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Groupes de type mixte
Journal of Algebra 212, 753]768 Ž1999. Article ID jabr.1999.7612, available online at http:rrwww.idealibrary.com on
Groupes de type mixte Eric Jaligot Institut Girard Desargues, UPRES-A 5028 Mathematiques, Uni¨ ersite´ Claude Bernard ´ Lyon-1, 43 bl¨ d du 11 no¨ embre 1918, 69622 Villeurbanne Cedex, France E-mail: [email protected] Communicated by Gernot Stroth Received April 15, 1998
We show that a minimal counterexample to the Cherlin]Zil’ber conjecture Žtame or not. cannot be of mixed type. Q 1999 Academic Press
1. INTRODUCTION Selon la conjecture de Cherlin-Zil’ber, un groupe simple infini de rang de Morley fini doit ˆ etre un groupe algebrique sur un corps algebriquement ´ ´ clos. De fac¸on generale, la composante connexe d’un 2-Sylow d’un groupe ´ ´ de rang de Morley fini est le produit central d’un groupe 2-unipotent et d’un 2-tore Žcf. fait 2.16 et definition 2.5, ou w11x.. Ce qui se passe dans le ´ cas d’un groupe algebrique est plus precis: le 2-tore est trivial si la ´ ´ caracteristique du corps de base est 2 et le sous-groupe 2-unipotent est ´ trivial si la caracteristique est differente de 2. Il y a donc pour les groupes ´ ´ algebriques une dichotomie en ce qui concerne la structure des 2-Sylows, ´ et c’est aussi ce qui devrait se passer pour les groupes simples de rang de Morley fini si la conjecture de Cherlin]Zil’ber est vraie. On peut donc formuler les definitions en rapport avec cette question: ´ D´ EFINITION. Si S est un 2-Sylow d’un groupe de rang de Morley fini et S 0 s B)T la decomposition en un sous-groupe 2-unipotent B et en un ´ 2-tore T, on dit que le groupe est: }de type pair si T s 1. }de type impair si B s 1. }de type mixte si T / 1 et B / 1. Cette definition n’est pas ambigue ´ ¨ car les 2-Sylows d’un groupe de rang de Morley fini sont conjugues ´ Žcf. w11x.. 753 0021-8693r99 $30.00 Copyright Q 1999 by Academic Press All rights of reproduction in any form reserved.
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Dans une approche inductive de la conjecture de Cherlin]Zil’ber, on
´etudie un contre-exemple minimum Ži.e., un contre-exemple de rang minimum.. Pour ce faire, on utilise la notion de K *-groupe et de K-groupe introduite dans w7x Žcf. definitions 2.27 et 2.34.. Un contre-exemple mini´ mum ` a cette conjecture est un K *-groupe et tout sous-groupe propre definissable d’un K *-groupe est un K-groupe. On montre ici le theoreme ´ ´ ` suivant: THEOREME ´ ` 1.1. Un K *-groupe simple ne peut pas ˆetre de type mixte. Un groupe de rang de Morley fini qui, en un sens, ne contient ni mauvais groupe ni mauvais corps est dit ordinaire Žvoir par exemple w2x.; de nombreux travaux ont ´ ete ´ effectues ´ sous cette hypothese ` forte. T. Altinel, A. Borovik et G. Cherlin ont montre ´ dans w2x qu’un K *-groupe simple ordinaire ne peut pas ˆ etre de type mixte. Le but initial de ce travail ´etait de se passer de la moitie´ la plus technique de l’hypothese ` ‘‘ordinaire’’, c’est-a-dire le fait qu’aucun mauvais corps n’est interprete. ` ´ ´ De fait, les nouveaux arguments ne supposent plus rien sur les mauvais groupes et le mot ‘‘ordinaire’’ peut completement disparaıtre ` ˆ de la formulation du theoreme. Il convient toutefois de remarquer que notre ´ enonce ´ ` ´ est exact, mais vide de sens si B s T s 1. C’est par exemple le cas si notre K *-groupe est un mauvais groupe, lequel ne peut avoir d’involutions Žcf. w10, 12, 14x.. La preuve de ce theoreme ´ ` de dichotomie suit le principe general ´ ´ de w2x: on construit dans un contre-exemple un sous-groupe faiblement inclus puis on montre que ce sous-groupe est fortement inclus, ce qui donne une contradiction en considerant le nombre de classes de conjugaison d’involu´ tions. Mais le cœur des arguments est sensiblement different: l’idee ´ ´ nouvelle ici ´ etait d’utiliser la formule de Thompson Žvoir w3x. pour limiter le rang de certains groupes. Mais l’analyse faite sur les classes de conjugaison d’involutions a fait apparaıtre ˆ des contradictions, ´evitant finalement tout calcul de rang. Cela donne de plus une preuve plus simple que celle de w2x. La papier est organise ´ ainsi: la section suivante rassemble les faits sur les groupes de rang de Morley fini utiles pour la demonstration. Pour plus ´ de details sur les notions de bases, le lecteur peut consulter w9x. Cette ´ section comporte aussi des generalites ´ ´ ´ sur les K-groupes et les K *-groupes. Dans la troisieme ` section, on fait un resume ´ ´ de ce qui a ´ete´ montre´ dans w2x concernant les interactions entre les sous-groupes 2-unipotents et les 2-tores dans les K-groupes; ` a de rares modifications pres, ` le seul ingredi´ ent supplementaire est ici un resultat sur les extensions centrales ‘‘non ´ ´ Žcf. w4x.. ordinaires’’ de groupes algebriques ´
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Dans la quatrieme ` section, on montre qu’une certaine configuration de groupe de type mixte, avec un sous-groupe isomorphe ` a PSL2 Ž K ., n’existe pas. C’est le theoreme de ce cas sert uniquement ` a la ´ ` 4.2. L’elimination ´ construction d’un sous-groupe faiblement inclus dans un contre-exemple au theoreme ´ ` de dichotomie Žconstruction qui suit le tout debut ´ de celle de w2x, dont on repete ´ ` rapidement les arguments.. Dans la derniere ` section on montre que ce sous-groupe faiblement inclus est en fait fortement inclus Žtheoreme ´ ` 5.1..
´ 2. PREREQUIS Si G est un groupe et a un ´ element de G, on notera parfois Ca Žau lieu ´ Ž .. de CG a le centralisateur dans G de a , si le groupe G est clair dans le contexte. I Ž G . designera l’ensemble des ´ elements de G d’ordre 2. Toutes ´ ´ les notations concernant les groupes de rang de Morley fini sont celles de w9x. Fait 2.1 w3, Fait 2.9x. La cloture definissable d’un sous-groupe cyclique ˆ ´ d’un groupe de rang de Morley fini est le produit direct d’un groupe abelien divisible et d’un groupe fini cyclique. ´ Fait 2.2 w8x. Soit G un groupe de rang de Morley fini et H un sous-groupe de G normal et definissable. Si x g G est tel que x est un ´ p-element de G s GrH, alors le coset xH contient un p-element. ´´ ´´ Fait 2.3 w20x. Soit G un groupe de rang de Morley fini et H un Žresp. nilpotent. de classe n, alors sa sous-groupe de G. Si H est resoluble ´ Žresp. nilpotente., de classe cloture definissable dŽ H . est aussi resoluble ˆ ´ ´ exactement n. Fait 2.4 w16x. Soit G un groupe nilpotent de rang de Morley fini. Alors G s D)C ou et caracteris` D et C sont des sous-groupes definissables ´ ´ tiques de G, D est divisible et C est d’exposant borne. ´ Si T est l’ensemble des ´ elements de torsion de D, alors T est central dans D et D s T = N ´ pour un sous-groupe N divisible et sans torsion. C est la somme directe de ses p-Sylows. D´ EFINITION 2.5. Soit G un groupe de rang de Morley fini et p un nombre premier. On appelle p-tore de G tout p-sous-groupe de G divisible et abelien. On appelle p-unipotent tout p-sous-groupe de G definis´ ´ sable, connexe et d’exposant borne. ´ Fait 2.6 w11x. Soit T un p-tore dans un groupe de rang de Morley fini G. Alors w NG ŽT . : CG ŽT .x - `.
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Fait 2.7 w9, Corollaire 6.20, p. 106x. Soit P un p-sous-groupe localement fini d’un groupe G de rang de Morley fini. Alors P satisfait les proprietes ´ ´ suivantes: Ži. P 0 est nilpotent et P 0 s B)T est le produit central d’un groupe nilpotent B d’exposant borne ´ et d’un p-tore T. Žii. ZŽ P . / 1 et P satisfait la condition de normalisateur. Žiii. Si P est infini et d’exposant fini, il est nilpotent et son centre contient une infinite d’ordre p. ´ d’elements ´´ D´ EFINITION 2.8. Soit G un groupe quelconque. Soit s Ž G . le sousgroupe de G engendre et ´ par tous ses sous-groupes normaux resolubles, ´ F Ž G . le sous-groupe de G engendre ´ par tous ses sous-groupes normaux nilpotents. On appelle s Ž G . le radical resoluble de G et F Ž G . le sous´ groupe de Fitting de G. Fait 2.9 w6; 9, Theoreme ´ ` 7.3, p. 112x. Soit G un groupe de rang de Morley fini. Alors s Ž G . et F Ž G . sont des sous-groupes definissables de G, ´ et ils sont respectivement resoluble et nilpotent. ´ Fait 2.10 w20x. Soit G un groupe de rang de Morley fini connexe, resoluble et non nilpotent. Alors G interprete ´ ˆ un corps algebriquement ´ clos K. Plus precisement, une section definissable de F Ž G . est isomorphe ´ ´ ´ de GrF Ž G . est isomorphe ` a un sous`a Kq et une section definissable ´ groupe infini de K *. Fait 2.11 w9, Theoreme ´ ` 9.7x. Soit A i G un groupe de rang de Morley Ž fini tel que CG A. s 1. Soit H eG1 eG des sous-groupes definissables ´ avec G1 connexe et H infini et abelien. Supposons aussi que A est ´ G1-minimal. Alors 0
Z Z Ž G . rann Zw ZŽG. 0 x Ž A . est un corps algebriquement clos definissable, A est un espace vectoriel de ´ ´ dimension finie sur K, G agit sur A par automorphismes d’espace vectoriel et H agit comme un groupe de scalaires. En particulier, G F GLnŽ K . pour un n, H F ZŽ G . et CAŽ G . s 1. Fait 2.12 w15x. Soit G un groupe de rang de Morley fini, connexe et resoluble. Alors GrF Ž G . 0 Žet, donc, GrF Ž G .. est un groupe divisible et ´ abelien. ´ Fait 2.13 w8x. Soit G un groupe de rang de Morley fini, connexe et resoluble. Alors les p-sous-groupes de Hall de G sont connexes. ´
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Fait 2.14 w5x. Soit G un groupe resoluble de rang de Morley fini Žou ´ plus generalement v-stable., N eG, et H un p-sous-groupe de Hall de G ´ ´ pour un ensemble p de nombres premiers. Si N est definissable, alors ´ HNrN est un p-sous-groupe de Hall de GrN et tous les p-sous-groupes de Hall de GrN sont de cette forme. Fait 2.15 w9, Proposition 10.2x. Soit G un groupe de rang de Morley fini, i et j deux involutions de G. Alors soit i et j commutent avec une troisieme ` involution de dŽ ij ., soit i et j sont dŽ ij .-conjuguees. ´ Fait 2.16 w11x. Soit S un 2-Sylow d’un groupe de rang de Morley fini G. Alors S doit satisfaire les proprietes ´ ´ suivantes: Ži. S est nilpotent-par-fini. Žii. S 0 s B)T est le produit central d’un sous-groupe definissable, ´ connexe, nilpotent et 2-unipotent B, et d’un 2-tore T. De plus B et T sont determines ´ ´ de maniere ` unique. Fait 2.17 w11x. Les 2-Sylows d’un groupe de rang de Morley fini sont conjugues. ´ Fait 2.18 w1, Fait 2.48x. Soit S un 2-Sylow d’un groupe G de rang de Morley fini, et S 0 s B)T comme dans le fait 2.16. Alors une involution de T ne peut ˆ etre conjuguee ´ qu’a` un nombre fini d’involutions de B. En particulier G ne peut pas ˆ etre de type mixte si toutes ses involutions sont conjuguees. ´ D´ EFINITION 2.19. Soit G un groupe de rang de Morley fini. Un sousgroupe propre definissable M de G est dit fortement inclus s’il satisfait les ´ conditions suivantes: Ži. M contient des involutions. Žii. Pour tout g g G _ M, M l M g ne contient pas d’involution. Fait 2.20 w9, Theoreme ´ ` 10.19x. Soit G un groupe de rang de Morley fini avec un sous-groupe propre definissable M. Alors les proprietes ´ ´ ´ suivantes sont ´ equivalentes: Ži. M est un sous-groupe fortement inclus. Žii. I Ž M . / B, CG Ž i . F M pour tout i g I Ž M . et NG Ž S . F M pour tout 2-Sylow S de M. Fait 2.21 w9, Theoreme ´ ` 10.19x. Soit G un groupe de rang de Morley fini avec un sous-groupe fortement inclus M. Alors I Ž G . est une classe de conjugaison dans G et I Ž M . est une classe de conjugaison dans M.
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D´ EFINITION 2.22. Soit G un groupe de rang de Morley fini. Un sousgroupe propre definissable M de G est dit faiblement inclus s’il satisfait ´ les conditions suivantes: Ži. Les 2-Sylows de M sont infinis. Žii. Pour tout g g G _ M, M l M g a des 2-Sylows finis. Fait 2.23 w2x. Soit G un groupe de rang de Morley fini. Un sous-groupe definissable propre de G est un sous-groupe faiblement inclus si et ´ seulement s’il verifie les proprietes ´ ´ ´ suivantes: Ži. M a des 2-Sylows infinis. Žii. Pour tout sous-groupe 2-unipotent U et tout 2-tore T de M, NG ŽU . F M et NG ŽT . F M. D´ EFINITION 2.24. Soit G un groupe de rang de Morley fini. O Ž G . designe le sous-groupe sans involution normal, definissable et connexe ´ ´ maximal de G. O 2 Ž G . designe le 2-sous-groupe normal maximal de G. ´ Remarque 2.25. Si G est un groupe de rang de Morley fini avec un sous-groupe faiblement inclus, alors Ž O 2 Ž G .. 0 s 1 et le fait 2.13 implique que F Ž G . 0 F O Ž G .. Fait 2.26 w4x. Soit G un groupe de rang de Morley fini parfait tel que GrZŽ G . soit un groupe algebrique quasi-simple. Alors G est un groupe ´ algebrique. En particulier ZŽ G . est fini w13, Sect. 27.5x. ´ Pour finir cette section, on montre quelques resultats sur les K-groupes ´ et sur les K *-groupes. D´ EFINITION 2.27. Un groupe de rang de Morley fini dont les sections infinies, simples et definissables sont des groupes algebriques sur des corps ´ ´ algebriquement clos est appele ´ ´ un K-groupe. Fait 2.28 w1x. Soit G un K-groupe connexe et non resoluble. Alors ´ . Grs Ž G . est isomorphe ` a une somme directe de groupes Ždefinissables ´ algebriques simples sur des corps algebriquement clos. ´ ´ PROPOSITION 2.29.
Soit G un K-groupe et S p un p-Sylow de G. Alors:
Ži . est nilpotent et S p0 s B)T est le produit central d’un groupe nilpotent B d’exposant borne´ et d’un p-tore T. Žii. ZŽ S p . / 1 et S p satisfait la condition de normalisateur. Žiii. Si S p est infini et d’exposant fini, il est nilpotent et son centre contient une infinite´ d’elements d’ordre p. ´´ S p0
Preu¨ e. Le fait 2.28 montre que S p0 est resoluble. Comme S prS p0 est un ´ p-groupe fini, il est nilpotent et S p est resoluble. Or S p est un groupe de ´ torsion; il est donc localement fini et on peut appliquer le fait 2.7.
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On peut developper une theorie pour les p-Sylows dans les K-groupes; ´ ´ notamment, il est facile de voir que les p-Sylows d’un K-groupe connexe sont conjugues. ´ Mais pour la suite, on se contentera du fait suivant. Notons qu’il est montre ´ dans le cadre plus general ´ ´ des groupes v-stables pour les 2-Sylows w18x. PROPOSITION 2.30. Soit G un K-groupe et N un sous-groupe normal, definissable et connexe de G. Soit HrN un p-Sylow de GrN. Alors Ž HrN . 0 ´ 0 s S p NrN pour un p-Sylow S p de G. Preu¨ e. Remarquons d’abord que si S1 et S2 sont deux p-Sylows d’un K-groupe tels que S10 F S20 , alors S10 s S20 . En effet, on a S10 s B1 )T1 et S20 s B2 )T2 comme dans la proposition 2.29, avec B1 F B2 et T1 F T2 . Comme B2 est definissable et connexe, B1 s B2 par maximalite ´ ´ de B1. Si T1 - T2 , alors le rang de Prufer ¨ de T2 est strictement plus grand que celui de T1 , une contradiction avec la maximalite ´ de T1. Avec cette remarque, il suffit de montrer que Ž HrN . 0 s S 0 NrN ou ` S est un p-sous-groupe de G. Soit H1 s dŽ H . 0 . H1rN s Ž dŽ H .rN . 0 s dŽ HrN . 0 est resoluble avec la proposition 2.29 et le fait 2.3. Comme ´ Žfait 2.28., on en deduit H1rs Ž H1 . est completement reductible que ` ´ ´ H1 s Ns Ž H1 .. Par consequent H1rN est isomorphe ` a un quotient de ´ s Ž H1 . et il suffit alors d’appliquer le fait 2.14. LEMME 2.31. Soit G un K-groupe connexe a¨ ec des p-Sylows finis. Alors G est resoluble et sans p-element. ´ ´´ Preu¨ e. Cela decoule immediatement des faits 2.28, 2.14 et 2.13. ´ ´ Notation 2.32. Si K est un corps algebriquement clos, Ž P . SL 2 Ž K . ´ designe SL 2 Ž K . ou PSL2 Ž K .. ´ La proposition suivante a ´ ete ´ montree ´ dans w2x pour les groupes ordinaires. La preuve fonctionne sans cette hypothese, ` en utilisant le fait 2.26 pour les extensions centrales de groupes algebriques, et en remarquant ´ Žremarque que F Ž H . 0 F O Ž H . F s Ž H . 0 et s Ž H . 0rOŽ H . est abelien ´ 2.25, lemme 2.31 et fait 2.12.. PROPOSITION 2.33 w2, LEMME 5.20x. Soit H un K-groupe connexe, non resoluble et a¨ ec un sous-groupe faiblement inclus. Alors HrOŽ H . ( ´ Ž P . SL 2 Ž K . ou clos. ` K est un corps algebriquement ´ D´ EFINITION 2.34. Un groupe de rang de Morley fini dont les sousgroupes propres definissables sont des K-groupes est appele ´ ´ un K *-groupe. Les deux propositions qui suivent seront utiles pour montrer le theoreme ´ ` de dichotomie dans leur version ci-dessous, mais peuvent aussi servir ` a l’etude des groupes de type pair. ´
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PROPOSITION 2.35. Soit G un K *-groupe simple, S un 2-Sylow et S 0 s B)T la decomposition de S 0 en partie 2-unipotente et en partie di¨ isible Ž fait ´ 0 2.16.. Soit Z s ZŽ B . . Alors NG Ž Z . 0 CG Ž Z .rCG Ž Z . est di¨ isible et abelien. ´ Preu¨ e. Si Z s 1, il n’y a rien ` a prouver. On suppose donc Z / 1. Alors NG Ž Z . est un K-groupe et S 0 F CG Ž Z . 0 . Dans ce paragraphe la notation } designe les quotients par CG Ž Z . 0 . La ´ 0 proposition 2.30 implique que les 2-Sylows de NG Ž Z . sont finis. Donc 0 NG Ž Z . est resoluble et sans involution d’apres ´ ` le lemme 2.31. Par suite NG Ž Z . 0 CG Ž Z .rCG Ž Z . est resoluble et sans involution. A ´ partir de maintenant la notation } signifie ‘‘quotient par CG Ž Z .’’. Con0 0 siderons le groupe Z i NG Ž Z . . On va montrer que F Ž Z i NG Ž Z . . s Z. ´ 0 0 Il existe un sous-groupe H de NG Ž Z . tel que F Ž Z i NG Ž Z . . s Z i H. Alors Z i H est nilpotent Žfait 2.9., Z est 2-unipotent et H est sans involution d’apres le fait 2.4 implique donc que H ` ce qui precede; ´` 0 centralise Z. Mais alors H F CG Ž Z .. Donc F Ž Z i NG Ž Z . . s Z et 0 NG Ž Z . est divisible et abelien d’apres ´ ` le fait 2.12. PROPOSITION 2.36. Soit G un K *-groupe simple, S un 2-Sylow de G et S 0 s B)T la decomposition de S 0 en partie 2-unipotente et en partie di¨ isible ´ Ž fait 2.16.. On suppose B / 1. Soit Z s ZŽ B . 0 . On suppose qu’il existe un sous-groupe X de G definissable et connexe tel que: ´ Ži. Žii.
X normalise Z et agit transiti¨ ement sur Z. XrC X Ž Z . est abelien ´ et infini.
Alors CNG Ž Z .Ž b . s CG Ž Z . pour tout b g I Ž Z .. les quotients par CG Ž Z .. Considerons Preu¨ e. La notation } designe ´ ´ le groupe Z i NG Ž Z . . Comme X agit transitivement sur Z, Z est NG Ž Z . 0-minimal. Le fait 2.11 s’applique avec A s Z, H s X, et G1 s NG Ž Z . 0 Žproposition 2.35.; Donc X F ZŽNG Ž Z . .. Soit maintenant b g Z _ 14 et h g CNG Ž Z .Ž b .. Comme X agit transitivement sur Z, il suffit de montrer que h centralise b x pour tout x de X: en y1 y1 effet, b x h s bw x , h xh x s b x.
3. GROUPES DE TYPE B ET D Dans cette section, on rassemble les resultats de la section B-D de w2x. ´ Les preuves sont identiques ` a celles du cas ordinaire ` a deux differences ´ pres: il faut utiliser ici la version ‘‘non ordinaire’’ du resultat sur les ` ´ Ž . extensions centrales de groupes algebriques fait 2.26 , et il faut utiliser la ´
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proposition 2.33 Ž` a la place du lemme 5.20 de w2x. pour le fait 3.9. Le seul autre changement, qui n’est pas juste un probleme est dans ` de reecriture, ´´ la preuve du fait 3.5. D´ EFINITION 3.1. Soit G un groupe de rang de Morley fini. Soit U Ž G . l’ensemble des 2-sous-groupes unipotents et T Ž G . l’ensemble des 2-tores; soit B Ž G . s ²U: U g U Ž G .: et DŽ G . s ² dŽT .: T g T Ž G .:. On dit que G est de type B si G s B Ž G . et de type D si G s DŽ G .. Remarque 3.2. Pour tout groupe G de rang de Morley fini, B Ž G . et Ž D G . sont des sous-groupes caracteristiques de G. Comme les sous-groupes ´ 2-unipotents et les clotures definissables des 2-tores sont definissables et ˆ ´ ´ connexes, B Ž G . et DŽ G . sont deux sous-groupes definissables et connexes ´ en consequence du Theoreme des Indecomposables de Zil’ber w19x. ´ ´ ` ´ On peut aussi remarquer que toute image homomorphique d’un groupe de type B Žrespectivement de type D . est de type B Žrespectivement de type D .. Fait 3.3 w2, Lemme 5.4x. Soit H un K-groupe de type D. Alors U Ž H . s B. Fait 3.4 w2, Lemme 5.7 et Corollaire 5.8x. Soit H un K-groupe. Alors Ž B H . et DŽ H . commutent. Fait 3.5 w2, Lemme 5.9x. Soit H un K-groupe de type B. Alors T Ž H . s B. Preu¨ e. Si H est resoluble, on procede ´ ` comme dans w2x. Supposons que H n’est pas resoluble, et que H est un contre-exemple ` a l’enonce ´ ´ ´ de rang minimum. H contient un 2-tore non-trivial T qui doit ˆ etre central Žfait 3.4.. Ainsi dŽT . : F Ž H . 0 . On a la decomposition unique F Ž H . 0 s C ) D ´ ou connexe et d’exposant borne et ` C est definissable, ´ ´ et D est definissable ´ divisible Žfait 2.4.. De plus C est trivial car sinon HrC serait un autre contre-exemple de rang strictement inferieur. Par consequent F Ž H . 0 est ´ ´ divisible. On montre que ZŽ H . 0 s F Ž H . 0 s s Ž H . 0 . Soit U un sous-groupe 2-unipotent de H. Alors F Ž H . 0 U est nilpotent. En effet, si ce n’est pas le cas, il est connexe et resoluble et un corps algebriquement clos K est interpreta´ ´ ´ ble dans F Ž H . 0 U Žfait 2.10. et une section definissable de U est isomorphe ´ `a un sous-groupe infini de K * d’exposant borne, ´ une contradiction. Ainsi le fait 2.4 implique que F Ž H . 0 U est un produit central. Donc F Ž H . 0 centralise B Ž H . s B et par consequent F Ž H . 0 s ZŽ H . 0 . D’apres ´ ` le fait 0 0 2.12, s Ž H . est nilpotent, donc ZŽ H . s F Ž H . 0 s s Ž H . 0 . Ensuite on peut conclure comme dans w2x.
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On introduit maintenant un graphe sur U Ž G .. Une theorie analogue ´ peut ˆ etre developpee ´ ´ sur T Ž G. comme dans w2x, pour les groupes non ordinaires, mais cela est inutile pour ce qui suit. D´ EFINITION 3.6. Soit G un groupe de rang de Morley fini. On definit ´ un graphe sur U Ž G . comme suit: les sommets du graphe sont les ´ elements ´ de U Ž G . et deux sommets U1 et U2 sont relies ´ par une arete ˆ si U1 et U2 se normalisent; cela sera note ´ U1 ; U2 . Fait 3.7 w2, Corollaire 5.17x. Soit G un K *-groupe qui n’a pas de sous-groupe 2-unipotent central, et U g U Ž G .. Si U Ž G . est un graphe connexe, alors DŽ CG ŽU ..eG. } Fait 3.8 w2, Proposition 5.18 et Corollaire 5.19x. Soit G un groupe de rang de Morley fini, W une composante connexe de U Ž G . et M s NG Ž² W :.. Alors U Ž M . s W . En particuler M s stabŽ W . et ce dernier groupe est definissable. ´ Fait 3.9 w2, Proposition 5.21x. Soit H un K-groupe de type B avec U Ž H . non connexe. Alors H ( PSL2 Ž K . ou ` K est un corps algebrique´ ment clos de caracteristique 2. ´ Notons B et D les posets des sous-groupes Žordonnes ´ par l’inclusion. de type B et D respectivement d’un K *-groupe G. Considerons aussi les ´ applications suivantes: BC: D ª B Y ¬ B Ž CG Ž Y . . DC: B ª D X ¬ B Ž CG Ž X . . . Ces deux applications definissent une correspondance de Galois entre B ´ et D. Donc: Fait 3.10 w2, Proposition 5.30x. Soit X g B et Y g D. Alors DCX s DCBCDCX et BCY s BCDCBCY.
4. CONSTRUCTION D’UN SOUS-GROUPE FAIBLEMENT INCLUS On commence par montrer un lemme technique qui servira dans cette section et dans la suivante.
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LEMME 4.1. Soit G un groupe de rang de Morley fini a¨ ec des in¨ olutions i, j, k et k9 telles que: Ži. i et j ne sont pas conjuguees. ´ Žii. B Ž Ck . ( PSL2 Ž K . ou clos de ` K est un corps algebriquement ´ caracteristique 2. ´ Žiii. k9 est l’unique in¨ olution de dŽ ij .. Živ. i g B Ž Ck ., j g Ck et k9 f B Ž Ck .. Alors jk9 g B Ž Ck .. Preu¨ e. Notons que dŽ ij . F Ck . Considerons d Ž ij . s dŽ ij .rdŽ ij . l ´ 2 2 j Ž . Ž . Ž . B Ck . Comme ij s ii g B Ck , on a ij s 1. Ainsi ijs y ou ` y est un 2-element de dŽ ij . Žfait 2.2.. De plus y est d’ordre au plus 4 car y 2 g B Ž Ck .. ´´ Si y s 1, alors ij g B Ž Ck ., j g B Ž Ck .; donc i et j sont conjuguees, ´ une contradiction. Si y 2 est d’ordre 2, alors k9 s y 2 g B Ž Ck ., une contradiction. Donc y s k9, ijk9 g B Ž Ck . et jk9 g B Ž Ck .. Maintenant on ´ elimine une premiere ` configuration de groupe de type mixte dans le theoreme ´ ` 4.2. Le schema ´ de la preuve est le suivant: comme le groupe est de type mixte, il doit avoir au moins deux classes de conjugaison d’involutions. Mais la structure particuliere ` et la mixite´ du groupe permettent de montrer que ces deux classes commutent, ce qui contredit la simplicite le debut de la ´ du groupe. Ensuite on resume ´ ´ construction de w2x et on se ramene pour ` `a la configuration precedente ´´ obtenir un sous-groupe faiblement inclus. THEOREME ´ ` 4.2. Il n’existe pas de K *-groupe simple G de type mixte a¨ ec un 2-sous-groupe B) R, ou ` B est 2-unipotent maximal et R est un 2-tore, et B Ž CG Ž R .. ( PSL2 Ž K . ou clos de caracteris` K est un corps algebriquement ´ ´ tique 2. Dans ce qui suit on analyse un groupe G qui satisfait les hypotheses ` du theoreme ´ ` 4.2. Soit Q s B Ž CG Ž R ... Notons que B est un 2-Sylow de Q; en particulier B est abelien et ses involutions sont toutes con´ ´elementaire ´ juguees. ´ Soit I1 s b G pour une involution b de B. Soit t une involution de R et I2 s t G. Selon le fait 2.18, I2 / I1. Les arguments qui suivent vont montrer que I1 et I2 commutent. Supposons au contraire qu’il existe Ž i, j . g I1 = I2 tel que w i, j x / 1. Fixons Bi un sous-groupe 2-unipotent connexe maximal de G qui contient i. LEMME 4.3. CG Ž b . s CG Ž B . pour toute in¨ olution b de B. Preu¨ e. En considerant le tore maximal de Q qui normalise B, la ´ proposition 2.36 montre que CNG Ž B .Ž b . s CG Ž B . pour toute involution b g B. Il suffit donc de montrer que si b g I Ž B ., alors CNG Ž B .Ž b . s CG Ž b ..
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Or B Ž CG Ž b .. centralise DŽ CG Ž b .. Žfait 3.4., donc B Ž CG Ž b .. centralise DŽ CG Ž Q ... Ainsi B Ž CG Ž b .. F B Ž CG Ž DŽ CG Ž Q .... s Q Žfait 3.10.. Comme Q ( PSL2 Ž K ., on a B Ž CG Ž b .. s B. Donc B est normal dans CG Ž b . et CNG Ž B .Ž b . s CG Ž b .. COROLLAIRE 4.4. Deux in¨ olutions i1 et i 2 de I1 commutent si et seulement si elles sont dans le meme ˆ sous-groupe 2-unipotent de G. LEMME 4.5.
dŽ ij . contient une unique in¨ olution.
Preu¨ e. Il suffit de montrer que dŽ ij . ne contient pas de 2-tore non trivial, et d’appliquer les faits 2.1 et 2.15. Supposons, au contraire, que T0 est un tel 2-tore. Alors T0 est inverse ´ par i. Mais T0 contient une involution, disons t 0 . On a Bi F B Ž CG Ž t 0 .. avec le lemme 4.3. Alors Bi doit centraliser T0 Žfait 3.4., ce qui contredit le fait que i inverse T0 . Appelons k l’unique involution de dŽ ij .. On va maintenant considerer ´ Ck , le centralisateur dans G de k. Notons que Ck contient dŽ ij ., Bi et j Žlemme 4.3.. LEMME 4.6. B Ž Ck . ( PSL2 Ž K . ou clos de ` K est un corps algebriquement ´ caracteristique 2. ´ Preu¨ e. Si Bi l Ž Bi . j / 1, alors Bi s Bij Žcorollaire 4.4. et j centralise une involution de Bi Žfait 2.7Žiii..; donc j centralise i d’apres ` le lemme 4.3, une contradiction avec notre hypothese. ` Donc Bi l Ž Bi . j s 1. Or Bi et Ž Bi . j sont deux sous-groupes 2-unipotents maximaux de B Ž Ck .. On voit alors facilement que le graphe U Ž B Ž Ck .. n’est pas connexe. Il suffit ensuite d’utiliser le fait 3.9. LEMME 4.7. w I1 , I2 x s 1. Preu¨ e. Le lemme precedent montre en particulier que B Ž Ck . est ´´ simple. Donc k f B Ž Ck .. On peut appliquer le lemme 4.1 aux involutions i, j, k et k respectivement; ainsi jk g B Ž Ck .. En particulier jk g I1. Soit Bjk un conjugue ´ de B qui contient jk et R j un conjugue´ de R qui contient j. Comme j centralise jk, j centralise Bjk Žlemme 4.3.. Donc R j centralise Bjk Žfait 3.4.. En particulier R j centralise k. Donc R j centralise B Ž Ck . Žfait 3.4.. Ainsi j centralise B Ž Ck . et jk g ZŽ B Ž Ck .., une contradiction avec le lemme precedent. ´´ Preu¨ e du theoreme ´ ` 4.2. Comme G est simple, on a G s ² I1 :. Alors I2 centralise G avec le lemme 4.7, une contradiction. On peut maintenant montrer qu’un K *-groupe simple de type mixte a un sous-groupe faiblement inclus comme dans w2x, theoreme ´ ` 6.25. THEOREME 4.8. Un K *-groupe simple de type mixte doit contenir un ´ ` sous-groupe faiblement inclus.
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Preu¨ e du theoreme ´ ` 4.8. Soit G un tel groupe, S un 2-Sylow de G et S 0 s B) D comme au fait 2.16, ou ` B est 2-unipotent et D est un 2-tore. U Ž G . n’est pas connexe d’apres ` le fait 3.7. Soit W la composante connexe de U Ž G . qui contient B et M s stabŽ W .. On va montrer que M est faiblement inclus dans G avec la caracterisation 2.23. ´ D’abord M contient B. Le fait 3.8 montre que U Ž M . s W , M - G et M est definissable. Par definition de M, NG ŽU . F M pour tout sous-groupe ´ ´ 2-unipotent U non trivial de M. Il reste ` a montrer que le normalisateur de chaque 2-tore R de M est inclus dans M. Supposons que NG Ž R . g M. Soit Q s B Ž CG Ž R ... Notons que Q s B Ž NG Ž R .. Žfait 2.6.. Si B Ž NG Ž R .. F M, alors U Ž NG Ž R .. : W Žfait 3.8., et NG Ž R . stabilise la composante connexe W , une contradiction avec notre hypothese. ` Donc Q g M. Or Q est de type B, U Ž M . s W et Ž . B F Q fait 3.4 ; donc U Ž Q . n’est pas connexe et Q ( PSL2 Ž K . ou ` K est un corps algebriquement clos de caracteristique 2 Žfait 3.9.. Mais cette ´ ´ configuration est impossible d’apres ` le theoreme ´ ` 4.2. Ainsi NG Ž R . F M et M est faiblement inclus dans G.
` L’INCLUSION FORTE 5. DE L’INCLUSION FAIBLE A On montre maintenant que le sous-groupe faiblement inclus construit dans la section precedente est fortement inclus. Les idees ´´ ´ sont les memes ˆ que celles de la demonstration du theoreme 4.2, c’est-a-dire basees ´ ´ ` ` ´ sur l’analyse des interactions entre les differentes classes de conjugaison ´ d’involutions, mais avec la presence cette fois du sous-groupe faiblement ´ inclus. Ce que l’on va montrer ici, c’est que M contient toute une classe de conjugaison d’involutions. 5.1. Soit G un K *-groupe simple de type mixte a¨ ec un THEOREME ´ ` sous-groupe faiblement inclus M. Alors M est fortement inclus. Dans ce qui suit on analyse on contre-exemple au theoreme ´ ` 5.1. Supposons que M n’est pas fortement inclus. D’apres ` le fait 2.20Žii., M doit contenir au moins une involution a telle que CG Ž a . g M. Soit IM s a g I Ž M . N CG Ž a . g M 4 . On appellera parfois les involutions de IM les involutions problematiques de M. La structure des centralisateurs de ces involu´ tions ´ etait analysee ´ dans w2x, theoreme ´ ` 7.5, points Ž1. `a Ž6.; en voici un resume: ´ ´ Fait 5.2. Soit a g IM . Alors: Ži. Žii.
Ca0 s B Ž Ca0 . = O Ž Ca0 .. a f Ca0 .
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Žiii. DŽ Ca . s 1. Živ. B Ž Ca . s B Ž Ca0 . ( PSL2 Ž K . ou ` K est un corps algebriquement ´ clos de caracteristique deux. ´ Žv. M l B Ž Ca0 . s A i T ou ` A est un 2-Sylow de B Ž Ca0 . et T le 0 tore maximal de B Ž Ca . qui normalise A Ž M l B Ž Ca0 . est donc un Borel de B Ž Ca0 ... On definit l’application suivante: ´ A: IM ª U Ž M .
a ¬ AŽ a . ou ` AŽ a . est le 2-Sylow A du Borel M l B Ž Ca0 . de B Ž Ca0 ., comme precedemment. Notons que chaque AŽ a . est un 2-sous-groupe abelien ´´ ´ definissable et connexe. De plus les involutions de AŽ a . sont ´elementaire, ´ ´ toutes conjuguees. ´ Soit R un 2-tore de G, t une involution de R, et I2 s t G. Les arguments qui suivent vont montrer que I2 : M, ce qui contredira la simplicite ´ de G. Supposons au contraire qu’il existe une involution j de I2 telle que j f M. Soit R j un conjugue ´ de R qui contient j. LEMME 5.3. Soit a g IM et i g AŽ a .. Alors dŽ ij . contient une unique in¨ olution k. De plus k g IM . Preu¨ e. On a i g AŽ a . F M l Ci0 , donc i f IM Žfait 5.2Žii... Ainsi Ci F M. Comme on a suppose ´ j f M, i et j ne commutent pas. Montrons que dŽ ij . ne contient pas de 2-tore non trivial. Soit, dans le cas contraire, T0 un tel 2-tore et t 0 une involution de T0 . Les involutions i et j centralisent t 0 ; comme i n’est pas problematique, on a t 0 g M. Mais t 0 ´ n’est pas une involution problematique de M d’apres ´ ` le fait 5.2Žiii.. Donc j g M, une contradiction avec notre hypothese. ` Donc < I Ž dŽ ij ..< s 1 puisque i et j ne sont pas conjuguees ´ d’apres ` le fait 2.18. Si on appelle k l’unique involution de dŽ ij ., k g Ci F M et k g IM , car j g Ck . Fixons a 0 g IM et i 0 g AŽ a 0 .. Le lemme 5.3 montre que dŽ i 0 j . contient une unique involution, disons a 1; de plus a 1 est une involution problema´ tique de M. Soit maintenant i1 g AŽ a 1 .. En appliquant ` a nouveau le lemme 5.3, dŽ i1 j . contient une unique involution, disons a 2 , et a 2 g IM . LEMME 5.4.
I2 : M.
Preu¨ e. Montrons que i1 , j, a 1 et a 2 satisfont les hypotheses du ` Ž ., lemme 4.1. Les involutions i1 et j ne sont pas conjuguees fait 2.18 ´ B Ž Ca 1 . ( PSL2 Ž K . Žfait 5.2Živ.., i1 g AŽ a 1 . F B Ž Ca 1 ., j g Ca 1 et a 2 f B Ž Ca 1 . Žcar sinon a 2 g Ca02 .. Donc j a 2 g B Ž Ca 1 ..
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Comme j g Ca 1, j normalise B Ž Ca 1 .. Donc j agit sur B Ž Ca 1 . par automorphisme interieur, car PSL2 Ž K . n’a pas d’automorphisme exterieur. ´ ´ Soit A j a 2 un 2-Sylow de B Ž Ca 1 . qui contient j a 2 . Comme j centralise j a 2 , et comme les 2-Sylows de PSL2 Ž K . sont autocentralisants, j centralise A j a 2 et A j a 2 F B Ž C j .. Le fait 3.4 montre que B Ž C j . et DŽ C j . commutent. En particulier R j centralise j a 2 . Ainsi R j F DŽ Ca 2 ., une contradiction avec le fait 5.2Žiii.. Preu¨ e du theoreme ´ ` 5.1. Si M n’est pas fortement inclus, on a I2 : M avec le lemme 5.4. Mais G est simple, donc G s ² I2 : s M, une contradiction. Le theoreme ´ ` de dichotomie 1.1 est, bien ´evidemment comme dans w2x, une consequence du theoreme 4.8, du theoreme 5.1 et des faits 2.21 ´ ´ ` ´ ` et 2.18.
REMERCIEMENTS Ce travail a ´ ete ´ fait en collaboration ´etroite avec Tuna Altinel; je l’en remercie tres ` chaleureusement. Je remercie aussi Gregory Cherlin et Alexandre Borovik pour leurs suggestions fructueuses.
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Groupes de type mixte Eric Jaligot Institut Girard Desargues, UPRES-A 5028 Mathematiques, Uni¨ ersite´ Claude Bernard ´ Lyon-1, 43 bl¨ d du 11 no¨ embre 1918, 69622 Villeurbanne Cedex, France E-mail: [email protected] Communicated by Gernot Stroth Received April 15, 1998
We show that a minimal counterexample to the Cherlin]Zil’ber conjecture Žtame or not. cannot be of mixed type. Q 1999 Academic Press
1. INTRODUCTION Selon la conjecture de Cherlin-Zil’ber, un groupe simple infini de rang de Morley fini doit ˆ etre un groupe algebrique sur un corps algebriquement ´ ´ clos. De fac¸on generale, la composante connexe d’un 2-Sylow d’un groupe ´ ´ de rang de Morley fini est le produit central d’un groupe 2-unipotent et d’un 2-tore Žcf. fait 2.16 et definition 2.5, ou w11x.. Ce qui se passe dans le ´ cas d’un groupe algebrique est plus precis: le 2-tore est trivial si la ´ ´ caracteristique du corps de base est 2 et le sous-groupe 2-unipotent est ´ trivial si la caracteristique est differente de 2. Il y a donc pour les groupes ´ ´ algebriques une dichotomie en ce qui concerne la structure des 2-Sylows, ´ et c’est aussi ce qui devrait se passer pour les groupes simples de rang de Morley fini si la conjecture de Cherlin]Zil’ber est vraie. On peut donc formuler les definitions en rapport avec cette question: ´ D´ EFINITION. Si S est un 2-Sylow d’un groupe de rang de Morley fini et S 0 s B)T la decomposition en un sous-groupe 2-unipotent B et en un ´ 2-tore T, on dit que le groupe est: }de type pair si T s 1. }de type impair si B s 1. }de type mixte si T / 1 et B / 1. Cette definition n’est pas ambigue ´ ¨ car les 2-Sylows d’un groupe de rang de Morley fini sont conjugues ´ Žcf. w11x.. 753 0021-8693r99 $30.00 Copyright Q 1999 by Academic Press All rights of reproduction in any form reserved.
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Dans une approche inductive de la conjecture de Cherlin]Zil’ber, on
´etudie un contre-exemple minimum Ži.e., un contre-exemple de rang minimum.. Pour ce faire, on utilise la notion de K *-groupe et de K-groupe introduite dans w7x Žcf. definitions 2.27 et 2.34.. Un contre-exemple mini´ mum ` a cette conjecture est un K *-groupe et tout sous-groupe propre definissable d’un K *-groupe est un K-groupe. On montre ici le theoreme ´ ´ ` suivant: THEOREME ´ ` 1.1. Un K *-groupe simple ne peut pas ˆetre de type mixte. Un groupe de rang de Morley fini qui, en un sens, ne contient ni mauvais groupe ni mauvais corps est dit ordinaire Žvoir par exemple w2x.; de nombreux travaux ont ´ ete ´ effectues ´ sous cette hypothese ` forte. T. Altinel, A. Borovik et G. Cherlin ont montre ´ dans w2x qu’un K *-groupe simple ordinaire ne peut pas ˆ etre de type mixte. Le but initial de ce travail ´etait de se passer de la moitie´ la plus technique de l’hypothese ` ‘‘ordinaire’’, c’est-a-dire le fait qu’aucun mauvais corps n’est interprete. ` ´ ´ De fait, les nouveaux arguments ne supposent plus rien sur les mauvais groupes et le mot ‘‘ordinaire’’ peut completement disparaıtre ` ˆ de la formulation du theoreme. Il convient toutefois de remarquer que notre ´ enonce ´ ` ´ est exact, mais vide de sens si B s T s 1. C’est par exemple le cas si notre K *-groupe est un mauvais groupe, lequel ne peut avoir d’involutions Žcf. w10, 12, 14x.. La preuve de ce theoreme ´ ` de dichotomie suit le principe general ´ ´ de w2x: on construit dans un contre-exemple un sous-groupe faiblement inclus puis on montre que ce sous-groupe est fortement inclus, ce qui donne une contradiction en considerant le nombre de classes de conjugaison d’involu´ tions. Mais le cœur des arguments est sensiblement different: l’idee ´ ´ nouvelle ici ´ etait d’utiliser la formule de Thompson Žvoir w3x. pour limiter le rang de certains groupes. Mais l’analyse faite sur les classes de conjugaison d’involutions a fait apparaıtre ˆ des contradictions, ´evitant finalement tout calcul de rang. Cela donne de plus une preuve plus simple que celle de w2x. La papier est organise ´ ainsi: la section suivante rassemble les faits sur les groupes de rang de Morley fini utiles pour la demonstration. Pour plus ´ de details sur les notions de bases, le lecteur peut consulter w9x. Cette ´ section comporte aussi des generalites ´ ´ ´ sur les K-groupes et les K *-groupes. Dans la troisieme ` section, on fait un resume ´ ´ de ce qui a ´ete´ montre´ dans w2x concernant les interactions entre les sous-groupes 2-unipotents et les 2-tores dans les K-groupes; ` a de rares modifications pres, ` le seul ingredi´ ent supplementaire est ici un resultat sur les extensions centrales ‘‘non ´ ´ Žcf. w4x.. ordinaires’’ de groupes algebriques ´
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Dans la quatrieme ` section, on montre qu’une certaine configuration de groupe de type mixte, avec un sous-groupe isomorphe ` a PSL2 Ž K ., n’existe pas. C’est le theoreme de ce cas sert uniquement ` a la ´ ` 4.2. L’elimination ´ construction d’un sous-groupe faiblement inclus dans un contre-exemple au theoreme ´ ` de dichotomie Žconstruction qui suit le tout debut ´ de celle de w2x, dont on repete ´ ` rapidement les arguments.. Dans la derniere ` section on montre que ce sous-groupe faiblement inclus est en fait fortement inclus Žtheoreme ´ ` 5.1..
´ 2. PREREQUIS Si G est un groupe et a un ´ element de G, on notera parfois Ca Žau lieu ´ Ž .. de CG a le centralisateur dans G de a , si le groupe G est clair dans le contexte. I Ž G . designera l’ensemble des ´ elements de G d’ordre 2. Toutes ´ ´ les notations concernant les groupes de rang de Morley fini sont celles de w9x. Fait 2.1 w3, Fait 2.9x. La cloture definissable d’un sous-groupe cyclique ˆ ´ d’un groupe de rang de Morley fini est le produit direct d’un groupe abelien divisible et d’un groupe fini cyclique. ´ Fait 2.2 w8x. Soit G un groupe de rang de Morley fini et H un sous-groupe de G normal et definissable. Si x g G est tel que x est un ´ p-element de G s GrH, alors le coset xH contient un p-element. ´´ ´´ Fait 2.3 w20x. Soit G un groupe de rang de Morley fini et H un Žresp. nilpotent. de classe n, alors sa sous-groupe de G. Si H est resoluble ´ Žresp. nilpotente., de classe cloture definissable dŽ H . est aussi resoluble ˆ ´ ´ exactement n. Fait 2.4 w16x. Soit G un groupe nilpotent de rang de Morley fini. Alors G s D)C ou et caracteris` D et C sont des sous-groupes definissables ´ ´ tiques de G, D est divisible et C est d’exposant borne. ´ Si T est l’ensemble des ´ elements de torsion de D, alors T est central dans D et D s T = N ´ pour un sous-groupe N divisible et sans torsion. C est la somme directe de ses p-Sylows. D´ EFINITION 2.5. Soit G un groupe de rang de Morley fini et p un nombre premier. On appelle p-tore de G tout p-sous-groupe de G divisible et abelien. On appelle p-unipotent tout p-sous-groupe de G definis´ ´ sable, connexe et d’exposant borne. ´ Fait 2.6 w11x. Soit T un p-tore dans un groupe de rang de Morley fini G. Alors w NG ŽT . : CG ŽT .x - `.
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Fait 2.7 w9, Corollaire 6.20, p. 106x. Soit P un p-sous-groupe localement fini d’un groupe G de rang de Morley fini. Alors P satisfait les proprietes ´ ´ suivantes: Ži. P 0 est nilpotent et P 0 s B)T est le produit central d’un groupe nilpotent B d’exposant borne ´ et d’un p-tore T. Žii. ZŽ P . / 1 et P satisfait la condition de normalisateur. Žiii. Si P est infini et d’exposant fini, il est nilpotent et son centre contient une infinite d’ordre p. ´ d’elements ´´ D´ EFINITION 2.8. Soit G un groupe quelconque. Soit s Ž G . le sousgroupe de G engendre et ´ par tous ses sous-groupes normaux resolubles, ´ F Ž G . le sous-groupe de G engendre ´ par tous ses sous-groupes normaux nilpotents. On appelle s Ž G . le radical resoluble de G et F Ž G . le sous´ groupe de Fitting de G. Fait 2.9 w6; 9, Theoreme ´ ` 7.3, p. 112x. Soit G un groupe de rang de Morley fini. Alors s Ž G . et F Ž G . sont des sous-groupes definissables de G, ´ et ils sont respectivement resoluble et nilpotent. ´ Fait 2.10 w20x. Soit G un groupe de rang de Morley fini connexe, resoluble et non nilpotent. Alors G interprete ´ ˆ un corps algebriquement ´ clos K. Plus precisement, une section definissable de F Ž G . est isomorphe ´ ´ ´ de GrF Ž G . est isomorphe ` a un sous`a Kq et une section definissable ´ groupe infini de K *. Fait 2.11 w9, Theoreme ´ ` 9.7x. Soit A i G un groupe de rang de Morley Ž fini tel que CG A. s 1. Soit H eG1 eG des sous-groupes definissables ´ avec G1 connexe et H infini et abelien. Supposons aussi que A est ´ G1-minimal. Alors 0
Z Z Ž G . rann Zw ZŽG. 0 x Ž A . est un corps algebriquement clos definissable, A est un espace vectoriel de ´ ´ dimension finie sur K, G agit sur A par automorphismes d’espace vectoriel et H agit comme un groupe de scalaires. En particulier, G F GLnŽ K . pour un n, H F ZŽ G . et CAŽ G . s 1. Fait 2.12 w15x. Soit G un groupe de rang de Morley fini, connexe et resoluble. Alors GrF Ž G . 0 Žet, donc, GrF Ž G .. est un groupe divisible et ´ abelien. ´ Fait 2.13 w8x. Soit G un groupe de rang de Morley fini, connexe et resoluble. Alors les p-sous-groupes de Hall de G sont connexes. ´
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Fait 2.14 w5x. Soit G un groupe resoluble de rang de Morley fini Žou ´ plus generalement v-stable., N eG, et H un p-sous-groupe de Hall de G ´ ´ pour un ensemble p de nombres premiers. Si N est definissable, alors ´ HNrN est un p-sous-groupe de Hall de GrN et tous les p-sous-groupes de Hall de GrN sont de cette forme. Fait 2.15 w9, Proposition 10.2x. Soit G un groupe de rang de Morley fini, i et j deux involutions de G. Alors soit i et j commutent avec une troisieme ` involution de dŽ ij ., soit i et j sont dŽ ij .-conjuguees. ´ Fait 2.16 w11x. Soit S un 2-Sylow d’un groupe de rang de Morley fini G. Alors S doit satisfaire les proprietes ´ ´ suivantes: Ži. S est nilpotent-par-fini. Žii. S 0 s B)T est le produit central d’un sous-groupe definissable, ´ connexe, nilpotent et 2-unipotent B, et d’un 2-tore T. De plus B et T sont determines ´ ´ de maniere ` unique. Fait 2.17 w11x. Les 2-Sylows d’un groupe de rang de Morley fini sont conjugues. ´ Fait 2.18 w1, Fait 2.48x. Soit S un 2-Sylow d’un groupe G de rang de Morley fini, et S 0 s B)T comme dans le fait 2.16. Alors une involution de T ne peut ˆ etre conjuguee ´ qu’a` un nombre fini d’involutions de B. En particulier G ne peut pas ˆ etre de type mixte si toutes ses involutions sont conjuguees. ´ D´ EFINITION 2.19. Soit G un groupe de rang de Morley fini. Un sousgroupe propre definissable M de G est dit fortement inclus s’il satisfait les ´ conditions suivantes: Ži. M contient des involutions. Žii. Pour tout g g G _ M, M l M g ne contient pas d’involution. Fait 2.20 w9, Theoreme ´ ` 10.19x. Soit G un groupe de rang de Morley fini avec un sous-groupe propre definissable M. Alors les proprietes ´ ´ ´ suivantes sont ´ equivalentes: Ži. M est un sous-groupe fortement inclus. Žii. I Ž M . / B, CG Ž i . F M pour tout i g I Ž M . et NG Ž S . F M pour tout 2-Sylow S de M. Fait 2.21 w9, Theoreme ´ ` 10.19x. Soit G un groupe de rang de Morley fini avec un sous-groupe fortement inclus M. Alors I Ž G . est une classe de conjugaison dans G et I Ž M . est une classe de conjugaison dans M.
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D´ EFINITION 2.22. Soit G un groupe de rang de Morley fini. Un sousgroupe propre definissable M de G est dit faiblement inclus s’il satisfait ´ les conditions suivantes: Ži. Les 2-Sylows de M sont infinis. Žii. Pour tout g g G _ M, M l M g a des 2-Sylows finis. Fait 2.23 w2x. Soit G un groupe de rang de Morley fini. Un sous-groupe definissable propre de G est un sous-groupe faiblement inclus si et ´ seulement s’il verifie les proprietes ´ ´ ´ suivantes: Ži. M a des 2-Sylows infinis. Žii. Pour tout sous-groupe 2-unipotent U et tout 2-tore T de M, NG ŽU . F M et NG ŽT . F M. D´ EFINITION 2.24. Soit G un groupe de rang de Morley fini. O Ž G . designe le sous-groupe sans involution normal, definissable et connexe ´ ´ maximal de G. O 2 Ž G . designe le 2-sous-groupe normal maximal de G. ´ Remarque 2.25. Si G est un groupe de rang de Morley fini avec un sous-groupe faiblement inclus, alors Ž O 2 Ž G .. 0 s 1 et le fait 2.13 implique que F Ž G . 0 F O Ž G .. Fait 2.26 w4x. Soit G un groupe de rang de Morley fini parfait tel que GrZŽ G . soit un groupe algebrique quasi-simple. Alors G est un groupe ´ algebrique. En particulier ZŽ G . est fini w13, Sect. 27.5x. ´ Pour finir cette section, on montre quelques resultats sur les K-groupes ´ et sur les K *-groupes. D´ EFINITION 2.27. Un groupe de rang de Morley fini dont les sections infinies, simples et definissables sont des groupes algebriques sur des corps ´ ´ algebriquement clos est appele ´ ´ un K-groupe. Fait 2.28 w1x. Soit G un K-groupe connexe et non resoluble. Alors ´ . Grs Ž G . est isomorphe ` a une somme directe de groupes Ždefinissables ´ algebriques simples sur des corps algebriquement clos. ´ ´ PROPOSITION 2.29.
Soit G un K-groupe et S p un p-Sylow de G. Alors:
Ži . est nilpotent et S p0 s B)T est le produit central d’un groupe nilpotent B d’exposant borne´ et d’un p-tore T. Žii. ZŽ S p . / 1 et S p satisfait la condition de normalisateur. Žiii. Si S p est infini et d’exposant fini, il est nilpotent et son centre contient une infinite´ d’elements d’ordre p. ´´ S p0
Preu¨ e. Le fait 2.28 montre que S p0 est resoluble. Comme S prS p0 est un ´ p-groupe fini, il est nilpotent et S p est resoluble. Or S p est un groupe de ´ torsion; il est donc localement fini et on peut appliquer le fait 2.7.
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On peut developper une theorie pour les p-Sylows dans les K-groupes; ´ ´ notamment, il est facile de voir que les p-Sylows d’un K-groupe connexe sont conjugues. ´ Mais pour la suite, on se contentera du fait suivant. Notons qu’il est montre ´ dans le cadre plus general ´ ´ des groupes v-stables pour les 2-Sylows w18x. PROPOSITION 2.30. Soit G un K-groupe et N un sous-groupe normal, definissable et connexe de G. Soit HrN un p-Sylow de GrN. Alors Ž HrN . 0 ´ 0 s S p NrN pour un p-Sylow S p de G. Preu¨ e. Remarquons d’abord que si S1 et S2 sont deux p-Sylows d’un K-groupe tels que S10 F S20 , alors S10 s S20 . En effet, on a S10 s B1 )T1 et S20 s B2 )T2 comme dans la proposition 2.29, avec B1 F B2 et T1 F T2 . Comme B2 est definissable et connexe, B1 s B2 par maximalite ´ ´ de B1. Si T1 - T2 , alors le rang de Prufer ¨ de T2 est strictement plus grand que celui de T1 , une contradiction avec la maximalite ´ de T1. Avec cette remarque, il suffit de montrer que Ž HrN . 0 s S 0 NrN ou ` S est un p-sous-groupe de G. Soit H1 s dŽ H . 0 . H1rN s Ž dŽ H .rN . 0 s dŽ HrN . 0 est resoluble avec la proposition 2.29 et le fait 2.3. Comme ´ Žfait 2.28., on en deduit H1rs Ž H1 . est completement reductible que ` ´ ´ H1 s Ns Ž H1 .. Par consequent H1rN est isomorphe ` a un quotient de ´ s Ž H1 . et il suffit alors d’appliquer le fait 2.14. LEMME 2.31. Soit G un K-groupe connexe a¨ ec des p-Sylows finis. Alors G est resoluble et sans p-element. ´ ´´ Preu¨ e. Cela decoule immediatement des faits 2.28, 2.14 et 2.13. ´ ´ Notation 2.32. Si K est un corps algebriquement clos, Ž P . SL 2 Ž K . ´ designe SL 2 Ž K . ou PSL2 Ž K .. ´ La proposition suivante a ´ ete ´ montree ´ dans w2x pour les groupes ordinaires. La preuve fonctionne sans cette hypothese, ` en utilisant le fait 2.26 pour les extensions centrales de groupes algebriques, et en remarquant ´ Žremarque que F Ž H . 0 F O Ž H . F s Ž H . 0 et s Ž H . 0rOŽ H . est abelien ´ 2.25, lemme 2.31 et fait 2.12.. PROPOSITION 2.33 w2, LEMME 5.20x. Soit H un K-groupe connexe, non resoluble et a¨ ec un sous-groupe faiblement inclus. Alors HrOŽ H . ( ´ Ž P . SL 2 Ž K . ou clos. ` K est un corps algebriquement ´ D´ EFINITION 2.34. Un groupe de rang de Morley fini dont les sousgroupes propres definissables sont des K-groupes est appele ´ ´ un K *-groupe. Les deux propositions qui suivent seront utiles pour montrer le theoreme ´ ` de dichotomie dans leur version ci-dessous, mais peuvent aussi servir ` a l’etude des groupes de type pair. ´
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PROPOSITION 2.35. Soit G un K *-groupe simple, S un 2-Sylow et S 0 s B)T la decomposition de S 0 en partie 2-unipotente et en partie di¨ isible Ž fait ´ 0 2.16.. Soit Z s ZŽ B . . Alors NG Ž Z . 0 CG Ž Z .rCG Ž Z . est di¨ isible et abelien. ´ Preu¨ e. Si Z s 1, il n’y a rien ` a prouver. On suppose donc Z / 1. Alors NG Ž Z . est un K-groupe et S 0 F CG Ž Z . 0 . Dans ce paragraphe la notation } designe les quotients par CG Ž Z . 0 . La ´ 0 proposition 2.30 implique que les 2-Sylows de NG Ž Z . sont finis. Donc 0 NG Ž Z . est resoluble et sans involution d’apres ´ ` le lemme 2.31. Par suite NG Ž Z . 0 CG Ž Z .rCG Ž Z . est resoluble et sans involution. A ´ partir de maintenant la notation } signifie ‘‘quotient par CG Ž Z .’’. Con0 0 siderons le groupe Z i NG Ž Z . . On va montrer que F Ž Z i NG Ž Z . . s Z. ´ 0 0 Il existe un sous-groupe H de NG Ž Z . tel que F Ž Z i NG Ž Z . . s Z i H. Alors Z i H est nilpotent Žfait 2.9., Z est 2-unipotent et H est sans involution d’apres le fait 2.4 implique donc que H ` ce qui precede; ´` 0 centralise Z. Mais alors H F CG Ž Z .. Donc F Ž Z i NG Ž Z . . s Z et 0 NG Ž Z . est divisible et abelien d’apres ´ ` le fait 2.12. PROPOSITION 2.36. Soit G un K *-groupe simple, S un 2-Sylow de G et S 0 s B)T la decomposition de S 0 en partie 2-unipotente et en partie di¨ isible ´ Ž fait 2.16.. On suppose B / 1. Soit Z s ZŽ B . 0 . On suppose qu’il existe un sous-groupe X de G definissable et connexe tel que: ´ Ži. Žii.
X normalise Z et agit transiti¨ ement sur Z. XrC X Ž Z . est abelien ´ et infini.
Alors CNG Ž Z .Ž b . s CG Ž Z . pour tout b g I Ž Z .. les quotients par CG Ž Z .. Considerons Preu¨ e. La notation } designe ´ ´ le groupe Z i NG Ž Z . . Comme X agit transitivement sur Z, Z est NG Ž Z . 0-minimal. Le fait 2.11 s’applique avec A s Z, H s X, et G1 s NG Ž Z . 0 Žproposition 2.35.; Donc X F ZŽNG Ž Z . .. Soit maintenant b g Z _ 14 et h g CNG Ž Z .Ž b .. Comme X agit transitivement sur Z, il suffit de montrer que h centralise b x pour tout x de X: en y1 y1 effet, b x h s bw x , h xh x s b x.
3. GROUPES DE TYPE B ET D Dans cette section, on rassemble les resultats de la section B-D de w2x. ´ Les preuves sont identiques ` a celles du cas ordinaire ` a deux differences ´ pres: il faut utiliser ici la version ‘‘non ordinaire’’ du resultat sur les ` ´ Ž . extensions centrales de groupes algebriques fait 2.26 , et il faut utiliser la ´
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proposition 2.33 Ž` a la place du lemme 5.20 de w2x. pour le fait 3.9. Le seul autre changement, qui n’est pas juste un probleme est dans ` de reecriture, ´´ la preuve du fait 3.5. D´ EFINITION 3.1. Soit G un groupe de rang de Morley fini. Soit U Ž G . l’ensemble des 2-sous-groupes unipotents et T Ž G . l’ensemble des 2-tores; soit B Ž G . s ²U: U g U Ž G .: et DŽ G . s ² dŽT .: T g T Ž G .:. On dit que G est de type B si G s B Ž G . et de type D si G s DŽ G .. Remarque 3.2. Pour tout groupe G de rang de Morley fini, B Ž G . et Ž D G . sont des sous-groupes caracteristiques de G. Comme les sous-groupes ´ 2-unipotents et les clotures definissables des 2-tores sont definissables et ˆ ´ ´ connexes, B Ž G . et DŽ G . sont deux sous-groupes definissables et connexes ´ en consequence du Theoreme des Indecomposables de Zil’ber w19x. ´ ´ ` ´ On peut aussi remarquer que toute image homomorphique d’un groupe de type B Žrespectivement de type D . est de type B Žrespectivement de type D .. Fait 3.3 w2, Lemme 5.4x. Soit H un K-groupe de type D. Alors U Ž H . s B. Fait 3.4 w2, Lemme 5.7 et Corollaire 5.8x. Soit H un K-groupe. Alors Ž B H . et DŽ H . commutent. Fait 3.5 w2, Lemme 5.9x. Soit H un K-groupe de type B. Alors T Ž H . s B. Preu¨ e. Si H est resoluble, on procede ´ ` comme dans w2x. Supposons que H n’est pas resoluble, et que H est un contre-exemple ` a l’enonce ´ ´ ´ de rang minimum. H contient un 2-tore non-trivial T qui doit ˆ etre central Žfait 3.4.. Ainsi dŽT . : F Ž H . 0 . On a la decomposition unique F Ž H . 0 s C ) D ´ ou connexe et d’exposant borne et ` C est definissable, ´ ´ et D est definissable ´ divisible Žfait 2.4.. De plus C est trivial car sinon HrC serait un autre contre-exemple de rang strictement inferieur. Par consequent F Ž H . 0 est ´ ´ divisible. On montre que ZŽ H . 0 s F Ž H . 0 s s Ž H . 0 . Soit U un sous-groupe 2-unipotent de H. Alors F Ž H . 0 U est nilpotent. En effet, si ce n’est pas le cas, il est connexe et resoluble et un corps algebriquement clos K est interpreta´ ´ ´ ble dans F Ž H . 0 U Žfait 2.10. et une section definissable de U est isomorphe ´ `a un sous-groupe infini de K * d’exposant borne, ´ une contradiction. Ainsi le fait 2.4 implique que F Ž H . 0 U est un produit central. Donc F Ž H . 0 centralise B Ž H . s B et par consequent F Ž H . 0 s ZŽ H . 0 . D’apres ´ ` le fait 0 0 2.12, s Ž H . est nilpotent, donc ZŽ H . s F Ž H . 0 s s Ž H . 0 . Ensuite on peut conclure comme dans w2x.
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On introduit maintenant un graphe sur U Ž G .. Une theorie analogue ´ peut ˆ etre developpee ´ ´ sur T Ž G. comme dans w2x, pour les groupes non ordinaires, mais cela est inutile pour ce qui suit. D´ EFINITION 3.6. Soit G un groupe de rang de Morley fini. On definit ´ un graphe sur U Ž G . comme suit: les sommets du graphe sont les ´ elements ´ de U Ž G . et deux sommets U1 et U2 sont relies ´ par une arete ˆ si U1 et U2 se normalisent; cela sera note ´ U1 ; U2 . Fait 3.7 w2, Corollaire 5.17x. Soit G un K *-groupe qui n’a pas de sous-groupe 2-unipotent central, et U g U Ž G .. Si U Ž G . est un graphe connexe, alors DŽ CG ŽU ..eG. } Fait 3.8 w2, Proposition 5.18 et Corollaire 5.19x. Soit G un groupe de rang de Morley fini, W une composante connexe de U Ž G . et M s NG Ž² W :.. Alors U Ž M . s W . En particuler M s stabŽ W . et ce dernier groupe est definissable. ´ Fait 3.9 w2, Proposition 5.21x. Soit H un K-groupe de type B avec U Ž H . non connexe. Alors H ( PSL2 Ž K . ou ` K est un corps algebrique´ ment clos de caracteristique 2. ´ Notons B et D les posets des sous-groupes Žordonnes ´ par l’inclusion. de type B et D respectivement d’un K *-groupe G. Considerons aussi les ´ applications suivantes: BC: D ª B Y ¬ B Ž CG Ž Y . . DC: B ª D X ¬ B Ž CG Ž X . . . Ces deux applications definissent une correspondance de Galois entre B ´ et D. Donc: Fait 3.10 w2, Proposition 5.30x. Soit X g B et Y g D. Alors DCX s DCBCDCX et BCY s BCDCBCY.
4. CONSTRUCTION D’UN SOUS-GROUPE FAIBLEMENT INCLUS On commence par montrer un lemme technique qui servira dans cette section et dans la suivante.
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LEMME 4.1. Soit G un groupe de rang de Morley fini a¨ ec des in¨ olutions i, j, k et k9 telles que: Ži. i et j ne sont pas conjuguees. ´ Žii. B Ž Ck . ( PSL2 Ž K . ou clos de ` K est un corps algebriquement ´ caracteristique 2. ´ Žiii. k9 est l’unique in¨ olution de dŽ ij .. Živ. i g B Ž Ck ., j g Ck et k9 f B Ž Ck .. Alors jk9 g B Ž Ck .. Preu¨ e. Notons que dŽ ij . F Ck . Considerons d Ž ij . s dŽ ij .rdŽ ij . l ´ 2 2 j Ž . Ž . Ž . B Ck . Comme ij s ii g B Ck , on a ij s 1. Ainsi ijs y ou ` y est un 2-element de dŽ ij . Žfait 2.2.. De plus y est d’ordre au plus 4 car y 2 g B Ž Ck .. ´´ Si y s 1, alors ij g B Ž Ck ., j g B Ž Ck .; donc i et j sont conjuguees, ´ une contradiction. Si y 2 est d’ordre 2, alors k9 s y 2 g B Ž Ck ., une contradiction. Donc y s k9, ijk9 g B Ž Ck . et jk9 g B Ž Ck .. Maintenant on ´ elimine une premiere ` configuration de groupe de type mixte dans le theoreme ´ ` 4.2. Le schema ´ de la preuve est le suivant: comme le groupe est de type mixte, il doit avoir au moins deux classes de conjugaison d’involutions. Mais la structure particuliere ` et la mixite´ du groupe permettent de montrer que ces deux classes commutent, ce qui contredit la simplicite le debut de la ´ du groupe. Ensuite on resume ´ ´ construction de w2x et on se ramene pour ` `a la configuration precedente ´´ obtenir un sous-groupe faiblement inclus. THEOREME ´ ` 4.2. Il n’existe pas de K *-groupe simple G de type mixte a¨ ec un 2-sous-groupe B) R, ou ` B est 2-unipotent maximal et R est un 2-tore, et B Ž CG Ž R .. ( PSL2 Ž K . ou clos de caracteris` K est un corps algebriquement ´ ´ tique 2. Dans ce qui suit on analyse un groupe G qui satisfait les hypotheses ` du theoreme ´ ` 4.2. Soit Q s B Ž CG Ž R ... Notons que B est un 2-Sylow de Q; en particulier B est abelien et ses involutions sont toutes con´ ´elementaire ´ juguees. ´ Soit I1 s b G pour une involution b de B. Soit t une involution de R et I2 s t G. Selon le fait 2.18, I2 / I1. Les arguments qui suivent vont montrer que I1 et I2 commutent. Supposons au contraire qu’il existe Ž i, j . g I1 = I2 tel que w i, j x / 1. Fixons Bi un sous-groupe 2-unipotent connexe maximal de G qui contient i. LEMME 4.3. CG Ž b . s CG Ž B . pour toute in¨ olution b de B. Preu¨ e. En considerant le tore maximal de Q qui normalise B, la ´ proposition 2.36 montre que CNG Ž B .Ž b . s CG Ž B . pour toute involution b g B. Il suffit donc de montrer que si b g I Ž B ., alors CNG Ž B .Ž b . s CG Ž b ..
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Or B Ž CG Ž b .. centralise DŽ CG Ž b .. Žfait 3.4., donc B Ž CG Ž b .. centralise DŽ CG Ž Q ... Ainsi B Ž CG Ž b .. F B Ž CG Ž DŽ CG Ž Q .... s Q Žfait 3.10.. Comme Q ( PSL2 Ž K ., on a B Ž CG Ž b .. s B. Donc B est normal dans CG Ž b . et CNG Ž B .Ž b . s CG Ž b .. COROLLAIRE 4.4. Deux in¨ olutions i1 et i 2 de I1 commutent si et seulement si elles sont dans le meme ˆ sous-groupe 2-unipotent de G. LEMME 4.5.
dŽ ij . contient une unique in¨ olution.
Preu¨ e. Il suffit de montrer que dŽ ij . ne contient pas de 2-tore non trivial, et d’appliquer les faits 2.1 et 2.15. Supposons, au contraire, que T0 est un tel 2-tore. Alors T0 est inverse ´ par i. Mais T0 contient une involution, disons t 0 . On a Bi F B Ž CG Ž t 0 .. avec le lemme 4.3. Alors Bi doit centraliser T0 Žfait 3.4., ce qui contredit le fait que i inverse T0 . Appelons k l’unique involution de dŽ ij .. On va maintenant considerer ´ Ck , le centralisateur dans G de k. Notons que Ck contient dŽ ij ., Bi et j Žlemme 4.3.. LEMME 4.6. B Ž Ck . ( PSL2 Ž K . ou clos de ` K est un corps algebriquement ´ caracteristique 2. ´ Preu¨ e. Si Bi l Ž Bi . j / 1, alors Bi s Bij Žcorollaire 4.4. et j centralise une involution de Bi Žfait 2.7Žiii..; donc j centralise i d’apres ` le lemme 4.3, une contradiction avec notre hypothese. ` Donc Bi l Ž Bi . j s 1. Or Bi et Ž Bi . j sont deux sous-groupes 2-unipotents maximaux de B Ž Ck .. On voit alors facilement que le graphe U Ž B Ž Ck .. n’est pas connexe. Il suffit ensuite d’utiliser le fait 3.9. LEMME 4.7. w I1 , I2 x s 1. Preu¨ e. Le lemme precedent montre en particulier que B Ž Ck . est ´´ simple. Donc k f B Ž Ck .. On peut appliquer le lemme 4.1 aux involutions i, j, k et k respectivement; ainsi jk g B Ž Ck .. En particulier jk g I1. Soit Bjk un conjugue ´ de B qui contient jk et R j un conjugue´ de R qui contient j. Comme j centralise jk, j centralise Bjk Žlemme 4.3.. Donc R j centralise Bjk Žfait 3.4.. En particulier R j centralise k. Donc R j centralise B Ž Ck . Žfait 3.4.. Ainsi j centralise B Ž Ck . et jk g ZŽ B Ž Ck .., une contradiction avec le lemme precedent. ´´ Preu¨ e du theoreme ´ ` 4.2. Comme G est simple, on a G s ² I1 :. Alors I2 centralise G avec le lemme 4.7, une contradiction. On peut maintenant montrer qu’un K *-groupe simple de type mixte a un sous-groupe faiblement inclus comme dans w2x, theoreme ´ ` 6.25. THEOREME 4.8. Un K *-groupe simple de type mixte doit contenir un ´ ` sous-groupe faiblement inclus.
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Preu¨ e du theoreme ´ ` 4.8. Soit G un tel groupe, S un 2-Sylow de G et S 0 s B) D comme au fait 2.16, ou ` B est 2-unipotent et D est un 2-tore. U Ž G . n’est pas connexe d’apres ` le fait 3.7. Soit W la composante connexe de U Ž G . qui contient B et M s stabŽ W .. On va montrer que M est faiblement inclus dans G avec la caracterisation 2.23. ´ D’abord M contient B. Le fait 3.8 montre que U Ž M . s W , M - G et M est definissable. Par definition de M, NG ŽU . F M pour tout sous-groupe ´ ´ 2-unipotent U non trivial de M. Il reste ` a montrer que le normalisateur de chaque 2-tore R de M est inclus dans M. Supposons que NG Ž R . g M. Soit Q s B Ž CG Ž R ... Notons que Q s B Ž NG Ž R .. Žfait 2.6.. Si B Ž NG Ž R .. F M, alors U Ž NG Ž R .. : W Žfait 3.8., et NG Ž R . stabilise la composante connexe W , une contradiction avec notre hypothese. ` Donc Q g M. Or Q est de type B, U Ž M . s W et Ž . B F Q fait 3.4 ; donc U Ž Q . n’est pas connexe et Q ( PSL2 Ž K . ou ` K est un corps algebriquement clos de caracteristique 2 Žfait 3.9.. Mais cette ´ ´ configuration est impossible d’apres ` le theoreme ´ ` 4.2. Ainsi NG Ž R . F M et M est faiblement inclus dans G.
` L’INCLUSION FORTE 5. DE L’INCLUSION FAIBLE A On montre maintenant que le sous-groupe faiblement inclus construit dans la section precedente est fortement inclus. Les idees ´´ ´ sont les memes ˆ que celles de la demonstration du theoreme 4.2, c’est-a-dire basees ´ ´ ` ` ´ sur l’analyse des interactions entre les differentes classes de conjugaison ´ d’involutions, mais avec la presence cette fois du sous-groupe faiblement ´ inclus. Ce que l’on va montrer ici, c’est que M contient toute une classe de conjugaison d’involutions. 5.1. Soit G un K *-groupe simple de type mixte a¨ ec un THEOREME ´ ` sous-groupe faiblement inclus M. Alors M est fortement inclus. Dans ce qui suit on analyse on contre-exemple au theoreme ´ ` 5.1. Supposons que M n’est pas fortement inclus. D’apres ` le fait 2.20Žii., M doit contenir au moins une involution a telle que CG Ž a . g M. Soit IM s a g I Ž M . N CG Ž a . g M 4 . On appellera parfois les involutions de IM les involutions problematiques de M. La structure des centralisateurs de ces involu´ tions ´ etait analysee ´ dans w2x, theoreme ´ ` 7.5, points Ž1. `a Ž6.; en voici un resume: ´ ´ Fait 5.2. Soit a g IM . Alors: Ži. Žii.
Ca0 s B Ž Ca0 . = O Ž Ca0 .. a f Ca0 .
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Žiii. DŽ Ca . s 1. Živ. B Ž Ca . s B Ž Ca0 . ( PSL2 Ž K . ou ` K est un corps algebriquement ´ clos de caracteristique deux. ´ Žv. M l B Ž Ca0 . s A i T ou ` A est un 2-Sylow de B Ž Ca0 . et T le 0 tore maximal de B Ž Ca . qui normalise A Ž M l B Ž Ca0 . est donc un Borel de B Ž Ca0 ... On definit l’application suivante: ´ A: IM ª U Ž M .
a ¬ AŽ a . ou ` AŽ a . est le 2-Sylow A du Borel M l B Ž Ca0 . de B Ž Ca0 ., comme precedemment. Notons que chaque AŽ a . est un 2-sous-groupe abelien ´´ ´ definissable et connexe. De plus les involutions de AŽ a . sont ´elementaire, ´ ´ toutes conjuguees. ´ Soit R un 2-tore de G, t une involution de R, et I2 s t G. Les arguments qui suivent vont montrer que I2 : M, ce qui contredira la simplicite ´ de G. Supposons au contraire qu’il existe une involution j de I2 telle que j f M. Soit R j un conjugue ´ de R qui contient j. LEMME 5.3. Soit a g IM et i g AŽ a .. Alors dŽ ij . contient une unique in¨ olution k. De plus k g IM . Preu¨ e. On a i g AŽ a . F M l Ci0 , donc i f IM Žfait 5.2Žii... Ainsi Ci F M. Comme on a suppose ´ j f M, i et j ne commutent pas. Montrons que dŽ ij . ne contient pas de 2-tore non trivial. Soit, dans le cas contraire, T0 un tel 2-tore et t 0 une involution de T0 . Les involutions i et j centralisent t 0 ; comme i n’est pas problematique, on a t 0 g M. Mais t 0 ´ n’est pas une involution problematique de M d’apres ´ ` le fait 5.2Žiii.. Donc j g M, une contradiction avec notre hypothese. ` Donc < I Ž dŽ ij ..< s 1 puisque i et j ne sont pas conjuguees ´ d’apres ` le fait 2.18. Si on appelle k l’unique involution de dŽ ij ., k g Ci F M et k g IM , car j g Ck . Fixons a 0 g IM et i 0 g AŽ a 0 .. Le lemme 5.3 montre que dŽ i 0 j . contient une unique involution, disons a 1; de plus a 1 est une involution problema´ tique de M. Soit maintenant i1 g AŽ a 1 .. En appliquant ` a nouveau le lemme 5.3, dŽ i1 j . contient une unique involution, disons a 2 , et a 2 g IM . LEMME 5.4.
I2 : M.
Preu¨ e. Montrons que i1 , j, a 1 et a 2 satisfont les hypotheses du ` Ž ., lemme 4.1. Les involutions i1 et j ne sont pas conjuguees fait 2.18 ´ B Ž Ca 1 . ( PSL2 Ž K . Žfait 5.2Živ.., i1 g AŽ a 1 . F B Ž Ca 1 ., j g Ca 1 et a 2 f B Ž Ca 1 . Žcar sinon a 2 g Ca02 .. Donc j a 2 g B Ž Ca 1 ..
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Comme j g Ca 1, j normalise B Ž Ca 1 .. Donc j agit sur B Ž Ca 1 . par automorphisme interieur, car PSL2 Ž K . n’a pas d’automorphisme exterieur. ´ ´ Soit A j a 2 un 2-Sylow de B Ž Ca 1 . qui contient j a 2 . Comme j centralise j a 2 , et comme les 2-Sylows de PSL2 Ž K . sont autocentralisants, j centralise A j a 2 et A j a 2 F B Ž C j .. Le fait 3.4 montre que B Ž C j . et DŽ C j . commutent. En particulier R j centralise j a 2 . Ainsi R j F DŽ Ca 2 ., une contradiction avec le fait 5.2Žiii.. Preu¨ e du theoreme ´ ` 5.1. Si M n’est pas fortement inclus, on a I2 : M avec le lemme 5.4. Mais G est simple, donc G s ² I2 : s M, une contradiction. Le theoreme ´ ` de dichotomie 1.1 est, bien ´evidemment comme dans w2x, une consequence du theoreme 4.8, du theoreme 5.1 et des faits 2.21 ´ ´ ` ´ ` et 2.18.
REMERCIEMENTS Ce travail a ´ ete ´ fait en collaboration ´etroite avec Tuna Altinel; je l’en remercie tres ` chaleureusement. Je remercie aussi Gregory Cherlin et Alexandre Borovik pour leurs suggestions fructueuses.
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ERIC JALIGOT
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