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Mercuriale de groupes et de relations
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 326, Sirie I, p. 219-222, Systi?mes dynamiques/Dynamical Systems (Thborie des groupes/Croup Theory)
Mercuriale
de groupes
1998
et de relations
Introduction Soit
(.\‘.
mesur& groupe Un
1,)
s~,sfc”~w
cat
petit?
relation
Elk
htkitv
d’unc
d’appellation
Par
a’ distance
exemple.
R est engendrke 2 I/. et la :structurc: n’existe
t’amille
uiie
entro
relic
;,(
. 1. 4 11s sent
par
dc gruphe
pas d’identiiicution
.f.) -
I
,/ ,- I. .I’ E
doiiilt
(; est engcndrti
mesurablt~.
G.
est iwmorphc au scns
\ ,
oil
‘l2
soit ‘I?
uric
writ
relatioti
Ies
cl’Pquivalence
orbitc\
Ax
I’action
d’un
(IY~~J. 121). I,
- II, J,,
La
f d’isonlorphisrn(~~ relation
uric
c~l;lsw
dt2
I’ E
les cl6ments
dc
m~tricliita
uiic’
Ix\itt
d:uns
(~11
pan’
II iwmorphismcs
de
II cnfcndrt: \ont
;I I’orbitc (‘onimc
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:
.i.
I Ic>\ sommets
1 clui
des
de
et
classes /j
4) :I ( ;,
borClrennes
tlistinct5)).
le systkme
proh~thilit~. Les
prdcrvant
de graphe
,q 2 p.,(g)
si le groupe
dc /I.
dCnombrablc pal-tie\
vkitiant s~n~cture
?-,
\tanJard. pr&crvant
(,’ d’automorphi~iiles
dklinis
plus
borGlien
d2nombrables
d6nombrable
partiellemcnt
;, (/ J)
eqx~ct:
LIII
in classes
141. on
(I,> ) ctt qit !I,
dktlnis
Ic ctvraphe
de Cal
c‘t
plus
delinit
wr
de Cayley kc
.Y.
qui
a un sommet
tic
1.
place
j/ et
(1) :
la relation
;~lora
pour
du groups.
la
dc 0rientCe
ar?te
III-K
le c7uir
entier.
X,1,.
o,.&tr
jqaintlt~
.Y tout
il.
alcncc
appclk
L’S1
librement
sur
au graphe
.Y
I’orhite
cl,,, (la
pr&rrvant
d’tiqw\
un
cotit
&al
(‘cpendant, IWI\ II@.
il tandis
219
D. Gaboriau
Esquisse
de dbmonstration
, COI~~IIK II:II~~ lc th6or~n~c. I.?.. quc C(G) 5 Cl .\ i
Soit CP = i g,, i, On \,eut 6tablir
du thtorkme et soit ,\ un systtime
qui ..I les mzmea
orbite\.
&rr/w 1 : .s\~.s~~~Hc~rt/rr/~c,. - ~‘uiqu’lls ant I?\ m@mes orbites et pour .I’ appartcnant au domaille d’un gMrateur r:’ de I’un clea s\stc:mo\. iI existe 11n premier (quitte 5 se dormer un bon ordre sur 1~s mots) mot 0. 6crit ii l’aide dcs Ic’tlrc\ tic l’autrr hystkme tel que (I’ soit dCtini cn .I’ et CL(J) = C’~(.I~). On peut dtablir qul: quel quc soil > 0. il euistcs un \y\t&ie fini 12 = (~1, : I’, - E,),L~(l,l! -; qui ;I les mSme\ orbites clue (1). ICI quc‘ : i, 1) f I ) chaque u:, C !? coYncicle sui‘ 11~1 I), Alec 11114b-niot l/i, = ;iI:: :::,I; p,:: ; 7;;;. ; ‘, de Ytl,L_‘] longueur /I,;). a\ec i( i. L) (- I I.:!. ,r) cl -(i. 1, I =: I 1 :
220
Mercuriale
(2) le domaine de chaque p,, se dCcompose en un nombre fini de pikes avec un II-mot ; (3) C(U) < E -t C(A). .&jw 2 : d&hienwnt. - Soient alors U,.k. On construit un espace I7 coniinc X: E {O,l.....l(l)}\{O.I(I.)}. Tribu ct de celles de .Y. On dCtinit les isomorphismes ‘T,,], wr h faire commuter les diagrammes :
de groupes
et de relations
WI’ leaquellcs pi?, coi’ncidc
0, ,, = II, t’t U , 1, = ;;,‘:;~:(fl,.j, I ) cl 1, 1, Line copie clc rkmion disjointe de .Y. el des A,,r pour I
Avec la mZme notation pour le co3 (r&me
4 /I( 1’ ) f 1). il est manilkstc
I’ : \’
. ‘i de man&c
yuc :
Deux points .I’, g t Y sent dans la m6me Sorbitc si et seulement si I’(.{.) cl 01 g, sont dans la meme Q-or-bite. De plus. les orbites \c)nt uniform6mrnt quasi-isomktriques : il cxixtc tleux nombres C1 et Cp indkpendants de .I’ et ~1tels que : ,l,l,(f’(.~.). I’(g)) ‘: (I~;(J.J/) < (‘, .(I,I.(I’(.I ). p(!/))+C‘,. En particulier. si (1 et I! sent dans la mi‘me /‘-fibre. ,lX(t/. 11) 5 C::!. On \:a chcrcher. par I’Ctape 3. B rkduin: cette distance : L’application u,,I. i-i pi;:::, se proloiige cn un morphisme Z’* de\ C-mats dans les ‘I’-snots. L’image par I’, d’un ?<-mot de II Sl I’ est un d)-mol UDIZ rr;thrit pui\qu‘il correspond h un c~clc dans I’mr-l)w reprkentant l’orbite dc P( (I ). &pe 3 : rt~ductior~. ~ Rebaptisonh ( CJ,;I,,,~., le systCrne !? = 1:. Donnons-nous un vrdre total SUI I’ensemble fini K” des paires (u! ‘. o , ) air (T E Y. ,7 # 0,. c = i I et I’, (mi’ ) = I’, i mi’ ). Pour la premkre d’entre elles. disons (~ti,. (12 ) appelons Is ’ I’onsemble des .I’ appartenant ,WX domaincs de dans (kI et de (I’?, pour lesquels les images (~1(.I.) ct rt2i.l ) \ont distinctes (elles sent tk~w~irement la m6me I’-fibre). Soit X’ la projection dc 1’ sur 1’ :~ l’/litl(.rJ - (t:!I./.J pour .I’ ‘- 1 ‘) et wit I” la tactorisation I’ = 1” 3 r’. I,e\ u:. dktcrmin& par le diagramme commutatif’ sul\‘ant (consid&+ lorsyue la fkhe horizontale du haut est Gfinie) sont des i\omorphismes horklictl\
Du coup, c,: et (1: coi’ncident sur ;r ’ I I ” j : supprimons cctte partie du domaine dtt o / et appelons encore CX~la restriction au reste. Soit \:’ = (IT: jlF., Ic \yst&rne sur J.’ constitut5 des CJ: ainsi construits. Puisque /,(C;‘) est la diminution dc mesure de I’e\pace et la diminution de cofit du svstkme. c(z:‘,
~- ,,(I”)
= c’i!:) - //(jr) 221
D.
Gaboriau
L’enaemble Ii’ dltini pour !:’ et produisons de la m&me fqon paire. oh. achevant I’&ape 3 on c’(\:“j
eht en bijection naturelle avec hi’. Passons dons il la paire suiwntc (1.‘. \:‘i il partir de (I’ ’ X’ ,.i Et ainai de witc juqu’2 la clernit’re pro&it ( 1. ‘I. \:” I qui vkritie : :/()“!;I
= co:
-~ [‘II’)
= c’(C)) - ,/(.\‘J.
Si I’ n’Ctait pas ilijective. dot3 pour chaque paire clc points distinct\ .I’ et j/ tic la meme I’-tibrc. leurs images .I’ ” et ~1“’ dans 1. I’ w sonl rapprochles : ~l,.~(.~.“.y”i <..:tlt,(.t. i/~. Appliquons plusieurs fois I’Ctape 3 il \: “. ~jusyu’2 0hIenir (1’.’ \: ’ ) pour lequcl I’-’ : 1. ’ -. \ wr so11 domaiiic 3wc In +-lcttw I’.” j fly j et !; ’ ;I 1~s est un isomorphisme. Clique 0’ ctjincitlc m&me\ orbites clue I’~~~~~~IYI,,~ ~3’ (I). On cn tltiduit qua’ i’( 4) 1 < C’( \:’ 11 cl c1onc c’( 4): 1: _ -t c’i .\ I,
Conclusion
Rbf&ences
222
bibliographiques
Mercuriale
de groupes
1998
et de relations
Introduction Soit
(.\‘.
mesur& groupe Un
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le systkme
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1.
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III-K
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Esquisse
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Mercuriale
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Conclusion
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