Dynamik der Drehsysteme mit Kardangelenken

Mechanismand MachineTheory,1978, Vol. 13, pp. 107-118. Pergamon Press. Printed in Great Britain

Dynamik der Drehsysteme mit Kardangelenkenf V. Zeman$ Received 1 March 1977

Zusemmenfassung Im vorliegenden Beitrag werden analytische Matrixmethoden for die Beurteilung dynamischer Eigenschaften--einer Bewegungstabilit~it und dynamischer Belastung bei der station~iren Bewegung--mechanischer Mehr-Massen--Kardangelenkgetriebe angefiJhrt. Es zeigt sich, dab diese Systeme, obwohl sie nichtlinear sind, unter bestimmten Bedingungen linearisiert werden k6nnen. Nach der Linearization werden Drehschwingungen durch rheolineares Differentialgleichungssystem mit harmonischen Koeffizienten beschrieben. In diesem Aufsatz werden (a) mit Hilfe der Orthonormalen Transformation und der St6rungsmethode die Grenzen zwischen den Stabilit~ts und Instabilit~itsgebieten und die Bedingungen der stabilen Bewegung in erster N&herung untersucht, (b) mit Ubertragungsmatrixmethode die Dynamischebelastung bei der station~ren Bewegung gerechnet.

1. Problemstellung DIE Kardan(ibertragungen schnell~iufiger Maschinen k6nnen zum Zweck der Drehschwingungsanalyse entsprechend der Anordnung in Bild 1 behandelt werden. Dynamisches Modell besteht aus n Massentr[igheitsmomente J~, i = 1, 2,..., n, aus n - 1 masseloser elastischer Wellen mit der Drehsteifigkeit C~,1vor dem einfachen Kardangelenk i und mit der Drehsteifigkeit C~,:hinter dem Kardangelenk i, i = 1, 2. . . . . n - 1. Die Wellen mit der Achse O~,1und O~,2werden durch dieses Kardangelenk mit der Bezeichnung i verbunden. Ein EinfluB der D~impfung wird durch die D~impfungskonstanten ~i der inerren D~impfung zwischen der Massentr~igheitsmomente Ji, J~+l in Form ~i((ki- (ki+l) und die D~impfungskonstanten ki der iiuBerlichen geschwindigkeitsproportionalen D~impfer ausgedriickt. Der Drehwinkel (Pi beschreibt Drehungen der Massentdigheitsmomente J;, die Drehwinkel ~oi.j und tpi.2 driicken Drehungen der Antriebs bzw. Abtriebsgabeln desselben Kardangelenks vonder Anfangslage aus. Der spitze Winkel zwischen den Achsen O~.~und O~,2der Gelenkgabeln (genannt Winkel des Kardangelenks) wird mit der Bezeichnung a~ ausgedriickt. Jedes Kardangelenk wird durch die Winkeldifferenz ~,i = ~,~- ~oi,~ und dutch die Ubertragungsfunklion &P~.2/&pi,~charakterisiert. Aus den Beziehungen zwischen den Drehwinkeln der benachbarten Massentr~igheitsmomente ~Oi - - ~ i + 1 = ~Oi - - (Pi, I - - ~Ji Jc ~ i , 2 -

~i+1

und aus den Bedingungen des Gleichgewichtes des entsprechenden Kardangelenkes (nach dem Prinzip der virtuellen Arbeiten) in Form • ~ 8(Pi2 ci.l(~i - ~'i,i) = ci.2(~i,z- ~i+lJ .'--'=-

o~Pi,t

tPresented at the 2nd Conf. on the Theory of Machines and Mechanisms held in Liberec, Czechoslovakia on 14--16 September 1976. ~tDoc. Ing. Vladimir Zeman CSc, Technische Hochschule Plze/t, (~SSR, Lehrstuhl fiir Material und Mechanik. Nejedl6ho sady 14, 30614 Plzen, (~SSR. 107

108

Abbildun9

1. Dynamisches Modell des Drehsystems mit Kardangelenken.

b e k o m m e n wir einen A u s d r u c k fiir das D r e h m o m e n t M~ = ci,2(~oi, 2 - ~i+1), welches durch die Teilwelle mit der Drehsteifigkeit c~,2 iibertragen wird. Es hat die F o r m

M/

=

~i--~i+l-~-~i

1 Ci,2

I 0~i.2

,

i = 1,2 . . . . . n - 1 .

(1)

el,10~i,1

Die Drehschwingungsgleichungen der Systeme mit n Freiheitsgraden (mit n Scheiben) sind

Jlffl + kt~bl-

~l(~bl -

J~¢i + k~,k - ~ - ~ ( ¢ i - ~

~b2)+

Mo(t)

M t °~#1'2 -

Oqh.~ -

- ¢~) + ~ ( ~

- ~÷~) - MH

+ M~

tg~Oi 2 .... = 0

&Pi.1 J.ff. + k.~b. - ~.-l(~b.-i - ~b.) - M._, = - M . ( t ) ,

(2)

i = 2, 3 . . . . . n - 1,

WO Mo(t) und M . ( t ) aiiBere Momente sind (Abb. 1). Bemerken wir, falls die Scheiben Jk und Jk+~ auf derselben Welle ohne das Kardangelenk sind, ist ~bk = 0, O~k,2/O~k,l = 1 und somit

Mk = Ck(q~k-- ~Pk+l),

WO

Ck, I • Ck.2

Ck -- - -

Ck, 1 -}- Ck.2

die Drehsteifigkeit der ganzen Welle ist. Die Abh~ingigkeit des Drehwinkeis ~i.2 der Abtriebsgabei auf dem Drehwinkel ~pi,~ der Antriebsgabel desselben Gelenk i im allgemeinen Fall (Abb. 2) ist[1]

o

[

1

•

~oi,2+ ~oi.2= arctg [co-o~a/tg(~oi., + ~,°1)

]

(3)

wobei ~°l----die Phasenverschiebung d e s / - - t e n Gelenks (der Winkei zwischen der Ebene pi,l der Antriebsgabel einer anfangslage und der entsprechenden Bezugsebene p~ = - O ~ " . O~a) ist. Aus den Gleichungen (3) ergibt sich die Winkeldifferenz

~bi = (Pi.2- ~Pi.== arctg i=1,2 ..... n-1

tg(~i,l + ~°l) - arctg

tg~pi.l - ~i.l, (4)

109 _P,

P,~2

\\

",,X

a

(-

i

",

u

o:

~,,~

Abbildung 2. Kinematische Parameter und Bezeichnungen beim Kardangelenk L und die Ubertragungsfunktion a~pi,2 =

&Pi,I

cos ai 1 - sin 2 ai cos 2 (~i.~ + ~ o ) ,

i = 1, 2 . . . .

n - 1.

(5)

Gam~ifi der Ausdriicke (1), (4) und (5) ist das Gleichungssystem (2) nichtlinear. Ffir das Studium dynamischer Eigenschaften der Kardangelenkgetriebe dutch analytische Methoden ist es geeignet die Abh[ingigkeit (4) ftir ai < 20 ° durch a .2 I • 0 tp~.2~ -~- [sin 2(~pi.1 + tot) - sin 2~p°l] + tpi,i,

i = 1,2 . . . . . n - 1

(6)

zu ersetzen [1, 2], wo to die mittlere Winkelgcschwindigkeit des Antriebsglied ist. Aus den Gleichungcn (6) ergeben sich vereinfachte Ausdriicke ftir die Winkeldifferenz und die Ubertragungsfunktion in Form der ¢xpliziten Funktionen der Zeit a2 . ¢i -~ ~ - [sin 2(tot + ~p°l) - sin 2~pi°,1],

(7)

a2 0¢i~ ~. 1 + -~- cos 2(tot + ¢°1).

(8)

_

&Pi,i

Aus den Ausdriicken (1) erh~lt man mit (7) und (8) ffir a~ < 20 ° Mi~ci

[CiOl?

o 1 _ c-~.l-~-cos2(tot+tpi,0

]

(Cpi

-- (Pi+l)

+

2 ai . ci-~[sm2(tot+¢p°l)-sin2~°d,

(9)

2

lar-0~'L2--~ ci[l + ~ci-2-a2 cos 2(tot ""' ~i,I

+

~i.I)](~i__~i+l)+O ci_a~[sin2(tot+

~pOl)_ sin 2~po ] '

wobei

Ci,l " Ci,2 ci = ,2ci~'Ci, l+

(I0)

Ausgehend yon den Differenzialgleichungen (2) ergibt sich unter Berficksichtigung yon (9), (10) ein lineares Oleichungssystem mit periodischen Koeffizienten, das in Matrizenschreibweise die Form MO + ~B~b + C ¢ + ~(Ac cos 2tot - As sin 2~ot)¢ = f(t)

(11)

110

hat, wobei M = diag. (JA diagonale Matrix, B = (bit), C = (%) symmetrische Matrix, Ac = (a~), As = (a~) unsymmetrische Quadratmatrix sind, alle sind der Ordnung n mit zeitlich konstanten Elementen. Die Elemente [~(t) des n-dimensionalen Spaltenvektors f(t) sind periodische Funktionen der Zeit t in der Form

c,~,- c2~2 /(t)

=

•

Cn_21~n_ 2 -- Cn_l~ln_ I

- M , ( t ) + Cn_l~Jn_l und ~, ~b, ~o sind n-dimensionale Vektoren der Beschleunigungen ffi, der Geschwindigkeiten ~b~und der Winkelausschl/igen ~;. Kinematische Eigenschaften der Gelenkverbindungen werden durch einen kleinen Parameter e = (1/2) max a~2, durch die Matrizen Ao As und den Vektor [(t) charakterisiert, wobei wir e,.2

-~1,2

El,1 eAc

0

-- El,1 + 412,2 -- 412.2

0...

0

0

0

0

0

0

0

. . .

-]

=

0 0

0 0

0 0

... 0 ... 0

e,-2.1 - e.-2,1 + e,-~,2 - e~-l,2 0 ~,,-LI -~.-LI

WO

Ci2 0li2

0

- - "~- COS 2(PiA,

~i,2 = Ci,2

c: ~?

o

eij = ~ -~- cos 2~01,1ist.

Die Matrix eA, bekommen wit aus der Matrix EAc, wenn wir die Funktion cos mit sin verwechseln. Ein Aufbau der Matrix M, eB und C ist der gleiche wie bei klassischer linearer Torsionsysteme. Aus der Analyse folgt, dab die Drehschwingungen yon Kardangelenkgetrieben in erster Anniiherung (nach der Linearisation for die Winkel der Kardangelenke ai < 20°) yon einem nichthomogenen linearen Differentialgleichungssystem mit periodischen Koeflizienten beschriebet~ werden.

2. Berechnung der Grenzkurven ~o(e) der Instabilittitsgebiete erster Ordnung Zur Analyse der Stabilitiitsbewegung des Systems (11) ist es geeignet durch die orthonormale h&nlichkeitstransformation = Zx,

x T = [xl, x2..... x,]

(12)

die Hauptkoordinaten xi, i = 1, 2 . . . . . n des abgekiirzten Systems (fiir • = 0) Mi~ + Cq = f(t)

(13)

einzufOhren. Die regul/ire quadratische Matrix Z = (zij), deren Spalten die linearen unabhiingigen Eigenvektore sind, wird die normalisierte Hauptmatrix des Systems (13) genannt. Im neuen Koordinatensystem entsprechen den Matrizen M und C die Matrizen ZrMZ und ZrCZ, wobei die Beziehungen

ZrMZ =

0

1 ...

.

....

0

=E,

zrcz =

• 0

[~2 2 . . .

0

"-0

...

=A

fL,2

(|4)

111

erftilt werden. Dabei a!, i = 1,2,. . ., n sind die Nullstellen (sog. Eigenwerte des Systems (13)) des charakteristischen Polynoms det (C - 0’. M) = 0. Aus der Gleichung (11) erhalt man mit (12) und (14) das vereinfachte Differentialgleichungssystem x + 4Bi + Ax + l (;i, cos 2d - As sin 2ot)x = i(t),

(1%

wobei ii, = ZTA,Z = (a$),

6 = ZTBZ = @ii), $ = Z=A,Z = (a;),

(16)

i(t) = z=f(t) = l&(t)]

ist. Mit der Gleichung (16) kiinnen wir die Gleichung (15) in Form

l

a$xj - sin 2Wt 2 &j)

fi + E2 B&j + fi;Xi + (COS2Ut i j=l

= J(t)

j=l

i = 1,2, . . ., n,

(17)

umschreiben. Das Differentialgleichungssystem (17) kann als eine Verallgemeinerung der Mathieuschen Differentialgleichung betrachtet werden. Die allgemeine Lijsung (17) erhalt man durch lineare uberlagerung der allgemeinen Losung des homogenen Systems fur f;:(t) = 0, i = 1,2,. . ., n mit einer Teilliisung der vollstindigen Gleichungen. Diese Teillosung hangt wesentlich von den Funktionen i(t) ab. In (11) sind die Funktionen fi(t) beschrankt und periodisch, unter der Voraussetzung, da8 die aul3eren Momente M,(t) und M.(t) such beschrankt und periodisch mit der Periode 2x/o sind. Das System umfasst die geschwindigkeitsproportionale DPmpfung. Wird dann such die zugehiirige Teillijsung periodisch und also von beschranktem Ausschlag sein. Aus der allgemeinen Theorie, die von Mettler fur pij = 0, ai = 0, i, j = 1,2, . . ., n, wollstandig untersucht wurde, und aus der spateren Arbeit [3], in deren fur a$= 0, i, j = 1,2,. . ., n, auf Grund des Floquetschen Theorems die Bereiche der Instabilitaten untersucht wurden, kiinnen wir voraussetzen: Die allgemeine Liisung des homogenen Systems -$ + Ef: Bigj + fiFxi + 6 cos 20t i (

j=l

j=l

a:flj -

sin 2Ut 2 $jXj j=l

=0 >

i=1,2 , .+ *t n

(18)

fur kleine Werte des Parameters 4 kann instabil sein, wenn die Werte der Kreisfrequenz o sind co--

f-L P’

%+fL

“-7’

p > 0, ganz;

r=l,2,...,n

p > 0, ganz;

r, s = 1,2, . . ., n,

(19) r# s

wobei R, und R, eine aus den n Eigenkreisfrequenzen des abgekilrzten Systems (13) bezeichnet. Es kiinnen also ganze Bereiche gefahrliche Frequenzen sein, wen die Ausschlage ansteigen. Im Falle (19) werden wir mit Riicksicht auf die Theorie von Mettler[31 als sogenannte Bereiche der Instabilitiiten erster Art und im Falle (20) zweiter Art besprechen. Die Zahl p drtickt die Ordnung der Bereiche aus. Nach der Theorie von Mettler kiinnen wir weiter sagen, da6 die praktisch wichtigsten Bereiche von erster Ordnung (p = 1) sind. Die Bereiche der Instabilitaten werden in (0, l) Ebene von den Bereichen der Stabilitlten durch die Grenzkurven o(c) begrenzt. Auf denjenigen Grenzkurven sind die Liisungen des Systems (18) station&. Zu ihrer Bestimmung haben wir die Beziehungen zwischen dem Parameter B und der Kreisfrequenz o anzugeben, filr die die stationken Losungen existiert. Im folgenden zeigen wir, wie man mit Hilfe der sogenannten Storungsmethode[4], die Grenzen zwischen den Stabilitats- und Instabilit%tsgebieten bestimmen kann.

MMT Vol. 13. No. 2-B

112

Die Gleichungen (18) k6nnen wir in F o r m

ii + ai2Xi = - • ~]/3i/~j + cos 2oJt ~] a~.~xi - sin 2~ot i=l

a

,

i=1

i = 1,2 . . . . . n

(21)

schreiben. Als s t a t i o n ~ wollen wir solche L f s u n g e n bezeichnen, die sich aus den periodischen Funktionen mit unterschiedlichen Kreisfrequenzen aufbauen lassen. Deshalb stellen wir die L f s u n g e n des Systems (21) durch die Reihenentwicklung x~ = x~o + ~x;i + ~2x~: + . •.,

i = 1,2 . . . . . n

(22)

dar. Dabei xio, i = 1, 2 . . . . . n sind die periodischen Funktionen mit den Kreisfrequenzen oJ~, die sich ebenfalls durch eine Reihe von Potenzen von ~ entwickeln lassen oJi = OJio+ ~coll + ~2o~i2+" • ",

i = 1, 2 . . . . . n,

(23)

wobei ~Oio,~O~1. . . . die K o n s t a n t e n sind. Die Entwicklung nach Gleichung (23) ist nun so verstehen, da6 der erste Glied OJiomit einer der Eigenkreisfrequenzen des Systems (21) for • = 0 identisch ist. Deshalb nehmen wir an O~io= Ill,

i = 1,2 . . . . . n.

(24)

Aus der Beziehung (23) b e k o m m e n wir no

oJ~o = ~o? - ~

~*vik,

i = 1, 2 . . . . .

n,

(25)

k=l

wobei vii = 2~oio~oit, ~'i2= 2~O~oOJj2+ o~1 . . . . . z,~k= vi,(oJio, o~1 . . . . . o~) ist. Unter Verwendung der Beziehungen (22), (24) und (25) ergibt sich aus der Gleichung (21)

o,,

,%

,% k=0

n

= - ~

~

/3o

n

+ cos 2o~t

oo

n

e~

k=o

i=1

=

ao i=1

\

)

N a c h Vergleich der Glieder yon gleicher Potenz in ~ erhalten wir ein rekursives Differentialgleichungssystem

Jiio + ~oi2xio = 0, J~il + ooi2x~, = -

iiz + o~i2xi~ = +~'~2Xio+UitX~l,

(26)

/3i~o + cos 2o~t

j=l

aC/xio- sin 2~ot

1=1

aliXio + 21]iOoi|Xio,

(27)

= /3,~,1 + cos 2~ot ~ ai~x,I-sin 2~ot ~ a~x,l i = 1,2 . . . . . n.

(28)

Mit der L f s u n g

Xio = Aio cos ~oit + Bio sin o~it, des homogenen Differentialgleichungssystems (26) b e k o m m e n wir aus der Gleichungen (27)

113 f

~,, + ~x,, : ~f~ {cos co,t(-/~,~,Bio + m,~,,A,o~O) j=! k

+ sin ~il(Si~iAio + 2.~i~.Bio~o) 1

1

+ ~ a~A~o[sin (2to + o~i)t + sin (2to - to~)t]- ~ aoB~o[COS(2ta + to~)t

(29)

1

- cos (2~o- ~o~)t]- ~ a~iA~o[COS(2o~+ o~)t + cos (2o~- o~)t]

-la~B~o[sin(2~o+oo~)t-sin(2o~-~o~)t]~

,

J

i = 1,2,

...,

n,

wobei A~o, B;o die von den Anfangsbedingungen abh~ingigen Konstanten sind. Um die Stationarit~it der L6sungen (22) zu sichern, diirfen die rechten Seiten der Gleichungen (27), (28), keine periodischen Glieder mit den Kreisfrequenzen co~ enthalten. In erster N~iherung gentigt also, dab auf der rechten Seite der Gleichungen (29) keine Funktionen der Form cos oJd oder sin ~o~tauftreten. Zuerst finden wir die Bedingungen der station~iren L6sungen fiir ~o ~ ~ , i = 1, 2 . . . . . n, auf den Grenzkurven oJ(•) zwischen den Stabilit~its- und den Instabilit~itsgebieten erster Art und erster Ordnung. Damit auf den rechten Seiten der GI. (29) alle Giieder mit den Frequenzen ~o~ verschwinden, miissen ftir o~ = ~ol folgende Bedingungen erfiillt werden -- [~ii¢oiBio +

1

C

2~ioJilAio + ~ a~Bio - ~ aiiAio = O, (30)

[3ii¢oiAio +

1

c

2~iWilBio + ~ otiSiAio + ~ otiiBio = O,

i = 1,2 . . . . . n.

Die beiden letzten Gleichungen fiir Unbekannte A~o, B~o haben nur dann nichttriviale L6sungen, wenn die Gleichung

2 2 1

2_~(a~)2

0

erf011t ist. Dauaus erhiilt man ffir ~oi= ll~ + •coil bei Vernachl~issigung von Gr6Ben, die klein von den zweiten und h6heren Ordnungen • sind, die Beziehung

o~=1~i +~• ¥d \( (0/6c)2~-~"(as)2 4t82),

i = 1 , 2 ,... , n.

(31)

.~hnlich finden wir die Bedingungen der stationiiren L6sungen for o~- I/2(IL+I/A, r, s = 1, 2 . . . . . n, r # s, an den Grenzkurven oJ(•) zwischen den Stabilit~its- und den Instabilit/itsgebieten zweiter Art und erster Ordnung ,o = -f -l ,-+- ffls - - + ; [~-a,~a~,+ fl~a,a~a~~,8./3,,~s[3~ c s+ s c2 c c s s o • /[[-a,~ts, anas,~ +arsas,.+a,sas,

-+(~"+P~"~L~ ~

1

]

'4~.as~.0,s -1 ,

r,s=

1,2 ..... n,

r # s. (32)

Die Beziehungen (31) und (32) stelten ffir das kleine Parameter • Grenzkurven to(•) zwischen den Stabilitfits- und den Instabilit~tsgebieten erster Ordnung in erster N~iherung dar. Bei bestimmten positiven Gr6fien der DS.mpfungskoettizienten/3,,,/3ss existieren keine reelle Grenzkurven. Aus der Beziehung (31) ergibt sich, dab die sogenannte kritische D~impfung, die fiir die stabile Bewegung in den Kreisfrequenzbereichen t o - [~i notwendig ist, wir durch den

114

Ausdruck (~,)~t = ~

|

2

s2

V[(O~9 + (a.) ].

i = 1,2 . . . . . n

(33)

ausdr0cken k6nnen. ,~hnlich bekommen wir aus der Beziehung (32) ftir die stabile Bewegung in den Kreisfrequenzenbereichen to - 1/2(O, + Os) den Ausdruck c c s s c c 2 s s 2 c s 2 s c 2 a,~a,,+ a,~a,,± ~/[(Otr,a,,) + (ar,Ot~,) + (etrsasr) + (a,~a,~) ]

(/3../3..)~, =

8f~rfl,

r, s = 1,2 . . . . . n,

'

r ~ s.

(34)

Im Ausdruck (34) hat eine physikalische Bedeutung nur das Zeichen plus. Ftir die Erkl~irung der beschriebenen Methode werden auf dem Abb. 3 die Grenzkurven zwischen den Stabilifiits- und den Instabilit~tsgebieten erster Ordnung des homokinetischen Zweikardangelenkgetriebes mit zwei Freiheitsgraden veranschaulicht. Die Grenzkurven werden in der (to/l), ~)--Ebene und for verschiedene Gr6Ben der D~impfung D = k/2]l'~ angefiihrt, wobei f~ = V(clJ).

C C C Abbildung 3(a).

1.5

D =O.0 t •

002 -.,~//.////

1.0

D = 0.005

0..~

O. I

OO I

a2

0.2

0.3

Abbildung 3(b). Abbildung 3. Instabilit~tsgebiete erster Ordnung in der (~/(~, ~)--Ebene des homokinetischen Zweikardangelenkgetriebes.

115

3. Dynam|schebelastung bei der station~iren Bewegung Neben der Bestimmung der Stabilitiitsbedingungen bzw. der Instabilitiitsgebiete hat die Teill6sung der vollstiindigen Gleichung (11) eine praktische Bedeutung. In unserem Beitrag begrenzen wir uns auf die Kardangelenkgetriebe mit konstanter statischer Belastung durch iiuBere Momente Mo(t) = Mo und M~(t)= M,. Die zugehOrige Teili6sung, welche die stationiiren Schwingungen beschreibt, wird dann periodisch sein. FOr die L6sung der dynamischen Belastung bei der stationiiren Bewegung ist die Obertragungsmatrixmethode geeignet. Aus der Gl. (9) for den Index i - l und den kleinen Winkel a~_t erhiilt man nach einer Umstellung M/-I Ic H a~-l o ] ~i ~ ~i-~ - ~ [I -I - - - cos 2(tot + ~Oi-l.0J ci-L~ 2 +~

[sin 2(tot + ~o~-~.0- sin 2~°_L~],

i = 1,2 . . . . . n,

(35)

wobei zum Beispiel for isolierte Drehsysteme co = Co.,~oo, ao = 0 und die Phasenverschiebung 0 ~Oo.~ beliebig ist. FOr die Vereinfachung der Berechnungen wird das Drehsystem ohne inerre D~impfung (~1 = ~ : . . . . . ~_~ = 0) gerechnet werden. Aus den GI. (2) erh/ilt man durch (8) 2

i = 1,2 . . . . . n,

Mi-~Mi_l-Jl~i-Mi2cos2(tot+~o°O-ki(oi,

(36)

\ wobei a. = 0 und die Phasenverschiebung ~n.i o beliebig ist. Wir werden in erster N/iherung die Drehwinkel der Massentr~igheitsmomente J~ bei station~en Bewegung in folgender Form ~o,-= tot + d~oi+ 4~c~cos 2to + d~,~sin 2tot,

i = 1, 2 . . . . . n

(37)

voraussetzen, wobei ~bo~,d~ci,~b,i vorl/iufig unbekannte Konstanten sind. Aus dem Ausdruck (4) ergibt sich, dab wir die Drehmomente M~ in der analogischen Form M~ = Moi + Ma cos 2tot + Msi sin 2tot,

i = 1, 2 . . . . . n - 1

(38)

suchen k6nnen, wobei Mo. Mci, Msi auch unbekannte Konstanten sind. Unter Verwendung der Beziehungen (37), (38) ergibt sich aus den Gleichungen (35) und (36), bei der Vernachl~issigung der Glieder mit Frequenzen 4to und nach Vergleich der Koeffiziente bei den Funktionen sin 2tot und cos 2tot, das System von sechse linearen Gleichungen for die Unbekannten ffo~ bis Ms~ in folgender Matrixform ~,/= AI~,H + bl,

i = 1,2 . . . . . n.

(39)

In (39) ist u r = [4~o, d~ci, ffs~, Mo/, Me, Msd, die quadratische Matrix Ai durch den Parameter o 1i, ki, ei-i = l/ci-l, ei-l.~ = 1/ci-i,1, ai, ai-l, ~Oi°l, ~oi-t.1, to und ein Spaltenvektor bl durch den 0 Parameter Z', k, a/, a~-i,, ~0/°,~,~oi_~,1,to (fiir izolierte Drehsysteme ist eo = eo.~= 0, ao 0 und for i = n ist a. = 0 mit beliebigen Phasenverschiebungen ~Oo°~und ~on.~) o wird bestimmt. Die Beziehungen (39) k6nnen wir in folgender Form beschreiben ~ = i.~;._l,

~ = [li],

~i = [A~ b/].

(40)

Danach ist der Zustand an der Stelle "i" durch den Zustandvektor 171 definiert, der aus dem Produkt der Obertragungsmatrix i.i multipliziert mit dem vorangegangenen Zustandvektor ~7i-1 ermittelt werden kann. In dem Ausdruck for A~ ist 0 der Zeilenvektor mit sechs Elementen 0. Die Obertragungsmatrix .i.~ k6nnen wir in der Form 0 o .Ai(to, Ji, ki, ei-t, ei-l.bcti, ai-btPi.bq~i-i,O,

i=1,2 ..... n

116

ausdriicken. Wen zum Beispiel die Welle k zwischen den Massentr/igheitsmomenten Jk und Jk+~ ohne das Kardangelenk ist, dann legen wir in der Ubertragungsmatdx ~-k und ~i,k+~, ak = 0 und die Phasenverschiebung ~ o kann beliebig sein. Aus der Rekursionsformel (40) geht hervor ~i = Ai~ki-I

. . .

AI/~O

(41)

bzw. for i = n (42) wo ~. eine Ubertragungsmatrix des Systems und ~7oein Anfangsvektor sind. Die Beziehung (42) k6nnen wir in der Form

(43)

schreiben, wobei a,/3, y, 8 die Quadratmatrix und A, ~a die Spaltenvektors der dritten Ordnung der Ubertragungsmatrix i, sind. Aus den Randbedingungen des Systems rechnen wir den Anfangsvektor

(44)

aus.

So z.B. for ein Drehsystem auf dem Abb. 4 mit Riicksicht zu den Ausdriicken (37) und (38), bekommen wir

~ko =

,

M . = M3 =

•

(45)

Danach ergibt sich aus der GI. (43) ein Ausdruck for den Spaltenvektor Mo des Anfangsvektors =7oin der Form Mo = #-I(M3 - p).

co

40

~.

uo'-

Abbildung 4. Dynamisches Drei-Massen-Modell des Drehsystems mit einem Kardangelenk.

(46)

117

~°°°°1-- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

,,ooo

O

,I

ii

IO

~11T

20

30

40

W~, [5]_._ ~

60

70

80

90

1(30

A b b i l d u n g S. Die F r e q u e n z k e n n l i n i e m a x i m a l e n D r e h m o m e n t e s , w e l c h e r d u r c h d i e W e l l e m i t d e r D r e h s t e i f i g k e i t c2 ( J b e r g e t r a g e n w i r d . , k l =-k2 = ka = 0; . . . . , kl = 80; k2 = k3 = 40; . . . . .

, k~ = 160; k2 = ka = 80; ~ - - ,

kl = 320; k2 =

k3 = 160.

Aus den Eintrittsparametern J, ki. i = 1.2.3. e0 = 1~Co. et.l = llcLt, el = llct.~ + l i c i t , e2 = 11c2 und at. ¢?t rechnen wit ffir beliebige konstante Winkelgeschwindigkeit to des Wellenschnittes I

"0" die Ubertragungsmatrix ~i. = ,r~.~ und ihre Quadratmatrix B. ihren Spaltenvektor # . n a c h i=3

(44)-(46) den Anfangsvektor

~o =

(47)

8-'(3-p)

und durch Multiplizieren (4i) schrittweise die Zustandvektore ii, ~i T = [¢;oi, ¢~ci, JP,i, Moi, Mci, Msi, 1],

i = 1,2, 3 aus.

Die Maximalwerte der Drehmomente M~(t) k6nnen wit durch Beziehungen max

tE(O.~o)

M/(to)= max

IMo, I +

M;,),2

i = 1, 2 . . . . . n

(48)

ausdrticken, wobei Mol, Mc, M,~ nur Funktionen yon to sind. Auf dem Abb. 5 werden die Werte Me(to) ffir M = 5500 Nm, J~ = 75 kgm 2, i = 1,2, 3, max

e0 = el = e2 = 2.86 × 10-6 rad/Nm, e1.1= 1.43 × 10-6 rad/Nm, al = 10°, tpl.l°= 0 und fiir verschiedene Gr6Ben der D~impfungskonstanten ki veranschaulicht. Die Zusammenfassung technischer Applikation der dynamischen Analyse der Drehsysteme mit Kardangelenken, welche yon dem Autor gel6st wurden, wird in der Arbeit[7] angefiihrt.

Literatur I. F. Duditza, Kardangelenkgetriebe and ihre Anwendangen. VDI-Verlag, DOsseldorf (1973). 2. V. Zeman und Z. Hiavfi(~,Analyse der Torsionschwingungen des Getriebes mit Kardangelenken. Report 42, V~SE PIze~ (1974). 3. G. Schmidt und F. Weidenhammer, Instabilititen gedimpfter rheolinearer Schwingungen. Math. Nachrichten, Bd. 23, H.4/5 (1961). 4. U. Fischer und W. Stephan, Prinzipien and Methoden der Dynamik. VEB Fachbuchverlag Leipzig (1972). 5. V. Zeman, Stability of torsional vibrations of driving systems containing Hooke's Joints. Proc. 9th Conf. on Dynamics of Machines. Smolenice, S. 255-268 (1974). 6. V. Zeman und Z. Hlavfi~,Dynamische Belastung des Getriebes mit Kardangelenken. Wissenschaftliche Atbeit Nr. 102 03 75, V~SE Plzefi (1975). 7. V. Zeman, Analyse des Gelenkgetriebes. Sammelband der Tagung Dynamik derGetrieben. V~SE Plzet~, S. 27-38 (1976).

118 DYNAMICS OF TORSIONAL SYSTEMS CONTAINING HOOKE'S JOINTS V. Zeman Resume - The paper presents matrix - computer methods of theoretical properties,

the stability

Hooke's Joints

(Fig.

and the dynamic

forces of the torsional driving systems containing

i) with a finite number of degrees of freedom.

are compiled on the basis of the well-known kinematic relationships displacements

~i,2 and ~i,l of the shafts connected by Hooke's Joint

quence of the nonlinear dependence

(i) between

After a linearization by means of dependences

cients

equations

(Fig. 2).

As a conse-

(2) of the torsional vibrations.

(7), (8) the differential

second order differential

(12) equation

stability of the torsional vibrations small parameter.

equations were

equation with periodic coeffi-

in the first approximation. by curves

(31),

(Ii) is transformed

into the form

(17).

The

is solved by the method of expansion according

The method presented enables determination

the first order and conditions

to a

of instability regions of

of the stable motion of systems with n degrees of freedom

This regions of instability

are bounded in the plane

(w, ¢)

(32); w is the middle angular speed of the driving systems and ¢ is a

small parameter.

The conditions

critical damping - necessary

of the stability are described by minimal

for obtaining

the stable motion.

an analysis of the driving system with two Hooke's

3 describes

The approximation

by expressions

(37),

(38) enables

of the angular displacement to define a state vector

A transfer matrix Ai relates

The method is applied to

Dynamic

(Fig. 3).

forces in a

~i and the shaft torque M i

v i at the point i of the driving

the state vectors at two points in matrix from

The state vector ~i is obtained by postmultiplying matrices by v0 .

- so called

joints and two degrees of freedom

the transfer matrices method of computer of the dynamic

steady state.

systems.

(3) between the angular

in the matrix form (ll).

By the linear transformation

Chapter

The equations of motion

the shaft torque and the angular displacements

of discs we have received nonlinear differential

described by a system of ordinary

analysis of the dynamic

load of the shafts

(40).

the running product of the transfer

is characterized

by maximum value of the shaft

torque Mi(w). An application of the method is showed at an example of the driving system max with one Hooke's joint and three degrees of freedom (Fig. 4).

A review of the concrete containing Hooke's

technical application of the dynamic analysis of torsional

joints,

which were solved by the author,

is presented

systems

in the paper [7].