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Ein verfahren zum berechnen der erforderlichen maschenweite von hagelschutznetzen
Agricultural Meteorology, 13(1974) 69--85 © Elsevier Scientific Publishing Company, Amsterdam -- Printed in The Netherlands
EIN VERFAHREN MASCHENWEITE
ZUM BERECHNEN DER ERFORDERLICHEN VON HAGELSCHUTZNETZEN
MARKUS BIERMANN
Bundesanstalt fur Materialpri~fung, Berlin (Bundesrepublik Deutschland) (Akzeptiert ffir VerSffentlichung den 9. Januar, 1974)
ABSTRACT Biermann, M., 1974. Ein Verfahren zum Berechnen der erforderlichen Maschenweite yon Hagelschutznetzen. (A procedure of calculating the requisite mesh size of paragrandine nets.) Agric. Meteorol., 13:69--85. Results of the author's previous research on the mechanical foundations of the passive hail protection are exploited and supplemented for the immediate practical purpose of dimensioning paragrandine nets. The exposition starts with an investigation into some relevant properties of the types of weave presently available on the market. Under simplifying, but largely substantiated, assumptions -- such as those of the protective covering resembling a rigid grating and the hailstones being globular -- and on the conventional basis of the energetical damage scale, the argumentation then leads to establishing workable approximate formulas which facilitate to assess the mesh size required to achieve some wanted screening efficiency. In doing so, one has to put in the casual values of two distribution parameters which must have been ascertained from a statistical analysis of empirical data on the occurrence of hailstone diameters in terms of a gamma distribution approach. The consequences associated with the choice of non-energetical damage scales, which are possibly more adequate to the specific response of plants toward the action of hail, can be roughly estimated by way of varying one of the distribution parameters. ZUSAMMENFASSUNG Ergebnisse der frfiheren Forschung des Verfassers fiber die mechanischen Grundlagen des passiven Hagelschutzes werden verwertet und ftir den unmittelbaren praktischen Zweck des Bemessens yon Hagelschutznetzen erg~nzt. Die Darstellung beginnt mit einer Untersuchung der bedeutsamen Eigenschaften der gegenw~rtig im Handel erh~ltlichen Gewebearten. Unter vereinfachenden, aber weitgehend begrfindeten Annahmen -- zum Beispiel, dass die Schutzabdeckung einem starren Gi~ter hhnelt und dass die Hagelkbrner kugelfbrmig sind -- sowie auf der konventionellen Grundlage des energetischen Schadensmasses ffihrt sodann die Er6rterung zum Aufstellen handlicher N~herungsformeln, die es gestatten, die zum Erzielen irgendeines gewfinschten Abschirmungsgrades erforderliche Maschenweite bequem zu bestimmen. Dabei hat man die jeweiligen Werte yon zwei Verteilungsparametern einzusetzen, die aus einer statistischen Analyse empirischer Daten fiber die vorkommenden Hagelkorndurchmesser auf Grund eines Gammaverteilungsansatzes ermittelt worden sein mfissen. Durch Variieren eines der Verteilungsparameter lassen sich die Folgen ungef~hr abschatzen, die mit der Wahl nichtenergetischer, dem besonderen Verhalten yon Pflan-
7O zenarten gegentiber der Einwirkung yon Hagel mSglicherweise besser entsprechender Schadensmasse verbunden sind.
EINLEITUNG Hagelschutznetze sind seit etwa einem Jahrzehnt im Einsatz und erscheinen in den Alpenl~indern immer h/iufiger. Man zweifelt kaum an der Wirksamkeit dieses passiven Hagelschutzes -- von aussergewShnlichen Katastrophen abgesehen. Wo sich ein aktiver Hagelschutz (eine Hagelabwehr durch ki]nstliche Wetterbeeinflussung) nicht lohnt oder solange er unsicher bleibt, bietet der passive Schutz den einzigen Ausweg, Sch/iden zu verhfiten. Es stellt sich allerdings die Frage, unter welchen Bedingungen Schutzmassnahmen dieser Art auch wirtschaftlich sind und wie man die Wirtschaftlichkeit noch steigern kann. Nach bisherigen Ermittlungen (vgl. z. B. Reinitzhuber, 1970) liegen die Kosten fi:tr das Netzmaterial in jedem Fall hSher als die Kosten ffir das Gerfist, fiber dem die Netze ausgespannt werden. Es ist daher klar, dass die Gesamtkosten entscheidend v o n d e r Maschenweite der Netze abh/ingen. Selbstverst/indlich wird der Schutz um so sicherer, je kleiner man die Maschenweite w/ihlt. Im Hinblick darauf, dass die Festigkeitsforderung mehr auf das Netz im ganzen als auf die einzelnen Netzf/iden zu beziehen ist, k o m m t man bei kleinerer Maschenweite zwar mit einem etwas kleineren Fadenquerschnitt aus. Doch ist die MSglichkeit der Querschnittsverminderung wegen ungfinstiger Oberfl~icheneffekte begrenzt, und es besteht nichtsdestoweniger die Tendenz, dass der Materialaufwand bei Verkleinerung der Maschenweite m o n o t o n steigen muss. Ein anderer Grund ffir das Anstreben einer mSglichst grossen Maschenweite besteht fibrigens darin, dass die Netze m5glichst wenig Licht abdecken sollen. Da die technischen MSglichkeiten fiir geeignete lichtdurchl/issige Netzmaterialien gering zu sein scheinen und andererseits eine Beeintr/ichtigung des Pflanzenwachstums infolge der Abdeckung nachgewiesen ist, hat der Wunsch nach einer m5glichst grossen Maschenweite eine um so gr5ssere Berechtigung. Will man nun das Bemessen der Schutznetze nicht ganz der Willkfir iiberlassen, so braucht man eine Theorie, die es erm5glicht, eine Beziehung des Aufwandes zu der voraussichtlichen Schadensverhfitung zu finden. Hierzu gibt es bereits grundlegende Vorarbeiten (Biermann, 1970, 1972 und 1973), auf denen sich der vorliegende Artikel stfitzt. Es bleibt damit die Aufgabe, haupts/ichlich den an der Praxis interessierten Lesern einen Einblick in die Grundlagen zu vermitteln, der ffir eine richtige Anwendung der Theorie nStig ist. Das Ziel geht im wesentlichen dahin, praktisch brauchbare und mSglichst einfache N/iherungsformeln anzugeben. Sie fussen grunds/itzlich auf den allgemeinen Gesetzen der Mechanik, nehmen aber weder endgfiltige meteorologische Daten bezfiglich der Spektren von Hagelkorndurchmessern vorweg, noch beziehen sie die spezifische Schadensanf/illigkeit der zu schfitzenden Pflanzen in biologischer oder gar wirtschaftlicher Hinsicht definitiv ein. Meteorologen,
71 Biologen u n d L a n d w i r t e n sei es anheimgestellt, sich der n o t w e n d i g e n Erg/inzungen a n z u n e h m e n . BISHER ERPROBTE NETZARTEN Bislang k a m e n n u r K u n s t s t o f f n e t z e , aber keine M e t a l l d r a h t g e f l e c h t e z u m Einsatz. S c h u t z a b d e c k u n g e n aus Metall -- o d e r auch im V e r b u n d mit Kunsts t o f f n e t z e n -- k 6 n n t e n iibrigens zus~itzlichen Z w e c k e n des P f l a n z e n s c h u t z e s dienen (vgl. B i e r m a n n , 1 9 7 1 ) ; d o c h s t e h e n dabei vorl/iufig Kostengr/inde entgegen. Das F a d e n m a t e r i a l der K u n s t s t o f f n e t z e wird zur Zeit n o c h i m m e r ausschliesslich auf Poly~ithylenbasis von einer italienischen Firma hergestellt u n d zu N e t z e n m i t r e c h t e c k f 6 r m i g e n Maschen v e r w e b t (siehe A b b . 1 ) -- als sogen a n n t e s Drehergewebe, bei d e m die Kettf~iden paarweise in e n t g e g e n g e s e t z t e m Sinn die Schussf~iden auf w e c h s e l n d e n Seiten k r e u z e n . Ein solches N e t z 1/isst
Abb.1. Schema des Drehergewebes (mit dicken Linien zur Wiedergabe der Ketten, zwischen denen die Schussf~iden geflochten sind). Fig. 1. Outline of leno-type weave (with heavy lines for rendering the warp, among which the woof threads are interlaced). sich in seiner Fl~ichenerstreckung zwar scheren, aber n i c h t in den H a u p t r i c h t u n g e n (Kett- u n d Schussrichtung) d e h n e n . A u s s e r d e m w u r d e n N e t z e in F o r m des s o g e n a n n t e n Raschelgewebes (siehe Abb.2} von einer 5 s t e r r e i c h i s c h e n Weberei geliefert. Bei dieser G e w e b e a r t sind die Schussf~iden z i c k z a c k f S r m i g m i t d e n aus je drei F~iden gebildeten K e t t e n v e r f l o c h t e n u n d ergeben im u n v e r f o r m t e n Zustand (das heisst, bei gerade g e s t r e c k t e n Kettf~iden} d r e i e c k f S r m i g e Maschen. Da die D r e i e c k s p i t z e n
72
Abb.2. Schema des Raschelgewebes in einem Zustand drehungsfreier Verformung (die Bedeutung der dicken Linien ist unter Abb. 1 erkl~irt). Fig.2. Outline of Raschel weave in a state of irrotational strain (the meaning of heavy lines being explained under Fig.1 ). jeweils in der Mitte einer benachbarten Dreieckseite liegen, ist dieses Netz in allen l{ichtungen verformbar, was einige Fachleute (Szith et al., 1972) als Vorteil beim Ausspannen des Netzes ansehen. Das drehungsfreie Verformungsverhalten des Raschelgewebes in den Haupt'richtungen l~isst sich leicht quantitativ beschreiben. Die Verformungen sind dabei als homogen vorauszusetzen. Auf Grund geometrischer tJberlegungen an Hand von Abb.2 finder man so die Beziehung: e = p-]([p;
+
(2-
[)~] 1/2 + [ ( 2 -
~-)~-1,/2} _ i
(i)
zwischen der Dehnung e in Schussrichtung und der Stauchung ~"in Kettrichtung, bezogen auf den unverformten Zustand. Der Parameter p ist hier gegeben durch: p = [(a/b)
2 -
1] 1/2
(2)
und bedeutet das Verh~iltnis vom Kettabstand (a 2 - b2) 1/2 im unverformten Zustand zum Schussabstand b. Ffir die relative Fl~ichenausdehnung o, wieder auf den unverformten Zustand bezogen, gilt: o = e(:t -
~) -
~
(3)
Diese Beziehungen sind in Abb.3 nomographisch dargestellt. Man erkennt i~brigens, dass kleine drehungsfreie Verformungen mit einer Fl~ichenvergrSsserung (o > 0), grosse hingegen mit einer Fl~ichenverkleinerung (o < 0)
73
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II
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1
Abb. 3. H a u p t v e r f o r m u n g e n von R a s c h e l g e w e b e ftir v e r s c h i e d e n e Werte des Verh~iltnisses p yon Kett- zu S c h u s s a b s t a n d u n d for v e r s c h i e d e n e Werte des relativen Fl~ichenzuwachses o. Fig.& Principal strains o f Raschel weave for various values o f the ratio p o f w a r p to w o o f spacings and for various values o f relative areal i n c r e m e n t o.
verbunden sind. Die Fliichenausdehnung a = 0 ergibt sich beispielsweise bei dem von einer 6sterreichischen Firma hergestellten Gewebe, das durch den ungef~ihren Wert p = 2,2 gekennzeichnet ist, unter einer Dehnung e = 38% in Kettrichtung und unter einer Stauchung ~ = 27% in Schussrichtung. Fiir die eigentliche Hagelschutzwirkung ist es allerdings wichtig, dass die Netzffiden beim Aufschlagen eines Hagelkoms m6glichst wenig ausweichen und sich die Kreuzungsstellen des Gewebes nicht verschieben. Diese Forderungen scheinen beim Drehergewebe besser, am besten aber wohl bei Metallgeflechten erf011t werden zu kSnnen. V O R U N T E R S U C H U N G E N ZUR GIJNSTIGSTEN MASCHENFORM
Die ersten [Sberlegungen zum Schutzverhalten verschiedener netzartiger Abdeckungen (Biermann, 1970) f0hrten unter weitgehend vereinfachenden Voraussetzungen zu einigen grunds~itzlichen Aussagen. Hinsichtlich des
74 Verhaltens gegenfiber grossen, senkrecht einfallenden HagelkSrnern wurde gefolgert, dass ein G i t t e r (das heisst, ein System paralleler, in einer Ebene angeordneter Drfihte oder gespannter F/iden)die gfinstigste Netzform in Bezug auf den kleinsten Bedarf B an Draht- oder Fadenl/inge hat. Da aus konstruktiven Grfinden Querverbindungen zwischen den Gitterdr/ihten oder -f~iden vorhanden sein mfissen, erweist sich das Rechteck als die praktisch giinstigste Netzform. Zur quantitativen Formulierung wurde der Bedarf: B = eLlA
(4)
definiert, wobei e den Durchmesser des gr6ssten Inkreises der Masche (die sogenannte Maschenweite), L den halben Umfang des die Masche beschreibenden Vielecks und A dessen Fl~icheninhalt bedeutet. Das Netz wird als homogen -- das heisst, aus Maschen gleicher Form und Lage bestehend -vorausgesetzt (was jedoch bei den k/iuflichen Netzen nicht ganz zutrifft). Die Berechnung yon B folgt aus elementaren geometrischen 0berlegungen. Im Fall des Gitters ergibt sich das Optimum, n/imlich B = 1; dieser Fall entspricht der Minimalforderung, dass zum Auffangen eines kugelfSrmigen Kornes Berfihrung an zwei gegenfiberliegenden Maschenseiten stattfinden muss. Fiir eine Rechteckmasche mit dem Seitenverh/iltnis s / e = 2 (siehe Abb.1) b e k o m m t man den Wert B = 1,5, ffir eine Quadratmasche den ungiinstigsten Wert B = 2, den man auch fiir Maschen beliebiger Vieleckform erh/ilt, sofern alle Seiten des Vielecks den Inkreis berfihren. Einen Sonderfall solcher Vielecke stellen fibrigens die Maschen des Raschelgewebes (siehe Abb.2) dar, fiir die unabhfingig von p und vom drehungsfreien Verformungszustand stets B = 2 herauskommt. Diese Berechnung geht v o n d e r Annahme aus, dass der gesamte Maschenumfang gleichm/issig mit Draht- oder Fadenmaterial belegt ist. Berficksichtigt man, dass bei den tats~ichlich verwendeten Geweben die Kette in der Regel aus n gleichen F/iden besteht, so findet man beispielsweise fiir das Drehergewebe: B = 1 + (ne/s)
(5)
also mit n = 2 und s / e = 2 den Wert B = 2, und ffir das Raschelgewebe: B = 2(a + n b ) / ( a + b)
(6)
also mit n = 3 und a / b = 2,4 den Weft B = 3,2. Dutch VergrSssern der Quotienten s / e beziehungsweise a / b kSnnte man wiederum zu kleineren B-Werten gelangen. Dennoch ist das Raschelgewebe im Vergleich zum Drehergewebe im Nachteil. Ob sich der Nachteil dutch die M6glichkeit, im Hinblick auf die gr6ssere Nachgiebigkeit des Raschelgewebes mit einer kleineren Fadendicke auszukommen, aufwiegen 1/isst, bleibt nach improvisierten Berstversuchen fraglich. Auf die folgenden Betrachtungen hat eine endgfiltige Entscheidung fiber die ghnstigste Maschenform keinen erheblichen Einfluss, sofern man die
75 Maschenweite einfach als den Durchmesser e des grSssten Inkreises einer Masche definiert. Indem man das sogenannte Gitter als Modell einer Schutzabdeckung zugrunde legt, erleichtert man sich die Berechnungen merklich. Von dieser MSglichkeit wird im folgenden Gebrauch gemacht. Ernstliche Fehlschlt~sse sind dabei keineswegs zu befdrchten. GRUNDLAGENFORSCHUNG ZUR HAGELSCHUTZWIRKUNG In der ersten diesbeziiglichen VerSffentlichung des Verfassers (Biermann, 1970) konnten fiir das AuffangvermSgen von Hagelschutznetzen lediglich Ungleichungen angegeben werden, da auf das Festsetzen eines bestimmten Masses ftir den verhiitbaren Schaden tunlichst verzichtet wurde. Mit dem Ziel, zu quantitativen Beurteilungen fortzuschreiten, wurde in einer sp/iteren VerSffentlichung {Biermann, 1972) konkret eine mechanische Schutzwirkung ins Auge gefasst und fiir diese das energetische Mass vereinbart, das unter allen einschl/igigen MSglichkeiten die einfachste analytische Formulierung und numerische Durchrechnung gestattet. Ausser der Verwendung des sogenannten Gitters als Schutzabdeckungsmodell, das es zul/isst, unter Vernachl/issigung der Wirkung der tats~chlich vorhandenen Querverbindungen das zu bearbeitende Problem auf ein ebenes zuriickzufiihren, dienten zur Vereinfachung die Annahmen, dass sich die Hagelk5rner unabh/ingig voneinander bewegen und dass sie an jeder Stelle des Gitters mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreffen. Die weiteren, der Einfachheit wegen nStigen Annahmen, n/imlich dass die KSrner homogene Kugeln und die Gitterdr~ihte vSllig starr sind, entsprechen zwar weniger gut der Wirklichkeit; doch braucht man wohl deswegen keine ernstlichen Fehlschliisse zu befiirchten. Die stosstheoretischen Berechnungen lieferten unter anderem ffir das AuffangvermOgen je acht ausgezeichnete Kurven. Diese beschreiben den vollk o m m e n elastischen oder unelastischen und den volkommen glatten oder haftenden Stoss. Dabei wurden noch zwei Grenzf~ille unterschieden, n/imlich dass die in FolgestSsse an Nachbardr/ihten oder -f/iden fibertragene Translationsenergie vSllig durchgelassen oder aufgefangen wird. Da sich die Kurven des AuffangvermSgens in jedem dieser beiden Grenzf/ille stellenweise schneiden, lag es nahe, bei weiteren Untersuchungen einfach die obere und die untere Hfillkurve der ausgezeichneten Kurvenschar zu betrachten. Irgendwo zwischen den beiden Hiillkurven mfissen dann die der Wirklichkeit entsprechenden Kurven sicherlich liegen. Auf dieser Grundlage wurde in der letzten VerSffentlichung (Biermann, 1973) der energetische A bschirm ungsgrad S als der normierte Erwartungswert des AuffangvermSgens beziiglich des Spektrums der Translationsenergie der einfallenden HagelkSrner definiert und ffir die beiden Grenzf/ille des Energieauffangs in Abh/ingigkeit vom Gitterdrahtabstand e berechnet. Mit der so definierten GrSsse S erfasst man sowohl die Abh/ingigkeit von der Einfallsgeschwindigkeit der KSrner wie auch die Statistik der Korndurchmesserver-
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teilung in bestimmten Hagelschauern. Die zwischen den betrachteten Grenzf~illen wirklich vorkommenden Werte der Gr6sse S liegen vermutlich ziemlich nahe bei dem arithmetischen Mittel S, das sich aus den beiden Grenzwerten von S ergibt. STATISTISCHE ANALYSE DER KORNDURCHMESSERVERTEILUNG
Fiir eine analytische Wiedergabe unimodularer Korndurchmesserverteilungen erwies sich auf Grund einer in der zuletzt erschienenen Ver6ffentlichung (Biermann, 1973) mitgeteilten Auswertung yon Daten, die aus meteorologischen Zeitschriften gesammelt wurden, die durch die Gleichung: 7 = { ( d / d M ) exp [1 - ( d / d M )]}~
(7)
definierte Gammaverteilung (siehe Abb.4) als eine brauchbare zweiparametrige N~iherung. Hier bedeutet 7 die normierte Verteilungsdichte, d die Zufallsvariable (insbesondere den Korndurchmesser) und d M den sogenannten
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Abb.4. N o r m i e r t e Gammaverteilungsdiehte 7 in Abh~ingigkeit yon der Zufallsvariablen
d/o~[3 mit den Verteilungsparametern a und 13. F i g 4. Normalized gamma distribution density 7 versus r a n d o m variable d/oil3 w i t h distrib u t i o n parameters ~ and/3.
Modalwert, zu dem der Gipfelwert der Verteilungsdichte geh6rt. Es erscheint zweckm~issig, ~ und fl als die beiden Verteilungsparameter zu bezeichnen, wobei/7 durch die Gleichung: d M = o~fl
(8)
mit dem Modalwert in Beziehung steht. Um gelegentlich auch Exponentialverteilungen, die dutch a = 0 gekennzeichnet sind, berficksichtigen zu k6nnen,
77 mag es vorteilhaft sein, statt d M den Erwartungswert (1 + a)fi der Zufallsvariablen zu verwenden, was hier jedoch aus Rficksicht auf formale Einfachheit unterbleibt. Als die zweite KenngrSsse, die gewissermassen die Breite der Verteilungsdichte beschreibt, kann die sogenannte Standardabweichung (1 + (~}l/2~ dienen. Diese KenngrSssen weisen/3 schlechthin als einen Skalenfaktor der Zufallsvariablen aus. Wie die erw/ihnte Datenanalyse zeigte, liegen die Werte yon/3 in der GrSssenordnung yon 1 mm, schwanken aber etwa zwischen 0,5 und 2 mm oder auch mehr. Fi~r a wurden werte yon 2 bis 15, ffir dM also Werte yon 4 bis 10 mm gefunden. Genaue Ermittlungen, bei denen auch die --anscheinend meist vernachl~issigten -- kleinen KSrner mitzuz/ihlen sowie geographische und jahreszeitliche Einflfisse zu berficksichtigen w/iren, steHen noch aus. Der Grenzfall ~ ~ o%/3 ~ 0 bei endlichem Wert v o n d M hat lediglich formale Bedeutung. Die GrSsse ~ geht dann in eine Diracsche Deltafunktion fiber; diese entspricht einem entarteten Verteilungsspektrum, in dem genau der Wert d = d M der Zufallsvariablen und bloss dieser vorkommt. Der Abschirmungsgrad wird dann in trivialer Weise gleich dem AuffangvermSgen. Wie in einer frilheren VerSffentlichung (Biermann, 1972) hergeleitet worden ist, kann das AuffangvermSgen under bestimmten Stossbedingungen bei e = d betr~ichtliche Sprfinge (maximal yon 0,64 bis 1) aufweisen. Eine solche Unstetigkeit entzieht sich selbstverst/indlich der Beobachtung, da ja die Naturerscheinungen dutch Schwankungen verwischt sind. BETRACHTUNGEN ZUM SCHADENSMASS Wie in der zuletzt erschienenen VerSffentlichung (Biermann, 1973} dargelegt wurde, setzt sich die Einfallsgeschwindigkeit aus der Fall- und der Windgeschwindigkeit zusammen. Dabei h/ingt die Fallgeschwindigkeit vom Korndurchmesser d a b . Diese Abh/ingigkeit wird am besten durch ein Gesetz der turbulenten StrSmung beschrieben, dem zufolge der Str5mungswiderstand proportional dem Quadrat der Fallgeschwindigkeit ist. Eine etwaige Beeinflussung des Stossvorgangs durch Luftwirbel muss der Einfachheit wegen ausser Betracht bleiben. So 1/isst sich auf eine Proportionalit/it der Fallgeschwindigkeit zu d 0,s schliessen. Das Volumen eines kugelfSrmigen homogenen Hagelkorns ist proportional zu d 3, die Translationsenergie des fallenden Korns (ohne den Windanteil) also proportional zu d 4. Hingegen verh/ilt sich der entsprechende Impulsbe trag proportional zu d 3,s, was eine Abweichung des Exponenten von d um 6 = - 0 , 5 bezfiglich des energetischen Masses bedeutet. (Die Impulsrichtung ist im allgemeinen wohl ohne Belang.) Die GrSsse 5 sei als Schadensmassindex bezeichnet. Der Fall 5 = 0 entspricht dem energetischen Mass. Im ~iussersten Fall kSnnte man die Abh~ingigkeit yon der Fallgeschwindigkeit g/inzlich in Abrede stellen, indem man argumentiert, dass jede yon einem Hagelkorn angeschlagene Stelle einer Pflanze sofort Totalschaden in dem
78 Umfang der Querschnittsfl~iche des Korns erleide. Dann ergibt sich eine Proportionalit/it zu d 2 statt d 4, also der Index 6 = - 2 . Damit hat man schon ein nichtmechanisches Mass vor sich. Die Wahl des Schadensmasses mag durchaus v o n d e r Pflanzenart abh/ingen. Eine verbindliche Entscheidung tiber das jeweils beste Mass wird ohne ausgiebige Erfahrung kaum m6glich sein. Daneben besteht eine Unsicherheit des Parameterwertes ~ auf Grund des statistischen Gesetzes gem/iss (7 }. Da nach diesem Gesetz die Verteilungsdichte proportional zu d ~ ist, ergibt sich als Exponent von d die Summe 4 + 6 + ~. Die Willkfir des Schadensmasses wirkt sich demnach um so weniger aus, je gr6sser a ist. Gew6hnlich scheint (~ jedoch nicht so gross zu sein, dass man den Einfluss des Schadensmasses vSllig vernachl/issigen darf. Dies wird deutlich, wenn man die Verteilung der mit Hilfe des Index 5 modifizierten Fallenergie T(d) betrachtet. Auf Grund der vorigen [Jberlegungen gilt die Proportionalit/itsbeziehung: dT_T ccd 4+6+~ exp (-o~d/dM) dd
(9)
Hieraus folgt:
d2T co(4+6+a dd 2
d
a)d~d
dM
(I0)
Der Gipfelwert der Verteilungsdichte der modifizierten Energie liegt demzufolge bei d = dMw mit: dM w
= ( 1 + 4 + o~-5) dM
(11)
als dem Modalwert einer Verteilung, die aus der Gammaverteilung dutch Multiplizieren mit einem Gewichtsfaktor in Form der modifizierten Energie hervorgeht. Die Gleichung (11) ist in Abb.5 ftir den der eigentlichen Energie entsprechenden Fall 5 = 0 und fiir einen der modifizierten Energie entsprec'henden Fall, beispielsweise 6 = 2, graphisch wiedergegeben Zugleich zeigt sich, dass zum Beispiel in einem Hagelschauer mit einer dutch d M = 6 mm und a = 6 gekennzeichneten Gammaverteilung der Korndurchmesser gem/iss (11) der gr6sste Fallenergieanteil einem Korndurchm e s s e r d M w = 10 mm (beziehungsweise 8 mm im/iussersten Fall 6 = - 2 der Modifikation) zukommt. Jedenfalls stammt der gr6sste Schadensbeitrag von Hagelk6rnern, deren Durchmesser d oberhalb des h/iufigsten Wertes d~ liegt. Zum Bestimmen des Abschirmungsgrades wurde die Verteilungsdichte ausserdem mit dem frfiher berechneten Auffangverm6gen multipliziert. Auf eine Modifizierung des durch dieses Auffangverm6gen gebildeten zweiten Gewichtsfaktors beztiglich der Fallenergie sei aber verzichtet, weil damit ein ungebfihrlicher Aufwand verbunden w//re und im Rahmen der gestellten Aufgabe nicht viel gewonnen wtirde.
79
5 dMw/dM4~6=0
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2
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1 ~ Asgmptote
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-~) 16
Abb. 5. Verh~ltnis dMw/dM der Modalwerte yon Gammaverteilungen mit Gewicht zu solchen ohne Gewicht in Abh~ingigkeit vom Verteilungsparamet~r ~ bei verschiedenen Werten des Schadensmassindex 6. Fig. 5. Ratio d M w / d M of the modes of weighted to unweighted gamma distributions versus distribution parameter a at various values of damage scale index 6. Filr ein p r a k t i s c h e s B e m e s s u n g s v e r f a h r e n ist m i t h i n zu e m p f e h l e n , zun~ichst d e n Fall 6 = 0 zu b e t r a c h t e n u n d s o d a n n vergleichsweise einen k a n o n i s c h e n Verteilungsparameter:
% = ~ + 5
(12)
an Stelle des e i g e n t l i c h e n V e r t e i l u n g s p a r a m e t e r s c~ e i n z u s e t z e n , u m die F o l g e n einer A b w e i c h u n g v o m e n e r g e t i s c h e n S c h a d e n s m a s s absch/itzen zu k b n n e n . Wegen 6 < 0, also (~k < (~, e r s c h e i n e n die Beitr/ige d e r kleinen H a g e l k b r n e r im Verhiiltnis zu d e n grossen hinsichtlich des A b s c h i r m u n g s g r a d e s b e v o r z u g t , so dass die in Frage k o m m e n d e n n i c h t e n e r g e t i s c h e n S c h a d e n s m a s s e zu schiirferen A n f o r d e r u n g e n an die B e m e s s u n g y o n H a g e l s c h u t z n e t z e n ftihren. NAHERUNGSFORMELN FOR DIE BEZIEHUNG ZWISCHEN MASCHENWEITE UND ABSCHIRMUNGSGRAD Die Ergebnisse d e r B e r e c h n u n g des A b s c h i r m u n g s g r a d e s S bei s e n k r e c h t e m Einfall der H a g e l k b r n e r a u f ein G i t t e r m i t d e m D r a h t - o d e r F a d e n a b s t a n d e sind in A b b . 6 w i e d e r g e g e b e n . Man k a n n die Ergebnisse w e i t e r z u s a m m e n f a s s e n , w e n n m a n d e n B e f u n d n u t z t , dass die W e n d e p u n k t e der K u r v e n s c h a r m i t d e m P a r a m e t e r ~ alle ziemlich g e n a u bei S = 3 / 4 liegen. A u s s e r d e m k o m m t hier d e r B e f u n d zugute, dass m a n die Abszissen d e r W e n d e p u n k t e in w e i t e n G r e n z e n r e c h t g e n a u d u r c h in (~ lineare G l e i c h u n g e n a p p r o x i m i e r e n k a n n . Meist genilgt es, d e n m i t t l e r e n A b s c h i r m u n g s g r a d S - - wie s c h o n erwiihnt - - zu b e t r a c h t e n . Filr die Abszissen ~, der :~-Kurvenschar gilt: = 5(1 + 0,23(~)/3
(13)
80
i; Q~
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0;--
0,I~ 0--
10
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02 0,6 0.5
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----
e/fl
Abb.6. Grenzkurven des Abschirmungsgrades S (mit Schraffuren zur Angabe des Streubereichs) in Abhhngigkeit vom Gitterdrahtabstand e fiir Hagel mit den Parametern ~ und yon Gammaverteilungen des Korndurchmessers im Fall des senkrechten Hageleinfalls und bei Windstille. Fig.6. Limiting curves of screening efficiency S (with hatches indicating the spread) versus spacing e of a grating for hail with parameters (x and ~ of gamma distributions of the hai !stone diameter in case of perpendicular hail incidence and at calms.
mindestens im Intervall 0 < ~ < 16, unter Umst/inden sogar fiir noch gr6ssere ~-Werte. Normiert man n u n g auf ei, so b e k o m m t die ~-Kurvenschar einen gemeinsamen Wendepunkt; siehe Abb.7. Ebenso gelten fiir alle anderen S-Werte in ziemlich guter Niiherung lineare Beziehungen der gleichen Form wie {13). Allgemein lfisst sich also: e =/T'0 (1 + E'~)~
(14)
81
Abb.7. Gitterdrahtabstand ~ in Abh~ngigkeit v o m mittleren Abschirmungsgrad S ffir Hagel, wie unter Abb.6 gekennzeichnet. Fig.7. Spacing ~, of a grating versus mean screening efficiency S for hail as specified under Fig6.
schreiben. Die Koeffizienten/~o und ~" bilden Funktionen von S, die in Abb.8 graphisch dargestellt sind und ersatzweise durch die Formeln: Eo ~ 0,8 + 7,5 [(l/S) - 1] 1/2
(15)
E' ~ 0,16(1 _ ~)-1/4
(16)
im Intervall 0,5 < S < 0,99 mit einem relativen Fehler yon weniger als + 10% oder durch die Formeln: E"0 ~ 0,5 + (3,8/3)
(17)
E" ~ 0,2
(18)
im Intervall 0,05 ~ S < 0,5 mit einem noch kleineren relativen Fehler approximiert werden k6nnen. Damit hat man Niiherungsformeln, die sich fi~r praktische Berechnungen eignen, zur Verfiigung. Diese Formeln sind allerdings nicht die einzig m6glichen, was mit dem semiempirischen Charakter ihrer H e r k u n f t zusammenh/ingt. Es liessen sich noch viele andere, vielleicht ebenso gut brauchbare oder genauere, dann abet aufwendigere N/iherungsformeln entwickeln. Dabei
82
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Abb.8. A p p r o x i m a t i o n s k o e f f i z i e n t e n ~ und E ' fiir den Gitterdrahtabstand ~ in Abh~ngigkeit v o m mittleren Abschirmungsgrad S. Fig. 8. A p p r o x i m a t i o n coefficients Eo and E ' for the spacing ~ of a grating versus mean screening efficiency S.
h~itte m a n , wie es der Verfasser im v o r l i e g e n d e n Fall tat, heuristisch vorzugehen. D e n N u t z e n der o b e n a n g e g e b e n e n F o r m e l n m 6 g e e_in n u m e r i s c h e s Beispiel aufzeigen. Ffir S = 0,9 liest m a n aus A b b . 8 die Werte E 0 = 3,4 u n d E ' = 0 , 2 8 2 ab o d e r b e r e c h n e t aus (15) t 0 ~ 3,3 u n d aus (16) E ' ~ 0,284. A n g e n o m m e n , m a n h a b e statistisch G a m m a v e r t e i l u n g e n des H a g e l k o r n d u r c h m e s s e r s m i t d e n P a r a m e t e r w e r t e n a = 6 und/3 = 1 e r m i t t e l t , so ergibt sich aus (14) ~ ~ 9 m m fiir die M a s c h e n w e i t e , die bei e i n e m m i t t l e r e n A b s c h i r m u n g s g r a d v o n 90% zu f o r d e r n ist. Fiir d e n Fall, dass dieser n u t 75% zu b e t r a g e n b r a u c h t , b e k o m m t m a n s o f o r t aus (13) ~ ~ 12 m m . U n t e r der A n n a h m e eines n i c h t e n e r g e t i s c h e n S c h a d e n s m a s s e s m i t d e m I n d e x 5 = - 2 h~itte m a n gem~iss der im vorigen A b s c h n i t t g e g e b e n e n E m p f e h lung s u b s t i t u t i v m i t d e m aus (12) erh~ltlichen P a r a m e t e r w e r t a k = 4 s t a t t = 6 zu r e c h n e n u n d b e k / i m e - - ffir diesen Fall einer r e c h t e r h e b l i c h e n A b w e i c h u n g v o m e n e r g e t i s c h e n Mass - - als Ergebnis ~ ~ 7 m m u n d 10 m m bei e i n e m m i t t l e r e n A b s c h i r m u n g s g r a d v o n 90% b e z i e h u n g s w e i s e 75%. K O M M E N T A R ZUM B E R E C H N U N G S E R G E B N I S
S c h o n ein Blick a u f die G l e i c h u n g (14), in der ja/~'___~ 0,2 ist, lehrt, dass eine A n d e r u n g v o n a u m 1 eine .&nderung y o n ~ u m m i n d e s t e n s 20% m i t sich bringt u n d dass eine V e r v i e l f a c h u n g von/3 eine e b e n s o l c h e v o n ~ b e w i r k t . U m
83 die Beziehungen noch besser zu durchschauen, betrachte man den Sonderfall d M = const., beispielsweise d M = 6 mm. Dann f/illt ~ yon 3 m m bis 0,4 mm, w/ihrend a yon 2 bis 15 w~chst. Schreibt man nun (14) in der F o r m = 1~0(~ + ]~'dM) und erinnert man sich, dass E ' d M in dem vorgeffihrten Beispiel auf 1,2 m m absinken kann, so schliesst man auf die M6glichkeit von Schwankungen der erforderlichen Maschenweite ~ im Verh/iltnis 4,2 zu 1,6, das heisst um das 2,6-fache, falls S ~ 0 , 5 ist. Aber auch ffir den Fall S = 0,99 mit E" ~ 0,5 ergeben sich i m m e r h i n ~ o c h Schwankungen von e um das 1,8-fache. Solange keine verl~isslichen statistischen Daten ffir einen k o n k r e t e n Fall vorliegen, h/itte man, um jegliches Wagnis auszuschliessen, start der vorhin auf Grund des energetischen Schadensmasses errechneten Maschenweite von 9 mm folglich etwa 5 m m zu w/ihlen. Denn eine zu grosse Maschenweite ffihrt, wie Abb.4 anschaulich zeigt, zu einem steilen Absinken des Abschirmungsgrades -- um so mehr, je ..grSsser ~ ist. Ferner folgt aus den obigen Uberlegungen, dass eine einparametrige Beschreibung des Verteilungsspektrums der Korngr6sse im allgemeinen nicht den praktischen A nf or de r ungen zu geniigen verm6chte und dass es auf eine genaue statistische Ermittlung beider Verteilungsparameter a n k o m m t , wenn die Bemessung der Netze stichhaltig begrfindet sein soll. Hingegen scheint es gew6hnlich nicht n6tig zu sein, multimodale Verteilungen -- yon denen manchmal berichtet w or den ist -- mit dem Aufwand einer durch m e h r als zwei Parameter gekennzeichneten Verteilungsfunktion zu berficksichtigen. Ubrigens wird man beim Anpassen der zweiparametrigen F u n k t i o n an vorliegende Daten die Wiedergabe der Verteilung kleiner K6rner in der Regel hintansetzen, zumal wenn man nur wenig vom energetischen Schadensmass abweicht, so dass der Einfluss grosser K6rner im Ubergewicht bleibt. Es sei auch daran erinnert, dass die angegebenen Formeln eigentlich nut fiir ideale Schutzabdeckungen gelten, die von starren Dr/ihten oder sehr straff gespannten F/iden gebildet werden. Praktisch ist es freilich kaum m6glich, die K u n s t s t o f f n e t z e so straff zu spannen, dass die F~iden unter den St6ssen der Hagelk6rner nicht doch merklich ausweichen. Infolgedessen muss man die effektive Maschenweite ~ etwas gr6sser als die Nennweite (das heisst, die Maschenweite des unbeanspruchten Netzes} annehmen. Die Maschenweite von K u n s t s t o f f n e t z e n sollte man de m nach kleiner als die steifer Metallgeflechte bemessen. Ferner hat man den Streubereich von S, der durch verschiedene Stossarten und verschiedenes Folgestossverhalten bedingt ist, wenigstens roh abzusch/itzen. Dieser Bereich ist in Abb.6 durch Schraffur hervorgehoben. Es sei angemerkt, dass die Mittelwerte S und ~ unterschiedlich ausfallen, je nachdem ob man sie bezfiglich S oder e bildet; doc h sind diese Unterschiede zu gering, als dass sie besondere Beachtung erheischten. Die zu einem bestimmten S-Wert geh6rende/iusserste absolute Streuung Ae von e um den Mittelwert ~ bleibt in den b e t r a c h t e t e n Intervallen kleiner als 20 %. Da Ae nur wenig von ~ abh/ingt, genfigt es, fiir eine Absch/itzung die Abh/ingigkeit von S allein zu betrachten.
84 Dafiir kann man im Intervall 0,4 ~ S ~ 0,99 die N/iherungsformel: Ae/~ ~ 0,1(2 - S )
(19)
benutzen. Ausserhalb des genannten Intervalls fallt die relative Streuung Ae/~ noch kleiner aus. Immerhin ergibt sich, dass man zum Beispiel ffir einen mittleren Abschirmungsgrad yon 90 % die Maschenweite um etwa 11% kleiner zu bemessen hat, wenn man den ungiinstigsten Stossbedingungen Rechnung tragen will. Auf diese Weise 1/isst sich die bisherige Wahl yon 4 mm ffir die Maschenweite yon Kunststoffnetzen unter Umst~nden sogar auf Grund des energetischen Schadensmasses begrfinden. SONSTIGE BEMERKUNGEN W/ihrend die Formeln (13) bis (19) f(ir den senkrechten Einfatl yon HagelkSrnern auf ein horizontales Schutzgitter bei Windstille gelten, finder man in der zuletzt erschienenen VerSffentlichung (Biermann, 1973) auch Untersuchungen anderer F/ille. Wenn das Gitter quer zu den Gitterdr~ihten oder das Netz in Kettrichtung (das heisst, parallel zu den kurzen Seiten der rechteckfSrmigen Maschen) geneigt ist, ergibt sich jenen Untersuchungen zufolge zwar ein grSsserer Abschirmungsgrad, aber zugleich ein grSsserer Bedarf an Abdekkungsfl/iche. Einen ~ihnlichen Einfluss wie die Neigung der Abdeckung hat ein in derselben Richtung wehender horizontaler Wind -- freilich mit der zus~itzlichen Komplikation., dass sich die Einfallsrichtungen verschieden grosser HagelkSrner auff/ichern. Ubrigens liesse sich ohne einen Mehrbedarf an Abdeckungsfl/iche, also an Netzmaterial, der Abschirmungsgrad vergrSssern, indem man die Schussf/iden des Netzes (das heisst, die parallel zu den langen Seiten der rechteckfSrmigen Maschen liegenden F/iden) quer zur Hauptwindrichtung anordnet (vgl. Biermann, 1970), was zugestandenermassen leider oft nicht prak. tikabel ist. Eine Neigung des Erdbodens unter einer Hagelschutzabdeckung vermag den Abschirmungsgrad nur dann zu beeinflussen, wenn ein Wind hangauf- oder -abw/irts weht. Bewirkt der Wind fiberwiegend eine VergrSsserung des Einfallswinkels (das heisst, des Winkels zwischen der Einfallsrichtung und des Lotes zur Schutzgitterebene), so ist eine VergrSsSerung des Abschirmungsgrades zu folgern (vgl. Biermann, 1973). Da der Abschirmungsgrad definitionsgem/iss eine relative GrSsse ist, wirkt sich ein Aufwind nur in dem Masse aus, wie die Translationsenergie im Verh/iltnis zu der verminderten Energie der einfallenden HagelkSrner (in Bezug auf Schutzgitter und Erdboden) aufgefangen wird. Die Bedingungen, die bei Abwind zu einer Verkleinerung des Abschirmungsgrades fiihren, werden selten erffillt sein. Mithin darf man wohl annehmen, dass die hier angegebenen Formeln -- abgesehen von einer Ab/inderung des energetischen Schadensmasses -- in der Regel dem ungiinstigsten Fall entsprechen.
85 ANERKENNUNG
Die Anregung zu der Reihe grundlegender Untersuchungen, die hiermit zum vorl~iufigen Abschluss gelangen, ist Herrn Prof. Dr. techn, habil. Fritz Reinitzhuber zu verdanken. Ihm sei dieser Artikel anl~isslich der bevorstehenden Volendung des 65. Lebensjahres gewidmet.
LITERATUR Biermann, M., 1970. Gestaltung und Anordnung yon Hagelschutznetzen. Forsch. Ing.-Wes., 36(4): 127--132. Biermann, M., 1971. Moglichkeiten des Pflanzenschutzes mittels einer elektrischen Kondensatorvorrichtung. Forsch. Ing.-Wes., 37(6): 189--I97. Biermann, M., 1972. Aufstellung einer kinematisehen Stosstheorie und deren Anwendung auf den k6rperlichen Energiestrom durch ein Gitter. Forsch. Ing.-Wes., 38(2): 38--49. Biermann, M., 1973. Der energetische Abschirmungsgrad yon Hagelschutzgittern ftir bestimmte Verteilungsspektren yon Hagelkorndurchmessern. Forsch. Ing.-Wes., 39(2): 49--61. Reinitzhuber, F., 1970. Expos~ fiber den Schutz der steirischen Reb- und Obstkulturen gegen Hagel. Kittenberg/Leibnitz (Osterreich), 9 pp. + 4 Anlagen. Szith, R., VStsch, J. und Duhan, K., 1972. Hagelschutznetze -- ein Versuch. Landeskammer ftir Land- und Forstwirtschaft in der Steiermark, Abteilung Obstbau, Graz, 20 pp.
EIN VERFAHREN MASCHENWEITE
ZUM BERECHNEN DER ERFORDERLICHEN VON HAGELSCHUTZNETZEN
MARKUS BIERMANN
Bundesanstalt fur Materialpri~fung, Berlin (Bundesrepublik Deutschland) (Akzeptiert ffir VerSffentlichung den 9. Januar, 1974)
ABSTRACT Biermann, M., 1974. Ein Verfahren zum Berechnen der erforderlichen Maschenweite yon Hagelschutznetzen. (A procedure of calculating the requisite mesh size of paragrandine nets.) Agric. Meteorol., 13:69--85. Results of the author's previous research on the mechanical foundations of the passive hail protection are exploited and supplemented for the immediate practical purpose of dimensioning paragrandine nets. The exposition starts with an investigation into some relevant properties of the types of weave presently available on the market. Under simplifying, but largely substantiated, assumptions -- such as those of the protective covering resembling a rigid grating and the hailstones being globular -- and on the conventional basis of the energetical damage scale, the argumentation then leads to establishing workable approximate formulas which facilitate to assess the mesh size required to achieve some wanted screening efficiency. In doing so, one has to put in the casual values of two distribution parameters which must have been ascertained from a statistical analysis of empirical data on the occurrence of hailstone diameters in terms of a gamma distribution approach. The consequences associated with the choice of non-energetical damage scales, which are possibly more adequate to the specific response of plants toward the action of hail, can be roughly estimated by way of varying one of the distribution parameters. ZUSAMMENFASSUNG Ergebnisse der frfiheren Forschung des Verfassers fiber die mechanischen Grundlagen des passiven Hagelschutzes werden verwertet und ftir den unmittelbaren praktischen Zweck des Bemessens yon Hagelschutznetzen erg~nzt. Die Darstellung beginnt mit einer Untersuchung der bedeutsamen Eigenschaften der gegenw~rtig im Handel erh~ltlichen Gewebearten. Unter vereinfachenden, aber weitgehend begrfindeten Annahmen -- zum Beispiel, dass die Schutzabdeckung einem starren Gi~ter hhnelt und dass die Hagelkbrner kugelfbrmig sind -- sowie auf der konventionellen Grundlage des energetischen Schadensmasses ffihrt sodann die Er6rterung zum Aufstellen handlicher N~herungsformeln, die es gestatten, die zum Erzielen irgendeines gewfinschten Abschirmungsgrades erforderliche Maschenweite bequem zu bestimmen. Dabei hat man die jeweiligen Werte yon zwei Verteilungsparametern einzusetzen, die aus einer statistischen Analyse empirischer Daten fiber die vorkommenden Hagelkorndurchmesser auf Grund eines Gammaverteilungsansatzes ermittelt worden sein mfissen. Durch Variieren eines der Verteilungsparameter lassen sich die Folgen ungef~hr abschatzen, die mit der Wahl nichtenergetischer, dem besonderen Verhalten yon Pflan-
7O zenarten gegentiber der Einwirkung yon Hagel mSglicherweise besser entsprechender Schadensmasse verbunden sind.
EINLEITUNG Hagelschutznetze sind seit etwa einem Jahrzehnt im Einsatz und erscheinen in den Alpenl~indern immer h/iufiger. Man zweifelt kaum an der Wirksamkeit dieses passiven Hagelschutzes -- von aussergewShnlichen Katastrophen abgesehen. Wo sich ein aktiver Hagelschutz (eine Hagelabwehr durch ki]nstliche Wetterbeeinflussung) nicht lohnt oder solange er unsicher bleibt, bietet der passive Schutz den einzigen Ausweg, Sch/iden zu verhfiten. Es stellt sich allerdings die Frage, unter welchen Bedingungen Schutzmassnahmen dieser Art auch wirtschaftlich sind und wie man die Wirtschaftlichkeit noch steigern kann. Nach bisherigen Ermittlungen (vgl. z. B. Reinitzhuber, 1970) liegen die Kosten fi:tr das Netzmaterial in jedem Fall hSher als die Kosten ffir das Gerfist, fiber dem die Netze ausgespannt werden. Es ist daher klar, dass die Gesamtkosten entscheidend v o n d e r Maschenweite der Netze abh/ingen. Selbstverst/indlich wird der Schutz um so sicherer, je kleiner man die Maschenweite w/ihlt. Im Hinblick darauf, dass die Festigkeitsforderung mehr auf das Netz im ganzen als auf die einzelnen Netzf/iden zu beziehen ist, k o m m t man bei kleinerer Maschenweite zwar mit einem etwas kleineren Fadenquerschnitt aus. Doch ist die MSglichkeit der Querschnittsverminderung wegen ungfinstiger Oberfl~icheneffekte begrenzt, und es besteht nichtsdestoweniger die Tendenz, dass der Materialaufwand bei Verkleinerung der Maschenweite m o n o t o n steigen muss. Ein anderer Grund ffir das Anstreben einer mSglichst grossen Maschenweite besteht fibrigens darin, dass die Netze m5glichst wenig Licht abdecken sollen. Da die technischen MSglichkeiten fiir geeignete lichtdurchl/issige Netzmaterialien gering zu sein scheinen und andererseits eine Beeintr/ichtigung des Pflanzenwachstums infolge der Abdeckung nachgewiesen ist, hat der Wunsch nach einer m5glichst grossen Maschenweite eine um so gr5ssere Berechtigung. Will man nun das Bemessen der Schutznetze nicht ganz der Willkfir iiberlassen, so braucht man eine Theorie, die es erm5glicht, eine Beziehung des Aufwandes zu der voraussichtlichen Schadensverhfitung zu finden. Hierzu gibt es bereits grundlegende Vorarbeiten (Biermann, 1970, 1972 und 1973), auf denen sich der vorliegende Artikel stfitzt. Es bleibt damit die Aufgabe, haupts/ichlich den an der Praxis interessierten Lesern einen Einblick in die Grundlagen zu vermitteln, der ffir eine richtige Anwendung der Theorie nStig ist. Das Ziel geht im wesentlichen dahin, praktisch brauchbare und mSglichst einfache N/iherungsformeln anzugeben. Sie fussen grunds/itzlich auf den allgemeinen Gesetzen der Mechanik, nehmen aber weder endgfiltige meteorologische Daten bezfiglich der Spektren von Hagelkorndurchmessern vorweg, noch beziehen sie die spezifische Schadensanf/illigkeit der zu schfitzenden Pflanzen in biologischer oder gar wirtschaftlicher Hinsicht definitiv ein. Meteorologen,
71 Biologen u n d L a n d w i r t e n sei es anheimgestellt, sich der n o t w e n d i g e n Erg/inzungen a n z u n e h m e n . BISHER ERPROBTE NETZARTEN Bislang k a m e n n u r K u n s t s t o f f n e t z e , aber keine M e t a l l d r a h t g e f l e c h t e z u m Einsatz. S c h u t z a b d e c k u n g e n aus Metall -- o d e r auch im V e r b u n d mit Kunsts t o f f n e t z e n -- k 6 n n t e n iibrigens zus~itzlichen Z w e c k e n des P f l a n z e n s c h u t z e s dienen (vgl. B i e r m a n n , 1 9 7 1 ) ; d o c h s t e h e n dabei vorl/iufig Kostengr/inde entgegen. Das F a d e n m a t e r i a l der K u n s t s t o f f n e t z e wird zur Zeit n o c h i m m e r ausschliesslich auf Poly~ithylenbasis von einer italienischen Firma hergestellt u n d zu N e t z e n m i t r e c h t e c k f 6 r m i g e n Maschen v e r w e b t (siehe A b b . 1 ) -- als sogen a n n t e s Drehergewebe, bei d e m die Kettf~iden paarweise in e n t g e g e n g e s e t z t e m Sinn die Schussf~iden auf w e c h s e l n d e n Seiten k r e u z e n . Ein solches N e t z 1/isst
Abb.1. Schema des Drehergewebes (mit dicken Linien zur Wiedergabe der Ketten, zwischen denen die Schussf~iden geflochten sind). Fig. 1. Outline of leno-type weave (with heavy lines for rendering the warp, among which the woof threads are interlaced). sich in seiner Fl~ichenerstreckung zwar scheren, aber n i c h t in den H a u p t r i c h t u n g e n (Kett- u n d Schussrichtung) d e h n e n . A u s s e r d e m w u r d e n N e t z e in F o r m des s o g e n a n n t e n Raschelgewebes (siehe Abb.2} von einer 5 s t e r r e i c h i s c h e n Weberei geliefert. Bei dieser G e w e b e a r t sind die Schussf~iden z i c k z a c k f S r m i g m i t d e n aus je drei F~iden gebildeten K e t t e n v e r f l o c h t e n u n d ergeben im u n v e r f o r m t e n Zustand (das heisst, bei gerade g e s t r e c k t e n Kettf~iden} d r e i e c k f S r m i g e Maschen. Da die D r e i e c k s p i t z e n
72
Abb.2. Schema des Raschelgewebes in einem Zustand drehungsfreier Verformung (die Bedeutung der dicken Linien ist unter Abb. 1 erkl~irt). Fig.2. Outline of Raschel weave in a state of irrotational strain (the meaning of heavy lines being explained under Fig.1 ). jeweils in der Mitte einer benachbarten Dreieckseite liegen, ist dieses Netz in allen l{ichtungen verformbar, was einige Fachleute (Szith et al., 1972) als Vorteil beim Ausspannen des Netzes ansehen. Das drehungsfreie Verformungsverhalten des Raschelgewebes in den Haupt'richtungen l~isst sich leicht quantitativ beschreiben. Die Verformungen sind dabei als homogen vorauszusetzen. Auf Grund geometrischer tJberlegungen an Hand von Abb.2 finder man so die Beziehung: e = p-]([p;
+
(2-
[)~] 1/2 + [ ( 2 -
~-)~-1,/2} _ i
(i)
zwischen der Dehnung e in Schussrichtung und der Stauchung ~"in Kettrichtung, bezogen auf den unverformten Zustand. Der Parameter p ist hier gegeben durch: p = [(a/b)
2 -
1] 1/2
(2)
und bedeutet das Verh~iltnis vom Kettabstand (a 2 - b2) 1/2 im unverformten Zustand zum Schussabstand b. Ffir die relative Fl~ichenausdehnung o, wieder auf den unverformten Zustand bezogen, gilt: o = e(:t -
~) -
~
(3)
Diese Beziehungen sind in Abb.3 nomographisch dargestellt. Man erkennt i~brigens, dass kleine drehungsfreie Verformungen mit einer Fl~ichenvergrSsserung (o > 0), grosse hingegen mit einer Fl~ichenverkleinerung (o < 0)
73
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II
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o,6 0,4
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//IH~',' / I L--~ ~-7i /U
G=3
v p/./.11-/,
O.2
/
1
0,4
I
0,6 O,8 5touchungin Kettrlchtung,
1
Abb. 3. H a u p t v e r f o r m u n g e n von R a s c h e l g e w e b e ftir v e r s c h i e d e n e Werte des Verh~iltnisses p yon Kett- zu S c h u s s a b s t a n d u n d for v e r s c h i e d e n e Werte des relativen Fl~ichenzuwachses o. Fig.& Principal strains o f Raschel weave for various values o f the ratio p o f w a r p to w o o f spacings and for various values o f relative areal i n c r e m e n t o.
verbunden sind. Die Fliichenausdehnung a = 0 ergibt sich beispielsweise bei dem von einer 6sterreichischen Firma hergestellten Gewebe, das durch den ungef~ihren Wert p = 2,2 gekennzeichnet ist, unter einer Dehnung e = 38% in Kettrichtung und unter einer Stauchung ~ = 27% in Schussrichtung. Fiir die eigentliche Hagelschutzwirkung ist es allerdings wichtig, dass die Netzffiden beim Aufschlagen eines Hagelkoms m6glichst wenig ausweichen und sich die Kreuzungsstellen des Gewebes nicht verschieben. Diese Forderungen scheinen beim Drehergewebe besser, am besten aber wohl bei Metallgeflechten erf011t werden zu kSnnen. V O R U N T E R S U C H U N G E N ZUR GIJNSTIGSTEN MASCHENFORM
Die ersten [Sberlegungen zum Schutzverhalten verschiedener netzartiger Abdeckungen (Biermann, 1970) f0hrten unter weitgehend vereinfachenden Voraussetzungen zu einigen grunds~itzlichen Aussagen. Hinsichtlich des
74 Verhaltens gegenfiber grossen, senkrecht einfallenden HagelkSrnern wurde gefolgert, dass ein G i t t e r (das heisst, ein System paralleler, in einer Ebene angeordneter Drfihte oder gespannter F/iden)die gfinstigste Netzform in Bezug auf den kleinsten Bedarf B an Draht- oder Fadenl/inge hat. Da aus konstruktiven Grfinden Querverbindungen zwischen den Gitterdr/ihten oder -f~iden vorhanden sein mfissen, erweist sich das Rechteck als die praktisch giinstigste Netzform. Zur quantitativen Formulierung wurde der Bedarf: B = eLlA
(4)
definiert, wobei e den Durchmesser des gr6ssten Inkreises der Masche (die sogenannte Maschenweite), L den halben Umfang des die Masche beschreibenden Vielecks und A dessen Fl~icheninhalt bedeutet. Das Netz wird als homogen -- das heisst, aus Maschen gleicher Form und Lage bestehend -vorausgesetzt (was jedoch bei den k/iuflichen Netzen nicht ganz zutrifft). Die Berechnung yon B folgt aus elementaren geometrischen 0berlegungen. Im Fall des Gitters ergibt sich das Optimum, n/imlich B = 1; dieser Fall entspricht der Minimalforderung, dass zum Auffangen eines kugelfSrmigen Kornes Berfihrung an zwei gegenfiberliegenden Maschenseiten stattfinden muss. Fiir eine Rechteckmasche mit dem Seitenverh/iltnis s / e = 2 (siehe Abb.1) b e k o m m t man den Wert B = 1,5, ffir eine Quadratmasche den ungiinstigsten Wert B = 2, den man auch fiir Maschen beliebiger Vieleckform erh/ilt, sofern alle Seiten des Vielecks den Inkreis berfihren. Einen Sonderfall solcher Vielecke stellen fibrigens die Maschen des Raschelgewebes (siehe Abb.2) dar, fiir die unabhfingig von p und vom drehungsfreien Verformungszustand stets B = 2 herauskommt. Diese Berechnung geht v o n d e r Annahme aus, dass der gesamte Maschenumfang gleichm/issig mit Draht- oder Fadenmaterial belegt ist. Berficksichtigt man, dass bei den tats~ichlich verwendeten Geweben die Kette in der Regel aus n gleichen F/iden besteht, so findet man beispielsweise fiir das Drehergewebe: B = 1 + (ne/s)
(5)
also mit n = 2 und s / e = 2 den Wert B = 2, und ffir das Raschelgewebe: B = 2(a + n b ) / ( a + b)
(6)
also mit n = 3 und a / b = 2,4 den Weft B = 3,2. Dutch VergrSssern der Quotienten s / e beziehungsweise a / b kSnnte man wiederum zu kleineren B-Werten gelangen. Dennoch ist das Raschelgewebe im Vergleich zum Drehergewebe im Nachteil. Ob sich der Nachteil dutch die M6glichkeit, im Hinblick auf die gr6ssere Nachgiebigkeit des Raschelgewebes mit einer kleineren Fadendicke auszukommen, aufwiegen 1/isst, bleibt nach improvisierten Berstversuchen fraglich. Auf die folgenden Betrachtungen hat eine endgfiltige Entscheidung fiber die ghnstigste Maschenform keinen erheblichen Einfluss, sofern man die
75 Maschenweite einfach als den Durchmesser e des grSssten Inkreises einer Masche definiert. Indem man das sogenannte Gitter als Modell einer Schutzabdeckung zugrunde legt, erleichtert man sich die Berechnungen merklich. Von dieser MSglichkeit wird im folgenden Gebrauch gemacht. Ernstliche Fehlschlt~sse sind dabei keineswegs zu befdrchten. GRUNDLAGENFORSCHUNG ZUR HAGELSCHUTZWIRKUNG In der ersten diesbeziiglichen VerSffentlichung des Verfassers (Biermann, 1970) konnten fiir das AuffangvermSgen von Hagelschutznetzen lediglich Ungleichungen angegeben werden, da auf das Festsetzen eines bestimmten Masses ftir den verhiitbaren Schaden tunlichst verzichtet wurde. Mit dem Ziel, zu quantitativen Beurteilungen fortzuschreiten, wurde in einer sp/iteren VerSffentlichung {Biermann, 1972) konkret eine mechanische Schutzwirkung ins Auge gefasst und fiir diese das energetische Mass vereinbart, das unter allen einschl/igigen MSglichkeiten die einfachste analytische Formulierung und numerische Durchrechnung gestattet. Ausser der Verwendung des sogenannten Gitters als Schutzabdeckungsmodell, das es zul/isst, unter Vernachl/issigung der Wirkung der tats~chlich vorhandenen Querverbindungen das zu bearbeitende Problem auf ein ebenes zuriickzufiihren, dienten zur Vereinfachung die Annahmen, dass sich die Hagelk5rner unabh/ingig voneinander bewegen und dass sie an jeder Stelle des Gitters mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreffen. Die weiteren, der Einfachheit wegen nStigen Annahmen, n/imlich dass die KSrner homogene Kugeln und die Gitterdr~ihte vSllig starr sind, entsprechen zwar weniger gut der Wirklichkeit; doch braucht man wohl deswegen keine ernstlichen Fehlschliisse zu befiirchten. Die stosstheoretischen Berechnungen lieferten unter anderem ffir das AuffangvermOgen je acht ausgezeichnete Kurven. Diese beschreiben den vollk o m m e n elastischen oder unelastischen und den volkommen glatten oder haftenden Stoss. Dabei wurden noch zwei Grenzf~ille unterschieden, n/imlich dass die in FolgestSsse an Nachbardr/ihten oder -f/iden fibertragene Translationsenergie vSllig durchgelassen oder aufgefangen wird. Da sich die Kurven des AuffangvermSgens in jedem dieser beiden Grenzf/ille stellenweise schneiden, lag es nahe, bei weiteren Untersuchungen einfach die obere und die untere Hfillkurve der ausgezeichneten Kurvenschar zu betrachten. Irgendwo zwischen den beiden Hiillkurven mfissen dann die der Wirklichkeit entsprechenden Kurven sicherlich liegen. Auf dieser Grundlage wurde in der letzten VerSffentlichung (Biermann, 1973) der energetische A bschirm ungsgrad S als der normierte Erwartungswert des AuffangvermSgens beziiglich des Spektrums der Translationsenergie der einfallenden HagelkSrner definiert und ffir die beiden Grenzf/ille des Energieauffangs in Abh/ingigkeit vom Gitterdrahtabstand e berechnet. Mit der so definierten GrSsse S erfasst man sowohl die Abh/ingigkeit von der Einfallsgeschwindigkeit der KSrner wie auch die Statistik der Korndurchmesserver-
76
teilung in bestimmten Hagelschauern. Die zwischen den betrachteten Grenzf~illen wirklich vorkommenden Werte der Gr6sse S liegen vermutlich ziemlich nahe bei dem arithmetischen Mittel S, das sich aus den beiden Grenzwerten von S ergibt. STATISTISCHE ANALYSE DER KORNDURCHMESSERVERTEILUNG
Fiir eine analytische Wiedergabe unimodularer Korndurchmesserverteilungen erwies sich auf Grund einer in der zuletzt erschienenen Ver6ffentlichung (Biermann, 1973) mitgeteilten Auswertung yon Daten, die aus meteorologischen Zeitschriften gesammelt wurden, die durch die Gleichung: 7 = { ( d / d M ) exp [1 - ( d / d M )]}~
(7)
definierte Gammaverteilung (siehe Abb.4) als eine brauchbare zweiparametrige N~iherung. Hier bedeutet 7 die normierte Verteilungsdichte, d die Zufallsvariable (insbesondere den Korndurchmesser) und d M den sogenannten
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Abb.4. N o r m i e r t e Gammaverteilungsdiehte 7 in Abh~ingigkeit yon der Zufallsvariablen
d/o~[3 mit den Verteilungsparametern a und 13. F i g 4. Normalized gamma distribution density 7 versus r a n d o m variable d/oil3 w i t h distrib u t i o n parameters ~ and/3.
Modalwert, zu dem der Gipfelwert der Verteilungsdichte geh6rt. Es erscheint zweckm~issig, ~ und fl als die beiden Verteilungsparameter zu bezeichnen, wobei/7 durch die Gleichung: d M = o~fl
(8)
mit dem Modalwert in Beziehung steht. Um gelegentlich auch Exponentialverteilungen, die dutch a = 0 gekennzeichnet sind, berficksichtigen zu k6nnen,
77 mag es vorteilhaft sein, statt d M den Erwartungswert (1 + a)fi der Zufallsvariablen zu verwenden, was hier jedoch aus Rficksicht auf formale Einfachheit unterbleibt. Als die zweite KenngrSsse, die gewissermassen die Breite der Verteilungsdichte beschreibt, kann die sogenannte Standardabweichung (1 + (~}l/2~ dienen. Diese KenngrSssen weisen/3 schlechthin als einen Skalenfaktor der Zufallsvariablen aus. Wie die erw/ihnte Datenanalyse zeigte, liegen die Werte yon/3 in der GrSssenordnung yon 1 mm, schwanken aber etwa zwischen 0,5 und 2 mm oder auch mehr. Fi~r a wurden werte yon 2 bis 15, ffir dM also Werte yon 4 bis 10 mm gefunden. Genaue Ermittlungen, bei denen auch die --anscheinend meist vernachl~issigten -- kleinen KSrner mitzuz/ihlen sowie geographische und jahreszeitliche Einflfisse zu berficksichtigen w/iren, steHen noch aus. Der Grenzfall ~ ~ o%/3 ~ 0 bei endlichem Wert v o n d M hat lediglich formale Bedeutung. Die GrSsse ~ geht dann in eine Diracsche Deltafunktion fiber; diese entspricht einem entarteten Verteilungsspektrum, in dem genau der Wert d = d M der Zufallsvariablen und bloss dieser vorkommt. Der Abschirmungsgrad wird dann in trivialer Weise gleich dem AuffangvermSgen. Wie in einer frilheren VerSffentlichung (Biermann, 1972) hergeleitet worden ist, kann das AuffangvermSgen under bestimmten Stossbedingungen bei e = d betr~ichtliche Sprfinge (maximal yon 0,64 bis 1) aufweisen. Eine solche Unstetigkeit entzieht sich selbstverst/indlich der Beobachtung, da ja die Naturerscheinungen dutch Schwankungen verwischt sind. BETRACHTUNGEN ZUM SCHADENSMASS Wie in der zuletzt erschienenen VerSffentlichung (Biermann, 1973} dargelegt wurde, setzt sich die Einfallsgeschwindigkeit aus der Fall- und der Windgeschwindigkeit zusammen. Dabei h/ingt die Fallgeschwindigkeit vom Korndurchmesser d a b . Diese Abh/ingigkeit wird am besten durch ein Gesetz der turbulenten StrSmung beschrieben, dem zufolge der Str5mungswiderstand proportional dem Quadrat der Fallgeschwindigkeit ist. Eine etwaige Beeinflussung des Stossvorgangs durch Luftwirbel muss der Einfachheit wegen ausser Betracht bleiben. So 1/isst sich auf eine Proportionalit/it der Fallgeschwindigkeit zu d 0,s schliessen. Das Volumen eines kugelfSrmigen homogenen Hagelkorns ist proportional zu d 3, die Translationsenergie des fallenden Korns (ohne den Windanteil) also proportional zu d 4. Hingegen verh/ilt sich der entsprechende Impulsbe trag proportional zu d 3,s, was eine Abweichung des Exponenten von d um 6 = - 0 , 5 bezfiglich des energetischen Masses bedeutet. (Die Impulsrichtung ist im allgemeinen wohl ohne Belang.) Die GrSsse 5 sei als Schadensmassindex bezeichnet. Der Fall 5 = 0 entspricht dem energetischen Mass. Im ~iussersten Fall kSnnte man die Abh~ingigkeit yon der Fallgeschwindigkeit g/inzlich in Abrede stellen, indem man argumentiert, dass jede yon einem Hagelkorn angeschlagene Stelle einer Pflanze sofort Totalschaden in dem
78 Umfang der Querschnittsfl~iche des Korns erleide. Dann ergibt sich eine Proportionalit/it zu d 2 statt d 4, also der Index 6 = - 2 . Damit hat man schon ein nichtmechanisches Mass vor sich. Die Wahl des Schadensmasses mag durchaus v o n d e r Pflanzenart abh/ingen. Eine verbindliche Entscheidung tiber das jeweils beste Mass wird ohne ausgiebige Erfahrung kaum m6glich sein. Daneben besteht eine Unsicherheit des Parameterwertes ~ auf Grund des statistischen Gesetzes gem/iss (7 }. Da nach diesem Gesetz die Verteilungsdichte proportional zu d ~ ist, ergibt sich als Exponent von d die Summe 4 + 6 + ~. Die Willkfir des Schadensmasses wirkt sich demnach um so weniger aus, je gr6sser a ist. Gew6hnlich scheint (~ jedoch nicht so gross zu sein, dass man den Einfluss des Schadensmasses vSllig vernachl/issigen darf. Dies wird deutlich, wenn man die Verteilung der mit Hilfe des Index 5 modifizierten Fallenergie T(d) betrachtet. Auf Grund der vorigen [Jberlegungen gilt die Proportionalit/itsbeziehung: dT_T ccd 4+6+~ exp (-o~d/dM) dd
(9)
Hieraus folgt:
d2T co(4+6+a dd 2
d
a)d~d
dM
(I0)
Der Gipfelwert der Verteilungsdichte der modifizierten Energie liegt demzufolge bei d = dMw mit: dM w
= ( 1 + 4 + o~-5) dM
(11)
als dem Modalwert einer Verteilung, die aus der Gammaverteilung dutch Multiplizieren mit einem Gewichtsfaktor in Form der modifizierten Energie hervorgeht. Die Gleichung (11) ist in Abb.5 ftir den der eigentlichen Energie entsprechenden Fall 5 = 0 und fiir einen der modifizierten Energie entsprec'henden Fall, beispielsweise 6 = 2, graphisch wiedergegeben Zugleich zeigt sich, dass zum Beispiel in einem Hagelschauer mit einer dutch d M = 6 mm und a = 6 gekennzeichneten Gammaverteilung der Korndurchmesser gem/iss (11) der gr6sste Fallenergieanteil einem Korndurchm e s s e r d M w = 10 mm (beziehungsweise 8 mm im/iussersten Fall 6 = - 2 der Modifikation) zukommt. Jedenfalls stammt der gr6sste Schadensbeitrag von Hagelk6rnern, deren Durchmesser d oberhalb des h/iufigsten Wertes d~ liegt. Zum Bestimmen des Abschirmungsgrades wurde die Verteilungsdichte ausserdem mit dem frfiher berechneten Auffangverm6gen multipliziert. Auf eine Modifizierung des durch dieses Auffangverm6gen gebildeten zweiten Gewichtsfaktors beztiglich der Fallenergie sei aber verzichtet, weil damit ein ungebfihrlicher Aufwand verbunden w//re und im Rahmen der gestellten Aufgabe nicht viel gewonnen wtirde.
79
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Abb. 5. Verh~ltnis dMw/dM der Modalwerte yon Gammaverteilungen mit Gewicht zu solchen ohne Gewicht in Abh~ingigkeit vom Verteilungsparamet~r ~ bei verschiedenen Werten des Schadensmassindex 6. Fig. 5. Ratio d M w / d M of the modes of weighted to unweighted gamma distributions versus distribution parameter a at various values of damage scale index 6. Filr ein p r a k t i s c h e s B e m e s s u n g s v e r f a h r e n ist m i t h i n zu e m p f e h l e n , zun~ichst d e n Fall 6 = 0 zu b e t r a c h t e n u n d s o d a n n vergleichsweise einen k a n o n i s c h e n Verteilungsparameter:
% = ~ + 5
(12)
an Stelle des e i g e n t l i c h e n V e r t e i l u n g s p a r a m e t e r s c~ e i n z u s e t z e n , u m die F o l g e n einer A b w e i c h u n g v o m e n e r g e t i s c h e n S c h a d e n s m a s s absch/itzen zu k b n n e n . Wegen 6 < 0, also (~k < (~, e r s c h e i n e n die Beitr/ige d e r kleinen H a g e l k b r n e r im Verhiiltnis zu d e n grossen hinsichtlich des A b s c h i r m u n g s g r a d e s b e v o r z u g t , so dass die in Frage k o m m e n d e n n i c h t e n e r g e t i s c h e n S c h a d e n s m a s s e zu schiirferen A n f o r d e r u n g e n an die B e m e s s u n g y o n H a g e l s c h u t z n e t z e n ftihren. NAHERUNGSFORMELN FOR DIE BEZIEHUNG ZWISCHEN MASCHENWEITE UND ABSCHIRMUNGSGRAD Die Ergebnisse d e r B e r e c h n u n g des A b s c h i r m u n g s g r a d e s S bei s e n k r e c h t e m Einfall der H a g e l k b r n e r a u f ein G i t t e r m i t d e m D r a h t - o d e r F a d e n a b s t a n d e sind in A b b . 6 w i e d e r g e g e b e n . Man k a n n die Ergebnisse w e i t e r z u s a m m e n f a s s e n , w e n n m a n d e n B e f u n d n u t z t , dass die W e n d e p u n k t e der K u r v e n s c h a r m i t d e m P a r a m e t e r ~ alle ziemlich g e n a u bei S = 3 / 4 liegen. A u s s e r d e m k o m m t hier d e r B e f u n d zugute, dass m a n die Abszissen d e r W e n d e p u n k t e in w e i t e n G r e n z e n r e c h t g e n a u d u r c h in (~ lineare G l e i c h u n g e n a p p r o x i m i e r e n k a n n . Meist genilgt es, d e n m i t t l e r e n A b s c h i r m u n g s g r a d S - - wie s c h o n erwiihnt - - zu b e t r a c h t e n . Filr die Abszissen ~, der :~-Kurvenschar gilt: = 5(1 + 0,23(~)/3
(13)
80
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e/fl
Abb.6. Grenzkurven des Abschirmungsgrades S (mit Schraffuren zur Angabe des Streubereichs) in Abhhngigkeit vom Gitterdrahtabstand e fiir Hagel mit den Parametern ~ und yon Gammaverteilungen des Korndurchmessers im Fall des senkrechten Hageleinfalls und bei Windstille. Fig.6. Limiting curves of screening efficiency S (with hatches indicating the spread) versus spacing e of a grating for hail with parameters (x and ~ of gamma distributions of the hai !stone diameter in case of perpendicular hail incidence and at calms.
mindestens im Intervall 0 < ~ < 16, unter Umst/inden sogar fiir noch gr6ssere ~-Werte. Normiert man n u n g auf ei, so b e k o m m t die ~-Kurvenschar einen gemeinsamen Wendepunkt; siehe Abb.7. Ebenso gelten fiir alle anderen S-Werte in ziemlich guter Niiherung lineare Beziehungen der gleichen Form wie {13). Allgemein lfisst sich also: e =/T'0 (1 + E'~)~
(14)
81
Abb.7. Gitterdrahtabstand ~ in Abh~ngigkeit v o m mittleren Abschirmungsgrad S ffir Hagel, wie unter Abb.6 gekennzeichnet. Fig.7. Spacing ~, of a grating versus mean screening efficiency S for hail as specified under Fig6.
schreiben. Die Koeffizienten/~o und ~" bilden Funktionen von S, die in Abb.8 graphisch dargestellt sind und ersatzweise durch die Formeln: Eo ~ 0,8 + 7,5 [(l/S) - 1] 1/2
(15)
E' ~ 0,16(1 _ ~)-1/4
(16)
im Intervall 0,5 < S < 0,99 mit einem relativen Fehler yon weniger als + 10% oder durch die Formeln: E"0 ~ 0,5 + (3,8/3)
(17)
E" ~ 0,2
(18)
im Intervall 0,05 ~ S < 0,5 mit einem noch kleineren relativen Fehler approximiert werden k6nnen. Damit hat man Niiherungsformeln, die sich fi~r praktische Berechnungen eignen, zur Verfiigung. Diese Formeln sind allerdings nicht die einzig m6glichen, was mit dem semiempirischen Charakter ihrer H e r k u n f t zusammenh/ingt. Es liessen sich noch viele andere, vielleicht ebenso gut brauchbare oder genauere, dann abet aufwendigere N/iherungsformeln entwickeln. Dabei
82
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Abb.8. A p p r o x i m a t i o n s k o e f f i z i e n t e n ~ und E ' fiir den Gitterdrahtabstand ~ in Abh~ngigkeit v o m mittleren Abschirmungsgrad S. Fig. 8. A p p r o x i m a t i o n coefficients Eo and E ' for the spacing ~ of a grating versus mean screening efficiency S.
h~itte m a n , wie es der Verfasser im v o r l i e g e n d e n Fall tat, heuristisch vorzugehen. D e n N u t z e n der o b e n a n g e g e b e n e n F o r m e l n m 6 g e e_in n u m e r i s c h e s Beispiel aufzeigen. Ffir S = 0,9 liest m a n aus A b b . 8 die Werte E 0 = 3,4 u n d E ' = 0 , 2 8 2 ab o d e r b e r e c h n e t aus (15) t 0 ~ 3,3 u n d aus (16) E ' ~ 0,284. A n g e n o m m e n , m a n h a b e statistisch G a m m a v e r t e i l u n g e n des H a g e l k o r n d u r c h m e s s e r s m i t d e n P a r a m e t e r w e r t e n a = 6 und/3 = 1 e r m i t t e l t , so ergibt sich aus (14) ~ ~ 9 m m fiir die M a s c h e n w e i t e , die bei e i n e m m i t t l e r e n A b s c h i r m u n g s g r a d v o n 90% zu f o r d e r n ist. Fiir d e n Fall, dass dieser n u t 75% zu b e t r a g e n b r a u c h t , b e k o m m t m a n s o f o r t aus (13) ~ ~ 12 m m . U n t e r der A n n a h m e eines n i c h t e n e r g e t i s c h e n S c h a d e n s m a s s e s m i t d e m I n d e x 5 = - 2 h~itte m a n gem~iss der im vorigen A b s c h n i t t g e g e b e n e n E m p f e h lung s u b s t i t u t i v m i t d e m aus (12) erh~ltlichen P a r a m e t e r w e r t a k = 4 s t a t t = 6 zu r e c h n e n u n d b e k / i m e - - ffir diesen Fall einer r e c h t e r h e b l i c h e n A b w e i c h u n g v o m e n e r g e t i s c h e n Mass - - als Ergebnis ~ ~ 7 m m u n d 10 m m bei e i n e m m i t t l e r e n A b s c h i r m u n g s g r a d v o n 90% b e z i e h u n g s w e i s e 75%. K O M M E N T A R ZUM B E R E C H N U N G S E R G E B N I S
S c h o n ein Blick a u f die G l e i c h u n g (14), in der ja/~'___~ 0,2 ist, lehrt, dass eine A n d e r u n g v o n a u m 1 eine .&nderung y o n ~ u m m i n d e s t e n s 20% m i t sich bringt u n d dass eine V e r v i e l f a c h u n g von/3 eine e b e n s o l c h e v o n ~ b e w i r k t . U m
83 die Beziehungen noch besser zu durchschauen, betrachte man den Sonderfall d M = const., beispielsweise d M = 6 mm. Dann f/illt ~ yon 3 m m bis 0,4 mm, w/ihrend a yon 2 bis 15 w~chst. Schreibt man nun (14) in der F o r m = 1~0(~ + ]~'dM) und erinnert man sich, dass E ' d M in dem vorgeffihrten Beispiel auf 1,2 m m absinken kann, so schliesst man auf die M6glichkeit von Schwankungen der erforderlichen Maschenweite ~ im Verh/iltnis 4,2 zu 1,6, das heisst um das 2,6-fache, falls S ~ 0 , 5 ist. Aber auch ffir den Fall S = 0,99 mit E" ~ 0,5 ergeben sich i m m e r h i n ~ o c h Schwankungen von e um das 1,8-fache. Solange keine verl~isslichen statistischen Daten ffir einen k o n k r e t e n Fall vorliegen, h/itte man, um jegliches Wagnis auszuschliessen, start der vorhin auf Grund des energetischen Schadensmasses errechneten Maschenweite von 9 mm folglich etwa 5 m m zu w/ihlen. Denn eine zu grosse Maschenweite ffihrt, wie Abb.4 anschaulich zeigt, zu einem steilen Absinken des Abschirmungsgrades -- um so mehr, je ..grSsser ~ ist. Ferner folgt aus den obigen Uberlegungen, dass eine einparametrige Beschreibung des Verteilungsspektrums der Korngr6sse im allgemeinen nicht den praktischen A nf or de r ungen zu geniigen verm6chte und dass es auf eine genaue statistische Ermittlung beider Verteilungsparameter a n k o m m t , wenn die Bemessung der Netze stichhaltig begrfindet sein soll. Hingegen scheint es gew6hnlich nicht n6tig zu sein, multimodale Verteilungen -- yon denen manchmal berichtet w or den ist -- mit dem Aufwand einer durch m e h r als zwei Parameter gekennzeichneten Verteilungsfunktion zu berficksichtigen. Ubrigens wird man beim Anpassen der zweiparametrigen F u n k t i o n an vorliegende Daten die Wiedergabe der Verteilung kleiner K6rner in der Regel hintansetzen, zumal wenn man nur wenig vom energetischen Schadensmass abweicht, so dass der Einfluss grosser K6rner im Ubergewicht bleibt. Es sei auch daran erinnert, dass die angegebenen Formeln eigentlich nut fiir ideale Schutzabdeckungen gelten, die von starren Dr/ihten oder sehr straff gespannten F/iden gebildet werden. Praktisch ist es freilich kaum m6glich, die K u n s t s t o f f n e t z e so straff zu spannen, dass die F~iden unter den St6ssen der Hagelk6rner nicht doch merklich ausweichen. Infolgedessen muss man die effektive Maschenweite ~ etwas gr6sser als die Nennweite (das heisst, die Maschenweite des unbeanspruchten Netzes} annehmen. Die Maschenweite von K u n s t s t o f f n e t z e n sollte man de m nach kleiner als die steifer Metallgeflechte bemessen. Ferner hat man den Streubereich von S, der durch verschiedene Stossarten und verschiedenes Folgestossverhalten bedingt ist, wenigstens roh abzusch/itzen. Dieser Bereich ist in Abb.6 durch Schraffur hervorgehoben. Es sei angemerkt, dass die Mittelwerte S und ~ unterschiedlich ausfallen, je nachdem ob man sie bezfiglich S oder e bildet; doc h sind diese Unterschiede zu gering, als dass sie besondere Beachtung erheischten. Die zu einem bestimmten S-Wert geh6rende/iusserste absolute Streuung Ae von e um den Mittelwert ~ bleibt in den b e t r a c h t e t e n Intervallen kleiner als 20 %. Da Ae nur wenig von ~ abh/ingt, genfigt es, fiir eine Absch/itzung die Abh/ingigkeit von S allein zu betrachten.
84 Dafiir kann man im Intervall 0,4 ~ S ~ 0,99 die N/iherungsformel: Ae/~ ~ 0,1(2 - S )
(19)
benutzen. Ausserhalb des genannten Intervalls fallt die relative Streuung Ae/~ noch kleiner aus. Immerhin ergibt sich, dass man zum Beispiel ffir einen mittleren Abschirmungsgrad yon 90 % die Maschenweite um etwa 11% kleiner zu bemessen hat, wenn man den ungiinstigsten Stossbedingungen Rechnung tragen will. Auf diese Weise 1/isst sich die bisherige Wahl yon 4 mm ffir die Maschenweite yon Kunststoffnetzen unter Umst~nden sogar auf Grund des energetischen Schadensmasses begrfinden. SONSTIGE BEMERKUNGEN W/ihrend die Formeln (13) bis (19) f(ir den senkrechten Einfatl yon HagelkSrnern auf ein horizontales Schutzgitter bei Windstille gelten, finder man in der zuletzt erschienenen VerSffentlichung (Biermann, 1973) auch Untersuchungen anderer F/ille. Wenn das Gitter quer zu den Gitterdr~ihten oder das Netz in Kettrichtung (das heisst, parallel zu den kurzen Seiten der rechteckfSrmigen Maschen) geneigt ist, ergibt sich jenen Untersuchungen zufolge zwar ein grSsserer Abschirmungsgrad, aber zugleich ein grSsserer Bedarf an Abdekkungsfl/iche. Einen ~ihnlichen Einfluss wie die Neigung der Abdeckung hat ein in derselben Richtung wehender horizontaler Wind -- freilich mit der zus~itzlichen Komplikation., dass sich die Einfallsrichtungen verschieden grosser HagelkSrner auff/ichern. Ubrigens liesse sich ohne einen Mehrbedarf an Abdeckungsfl/iche, also an Netzmaterial, der Abschirmungsgrad vergrSssern, indem man die Schussf/iden des Netzes (das heisst, die parallel zu den langen Seiten der rechteckfSrmigen Maschen liegenden F/iden) quer zur Hauptwindrichtung anordnet (vgl. Biermann, 1970), was zugestandenermassen leider oft nicht prak. tikabel ist. Eine Neigung des Erdbodens unter einer Hagelschutzabdeckung vermag den Abschirmungsgrad nur dann zu beeinflussen, wenn ein Wind hangauf- oder -abw/irts weht. Bewirkt der Wind fiberwiegend eine VergrSsserung des Einfallswinkels (das heisst, des Winkels zwischen der Einfallsrichtung und des Lotes zur Schutzgitterebene), so ist eine VergrSsSerung des Abschirmungsgrades zu folgern (vgl. Biermann, 1973). Da der Abschirmungsgrad definitionsgem/iss eine relative GrSsse ist, wirkt sich ein Aufwind nur in dem Masse aus, wie die Translationsenergie im Verh/iltnis zu der verminderten Energie der einfallenden HagelkSrner (in Bezug auf Schutzgitter und Erdboden) aufgefangen wird. Die Bedingungen, die bei Abwind zu einer Verkleinerung des Abschirmungsgrades fiihren, werden selten erffillt sein. Mithin darf man wohl annehmen, dass die hier angegebenen Formeln -- abgesehen von einer Ab/inderung des energetischen Schadensmasses -- in der Regel dem ungiinstigsten Fall entsprechen.
85 ANERKENNUNG
Die Anregung zu der Reihe grundlegender Untersuchungen, die hiermit zum vorl~iufigen Abschluss gelangen, ist Herrn Prof. Dr. techn, habil. Fritz Reinitzhuber zu verdanken. Ihm sei dieser Artikel anl~isslich der bevorstehenden Volendung des 65. Lebensjahres gewidmet.
LITERATUR Biermann, M., 1970. Gestaltung und Anordnung yon Hagelschutznetzen. Forsch. Ing.-Wes., 36(4): 127--132. Biermann, M., 1971. Moglichkeiten des Pflanzenschutzes mittels einer elektrischen Kondensatorvorrichtung. Forsch. Ing.-Wes., 37(6): 189--I97. Biermann, M., 1972. Aufstellung einer kinematisehen Stosstheorie und deren Anwendung auf den k6rperlichen Energiestrom durch ein Gitter. Forsch. Ing.-Wes., 38(2): 38--49. Biermann, M., 1973. Der energetische Abschirmungsgrad yon Hagelschutzgittern ftir bestimmte Verteilungsspektren yon Hagelkorndurchmessern. Forsch. Ing.-Wes., 39(2): 49--61. Reinitzhuber, F., 1970. Expos~ fiber den Schutz der steirischen Reb- und Obstkulturen gegen Hagel. Kittenberg/Leibnitz (Osterreich), 9 pp. + 4 Anlagen. Szith, R., VStsch, J. und Duhan, K., 1972. Hagelschutznetze -- ein Versuch. Landeskammer ftir Land- und Forstwirtschaft in der Steiermark, Abteilung Obstbau, Graz, 20 pp.