Gittertheoretische behandlung einer schraubenversetzung in alkalimetallen

J. Phys.

Chem. Solids

Pergamon

Press 1958. Vol. 6. pp. 195-204.

GITTERTHEORETISCHE

BEHANDLUNG

SCHRAUBENVERSETZUNG CHR.

IN

LEHMANN*

Institut fur theoretische (Received

EINER

ALKALIMETALLEN

und G. LEIRPRIRD*

Physik, Universitgt 14 December

Giittingen

1957)

Zusammenfassung-Eine Schraubenversetzung in Alkalimetallen (in Richtung einer Wiirfelkante) wird mit gittertheoretischen Methoden behandelt. Aus einem Variationsansatz fiir die Energie wird die Versetzungsweite ermittelt und mit dem Peierls’schen Model1 verglichen. Die Versetzungs-Weite c ist im Gegensatz zum Peierls’schen Model1 (u = a/4) stark ortsveriinderlich : a/5 in der stabilen, a/9 in der labilen Lage (a kubische Gitterkonstante). Durch die starke Ortsabhlngigkeit der Versetzungs-Weite wird das Ergebnis fiir die Peierlskraft 7p stark modifiziert : 7r, = 9 x lo-%,, im Peierls’schen Modell, 4 x lO_sc,, nach der entsprechenden gittertheoretischen Rechmmg (cu Schubmodul). Abstract-A screw dislocation in alkali metals (in the direction of the edge of a cube) is treated by lattice-theory. The dislocation width is determined a variatonal principle for the energy, and is compared with the Peierls model. The dislocation width (r, unlike the Peierls model (u = a/4) varies considerably with position : u/5 in the stable, u/9 in the unstable position (a is the cubic lattice constant). The resulting value of the Peierls force 7p is modified considerably by the strong position-dependence of the dislocation width : TV= 9 X 10%~~ in the Peierls model, 4 X lo-%,, by the corresponding calculation using lattice theory (cd4 modulus of rigidity).

EINLEITUNG

Es handelt sich dabei einmal urn das lineare elastische Modell, das den Kristall als elastisches Kontinuum mit der Versetzung als Eigenspannungsquelle(r*s*s), zum anderen urn das Model1 von PEIERLS(1*3*4),in welchem such die Gitterstruktur des Kristalls naherungsweise beriicksichtigt wird. Fur die eigentlich erwtinschte rein atomistische Behandlung fehlt jedoch eine ausreichende Kenntnist der Wechselwirkung zwischen den Gitterbausteinen. Bei Metallen ist dariiber hinaus das Verhalten der Leitungselektronen ein schwieriges Problem. Nun ist in Alkalimetallen eine Versetzung miiglich (wenn such nicht beobachtet), deren elastische Losung unter Berticksichtigung der Kristallanisotropie eine bemerkenswerte Eigenschaft hat : Das Verschiebungsfeld 1Hsst das Volumen der Elementarzelle (Abb. 1) konstant, oder anders ausgedrtickt, es liegen reine Scherungen vor. Es ist

DIE als Versetzungen bezeichneten eindimensionalen Stijrungen in Kristallgittern haben wahrend der letzten Jahre eine stets zunehmende Bedeutung bei der Klarung der plastischen Verformung von Kristallen erlangt. Fast jede solche Verformung kann man mit dem Entstehen und Wandern von Versetzungen in dem aus Atomen oder Ionen aufgebauten Kristallgitter deuten. Jedoch sind noch viele Probleme ungelost, besonders solche, die sich mit der einzelnen Versetzung befassen. So ist die Frage nach der Struktur des Versetzungszentrums sowie die damit zusammenhangende Frage nach der kleinsten Schubspannung 7p (Peierlskraft), unter der sich die Versetzung bewegen kann, trotz einiger theoretischer AnsHtze nur sehr unbefriedigend beantwortet. Die Voraussetzungen, von denen diese Modelle ausgehen, sind namlich nicht oder nur sehr schlecht erftillt. l

t Abgesehen von den Alkalihalogeniden, bei denen HUNTINGTON(~)die Energie des Versetzungskems fiir Natriumchlorid berechnet hat.

Jetzt : Lehrstuhl

Reaktorwerkstoffe,

fur physikalische Grundlagen der Technische Hochschule Aachen. 195

196

CHR.

LEHMANN

und

dies eine Schraubenversetzung parallel zu einer Kante der kubischen Elementarzelle, deren Burgersvektor den Betrag einer Gitterkonstanten hat

[OOll/ ABB. 1. (Kubisch

Kubische Elementarzelle der Alkalimetalle raumzentriertes Gitter mit der Gitterkonstanten n)

(s. Abb. 2b). Fur eine gittertheoretische Behandlung liegt daher die Annahme nahe, dass such hier die Verschiebungen nur reine Scherungen verur-

G.

LEIBFRIED

sachen. Dann ist es moglich, die zum Erzeugen der Versetzung aufzuwendende Energie (Versetzungsenergie) aus den Verschiebungen gittertheoretisch zu berechnen. Diesen Tatbestand benutzen wir, urn umgekehrt iiber die Energie die Struktur zu bestimmen. Dazu machen wir fur die Verschiebungen einen durch die Losung im elastischen Model1 naheliegenden und physikalisch noch zu begriindenden Ansatz, der die Versetzungswrite als freien Parameter enthalt. Im Ausdruck fur die Gesamtenergie betrachten wir diesen Parameter als Variationsparameter und bestimmen ihn so, dass die Gesamtenergie minimal wird. Neben der die Struktur bestimmenden Versetzungsweite lasst sich such die Peierlskraft ermitteln. Die gittertheoretisch gewonnenen Re. sultate lassen sich mit den Ergebnissen des Peierls’schen Modells vergleichen. Zunachst

01

01

erode aus Ebene ~3 Gittergerade ous Ebene A

I

’ (4

(b)

ABn. 2. Kubisch raumzentrierter Kristall. (a) Ohne Versetzung; (b) Mit Schraubenvcrsetzung (Burgersvektor b = (O,O, a)). D ie oberen beiden Bilder zeigen den Kristall mit den Durchstosspunkten der Gittergeraden der Ebenen A und B durch die Kristallebene .z = 0 bzw. durch die beim Erzeugen der Versetzung daraus entstandene Schraubenflache. Die Pfeile deuten die ausseren Schubkrafte an. Die unteren beiden Bilder zeigen die Lage der Gitterbausteine (Ionen) in den Ebenen A und B, die der Gleitebene benachbart sind. Die Versetzungsgerade geht durch den Koordinatenursprung.

GITTERTHEORETISCHE

BEHANDLUNG

werden wir die Ergebnisse des elastischen und des Modells von Peierls angeben. 1. DAS

ELASTISCHE

Modells

Im Falle der betrachteten Versetzung werden die der Elastizitatstheorie sehr Differentialgleichungen vereinfacht(‘J*‘) Das Verschiebungsfeld

SW = w-)7+-), w(r)), welches die Verschiebung &es im unverspannten Material an der Stelle r iiegenden Punktes beschreibt, hat eine einzige von Null verschiedene Komponente, die nur von x und y abh%ngt und fiir die Lage der Versetzungen im Ursprung (Abb. 2b) die Form hat :

w(x,y) = $arctgz

=

-,

a 4 -

X l

y

fiiry>O

a

TarctgN fiiry < 0 7r Y (1.1)

(Der Arcustangens ist dabei zwischen --r/2 und $7112 zu nebmen.) Die von Null verschiedenen Verzerrungs- bzw. Spann~~skomponenten sind

Qxz =

--

a 457 UC44

--

a

Y

-_.-fCx2+y2

xz+y2 ' EY= =-z ac44

y

Dxz== ---; 27r xz+y2

(1.2a)

X

-_--

(1.2b) 2V xa+y2

%-

Dabei sind a die Gitterkonstante und c,, der Schubmodul fiir Scherung parallel zu einer Wtirfelflache in Richtung einer Wiirfelkante. Man iiberzeugt sich anhand von (1.2), dass fiir Abstiinde li 6 a/2 vom Ve~etz~gszentrum die auftretenden Verzerrungen grosser als 15 Prozent sind und daher nicht mehr mit der linearen Theorie behandelt werden dtirfen. Im Versetzungskern ist die eiastische Lijsung also sicher falsch. Eine bemerkenswerte Tatsache ist es, dass fiir diese Schraubenversetzung trotz der Anisotropie bei Alkalien nur reine Scherungen, d.h. keine Volumdilatationen auftreten ; denn es ist

div s(r)

E

0.

Fiir die Kraft einer Busseren Schubspannung 7a = a& (die entsprechenden Schubkrlifte sind in Abb. 2b angedeutet) auf die Ltigeneinheit der Versetzung ergibt sich als einzige von Null verschiedene Komponente

(1.3)

197

SCHRAUBENVERSETZUNG

weiche die Versetzung in der Gleitebene Richtung zu bewegen versucht. 2. DAS

MODELL

--“-“arctgz i 4 2rr

EINER

MODELL

VON

y = 0 in x-

PEIERLS(‘~8+)

Man betrachtet den Kristall oberhalb der Gitterebene A bzw. unterhalb der Gitterebene B (Abb. 2) als elastisches Kontinuum und macht fur die Wechselwirkung zwischen A und B einen vom Elastizitatsgesetz abweichenden nicht-linearen Ansatz, der die Periode des Gitters enthalt. Die Wechselwirkungskraft muss die Kr%fte an den Halbra~obe~~chen A und B kompensieren. Die als ,,Peierls’sche Inte~aigleich~g“ fiir die Verschiebung WA (x) in der Ebene A bekannte Gieichgewichtsbedingung Iautet :

4-m ~44 d ,,%i(X'+rf s -m

dx

c44

= -

d-x

(Das Integral ist als Cauchy’scher stehen.) Die Abb. 2b entsprechende

WA(X)= - w&v) = -

sin47i.wA(x!

_”4

(2.1)

a

7r

Hauptwert zu verLosung ist :

-? arctg x$ 2%-

(2.2)

mit der Ve~etz~~sweite~ CI = a/4 und der beliebigen Lage 9 des Versetz~gszent~s auf der u-Achse. In den Ebenen A und B stimmt diese LGsung mit der eiastischen Losung (1.1) iiberein. Man kann zeigen, dass dann beide Losungen in den elastischen Halbr&rmen identisch sind. Im elastischen Model1 hlngt die Versetzungsenergie nicht vom Ort 1) ab; die Versetzung kann also schon bei beliebig kleiner Schubspannung bewegt werden. Im Model1 von Peierls bingegen lndert sichdie Energie mit dem Ort, da die Wechselwirkungsenergie EAB zwischen den Ebenen A und B von dem Ort der Versetzungslinie abhangt :

7rsinh77 49 cash W- cm a a2C44 w--&

1* (2.3) i1+2e+.cos~ a

Der Verlauf von Ene ist in Abb. 3 dargestellt. Die Periode ergibt sich zu a/2 wie es sein muss, da-w-ie man sich anhand von Abb. 2b leicht iiberzeugt-nach einer Verschiebung der Versetzung urn a/2 die gleiche Struktur vorliegt. Im sonst spanmmgsfreien Kristall liegt die Versetzung in einem Minimum der Energie. Wird sie durch eine * Die Versetzungsweite Q ist definiert als derjenige Abstand vom Versetzungszentrum, fiir den das Argument des Arcustangens in der Verschiebungsfunktion re.~ bzw. rug gerade Eins ist.

198

CHR.

LEHMANN

von aussen angelegte homogene Schubspannung r” ausgelenkt, so wirkt die rticktreibende Kraft (pro LPngeneinheit)

und

G.

LEIBFRIED

Wir versuchen deshalb eine rein gittertheoretische Behandlung der betrachteten Schraubenversetztmg, die auf jede Kontinuumsvorstellung und damit auf die Hilfsmittel der Elastizitltstheorie verzichtet.

(2.4)

3. DAS GITTERMODELL A. Das Verschiebungsfeld

3. Verlauf der Wechselwirkungsenergie E_,,B in Abtingigkeit von der Lage des Versetzungszentrums. ABB.

die im Gleichgewichtsfall von der durch die Schubspannung bewirkten Kraft (1.3) kompensiert wird. Im Gleichgewicht muss also sein

aTu=_IzEABo*

P-5)

4

Die Mindestschubspannung, such ,,Peierlskraft“ genannt, die notwendig ist um die Versetzung durch den Kristall au bewegen, ist

Q = Max(+)

= 2e-n . c44= 9 + 10-2~~~.

Die Gleichungen (2.1) und (2.3) enthalten die entscheidende Annahme, dass die Verschiebungsfunktion co* (x) langsam ver5nderlich ist, oder anders ausgedtickt, dass die Versetzungsweite gross ist gegen die Gitterkonstante a. Das ist jedoch, wie die LBstmg (2.2) zeigt, nicht erfiillt. Auf den HalbraumoberAlchen treten Verzerrungen von 30 Prozent auf, was die Giiltigkeit des Peierls’schen Modells, wenigstens im vorliegenden Fall, fragwi_irdig erscheinen l&t.

Wir gehen aus von der rein elastischen L6sung (1 .l). Diese Lijsung besteht aus einer einzigen Verschiebungskomponente mit verschwindender Divergenz. Betrachtet man nun das im idealen Kristall (Abb. 2a) aus den zur z-Achse parallelen Geraden aufgebaute Gitter, so ist daher bei einer gittertheoretischen Behandlung die Annahme naheliegend, dass bei Erzeugung der Versetzung diese Gittergeraden erhalten bleiben und nur in ZRichtung gegen ihre Ausgangslage verschoben werden. Nattirlich wird man daran denken, dass sich such der gegenseitige Abstand Hndem kann und so Dichteanderungen im Kristall hervorgerufen werden. Doch wegen der kleinen Ausdehnung der Ionenriimpfe in Alkalien kann man davon wahrscheinlich absehen. Als Ansatz fur unser Verschiebungsfeld eignet sich daher die elastische Liisung, in der wir jedoch die Versetzungsweite o (in (1 .l) ist o = a/4 fest !) noch offen lassen. Das bedeutet: Wahrend in der elastischen Lijsung das Verschiebungsfeld im ganzen Raum durch eine einzige Singularitat im Ursprung beschrieben wird (Abb. 4a), wollen wir die Verschiebungen in den Gitterhalbraumen oberhalb der Ebene A bzw. unterhalb der Ebene B durch je eine Singularitft beschreiben (Abb. 4b). In Abstlnden von der Versetzungsgeraden, die gross gegen die Gitterkonstante sind, sind die Verschiebungen w

ABB. 4. Singularitaten, welche das Verschiebungsfeld in den HalbrPumen des Alkalikristalls beschreiben. (a) Eine Singularitiit fiir beide Halbriiume im elastischen Modell; (b) Je eine Singularitat fiir jeden Halbraum im Gittermodell. (Die Geraden

durch

die Singularitaten Verschiebung).

sind

Linien

glejcher

GITTERTHEORETISCHE

BEHANDLUNG

in unserem Ansatz identisch mit den Verschiebungen der elastischen L&sung. ~de~ngen von Q haben nur Einfluss auf die Verschiebungen im Versetzungskem. Unser Ansatz unterscheidet sich also von der elastischen Lasung nur in der unmittelbaren Umgebung der Versetzungslinie. Die im elastischen Model1 kontinuierliche Funktion w hat in der gittertheoretischen Beschreibung eine Bedeutung nur an den Durchstosspunkten der Gittergeraden. Das Verschiebungsfeld an den Orten (x, y), an denen sich Gittergeraden befinden, ist dann bei beliebiger Lage q des Ve~etzungszentrums auf der x-Achse w(x,y,?j) = -

_“- 2 4

arctg

%r

X-?l yfa-a/4

.. fury’o

(3.la) und entsprechend w(x,y,?))=

-“4

x-v

2 arctg 27 y--“+a/4

fiiry
EINER

SCHRAUBENVERSETZUNG

199

nommene negative Ladungsdichte der Leitungselektronen. Beim Erzeugen der Schraubenversetzung werden die Gittergeraden Starr in ihrer Richtung verschoben. Die Energieeigenen zunahme des so deformierten Gitters, die Versetlasst sich ohne grundsitzliche zungsenergie, Schwierigkeiten berechnen. Dieser gliickliche Umstand, der leider nur bei den Alkalimetallen vorliegt, ist der Tatsache zu verdanken, dass die Energie dieser Verformung praktisch nur elektrostatischer Natur ist. Die Wechsel~rkung (Uberlapp) der Ionenriimpfe kann vernachl~ssi~ werden, denn deren Durchmesser ist hinreichend klein gegen den Abstand nPchster Nachbarn.” Energieanteile, die vom Volumen der Elementarzelle abhtigen und quantentheoretisch zu berechnen war-en, entfallen, da das Volumen der Elementarzelle erhalten bleibt. Die Versetzungsenergie ist die Differenz zwischen der Energie des Gitters im Endzustand (Gitter mit Versetzung) und der Energie im Ausgangszustand (ideales Gitter). Wir berechnen die Energieanderung zunachst fiir ein Volumen Vo,

ABB. 5. Verschiebungen der Gittergeraden in der Schraubenversetzung. (Die P&e

sind die D~c~to~p~e xy-Ebene).

Abb. 5 zeigt die Durchstosspunkte der Gittergeraden durch die xy-Ebene und fiir gleiche Abstinde y von der xx-Ebene die Verschiebungen der Gittergeraden. B. Die Versetzungsenergie Wir stellen uns also den Kristall vor als eine Anordnung von parallelen Gittergeraden. Diese tragen in Abstkden a positive Ionenladungen e und sind eingebettet in die als konstant ange-

der Gittergeraden durch die

das auf die Lange a einer ganz bestimmten Gittergeraden entfillt (Abb. 6). Die Gesamtenergie ergibt sichdanndurch Summation fiber allederartigen (nicht gleichwertigen!) Volumina. Der Einfachheit halber legen wir das Koordinatensystem so, dass der Ursprung mit dem positiven, * Bei Natrium ist der Abstand niichster Nachbarn 3,7 A,

1,g A.

der

Ionendurchmesser (nsch

Goldschmidt)

CHR.

200

LEHMANN

als Punktladung betrachteten% Ion im Vohrmen 5’0 zusammenfallt. Bezeichnen wir mit p bzw. @ die elektrostatische Ladungsdichte bzw. das elektrostatische Potential im verzerrten Gitter und rnit

und G. LEIBFRIED lluft und somit p+(r)= p,(r)= e&(r)gesetzt den darf,f B s +-XW(V,)

wer-

y(r)) do,

so dass schliesslich

ABB. 6. Zur Berecbnung des Beitrags vom Volumen TO zur Versetzungsenergie. (Ye 1st ein Quader mit der Grundfliiche a”/2 und der Hijhe a, der auf die L%nge a einer einzelnen Gittergeraden entflllt).

p bwz. ‘p die gleichen Grossen im idealen Gitter, so ist die Energie~nderung im Volumen Yo

Die Ladungsdichte setzt sich aus den positiven Punktladungen und der homogenen negativen Ladungsverteilung der Elektronen zusammen :

p(r) = p+(r) +

P- =

p+(r) -

Zur Bestimmung der Energie&-rderung im Volumen PO, und entsprechend fur jedes andere gleichartige Volumen, muss man also die Differenz der Potentiale fiir verzerrtes und unverzerrtes Gitter am Ort des Ions in dem betrachteten Volumen berechnen. Dies kann man such so ausdriicken, dass man das Potential fur die Differenz der Ladungsverteilungen des verzerrten und des unverzerrten Gitters fiir den Gitterpunkt im betrachteten Volumen zu berechnen hat, der beiden Gittern gemeinsam ist. Bei der Bildung der Differem der Ladungsverteihrng fgllt aber die konstante negative Ladungsdichte der Elektronen heraus und es bleiben die Ionenladungen e an den verzerrten Lagen und die Ladungen --e an den unverzerrten Lagen stehen. Das Potential # einer einzelnen dieser ,,Dipolgeraden”, die urn ~0 gegeniiber dem Aufpunkt versetzt ist (Abb. 7) und den Abstand R hat, lbst sich nach einer Methode von MADELUNG(g~ berechnen. Es ergibt sich

e. x

Damit wird

- 4 k J$?W0

2 27rv cos~(~o+S)_COS-Zo

l

a

a

, i

cp(r)> &. Aufpunkt (Jon im VolumenVo)

Das zweite Lltegral verschwindet, da p und $ beide ABB. 7. Zur elektrostatischen Berecbnung periodisch I&rings der Gittergeraden sind und keinen zungsenergie. konstanten Ante3 besitzen. Das erste Integral erl Ion im unverzerrten Gitter. gibt, da die Integration nur iiber das Volumen VO 0 Ion im verzerrten Gitter. J * Fur die folgende Rechnung ist es belanglos, ob man mit einer kugelfijrmigen oder punktfijrmigen Ladungsverteihmg eines Ions rechnet.

Verschiebung punkt.

der Gittergeraden

+ 6(r) ist die Dirac’sche

der Verset-

relativ zum Auf-

Deltafunktion.

GITTERTHEORETISCHE

BEHANDLUNG

EINER

SCHRAUBENVERSETZUNG

201

wobei s der Abstand zwischen verzerrter und unschranken und erhalten fur den Energiebeitrag verzerrter Lage eines Ions ist, wenn man die Vereiner benachbarten Dipolgeraden zerrung vom Aufpunkt aus sieht. Ks ist eine modifizierte Hankelfunktion (tabelliert bei JAHNKE$) = ~Ko(~~2)~l-cos~~. (3.3) EMDE~~)). Sie fallt ungef%hr exponentiell mit wachsendem Argument ab. Der auf das Volumen Vs entfallende Anteil der Der entsprechende Energiebeitrag pro Lange a Versetzungsenergie oder, was dasselbe ist, die Verist dann setzungsenergie pro Lange a einer bestimmten Gittergeraden, ergibt sich durch Addition der geraden q(R ~~,~)=~~~o[;Rjx Energiebeitrage der vier benachbarten Dipol2 x cos qzo+ a 1

27Tv s) - cos -,Zs . a I

(3.2)

Die Gesamtenergie der Versetzung erhalt man schliesslich durch Summation. Sie ergibt sich zu

Wegen des raschen Abfalls von Ks geniigt es, nur die vier nachsten Geraden zu beriicksichtigen.”

E(o,q) = A&+

$+-‘“‘+ n=O

C&n) n=O

(3.4)

a

-m--7) $m+l)-7 2 +arctg arctgo 0

(3.4a) 1))

a -m-v 2 arctg-a -?z+a 2

i(m+l)-7

1)

arctg

(3.4b) ;(“+l)+o

Ii ’

,

Fiir nlchste Geraden ist immer R = a/l/2 und as = a/2. Im folgenden kiinnen wir uns wegen des praktisch exponentiellen Abfalls der hijheren Glieder auf das erste Glied der Summe (3.2) be* Dieses Verfahren zur Berechnung der elektrostatischen Energie lasst sich insbesondere such auf homogene Scherungen enwenden. So kann man den Schubmodul cI1 theoretisch ermitteln. Da c,, schon gut durch diese niichsten Nachbargeraden bestimmt wird, ist die obige Nlherung gerechtfertigt.

(3.49

Dabei bedeuten o die Versetzungsweite und 71die Lage der Versetzung. Bevor wir uns dem Variationsproblem zuwenden, untersuchen wir diesen Ausdruck fur die Energie nach Symmetrieeigenschaften. Man erhalt? (1)

qo, 71)= Jqo, rl+a/2).

(3.5)

ie einfachen Beweise wollen wir hier nicht auffi.il!rE.

202

CHR.

LEHMANN

Die Energie ist mit a/2 periodisch (2)

in 17.

E(e, rl) = E(o, -7).

Die Energie ist eine gerade Funktion (3)

E(e, a/2+v)

und

(3.6)

= E(o, a/2--r)).

$(“,T)

(3.7)

7 = 0 und r] = a/4.

Die Entscheidung, was Maximum und was Minimum ist, kann erst spater getroffen werden. Anhand von Abb. 5 macht man sich ieicht klar, dass diese beiden Lagen die einzigen Symmetrielagen in dem betrachteten Interval1 sind und somit keine weiteren Extrema der Energie auftreten kijnnen . Die obigen Aussagen erh& man zunachst nur fiir konstante, d.h. q-unabhangige Versetzungsweite cr. Es zeigt sich jedoch, dass o von n abh%ngt. Nun kann man weiter zeigen, dass o(r)) = 6(--r]) und

Versetzung hergeleitet. Den Variationsparameter bestimmen wir nun so, dass die Gesamtenergie minimal wird. Das Variationsproblem lautet also

von T.

Diese Symmetrieeigenschaft, die aus (1) und (2) direkt folgt, besagt zusammen mit (3.5), dass mit E(a, 11)fiir 0 < 77 < a,l4 der Verlauf von E(o, 711) fiir - co < 71 < +oo bekannt ist. Es geniigt daher fiir die spateren Rechnunge~, E(cr,~) ohne Beschrlnkung der Allgemeinheit nur in diesem Interval1 zu betrachten. Extrema der Gesamtenergie liegen in dem nach (3) allein interessierenden Interval1 0 < r 6 a/4 bei (4)

G. LEIBFRIED

O(T) = o(r]+a/2).

Die erste Beziehung ergibt sich durch Spiegelung des Gitters mit Versetzung an der yz-Ebene und der daraus folgenden Gleichheit der Strukturen fiir 9 und -q, die zweite durch Translation der Versetzung urn a/2 in x-Richtung und der ebenfalls daraus folgenden Gleichheit fur die Strukturen bei v und 77+a/2. Also ist E(e, 77)= E(e(?l), rl) = W = E( -7) = E(Y+Q/~) und die obigen fiir konstantes e durchgefiihrten uberlegungen gelten such fiir T-abhangiges CT. C. Die Vevsetzungsstruktur Aus einem Ansatz fiir das Verschiebungsfeldmit der die Versetzungsstruktur beschreibenden Versetzungsweite als freiem Parameter-haben wir den Ausdruck (3.4) fur die Gesamtenergie der

= 0.

Die L&sung dieser Gleichung

(3.5)

ist allgemein

5 = a(q). Wir wollen die Bestimmung van d aus (3.5) nur fiir q = 0 und q == af4 durchfiihren. An diesen Stellen liegen namlich die Extrema der Versetzungsenergie im lntervall 0 < 71Q a/4 (auf das wir nach (3.5) und (3.7) unsere weiteren Betrachtungen beschranken dtirfen), und fiir die griissenordnungsmassige Bestimmung der kritischen Schubspannung kommt es nur auf die Differenz zwischen Maximal- und Minimal-Energie an, die sich aus e(O) und a(aj4) ermitteln l&St. Den Ausdruck (3.4) fur die Gesamtenergie kann man fiir 17= 0 und 71= a/4 vereinfachen, da in diesen Lagen 5’s@) = Ss@f ist : E(a,rf) = A4+2/&(0’+2A

O” &$m’ (3.6) c n-1

fiir 7 = 0 bzw.

7 = a/4.

(Das Herausziehen des nullten Gliedes aus der Summe geschieht im Hinblick auf die folgende Rechnung). Die Summenglieder im ersten und zweiten Term von (3.6) werden unter der spater durch das Ergebnis gerechtfertigten Annahme 2rr/a < 112 nach Potenzen von 2crla bis zu quadratischen Gliedem entwickelt. Der entstehende Fehler ist vernachlassigbar klein.* Die Glieder mit kleinem /ml werden jeweils einzeln addiert und der Rest der Summe wird durch ein Integral ersetzt. Man erhalt fiir q=O

:

&+2&(s)

= 6,18-1,30(2cr/a)+4,49(2o/a)s

und fiir 7 = a/4 : &+2S$3) Im Ausdruck

= 7,44-6,59(2a/a)+8,72(20/u)2. fur 5’s@@(vgl. (3.4~)), im dritten -

* Der Beitrag des niichsthijheren Entwickl~~gliedes ist fiir 9 = 0 kleiner als 1 o/ound fi.ir v = ai4 etwa 4%

GITTERTHEORETISCHE

BEHANDLUNG

Term von (3.6), kann man fur II > 1 n&erungsweise N+n durch N+n+l ersetzen. Da die Argumente der Arcustangenten sich mit dem Summationsindex m nur langsam Pndern, ist die Differenz der Arcustangenten durch den Differentialquotienten darstellbar. Entwickelt man noch den Cosinus und bricht die Reihe nach dem quadratischen Glied ab (der entstehende Fehler ist such hier vernach~ssigbar), so kann man die Summation iiber m exakt ausfiihren. Dazu muss man diese Summe durch ein Umlaufinte~al in der komplexen Ebene ausdriicken, das sich mit den iiblichen Methoden der Funktionentheorie auswerten lbst. Die Summe iiber zz wird durch ein Integral ersetzt. Da die Gesamtenergie divergiert, erstrecken wir die Integration zunlchst nur bis zu einer endlichen oberen Grenze L. Physikalisch wiirde dies bedeuten, dass der Kristall in yRichtung nur eine endliche Ausdehnung besitzt. Bei der Variation f;illt diese obere Grenze heraus. Man hat schliesslich E(cr, 0) = A(6,18--1,30(25/~)+4,49(2~/u)s~+ +A

-j&(i In &)

(3.61)

und E(o, a/4) = A{7,44-6,59(2a/a)+8,72(2o/a)s)+ +A

-$k[ In &).

EINER

durch die maximale Steigung des Funktionsverlaufs E(T). Zur AbschPtzung der Grijssenordnung der kritischen Schubspannung geni_igt es, die maximale Steigung in E(T) zu ersetzen durch eine Gerade, welche durch die Funktionswerte der EnergiebenachbarterExtremagelegtwird*(Abb.8).

I

I

-3014 -af2 -44

I

I

al4

0

Setzt man diese Energien in (3.5) ein, so ergibt sich schliesslich fiir die gesuchte Versetzungsweite $9 = 0) = 0,122a M u/9

(3.7a)

~(77= a/4) = 0,20&z w a/S.

(3.7b)

und

D. Die kritische Schubspannung Die Versetzungsenergie als Funktion des Ortes der Versetzung auf der x-Achse Bndert sich mit der Periode a/2. Das haben wir bei der Untersuchung von E(cr, 711)im Abschnitt B festgestellt. Die Versetzung hat also definierte Gleichgewichtslagen. Es ist daher eine aussere Mindestschubsp~ung notig, urn sie aus einer solchsn Lage zu entfemen und durch den Kristall in x-Richtung zu bewegen. Diese kritische Schubspannung wird bestimmt

a/2

3af4

F q_

r1001 ABB. 8. Periodische Anderung der Versetzungsenergie mit dem Ort 7 der Versetzung. Berechnet werden nur die Energiewerte fiir die Extrema. Die maximale Steigung wird durch eine Gerade ersetzt, die durch benachbarte Extremalwerte geht. Man muss sich vor Augen halten, dass zwar bei dem unendlich ausgedehnten Kristalldie Gesamtenergie, bezogen auf die LIngeneinheit der Versetzung, divergiert, aber die durch die atomistische Struktur des Gitters bedingte Anderung 26E der Energie mit dem Ort der Versetzung endlich ist. Die Differenz zwischen maximaler und minimaler Energie ergibt sich zu 26E = E(rl = O)-E(q

Wb)

203

SCHRAUBBNVERSETZUNG

mit A=

= u/4) = 0,04A

(3.8)

7GJ(42,.

Im Gleichgewicht ohne aussere Krafte liegt die Versetz~g in einer Energiemulde bei 77 = a/4. Wird sie aus dieser Ruhelage ausgelenkt, so wirkt auf sie eine riicktreibende Kraft in x-Richtung vom Betrage K = 1&?i’/i?~~,deren Maximalwert in roher N%herungt K

26E -max - u/4

ist. Das bedeutet fur die Peierlskraft T.@

=

z&ax.

(3.9) rp : (3.10)

* Die Steigung. der Geraden ist eine untere Grenze fiir die maximale Steigung in E(s). t Wenn der Verlauf van E(q) in Abb. 8 sinusfijrmig w&e, wiirde K,_ urn den Faktor r/2 gtiisser.

204

CHR.

LEHMANN

und

Damit wird die Peierlskraft TV, die minimale %ussere Schubspannung, die erforderlich ist, urn die Versetzung durch den Kristall zu bewegen, 86E = 4,4 f 10-3e2[a4. 7p = __

(3.11)

a2

Driickt man e2/a4 durch den aus,* so erhnlt man schliesslich

Schubmodul

~44

7p = 4 .1 o-3c44. 4. ZUSAMMENFASSUNG

UND DISKUSSION

Wir haben zur Bestimmung der Struktur (Versetzungsweite) und der kritischen Schubspannung einer speziellen Schraubenversetzung in Alkalien zunlchst das Versetzungsmodell von Peierls herangezogen. Die Versetzungsweite ist sehr klein und fiir alle Lagen der Versetzung gleich. Sie ergibt sich zu a]4 (a kubische Gitterkonstante). Die kritische Schubspannung ist ausserordentlich gross, etwa von der Gr6ssenordnung des Schubmoduls. Die Resultate des Peierls’schen Modells sind jedoch verbesserungsbediirftig, da die wesentliche Annahme, das Verschiebungsfeld der Versetzung sei nur langsam mit dem Ort verlnderlich, nicht erfiillt ist. Eine gittertheoretische Behandlung der Schraubenversetzung, die frei von dieser Annahme ist, liefert quantitativ und qualitativ ein anderes Resultat : Die Versetzungsweite ist nicht konstant, sondern hlngt von der Lage der Versetzung ab. Sie nimmt Werte zwischen a/S und a/9 an. Die Struktur ist also ortsabhgngig und sehr konzentriert. Wenn man dieses Ergebnis einer statischen Betrachtung der Versetzung auf dynamische Verhsltnisse iibertragen darf, so 1Hsst beim Lauf durch den Kristall eine solche ,,atmende“ Versetzung eine ausserordentlich starke DPmpfung erwarten. * Es ist cIll= 1,08 e’/a’ (vgl. (8)).

G. LEIBFRIED

Die kritische Schubspannung ist urn eine GrGssenordnung kleiner als im Peierls’schen Modell, obwohl man nach der bisher iiblichen Auffassung erwarten sollte, dass mit kleiner werdender Versetzungsweite die kritische Schubspannung stark anwichst. Diese Auffassung trifft jedoch sicher nur im Rahmen des Peierls’schen Modells zu, das fiir Versetzungsweiten, die kleiner als die Gitterkonstante sind, sowieso nicht mehr giiltig ist. Ob jedoch diese Ergebnisse qualitativ auf andere Versetzungstypen und andere Kristalle iibertragen werden diirfen, ist eine offene Frage. Es ist schwer zu iibersehen, inwieweit die Ergebnisse des Gittermodells von der Wahl des Variationsansatzes fiir das Verschiebungsfeld abhtigen. Wir haben den Ansatz zwar mit physikalischen Griinden belegt, doch ltisst er eine Amdehnung bzw. Zusammenziehung der Versetzungsstruktur nur parallel zur Gleitebene zu. Gegeniiber dem Peierls’schen Model1 steht unser Modell, wenigstens in diesem Spezialfall, den wirklichen Verhsltnissen sicher nsher, so dass die gittertheoretisch ermittelten Griissen glaubwiirdiger erscheinen. LITERATUR 1. NABARROF. R. N. Advanc. Phys. 1, 269 (1952). G. Fortschr. Phys. 2, 73 2. HAASENP. und LEIBFRIED (1955). 3. SEECERA. Handbuch der Physik Bd. VII/l, S.383, Springer, Berlin (1955). R. Proc. Phys. Sot. 52, 34 (1940). 4. PEIERLS 5. HUNTINGTONH. B.-Phys. Rev. 100; 1117 (1955). G.. und DIETZEH. D. Z. Phvs. 126. 790 6. LEIBFRIED (1949). ’ J. D., READW. T., und SHOCKLEY W. Actn 7. ESHELBY Met. 1,251 (1953). Bd. VII/l, 8. LEIBFRIEDG. Hundbuch der Physik, S.104, Springer, Berlin (1955). 9. MADELUNGE. Phys. Z. 19, 524 (1918). B. G. 10. JAHNKE-EMDETafeln hiiherer Funktionen. Teubner, Leipzig (1952).