Etude de la frontiere elastique des monocristaux d'aluminium

ht.

J. Solids Strucrures,

1971. Vol. 7, pp. 1277 to 1287. Pergamon

Press. Printed

in Great

Britain

ETUDE DE LA FRONTIERE ELASTIQUE DES MONOCRISTAUX D’ALUMINIUM W. K. NOWACKI et J. ZARKA Laboratoire de Mtcanique de 1’Ecole Polytechnique. 17, rue Descartes, Paris V, France

R&urn&-On explore exptrimentalement la front&e elastique d’un monocristal d’aluminium dans diffkrentes directions aprts avoir exerck un kcrouissage suivant une direction particulitre. On donne les rtsultats d’un point de vue macroscopique et leur interprttation microscopique: interactions entre systkmes de glissement. On vbifie qu’une formule theorique rend compte convenablement de ces interactions.

1. INTRODUCTION UN des problemes les plus importants de la Mecanique des Solides est l’etude des relations de comportement a adopter lorsque l’on quitte le domaine de l’elasticite. 11 y a dans ce probleme deux parties differentes : -comment est defini le domaine Clastique et quelle est son evolution quand le materiau est soumis a des deformations non-elastiques? (ou encore quels sont les parambtres qui caracterisent l’ecrouissage et comment tvoluent-ils?); --quelles sont les relations entre les deformations non-tlastiques et les contraintes qui les ont provoqdes. Le mattriau est en general un agregat de monocristaux. I1 est done nature1 d’obtenir, en premier, une solution du probleme pour le monocristal pur. Une reponse theorique a Cte don&e par Zarka [I]. 11avait dQ se placer en viscoplasticite. Les parametres fondamentaux de l’ecrouissage Ctaient les densites, la longueur moyenne et l’orientation des petits segments de dislocations. L’evolution de ces parametres ainsi que les relations de comportement avaient pu Ctre determinees. Afin de completer les resultats theoriques, nous avons entrepris l’etude exp&imentale du probleme. Nous insistons dans ce texte, plus particulikement, sur l’ttude de la frontiere tlastique des monocristaux d’aluminium.

2. ETUDE EXPERIMENTALE 2.1

Principe

Nous explorons dans differentes directions par traction ou compression “simple” la front&e Clastique du monocristal et son evolution quand le cristal a CtC soumis a un Ccrouissage suivant une direction particuliere. L’anisotropie macroscopique observee est like : -A ldgeomttrie du cristal: les deformations plastiques rbultent de glissements suivant 1277

1278

W. K. NOWACKIet J. ZARKA

certains plans, dans certaines directions (systemes de glissement) suivant lesquelles la cissiont reduite appliquee atteint une certaine valeur ; une rotation des directions principales du tenseur contrainte modifie l’amplitude de ces cissions ; -A l’ecrouissage propre : un Ccrouissage fait disparaitre l’equivalence entre les differents systbmes de glissement gtometriquement equivalents (i.e. equivalents dans le groupe des symetries du cristal parfait). Afin d’eliminer la gtometrie du cristal, nous effectuons la correction du facteur geomCtrique;t la comparaison entre les courbes microscopiques obtenues nous donne alors l’influence de l’ecrouissage initial. 2.2

Mdthode exp6rimentale Les monocristaux d’aluminium pur (> 4 N) que nous avons utilises ont CtC ache& chex Metal Research L.T.D. a Cambridge. Nous les avons orient& par la methode classique de Laiie en retour; l’interpretation des cliches a CtC effectuee a l’aide des reseaux de Greninger. Le monocristal cylindrique, M, de longueur approximative 150 mm et de diametre 25 mm est decoupe en trois parties identiques M.1, M.2, M.3 a l’aide d’un appareil a Ctincellage de type Servomet (Fig. 1). Chacun de ces monocristaux, M.m, est deforme par compression d’amplitude differente a l’aide d’une machine du type Instron. Nous obtenons ensuite a l’aide du Servomet, &l’interieur mCme du monocristal M.liz, des petites eprouvettes cylindriques selon les directions A, B, C, D et E qui font respectivement les angles 0, 7r/4, 7c/2, 7r/6 et n/3 avec I’axe macroscopique$ de ce cristal. Les monocristaux M.l.B, M.2.B, M.3.B (resp., C, D, E) n’ont pas en general la meme orientation. Cela pour deux raisons differentes: la premiere est que la direction B, n’est definie qu’a une rotation prb autour de l’axe macroscopique; la deuxieme est que les deformations des cristaux M.l, M.2, M.3 Ctant differentes il en est de meme de l’orientation de l’axe macroscopique par rapport a la maille cristalline. Les monocristaux M.l.B, M.2.B, M.3.B (resp., C, D, E) ont dO par consequent Ctre orient&. L’analyse microscopique n’est pas perturb&e par ce fait. Nous avons choisi les vitesses de 1’Instron de facon a realiser pour toutes les experiences une vitesse de deformation voisine de 1,5 x 10e4 sec. Conventionnellement, la limite

M.m.A

FIG. 1

t Les dtfinitions de la cission rkduite et du facteur gbomttrique sont rappel&es au Paragraphe 2.3.2. t L’axe macroscopique deformation.

est le transform6 de l’axe de compression, suppoSe 6x6 au cristal, au tours de la

Etude de la front&e klastique des monocristaux d’aluminium

1279

Clastique est definie ici comme la contrainte qui correspond a une deformation plastique de 10m3. Malgrk toutes nos precautions expkrimentales, les resultats, que nous presentons, ne peuvent etre qu’approximativement des don&es quantitatives : l’orientation des cristaux n’est connue qu’a 1 a 2 degres pres ; le parallelisme des bases du cristal n’est pas parfait ; la section n’est pas constante le long de toutes petites Cprouvettes [(Dsup-D,,,in)/Dsup N 1,5 %] les deformations sont lues en general directement sur l’enregistreur de I’Instron ; pour des Cprouvettes theoriquement identiques comme M. 1, A4.2, M.3, la dispersion peut atteindre parfois 5% ou plus {Fig. 2); quand la deformation devient assez importante, a l’interieur du cristal, la distribution des contraintes et deformations n’est plus du tout connue (au voisinage des bases du cristal il y a des glissements multiples ; de plus, un moment flechissant important apparait).

,P 0

c

FIG. 2. Monocrystal M.

9.0

Non hod

iniiiotement

6.0 P

t

-

----

FIG. 3. Monocr~stal M.1.

M.I .A M.I.B h4.I .c

1280

W. K. NOWACKIet J.

ZARKA

Les rtsulats sont don& d’abord d’un point de vue macroscopique comme s’il s’agissait d’un polycristal. Un tableau permet d’en avoir ensuite une signification microscopique (nous calculons pour chaque essai la cission reduite appliquee). 2.3

Rtsultats expkrimentaux 2.3.1 Prksentation macroscopique. Dans la Fig. 4 (resp. 3,5), nous avons trace : - dans une partie, l’histoire de l’ecrouissage initial suivant la direction A ; 7 - dans la partie principale, les courbes obtenues ensuite dans les directions A, B et C. Nous observons que les courbes M.2.A, M.2.B, M.2.C ne gardent pas des positions relatives identiques. Dans la Fig. 6, nous montrons l’influence de l’amplitude de l’ecrouissage initial sur les courbes obtenues dans la direction A. On peut remarquer que la limite Clastique est &gale a 0,34 kg/mm2 pour M.l.A et a 69 kg/mm’ pour M.3.A. 11y a une tres forte expansion de la front&e Clastique. Les axes x, y sont diriges respectivement suivant l’un des diambtres et l’axe de l’eprouvette cylindrique. Tous les &tats de contraintes obtenus par un chargement uniaxial dans une direction du plan (x, y) faisant l’angle c( avec l’axe y, se trouvent sur la surface e&Jyy = rf, dans l’espace des contraintes cr,, , eYY,z,. . Nous avons en effet : (Txx = 0 sin’ a ;

--

2.0--

-.---

f7

YY

=

cTcos2

cd;

z

XY

=

sin CIcos ~1.

0

M.2.A M.2.8 M.2.C

1.o0

10.01I

I

0.05

I

I

0.10

0.15 E

FIG. 4. Monocrystal M.2. t Le monocristal M.l n’a pas btb bxoui initialement.

I

0.20

I

0.25

Etude de la front&e tlastique des monocristaux d’aluminium

128L

9,0-

7,0-

6.0-

1

a

,_-------c

_+-

S 5,0-

A

b-

/

.-

4,0+t

3.0

Point

7

d’orret

_ I

’

2

-*---

r/

. o * . b

M.3.A M.3.8 M.3.C

I i

0 0,03

0.21 c

/ 0 0.01

I 0.05

I O,I

I 0.15

I 0.20

I 0.25

E FIG. 5. Monocrystal

M.3.

Les points correspondant B la limite klastique o(a)? se trouvent sur une cow-be tracte sur la surface prkddente, now avons reprhentk sur la Fig. 7(b) les projections de cette courbe sur le plan zXY= 0 et sur le plan dXX+ oYr = 0 pour les 3 mon~~staux M.1, M.2, M.3. S’il y avait isotropie (du cristal et de l’kcrouissage), d’oti c(a) = (r, nous aurions

9.0 c B,O-

d3.A

kc 7.06sOa “0

d

5.04,0-

t-

3.0-.

0 0.01

0.05

O,I

0,15 *

FIG. 6.

t u(a) est track dans la Fig. 7(a).

Monocrystal M.

0.20

I282

W. K. NOWACKI

FIG. 7(a). Evolution

FIG. 7(b). Evolution

des projections

et J. ZARKA

de la limite tlastique

de la courbe

tlastoplastique

u(a) en fonction

de a.

sur les plans T,~ = 0 et err + byy = 0.

obtenu respectivement une droite (B,, + cyy = cf) et une ellipse [(oJ~)~ + (2r,J2 = c2 avec by = (fryy - a,,),/2]. Les courbes de la Fig. 8 sont nettement differentes de ce schema. La courbe relative a M.l (cristal non Ccroui) montre l’anisotropie initiale du cristal. Les courbes relatives a M.2 et M.3 montrent nettement que : - l’ecrouissage suivant la direction A (a = 0) entraine une elevation de la limite tlastique suivant les directions B, C, D et E (a = a/4,42, 746 et ~13); - mais cette elevation est moindre que celle obtenue suivant la direction A.

Etude de la front&e tlastique des monocristaux d’aluminium

1283

FIG. 8.

2.3.2 Pr&entation microscopique. Nous tenons compte a present du fait que nos tprouvettes sont des monocristaux. Nous calculons la cission reduite appliqued sur les systemes de glissement (si D est le tenseur contrainte, II la not-male unitaire du plan de glissement, h la direction unitaire du ghssement, on a z = h . on. Dans le cas d’un chargement simple, on pose z = mo; m est le facteur g~om~trique). L’~plitud~ de la cission reduite SW un systeme particuher peut atteindre une valeur fix&e a l’avance soit en considerant un chargement complexe, soit un chargement unidimensionnel dans une direction convenable. La realisation d’un chargement complexe uniforme dans un monocristal (pratiquement impossible) n’est done pas trbs importante. Dans le tableau nous indiquons les principaux resultats obtenus pour le monocristal M. Le cristal est suppose fixe. Les directions unitaires de chargements sont definies par rapport a lui, par leurs composantes a, j?, y (Fig. 8).

Pour chaque orientation : - nous indiquons le systtme principal de glissement et calculons le facteur geometrique m. -Les courbes experimentales donnent la limite elastique o, nous determinons ensuite par z = rnc la cission r&duite sur te syst&ne principal. L’unitt choisie est le kg/mm* soit N 10’ Pascal. Nous avons aussi effect& le calcul d’un rapport

oti r: est la cission reduite sur le systeme principal correspondant A l’o~entation A avant Ccrouissage ; zA, la cission apres ecrouissage ; ra la cission reduite apres ecrouissage sur le systeme principal correspondant a la direction de chargement ~1. Malgri: toutes les dispersions et l’anisotropie initiale constatee tres nettement sur le monocristal M.&t k reste ici compris entre 1,s et 1,7. Nous avons effect& les memes operations que pour fe cristal M sur 3 autres monocristaux (N, 0, P). Les r&&.ats t&s semblables A ceux du cristal M ne figurent pas dans ce texte. Les valeurs extremes obtenues pour k ont et6 1,3 et 2,5 avec une valeur tres frequente voisine de 1,5. t ~a limitablastique initiale varie suivant les directions dans le rapport de 1 A 4.

1284

W.

K.

NOWACKI

TABLEAU

Monocristal M.2

B.

J.

ZARKA

I.MONOCRISTAL A4

Monocristal iw.1

(i) Orientation A (0,22. -0.66, - 0,70) ( c(,

et

Y)

Monocristal M.3

(0,38, -0,65, -0,70)

(0,30, -0,63, - 0,70)

( a?

( a,

8,

Y)

/x

Y )

Systhme principal ; facteur gkomttrique (11 l),[iOl]; 0,43

(ill),[iol];o,43

(lll),[iol];0,43

Limite ilastique initiale o”=0,404~r0~0173 non i-croui c”, = 0,35; T”,= 0,150 ,* * Limite Clastique aprks Ccrouissage suivant la direction A CT= 3,85; tA 2 l,66

0 = 0,30. TA= 0,130

{ii) Orientation B (0,33, -0.94,0,07)

(r = 6.916; ~~ N 2.97

(971, -0,67,0,025)

(0,47,0&5,0,25)

Systkme principal ; facteur gtomCtrique (iii), [loll ; 0,41

(iii), [lio]; 0,35

(lli),[011];0,475

Limite klastique initiale aprks Ccrouissage suivant la direction A (r = 3,05; TBL l,O7

d = 0,47; TB= 0,193

D = 3,66; Ts “v I,74

Rapport k, = (T,,- T$/& - T”,) k, 2 l,6

k, 2. 1.7

(iii) Orientation C (0.15, - 0,73,0,66)

(0.76, -0-l 6,0.60)

(4 19, o&O,0*77)

Systkme principal ; facteur g~om~trique (I ii), [loll ; 0,467

(1 ii), [tie]; 0,457

(I ii), [iio]; 0,44

Limite Clastique initiale aprb tcrouissage suivant la direction A D = 0,998 ; TVN 0,456

cr = 2,67; 5c = I,17

0 = 3,73; 5c zz 1,74

Rapport kc = (TV - T~)/(T,- 7:) k, 2. 1.7

k, 2 1.5

Avant m&me de donner une interprttation de k, nous pouvons conclure que : -il y a durcissement non seulement pour le syst&me de glissement principal (lors de l’hrouissage initial) mais aussi pour les autres systkmes de glissement ; -cependant le durcissement est plus faible sur les systhmes latents que SW le systtme principal. 3. INTERPRETATION 3.1

3.1.1

DES RESULTATS

EXPERIMENTAUX

Rappels de Certains Elkments de la TMorie Physique des Dislocations

Nous rappelons bri~~ement les tldments fo~amentaux

de la thtorie (Cottrell [2] et

~riedel 133) Que reprdsente une dislocation. 7 Dans un cristal les dislocations rencontrkes sont les dislocations de translation caractkiskes par leur vecteur de translation H: vecteur de Burgers. Si le vecteur de Burgers est un multiple entier de la phiode du rkseau cristallin B

Etude de la front&e tlastique des monocristaux d’aluminium

1285

une certaine distance de la ligne (de l’ordre de quelques distances interatomiques) la structure est retrouvee parfaite ; la dislocation est dite parfaite. Si le vecteur de Burgers n’est pas un multiple entier, la dislocation est dite imparfaite. Une dislocation provoque dans le cristal des contraintes internes que l’on &value generalement en traitant le cristal comme un milieu homogene, elastique et isotrope. On peut dtfinir l’energie propre comme &ant Cgale a l’tnergie des deformations dues a la dislocation. Comment le diplacement de la dislocation permet-il d’interprdter la d&formation plastique? Le dtplacement d’une dislocation sur toute une section plane du cristal provoque

un d&placement relatif, entre les deux parties situees de part et d’autre de cette section, egal au vecteur de Burgers. 11est evident que ce deplacement, obtenu progressivement a l’aide de la dislocation, est plus facile a rtaliser que le deplacement en bloc de ces deux parties. 11faut cependant exercer des efforts pour deplacer ces dislocations. Comment se Gpercutent les efforts sur la dislocation? I1 est possible de definir une force

conventionnelle sur la dislocation. Elle se decompose en deux parties: l’une est due a la dislocation elle-meme, elle est appelte tension de ligne; l’autre est fondamentale, elle est due aux contraintes E independantes de la dislocation (contraintes appliquees exterieures), elle vaut par unite de longueur de dislocation : F = (H.b)At

(3.1)

La composante de cette force dans n’importe quel plan de normale unitaire n contenant le vecteur t, tangente unitaire a la ligne est donnee par : (8’) = (H . 5 . nl = JHinj&l G lH] . r

(3.2)

avec r = hinjaij, h = H/IHI vecteur unitaire. (r est, lorsque hini = 0, la cission reduite appliqde.) Comment sent distribubes les dislocations? Les observations au microscope electronique ont montrt qu’en general les lignes de dislocations sont en nombre tres important et dtcompodes en petits segments rectilignes allonges dans certaines directions et bloquts devant ou sur d’autres segments de dislocation. Pour les metaux du type cubique a faces centrees, elles se trouvent pour la plupart dans les plans {111) et leur vecteur de Burgers est du type 3 (101); les petits segments sont paralleles aux directions (101) (et plus rarement aux directions (010)). Quand une dislocation peut-elle 6tre dbplacte? Suppossons tout d’abord la dislocation isolte dans le cristal. Pour la d&placer, il faut que la force due aux contraintes appliquees puisse vaincre les actions des atomes sur la dislocation : c’est la force Peierls-Nabarro &, . La dislocation se trouve dans un cristal ou il y a de nombreuses dislocations. La force appliquee doit vaincre, en plus de la force de Peierls-Nabarro, les actions de ces dislocations.

3.1.2

Rappels de certains Gsultats thtoriques (Zarka [l])

Nous avons appele systtmes de dislocations, les petits segments de dislocations qui sont paralltles entre eux et ont mCme vecteur de Burgers (leurs plans de glissement sont done parallbles). Nous avons suppose pour chaque systeme, qu’il est possible de determiner le

W. K. NOWACKI et J. ZARKA

1286

nombre N de segments par unite de masse et leur longueur moyenne 1 et que les centres de ces segments sont repartis au hasard. Nous avons &value approximativement, lorsqu’une distribution de dislocations est don&e (N et 1 donnes pour chaque systeme) quelle est la force par unite de longueur ri exercer sur une dislocation pour lui permettre de se deplacer, dans son plan ou hors de son plan, sur une petite distance ou sur une grande distance, c’est-a-dire les interactions entre les systbmes. Nous avons effectue les calculs en admettant l’hypothbse classique Taylor [4], Saada [5]: dislocations infiniment longues dans un milieu infkri. Nous avons ponder6 ensuite les actions des dislocations pour tenir compte de leur longueur finie. Ces seuils s’expriment sous la forme : .fA = fpPN+ pIHAl c &$H,J,/(pN,JB)

(&endue si tous les systemes)

(3.3)

p est le module de cisaillement. /3,“,un coefficient d’interaction, BvaluC dans tous les cas. Darts le cas particulier oh seuls les plans (1 f 1> et les directions f (110) interviennent, en supposant que les segments de dislocations sont tous paralltles aux droites d’intersection de plans (1 1l> et que les differentes orientations sont Cquiprobables, nous avons pu definir un mecanisme de glissement en groupant les systemes qui ont mCme plan de glissement et mCme vecteur de Burgers. (N.l) caracterisait un systeme, (M, 1) (avec M = 6N) caracterise le mecanisme. Une formule moyenne analogue a (3.3) peut alors Ctre &rite : TA = j&+pIHj

]HI c ~~~(~.~.

1,) (&endue ti tous tes m~canismes)

(3.4)

Pour le seuil de grand glissement nous avons obtenu : - pour l’action du mecanisme propre S$ 2? $;

(3.5)

- pour I’aetion des mecanismes dont le plan est parallele au plan de glissement : SA”N &;

(3.6)

- pour l’action des mecanismes dont les plans coupent le plan de glissement : (_iliilorsque les vecteurs de Burgers sont paralltles).

ii, N & ou &

3.2

(3.6)

Inter~r~tution des ~~s~~tuts ~x~~ri~entu~x

Supposons qu’initialement, tous les mecanismes de glissement (ou systtmes de glissement) soient equivalents : c’est-a-dire qu’ils aient le meme couple (X0, 1,) et par consequent m&me seuil de deplacement _&.t Supposons de plus que pendant la deformation plastique un seul mecanisme ait Cti actif,$ designons le par l’indice A. En appliqu~t la formule (3.5) nous avons pour le mecanisme A apt-es I’ecrouissage initial : J;1 =

~~+c~IHI~~~[~(PJ~~A~~)-~J(PJY;,~o)I,

(3.7)

et pour les autres mtcanismes, designts par l’indice B r~ =

3+dH126a[J(pJlr,1~)-J(pJY-110)l.

(3.8)

TCette hypothkse n’est pas confirm&e en g&n&al (monocristal M.l). Mais Ncrouissage assez important effect& dans la direction A rend pratiquement ntgiigeable la non tquivalence initiale observbe des diffkrents systbmes de glissement. $ Lorsque les d6formations deviennent importantes, il est evident que plus d’un mkcanisme est actif.

Etude de la front&e tlastique des rnonocristaux d’aluminium

Formons a present le rapport kl, = -

1287

; now trouvons :

.L--xl

k$$.

(3.9)

B

En donnant a 62 la valeur, i, a SA,les valeurs A, & et & kk peut prendre les ualeurs 2, 15 et 2,5. Lors d’un essai a vitesse de deformation de l’ordre de lo- 5 a lo-‘/see, la force appliquee sur la dislocation, donnee par la formule (3.3), est pratiquement Cgale au seuil de grand glissement f; nous avons FA = IHJ rA 1: j], et FB = IHJ. zB 11 fB. Le rapport k, obtenu experimentalement doit done Ctre Cgal au rapport klBdtfini dans ce paragraphe. L’accord entre les valeurs thioriques et expbimentales obtenues semble correct. Lorsque plusieurs mecanismes interviennent durant la deformation plastique initiale, le rapport kB, pour un mecanisme B ayant deja CtCactive, se rapproche de l’unitt ainsi que quelques calculs simples peuvent le montrer. 4. CONCLUSIONS Les experiences que nous avons presenttes ici nous ont permis de prtciser la front&e Clastique d’un cristal et de caracteriser les interactions entre les systemes de glissement. L’accord que nous avons pu observer entre les resultats thtoriques et expkrimentaux semble satisfaisant. REFERENCES [l] [2] [3] [4] [5] [6j [q [8]

J. ZARKA,These, Paris, Memorial de l’Artillerie Francaise, T.44,26me Fast. (1970). A. H. COTTRILL, Dislocations and Plastic Flow in Crystals. Oxford University Press (1953). J. FRIEDEL, Dislocations. Pergamon Press (1964). G. I. TAYLOR, Dans Scientific Pupers of Sir G. I. Taylor. Cambridge University Press (1958). V. SAADA, Publications de I’IRSID, S&e A, No. 251 (1961). H. D. But, These, Paris (1969). J. MANDEL, ht. J. Solicis Struct. 1, 1 (1965). W. SZCZEPINSKI, Bull. Acad. PI. Sci. 11, No. 12 (1963).

(Received 4 November

1970)

Abstract-The elastic limits in an aluminum monocrystal are explored experimentally in different directions after cold working in a particular direction. Results are given from the macroscopic point of view and are interpreted microscopically as interactions between gliding systems. It is verified that a theoretical formula takes account reasonably well of these interactions. A&xpa~--Mccnenylorca 3KcnepnMeHTanHo npegenb1 ynpyrocru B aJIIOMHHHeBOM MoHoKpuCTanne, B pa3HbIX HanpaBneHUaX, nocne XOnOAHOfi o6pa6orKu B Onpene.P&HHOM HalIpaBneHHH. AaIOTCR pe3YJW TaTbI, HCXOAR U3 MaKpOCKOIIHWCKOfi TOYKW 3peHHa A o6cyxnaroTcx MHKpOCKOIIEiYeCKH, KaK B3aUMOAefiCTBWR MelKjJy CHCTeMaMH CKOJIbZUKeHHR. OKa3bIBaH)TCR, 'IT0 TeO~TWeCKW +OpMyJlbI YWTblBaRJT HaAnemawiM o6pa3oM ZITHB3a&4Mo&hTBHx.