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Homogénéisation de composites élastomères. Méthode et algorithme
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 326, Skrie II b, p. 379-384, 1998 Mkanique des solides numCrique/Computational solid mechanics
Homogknbisation de composites 6lastom5res. M&hode et algorithme Mathias
BRIEU,
Laboratoire
de
Franqois DEVRIES
mod&ation
et
mkanique
des structures, Jussieu, 75252
UPMC/ENSAM/ENSC, Paris cedex 05,
universith Paris-6, tour 66, boite 161, 4, place
URA
CNRS
1776,
France
(ReFu le 21 novembre 1997, accept6 aprks r&vision le 26 janvier 1998)
R&urn&
On propose au tours de cette note une m&thode d’homogtrkisation de matkriaux composites & constituants Clastombres,ainsi qu’un algorithme permettant d’obtenir le comportement homog&&& non line&e Cquivalent recherchk & des coQts de simulation performants. 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier,Paris elastomke
/ homog&Ssation
Homogenization algorithm Abstract.
/ algorithme
of nonlinear
non
lineaire
elastic
composites.
Method
and
This paper describes the development of a homogenization method for nonlinear elastic composites and that of an algorithm allowing us to obtain the researched homogenized behaviour without any numen’cal overcosts. 0 Acadkmie des Sciences/Elsevier, Paris
elastomer/homogenization /nonlinear algorithm
A bridged
English
Version
Because of the wide variety of behaviours exhibited by rubber materials, their use in the development of structures assuming suspension and absorption tasks is becoming more widespread. In order to extend the range of their use, it is usual to dispose reinforcements inside them. The main difficulty encountered in the computation of the resulting reducing power and mechanical rigidity, arises from the material and geometrical nonlinearities to be considered as well as the high heterogeneity of the structure. Among the methods used for overcoming these difficulties let us cite works which consist of the development of variational principles which allow for the estimation of the overall properties [ 1,2]. The way we use here to mitigate these difficulties consists of using a homogenization technique [3], well suited for nonlinearly elastic composites with periodic microstructures. Because in nonlinear elasticity the strain energy densities are not convex functions instabilities such as buckling on the composite’s microscale may occur. This homogenization technique thus requires us to consider, a priori, variations which are periodic over an ensemble of cells. However, in the case recovered in the applications presented here, where no such bifurcation phenomena appear, variations on only one period may be considered [5]. In that case, this technique consists of solving the microscopic and macroscopic problems (1) coupled to one another by the mean relations (2), allowing to compute the macroscopic and microscopic displacements (U, u) and the
Note pdsenth
par Georges DUVAUT.
1251-8069/98/03260379 0 Acadgmiedes SciencesElsevier. Paris
379
M.
Brieu,
F. Devries
first macroscopic and microscopic Piola-Kirchhoff stress tensors (H, 7). For the solution of these problems an incremental algorithm has already been developed [4]. For economically solving the microscopic problems allowing us to compute the researched nonlinear homogenized behaviour, we propose a non-incremental algorithm initially used for elastoplastic materials [6,7]. It consists of searching couples (ZJ,n) and (u, z), alternatively belonging to two sets of equations, 2 and 1-2, defined by equations (3), (4) and (5). The first approximation SO=(WO,@ >>((UO, 7’ ) ) is the linear elastic solution which belongs to 2. The projection of S” = ( ( U” , H’ ), ( Un , 7n )> of .Z in S” + 1’2= ( ( U” + 1’2, fl+ 1’2 ), any element )) belonging to NZ’, is carried out thanks to equations (6). Once an element of w+1RT7n+1’2 &‘“y has been found, it is then projected in S” + * = ( ( U” + ’ , na + ’ ), (u” + i , 7n + ’ )) belonging to 2 thanks to equations (7), which conduct to the solution of the microscopic prestressed linear problem (8). Once its solution has been adequately split using equation (9), the solution of microscopic problems (10) allows for the computation of the macroscopic response of the composite structure, through the solution of problem (11). Finally, the iterative solution algorithm is stopped as soon as the critere of convergence (12) has been reached. We present an application of this algorithm to the case of unidirectional composites whose constituents’ behaviour laws are defined by equations (13) [8] and (14) [9]. Some results obtained by the use of the finite element method are presented on jigure 1, which reports the effect of the fibres’ volume ratio on the composite’s response, in cases of macroscopic uniaxial tensions. Lastly, the CPU time savings are presented in figure 2.
1. Introduction L’utilisation de composites Clastomeres renfor@s est de plus en plus importante. Afin d’estimer les comportements equivalents des composites envisages, des methodes d’encadrement de la densite d’tnergie homogeneisee peuvent etre utilisees [ 1, 21. Cependant, dans la plupart des cas, on ne connait pas la precision de ces bornes, lesquelles de plus, ne sont pas toujours exploitables. En supposant que le composite Ctudie admette une repartition periodique, son comportement homogene, non lineaire equivalent, peut &tre construit par la resolution de problemes cellulaires [3]. Dans le cadre de l’hyperelasticite consider6 ici, du fait de la non-convexite de la densite d’energie des constituants du composite, cette &ape d’homogeneisation requiert de resoudre des problemes posts a priori sur un ensemble de p&ode, du fait de la possibilite d’apparition de microflambages. Cependant, tant que de tels phenomenes n’apparaissent pas, ce qui est le cas pour les applications presentees dans cette note, la resolution de ces problbmes cellulaires peut &tre realisee sur une seule periode de base. On presente au tours de cette note la methode d’homogeneisation applicable pour le type de composites envisages. Elle consiste en la r&solution de deux problemes non lineaires couples, l’un microscopique, l’autre macroscopique. Pour resoudre ces problemes, plusieurs methodes sont envisageables, dont un algorithme incremental [4]. Cependant, celui-ci engendre des coots de simulations importants. Afin de pallier cette difficult& on propose Cgalement un algorithme non incremental de resolution des problemes d’homogenbisation precedents. 2. Methode
d’homogCnCisation
en hype&lasticitC
On considere une structure composite B distribution periodique, de p&ode notee Y, qui occupe a l’etat non deform& suppose Ctre un &at naturel, un domaine 52 de R3, par rapport a un systeme d’axes orthonorrues (0,x1 ,x2, x3 ). Chaque point de Y est rep&C par rapport a un systeme d’axes note ( 0, y1 , y2 , y3 ). On suppose que les constituants de Y sont de comportement hyperelastique et qu’ils 380
Homoghbisation
de composites
Clastombes
sont en adhesion parfaite. En notant par II, F, U, E le premier tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff, le tenseur gradient de deformation, le champ de d&placement et la densite d’energie de deformation (recherchee) macroscopiques et par r,f, U, e leurs homologues microscopiques, on montre [3,5] que tant qu’aucun phenomene de bifurcation ou microflambage n’apparait, la reponse homogeneisee de la structure composite peut Ctre construite en recherchant les champs U(X) et u( x, y ) solutions de : (div, II= n=
0
Wx,
dans 0 F)
I
div, z = 0
dans Y
dansD
r = ae( dansY f=F+%p sur cNJ i II Y - periodique ; z( n )
F==l+&l conditions aux limites
(1) Y - antiperiodique
ou la densite d’energie de deformation homogeneisee E est implicitement
definie par les relations : (2)
et on l’on a note respectivement par div,, V, et div,, V, les operateurs divergence et gradient par rapport aux variables x et y et par n la normale exterieure unitaire a aY. 3. Algorithme
de rksolution
Pour resoudre les problbmes couples non lineaires (1) et (2), on propose d’utiliser non pas une methode incrementale [4], mais un algorithme initialement developpt dans le cas de structures Clastoplastiques [6,7]. Sa mise en ceuvre consiste a rechercher, non pas des champs cinematiquement admissibles pour les problemes (l), mais les couples ((n(x), U(X)) et (( r(x,y), u(x.Y)), de maniere iterative, en definissant des projecteurs permettant a chaque iteration de calculer alternativement des approximations dans les espaces definis ci-apres :
1
X9=
S=((Z7,U),(r,~));r=~;v&ifiantlesequations(4) i z, u ) ) ; vCrifiant les equations ( 4 ) et ( 5 )} i Lif={S=((zzU),( {F=l+V,U
dans SZ;f=F+V,u
dans Y; II=(r),;
F=(f),
(3)
(4)
I- div, 7 = 0 dans Y (5) 1 u Y - periodique ; 7( n ) Y - antiperiodique Le processus est initialise par la solution obtenue dans le cadre de l’hypothese des petites perturbations, laquelle appartient a l’espace 9. La recherche de la solution, sit&e a l’intersection des espaces definis en (3) est alors reabsee en considerant une succession de projections de 9 dans My, puis de A’“9 dans 9 comme d&-it ci-apres. [div, II= 0 conditions aux limites
I
dans a sur &J
3.1. Projection de 2’ duns AC.Y L’ClCment de 9 de rang n, note ici S” est projete dans A’“9 projecteur dit vertical defini par r ’ “’ =f” , de sorte que : + “’
7
) ; v,
&
+ l/2
=f”
v,
+ 112 = F”
+ 1/2
_ F”
en S” + “’ par utilisation
d’un
+ 112
r 17”
+ 112 =
,I + 112 )y; (7
u”
+ 112 _
1 ; F”
+ 112 =
cf”
+ 112 jy
(6)
381
M. Brieu,
F. Devries
3.2. Projection de Jv‘.L? dans 9’ Afin de projeter l’element precedent de .X5? dans 22’ en S” + ‘, on utilise un projecteur dit tangent a ML? au point S” + ‘I2 tel que : 7 n+l
_-7
n + l/2
+ *?I + l/2(j71
+ I
-f”
+ l/2 > ;
g
+ 112 =
a2 e(y,r
+ 1’2)
afaf
Remarquons que c’est a partir des proprietes de dbfinie-positivite du tenseur des raideurs microscopiques tangent qn + 1’2 que peut etre mise en evidence l’apparition de micro-flambages [5]. En developpant les equations satisfaites par les elements de 2, on obtient finalement que l’approximation (7” + t , u” + ’ ) est solution du probleme precontraint suivant :
I
div,r 7
P U
n+l-
n+l
-_ 0
-pn+1/2
dans Y +qn+112(vx~“t1
n + 112 = 7n + l/2 + q” n+l
+ l/2(
+pn+l 1 -f”
Y - periodique ; 7( n )
>
dans Y (8)
+ 112 >
Y - antiperiodique
En utilisant la linear-id de ce probleme par rapport Bp” ’ In et V, U” + ’ , on decompose les champs solution de (8) sous les formes (9) :
(9) avec ( wn + ’ , P + ’ ), (xk’, #)
solutions de :
div, t” + ’ = 0 t”
+1
=P
n + 112 + q”
t”+‘(n)
n+l I W
dans Y
dans Y
dans Y
dans Y
+ l/2 v,
)/I
+ I
Y - antiperiodique Y - pdriodique
Une fois ces problbmes resolus, l’approximation div,LP
(10) tTkl( n )
Y - antiperiodique
Xkl
Y - periodique
(P
+ ’ , U” + ’ ) est alors solution de :
+’ = 0
~+l=QR+~Vx,~+l
dans J-2 +pn+I
dans R
Q~,l’=(~~),;P~+l=((+f)u
(11)
n+l
F =l+V,v"+' conditions limites
SUTai
Ce probleme homogeneise peut &n-e alors resolu, pourvu que le tenseur de raideurs homogeneise incremental Q” + ’ possede les prop&es requises [5].
382
Homogh%ation
de composites
6lastomhes
Finalement, le processus itkratif de rksolution est stoppC dbs que le criti?re de convergence don& par (12) est satisfait (E dksigne la prkcision d&r&e). ;~q(~n+ljm+l
sup
~~n+112fn+112
>, su~(n”+l~n+l XE
i
4. Application
au cas de composite
4-p+1/2p+1/2
)}
(12)
unidirectionnel
La prockdure d’homogkdisation et l’algorithme d&its prk~demment ont &tc appliquCs au cas de composites unidirectionnels dont les renforts ont Cd choisis de section circulaire et align& dans la direction ( 0, y, ). Du fait de la gCom6trie considkbe, leur mise en ceuvre a rkcessitk l’utilisation de la m&hode des klkments finis. Les matkriaux constituant la p&ode de base Y ont CtC supposCs isotropes, de densit& d’Cnergie et de paranktres mkaniques (Ei, i E { 1,2, 3,4, 5) ) prCcisCs ci-apr&s (E : module de Young, v : coefficient de Poisson) oti l’on note par i 1, i2 et i, les invariants du tenseur microscopique des dilatations c = ‘$. Fibre : densid de Ciarlet-Geymonat
[8] E, + 2 E, + E3 2 In ( 4 >
e(il.i2,i3)=2(il-3)+:(i2-3)+5(&-l)19,84MPa(E= 1 E, = 116MPa;E2=268,6MPa;E,= (Mutrice : densit de Hart-Smith modifik [ 93
I
e( i,, i2, i3) = E,
lOOOMPa;v=0,3)
4 +s s &,
4 E2 z di2 + E,( i3 - 1) -
e&(il - 3)’
3
(13)
E, + 2 2
+ Es
3 124
ln ( i3 >
E, = 0,3 MPa ; E, = 5 MPa ; E3 = 0,03 ; E4 = 0,63 ; E, = 100 $lPa ( E = 5,1 MPa ; v = 0,498 )
La figure 1 prksente les rCponses homogCnCisCes du composite consider6 dans quelques cas de sollicitations. Ces courbes contrainte de Piola-Kirchho$/Zongation permettent d’analyser la sensibilitk de la rkponse homogCnCisCe vis-&-vis de la fraction volumique de renfort (TV).
Traction
a t .-’3 2
uniaxiale perpendiculairement
i I’axe des fibres
Traction
4,oe+8
4,oe+s
3,5e+8
3,5e+8
3,Oe+8
3,Oe+8
2,5e+8
2Se+8
2&+8
2&+8
I .5e+8
1,5e+8
I ,Oe+B
1,Oe+8
we+7
5,oe+7
ont?+il -.__. -
uniaxiale
para@lement
o,oe+o
1.0
1S
Figure
2-o Elongation impede
1. Contrainte Figure
nominale 1.
2.5
3.0
1.0
20
1.5 Elongation
homogtnCis&/eltlongation,
dans
1 I’axe des tibres
les cas de traction
2.5
3.0
impode
uniaxiale.
Nominal homogenized stress/stretch ratio. Uniaxial tensions.
383
M. Brieu,
F. Devries
5. Analyse des performances
de I’algorithme
Afin d’apprecier les performances de l’algorithme developpe, une comparaison des temps de calcul requis par sa mise en Oeuvre et celle d’un algorithme incremental [4] est present&e sur la jgure 2. Elle met en evidence les benefices de cet algorithme, puisque les temps de calcul ont CtC dirninues de pres de 95 %, a l’exception des cas de cisaillements simples pour lesquels le caractere non diagonal des deformations induites dCtruit les performances obtenues.
Fraction
de temps de rkolution
(96)
q Traction uniaxiale dam la direction x Traction
uniaxiale dans la direction
x Figure 2. Performances de l’algorithme de resolution. Figure
Chargements
2. Performances solution algorirhm.
of the
imp&s
RGfkrences bibliographiques [1]
Talbot D.R.S., Willis J.R., Bounds and self-consistent estimates for the overall properties of nonlinear composites, I.M.A.J. Appl. Math. 39 (1987) 215-240. [2] Ponte-Castatieda P., The overall constitutive behaviour of nonlinearly elastic composites, Proc. Roy. Sot. London 422 A (1989) 147-171. [3] Mtiller S., Homogenization of nonconvex integral functionals and cellular elastic materials, Arch. Rational Mech. Anal. 99 (1987) 189-212. [4] Devries E, Calcul du comportement homogeneise de composites hyperelastiques, Revue des composites et des materiaux awn& 6 (2) (1996) 217-248. [5] Geymonat G, Miiller S., Triantafyllidis N., Homogenization of nonlinearly elastic materials. Microscopic bifurcation and macroscopic loss of rank-one convexity, Arch. Ratio. Mech. Anal. 122 (1993) 231-290. [6] Boisse l?, Nouvel algorithme a grand increment de temps pour le calcul des structures elastoplastiques, these de doctorat de l’universite Paris-6, 1987. [7] Ladeveze P., Mecanique non Lineaire des Structures - Nouvelle Approche et M&odes de Calcul non Incrementales, Hermits, Paris, 1996. [8] Ciarlet P.-G., Geymonat G., Sur les lois de comportement en Clasticite non lineaire compressible, C. R. Acad. Sci. Paris, strie II, 295 (1982) 423426. [9] Lamben-Diani J., Rey C., Blaboration de nouvelles lois de comportement pour les tlastomeres : principe et avantages, C. R. Acad. Sci. Paris, 1997 (soumis pour publication).
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universith Paris-6, tour 66, boite 161, 4, place
URA
CNRS
1776,
France
(ReFu le 21 novembre 1997, accept6 aprks r&vision le 26 janvier 1998)
R&urn&
On propose au tours de cette note une m&thode d’homogtrkisation de matkriaux composites & constituants Clastombres,ainsi qu’un algorithme permettant d’obtenir le comportement homog&&& non line&e Cquivalent recherchk & des coQts de simulation performants. 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier,Paris elastomke
/ homog&Ssation
Homogenization algorithm Abstract.
/ algorithme
of nonlinear
non
lineaire
elastic
composites.
Method
and
This paper describes the development of a homogenization method for nonlinear elastic composites and that of an algorithm allowing us to obtain the researched homogenized behaviour without any numen’cal overcosts. 0 Acadkmie des Sciences/Elsevier, Paris
elastomer/homogenization /nonlinear algorithm
A bridged
English
Version
Because of the wide variety of behaviours exhibited by rubber materials, their use in the development of structures assuming suspension and absorption tasks is becoming more widespread. In order to extend the range of their use, it is usual to dispose reinforcements inside them. The main difficulty encountered in the computation of the resulting reducing power and mechanical rigidity, arises from the material and geometrical nonlinearities to be considered as well as the high heterogeneity of the structure. Among the methods used for overcoming these difficulties let us cite works which consist of the development of variational principles which allow for the estimation of the overall properties [ 1,2]. The way we use here to mitigate these difficulties consists of using a homogenization technique [3], well suited for nonlinearly elastic composites with periodic microstructures. Because in nonlinear elasticity the strain energy densities are not convex functions instabilities such as buckling on the composite’s microscale may occur. This homogenization technique thus requires us to consider, a priori, variations which are periodic over an ensemble of cells. However, in the case recovered in the applications presented here, where no such bifurcation phenomena appear, variations on only one period may be considered [5]. In that case, this technique consists of solving the microscopic and macroscopic problems (1) coupled to one another by the mean relations (2), allowing to compute the macroscopic and microscopic displacements (U, u) and the
Note pdsenth
par Georges DUVAUT.
1251-8069/98/03260379 0 Acadgmiedes SciencesElsevier. Paris
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M.
Brieu,
F. Devries
first macroscopic and microscopic Piola-Kirchhoff stress tensors (H, 7). For the solution of these problems an incremental algorithm has already been developed [4]. For economically solving the microscopic problems allowing us to compute the researched nonlinear homogenized behaviour, we propose a non-incremental algorithm initially used for elastoplastic materials [6,7]. It consists of searching couples (ZJ,n) and (u, z), alternatively belonging to two sets of equations, 2 and 1-2, defined by equations (3), (4) and (5). The first approximation SO=(WO,@ >>((UO, 7’ ) ) is the linear elastic solution which belongs to 2. The projection of S” = ( ( U” , H’ ), ( Un , 7n )> of .Z in S” + 1’2= ( ( U” + 1’2, fl+ 1’2 ), any element )) belonging to NZ’, is carried out thanks to equations (6). Once an element of w+1RT7n+1’2 &‘“y has been found, it is then projected in S” + * = ( ( U” + ’ , na + ’ ), (u” + i , 7n + ’ )) belonging to 2 thanks to equations (7), which conduct to the solution of the microscopic prestressed linear problem (8). Once its solution has been adequately split using equation (9), the solution of microscopic problems (10) allows for the computation of the macroscopic response of the composite structure, through the solution of problem (11). Finally, the iterative solution algorithm is stopped as soon as the critere of convergence (12) has been reached. We present an application of this algorithm to the case of unidirectional composites whose constituents’ behaviour laws are defined by equations (13) [8] and (14) [9]. Some results obtained by the use of the finite element method are presented on jigure 1, which reports the effect of the fibres’ volume ratio on the composite’s response, in cases of macroscopic uniaxial tensions. Lastly, the CPU time savings are presented in figure 2.
1. Introduction L’utilisation de composites Clastomeres renfor@s est de plus en plus importante. Afin d’estimer les comportements equivalents des composites envisages, des methodes d’encadrement de la densite d’tnergie homogeneisee peuvent etre utilisees [ 1, 21. Cependant, dans la plupart des cas, on ne connait pas la precision de ces bornes, lesquelles de plus, ne sont pas toujours exploitables. En supposant que le composite Ctudie admette une repartition periodique, son comportement homogene, non lineaire equivalent, peut &tre construit par la resolution de problemes cellulaires [3]. Dans le cadre de l’hyperelasticite consider6 ici, du fait de la non-convexite de la densite d’energie des constituants du composite, cette &ape d’homogeneisation requiert de resoudre des problemes posts a priori sur un ensemble de p&ode, du fait de la possibilite d’apparition de microflambages. Cependant, tant que de tels phenomenes n’apparaissent pas, ce qui est le cas pour les applications presentees dans cette note, la resolution de ces problbmes cellulaires peut &tre realisee sur une seule periode de base. On presente au tours de cette note la methode d’homogeneisation applicable pour le type de composites envisages. Elle consiste en la r&solution de deux problemes non lineaires couples, l’un microscopique, l’autre macroscopique. Pour resoudre ces problemes, plusieurs methodes sont envisageables, dont un algorithme incremental [4]. Cependant, celui-ci engendre des coots de simulations importants. Afin de pallier cette difficult& on propose Cgalement un algorithme non incremental de resolution des problemes d’homogenbisation precedents. 2. Methode
d’homogCnCisation
en hype&lasticitC
On considere une structure composite B distribution periodique, de p&ode notee Y, qui occupe a l’etat non deform& suppose Ctre un &at naturel, un domaine 52 de R3, par rapport a un systeme d’axes orthonorrues (0,x1 ,x2, x3 ). Chaque point de Y est rep&C par rapport a un systeme d’axes note ( 0, y1 , y2 , y3 ). On suppose que les constituants de Y sont de comportement hyperelastique et qu’ils 380
Homoghbisation
de composites
Clastombes
sont en adhesion parfaite. En notant par II, F, U, E le premier tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff, le tenseur gradient de deformation, le champ de d&placement et la densite d’energie de deformation (recherchee) macroscopiques et par r,f, U, e leurs homologues microscopiques, on montre [3,5] que tant qu’aucun phenomene de bifurcation ou microflambage n’apparait, la reponse homogeneisee de la structure composite peut Ctre construite en recherchant les champs U(X) et u( x, y ) solutions de : (div, II= n=
0
Wx,
dans 0 F)
I
div, z = 0
dans Y
dansD
r = ae( dansY f=F+%p sur cNJ i II Y - periodique ; z( n )
F==l+&l conditions aux limites
(1) Y - antiperiodique
ou la densite d’energie de deformation homogeneisee E est implicitement
definie par les relations : (2)
et on l’on a note respectivement par div,, V, et div,, V, les operateurs divergence et gradient par rapport aux variables x et y et par n la normale exterieure unitaire a aY. 3. Algorithme
de rksolution
Pour resoudre les problbmes couples non lineaires (1) et (2), on propose d’utiliser non pas une methode incrementale [4], mais un algorithme initialement developpt dans le cas de structures Clastoplastiques [6,7]. Sa mise en ceuvre consiste a rechercher, non pas des champs cinematiquement admissibles pour les problemes (l), mais les couples ((n(x), U(X)) et (( r(x,y), u(x.Y)), de maniere iterative, en definissant des projecteurs permettant a chaque iteration de calculer alternativement des approximations dans les espaces definis ci-apres :
1
X9=
S=((Z7,U),(r,~));r=~;v&ifiantlesequations(4) i z, u ) ) ; vCrifiant les equations ( 4 ) et ( 5 )} i Lif={S=((zzU),( {F=l+V,U
dans SZ;f=F+V,u
dans Y; II=(r),;
F=(f),
(3)
(4)
I- div, 7 = 0 dans Y (5) 1 u Y - periodique ; 7( n ) Y - antiperiodique Le processus est initialise par la solution obtenue dans le cadre de l’hypothese des petites perturbations, laquelle appartient a l’espace 9. La recherche de la solution, sit&e a l’intersection des espaces definis en (3) est alors reabsee en considerant une succession de projections de 9 dans My, puis de A’“9 dans 9 comme d&-it ci-apres. [div, II= 0 conditions aux limites
I
dans a sur &J
3.1. Projection de 2’ duns AC.Y L’ClCment de 9 de rang n, note ici S” est projete dans A’“9 projecteur dit vertical defini par r ’ “’ =f” , de sorte que : + “’
7
) ; v,
&
+ l/2
=f”
v,
+ 112 = F”
+ 1/2
_ F”
en S” + “’ par utilisation
d’un
+ 112
r 17”
+ 112 =
,I + 112 )y; (7
u”
+ 112 _
1 ; F”
+ 112 =
cf”
+ 112 jy
(6)
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M. Brieu,
F. Devries
3.2. Projection de Jv‘.L? dans 9’ Afin de projeter l’element precedent de .X5? dans 22’ en S” + ‘, on utilise un projecteur dit tangent a ML? au point S” + ‘I2 tel que : 7 n+l
_-7
n + l/2
+ *?I + l/2(j71
+ I
-f”
+ l/2 > ;
g
+ 112 =
a2 e(y,r
+ 1’2)
afaf
Remarquons que c’est a partir des proprietes de dbfinie-positivite du tenseur des raideurs microscopiques tangent qn + 1’2 que peut etre mise en evidence l’apparition de micro-flambages [5]. En developpant les equations satisfaites par les elements de 2, on obtient finalement que l’approximation (7” + t , u” + ’ ) est solution du probleme precontraint suivant :
I
div,r 7
P U
n+l-
n+l
-_ 0
-pn+1/2
dans Y +qn+112(vx~“t1
n + 112 = 7n + l/2 + q” n+l
+ l/2(
+pn+l 1 -f”
Y - periodique ; 7( n )
>
dans Y (8)
+ 112 >
Y - antiperiodique
En utilisant la linear-id de ce probleme par rapport Bp” ’ In et V, U” + ’ , on decompose les champs solution de (8) sous les formes (9) :
(9) avec ( wn + ’ , P + ’ ), (xk’, #)
solutions de :
div, t” + ’ = 0 t”
+1
=P
n + 112 + q”
t”+‘(n)
n+l I W
dans Y
dans Y
dans Y
dans Y
+ l/2 v,
)/I
+ I
Y - antiperiodique Y - pdriodique
Une fois ces problbmes resolus, l’approximation div,LP
(10) tTkl( n )
Y - antiperiodique
Xkl
Y - periodique
(P
+ ’ , U” + ’ ) est alors solution de :
+’ = 0
~+l=QR+~Vx,~+l
dans J-2 +pn+I
dans R
Q~,l’=(~~),;P~+l=((+f)u
(11)
n+l
F =l+V,v"+' conditions limites
SUTai
Ce probleme homogeneise peut &n-e alors resolu, pourvu que le tenseur de raideurs homogeneise incremental Q” + ’ possede les prop&es requises [5].
382
Homogh%ation
de composites
6lastomhes
Finalement, le processus itkratif de rksolution est stoppC dbs que le criti?re de convergence don& par (12) est satisfait (E dksigne la prkcision d&r&e). ;~q(~n+ljm+l
sup
~~n+112fn+112
>, su~(n”+l~n+l XE
i
4. Application
au cas de composite
4-p+1/2p+1/2
)}
(12)
unidirectionnel
La prockdure d’homogkdisation et l’algorithme d&its prk~demment ont &tc appliquCs au cas de composites unidirectionnels dont les renforts ont Cd choisis de section circulaire et align& dans la direction ( 0, y, ). Du fait de la gCom6trie considkbe, leur mise en ceuvre a rkcessitk l’utilisation de la m&hode des klkments finis. Les matkriaux constituant la p&ode de base Y ont CtC supposCs isotropes, de densit& d’Cnergie et de paranktres mkaniques (Ei, i E { 1,2, 3,4, 5) ) prCcisCs ci-apr&s (E : module de Young, v : coefficient de Poisson) oti l’on note par i 1, i2 et i, les invariants du tenseur microscopique des dilatations c = ‘$. Fibre : densid de Ciarlet-Geymonat
[8] E, + 2 E, + E3 2 In ( 4 >
e(il.i2,i3)=2(il-3)+:(i2-3)+5(&-l)19,84MPa(E= 1 E, = 116MPa;E2=268,6MPa;E,= (Mutrice : densit de Hart-Smith modifik [ 93
I
e( i,, i2, i3) = E,
lOOOMPa;v=0,3)
4 +s s &,
4 E2 z di2 + E,( i3 - 1) -
e&(il - 3)’
3
(13)
E, + 2 2
+ Es
3 124
ln ( i3 >
E, = 0,3 MPa ; E, = 5 MPa ; E3 = 0,03 ; E4 = 0,63 ; E, = 100 $lPa ( E = 5,1 MPa ; v = 0,498 )
La figure 1 prksente les rCponses homogCnCisCes du composite consider6 dans quelques cas de sollicitations. Ces courbes contrainte de Piola-Kirchho$/Zongation permettent d’analyser la sensibilitk de la rkponse homogCnCisCe vis-&-vis de la fraction volumique de renfort (TV).
Traction
a t .-’3 2
uniaxiale perpendiculairement
i I’axe des fibres
Traction
4,oe+8
4,oe+s
3,5e+8
3,5e+8
3,Oe+8
3,Oe+8
2,5e+8
2Se+8
2&+8
2&+8
I .5e+8
1,5e+8
I ,Oe+B
1,Oe+8
we+7
5,oe+7
ont?+il -.__. -
uniaxiale
para@lement
o,oe+o
1.0
1S
Figure
2-o Elongation impede
1. Contrainte Figure
nominale 1.
2.5
3.0
1.0
20
1.5 Elongation
homogtnCis&/eltlongation,
dans
1 I’axe des tibres
les cas de traction
2.5
3.0
impode
uniaxiale.
Nominal homogenized stress/stretch ratio. Uniaxial tensions.
383
M. Brieu,
F. Devries
5. Analyse des performances
de I’algorithme
Afin d’apprecier les performances de l’algorithme developpe, une comparaison des temps de calcul requis par sa mise en Oeuvre et celle d’un algorithme incremental [4] est present&e sur la jgure 2. Elle met en evidence les benefices de cet algorithme, puisque les temps de calcul ont CtC dirninues de pres de 95 %, a l’exception des cas de cisaillements simples pour lesquels le caractere non diagonal des deformations induites dCtruit les performances obtenues.
Fraction
de temps de rkolution
(96)
q Traction uniaxiale dam la direction x Traction
uniaxiale dans la direction
x Figure 2. Performances de l’algorithme de resolution. Figure
Chargements
2. Performances solution algorirhm.
of the
imp&s
RGfkrences bibliographiques [1]
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384