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Etude analytique et consequences physiologiques d'un modele de la respiration
ETUDE ANALYTIQUE ET CONSEQUENCES PHYSIOLOGIQUES D’UN MODELE DE LA RESPIRATION
A. GUILLEZ MEDIMAT
45, rue des Saints Pkes, 15270 Paris, Cedex 06 (France)
(Received: 17 December, 1977)
SOMMAIRE
L’auteur, partant du mod&e de Brocas et Cherruault (1973) trouve de nouvelles equations en tenant compte ‘de la dynamique de la respiration. I1 est ament a distinguer deux regions, dites ‘soufflerie’ et ‘tchangeur’. I1 trouve les solutions explicites de ses equations par une methode originale, et les identifte. I1 prouve d’abord ainsi la nkcessitt bun gaz inerte a pression partielle suflsante et dune solubilitt comparable a celle de l’oxygBne.‘Puis il est oblige de distinguer des etats mtcaniques normaux et pathologiques. Duns ces deux sortes d’Ctats,‘il trouve des fonctions quasiperiodiques pour la ventilation, les pressions des gaz, les differences de pressions entre les gaz en phases aerienne et dissoute, des fonctions periodiques pour les: consommation de 02, excretion de COz, CO2 residue1 du sang. Ces fonctions de controle ont pour normes zero pour les diferences et l’azote dissous, des constantes pour les autres. Examinant les eflets des:fr&quence de la respiration, debit du sang, variations des diffusivites transversales, pression atmospherique, dimensions gtomt%riques, lites avec les infections, lafievre, les scleroses, l’altitude, la profondeur et mtme les &motions, il retrouve les sympt6mes des pathologies a l’auscultation, ordinaire et amplifZe.
SUMMARY
The author, starting from the pattern established by Brocas and Cherruault (1973), develops new equations by considering the dynamics of breathing. He distinguishes space without exchanges, called ‘blower’and space with exchanges, called ‘exchanger’. The equations are studied and explicit solutions are found by an original method. The necessity for a neutral gas is proved. The author develops periodic functions for ventilation, for gas pressures in the air and in the blood and control functions such as 37’ Int. J. Bio-Medical Computing (10) (1979) 3745
@Elsevier/North-Holland
Scientific Publishers Ltd.
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A.
GUILLEZ
difjkences of pressure between aerial- and blood-dissolved gas at the bottom of the alveola, consumption of Oz and excretion of COz and remaining COz in blood. The control functions oscillate around zero for the dij’kences and around, constants for the others. Examining the effects offrequency of breathing, bloodflow, variations of transversal dijkivities, atmospheric pressure, variation of the dimensions connected with fever, infections, altitude-and depth, scleros& and even emotions, he again determines the pathologies, their auscultation symptoms and other aspects.
I. DESCRIPTIONDUPHENOMENE (Fig.l)
La respiration comprend deux espkces de phknomenes simultants. (1) L’inspiration et I’expiration Pendant le premier acte, les alvkoles et les bronchioles pulmonaires se dilatent pour aspirer l’air ambiant. Pendant le second acte, elles se contractent pour chasser l’air vicih (2) Les Cchanges gazeux Entre l’air alveolaire, unk partie de l’air bronchiolaire et le sang. 11ssont simultanks avec I’inspiration et l’expiration, le filtre constitut par les parois alveolaires et bronchiolaires fonctionne a surface variable, le tube bronchiolaire et la sphere alvkolaire &ant a sections variables. I1 ne peut done pas exister d&at ‘stationnaire’, oti‘les phknomtnes d&change seraient independants du temps, il peut seulement exister des regimes permanents, caracterids par la stabilite de la pulsation w de Tinspiration et de l’expiration, et celle du debit sanguin Q dans les capillaires bronchiole-alveolaires.
Fig. 1. Schbma de l’appareil
pulmonaire.
MODELE
DE LA RESPIRATION
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On reunira l’inspiration et l’expiration sous l’appellation de oentilation. La pression totale du melange expire est proche de la pression atmospherique Pa, celle du melange inspire aussi, et leurs masses spkifiques sont assez voisines. On peut admettre que les kchanges bronchiole-alveolaires se. font a la pression atmosphdrique et a temperature constante. Pourtant, d‘apres Samson Wright la pression intrapulmonaire est de 760 f 3 mm de Hg au tours du cycle respiratoire, pour Pa = 760.11 y a done, dans tous les cas, un debit de ventilation Ia considerer. La faiblesse de la variation autorise d considtrer ce debit comme laminaire. 11y a deux interpretations possibles: (a) Le debit de ventilation est le seu1 present, la pression intrapulmonaire nest pas consider&e comme constante. (b) La pression intrapulmonaire est considbke comme constante, et au debit de ventilation I se superpose un debit de convection C. Cette derniere interpretation a ete utiliske par les professeurs J. Brocas et Y. Cherruault (Brocas and Cherruault, 1973; Cherruault and Loridan, 1977). La solution analytique des equations a ettt trouvQ par Cherruault et A. Guillez (a paraitre). Tris logiquement, ces equations supposent constante la section du tube alveolo-bronchiolaire S, puisque la variation de, la pression intrapulmonaire y est nkgligke. Ceci pet-met &examiner un ‘cas stationnaire’, qui est en rkalitt artitkiel. Le debit de convection C existe nkessairement, car il traduit l’absorption d’Oz, la dissolution et la restitution d’Nz, le degagement de COZ. D’apres Laborit (1961), le volume courant, constitue par l’air qui rentre et sort vaut 0.6 litres; le volume residuel, environ 2.5 litres. 11y a de grosses variations. Mais la section S du tube alvkolo-bronchiolaire ne peut pas etre conside& comme con&ante. La frtquence respiratoire est de 11 a 14 par minute: w#1.4 rad/sec. Le nombre est aussi variable. 11parait done indiqd d’appliquer la mtthode de Brocas et Cherruault (1973), muis en considbrant la section S comme une fonction du temp. Par contre, on supposera as/ax = 0. Nous aboutirons a un mod&e autoexcitb. C’est indispensable pour rendre compte du caractere ptkiodique des phenomenes examines. Le systeme est comparable i un oscillateur entretenu, de frtquence imposee, et, en outre, parametre par le debit sanguin Q.
II.
MlSE EN EQUATION DU PROBLEME
(1) LX modgle (Fig. 2) Le systeme est un appareil de pompage et d&changes. 11doit presenter deux parties:
40
A. GUILLEZ
(1) La soufflerie, sans kchange, representant la trachee, la premiere partie des bronchioles; sa surface laterale est constante. (2) L’echangeur, representant la seconde partie des bronchioles et les alvkoles. Sa surface laterale est a variation periodique. Un modele simple correspondant est represent6 Fig. 2.11 est inspire de celui des professeurs Brocas et Cherruault. (Brocas et Cherruault, 1973; Cherruault et Loridan, 1977). Le tube cylindrique AB, de rayon constant ro, est la soutIlerie, sa longueur est IO.Le tube cylindrique BD, de rayon variable r, est l’echangeur, sa longueur est (I -lo). Le sang circule le long de khangeur avec le debit Q, dans le manchon de section droite Sr, figurant les capillaires. La ventilation correspond a des variations periodiques de S(t) dans lkhangeur BD. Si on admet, dans cette zone r=Jo+rl
sin 0.H
on y aura S(t)=n(f~+2Jorl
sin ot+rf
sin2 ot)
La longueur est I -IO. A chaque instant t, son volume est (l-1,)S(t), et le debit de convection ventilatoire instantane r(t)=(l-Io)S’(t)=207wl(Jocosot+rl
sinot*cosot)(l-_o)
.La soufflerie AB est a section constante: So-- zrg. Le debit de convection ventilatoire instantane I,(t) = I(t) - (yb # yo).
I
1
‘0 Fig. 2. Le modkle.
X
MODELE
DE LA RESPIRATION
41
Le modtle est ainsi present6 et rectifie. Cette rectification n’est que partielle, car il existe sfirement une zone de transition en B. Celle-ci sera negligee. La convection ventilatoire I,(t) n’est pas seule dans la soufflerie. 11y existe un rtsidu des effets de source (COZ, N,) et de puits (O,, N,) qui se produisent dans l’kchangeur. Mais la convection totale y&, x) de la soufflerie ne peut pas 6tre la meme que dans l’echangeur, car il n’y a plus d’effets de source et de puits dans la soufflerie. Soit y(x, t) la convection totale de l’echangeur. En B, elle vaut y(lO, t). La convection dans la soufflerie, sans sources ni puits, est done: (entrke=sortie) yo= y(lo, t), fonction de t seulement. En outre, dans la soufflerie, la diffusion longitudinale et la convection sont les seuls motifs de variation des pressions partielles y, v, s d’Oz, COZ, Nz. On voit qu’il importe de distinguer ces deux zones. Etablissons done d’abord les equations de la soufflerie. Nous Btablirons ensuite celles de l’kchangeur. On reprend les notations de Brocas et Cherruault (1973): pressions partielles d’Oz, COZ, Nz dans le tube pressions partielles d’Oz, COZ, Nz dans le sang coefficient de diffusion longitudinale dans le tube K Do2, Dco,, DN1 diffusivites transversales epaisseur de la paroi du tube e y, v, s z, w, u
.=so,_ SW_SN, --_D% Dm,
so,f-0 S(t),r(t) Sl X
I 10 Y Yo Q PB
DN~
section et rayon de la soufflerie section et rayon de l’echangeur section du manchon de sang abscisse comptke depuis l’entrke A longueur totale du tube longueur de la soufflerie convection totale dans l’kchangeur convection totale dans la soufflerie debit du sang pression atmospherique
(2) Equations de la souflerie Soit un element de volume dx, entre x et x + dx. Le raisonnement est exactement celui de Brocas et Cherruault (1973), sauf qu’il n’y a pas de diffusion transversale.
A. GUILLEZ
42 On trouve done:
ti= KY:~ -&--
hJoYL
&- (YOU):
v;=Kv:z-
Et
0
I
s;= Ks:z-
y+v-ts=Ps
(1)
En additionnant (1.1) i (1.3), on trouve 8yo/h=0, fonction de t seulement : y. = y(lo, t).
ce qui vbrifie bien que y. est
w=wo+m,Fo(x-Qa,t);
(l)z=zo+m,Fo(x-Qo,t);
puis KY‘&-
&o B Yo(wz-y;=o
et deux semblables de caractkristiques dy=p dx+q dt K dt2=0 K dp dt = (bp ye(t) + q) dx dt suggbant deux families de solutions:
(4
p=cte:y;+& P1Yo@)=O 0
Yl=Yo+xpl-
st It
PIYO@) de
0
SOPB
p=pl
u = u. f m,F,(x - Qa,t)
MODELE
(b)
y=C
e@*“f(t):
DE LA RESPIRATION
Ka:f(t)=* o B m+.m
Solution ghkale: (2)
* P~YO(@ o s p s 0
Y=Yo+xPl-
db
+~~,.exp(*cr.+Kta:-~.~~y,(e)de) B n
et deux semblables pour u, s. I1 faut: yo+&,+so=~B (3)
Pl
+pz
+p3
=o
’
i PlnfhfP3*=0 y,(t) est Cvidemment le meme en tout point x de la soufflerie. C’est done le d6bit de convection mesurt g l’entrke A. Fonction kminemment mesurable, dhveloppable en sCrie de Fourier, de pulsation fondamentale o, celle de la respiration. De plus:
et de m2me pour ~(0, t), ~(0, t). Les constantes telles y,, pl, c1,,pin peuvent 2tre dtterminks $ l’entrk A par quelques mesures. Evidemment : Re a,’~0. Enfin, la fonction F,(x -Qait), i= 1,2, 3 est dkterminable par des mesures dans le sang, en A. Le problime peut done i%trerCsolu compl&ement ; il en rQulte que la situation au point B (lo, t) n’est pas quelconque. Elle est d&rite par les fonctions de t: Yoi .dIo, 0,
407
th
11n’y a aucune consommation, done etre assurt par:
40,
0;
YVO, t),
40,
t), $0,
ni production dans la soufflerie. Le contrdle doit
zuo, t) - 4k t) = -PI(t)
w(h t) - w(lo, 4 = -k%(t) S(Z,t) - &, t) = 0
consommation
d’Oz
production de CO, stabilitt de N,
11n’est pas B exclure que les coincidences idbales: Y(l, t) = z(I, 0;
0
u(l, t) = w(l, t);
s(l, t)=u(l,
t)
44
A. GUILLEZ
n’aient lieu qu’en moyenne; si les equations de l’bchangeur sont bien Ctablies on devra les retrouver dans le regime permanent, au moins periodiquement. (3) Equations de I’bchangeur-Systhme autoexcitt La methode appliqde est celle des Brocas et Cherruault (1973), mais S et r sont des fonctions du temps t. Variation totale de la quantite d’Oz contenue dans l’element dx entre les dates tett+dt: y(t+dt)S(t+dt) dx-y(t)S(t) dx=y dx dt Variation de quantite par diffusion longitudinale: KS(t+dt)
ay ax (x+dx, t+dt)-KS(t)
ay ax (x, t)=K;
(Sy”) dx dt
Variation par convection : Y(x)
psYb)-
y(x+dx)
y(x+dx)
dt= - ; WY, dx dt > Variation par diffusion transversale (absorption d’Oz par le sang): pB
Loi de Fick: -&,2nr(t)
dx y-z e
Premier type &equations :
dt
Le deuxieme type d’equations ne change pas car S1 est constante: z;= -Qal(-Do,
5
(z-y) 1
On peut faire apparaitre un parametre 6 caracteristique du gaz examine: puis: On posera:
Le systeme d’6quations s’ecrit :
I
S(t)y+S(t)y;=KS(t)y:~-~(yy):-~lr(tNy-z)
et deux semblables en u, s
(II)
y+v+s=&j
(11.4)
Slz;=(w(t)(y-z)-Qu”)61
‘et deux semblables Ls
en w, u
(11.5)
(11.1)
MODELE
DE LA RESPIRATION
45
On remarque: y, u, s d’une part, z, w, u d’autre part sont isomorphes. Nous traduirons ce fait en disant que y, U, s dune part, z, w, u d’autre part sont des fonctions isomorphes des variables x, t, 6. Nous poserons:
y, 0, suq(x, t, 6) z, w, uub(x, t, 6)
L’addition des trois premieres equations de (II) sand (11.4): S’(t)P,=
-~:-Er(t)(81(y-Z)+S&-w)+S,(s-u))
ou:
(3.1) r:= -S’(t)P,-&r(t)(~l(y-z)+6~(u-w)+6,(s-u)) Ceci donne a penser que y;, done y lui-meme, ne depend pas du parametre caractbistique 6; en effet, la convection y s’applique au melange, done a chacun des trois gaz en particulier. On admettra done que les produits tels que (y-z)& sont independants de 6: (q -<)S = 4(x, t). Avec les isomorphismes poses, on aura le systeme resolvant: l?(t)? -t- s(t)q; = KS(thj$ -
4(rrYx- -5WM?- 0
SIl; = bZ(tMv - 0 - QC@
(III)
y;i=o Systt?me des tquations d’isomorphisme de l'tchangeur : Ce systeme est plus gtknbal que le veritable. En effet, il a une variable de plus, 6. La solution g&&ale inclut done celle demand& Remarque: On remarque: (1) Les equations (111.1) et (111.2) font gpparaitre l’excitation, par les fonctions S(t), S’(t), r(t), ces fonctions sont pkriodiques, de pulsation w, cette pulsation se retrouvera dans les fonctions chtrchkes, reponses a une excitation ptriodique a travers un systeme de caracteristiques rigides, les constantes 6, E, K, a. (2) L’tquation (111.2)fait apparaitre, en plus, le paramitre Q, celui-ci n’aura pas d’influence sur la pulsation o des fonctions, mais bien sur leurs formes et leurs amplitudes. Les expressions trouvkes vont confirmer ces conjectures.
III.
RESOLUTION
DES EQUATIONS DE L’ECHANGEUR
(1) PropriCtk fondamentales (1.1) La fonction y(x, t) est independante des coefficients de diffusion et de solubilite, c’est a dire des constantes 6i, K, et egalement du debit Q du sang. Car on n&glige les variations de densite et de pression totale du melange gazeux
46
A. GUILLEZ
dues aux &changes, c’est done comme si ceux-ci n’avaient pas lieu. On neglige aussi ses variations de viscositt, puisqu’on ne tient pas compte de celle-ci. Comme on neglige les echanges, c’est qu’on neglige le sang, mat&e ntcessaire aux Bchanges. On doit done supposer en particulier : @/aSi ~0 Soit alors y:=f(x, t) avec aflasi=O, bien fond&e. (1.2) Puisque y”==f(x, t) avec 8j/&$=O, les produits tels que (y-z)& sont independants des 6i, et rkiproquement. Observons d’abord que, nonobstant la condition. y+ u+s= PB, le systeme d’isomorphisme fournit des solutions y, z qui dependent de a1 seulement, pas de 6, ni de &. Alors: y:= -PBS(t)-&r(tX~~(y-z)+82(U-w)+6g(S-u))=~(X,
t)
et aY:
-d)=af(x,
+MY
as,=-
as,
zO,
ah
Cette propriett va permettre la resolution utile du systeme, celle qui est adapt&. au probleme physiologique pose. I1 y a dautres solutions, sant inter-et ici. Par exemple, on peut remarquer que le systeme est rbolu par q,i& y de t seulement et en tirer des solutions plus g&kales par la methode de variation des constantes. Insister n’a qu’un interi3 spkulatif. Nous verrons en effet que les fonctions trouvkes sont physiologiquement acceptables, rendent compte du fonctionnement normal et des fonctionnements pathologiques. On peut demontrer plus rapidement, disons sommairement, la propritte 1.2.: Si y;( 1,t) =f( t) ne depend pas des 6i, alors les termes tels 6 1(y -2) n’en dependent pas non pLis. -w)+ 83(s -u))w(t))ql, t)=f(t) Car y;(I, t)= -PBS(t)-((&(Y-Z)+MJ et )
(2) Rfhlution Partons des equations d’isomorphisme (III). Dtrivant (111.2)en 6 pour utiliser @/%I)(&~-5)) ~0: (111.4)
S,T;,+QK~~~+QQK~:=O
deux familles de solutions: (a)
T;=O:
sy&?++=o
d’oir
c“-6 _ f(X)
et
i,=e,+~
MODELE DE LA RESPIRATION
47
(b) Methode d’Euler : c = Cr + c e”lx+Btg(6) (S,fl + QlccrS)g’(S)+ Qmg(G) = 0
g(6)= QK 6:+ S,fi Solution g&n&ale d’isomorphisme: (111.5) (111.2)s’kcrit encore: c’est-d-dire:
p eaxtSt
S(q-&o)=C D’ou deux resultats:
(~ln+~~n+~3n)eannX+Bnf par
y:= -S(t)P,c
”
y(x, t)=g(t) -xS(t)P,-
c
kn+fi2”+~3n
n
eanx+#nt
(1113)
(111.6)
@?I
Aucune condition n’est encore imposke sur c1,, /I,, ni sur g(t) * y(x, t) est done definie a deux fonctions dint&ration pres, comme il convient. Rappelons que XV, Pfix+bnr peut rep&enter toute fonction #(x, t), sauf peut-&re en des points singuliers. Or actuellement, aucune condition n’est impok sur les pin, pUZn, pLln. On tire encore: (111.7) Rompons maintenant l’isomorphisme pour exploiter les equations fournissant y, 0, s.
(IV)
‘48
A. GUILLEZ
On observe : y + D+ s = PB ne signifie pas y. + u. + so= PB car ceci entrainerait : -fi(4
+ -f2W
+ -_ f3(4
62
63
61
_ 0
et surtout: vt>o
4P2 + Qw, 62+ &A,
&Y(t)& + QKa,61+ Vn ”
(Qicol,Sr + S,fl,)S, sr(t) *“‘+ (Q~ca,82+ S1j?Jb2w(t) * “’
Nth +
+ Q~an63
+ W,
1
(Qm, ~3~+SJ3~)8~u(t) ‘p3n =’
or les hi,, ne sont pas de fonctions, mais des nombres, c’est done gknbalement impossible. En pratique, comme on emploiera des developpements limit& y + u + s = PB ne pourra dtre maintenu qu’approximativement ; ceci permet de se rapprocher de la nature. L’identification sur les kquations type (111.1)va donner d’autres relations entre les coefficients, elles ne sont malheureusement pas plus pratiques: Sur y: (111.8)
MODELE DE LA RESPIRATION
~l(th + Q% 4 + Wn (QKa, al +
49
2 anx+&t
e
Slj?n)Er(t)81 plnan
n
-a
h+~Zn+~3n
g(t)-xS’(t)PBK
c
eanx+@ an
”
et de m6me pour u et s en changeant les indices. On ne peut qu’identifier terme a terme, a la man&e des elements coordonnts de la mkthode de Ritz et Rayleigh. (3) Etude des solutions (3.1) L’existence de rkgimes permanents,A pulsation fondamentale w, est un fait experimental. Alors, il existe des /$ a partie rkelle nulle. Les autres sont nkcessairement a partie rQlle negative. Les fonctions &excitation sont r(t) et S(t)= 7cr2(t): r(t)=fO+rl sin wt;
S(t) = rr(r$ + 2JOr, sin ot + r: sin2 or);
s’(t)=271~~o(~~+r~ sin or) cos wt=xrlw(2fb cos ot+rl sin 2uX) On peut imposer les developpements de Fourier, mais la formule (111.8)montre que les solutions completes sont illimitkes, car le premier membre contient seulement des series, et le deuxieme des produits de series. Ceci veut dire que, comme on prendra des developpements limit&, l’identilkation ne devra porter que sur les termes de memes deg&s,-Autrement, les rksultats seront faux. (3.2) L’kquation (111.7)
montre qne ~(l, t) = [(l, t) est impossible.
50
A. GUILLEZ
La forme (111.5)
montre que
et
est impossible aussi. De mCme q;(l, t) ou $(l, t)=O.
c
~ln+fl2”+~3n
YKt) = g(t)- 1P,S(t)-
ea”l+#9nt=o
a,
n
est possible A condition de prendre g(t) pour cel$, mais y!&(l,t) = -S(t)&
-
(A~+P~~+~~~J ean’+Bnr=O c
”
aussi.
kgalement. Examinons cette triple condition sur ~(1,t).
g(t)=lP,S(t)+
cy
I
”
&+flf=
c
ekn+Bf
:
n
”
-S(t)PB
”
g’(t) = lPBS”( t) +
c
&
elcm+Bnt
%
”
La troisikme condition vient directement de la premikre, avec laquelle la.deuxikme
MODELE
nest pas contradictoire,
51
DE LA RESPIRATION
car il en resulte:
g(t)=1(i -I>eiun+Bnt, v,
”
qui peut meme rep&enter n’importe quelle fonction de t, sauf en quelques points peut-etre. On peut done imposer y(l, t) = YXZ,4 = r#, r) = 0 Ici, le systeme ne s’evanouit pas pour celi. En (I, t), le systeme d’isomorphisme s’kcrit alors: s(t)?(Z)+ S(t)rtXZ)= (ZwQG(Z) --E WtX? - 0XL r) r S,C;=GMWi -C)-Q4XL
d
et (3.1) s’bcrit: r’,(Z,t)= -SW,-m(t)(B1O,-z)+6,(0-w)+&(s-u))(l)=0 avec (Uy-4+w-w)+W--u))(Z,
r)#O
comme il convient. (3.3) Examinons les conditions du controle.
est impossible, mais un choix conven”able des pzn et des /&(-Re /3,<0), I,,� permet de trembler autour de 0.04 PB, et encore d’avoir 11w(l, t)ll= 0.04 PB, et alors w#, t) et w”(Z,t) oscillent autour de zero. Pzn eonl+tJnt
(V- w)(Z,t)= c
”
e &r(t)
oscillera alors aussi, mais avec une p6riode generalement r(t). Cependant, si Z,J?, = kw, la p&iode est conservee. De meme pour y -z)(Z, t) et (S-u)(l, t). Examinons les consommations et excretions. u(l, t)--u(l(), t)=
“MO-_MLJ 6
+
3
c p3
&a.
differente, a cause de
eht’(e’“n _ f+%) ~,+S,B,
n
est impossible. Mais l’azote ne se combine avec aucun element du sang. I1 ne faut done pas considerer la norme d’Hilbert, ou valeur efficace, mais bien la valeur moyenne. .
52
A. GUILLEZ
Celle-ci peut etre nulle, mais seulement si ~(1,t) oscille autour dune valeur positive suffisante : La respiration exige que le sang dissolve suflsamment de gaz inerte
n
absorption d’Oz par le sang, et w(l0,t)-w(l,
t)=
fitlo) -fit0 6
+
2
c
p2”
Q%~2+Wn
n
,
eSnf
l~n -&t)
= p2(t)
(e
excretion de CO2 peuvent &re satisfaits, mais les fonctions pi(t) et p2(t) ne seront pas quelconques a cause des conditions supra. (3.4)Les fonctions cherchkes, et formellement trouvkes, sont en general pseudopkriodiques, leur frequence est celle de la respiration 0/2x. Elles repondent en effet a l’excitation periodique r(t), dont on retrouvera la periode dans les exposants /I, et la fonction g(t). Le modble est autoexcite. Les formules trouvkes au (111.2)contirment entierement la remarqde finale de (11.3). (4) Etats mbcaniques normaux et pathologiques Dans un &at mkcanique normal: les branches ont toute leur souplesse, c’est-l-dire que rl = r. est possible et les alvkoles n’ont pas de travail a fournir pour contenir la ventilation, c’est-a-dire Y;(l,t) = y(l, t) = 0= y’,(l,t). Dans un &at mdcanique pathologique: les alveoles doivent fournir du travail pour contenir la ventilation, c’est-a-dire I Y;(kt),u Y(kt)#O U les branches n’ont pas toute leur souplesse, c’est-a-dire r1
IV.
IDENTIFICATION
DES FONCTIONS DE L’ECHANGEUR ET PATHOLOGIES
.
A. Etats mbcaniques normaux Rksolution: Exploitons d’abord y!& t) =O, avec: r(t)=fo+rl
sin ot;
S(t)=7w2(t);
y:(l, t)= -PBS(t)-C
v, eaf++Bnt
MODELE y:(l, t)=
DE LA RESPIRATION
53
-nr,oP~(rb(~t+e-~;CD’)+‘1(e2jmt-e-2rt))-v, 2j _v2 ea21+/921_ v3 ea31+83r _v4 ea41+84’. . .
l’identtication s’arr&te nkessairement calculables. D’oti :
ti l’indice 4, les termes suivants ne sont pas
BI =jw b4= -2jw Bz= -jo, P3 = 2j0, v1 eal’=v2 eaxll= -m&r 0 1P BY. v3 eK31= -vq ea4'=jmor~PB/2
(IV.1)
Avant d’aller plus loin, examinons: =nx+ Bd
lh ;(r)
E W-z)=~
qui doit 6tre rkelle d’abord, mais, en plus, doit rester finie; or rl =fo est possible. Le numkateur E pin ea++@ doit done Ztre divisible par r(t)=Jo +rl sin ot. = & + j&, Soient : pcL, an = a:, + jai c
pin eanx+Bnt=pll e4”. &(~‘+4N+p,2
eab. ej(-w+ah
D’oti : ak=L$=a;=&=g’
puis a;=a$= R=(&,
(IV.2)
a$ = a; = a” en factorisant ea’x, et il reste en factorisant alors e’“““. +j~~u;,)ei”*+(~;,+jCl;,)e-iw’+(11;3
+j&,)
qui doit &re divisible par tio+rl sin wt=rb -jr,/2 calculs, on trouve une seule solution: a”=O;
(@‘-e-@‘),
e-2&r
et rkelle. Aprks
~~2=~;1=~;3=~;4’o
#42=PL;1=4~0,
ces propri&b
eZM”‘+(&+j&)
&=
-&=&r1/2
(IV.3)
1, rCef1
entrainent celles des v, = pin + p2,, + p3,: v;=v;=v;=v>=o vz = v; = CYb,
7;’ -nwr1PB(2ti0 cos wt+rl
vi= -v;=rlu/2
(IV.4)
d r&l 1
sin 2@-e”‘“a(2&
cos wt+rl
sin 2wt).
Or v1=v;=
-naforlPB
e-““= of0
3
u=
-narlPBe-“’
et
r:= nwrlPB(2~o cos ot+r,
sin 2ot)(e”‘(“-‘j-1)
(IV.5)
54
A. GUILLEZ
Avant d’intbgrer, on v&tie la r&lit6 de la Z de
en posant :
pl3=
epa”ml
-7mrorlPB
=
Plz=Pll
-p14=
-jxw
r:
T
(IV.6)
PB e-““ml
par homogbnbitb avec les v,, ml r&l. On trouve: pin
&W+Bd
cQK ha,+ W= -nwrlPBm,
Intbgrant maintenant arrikre 41 et Y1 par: I sin
”
=
e”@-‘)
(IVS) pour y(l, t)=O; dkfinissant les dkphasages en en OS1
,/Q’K’ 6$Y2 +02Sf’
sin
y’=~Q~~;402s~
*
on trouve: y(x, t)=2xwrlP&$+rl
sin ax) cos ot
(IV.8)
y=z+
2norlPBml . ea’w-z) (.-yJ(J)t Ea 1
fl(x) reste $ identifier par l’bquation Kr2(t)y;+2llr(t)J(t)y=Knr2(t)y:2-((yy~,-E6lr(t).(y-z) qui se simpltie un peu, par xr(t); r(t)fi+2J(t)y=Kr(t)y:2-20rlPB
cosat
ye [(
-20rlPBml
cos ot . ea’(x-‘)
e”““- 4 _ 1
cl,
+1-x
x >3 ’
MODELE DE LA RESPIRATION
55
Les calculs sont quand m&metrhs longs et phibles. En identifiant par ot = 0 et en ne retenant que les termes correspondants: g1(x)=Zo+f1(x)/h par : Kg;(x)+(x-I+ x --2071 [ Ebi +d2Kn +x
l/u’)s;(x)+(l -2wr,)g1(x)=or1Pf11
e”‘(“-‘I
2Jow7c (2 cos 41+sin c#J~)-~(u.wY,+sinY,) C; -2 2J,cos4, -&+
(
1
+r, cosY1 +2
G
26 cm 41 +r1 cos VI c; G (
>
-2,&:~)(l+(x-lw,]
2J, cos 41 +r, cos Y,
+xor,P#ll
(
c;
-2/&S,
cl;
(IV.9)
>
c;=x/Q2~26ia’2 + 02Sf,
2~26fat2 + 401~s:
(IV.10)
On pose x -I+ l/a’= X et l’kquation prend la forme: Kg;(X)+XS;(X)+(l
-2c0rl)gl(X)=ea’X(A,X+Bl)+Dl
(IV.11)
1 -20rl > 0 car w = 1.25enviroffet rl en millimetres. On la r&soudfacilement par un dkveloppement en sbie entihre: gl(X)=ao+a~X+a~X2+
- - +a,X”+ - -
Identification: x0: 2Ka2$_(1-2orl)uo=B1+Dl
‘\
X’: (i&i-(2-2wrl)ul=Ala’+Bl X2: 12&~,+(3-2~r~)a~=~~
$ $+B,
$
(IV.12)
X”:(n+2)(n+1)Ku,+2+(n+1-2wrl)a,= Le 2e membre de cette rhu-rente tend rapidement vers z&o. L’Ctudede converg ence se r&hit done Acelle de: (n+2)(n+ 1)Kb,+2+(n+l -hr,)b,=O
56
A. GUILLEZ
d’oii:
b n+2 -= - n+ 1-2wrl -+O quand n+ co (n+2Xn+l) b, La she U,= b,x” est done convergente comme somme de deux skies absolument convergentes, l’une des termes pairs et l’autre des termes impairs. n+l--2wr,
.zpz = -x2
Or:
(n+ l)(n+2) “Z”
La skrie dquivalente est altern& son terme g&&ral’-tO rapidement, plus que de faGon exponentielle. La sbie gl(x) est done absolument convergente, et rapidement convergente. Elle est complktement dtterminke par ao, al et l’identifkation (IV.12). . On peut done considkrer le probltme comme termink Formules utiles e?“X-“_l
y(x, t)= 27wr,P,r(t) (=50+q I
cos wt
(
-x+1
>
-7TCWiPBmit? ”@-‘) rl cos (2wt -YJ
2rb COS(ot -pi) x [ J-+-f] ?=C+
2nwrlPB &6i
m. ea’@-‘) cos 0X ’
sin Yi=
W
Cvz, w, u;
qV_Y,Vy
S;
6i
20x31 ,/Q”?c’a” ST + 402S7
i=l, 2,3.
-noriPBm2
pI(t)=z(l,
Pz(t)=W(lo,
t)-z(lO, t)=f1(1)~~(10)+7c~rIP,ml(eR’~b~~~-l) 1
t)-W(l,
t)=~(10~-~(1)+norlP.m2(l
-e”(b-‘))
2
2fo cos (wt - 42)
rl cos (20x-Y’,)
JQ”u’ hia” + w”Sf ‘,/Q21c2
6za’2 + 4w2Sf
1 .
MODELE
DE LA RESPIRATION
4J&02 r:02 x Q’lc ~~cc’~+ CO’S:+ Q2rc2c$Y.‘~+ 4S:02 i
57
1
4#W2 r:02 ’ Q2rc2&Y’~+ 02S: + Q”K~ b&Y2+ 4S:02
(W
IL
I
fib4
'~+~,=U,i+UliX+--++a,iX"+-1
par la’recurrente (IV.9) mutatis mutandis.
Conclusions : Pathologies des &tatsmkcaniques normaux : Nous devons examiner les effets des variables: o, Q, les 6i, PB. Nous observons d’abord: (1) Les pressions partielles et la ventilation sont periodiques, leur periode est celle de la respiration. Les pressions en phase atrienne y, U, s retardent sur la ventilation y avec les angles caracttristiques (P<,‘$i,et les pressions en phase sanguine z, w, U, retardent sur y, u, s parce que: v--i=
27wrlPB E6i
rn. e”@-‘) cos ot ’
(2) LB fonctions y -z, u - w, s -U sont pbriodiques autour de zero. Les fonctions ~(1, t), pi(t), p2(t) oscillent autour de constantes. (3) La necessitt d’un gaz inerte soluble dans le sang d’une facon voisine de celle de l’oxygene a ettb dknontrke. L’azote convient parfaitement, l’argon pourrait convenir, l’hklium cornprime. (4) En valeur efficace, toutes les fonctions sont croissantes de PB, mais, exactement, de roPs et rlPB. D’oh la compensation dune sous-pression atmosphkrique en respirant a fond (montagnards), celle dune surpression en restreignant la respiration (scaphandriers), pouls et frkquence de la respiration restant normaux. (5) Seule, la ventilation est proportionnelle a 0. Les autres fonctions sent, en normes, trbs lentement croissantes de w, avec asymptotes horizontales. Mais il faut remarquer: il suffit d’admettre pour rl--ou r$--une fonction convenable de w
58
A. GUILLEZ
pour obtenir des fonctions trb lentement dkcroissantes Par exemple, examinons IIw(l,c)llavec ri= c + d/( 1 + HO’);c, d > 0, E petit positif. co2 = r,
4J:r
h = Q2~2 6za2
r:C
{S:+h+4&:+h
(l+s&1=1--E&
F(<)=(c+d-de<).
est dkroissante pour O<[<
h,/w 8~;s:
-2f:hJr2 h-S2
4S:d-hc
ce qui est toujours possible et F(02) presente.alors un minimum. Pour 4S:d-hc iwfl est toujours decroissante, Voir Fig. 3a, b, c. Le modhle est flexible, ceci facilite Ntude des actions chrbbrales. (6) Seule y est ind@endante du d&bitsanguin Q. Toutes les autres fonctions sont d&o&antes de Q. =64f:h,
b_-___-_-_
UW,ll L
cw
I
*cd
Fig. 3. Flexibilite du modhle.
MODELE DE LA RESPIRATION
59
(7) De meme pour les 6i. Nous pouvons tirer les conclusions suivantes concernant les pathologies: (a) Les coefficients de diffusion transversaux, c’est-a-dire les Si, ne sont pas des constantes. 11s dependent de l’etat de la surface d&change, et sont plus 61evb quand celle-ci est plus mouilk que la normale. C’est le cas dans toutes les infections. Alors, l’absorption d’Oz, p1 et l’excretion de COz, p2, sont diminukes, ainsi que w(E,0. (b) La filvre determine une vasoconstriction, qui compense l’accklleration du pouls et peut mdme la surcompenser (filvreux pales), le debit Q varie tres peu. Le supplement d’02 nkcessaire ne peut gtre apporte que par une dilatation des branches-accroissement de t$, rl--et par l’accroissement de la frequence de la respiration, joint a une respiration plus profonde si possible (equivalent d’un accroissement de Ps). (c) Puisque PB apparait partout sous les formes J,P,, rlPB, il y a des pressions atmospheriques pathogenes, que I’organisme ne peut plus compenser. Cette pathologie n’a pourtant lieu que si la pression partielle d’Oz est anormale, grace aux termes
qui traduisent une nouvelle possibilite de compensation. Si cette derniere barriere est franchie, le patient est sous-oxygCnC ou suroxygennb Cas bien connus des a&onautes et des plongeurs. (d) Les variations accidentelles de w, dans les emotions par exemple ou dans les efforts violents, ne sont pas pathogenes a proprement parler, 1 cause de la faiblesse des derivkes en w, mais elles sont fatigantes parce que llyll est proportionnelle a w. L’organisme, cherchant a maintenir IIw(l,t)ll, accelhe le coeur d’abord sans ou avec peu de vasoconstriction pour compenser l’accroissement de o. W(Z,t))l es t maintenu par: la vasoconstriction si &es(e) Dans les infections, 1) saire (fievre), d’ou Q a peu prds constant si le coeur acceltre, a2 augmentt par le mouillage de la surface d’kchange, o augment6 Evidemment, il y a des limites. B. Etats mtcaniques anormaux Ces 6tats sont pathologiques ‘per naturam suam.’ Ces pathologies peuvent etre aggravees par d’autres. Nous traitons d’abord les etats ou y;(I, t)U y(l, t)#O avec possibilite de rl = ro, l’appareil bronchioalveolaire restant souple, puis ceux oh rl < ro. (B.l) Eappareil bronchioalvbolaire est soup/e-(1) La nouvellefonction y. Les conskquences mathkmetiques: L’identifkation repose, comme en A, sur y!#, t), la rkalitt du Z de z, la r&&t et la divisibilite par r(t) du Z de ( y-z). On ne connait pas y”I, t). On va examiner d’abord la realit des Z,. Comme en A, on se limitera a l’harmonique 2.
60
A. GUILLEZ
La divisibilitt par r(t) impose p1 =jw, flz = -jw. Ecrivons done:
p,, c r(t)
ew+l?l
r&l a=a1=a2=a3=a4;
fil=jo,
p;~=/JL;~=cL;~=/&=o;
rkel et entier: fiz= -jw,
#13=2jo, f14= -2jw.
p’~;2=/.4;~=A1ro; &=
-/.lL;3=&11/2
rtsultats (IV.2) et (IV.3). On sait que ces conditions entrainent la r&alit6 du Z de z. On aura les rtsultats (IV.4) et: Y:= -(xcOrlPB+O e”)(2r0 cos ot+r, sin2 ot) pour cr eat= -7cOrIPB y;=O en (l, t) Ici C eal# --7tor1PB, mais nous pouvons toujours &ire: 6= -nwrlPB e-“‘,,
rp1
d’Oii y,=
+27zmr1PB(ea(X-“)- l)r(t) cos 0x
(IV.13)
Ainsi, les conditions de &alit& de divisibilitk par r(t), et la limitation i l’harmonique 2 font que tout se passe comme si l’appareil bronchio-alvkolaire Btait affect6 de myopie (r < I) ou d’hypermktropie (r > I). y(l, t) = 0 est quand meme possible: y(x, t) = g(t) + her
1Pi3r?
--X)Icoswf
(IV.14)
il suffit de prendre: e””- I’) g(t) = + 27cwr,PB I - -
(
a
r(t) cos ot >
Autrement, y(l, t) # 0. 11 y a done deux cas d distinguer. Mais, dans ces deux cas les Z des fonctions cherchks sont modi&s seulement par la substitution de 1 $ I; les fonctionsfi, elles, sont plus skrieusement affect&es dans leurs formes, surtout dans le 26me cas. Les ddphasages en arrikre & ‘Pi ne sont pas affect&. Les calculs sont compliqUCSet peu utiles. (2) Consiquences pathologiques : Les pathologies citQs en A sont aggravkes par la fatigue des alvkoles. Dans le cas le moins mauvais, celles-ci doivent compenser l’accblkration de la ventilation en (I, t): (IV.15)
MODELE
61
DE LA RESPIRATION
et, en plus, dans l’autre:
11est assez nature1 de prendre alors e”‘“-
Yb, t)=
(
0 _
a
1
-x+r
(IV.17)
S*(t)P, >
qui laisse subsister y(l, t)$
(I - lq2syt)P,
et (IV.18) 11va de soi que la 22me pathologie est beaucoup moins longtemps supportable que la lhe. 11n’y a pas de perturbation particuliire des kchanges. En outre, le travail supplkrnentaire des alvkoles doit produire en bruit particulier, mais au niveau des alvkoles seulement, un bruit de choc et de reflux, tres faible. Dangereuse situation, hemoptysies possibles. (B.2) Lhppareil pulmonaire a pedu sa souplesse: Cas de l’emphydme, des bronchites capillaires, des pneumonies. (1) Identification: Les pro&d& sont les mdmes que prkckdemment. Mais on n’a plus besoin de supposer que (y -2) est divisible par r(t), car r(t) ne peut plus s’annuler. Exprimons seulement la rQlitC des X de z et de (y -z). On pousse le developpement seulement a l’harmonique 2. On aura
BI =_ia, cL,= a:, + ja:, a;=a;, Nl2=PLil?
B2=
-_iw
P3 =
2@,
-2jo
p4=
k.=cl\,+j& a> = a$, pL’;2=
a;= -&1,
-a;,
a;=
(IV.19)
-a;
Nl4=c1;3,
cL;4=
-Pi3
i
pour la rCalitC de C pin ea++Pnf, venant de (y-z):
c~lneD++8nf=2e”+u;1
cos (a;,+m)-pL;l
sin 0)
+2eai’;“(&, cos (a;,x+20t)-pi3
sin 0)
(IV.243
62
A. GUILLEZ
La realitt du E de z est alors assurke: Pl”e”““+8” c
QK b,+SJ4 =2eaix x
Qx&a;(~;I cos(a;x+-ot)-~;~
sin())+(Qk.&a; +wSJ@;~ cos()+&;, Q%c26$x’: +(QK &a; + ~7~)~
sin())
+2e”;”
(IV.21) La realite de y: aussi: y:= -P&t)
- 2e+(v; cos (a;x + ot) -v; sin (e))
- 2e+(v; cos (a; 3x + 20x) -v; d’Oii
y(x, t) = g(t) - xP$(t) _ 2&”
sin (*))
, (via; + v;a;) cos (a;x + at)+ (via; -$a;) - 2ealX a;’ + ai
(vja; + vja;) cos (agx + 20x) + (via; - v;a$) sin () a;” + ai
(IV.22) sin ()
(IV.23)
On peut encore avoir y!J, t) = 0. Ceci conduit a: v; = -7wrlrOPs e-Or;’cos a;l,
y(x, t)=g(t) -xP$(t) x (a; sin a;l -a;
v;=7corlJOPB eMailsin a;I’
xorfPB v;=e-a~~_-_-_ cos a;1 2 -2nor,JOPB e+-‘)
(IV.24)
cos all) cos (a;x + ot) -(a; cos a;l+ Oc;sin a;l) sin () a;” + az2
a> sin a$ + 013cos a$) cos (a;x + 2wt) + (a; sin a$ -a3 cos a$) sin (*) a;” + ai (IV.25) y(l; t) = 0 est encore possible. (2) J-Wrologie: Les tchanges sont nkessairement diminub. L’organisme malade absorbe moins d’02 et rejette moins de C02. 11peut compenser dans une certaine mesure en respirant plus profondement, s’il le peut. Les fonctions dependent des angles a;x + ot et a;x + 2wt. Les efforts faits par les malades pour respirer &ant a peu p&s constants, on doit conclure que cette modulation de phase se traduira a l’auscultation par une sorte de ronflement et des X(
MODELE
DE LA RESPIRATION
63
riles si les vaisseaux sont dilates et par une sorte de souffle plus aigu s’ils sont r&r&is. Le pronostic du souffle est evidemment plus grave que celui du ronflement, le malade ne pouvant pas compenser sa sousalimentation en Oz. Celle-ci sera alors compenske par une atmosphere enrichie (tente a 0,). s’il y a ronflement, l’btat general peut etre longtemps conserve, le malade s’astreignant d bien respirer. Des efforts lui procureront pourtant oppression, fatigue prkcoce. Toutes les pathologies d&rites en A sont severement aggravees, par la sousalimentation en OZ. Toutes les fonctions restent pkriodiques, en particulier celles du controle, en (I, t), pl, pz, w(l, t) continuent d’osciller autour de constantes, les (y-z) autour de zero. Les influences de Q, 6i, w sont les memes.
V.
IDl3JTIFICATION
DE LA SOUFFLERIE
La fonction yO(r)est mesurable a l’entrke. Si le patient ne souffre pas de difficult& mbcaniques, cette fonction determine E,,.En effet : ed’uo - 0
Y&)= y(l,, t)= 27rwriP~r(t) cos or .
(
cd
Y-1-lo+! >
plus simplement : y&)“7cfDr~Pg(t)
cos ot * a’(& -1y
De m2me s’il y a simplement un bruit de choc et reflux au fond de l’alveole, ou une mesure peut determiner I’. C’est plus difficile si on a des ronflements ou des sifflements, la fonction y(x, t) est plus compliquke. Mais les mesures de w(l, t), pi(t), p2(t) doivent fournir les constantes manquantes a;, a; et a;, a’,--si le patient peut les supporter. Les fonctions telles ~(0, t) et ~(0, r) sont aussi mesurables et interpolables P l’entrke. Alors: z=z,+F,(x-Qa,t) d’o6 F1. D’oii &),
et
~(0, t)=zc,+Fl(--Qa,t)
qui est aussi I’entrke de l’kchangeur, et y(l,) par: Y(lo)=&)+
2M.w~P~ m1 ea’(‘-ro)cos ot E6 1
pour un patient dont les poumons sont en bon &at m&canique au sens du (111.4). Ce qu’on pourra justement verifier en mesurant ~(0, t):
64
A. GUILLEZ
attention, les coefficients ~1rn, a, ne sont pas ceux de l’kchangeur, ils sont a trouver. En IO,c6tb soufflerie:
c&b tchangeur. I1 est evident que les deux expressions ne peuvent pas coi’ncider, sauf a pour-. suivre le I& a l’infini. On se contentera dune cokidence partielle. Car ceci demontre l’existence dune zone de transition, comme dans tous les systemesd’kchange. Les equations de cette zone de transition (isomorphisme):
(S(t)rl);=KS(t)r1”,2-Ps’(~YY,-&G’r(tX?-r) s,r;+Q~615;=E6’~(t).(rl-i) 1
$ ((s-s)a)=o=g .
Oh 6’=f
(x)
est entierement a determiner. Signalons que, pour les kchangeurs gazeux de l’industrie (tris isotopiques, separations des gaz), on prend assez volontiers
f(x)
qui donne 6’/6 = 0 pour x = 0 et 6’/6 = 1 pour x = 1, avec 8;(1,) = 0. Cela peut donner ici des resultats numkriques acceptables. Une zone absolument sans kchanges est pourtant ,tres concevable, tres normale m&me dans le probldme examine, les grandeurs si seuil &ant courantes en biologie. De toute faconl’obtention des fonctions de la soufflerie n’offre pas de difficult&. I1 est a prevoir qu’a l’auscultation, la soufflerie rilera et ronflera ou soufflera en meme temps que l’kchangeur, qu’elle transmettra les bruits de choc (t&s legers).
REMERCIEMENTS
Je remercie le Professeur Y. Cherruault de m’avoir donnt un sujet aussi inttressant. Je remercie mon mkdecin de ‘famille et ami le Docteur Denis Autrand, de
MODELE
DE LA RESPIRATION
65
ChB;lons sur Marne, des bclaircissements qu’il m’a don& sur les pathologies pulmonaires. Enfin et surtout, je remercie le Crbateur d’avoir rbpondu A mes prikres et de m’avoir ainsi fait trouver les systtmes d’kquations et leurs solutions.
BIBLIOGRAPHIE
BROCASJ. et CHERRUALJLT Y. Etude sur modtle mathematique des bhanges gazeux alvtolo-capillaires. RBle jout dans ces tchanges par la presence dun gaz inerte, Math. Biosci., 17 (1973). CHERRUAULT, Y. et GUILLEZ,A., Resolution des equations d’un modele de la respiration. (A paraitre). CHERRUAULT, Y. et LORIDAN,P., Modtlisation et methodes mathkmatiques en bio-medecine, Masson, 1977. LABORIT,H., Physiologie humaine, Masson, 1961. WRIGHT,S., Physiologie appliquke a la Medecine, p. 165.
A. GUILLEZ MEDIMAT
45, rue des Saints Pkes, 15270 Paris, Cedex 06 (France)
(Received: 17 December, 1977)
SOMMAIRE
L’auteur, partant du mod&e de Brocas et Cherruault (1973) trouve de nouvelles equations en tenant compte ‘de la dynamique de la respiration. I1 est ament a distinguer deux regions, dites ‘soufflerie’ et ‘tchangeur’. I1 trouve les solutions explicites de ses equations par une methode originale, et les identifte. I1 prouve d’abord ainsi la nkcessitt bun gaz inerte a pression partielle suflsante et dune solubilitt comparable a celle de l’oxygBne.‘Puis il est oblige de distinguer des etats mtcaniques normaux et pathologiques. Duns ces deux sortes d’Ctats,‘il trouve des fonctions quasiperiodiques pour la ventilation, les pressions des gaz, les differences de pressions entre les gaz en phases aerienne et dissoute, des fonctions periodiques pour les: consommation de 02, excretion de COz, CO2 residue1 du sang. Ces fonctions de controle ont pour normes zero pour les diferences et l’azote dissous, des constantes pour les autres. Examinant les eflets des:fr&quence de la respiration, debit du sang, variations des diffusivites transversales, pression atmospherique, dimensions gtomt%riques, lites avec les infections, lafievre, les scleroses, l’altitude, la profondeur et mtme les &motions, il retrouve les sympt6mes des pathologies a l’auscultation, ordinaire et amplifZe.
SUMMARY
The author, starting from the pattern established by Brocas and Cherruault (1973), develops new equations by considering the dynamics of breathing. He distinguishes space without exchanges, called ‘blower’and space with exchanges, called ‘exchanger’. The equations are studied and explicit solutions are found by an original method. The necessity for a neutral gas is proved. The author develops periodic functions for ventilation, for gas pressures in the air and in the blood and control functions such as 37’ Int. J. Bio-Medical Computing (10) (1979) 3745
@Elsevier/North-Holland
Scientific Publishers Ltd.
38
A.
GUILLEZ
difjkences of pressure between aerial- and blood-dissolved gas at the bottom of the alveola, consumption of Oz and excretion of COz and remaining COz in blood. The control functions oscillate around zero for the dij’kences and around, constants for the others. Examining the effects offrequency of breathing, bloodflow, variations of transversal dijkivities, atmospheric pressure, variation of the dimensions connected with fever, infections, altitude-and depth, scleros& and even emotions, he again determines the pathologies, their auscultation symptoms and other aspects.
I. DESCRIPTIONDUPHENOMENE (Fig.l)
La respiration comprend deux espkces de phknomenes simultants. (1) L’inspiration et I’expiration Pendant le premier acte, les alvkoles et les bronchioles pulmonaires se dilatent pour aspirer l’air ambiant. Pendant le second acte, elles se contractent pour chasser l’air vicih (2) Les Cchanges gazeux Entre l’air alveolaire, unk partie de l’air bronchiolaire et le sang. 11ssont simultanks avec I’inspiration et l’expiration, le filtre constitut par les parois alveolaires et bronchiolaires fonctionne a surface variable, le tube bronchiolaire et la sphere alvkolaire &ant a sections variables. I1 ne peut done pas exister d&at ‘stationnaire’, oti‘les phknomtnes d&change seraient independants du temps, il peut seulement exister des regimes permanents, caracterids par la stabilite de la pulsation w de Tinspiration et de l’expiration, et celle du debit sanguin Q dans les capillaires bronchiole-alveolaires.
Fig. 1. Schbma de l’appareil
pulmonaire.
MODELE
DE LA RESPIRATION
39
On reunira l’inspiration et l’expiration sous l’appellation de oentilation. La pression totale du melange expire est proche de la pression atmospherique Pa, celle du melange inspire aussi, et leurs masses spkifiques sont assez voisines. On peut admettre que les kchanges bronchiole-alveolaires se. font a la pression atmosphdrique et a temperature constante. Pourtant, d‘apres Samson Wright la pression intrapulmonaire est de 760 f 3 mm de Hg au tours du cycle respiratoire, pour Pa = 760.11 y a done, dans tous les cas, un debit de ventilation Ia considerer. La faiblesse de la variation autorise d considtrer ce debit comme laminaire. 11y a deux interpretations possibles: (a) Le debit de ventilation est le seu1 present, la pression intrapulmonaire nest pas consider&e comme constante. (b) La pression intrapulmonaire est considbke comme constante, et au debit de ventilation I se superpose un debit de convection C. Cette derniere interpretation a ete utiliske par les professeurs J. Brocas et Y. Cherruault (Brocas and Cherruault, 1973; Cherruault and Loridan, 1977). La solution analytique des equations a ettt trouvQ par Cherruault et A. Guillez (a paraitre). Tris logiquement, ces equations supposent constante la section du tube alveolo-bronchiolaire S, puisque la variation de, la pression intrapulmonaire y est nkgligke. Ceci pet-met &examiner un ‘cas stationnaire’, qui est en rkalitt artitkiel. Le debit de convection C existe nkessairement, car il traduit l’absorption d’Oz, la dissolution et la restitution d’Nz, le degagement de COZ. D’apres Laborit (1961), le volume courant, constitue par l’air qui rentre et sort vaut 0.6 litres; le volume residuel, environ 2.5 litres. 11y a de grosses variations. Mais la section S du tube alvkolo-bronchiolaire ne peut pas etre conside& comme con&ante. La frtquence respiratoire est de 11 a 14 par minute: w#1.4 rad/sec. Le nombre est aussi variable. 11parait done indiqd d’appliquer la mtthode de Brocas et Cherruault (1973), muis en considbrant la section S comme une fonction du temp. Par contre, on supposera as/ax = 0. Nous aboutirons a un mod&e autoexcitb. C’est indispensable pour rendre compte du caractere ptkiodique des phenomenes examines. Le systeme est comparable i un oscillateur entretenu, de frtquence imposee, et, en outre, parametre par le debit sanguin Q.
II.
MlSE EN EQUATION DU PROBLEME
(1) LX modgle (Fig. 2) Le systeme est un appareil de pompage et d&changes. 11doit presenter deux parties:
40
A. GUILLEZ
(1) La soufflerie, sans kchange, representant la trachee, la premiere partie des bronchioles; sa surface laterale est constante. (2) L’echangeur, representant la seconde partie des bronchioles et les alvkoles. Sa surface laterale est a variation periodique. Un modele simple correspondant est represent6 Fig. 2.11 est inspire de celui des professeurs Brocas et Cherruault. (Brocas et Cherruault, 1973; Cherruault et Loridan, 1977). Le tube cylindrique AB, de rayon constant ro, est la soutIlerie, sa longueur est IO.Le tube cylindrique BD, de rayon variable r, est l’echangeur, sa longueur est (I -lo). Le sang circule le long de khangeur avec le debit Q, dans le manchon de section droite Sr, figurant les capillaires. La ventilation correspond a des variations periodiques de S(t) dans lkhangeur BD. Si on admet, dans cette zone r=Jo+rl
sin 0.H
on y aura S(t)=n(f~+2Jorl
sin ot+rf
sin2 ot)
La longueur est I -IO. A chaque instant t, son volume est (l-1,)S(t), et le debit de convection ventilatoire instantane r(t)=(l-Io)S’(t)=207wl(Jocosot+rl
sinot*cosot)(l-_o)
.La soufflerie AB est a section constante: So-- zrg. Le debit de convection ventilatoire instantane I,(t) = I(t) - (yb # yo).
I
1
‘0 Fig. 2. Le modkle.
X
MODELE
DE LA RESPIRATION
41
Le modtle est ainsi present6 et rectifie. Cette rectification n’est que partielle, car il existe sfirement une zone de transition en B. Celle-ci sera negligee. La convection ventilatoire I,(t) n’est pas seule dans la soufflerie. 11y existe un rtsidu des effets de source (COZ, N,) et de puits (O,, N,) qui se produisent dans l’kchangeur. Mais la convection totale y&, x) de la soufflerie ne peut pas 6tre la meme que dans l’echangeur, car il n’y a plus d’effets de source et de puits dans la soufflerie. Soit y(x, t) la convection totale de l’echangeur. En B, elle vaut y(lO, t). La convection dans la soufflerie, sans sources ni puits, est done: (entrke=sortie) yo= y(lo, t), fonction de t seulement. En outre, dans la soufflerie, la diffusion longitudinale et la convection sont les seuls motifs de variation des pressions partielles y, v, s d’Oz, COZ, Nz. On voit qu’il importe de distinguer ces deux zones. Etablissons done d’abord les equations de la soufflerie. Nous Btablirons ensuite celles de l’kchangeur. On reprend les notations de Brocas et Cherruault (1973): pressions partielles d’Oz, COZ, Nz dans le tube pressions partielles d’Oz, COZ, Nz dans le sang coefficient de diffusion longitudinale dans le tube K Do2, Dco,, DN1 diffusivites transversales epaisseur de la paroi du tube e y, v, s z, w, u
.=so,_ SW_SN, --_D% Dm,
so,f-0 S(t),r(t) Sl X
I 10 Y Yo Q PB
DN~
section et rayon de la soufflerie section et rayon de l’echangeur section du manchon de sang abscisse comptke depuis l’entrke A longueur totale du tube longueur de la soufflerie convection totale dans l’kchangeur convection totale dans la soufflerie debit du sang pression atmospherique
(2) Equations de la souflerie Soit un element de volume dx, entre x et x + dx. Le raisonnement est exactement celui de Brocas et Cherruault (1973), sauf qu’il n’y a pas de diffusion transversale.
A. GUILLEZ
42 On trouve done:
ti= KY:~ -&--
hJoYL
&- (YOU):
v;=Kv:z-
Et
0
I
s;= Ks:z-
y+v-ts=Ps
(1)
En additionnant (1.1) i (1.3), on trouve 8yo/h=0, fonction de t seulement : y. = y(lo, t).
ce qui vbrifie bien que y. est
w=wo+m,Fo(x-Qa,t);
(l)z=zo+m,Fo(x-Qo,t);
puis KY‘&-
&o B Yo(wz-y;=o
et deux semblables de caractkristiques dy=p dx+q dt K dt2=0 K dp dt = (bp ye(t) + q) dx dt suggbant deux families de solutions:
(4
p=cte:y;+& P1Yo@)=O 0
Yl=Yo+xpl-
st It
PIYO@) de
0
SOPB
p=pl
u = u. f m,F,(x - Qa,t)
MODELE
(b)
y=C
e@*“f(t):
DE LA RESPIRATION
Ka:f(t)=* o B m+.m
Solution ghkale: (2)
* P~YO(@ o s p s 0
Y=Yo+xPl-
db
+~~,.exp(*cr.+Kta:-~.~~y,(e)de) B n
et deux semblables pour u, s. I1 faut: yo+&,+so=~B (3)
Pl
+pz
+p3
=o
’
i PlnfhfP3*=0 y,(t) est Cvidemment le meme en tout point x de la soufflerie. C’est done le d6bit de convection mesurt g l’entrke A. Fonction kminemment mesurable, dhveloppable en sCrie de Fourier, de pulsation fondamentale o, celle de la respiration. De plus:
et de m2me pour ~(0, t), ~(0, t). Les constantes telles y,, pl, c1,,pin peuvent 2tre dtterminks $ l’entrk A par quelques mesures. Evidemment : Re a,’~0. Enfin, la fonction F,(x -Qait), i= 1,2, 3 est dkterminable par des mesures dans le sang, en A. Le problime peut done i%trerCsolu compl&ement ; il en rQulte que la situation au point B (lo, t) n’est pas quelconque. Elle est d&rite par les fonctions de t: Yoi .dIo, 0,
407
th
11n’y a aucune consommation, done etre assurt par:
40,
0;
YVO, t),
40,
t), $0,
ni production dans la soufflerie. Le contrdle doit
zuo, t) - 4k t) = -PI(t)
w(h t) - w(lo, 4 = -k%(t) S(Z,t) - &, t) = 0
consommation
d’Oz
production de CO, stabilitt de N,
11n’est pas B exclure que les coincidences idbales: Y(l, t) = z(I, 0;
0
u(l, t) = w(l, t);
s(l, t)=u(l,
t)
44
A. GUILLEZ
n’aient lieu qu’en moyenne; si les equations de l’bchangeur sont bien Ctablies on devra les retrouver dans le regime permanent, au moins periodiquement. (3) Equations de I’bchangeur-Systhme autoexcitt La methode appliqde est celle des Brocas et Cherruault (1973), mais S et r sont des fonctions du temps t. Variation totale de la quantite d’Oz contenue dans l’element dx entre les dates tett+dt: y(t+dt)S(t+dt) dx-y(t)S(t) dx=y dx dt Variation de quantite par diffusion longitudinale: KS(t+dt)
ay ax (x+dx, t+dt)-KS(t)
ay ax (x, t)=K;
(Sy”) dx dt
Variation par convection : Y(x)
psYb)-
y(x+dx)
y(x+dx)
dt= - ; WY, dx dt > Variation par diffusion transversale (absorption d’Oz par le sang): pB
Loi de Fick: -&,2nr(t)
dx y-z e
Premier type &equations :
dt
Le deuxieme type d’equations ne change pas car S1 est constante: z;= -Qal(-Do,
5
(z-y) 1
On peut faire apparaitre un parametre 6 caracteristique du gaz examine: puis: On posera:
Le systeme d’6quations s’ecrit :
I
S(t)y+S(t)y;=KS(t)y:~-~(yy):-~lr(tNy-z)
et deux semblables en u, s
(II)
y+v+s=&j
(11.4)
Slz;=(w(t)(y-z)-Qu”)61
‘et deux semblables Ls
en w, u
(11.5)
(11.1)
MODELE
DE LA RESPIRATION
45
On remarque: y, u, s d’une part, z, w, u d’autre part sont isomorphes. Nous traduirons ce fait en disant que y, U, s dune part, z, w, u d’autre part sont des fonctions isomorphes des variables x, t, 6. Nous poserons:
y, 0, suq(x, t, 6) z, w, uub(x, t, 6)
L’addition des trois premieres equations de (II) sand (11.4): S’(t)P,=
-~:-Er(t)(81(y-Z)+S&-w)+S,(s-u))
ou:
(3.1) r:= -S’(t)P,-&r(t)(~l(y-z)+6~(u-w)+6,(s-u)) Ceci donne a penser que y;, done y lui-meme, ne depend pas du parametre caractbistique 6; en effet, la convection y s’applique au melange, done a chacun des trois gaz en particulier. On admettra done que les produits tels que (y-z)& sont independants de 6: (q -<)S = 4(x, t). Avec les isomorphismes poses, on aura le systeme resolvant: l?(t)? -t- s(t)q; = KS(thj$ -
4(rrYx- -5WM?- 0
SIl; = bZ(tMv - 0 - QC@
(III)
y;i=o Systt?me des tquations d’isomorphisme de l'tchangeur : Ce systeme est plus gtknbal que le veritable. En effet, il a une variable de plus, 6. La solution g&&ale inclut done celle demand& Remarque: On remarque: (1) Les equations (111.1) et (111.2) font gpparaitre l’excitation, par les fonctions S(t), S’(t), r(t), ces fonctions sont pkriodiques, de pulsation w, cette pulsation se retrouvera dans les fonctions chtrchkes, reponses a une excitation ptriodique a travers un systeme de caracteristiques rigides, les constantes 6, E, K, a. (2) L’tquation (111.2)fait apparaitre, en plus, le paramitre Q, celui-ci n’aura pas d’influence sur la pulsation o des fonctions, mais bien sur leurs formes et leurs amplitudes. Les expressions trouvkes vont confirmer ces conjectures.
III.
RESOLUTION
DES EQUATIONS DE L’ECHANGEUR
(1) PropriCtk fondamentales (1.1) La fonction y(x, t) est independante des coefficients de diffusion et de solubilite, c’est a dire des constantes 6i, K, et egalement du debit Q du sang. Car on n&glige les variations de densite et de pression totale du melange gazeux
46
A. GUILLEZ
dues aux &changes, c’est done comme si ceux-ci n’avaient pas lieu. On neglige aussi ses variations de viscositt, puisqu’on ne tient pas compte de celle-ci. Comme on neglige les echanges, c’est qu’on neglige le sang, mat&e ntcessaire aux Bchanges. On doit done supposer en particulier : @/aSi ~0 Soit alors y:=f(x, t) avec aflasi=O, bien fond&e. (1.2) Puisque y”==f(x, t) avec 8j/&$=O, les produits tels que (y-z)& sont independants des 6i, et rkiproquement. Observons d’abord que, nonobstant la condition. y+ u+s= PB, le systeme d’isomorphisme fournit des solutions y, z qui dependent de a1 seulement, pas de 6, ni de &. Alors: y:= -PBS(t)-&r(tX~~(y-z)+82(U-w)+6g(S-u))=~(X,
t)
et aY:
-d)=af(x,
+MY
as,=-
as,
zO,
ah
Cette propriett va permettre la resolution utile du systeme, celle qui est adapt&. au probleme physiologique pose. I1 y a dautres solutions, sant inter-et ici. Par exemple, on peut remarquer que le systeme est rbolu par q,i& y de t seulement et en tirer des solutions plus g&kales par la methode de variation des constantes. Insister n’a qu’un interi3 spkulatif. Nous verrons en effet que les fonctions trouvkes sont physiologiquement acceptables, rendent compte du fonctionnement normal et des fonctionnements pathologiques. On peut demontrer plus rapidement, disons sommairement, la propritte 1.2.: Si y;( 1,t) =f( t) ne depend pas des 6i, alors les termes tels 6 1(y -2) n’en dependent pas non pLis. -w)+ 83(s -u))w(t))ql, t)=f(t) Car y;(I, t)= -PBS(t)-((&(Y-Z)+MJ et )
(2) Rfhlution Partons des equations d’isomorphisme (III). Dtrivant (111.2)en 6 pour utiliser @/%I)(&~-5)) ~0: (111.4)
S,T;,+QK~~~+QQK~:=O
deux familles de solutions: (a)
T;=O:
sy&?++=o
d’oir
c“-6 _ f(X)
et
i,=e,+~
MODELE DE LA RESPIRATION
47
(b) Methode d’Euler : c = Cr + c e”lx+Btg(6) (S,fl + QlccrS)g’(S)+ Qmg(G) = 0
g(6)= QK 6:+ S,fi Solution g&n&ale d’isomorphisme: (111.5) (111.2)s’kcrit encore: c’est-d-dire:
p eaxtSt
S(q-&o)=C D’ou deux resultats:
(~ln+~~n+~3n)eannX+Bnf par
y:= -S(t)P,c
”
y(x, t)=g(t) -xS(t)P,-
c
kn+fi2”+~3n
n
eanx+#nt
(1113)
(111.6)
@?I
Aucune condition n’est encore imposke sur c1,, /I,, ni sur g(t) * y(x, t) est done definie a deux fonctions dint&ration pres, comme il convient. Rappelons que XV, Pfix+bnr peut rep&enter toute fonction #(x, t), sauf peut-&re en des points singuliers. Or actuellement, aucune condition n’est impok sur les pin, pUZn, pLln. On tire encore: (111.7) Rompons maintenant l’isomorphisme pour exploiter les equations fournissant y, 0, s.
(IV)
‘48
A. GUILLEZ
On observe : y + D+ s = PB ne signifie pas y. + u. + so= PB car ceci entrainerait : -fi(4
+ -f2W
+ -_ f3(4
62
63
61
_ 0
et surtout: vt>o
4P2 + Qw, 62+ &A,
&Y(t)& + QKa,61+ Vn ”
(Qicol,Sr + S,fl,)S, sr(t) *“‘+ (Q~ca,82+ S1j?Jb2w(t) * “’
Nth +
+ Q~an63
+ W,
1
(Qm, ~3~+SJ3~)8~u(t) ‘p3n =’
or les hi,, ne sont pas de fonctions, mais des nombres, c’est done gknbalement impossible. En pratique, comme on emploiera des developpements limit& y + u + s = PB ne pourra dtre maintenu qu’approximativement ; ceci permet de se rapprocher de la nature. L’identification sur les kquations type (111.1)va donner d’autres relations entre les coefficients, elles ne sont malheureusement pas plus pratiques: Sur y: (111.8)
MODELE DE LA RESPIRATION
~l(th + Q% 4 + Wn (QKa, al +
49
2 anx+&t
e
Slj?n)Er(t)81 plnan
n
-a
h+~Zn+~3n
g(t)-xS’(t)PBK
c
eanx+@ an
”
et de m6me pour u et s en changeant les indices. On ne peut qu’identifier terme a terme, a la man&e des elements coordonnts de la mkthode de Ritz et Rayleigh. (3) Etude des solutions (3.1) L’existence de rkgimes permanents,A pulsation fondamentale w, est un fait experimental. Alors, il existe des /$ a partie rkelle nulle. Les autres sont nkcessairement a partie rQlle negative. Les fonctions &excitation sont r(t) et S(t)= 7cr2(t): r(t)=fO+rl sin wt;
S(t) = rr(r$ + 2JOr, sin ot + r: sin2 or);
s’(t)=271~~o(~~+r~ sin or) cos wt=xrlw(2fb cos ot+rl sin 2uX) On peut imposer les developpements de Fourier, mais la formule (111.8)montre que les solutions completes sont illimitkes, car le premier membre contient seulement des series, et le deuxieme des produits de series. Ceci veut dire que, comme on prendra des developpements limit&, l’identilkation ne devra porter que sur les termes de memes deg&s,-Autrement, les rksultats seront faux. (3.2) L’kquation (111.7)
montre qne ~(l, t) = [(l, t) est impossible.
50
A. GUILLEZ
La forme (111.5)
montre que
et
est impossible aussi. De mCme q;(l, t) ou $(l, t)=O.
c
~ln+fl2”+~3n
YKt) = g(t)- 1P,S(t)-
ea”l+#9nt=o
a,
n
est possible A condition de prendre g(t) pour cel$, mais y!&(l,t) = -S(t)&
-
(A~+P~~+~~~J ean’+Bnr=O c
”
aussi.
kgalement. Examinons cette triple condition sur ~(1,t).
g(t)=lP,S(t)+
cy
I
”
&+flf=
c
ekn+Bf
:
n
”
-S(t)PB
”
g’(t) = lPBS”( t) +
c
&
elcm+Bnt
%
”
La troisikme condition vient directement de la premikre, avec laquelle la.deuxikme
MODELE
nest pas contradictoire,
51
DE LA RESPIRATION
car il en resulte:
g(t)=1(i -I>eiun+Bnt, v,
”
qui peut meme rep&enter n’importe quelle fonction de t, sauf en quelques points peut-etre. On peut done imposer y(l, t) = YXZ,4 = r#, r) = 0 Ici, le systeme ne s’evanouit pas pour celi. En (I, t), le systeme d’isomorphisme s’kcrit alors: s(t)?(Z)+ S(t)rtXZ)= (ZwQG(Z) --E WtX? - 0XL r) r S,C;=GMWi -C)-Q4XL
d
et (3.1) s’bcrit: r’,(Z,t)= -SW,-m(t)(B1O,-z)+6,(0-w)+&(s-u))(l)=0 avec (Uy-4+w-w)+W--u))(Z,
r)#O
comme il convient. (3.3) Examinons les conditions du controle.
est impossible, mais un choix conven”able des pzn et des /&(-Re /3,<0), I,,� permet de trembler autour de 0.04 PB, et encore d’avoir 11w(l, t)ll= 0.04 PB, et alors w#, t) et w”(Z,t) oscillent autour de zero. Pzn eonl+tJnt
(V- w)(Z,t)= c
”
e &r(t)
oscillera alors aussi, mais avec une p6riode generalement r(t). Cependant, si Z,J?, = kw, la p&iode est conservee. De meme pour y -z)(Z, t) et (S-u)(l, t). Examinons les consommations et excretions. u(l, t)--u(l(), t)=
“MO-_MLJ 6
+
3
c p3
&a.
differente, a cause de
eht’(e’“n _ f+%) ~,+S,B,
n
est impossible. Mais l’azote ne se combine avec aucun element du sang. I1 ne faut done pas considerer la norme d’Hilbert, ou valeur efficace, mais bien la valeur moyenne. .
52
A. GUILLEZ
Celle-ci peut etre nulle, mais seulement si ~(1,t) oscille autour dune valeur positive suffisante : La respiration exige que le sang dissolve suflsamment de gaz inerte
n
absorption d’Oz par le sang, et w(l0,t)-w(l,
t)=
fitlo) -fit0 6
+
2
c
p2”
Q%~2+Wn
n
,
eSnf
l~n -&t)
= p2(t)
(e
excretion de CO2 peuvent &re satisfaits, mais les fonctions pi(t) et p2(t) ne seront pas quelconques a cause des conditions supra. (3.4)Les fonctions cherchkes, et formellement trouvkes, sont en general pseudopkriodiques, leur frequence est celle de la respiration 0/2x. Elles repondent en effet a l’excitation periodique r(t), dont on retrouvera la periode dans les exposants /I, et la fonction g(t). Le modble est autoexcite. Les formules trouvkes au (111.2)contirment entierement la remarqde finale de (11.3). (4) Etats mbcaniques normaux et pathologiques Dans un &at mkcanique normal: les branches ont toute leur souplesse, c’est-l-dire que rl = r. est possible et les alvkoles n’ont pas de travail a fournir pour contenir la ventilation, c’est-a-dire Y;(l,t) = y(l, t) = 0= y’,(l,t). Dans un &at mdcanique pathologique: les alveoles doivent fournir du travail pour contenir la ventilation, c’est-a-dire I Y;(kt),u Y(kt)#O U les branches n’ont pas toute leur souplesse, c’est-a-dire r1
IV.
IDENTIFICATION
DES FONCTIONS DE L’ECHANGEUR ET PATHOLOGIES
.
A. Etats mbcaniques normaux Rksolution: Exploitons d’abord y!& t) =O, avec: r(t)=fo+rl
sin ot;
S(t)=7w2(t);
y:(l, t)= -PBS(t)-C
v, eaf++Bnt
MODELE y:(l, t)=
DE LA RESPIRATION
53
-nr,oP~(rb(~t+e-~;CD’)+‘1(e2jmt-e-2rt))-v, 2j _v2 ea21+/921_ v3 ea31+83r _v4 ea41+84’. . .
l’identtication s’arr&te nkessairement calculables. D’oti :
ti l’indice 4, les termes suivants ne sont pas
BI =jw b4= -2jw Bz= -jo, P3 = 2j0, v1 eal’=v2 eaxll= -m&r 0 1P BY. v3 eK31= -vq ea4'=jmor~PB/2
(IV.1)
Avant d’aller plus loin, examinons: =nx+ Bd
lh ;(r)
E W-z)=~
qui doit 6tre rkelle d’abord, mais, en plus, doit rester finie; or rl =fo est possible. Le numkateur E pin ea++@ doit done Ztre divisible par r(t)=Jo +rl sin ot. = & + j&, Soient : pcL, an = a:, + jai c
pin eanx+Bnt=pll e4”. &(~‘+4N+p,2
eab. ej(-w+ah
D’oti : ak=L$=a;=&=g’
puis a;=a$= R=(&,
(IV.2)
a$ = a; = a” en factorisant ea’x, et il reste en factorisant alors e’“““. +j~~u;,)ei”*+(~;,+jCl;,)e-iw’+(11;3
+j&,)
qui doit &re divisible par tio+rl sin wt=rb -jr,/2 calculs, on trouve une seule solution: a”=O;
(@‘-e-@‘),
e-2&r
et rkelle. Aprks
~~2=~;1=~;3=~;4’o
#42=PL;1=4~0,
ces propri&b
eZM”‘+(&+j&)
&=
-&=&r1/2
(IV.3)
1, rCef1
entrainent celles des v, = pin + p2,, + p3,: v;=v;=v;=v>=o vz = v; = CYb,
7;’ -nwr1PB(2ti0 cos wt+rl
vi= -v;=rlu/2
(IV.4)
d r&l 1
sin 2@-e”‘“a(2&
cos wt+rl
sin 2wt).
Or v1=v;=
-naforlPB
e-““= of0
3
u=
-narlPBe-“’
et
r:= nwrlPB(2~o cos ot+r,
sin 2ot)(e”‘(“-‘j-1)
(IV.5)
54
A. GUILLEZ
Avant d’intbgrer, on v&tie la r&lit6 de la Z de
en posant :
pl3=
epa”ml
-7mrorlPB
=
Plz=Pll
-p14=
-jxw
r:
T
(IV.6)
PB e-““ml
par homogbnbitb avec les v,, ml r&l. On trouve: pin
&W+Bd
cQK ha,+ W= -nwrlPBm,
Intbgrant maintenant arrikre 41 et Y1 par: I sin
”
=
e”@-‘)
(IVS) pour y(l, t)=O; dkfinissant les dkphasages en en OS1
,/Q’K’ 6$Y2 +02Sf’
sin
y’=~Q~~;402s~
*
on trouve: y(x, t)=2xwrlP&$+rl
sin ax) cos ot
(IV.8)
y=z+
2norlPBml . ea’w-z) (.-yJ(J)t Ea 1
fl(x) reste $ identifier par l’bquation Kr2(t)y;+2llr(t)J(t)y=Knr2(t)y:2-((yy~,-E6lr(t).(y-z) qui se simpltie un peu, par xr(t); r(t)fi+2J(t)y=Kr(t)y:2-20rlPB
cosat
ye [(
-20rlPBml
cos ot . ea’(x-‘)
e”““- 4 _ 1
cl,
+1-x
x >3 ’
MODELE DE LA RESPIRATION
55
Les calculs sont quand m&metrhs longs et phibles. En identifiant par ot = 0 et en ne retenant que les termes correspondants: g1(x)=Zo+f1(x)/h par : Kg;(x)+(x-I+ x --2071 [ Ebi +d2Kn +x
l/u’)s;(x)+(l -2wr,)g1(x)=or1Pf11
e”‘(“-‘I
2Jow7c (2 cos 41+sin c#J~)-~(u.wY,+sinY,) C; -2 2J,cos4, -&+
(
1
+r, cosY1 +2
G
26 cm 41 +r1 cos VI c; G (
>
-2,&:~)(l+(x-lw,]
2J, cos 41 +r, cos Y,
+xor,P#ll
(
c;
-2/&S,
cl;
(IV.9)
>
c;=x/Q2~26ia’2 + 02Sf,
2~26fat2 + 401~s:
(IV.10)
On pose x -I+ l/a’= X et l’kquation prend la forme: Kg;(X)+XS;(X)+(l
-2c0rl)gl(X)=ea’X(A,X+Bl)+Dl
(IV.11)
1 -20rl > 0 car w = 1.25enviroffet rl en millimetres. On la r&soudfacilement par un dkveloppement en sbie entihre: gl(X)=ao+a~X+a~X2+
- - +a,X”+ - -
Identification: x0: 2Ka2$_(1-2orl)uo=B1+Dl
‘\
X’: (i&i-(2-2wrl)ul=Ala’+Bl X2: 12&~,+(3-2~r~)a~=~~
$ $+B,
$
(IV.12)
X”:(n+2)(n+1)Ku,+2+(n+1-2wrl)a,= Le 2e membre de cette rhu-rente tend rapidement vers z&o. L’Ctudede converg ence se r&hit done Acelle de: (n+2)(n+ 1)Kb,+2+(n+l -hr,)b,=O
56
A. GUILLEZ
d’oii:
b n+2 -= - n+ 1-2wrl -+O quand n+ co (n+2Xn+l) b, La she U,= b,x” est done convergente comme somme de deux skies absolument convergentes, l’une des termes pairs et l’autre des termes impairs. n+l--2wr,
.zpz = -x2
Or:
(n+ l)(n+2) “Z”
La skrie dquivalente est altern& son terme g&&ral’-tO rapidement, plus que de faGon exponentielle. La sbie gl(x) est done absolument convergente, et rapidement convergente. Elle est complktement dtterminke par ao, al et l’identifkation (IV.12). . On peut done considkrer le probltme comme termink Formules utiles e?“X-“_l
y(x, t)= 27wr,P,r(t) (=50+q I
cos wt
(
-x+1
>
-7TCWiPBmit? ”@-‘) rl cos (2wt -YJ
2rb COS(ot -pi) x [ J-+-f] ?=C+
2nwrlPB &6i
m. ea’@-‘) cos 0X ’
sin Yi=
W
Cvz, w, u;
qV_Y,Vy
S;
6i
20x31 ,/Q”?c’a” ST + 402S7
i=l, 2,3.
-noriPBm2
pI(t)=z(l,
Pz(t)=W(lo,
t)-z(lO, t)=f1(1)~~(10)+7c~rIP,ml(eR’~b~~~-l) 1
t)-W(l,
t)=~(10~-~(1)+norlP.m2(l
-e”(b-‘))
2
2fo cos (wt - 42)
rl cos (20x-Y’,)
JQ”u’ hia” + w”Sf ‘,/Q21c2
6za’2 + 4w2Sf
1 .
MODELE
DE LA RESPIRATION
4J&02 r:02 x Q’lc ~~cc’~+ CO’S:+ Q2rc2c$Y.‘~+ 4S:02 i
57
1
4#W2 r:02 ’ Q2rc2&Y’~+ 02S: + Q”K~ b&Y2+ 4S:02
(W
IL
I
fib4
'~+~,=U,i+UliX+--++a,iX"+-1
par la’recurrente (IV.9) mutatis mutandis.
Conclusions : Pathologies des &tatsmkcaniques normaux : Nous devons examiner les effets des variables: o, Q, les 6i, PB. Nous observons d’abord: (1) Les pressions partielles et la ventilation sont periodiques, leur periode est celle de la respiration. Les pressions en phase atrienne y, U, s retardent sur la ventilation y avec les angles caracttristiques (P<,‘$i,et les pressions en phase sanguine z, w, U, retardent sur y, u, s parce que: v--i=
27wrlPB E6i
rn. e”@-‘) cos ot ’
(2) LB fonctions y -z, u - w, s -U sont pbriodiques autour de zero. Les fonctions ~(1, t), pi(t), p2(t) oscillent autour de constantes. (3) La necessitt d’un gaz inerte soluble dans le sang d’une facon voisine de celle de l’oxygene a ettb dknontrke. L’azote convient parfaitement, l’argon pourrait convenir, l’hklium cornprime. (4) En valeur efficace, toutes les fonctions sont croissantes de PB, mais, exactement, de roPs et rlPB. D’oh la compensation dune sous-pression atmosphkrique en respirant a fond (montagnards), celle dune surpression en restreignant la respiration (scaphandriers), pouls et frkquence de la respiration restant normaux. (5) Seule, la ventilation est proportionnelle a 0. Les autres fonctions sent, en normes, trbs lentement croissantes de w, avec asymptotes horizontales. Mais il faut remarquer: il suffit d’admettre pour rl--ou r$--une fonction convenable de w
58
A. GUILLEZ
pour obtenir des fonctions trb lentement dkcroissantes Par exemple, examinons IIw(l,c)llavec ri= c + d/( 1 + HO’);c, d > 0, E petit positif. co2 = r,
4J:r
h = Q2~2 6za2
r:C
{S:+h+4&:+h
(l+s&1=1--E&
F(<)=(c+d-de<).
est dkroissante pour O<[<
h,/w 8~;s:
-2f:hJr2 h-S2
4S:d-hc
ce qui est toujours possible et F(02) presente.alors un minimum. Pour 4S:d-hc iwfl est toujours decroissante, Voir Fig. 3a, b, c. Le modhle est flexible, ceci facilite Ntude des actions chrbbrales. (6) Seule y est ind@endante du d&bitsanguin Q. Toutes les autres fonctions sont d&o&antes de Q. =64f:h,
b_-___-_-_
UW,ll L
cw
I
*cd
Fig. 3. Flexibilite du modhle.
MODELE DE LA RESPIRATION
59
(7) De meme pour les 6i. Nous pouvons tirer les conclusions suivantes concernant les pathologies: (a) Les coefficients de diffusion transversaux, c’est-a-dire les Si, ne sont pas des constantes. 11s dependent de l’etat de la surface d&change, et sont plus 61evb quand celle-ci est plus mouilk que la normale. C’est le cas dans toutes les infections. Alors, l’absorption d’Oz, p1 et l’excretion de COz, p2, sont diminukes, ainsi que w(E,0. (b) La filvre determine une vasoconstriction, qui compense l’accklleration du pouls et peut mdme la surcompenser (filvreux pales), le debit Q varie tres peu. Le supplement d’02 nkcessaire ne peut gtre apporte que par une dilatation des branches-accroissement de t$, rl--et par l’accroissement de la frequence de la respiration, joint a une respiration plus profonde si possible (equivalent d’un accroissement de Ps). (c) Puisque PB apparait partout sous les formes J,P,, rlPB, il y a des pressions atmospheriques pathogenes, que I’organisme ne peut plus compenser. Cette pathologie n’a pourtant lieu que si la pression partielle d’Oz est anormale, grace aux termes
qui traduisent une nouvelle possibilite de compensation. Si cette derniere barriere est franchie, le patient est sous-oxygCnC ou suroxygennb Cas bien connus des a&onautes et des plongeurs. (d) Les variations accidentelles de w, dans les emotions par exemple ou dans les efforts violents, ne sont pas pathogenes a proprement parler, 1 cause de la faiblesse des derivkes en w, mais elles sont fatigantes parce que llyll est proportionnelle a w. L’organisme, cherchant a maintenir IIw(l,t)ll, accelhe le coeur d’abord sans ou avec peu de vasoconstriction pour compenser l’accroissement de o. W(Z,t))l es t maintenu par: la vasoconstriction si &es(e) Dans les infections, 1) saire (fievre), d’ou Q a peu prds constant si le coeur acceltre, a2 augmentt par le mouillage de la surface d’kchange, o augment6 Evidemment, il y a des limites. B. Etats mtcaniques anormaux Ces 6tats sont pathologiques ‘per naturam suam.’ Ces pathologies peuvent etre aggravees par d’autres. Nous traitons d’abord les etats ou y;(I, t)U y(l, t)#O avec possibilite de rl = ro, l’appareil bronchioalveolaire restant souple, puis ceux oh rl < ro. (B.l) Eappareil bronchioalvbolaire est soup/e-(1) La nouvellefonction y. Les conskquences mathkmetiques: L’identifkation repose, comme en A, sur y!#, t), la rkalitt du Z de z, la r&&t et la divisibilite par r(t) du Z de ( y-z). On ne connait pas y”I, t). On va examiner d’abord la realit des Z,. Comme en A, on se limitera a l’harmonique 2.
60
A. GUILLEZ
La divisibilitt par r(t) impose p1 =jw, flz = -jw. Ecrivons done:
p,, c r(t)
ew+l?l
r&l a=a1=a2=a3=a4;
fil=jo,
p;~=/JL;~=cL;~=/&=o;
rkel et entier: fiz= -jw,
#13=2jo, f14= -2jw.
p’~;2=/.4;~=A1ro; &=
-/.lL;3=&11/2
rtsultats (IV.2) et (IV.3). On sait que ces conditions entrainent la r&alit6 du Z de z. On aura les rtsultats (IV.4) et: Y:= -(xcOrlPB+O e”)(2r0 cos ot+r, sin2 ot) pour cr eat= -7cOrIPB y;=O en (l, t) Ici C eal# --7tor1PB, mais nous pouvons toujours &ire: 6= -nwrlPB e-“‘,,
rp1
d’Oii y,=
+27zmr1PB(ea(X-“)- l)r(t) cos 0x
(IV.13)
Ainsi, les conditions de &alit& de divisibilitk par r(t), et la limitation i l’harmonique 2 font que tout se passe comme si l’appareil bronchio-alvkolaire Btait affect6 de myopie (r < I) ou d’hypermktropie (r > I). y(l, t) = 0 est quand meme possible: y(x, t) = g(t) + her
1Pi3r?
--X)Icoswf
(IV.14)
il suffit de prendre: e””- I’) g(t) = + 27cwr,PB I - -
(
a
r(t) cos ot >
Autrement, y(l, t) # 0. 11 y a done deux cas d distinguer. Mais, dans ces deux cas les Z des fonctions cherchks sont modi&s seulement par la substitution de 1 $ I; les fonctionsfi, elles, sont plus skrieusement affect&es dans leurs formes, surtout dans le 26me cas. Les ddphasages en arrikre & ‘Pi ne sont pas affect&. Les calculs sont compliqUCSet peu utiles. (2) Consiquences pathologiques : Les pathologies citQs en A sont aggravkes par la fatigue des alvkoles. Dans le cas le moins mauvais, celles-ci doivent compenser l’accblkration de la ventilation en (I, t): (IV.15)
MODELE
61
DE LA RESPIRATION
et, en plus, dans l’autre:
11est assez nature1 de prendre alors e”‘“-
Yb, t)=
(
0 _
a
1
-x+r
(IV.17)
S*(t)P, >
qui laisse subsister y(l, t)$
(I - lq2syt)P,
et (IV.18) 11va de soi que la 22me pathologie est beaucoup moins longtemps supportable que la lhe. 11n’y a pas de perturbation particuliire des kchanges. En outre, le travail supplkrnentaire des alvkoles doit produire en bruit particulier, mais au niveau des alvkoles seulement, un bruit de choc et de reflux, tres faible. Dangereuse situation, hemoptysies possibles. (B.2) Lhppareil pulmonaire a pedu sa souplesse: Cas de l’emphydme, des bronchites capillaires, des pneumonies. (1) Identification: Les pro&d& sont les mdmes que prkckdemment. Mais on n’a plus besoin de supposer que (y -2) est divisible par r(t), car r(t) ne peut plus s’annuler. Exprimons seulement la rQlitC des X de z et de (y -z). On pousse le developpement seulement a l’harmonique 2. On aura
BI =_ia, cL,= a:, + ja:, a;=a;, Nl2=PLil?
B2=
-_iw
P3 =
2@,
-2jo
p4=
k.=cl\,+j& a> = a$, pL’;2=
a;= -&1,
-a;,
a;=
(IV.19)
-a;
Nl4=c1;3,
cL;4=
-Pi3
i
pour la rCalitC de C pin ea++Pnf, venant de (y-z):
c~lneD++8nf=2e”+u;1
cos (a;,+m)-pL;l
sin 0)
+2eai’;“(&, cos (a;,x+20t)-pi3
sin 0)
(IV.243
62
A. GUILLEZ
La realitt du E de z est alors assurke: Pl”e”““+8” c
QK b,+SJ4 =2eaix x
Qx&a;(~;I cos(a;x+-ot)-~;~
sin())+(Qk.&a; +wSJ@;~ cos()+&;, Q%c26$x’: +(QK &a; + ~7~)~
sin())
+2e”;”
(IV.21) La realite de y: aussi: y:= -P&t)
- 2e+(v; cos (a;x + ot) -v; sin (e))
- 2e+(v; cos (a; 3x + 20x) -v; d’Oii
y(x, t) = g(t) - xP$(t) _ 2&”
sin (*))
, (via; + v;a;) cos (a;x + at)+ (via; -$a;) - 2ealX a;’ + ai
(vja; + vja;) cos (agx + 20x) + (via; - v;a$) sin () a;” + ai
(IV.22) sin ()
(IV.23)
On peut encore avoir y!J, t) = 0. Ceci conduit a: v; = -7wrlrOPs e-Or;’cos a;l,
y(x, t)=g(t) -xP$(t) x (a; sin a;l -a;
v;=7corlJOPB eMailsin a;I’
xorfPB v;=e-a~~_-_-_ cos a;1 2 -2nor,JOPB e+-‘)
(IV.24)
cos all) cos (a;x + ot) -(a; cos a;l+ Oc;sin a;l) sin () a;” + az2
a> sin a$ + 013cos a$) cos (a;x + 2wt) + (a; sin a$ -a3 cos a$) sin (*) a;” + ai (IV.25) y(l; t) = 0 est encore possible. (2) J-Wrologie: Les tchanges sont nkessairement diminub. L’organisme malade absorbe moins d’02 et rejette moins de C02. 11peut compenser dans une certaine mesure en respirant plus profondement, s’il le peut. Les fonctions dependent des angles a;x + ot et a;x + 2wt. Les efforts faits par les malades pour respirer &ant a peu p&s constants, on doit conclure que cette modulation de phase se traduira a l’auscultation par une sorte de ronflement et des X(
MODELE
DE LA RESPIRATION
63
riles si les vaisseaux sont dilates et par une sorte de souffle plus aigu s’ils sont r&r&is. Le pronostic du souffle est evidemment plus grave que celui du ronflement, le malade ne pouvant pas compenser sa sousalimentation en Oz. Celle-ci sera alors compenske par une atmosphere enrichie (tente a 0,). s’il y a ronflement, l’btat general peut etre longtemps conserve, le malade s’astreignant d bien respirer. Des efforts lui procureront pourtant oppression, fatigue prkcoce. Toutes les pathologies d&rites en A sont severement aggravees, par la sousalimentation en OZ. Toutes les fonctions restent pkriodiques, en particulier celles du controle, en (I, t), pl, pz, w(l, t) continuent d’osciller autour de constantes, les (y-z) autour de zero. Les influences de Q, 6i, w sont les memes.
V.
IDl3JTIFICATION
DE LA SOUFFLERIE
La fonction yO(r)est mesurable a l’entrke. Si le patient ne souffre pas de difficult& mbcaniques, cette fonction determine E,,.En effet : ed’uo - 0
Y&)= y(l,, t)= 27rwriP~r(t) cos or .
(
cd
Y-1-lo+! >
plus simplement : y&)“7cfDr~Pg(t)
cos ot * a’(& -1y
De m2me s’il y a simplement un bruit de choc et reflux au fond de l’alveole, ou une mesure peut determiner I’. C’est plus difficile si on a des ronflements ou des sifflements, la fonction y(x, t) est plus compliquke. Mais les mesures de w(l, t), pi(t), p2(t) doivent fournir les constantes manquantes a;, a; et a;, a’,--si le patient peut les supporter. Les fonctions telles ~(0, t) et ~(0, r) sont aussi mesurables et interpolables P l’entrke. Alors: z=z,+F,(x-Qa,t) d’o6 F1. D’oii &),
et
~(0, t)=zc,+Fl(--Qa,t)
qui est aussi I’entrke de l’kchangeur, et y(l,) par: Y(lo)=&)+
2M.w~P~ m1 ea’(‘-ro)cos ot E6 1
pour un patient dont les poumons sont en bon &at m&canique au sens du (111.4). Ce qu’on pourra justement verifier en mesurant ~(0, t):
64
A. GUILLEZ
attention, les coefficients ~1rn, a, ne sont pas ceux de l’kchangeur, ils sont a trouver. En IO,c6tb soufflerie:
c&b tchangeur. I1 est evident que les deux expressions ne peuvent pas coi’ncider, sauf a pour-. suivre le I& a l’infini. On se contentera dune cokidence partielle. Car ceci demontre l’existence dune zone de transition, comme dans tous les systemesd’kchange. Les equations de cette zone de transition (isomorphisme):
(S(t)rl);=KS(t)r1”,2-Ps’(~YY,-&G’r(tX?-r) s,r;+Q~615;=E6’~(t).(rl-i) 1
$ ((s-s)a)=o=g .
Oh 6’=f
(x)
est entierement a determiner. Signalons que, pour les kchangeurs gazeux de l’industrie (tris isotopiques, separations des gaz), on prend assez volontiers
f(x)
qui donne 6’/6 = 0 pour x = 0 et 6’/6 = 1 pour x = 1, avec 8;(1,) = 0. Cela peut donner ici des resultats numkriques acceptables. Une zone absolument sans kchanges est pourtant ,tres concevable, tres normale m&me dans le probldme examine, les grandeurs si seuil &ant courantes en biologie. De toute faconl’obtention des fonctions de la soufflerie n’offre pas de difficult&. I1 est a prevoir qu’a l’auscultation, la soufflerie rilera et ronflera ou soufflera en meme temps que l’kchangeur, qu’elle transmettra les bruits de choc (t&s legers).
REMERCIEMENTS
Je remercie le Professeur Y. Cherruault de m’avoir donnt un sujet aussi inttressant. Je remercie mon mkdecin de ‘famille et ami le Docteur Denis Autrand, de
MODELE
DE LA RESPIRATION
65
ChB;lons sur Marne, des bclaircissements qu’il m’a don& sur les pathologies pulmonaires. Enfin et surtout, je remercie le Crbateur d’avoir rbpondu A mes prikres et de m’avoir ainsi fait trouver les systtmes d’kquations et leurs solutions.
BIBLIOGRAPHIE
BROCASJ. et CHERRUALJLT Y. Etude sur modtle mathematique des bhanges gazeux alvtolo-capillaires. RBle jout dans ces tchanges par la presence dun gaz inerte, Math. Biosci., 17 (1973). CHERRUAULT, Y. et GUILLEZ,A., Resolution des equations d’un modele de la respiration. (A paraitre). CHERRUAULT, Y. et LORIDAN,P., Modtlisation et methodes mathkmatiques en bio-medecine, Masson, 1977. LABORIT,H., Physiologie humaine, Masson, 1961. WRIGHT,S., Physiologie appliquke a la Medecine, p. 165.