Ein zum Vierfarbensatz Äquivalenter Satz der Panisochromie

Annals of Discrete Mathematics 4 1 (1989) 229-254 0 Elsevier Science Publishers B.V. (NorthRolland)

Ein zum Vierfarbensatz Aquivalenter Satz der Panisochromie H. Heesch

Institute of Mathematics University of Hanover Hanover, FRG

Dedicated to the memory of G. A . Dirac A motivation for a partition of the four colour theorem into 11 cases is

presented. Of these 11 cases we can exclude 9. The remaining pair of cases can be formulated as a property of certain planar 4colourings. The property is called panisochromaticity. As far as I know there has been no studies of this concept for its own sake - at least not with respect to those aspects of interest for the four colour problem. The theme panisochromaticity also applies to graph colouring in general, e.g., to non-planar or infinite graphs. In the final part of this paper we exhibit a question on panisochromaticity equivalent to the four colour problem.

1 1.1

Triangulationen Tv und Figuren Fv Triangulationen T,

Betrachtet werden die Triangulationen T,der Kugel mit 21 Ecken, e = 3w - 6 Kanten, f = 2v - 4 Dreiecksflachen, 21

-e

+f =2

(Euler),

(1)

mit der Einschrankung, daB jedes Dreieck von Tv eine der f Dreiecksflachen ist. Hieraus folgt, da8 der Grad g einer Ecke V mindestens 4 ist und da8, mit alleiniger Ausnahme des Tetraeders, v = 4,

v 2 6. 229

(2)

H. Neesch

230

Die Liste der Anzahlen des T, fur die 7 Eckenzahlen 6 5 v

5 12 ist

Eckenanzahlv 6 7 8 9 10 11 12 1 1 2 4 10 25 87 Anzahl T, Bekanntlich folgt aus der Vierfarbbarkeit der oben definierten T,, fur alle v die Vierfarbbarkeit aller planaren Graphen.

1.2

Figuren F,,

AuDer den T, werden Graphen betrachtet, die durch Loschen einer beliebigen Kante aus einer T,, erzeugt gedacht werden konnen; sie werden Figuren F, genannt. Im Unterschied zu den randlosen Tv sind die F, berandete Graphen mit dem Randlcreis C4 (Bild 1).

A

c Bild 1. Die eine “Seite” einer Figur

Fvist mittels

inneren Ecken trianguliert. Zu einer T,, gehoren durch Loschen jeweils einer Kante 3v-6 Figuren F,,; diese sind nicht notwendig alle voneinander verschieden. In den Randkreis einer Figur F, laflt sich eine der beiden Diagonalen ( A , C ) oder ( B , D ) einsetzen. Wird eine von ihnen in F,, eingesetzt, so entsteht

T! im Falle ( A , C ) , T; im Falle ( B , D ) .

(5)

231

Ein zum Vierfarbensatz Aquivalenter Satz der Panisochromie

Zur Menge der Figuren F, wird hinzugerechnet die einzig mogliche Figur mit der Eckenzahl w = 5 , F5, vi = 1, das V4-Rad. Es wird hinzugerechnet, obwohl es keine T5 gibt, aus der F5 durch Loschen einer Kante hervorgeht. Die Liste der Anzahlen der F, fur die 8 kleinsten Eckenzahlen w, 5 5 w 5 12, lautet Eckenanzahl Anzahl der F,

5 6 7 1 1 2

8 6

9 10 11 12 18 68 282 1309

(6)

Die zu den vier ersten dieser Eckenanzahlen, 5 5 w 5 8, gehorige Figurenliste lautet (Bild 2):

1001

4003

2001

3001

4001

4002

4004

4005

Bild 2. Liste der 10 Figuren F, fur 5

3002

4006

5 w 5 8.

H . Heesch

232

Bild 3. Als Beispiel fur die Zusammengehorigkeit einer T,, mit ihren 3u - 6 Figuren F,, werde die Ti2), Bild 3, gewahlt. Je 4 ihrer 8 Ecken haben den Grad 4 bzw. 5. Die 3v - 6 = 18 Kanten der Ti2)bilden unter der Symmetriegruppe von Ti2), die die Ordnung 8 besitzt, 4 Klassen aquivalenter Kanten. Und zwar gibt es hierbei 4 aqu. Kanten mit dem Eckengradpaar 5,5,

2

”

8

”

4

”

9,

,9

97

9,

9)

9,

7,

77

n

9,

9,

,,

474, 495, 4,5.

Entsprechend gibt es aus Ti2)nach Loschen jeweils einer Kante im ganzen 4 topologisch verschiedene Figuren F8, je in denselben Anzahlen 4, 2, 8, 4;in der hierzu gehorigen Reihenfolge sind es in Bild 2 die vier F8 mit den Namen 4002,4004,4001, 4003.

2

Farbungen, Randfarbungsklassen

Gefarbt werden die Ecken mit hochstens 4 Farben, wobei die beiden Ecken einer Kante verschiedene Farben tragen. Zwei Farbungen werden genau dann als dieselbe gezahlt, wenn sie sich hochstens durch eine Permutation der Farben unterscheiden. Nach dieser Festsetzung gibt es die Anzahlen nT,, oder nF, aller Farbungen einer T,, oder einer F,,. In jeder Farbung von F tragt der stets mitgefarbte Randkreis Cq, Bild 1, eine seiner 4 moglichen Randfarbungen b

a a

1

b

b

a C

2

d

b

a a

3

d

b

a C

4

b

(7)

Ein zum Vierfarbensatz Aquivalenter Satz der Panisochromie

233

Daher bilden die n F Elemente der Farbungsmenge @ ( F )einer Figur F die 4 Klassen von Farbungen gleicher Randfarbung aus (7). Die Farbungsanzahlen in den einzelnen Klassen seien

Dann gilt

auch wird geschrieben

Die Anzahl der von null verschiedenen unter den 4 Zahlen nl bis wird r(Fv) genannt; fur jede Figur F, beliebiger Eckenzahl v ist

n4

Fur 6 Figurenbeispiele aus Bild 2 werde r angegeben in Bild 4.

3

Gedankengang der weiteren Arbeit

Der folgende Satz 3.1 stellt eine Motivation dar fur eine Aufgliederung der Behauptung des Vierfarbensatzes in 11 Faille. Von diesen 11 Fdlen werden 9 in Abschnitt 4 und 5 ausgeschaltet; es bleibt allein ein Fallpaar ubrig fur eine noch nicht auszuschlieaende Moglichkeit von Funfchromatizitat eines planaren Graphen, wie in Abschnitt 6 formuliert wird. Diese Moglichkeit wird in Abschnitt 7 als eine innerhalb der Vierfiirbbarlceit zu formulierende besondere Eigenschaft bestimmter planarer Graphenfarbungen aufgewiesen; diese Eigenschaft wird Panisochromie genannt. Meines Wissens ist Panisochromie - wenigstens in dieser fur das Vierfarbenproblem interessierenden Akzentuierung - noch nicht als Gebiet der Graphenfarbung fur sich behandelt worden. Das Thema “Panisochromie” besteht fur alle (d.h. auch fur nichtplanare wie auch fur unendliche) Graphenfarbungen. In Abschnitt 8 wird diejenige Teilfrage aus dem Gebiete der Panisochromie der endlichen planaren Graphen aufgezeigt , die dem Vierfarbenproblem aquivalent ist. Damit ist das Ziel dieser Arbeit erreicht.

H. Heesch

234

F5 : 1001

= 3

Bild 4. Sat2 3.1. Gilt f6r eine Figur F, mit v

25

so sand die beiden Triangulationen TvI und

T;, aus deren jeder, wie in Ab-

schnitt 1 dargelegt, F, durch Loschen einer Kante hervorgeht, vierfarbbur. Beweis. Man kann sich T,I zusammengesetzt denken aus der Figur F,, die

Ein zum Vierfarbensatz Aquivalenter Satz der Panisochromie

235

von ihrem Randkreis C4 berandet ist, und aus einem weiteren Randkreis C4, der mittels lediglich der Diagonalen ( A ,C) trianguliert ist; T,I entsteht, indem man diese beiden Randkreise indentifiziert. Fur den diagonalisierten C4 lautet (10) (np.*)= (O,l,O,l), fur Fv gilt nach Voraussetzung (12). Da, wie bei jeder vierelementigen Menge, so auch bei (7), jede wenigstens dreielementige Teilmenge mit einer beliebigen zweielementigen Teilmenge wenigstens ein gemeinsames Element hat, folgt Satz 3.1 fur T,.I Unter Vertauschung der Diagonale ( A ,C) mit der Diagonale ( B ,0)bei hierzu 0 gehorigem ( n F , ) = (O,l, 1,O) folgt Satz 3.1 auch fur T;. Unmittelbar folgt aus Satz 3.1: Satz 3.2. E i n Beweis dafur, daj’ bei beliebiger Eckenanaahl v 2 5 fur jede Figur F,, die Ungleichung (12) gilt, ist ein Beweis des Vierfarbensatzes.

Anders gesagt: Satz 3.3. Das Gelten von (12) f u r sumtliche Figuren F,, jeder beliebigen

Eckenanzahl v 2 5 ist eine hinreichende Bedingung f u r das Gelten des Vierfarbensatzes.

DaB hierbei zumindest die Bedingung 2 5 nicht fehlen kann, wird deutlich aus der Existenz der beiden schon im Beweis von Satz 3.1 verwendeten Figuren F4, den C4-Diagonalisierungen, fur deren jede r(F4) = 2 gilt. Bezieht man auch den durch Identifikation eines Gegeneckenpaares, A = C oder aber B = D, entarteten C4 (das ist: je ein Kantenpaar) mit v = 3, in die Betrachtung ein - zu den beiden Kantenpaaren gehoren (n*) = ( l , O , l , O ) und (n,) = ( l , O , O , l ) , beide ebenfalls mit r = 2, - so enthalt die Liste von Figuren mit r 5 2 bereits 4 Verwirklichungsbeispiele. Wie in Bild 4 aufgefuhrt, gilt (12) ausnahmslos fur die samtlichen Figuren zu allen Triangulationen T, fur die kleinstmoglichen v-Werte 5 , 6, 7. Fortan werde ein Gelten von (12) fur alle F, zu allen T,, 5 5 u, 5 v - 1, angenommen, wahrend fur eine bestimmte zu einer Triangulation Tv gehorige Figur F,, die Ungleichung (12) als nicht geltend angenommen werde. Fur ein solches F,, ist damit als geltend angenommen:

Diese Ungleichung hat, wegen (7), genau die folgenden 11 Verwirklichungs-

H. Neesch

236 moglichkeiten Fall 1 bis 11:

(l)

Fall 1 bis 6 : r(F,,) = 2 :

Aus (7) sind auf = 6 Weisen zwei Rand farbungen ausw ahlbar . Fall 7 bis 10: r(F,,) = 1 : ist auf jeweils eine von 4 Weisen realisierbar. Fall 11: T(F,,) = 0 : ist auf eine Weise realisierbar.

Hierbei ordnen sich zunachst die 6 Faille T = 2 zu 3 Paaren gleichartiger Falle. Die Verschiedenheit dieser 3 Fallpaare macht verschiedene Methoden fur ihre Behandlung erforderlich. Fur das erste Fallpaar, Fall 1 und 2, zu dem sich auch der Fall 11, T = 0, als hinzuzufugen erweist, wird in Abschnitt 4 bewiesen, daB es uberhaupt keine zugehorige Figur F,, gibt. Fur das zweite Fallpaar, Fall 3 und 4, zu dem sich auch die vier F d l e 7 bis 10, T = 1, als hinzuzunehmen erweisen, wird in Abschnitt 5 gezeigt, daB es keine Figur F,, gibt, in der sich einer dieser 2 t 6 = 8 Falle verwirklicht. So bleibt von den 11 Verwirklichungsmoglichkeiten (14) allein das Fallpaar 5 und 6, fur T ( F,,) = 2, ubrig, wobei der eine Fall symmetrisch zum andern ist, weshalb auch von nur noch einem iibriggebliebenen Fall gesprochen wird,

4

Die drei Falle Nr. 1, 2 und 11 von (14)

Unter der Induktionsvoraussetzung,daB fur alle F,, 5 5 w 5 n, T ( F,) 2 3 ist, wird jetzt die Existenz einer Figur F,, mit v = n t 1angenommen, fur die T(F,,) = 2 in der Weise verwirklicht ist, daB die folgenden zwei Gleichungen und die zwei Ungleichungen gelten: n a = n a = 0; bab

bad

n a > -1, b,d

Dies bedeutet: In samtlichen Vierfarbungen von F,, tragen die beiden Randgegenecken A und C des Randkreises C, von F,, verschiedene Farben. In dieser F,, gehe jetzt der Randkreis C4 = ( A , B , C, 0)durch Identifikation A 3 C in das Kantenpaar ( B , A 1 C , D ) iiber; F,, ist hierbei in die Triangulation Tv-l ubergegangen. Laut Induktionsvoraussetzung ist Tv-l vierfarbbar. Es liege daher jetzt T,,-1 mit einer seiner nT, Vierfarbungen gefarbt vor. Nun werde die Identifikation A = C wieder aufgehoben, wobei alle Ecken ihre Farbe behalten und die jetzt wieder verschiedenen Ecken A und C beide die Farbe behalten, die sie bei der Identifikation hatten. Jetzt

Ein zum Vierfarbensatz Aquivalenter Satz der Panisochromie

237

liegt eine Vierfarbung der ursprunglichen F,, vor, fur die wenigstens eine der beiden Ungleichungen n u > -1 bab

oder

n u 21 bad

gilt. Das steht im Widerspruch zu dem Gleichungspaar in (15). Hierdurch ist bewiesen, dafl es keine Figur F,, gibt, die die Bedingungen (15) erfullt. Aus Symmetriegrunden ist hiermit auch der zweite der 11 Falle (14) erledigt, dessen Definition sich aus (15) durch Platztausch von n a mit

n

bcb

bad

ergibt.

Da beim Aufbau des Widerspruchs nur die zwei Gleichungen in (15), aber keine der zwei Ungleichungen benutzt wurden, ist zugleich bewiesen, dafl es auch fiir den Fall 11 von (14) mit seiner Bedingung r(F,,) = 0 keine Figur gibt, die diesen Fall 11 verwirklicht. Hieraus folgt, wie beilaufig bemerkt sei, 5 5 w 5 v - 1, r(F,,,) 2 3 gilt, sind auch noch alle Figuren F,, vierfarbbar. Satz 4.1. Unter der Vomussetzung, dajl fur alle Figuren F,,

5

Die Falle Nr. 3, 4 sowie 7 bis 10 aus den 11 Fallen (14)

Hier wird mit derjenigen Verwirklichung von r ( F ) = 2 begonnen, bei der n u >1, bad

n u > -1; b,b

dies sind die Definitionsbedingungen fur den Fall 3 aus den 11 Fallen von (14). Die Einsicht, dai3 keine Figur F,, existiert, die (17) genugt, wird durch einen Blick auf die einfachsten Eigenschaften von Kempeketten in F,,Farbungen gewonnen: Kempeketten sind maximal zusammenhangende zweifarbene Teilgraphen in einem mit hochstens 4 Farben gefarbten Graph. Mit den Kempeketten eines Farbpaares werden meist zugleich auch die Kempeketten des komplementaren Farbpaares betrachtet. Ein Paar komplementarer Paare der 4 Farben wird als Farbpaarwahl bezeichnet. Es gibt die 3 Farbpaarwahlen ab, cd; ac, bd; ad, bc.

(18)

H. Heesch

238

dz

Fur eine Figur F, mit Randkreis Cq = existiert bei jeder Farbung wenigstens eine Farbpaarwahl derart, dafl das eine der 2 Randgegeneckenpaare (2.B. A , C) nur mit Farben des einen Farbpaares - sagen wir: a , c, - das andere ( B , D ) nur mit Farben des komplementaren Farbpaares b,d - gefarbt ist. In (7), z.B., trifft das bei jeder der 4 Farbungen 1, 2, 3, 4 fur die Farbpaarwahl ac, bd zu. Wegen der (in der Definition geforderten) Maximalitat des Zusammenhangs einer jeden Kempekette liegen daher fur dieses Farbpaar immer die beiden Randecken genau eines der beiden Gegeneckenpaare in einer Kempekette. Diese Kempekette trennt zugleich immer die beiden verschiedenen komplementaren Kempeketten voneinander, deren jede genau eine der beiden ubrigen 4 Randecken enthalt. Vertauscht man in einer dieser beiden letzteren Kempeketten deren beide Farben miteinander, so wird dabei (bekanntlich) die Farbungsvorschrift (siehe Abschnitt 2, Anfangssatz) nirgends verletzt. Man erhalt dadurch also eine andere Farbung der F,, bei der auch genau eine der 4 Randecken ihre Farbe in die andere ihres Kempekettenfarbpaares gewechselt hat. Iterierung dieser Operation fuhrt auf die Ausgangsfarbung einschlieDlich Ausgangs-Randfarbung zuruck. Das heifit: Den F,-Farbungen ist eine Puarstruktur eigen, an der auch die 4 Randfarbungen partizipieren. Fur die Randfarbungen lauten die moglichen Paare (Randfarbungsnumerierung siehe (7)): 1 - 3 oder 1 - 4 oder 2 - 3 oder 2 - 4. Weil, wie gesagt, bei der Umfarbungsoperation nur immer genau eine Randecke eines Gegeneckenpaares die Farbe zu wechseln vermag, gibt es kein Paar 1 - 2 und kein Paar 3 - 4, das durch die besprochene Operation hatte entstehen konnen, Das Gesagte ist darum nunmehr folgendermaflen zu formulieren: S a t z 5.1. Bei jeder Figur F,, far bu ng

5

5 v, tritt mit einer Farbung der Rand-

1 wenigstens auch eine Furbung mit Randfarbung 3 oder 77 n Y? 79 2) n 2 3 ?’ n 79 97 97 n 77 3 1 ” 99 Y9 n # n 4 1 ” )>

4 auj 4 ”, 2 ”, 2 ”,

Eine einfache Folgerung aus diesem Satz lautet: Satz 5.2. Es gibt keine Figur

Randfiirbung haben.

F,, deren samtliche Furbungen dieselbe

Hierdurch ist fur die 4 F a l e Nr. 7 bis 10 der 11 Falle (14) - dies sind genau die samtlichen 4 Falle mit r(F,) = 1 - bewiesen, dafi es keine Figur F, gibt, durch die einer von ihnen verwirklicht wurde.

Ein zum Vierfarbensatz Aquivalenter Satz der Panisochromie

239

Ferner ist der Fall Nr. 3, mit T(F,) = 2, der in (17) definiert ist, infolge von Satz 5.1 ohne mogliche Verwirklichung. Ebenso ist auch der aus (17) durch Vertauschung der ersten beiden Randfarbungen mit den letzten beiden Randfarbungen hervorgehende Fall Nr. 4, na >1, bab

n a > -1 , bed

laut Satz 5.1 ohne Verwirklichung durch eine Figur F,.

6

Beschreibende Formulierung des letzten der 11 Falle (14)

Wie schon im Schluflsatz von Abschnitt 3 gesagt, bleibt jetzt fur F, bei Ansetzen von (13) allein der Fall Nr. 5 (mit seinem symmetrischen Gegenstuck Nr. 6) von den samtlichen 11 Verwirklichungsmoglichkeiten (14) zu untersuchen. Definiert ist Fall 5 durch die folgenden 4 Bedingungen - 2 Gleichungen und 2 Ungleichungen -

Fall 6 durch na >1, bab

n u >1. beb

Unter der in Abschnitt 3 vor Ungleichung (13) ausgesprochenen Induktionsvoraussetzung, daB fur alle Figuren F ! , 5 5 w 5 v - 1, die Ungleichung (12) gilt, wird jetzt das Vorliegen einer Figur F, angenommen, fur die (13) in der Form der 4 Bedingungen (20) gilt. Diese Bedingungen besagen: Fur F, ist Satz 4.1 in folgender Weise erfullt : Zunachst: Wegen der 2 Gleichungen in (20) tragen die Randkreisecken A und C des Randkreises Cq = .“d) in allen Vierfarbungen von F, dieselbe Farbe. Alsdann gilt wegen der 2 Ungleichungen in (20): Es gibt wenigstens eine Vierfarbung von F,, in der auch B und D gleichgefarbt sind, und es gibt ferner ebenfalls wenigstens eine weitere Vierfarbung von F,, in der B und D verschiedengefarbt sind. Wird jetzt aus F, durch Hinzufugen der Diagonale (B,D) die Triangulation T, E T,- erzeugt, so tragen ebenfalls in siimtlichen - wegen der

240

H. Heesch

letzten Ungleichung in (20) sicher existierenden - Vierfarbungen der T,,die Ecken A und C dieselbe Farbe. Wird indessen, anstelle von ( B , D ) , die andere Diagonale, ( A , C ) , in den Randkreis von F, eingezogen, so liegt TvI vor. Jetzt ist es - wegen der beiden Gleichungen in (20) - nicht moglich, auch fur die Kante ( A ,C) die Farbungsvorschrift (siehe Anfangssatz des Abschnittes 2) zu erfullen, daB auch deren beide Ecken A und C verschiedene Farben tragen. Dies heiat aber: Ti ist nicht vierfarbbar, T,,I ist funfchromatisch. Damit steht man vor einer neuartigen Situation: Erste Erfahrungen mit ihr vermitteln den deutlichen Eindruck, dafl eine Erledigung auch dieses letzten Falles von (14) in einem ahnlichen Rahmen wie fur die 9 in Abschnitt 4 und 5 abgehandelten Falle nicht erkennbar ist. Zwar lassen sich mit geringen Mitteln bemerkenswerte Eigenschaften solcher T, beweisen, z.B. dafl eine funfchromatische T,, keine Ecke des Grades 4 enthalt. Die Hauptfrage indessen ist die Frage nach der Existenz von Figuren F,,, die (20) genugen. Nun gibt es eine Algorithmik, in der diese Hauptfrage direkt und unkompliziert formulierbar ist; sie gehort indessen einem m.W. bisher wenig entwickelten Gebiet an. Wie schon ervahnt, handelt es sich dabei um die Panisochromie; von ihr wird darum in Abschnitt 7 ein Abrifl gegeben. Dieser Abrifi kann kurz sein, weil der (unbewiesene) Satz aus dem Gebiete der Panisochromie, dessen Beweis das in Abschnitt 3 bis 5 Gebrachte zu einem Beweis des Vierfarbensatzes erganzt, in seiner Formulierung einem noch recht einfachen Teilgebiet der Panisochromie zugehort. Diese Formulierung geschieht in Abschnitt 8, womit das Ziel dieser Arbeit erreicht ist.

7 7.1

Kurzer Abrifi der Panisochromie Allgemeine Einfuhrung

In der Graphenfarbungstheorie sind meist die Eclcen die Trager der Farben (fur planare Graphen durch Dualisierung die “Lander”). Die Farbungstheorie hat die Frage zum Gegenstand, wie in verschiedenen Graphen und Graphenklassen die “Farbungsforderung” verwirklicht wird. Diese Farbungsforderung lautet: Die beiden Ecken einer jeden Kante tragen verschiedene Farben. Die Objektklasse, in deren samtlichen Elementen die Farbungsforderung zu verwirklichen ist, ist also die Klasse der adjazenten Eckenpaare eines Graphen. Hat man dabei die planare Problematik - sei es fur endliche Graphen

Ein zum Vierfarbensatz Aquivalenter Satz der Panisochromie

241

(Kugel) oder unendliche (euklidische Ebene) - im Auge, so ist man besonders an den Ergebnissen bei mazimal planaren Graphen, d.i. bei Triangulationen T interessiert. Ist, im Kugelfall, die Eckenzahl v , so gilt die Eulersche Polyedergleichung (1) mit 2e = 3 f ;

(22)

hieraus ergibt sich die Anzahl der [Kanten oder der] adjazenten Eckenpaare einer jeden T, zu (siehe Textzeile 2 auf Seite 1) e = 3v - 6. Diese 3v - 6 Eckenpaare sind also, wie schon gesagt, der genaue Objektbereich, auf dem die Farbungsforderung operiert. Nun gibt es in der T, im ganzen (g) = &(v - 1 ) Eckenpaare; das heifit: es gibt in einer T, 1

(i)- ( 3 -~6) = -(v - 3 ) ( -~ 4) = ( " T ~ ) 2 nichtadjazente Eckenpaare. Direkt sind diese nicht betroffen durch die Farbungsforderung. Ihr gegenuber ist daher als allgemeines Verhalten eines beliebigen dieser ('i3) nichtadjazenten Eckenpaare anzunehmen, daB in den , der Tv die beiden Ecken dieses (im allgemeinen zahlreichen) n ~ Farbungen Paares bei einigen dieselbe Farbe, bei den ubrigen verschiedene Farben tragen. Die Beobachtung zeigt nun, daB es Graphen T, gibt, fur die die gewohnliche Farbungsforderung, in allen Farbungen verschiedene Farben zu tragen, uber die adjazenten Eckenpaare hinaus auch fur weitere Eckenpaare erfiillt ist. Jedes solche Eckenpaar wird panheterochromes Eclcenpaar zur Farbenanzahl x (hier meist x = 4 ) genannt (vgl. das bekannte Beispiel des Ikosaedergraphen, 7.2, Bsp. 3). Ferner zeigt die Erfahrung, dafi fur nichtadjazente Eckenpaare in Graphen auch das (fur adjazente Eckenpaare ausgeschlossene) Kontrare vorkommt, namlich Gleichgefarbtheit der beiden Ecken in allen Farbungen, das ist: deren Panisochromie. Dabei ist dies Vorkommen nicht auf Paare beschrankt, es zeigt sich auch bei Eckentripeln, -quadrupeln, . . ., -nl-tupeln. In jedem solchen Falle sagt man, der Graph enthalte eine nl-elementige Menge panisochromer Ecken mit n1 2 2 . Ja, unter diesen gibt es Graphen, in denen je eine solche Menge zu zwei oder drei der x Farben, bis, hochstens, zu den samtlichen x Farben vorliegt (Beispiel siehe 7.2, Bsp. 6). In einem Graph mogen V,W ein panisochromes Eckenpaar sein, und es gebe in dem Kreis der mit W adjazenten Ecken wenigstens eine Ecke X mit einem Abstand 2 2 von V . Als Folge der Panisochromie von V,W ist das Eckenpaar V , X panheterochrom. Jede in ahnlicher Weise als Folge

H . Heesch

242

vorkommender Panisochromie auftretende Panheterochromie werde dependente Panheterochromie genannt. Hingegen heiBt jede in einem Graph ohne ein panisochromes Eckenpaar vorkommende Panheterochromie independent. Fur independente Panheterochromie ist der unmittelbar vorher erwahnte Ikosaedergraph ein Beispiel. Siehe auch die Weiterfiihrung dieser Unterscheidungen 7.3.4!

7.2

Beispiele

Beispiel 1. Die ungeraden Doppelpyramiden (als Panisochromie-Besp.): Der Aquator werde durch 2n - 1 Ecken in 2n - 1 Kanten geteilt; jede

Ecke wird mit dem Nord- und dem Sudpol durch je eine weitere Kante verbunden. Der Aquatorkreis besitzt 82n-1 = (22("-1)- 1)/3 Eckenfarbungen mittels 3 Farben. Durch Hinzufugen einer vierten Farbe fur jede der beiden Polecken hat man die samtlichen ebenso vielen 4-Farbungen der ungeraden Doppelpyramiden; die beiden Polecken bilden die zweielementige panisochrome Eckenmenge.

Beispiel 2. Nachdem die 7-seitige Doppelpyramide Tg,l schon unter Beispiel 1 fie1 und eine T9,2 erst unter Beispiel 4 erwahnt werde, mogen hier die beiden ubrigen der 4 moglichen Tg besprochen werden: T9,3 entsteht aus F7 in Bild 4, Zeile 3, und aus FG in Bild 4, Zeile 5, durch Identifizierung der beiden Randkreise. T9,3 hat 5 Ecken des Grades 4, d.i. n4 = 5; n5 = 126 = 2. Die beiden Ecken A , C des Grades 5 bilden ein panisochromes Paar.

Bild 5. T9,4

T9,4 entsteht (Bild 5) durch Einsetzen je einer Ecke des Grades 4 in jede der 3 rechteckigen Seitenflachen eines dreiseitigen Prismas. Es ist 72.4 = 3 n5 = 6;die Anzahl Farbungen ist nrs,, = 2. Die Ecken des Grades 4 bilden eine dreielementige panisochrome Eckenmenge.

Beispiel 3. Der Ikosaedergraph mit der Anzahl 10 seiner Farbungen hat kein panisochromes Eckenpaar. Uber das bereits in Abschnitt 7.1 uber

Ein zum Vierfarbensatz Aquivafenter Satz der Panisochromie

243

ihn Gesagte hinaus werde weiter vermerkt: In allen 10 Farbungen sind simultan die Ecken eines jeden seiner 6 Eckenpaare des Abstandes 3 verschiedengefarbt. Bei x = 4 Farben gibt es (?$ = 6 verschiedene Paare ungleicher Farben. In jeder Ikosaederfarbung kommt jedes dieser 6 Paare, ah, ac, a d , bc, bd, cd in genau einem der 6 genannten panheterochromen Eckenpaare des Abstandes 3 vor. 6 ist also die Maximalanzahl denkbarer panheterochromer Eckenpaare in irgendwelchen 4-gefarbten Graphen. Fur panheterochrome Eckentripel = 4. Meines Wissens ist uber hierzu ist die Maximalanzahl nur (t) = gehorige Verwirklichungen nichts bekannt. Der Ikosaedergraph, eine der 87 Triangulationen 7'12 (siehe Anzahlliste nach G1. (3)) ist nicht die kleinste (das ist v-minimale) Kugeltriangulation : trianmit independenter Panheterochromie. Diese ist vielmehr T ~ JMan guliere einen Aquatorkreis c 6 einmal (Sudhalbkugel) mittels einer Ecke v 6 und ein zweites Ma1 (Nordhalbkugel) mittels einer VsV5-Kante. Es gibt bei nT,,, = 6 Farbungen kein panisochromes Eckenpaar. Wohl aber ist jedes der 3 diametralen Eckenpaare des Cs panheterochrom und also independent panheterochrom.

(t)

Beispiel 4. Hier wird eine bestimmte Ti5 betrachtet (Bild 6) mit n ~ , ,= 74. Das (einzige) panisochrome Eckenpaar in Ti5 hat Abstand 3. A

A

Bild 6. Bild 7 und Bild 8 zeigen die 36 Farbungen der Ti5 zur Randfarbung 1 = bfb. In Bild 9 und Bild 10 sind die 19 Farbungen der Ti5 zur Randfarbung 4 = b:b gezeichnet. Diese stehen mittels der Symmetrie der Ti5 in ersichtlicher bijektiver Zuordnung zu den ebenfalls 19 Farbungen zur Randfarbung 3 = @, im ganzen gibt es also nT,, = 36+2.19 = 36+38 = 74 Farbungen der 7'15.

H. Heesch

244

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

Bild 7.

Ein zum Vierfarbensatz Aquivalenter Satz der Panisochromie

245

a

a

b

b

b

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

b

a

b

b

a

Bild 8.

246

H . Heesch a

a

b

b

b

C

C

a

a

b

b

b

C

C

a

b

b

b

C

C

a

b

C

b

b

C

Bild 9.

Ein zum Vierfarbensatz Aquivalenter Satz der Panisochromie

4

a

C

C

a

a

C

C

247

Bild 10. In allen bisherigen Beispielen zur Panisochromie gab es (wenigstens) ein panisochromes Eckenpaar des Abstandes 2. Ein solches gibt es nicht in der T15. Deren einziges panisochromes Eckenpaar ist F, J mit dem Abstand 3.

Beispiel 5. Unter den (laut Liste nach G1. (3)) 25 Triangulationen 2'1 findet sich eine, T11,9,(Bild ll), in der 2 Paare panisochromer Ecken so vorkomrnen, daf3 je eine Ecke des einen Paares mit je einer des anderen Paares adjazent ist. Es liegt also Panisochromie eines Kantenpaares vor. Es ist n ~ = 10. ~ Die ~ beiden , ~ panisochromen Eckenpaare sind F , I und G, J ; das panisochrome Kantenpaar ist ( F ,G), (I,J ) . In jeder Farbung der T11,gtragt das Eckenpaar F , G dasselbe Farbpaar - und zwar ausschliealich in derselben Reihenfolge - wie auch das Eckenpaar I,J. Die Symmetrie der ist eine Vierergruppe: Spiegelung an der Ebene des Funfecks ( A , B , C, D ,E ) und an der d a m orthogonalen Ebene durch A , H , IC und drei Kantenmittelpunkte, Drehung urn K urn die Schnittgeraden der beiden Spiegelebenen. Die erstgenannte Spiegelung permutiert die beiden panisochromen Kanten, die letztgenannte permutiert innerhalb jeder der beiden Kanten die Ecken.

H. Heesch

248 B

E Bild 11. T11,g

Beispiel 6 . Obwohl fur die Fragen in dieser Arbeit die in Unterabschnitt 1.1 fur Triangulationen Tv getroffene Einschrankung sachgerecht ist, gibt es Operationen wie z.B. das Kontrahieren von Kanten, die zum Erkennen von Eigenschaften panisochromer Graphen dienlich sind, bei deren Ausfiihrung indessen jene Einschrankung durchbrochen wird, indem sich als Kontraktat eine “gewohnliche” Triangulation ergibt mit Ecken vom Grad 3 sowie mit beidseits (noch mittels innerer Ecken) triangulierten Dreiecken. Ein in dieser Weise begriindetes Oszillieren zwischen den beiden T,-Begriffen werde (ohne weiter erwahnt zu werden) bei derartigen Betrachtungen akzeptiert, darunter auch bei diesem Beispiel 6, auf das in 7.1 hingewiesen wurde, da es die dortige Bemerkung illustrieren moge: Werden 2 Exemplare des Tetraedergraphs 1<4 durch Identifizieren je eines ihrer Dreiecke zusammengesetzt, so entsteht eine dreiseitige Doppelpyramide, eine T5. Aufsetzen eines dritten K 4 auf ein Dreieck von T5 ergibt eine TSusf. Alle so entstehenden Graphen mogen “reine K4-Derivate” heiDen. Jeder von ihnen hat nur eine Farbung. Jetzt werden nur diejenigen reinen K4-Derivate betrachtet, in denen wenigstens ein K q vorkommt, bei dem auf jeder seiner 4 Dreieckflachen ein weiterer K 4 aufgesetzt ist; dies garantiert, daD jede der 4 Farben (in der einzigen Farbung des reinen K4-Derivats)

Ein zum Vierfarbensatz Aquivalenter Satz der Panisochromie

249

wenigstens zweimal vorkommt. Aufgrund der Definitionen in 7.1 enthat jede hierzugehorige T,die Maximalanzahl x = 4 von panisochromen Eckenmengen. Fur jede dieser Triangulationen T,, gilt ferner, daa jede ihrer Ecken Element in einer der 4 panisochromen Eckenmengen ist; diese Graphen enthalten also uberhaupt keine Ecke auj7erhalb einer panisochromen Eckenmenge.

7.3 Einige m.W. offene Fragen der Panisochromie 7.3.1. In 7.2, Beispiel 5, ist der Graph T11,9 angegeben, bei dem auf3er der bisher allein betrachteten Klasse von Panisochromietragern, den nichtadjazenten Eckenpaaren, auch ein Kantenpaar als Trager von Panisochromie vorkommt. Angesichts dieses Vorkommnisses bei der T11,gist die Frage naheliegend: Gibt es ferner auch Triangulationen Tv - im Sinne von 1.1 mit einem Paar von Panisodreiecken, gar auch von Paniso-dreieckspaaren bei einer gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke? Und welche Teilgraphen sind die groatmoglichen Trager von Panisochromie in einer T,,? 7.3.2. Als Beispiel 4 in 7.2 ist der (vielleicht eckengeringste) Graph 2’15 angegeben, in dem - ohne daa ein panisochromes Eckenpaar vom Abstand 2 vorkommt - ein panisochromes Eckenpaar vom Abstand 3 vorkommt. Gibt es in Triangulationen T, einen maximalen Wert fur den kleinsten Abstand der Ecken in jeder der vielleicht mehreren panisochromen Eckenmengen, und, wenn ja, welcher ist es? 7.3.3. Als Beispiel 3 in 7.2 ist der Ikosaedergraph mit der Maximalzahl )(; = = 6 je zweielementiger independenter panheterochromer Eckenmengen gegeben. Weil darin diese Maximalzahl 6 verwirklicht ist, tritt der Ikosaedergraph in eine “Negationsanalogie” zu den im Beispiel 6 in 7.2 besprochenen speziellen reinen 11‘4-Derivaten: In diesen letzteren ist jede Ecke Element in einer der in ihrer Maximalzahl 4 vorkommenden panisochromen Eckenmengen; und die Menge dieser lid-Derivate ist unendlich. Im Ikosaedergraphen ist jede Ecke Element in genau einer der gleichfalls in ihrer Maximalzahl6 vorkommenden panheterochromen Eckenpaare. Andere Graphen dieser Eigenschaft (oder auch geringmodifizierter weiterer Eigenschaften) sind m.W. nicht bekannt.

(i)

7.3.4. Am Schlua von 7.1 war dependente von independenter Panheterochromie unterschieden worden. In Weiterfuhrung des dort Gesagten ist denkbar, daa in einer T, zugleich vorkommen:

H. Heesch

250

a)

wenigstens ein panisochromes Eckenpaar,

b) wenigstens ein panheterochromes Eckenpaar, wobei keine einzige Ecke

eines der vielleicht mehreren panheterochromen Eckenpaare zugleich Ecke auch nur eines einzigen der panisochromen Eckenpaare ist.

Auch diese Eckenpaare sind independent panheterochrom. Ob es Kugeltriangulationen mit zugleich paniso- und im soeben erlauterten Sinne independent panheterochromen Eckenmengen gibt, ist mir nicht bekannt.

7.3.5. In einer Triangulation T, komme ein panisochromes Eckenpaar A , D vom Abstand 2 (Bild 12) vor, und zwar in folgender Weise: AuBerhalb von Bild 12 sei jeder Weg in T,, der A und D verbindet, von einer Lange 2 3; die mittlere Ecke P des einzigen Weges ( A , P , D ) zwischen A und D der Lange 2 habe nach jeder der beiden Wegseiten wenigstens 2 weitere von ihr ausgehende Kanten.

A

D Bild 12. Diese Situation habe ich noch in keiner der mir bekannten Triangulationen mit einem panisochromen Eckenpaar A , D des Abstandes 2 fur eine mittlere Ecke P eines Weges ( A ,P,0)verwirklicht gefunden. In jedem dieser Vorkommen gibt es fur jedes derartige P wenigstens eine ihrer beiden Seiten des Weges ( A , P , D ) ,nach der genau nur eine weitere Kante ( P , Q ) ausgeht. Hierbei folgt sofort, dafi die andere Ecke Q der Kante (P,Q)die Existenz eines weiteren Weges ( A ,Q,D), gleichfalls der Lange 2, zwischen demselben panisochromen Eckenpaar A , D garantiert. Diese Erfahrung ist auch so auszusprechen: In allen mir bekannten Triangulationen T, mi t einem panisochromen Eckenpaar des Abstandes 2 gibt es (wenigstens) eine Kante, deren Gegeneckenpaar es ist.

Ein zum Vierfarbensatz Aquivalenter Satz der Panisochromie

251

Ein offenes Problem ist daher zunachst die folgende

Frage 7.3.5.1. Gibt es zu jedem panisochromen Eckenpaar des Abstandes 2 in einer T,, wenigstens ein Dreieckspaar mit gemeinsamer Kante, dessen Gegeneckenpaar es ist? Moglicherweise ist es einfacher, eine Antwort (oder Teilantwort) auf folgendene Verfeinerung dieser Frage zu finden: Frage 7.3.5.2. Gibt es in der Menge der mehreren panisochromen Eckenpaare des Abstandes 2 immer wenigstens eines, das Gegeneckenpaar einer Kante ist? 7.3.6. Eine insbesondere im Hinblick auf Abschnitt 8 wichtige offene Frage der Panisochromie ist die folgende: Es ist m. W. kein einziges Vorkommen eines panisochromen Eckenpaares bekannt in Triangulationen T,, ohne Ecken vom Grad 4,d.h. fur Triangulationen T,, mit w4 = 0. Praziser: Der bisher vorliegende (noch recht kleine) Atlas von Triangulationen T,, mit wenigstens einem panisochromen Eckenpaar enthdt ausschlieBlich solche T,, die 114 2 3 haben. Dadurch ist es nahegelegt, als Vermutung zu formulieren: V e r m u t u n g 7.3.6. Jede T,, mit wenigstens einem panisochromem Eckenpaar enthdt mindestens 2 Ecken des Grades 4. Eine Begrundung, warum hier gegenuber der vorher mitgeteilten Erfahrung 04 2 3 wieder auf 2 zuriickgegangen wird, wurde den Rahmen dieser Note sprengen. Im Hinblick auf die vorangehenden Fragen in 7.3.5 sei bemerkt, dafl die soeben a l s stets existierend vermuteten Ecken des Grades 4 durchaus nicht auch schon in einem panisochromen Eckenpaar vorkommen mussen. Zwar ist dies, wie 7.2, Beispiel 2, Bild 5 , zeigt, moglich; aber 2.B. in Bild 11 gehort keine der 4 Ecken des Grades 4 in der T11,g einem panisochromem Eckenpaar an.

8

Vierfarbensatz aquivalent einem Satz der Panisochromie

Wie im Anfangs- und Schluflsatz von Abschnitt 3 und im Anfang von 6 gesagt, ist der Vierfarbensatz bewiesen, wenn zu den Ergebnissen in 2 bis 5 noch der Beweis hinzukommt, dafl keine Figur F,, existiert, die den 4

252

H . Heesch

Randbedingungen (20) genugt. Diese Situation soll jetzt weitergefuhrt werden, indem die Nichterfillbarkeit von (20) durch eine Figur F,,als ein Satz aus dem Gebiet der Panisochromie formuliert wird. Hierzu sind die Bedingungen (20) in ihren Modellierungen vor den Blick zu riicken: 2 1, besagt: Identifiziert man in 1. Die erste Ungleichung in (20),n

F,, die Randecken B I D (siehe Bild l),so entsteht die (bereits wegen der Induktionsvoraussetzung (siehe 4, Eingangssatz)) vierfarbbare T,,-1. Die zweite Gleichung in (20) besagt: Die T,,-l hat das panisochrome Eckenpaar A , C. 2. Die zweite Ungleichung in (20) besagt: Wird in einer beliebigen, (20) genugenden Figur F,, die Randkreisdiagonale ( B ,0)eingefiigt, so ist eine vierfarbbare Triangulation T; entstanden, die wegen der ersten Gleichung in (20) ebenfalls in A , C ein panisochromes Eckenpaar hat. Und zwar liegt ein panisochromes Eckenpaar des Abstandes 2 als Gegeneckenpaar der Kante ( B , D ) vor. (Bemerkung: Im Vergleich zu der weniger elementaren Struktur der Beispiele 7 , 4 oder 5 , sowie auch der in 7.3 geschilderten offenen Fragen (von deren keiner hier jetzt eine Antwort gebraucht wird) wird man die Situation der beiden soeben vor den Blick geruckten Triangulationen T,,-1 und T; mit dem panisochromen Eckenpaar A,C in jeder der beiden als eine recht einfache Situation aus dem Gebiete der Panisochromie bezeichnen konnen.) Nur geht j a TU,1 aus T; durch Kontraktion der Kante ( B , D ) hervor; und T; geht durch Wiederprotrahieren der Kante ( B , D ) mittels Aufschlitzens des Kantenpaares ( A , B = D,C) und Einsetzens der Kante ( B ,0)hervor. 8.1. Wer sich mit Farbungen von Triangulationen befaBt, in denen einer Kante ein panisochromes Eckenpaar gegenuberliegt, und wer dabei - ohne jeden Gedanken an das Vierfarbenproblem - auch das Kontrahieren dieser Kante in sein Spielen einbezieht, wird leicht gewahr, daB mit der Kante stets auch die Panisochromie des (dabei in seinen topologischen Daten mitveranderten) Eckenpaares verschwindet. Und so mag er wohl bald formulieren die Vermutung 8.1. In einer Triangulation T, liege einer Kante ( B , D ) das Eckenpaar A , C gegeniiber. Durch die Kontraktion von (B,D) zur Ecke B = D gehe T,, in T,-1 uber. A , C sei in T,, ein panisochromes Eckenpaar; dann ist A , C kein panisochromes Eckenpaar in T,-1. In Vermutung 8.1 wird nicht vorausgesetzt daB jedes Dreieck von T,, oder von TU-1eine der Dreiecksflachen ist. Aber es wird vorausgesetzt daB

Ein zum Vierfarbensatz Aquivalenter Satz der Panisochromie

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T,- ( B , D ) ein F, ist.

Ein Beweis, der aus dieser Vermutung ein Theorem macht, beweist zugleich die Nichtexistenz von Figuren F,,die den Bedingungen (20) geniigen. Damit erganzt ein Beweis der Vermutung zugleich das in Abschnitt 2 bis 5 Gebrachte zu einem Beweis des Vierfarbensatzes. 8.2. Wer indessen vom Vierfarbensatz ausgeht und dann die durch Loschen

einer Kante aus den Triangulationen T,, v 2 5 , entstehenden Figuren F, daraufhin befragt, ob unter ihren Farbungen wohl immer wenigstens 3 mit paarweise verschiedenen Randfarbungen vorkommen, mi t anderen Worten, ob wohl(l2) universe11fur sie gilt, der findet nach Erledigung aller ubrigen Moglichkeiten z.B. durch die in Abschnitt 2 bis 5 aufgezeichneten Begrundungen, dai3 als gesamter Restfall nur genau eine Begriindung dafiir noch aussteht, dafi keine Figur F, existiert, die die Verneinung von (12) in Gestalt der Bedingungen (20) erfullt. In Zusammenfassung der Uberlegungen von 8.1 und 8.2 gilt daher Satz 8.2. Die Vermutung 8.1 ist Equivalent dem Vierfarbensatz.