitesse totale de ces particules). Dans ces conditions, les deux premi6res 6qs. (1) deviennent q , q x " = iTlq~)2 E x + ~ y B z + ~ - n ~ v y

y" =

q my

z

Ey

q

2my x

dBz dz

dB.

q

dz

my

~

,

x B~

(4)

(les primes d4signant des d6rivations par rapport 5- la

365

366

P.

r X .,×.,Y.,

I , I Y.-~ I I

TANGUY

ET

1 t , I~-- x s , x ~ , y s , Y i I i

1~ . - - ~ ,"

"t

Fig. 1. Variation du champ sur l'axe dans la r6gion de champ de fuite. variable longitudinale z) et peuvent &re intdgr6es en supposant que le champ de fuite du sol6noide s'&end sur une distance tr6s courte A z = 2 e (voir fig. 1), de telle sorte que les coordonn6es de toutes les particules restent constantes lorsque le champ sur l'axe passe de 0 / t Bo. Avec ces hypoth6ses, l'integration des 6qs. (4) fournit, en gardant les notations de la fig. 1 et en posant qBo 0 = 2my'

(5)

x~ = xo,

x~ = x" + f2yo,

Ys = Ye,

Yts = y ' ~ - f 2 x ~ .

(7)

(8)

2 r r A(x~2 + y~) + 2B(x~x~, + y~y~) + 2C(x~y~p - y~x~)

(9)

aYec

A - - f + hQ 2, B = g, C = hf2, D = h. (10) * Ce probl6me a &6 envisag6 par Kapchinsky darts son livre sur les ace~16rateurslin6aires7,s). t Si l'on tient compte du champ magn&ique de charge d°espace cr66 par le passage du faisceau, on a: k 2 _ qI(1 - fiz) _ 2 2ngomO3

qI 2ggomoe3fi3~/3

C'est le coefficient.4 de Lapostolleg).

Dans un faisceau ~ densit6 de Kapchinsky-Vladimirsky prdsentant /~ l'entr6e du champ uniforme B o une 6mittance telle que (9), la densit6 de charge est uniforme dans toute section droite. Les 6quations des trajectoires dans le champ B o s'6crivent, en d6signant par R(z) le rayon de l'enveloppe du faisceau et en posant *

k2X

est transform& en une distribution hyperellipsoidale plus complexe du type + D(x~ 2+ y ~ ) - E = 0,

3. Distributions de Kapchinsky-Vladimirsky adapt~es au champ longitudinal uniforme Bo*

(6)

A titre d'exemple, une distribution du type Kapchinsky-Vladimirsky-distribution superficielle sur l'hyperellipso~'de ' + h ( x ~. ,2 + y ~ f ( x• 2 + y2) + 2g(x,x~' + YeYe) ,~) - E = 0

On peut remarquer que: a) les formules (6) traduisent l'application, sous forme simplifide, du th6or6me de BuschS); b) le champ de fuite ~ la sortie du sol6no~de produit une transformation des coordonn6es et pentes inverse de celle produite par le champ de fuite ~t l'entr6e du sol6noide; c) latravers6e du champ de fuite ~tl'entr6e du sol6no~de s'accompagne d'une augmentation d'6mittance; cette question est examin6e en d6tail dans un rapport plus complet6).

(11)

k2 _ qI 2 21rgomv3 '

Si f(x~,x'.,y.,y'~) est la distribution des points repr6sentant les particules du faisceau dans l'espace des phases ~t l'entr6e du champ de fuite, la distribution de ces points dans l'espace des phases/~ la fin du champ de fuite (~ l'entr6e dans le champ uniforme Bo) sera d'apr~s (6): g(Xs, x;, y~, y;) = f(x~, x £ - g2y~, Ys, Y~ + Ox~).

C. ROUX

X"-- - -

+ 2Qy',

y"----

2[R(z)] 2

lcZy

2Qx'.

(12)

2[R(z)] 2

Les 6qs. (12) se rdsolvent en posant x + i y = w(z)e -i°z,

x-iy

= ~(z)e +mz,

(13)

w(z) &ant une fonction complexe de la variable r6elle z et #2 donn6 par 6q. (5). Les fonctions w e t ~ sont alors solution de la mame 6quation diff6rentielle lin6aire w,,+(f22

k?

1 ]5)w=0"

2 IR )

(14)

Pour obtenir le rayon de l'enveloppe du faisceau, on exprime les coordonndes et pentes x,y,x',y' de toute trajectoire en fonction de ses coordonn~es et pentes Xo,Yo,X;,y'o + ~t l'entr& de la r4gion de champ uniforme B o e t des fonctions lin6airement ind6pendantes F 1 et F 2 solutions de l'eq. (14) telles que:

f~(0)=l;

f;(0)=0;

f2(0)=0;

fi(0)=l.

(15)

On peut ainsi obtenir l'expression de l'hyper6mittance du faisceau ~t toute abscisse z. En posant d = A(f22F 2 + F 2 ) - 2 B ( F ' t F 2 + O~F1Fz) +2CO

x [I-(F]+ + D[f22(F1 - F;) z + (F', + f22F2)2],

+ On a remplac6 l'indice s par l'indice 0 car aucune confusion n'est possible ici.

DISTRIBUTIONS STATIONNAIRES DANS DES CHAMPS MAGNETIQUES t

!

l

-

/~ un faisceau de 750 keV de rayon initial Ro = 10 mm et dont l'6mittance (non normalis6e) est,/t l'entrde du champ de fuite E = 10 .4 m.rad, est donn6e en fonction du courant I transport6 par le faisceau par le tableau 1.

t

= -- A F z F 2 + B ( F I F 2 + F 2 F t ) + 2C(2/; 2F2 •

2

r

,

t

-D{,[2 F2Fz + t~,F,), ~ = Ag2F 2 - 2B(2F,F2

= Ae

-2BF,F~

- 2COF~ + D(F~ + a'-F~).

TABLEAU 1

(16)

On trouve 6) que les points repr6sentatifs des particules du faisceau sont rdpartis sur l'hyperellipsoide d'6quation: ~¢,(X2 + y2) + 2.5~(XX' + yy') + 2 ~(xy' - yx')

+~(x'~+y'~)-E=O.

367

(17)

I (mA)

B0 (G)

100 200 300 400 500

3450 4340 5000 5600 6100

Le rayon de l'enveloppe du faisceau s'obtient en projetant (17) sur le plan x,y; il vaut R(z) = ( E ~ ?

B

2 -~-(D~'-~--C)2]~I . ' " ½ (18) )d

Finalement, l'6quation diff6rentielle donnant le rayon de l'enveloppe du faisceau s'obtient en posant (ED) ~ (F 1 - B D - 1F2) = R(z) cos qS(z), {E[1 +(D_~_2-C)2!}~F2 = R ( z ) s i n ~ ( z ) '

(19)

et en &rivant que l'une des fonctions F, ou Fz donn6es par (19) est solution particuli~re de l'6q. (14) et en 61iminant qS(z) grgtce gt la relation du d&erminant wronskien, F 1 F ~ - F e F ~= 1, qui impose d,b'- dO _ E[I +(DY2-C)2] -~ " dz [R(z)] 2 '

G - qB2 4m "

(23)

4.2. Dt~MONSTRATION

k2 = 0. 2R

(21)

En utilisant les valeurs de A, B, C et D donn6es par (10), on voit que la distribution de KapchinskyVladimirsky (8) sera transformde gr~tce /t Faction du champ de fuite en une distribution (9) adapt6e au champ uniforme B o pourvu que B=g-=O (le faisceau prdsente un cross-over/t l'entr6e du soldno~de) et que

Qz

4. Distributions stationnaires dans le champ longitudinal uniforme B o 4.1. THI~ORi3ME Toute distribution de charges stationnaire dans un syst~me de focalisation continu off la focalisation est assur6e par un champ ~lectrique radial de la forme E r = - G r engendre, par passage dans le champ de fuite d'un sol6no~de, une distribution qui sera stationnaire dans le champ longitudinal et uniforme B o du sol6noide pourvu que Bo et G soient li6s par la relation:

(20)

l'6quation du rayon s'6crit; R " + f22R - E2[I + (D£2- C) 2] R3

Ces champs peuvent &re rdalisds grfice/t la supraconductivit6. On remarque que, pour obtenir une distribution adapt&, Faction du champ de fuite (champ non uniforme, ~ sym&rie axiale) est essentielle. Nous g6n6ralisons ce r6sultat dans le paragraphe suivant.

( qBo~ 2 E2 k2 = \2-~mv] = R-~o+ 2R--~"

(22)

A titre d'exemple, la valeur du champ Bo adapt6

Consid6rons, /~ l'entr6e du champ de fuite du solEnoide, une distribution f(xe,X'e,Ye,y" ) qui serait stationnaire dans un syst~me de focalisation continu off la focalisation serait assur6e par un champ 61ectrique radial Er = - Gr. En posant q O(r) - eon~2r 2 f o rp(r)dr,

(24)

les 6quations des trajectoires dans ce syst6me seraient x" + q G x - x ~ ( r )

Iqii3

= O,

y" + qG y - y ~ ( r ) = o.

H~I32

(25)

368

1,. T A N G U Y

D'aprhs les r4sultats du paragraphe 2, l'action du champ de fuite sol4noidal transforme la distribution f en une distribution:

ET C. R O U X

trouve que la distribution, ~t l'entr6e darts le champ uniforme B0, est dans le syst6me tournant:

h(Xo, X'o, Yo, Y'o) -=f ( X o , X o"', Yo, Y'o).

g(Xo, x;, Yo, Y;) = f(xo, X'o- Oyo, Yo, Y'o + f2Xo), (26) et dans le champ longitudinal B0 les 6quations des trajectoires s'6crivent:

x" = x(u(r)+ 212y',

y" = y~. (r)-2f2x'.

(27)

Au lieu d'6tudier le mouvement dans le champ B0 /~l'aide du syst6me de coordonn6e fixe Oxyz, on l'6tudie dans un systhme de coordonn6es OXYz (volt fig. 2) tournant darts le sens r4trograde ~t la vitesse angulaire f2 (rapport6e ~ la distance parcourue z). Les coordonn6es et pentes des trajectoires darts le systhme tournant sont li6es aux coordonn6es et pentes dans le systhme fixe par la relation matricielle: cos I2z

0

- sin f2z

0

- 12sin Oz cos f2z - f2 cos Oz - sin f2z sin £2z

Y'__I

0

cos Qz

f2cosf2z s i n f 2 z - f 2 s i n ~ ] z

0 cos~2z

D6rivons les 6q. (28) et remplagons les valeurs de dans (27), nous obtenons alors les 6quations des trajectoires dans le syst6me tournant:

x,x',x',y,y',y"

X"+f22X-XO(r)=O,

Y'+O2Y-Y~/(r)=O.

(30)

Les 6qs. (30) sont formellement identiques aux 6qs. (25); si, par consdquent la distribution f(xe,x£,ye,y;) est stationnaire dans le syst6me de focalisation continu focalisation 61ectrique radiale, la distribution h( Xo,Xd, ]To,176) [-identique h f d'apr~s 6q. (29)] sera stationnaire dans le champ B o pourvu que:

(2z_ qG

I!/.

iF/V2 '

soit, d'aprbs (5):

y'_l

(28)

En faisant z = 0 dans (28) et en utilisant (26), on

(a) "r

(29)

?x

G = qB2 4m

Le faisceau poss6dant la sym6trie de r6volution, si la distribution hest stationnaire dans le syst6me tournant c'est que la distribution g(Xo,X6,yo,y6) est stationnaire dans le champ longitudinal uniforme Bo; ceci d6montre le th6or6me de fagon gdn6rale car la loi de distribution f n ' a pas 6t6 explicit6e. On voit que dans le champ B o le mouvement des particules est le marne que dans le champ 61ectrique radial E~ avec en plus une rotation de l'ensemble du faisceau dans le sens r6trograde (pour des protons) ~t la vitessse angulaire f2. 5. Conclusion

b

(b) ~

Y~

~

,

' rt

~_~i:~/Y

Fig. 2. Systhmes de coordonn4es utilishs: systhme fixe Oxyz et systhme mobile OXYz.

En d6montrant l'existence de familles de distributions stationnaires dans un champ sol6noidal uniforme, nous fournissons un moyen commode de construire ces distributions ~ partir de r6sultats connus grfice au thdor6me 6nonc6 dans le texte. Ees analogies entre les syst6mes de focalisation continus 6tudi6s habituellement et les champs sol6noidaux ne se limitent sans doute pas au fait que les distributions stationnaires dans les premiers se transforment grace ~tFaction des champs de fuite des seconds en distributions stationnaires dans ces sol6no/des ~t condition que les valeurs des champs longitudinaux soient bien choisies. [1 est probable que les r6sultats acquis concernant les systbmes de focalisation continus ont leurs 6quivalents darts les champs sol6noidaux; en

DIS'I-RIBUq~IONS STATIONNAIRES DANS DES CHAMPS MAGNETIQUES particulier, le th6orbme 6nonc6 par Lapostolle 9) et d6montr6 par G l u c k s t e r n 1°) et Sacherer 1~'12) peut ~tre transpos6 au cas de la focalisation sol6noidale. N o u s t e n o n s /t remercier le Prof. Regenstreif ainsi que M M . P. Lapostoile, C.S. Taylor, F. Sacherer et B. Schnizer p o u r de n o m b r e u s e s et utiles discussions.

R6f6renees 1) I. Kapchinsky et V. Vladimirsky, Limitations of proton beam current in a strong focusing linear accelerator associated with beam space charge, Proc. Intern. Conf. High energy accelerators and instrumentation (CERN, Gen6ve, 1959). 2) p. Lapostolle, Une distribution de charges stationnaire dans un syst~me de focalisation continu, CERN ISR-300/LI/69-19 (19,59).

~) P. Lapostolle, Density distribution in intense beams, Proc. 7th Intern. Conf. High energy accelerators (Yerevan, 1969).

369

~) F. Sacherer, Matched distributions with non uniform spacecharge and no emittance growth, CERN SI/Int. DL/70-5 (1970). 5) W. W. Harman, Fundamentals o f electronic motion (McGrawHill, New York, 1953). 6) p. Tanguy et C. Roux, Rapport CERN (/t paraitre). v) B. Schnizer, communication priv6e. s) I. Kapchinsky, Particle dynamics in resonant linear accelerators (Atomizdat, Moscou, 1966) chap. 3.7 et 3.8, traduits par B. Schnizer, MPS/LIN, Note 71-6 (1971). 9) p. Lapostotle, Quelques propri6t6s essentielles des effets de la charge d'espace dans les faisceaux continus, CERN ISR/DI70-36 (1970). x0) R. Gluckstern, Discussion at Linear accelerator Conf. (Batavia, 1970). 11) F. Sacherer, Rms enveloppe equations with space charge, CERN SI/DL/70-12 (1970). 12) F. Sacherer, Rms e~aveloppe equations with space charge, Proton linear accelerator Conf. (Chicago, 1971).