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Influence de la conduction sur la fonction de transfert des fils froids dans les tres basses frequences; resultats experimentaux
IN HEAT AND MASS TRANSFER Vol. 8, pp. 103-114, 1981 ©~qu~Press
0094-4548/81/020103-12502.00/0 Ltd. Printed i n t h e United States
INFLUENCE DE LA CONDUCTION SUR LA FONCTION DE TRANSFERT DES FILS FROIDS DANS LES TRES BASSES FREQUENCES ; RESULTATS EXPERIMENTAUX
J.C. LECORDIER, C. PETIT, P. PARANTHOEN L a b o r a t o i r e d e Thermodynamique, L.A. au C.N.R.S. n ° 230 Facult~ des Sciences et des Techniques de Rouen B.P. 67 76130 MONT-SAINT-AIGNAN (France)
(Ou,,,~nicated by J. Gosse)
ABSTRACT This paper is devoted to the experimental study of the influence of conduction between a wire used as a sensor of temperature and its prongs on measurements of temperature variances and spectra. The difference in the behaviour of a wire of aspect ratio £/d between static conditions (calibration) and dynamical conditions (measurements in a turbulent temperature airflow) can be noticeable. This can involve an important underestimation of variances and spectra if no correction is made.
Introduction Au cours de mesures de fluctuations de temperature effectu~es ~ l'aide d'un fil froid utilis~ comme thermom~tre,
nous avons constat~ que la variance mesur~e
de la temperature d~pendait, pour un fil donn~, de la longueur de la partie active ; la variance ~tait d'autant plus faible que les sondes 4talent plus courtes. Nous avons v~rifi~ que ce ph~nom~ne n'~tait pas li~ ~ une difference de r~solution spatiale des sondes utilis~es.
Dans ces conditions,
pouvant ~tre (]us ~ un ph~nom~ne de conduction entre le f i l e t
les ~carts obtenus les broches, nous
nous som~es int~ress~s ~ plusieurs travaux r~cents, essentiellement
th~oriques,
qui ont mis en ~vidence le rSle des ph~nom~nes de conduction dans la r~ponse tr~s basse fr~quence d'un fil utilis~ comme capteur de temperature Hojstrup,
Rasmussen at Larsen
121, Bradbury and Castro
141, Millon, Paranth6en et Trinit~ I71, Perry,
Smits and Chong
15I, Fiedler
: Maye
Ill,
[3[, Bremhorst et Gilmore
16], Smits, Perry and Hoffman
181 .
Nous nous sommes donc plus particuli~rement ta~e d~ la fonction de transfert,
int~ress~s ~ l'~tude exp~rimen-
entre z~ro et quelques Hertz, dans le but de
falre appara[tre l'influence des ph~nom~nes de conduction entre la partie active 103
104
J.C. Lec~rdier,
C. Petit and P. Paranth'den
Vol. 8, No. 2
de la sonde et des broches qui lui servent de support. Selon les diff4rents auteurs, ces ph4nom~nes se traduisent par l'existence d'une chute de la fonction de transfert entre le continu et quelques Hertz, suivie d'un plateau pouvant s'~tendre Jusqu'~ plusieurs milliers de Hertz o4 se produit une nouvelle chute due, cette fois, ~ l'inertie thermique du fil. L'amplitude de l'att~nuation dans la partie tr~s basse fr~quence est une fonction non seulement de la g~om~trie du fil mais aussi des param~tres de l'~coulement. Notre but ~tant de v4rifier l'exactitude d'une telle formulation, nous avons r~alis~ un syst~me de g~n~ration de signaux de temperature et mesur4 l'att~nuation de cette fonction de transfert pour des fils de nature et de diam~tres diff~rents ~ l'aide de plusieurs techniques de mesure. Par ailleurs,
la confrontation entre les expressions th~oriques et les r4-
sultats exp~rimentaux n~cessitant une connaissance pr4cise du diam~tre et du nombre de Nusselt du fil, nous avons ~tudi~ avec precision ces deux param~tres. Ra~pels th~orique s On rappelle que si ~Sg est le spectre de temperature r~el et ~Sm le spectre mesur~ ~ l'aide d'un fil, on a la relation :
% o4 la fonction de transfert A(n) peut se mettre sous la forme :
o~ T(n) est la fonction de transfert relative au temps de mesure, R(n) a la r~solution spatiale, I(n) ~ l'inertie thermique du f i l e t entre f i l e t
H2(n) ~ la conduction
broches.
Nous plaqant dans le cas o4 T(n), R(n) et I(n) sont ~gales ~ l'unit~, la relation
(i) devient :
Par ailleurs, les expressions de la variance de temperature mesur~es et r~elles sont respectivement :
et
J%
Vol. 8, No. 2
C0NDUCTIONII~NSLES
FILSFROIDS
En tenant compte des relations pr~c~dentes on obtient
105
:
Or, au-del& de la chute de la fonction de transfert dans les tr~s basses fr~quences :
~
de sorte que:
=l& 0 I~ --_
Hp(n) a pour expression,
Parantho~n et Petit
o~ £c est la longueur refroidie
19 i~:
:
{
(3)
avec
d : diam~tre du fil, Xw : conductibilit~
bilit~ thermique de l'air, Nu : n o m b r e
thermique du fil, ~a : conducti-
de Nusselt du fil.
Nous devons signaler que pour chaque sonde, nous avons mesur~ le diam~tre et la longueur ce qui nous a donn~ des valeurs de r~sistivit~ pouvant ~tre tr~s ~loign4es de celles du m~tal massif. A l'aide d'une approximation de la formule de Wiedema~n-Franz, m~tal dans notre gamme de temperature, d~termin~
valable pour tout
nous avons donc, pour chaque ~chantillon,
la valeur de la conductibilit~
thermique par la relation
I
C
.
:
~. T constante.
Le nombre de Nusselt a ~t~ calcul~ & partir des expressions empiriques habituelles de King, Kramers, Collis et Collis et Williams. A c e
sujet, il faut re-
marquer que pour le diam~tre 0,7~m, seule l'expression de Collis et Williams
=
(4,48+
:
K,-.4,'1. Io } R,. )-4
est en accord satisfaisant avec nos points exp~rimentaux obtenus avec des sondes de grand £/d, Fig.
1. Pour les autres diam~tres ~tudi~s
de Collis est la plus satisfaisante.
(2,5 & 4,8t~n) la formule
106
J.C. Lecordier,
C. Petit and P. Paranth~en
Vol. 8, No. 2
FIG. 1 Variation du nombre de Nusselt en fonction du nombre de Reynolds ; points exp~rimentaux pour une sonde de Pt de 0,7 ~m
M~thode exp~rimenta!e Pour r~aliser des mesures entre le continu et quelques dizaines de Hertz, afin d'obtenir la meilleure simulation possible du fonctionnement r~el d'une sonde ~ r~sistance, nous avons c r ~
dans l'~coulement un signal de temp~rature
sinuso[dal ou rectangulaire afin de pouvoir simplement relever la fonction de transfert du capteur. Pour cela, nous avons plac~ dans la veine de mesure un fil source chauff~ par effet Joule. Afin d'obtenir pour le signal de temp6rature une amplitude constante dans le domaine de fr~quence qui nous int~ressait
(0 ~ 10 Hz)
nous avons ~t~ amends ~ utiliser un fil de 10~m de diam~tre. Dans ces conditions, on obtient,dans le sillage,des signaux sinuso[daux dont la fr~quence correspondant ~ une attenuation de 3 db varie de 165 ~ 80 Hz lorsque la vitesse de l'~coulement varie entre 24 et 4 m/s. Dans ces conditions, Jusqu'~ 10 Hz, l'att~nuation du signal de temperature due ~ l'inertie thermique du fil source reste n~gligeable - (0,1 a 0,2 db) -. Ces mesures ont ~t~ r~alis~es a l'aide d'une sonde de platine de 0,7 ~m de diam~tre et I m m de long plac~e perpendiculairement au plan de sym~trie du sillage de telle sorte que les broches et la gaine d'argent soient en dehors du champ
Vol. 8, No. 2
CONDUCTION D A N S L E S FILS FROIDS
107
de temperature, ce qui dvite tout risque d'erreur due aux ph~nom~nes de conduction. Avec cette m~me sonde, plac~e parall~lement au fil source, nous avons trac~ des profils de temperature ~ 8 mm de ce dernier pour 4, 8, 16, 24 m/s, Fig.2.
q"
D~a FB s<
.m/s
X
-60
-~
-~
0
2o
40
6o
10"~,.
FIG. 2 Profils de temperature ~ 8 mm du fil source pour 4, 8, 16, 24 m/s
Enfin, signalons que le temps de propagation du signal entre le fil source et la sonde varie entre
0,3 et 2 ms dans la gamme de vitesse de notre souffle-
tie ce qui est toujours faible par rapport ~ la p~riode des signaux que nous avons utilis~s. Alimentation du fil source Pour alimenter le f i l source, nous utilisons un g~n~rateur de fonction d'imp~dance de sortie 50 ~. En signaux rectangulaires,
il n'y a pas de precau-
tions particuli~res ~ prendre. Par contre, en r~gime s i n u s o [ d a l , ~ l a f r ~ q u e n c e du signal de temperature est double de celle du g4n~rateur. La superposition d'une tension continue ~ la tension sinusoldale provoque darts l'~coulement l'apparition d'une fr~/uence identique ~ celle du g~n~rateur, ce qui entralne une d~formation importante du signal de temperature.
II faut donc r~aliser un r~glage
108
J.C. Lecordier,
C. Petit and P. Paranth~en
tr~s precis de la tension d'Offset du g~n~rateur. du m~me type,
la r4sistance
donc avec le courant. temperature,
8, No. 2
Pour ~viter un inconv4nient
du fil source ne doit pas varier avec la temp4rature
II faut donc utiliser un mat~riau
Ni-Chrome
Vol.
~ faible coefficient de
ou Constantan. Mesures
Pour les sondes de grand rapport £/d dans lesquelles duction
sont n~gligeables,
quence,
du continu ~ la fr~quence
£/d diminue,l'importance fert pr~sente
les effets de la con-
la fonction de transfert est ind~pendante de coupure.
Par contre,
de la fr~-
lorsque le rapport
relative de ces effets augmente et la fonction de trans-
en partant du continu vers la haute fr~quence une chute qui se si-
tue entre quelques
i/i000 de Hz et I0 Hz environ
tendre jusqu'~ plusieurs milliers permettant pas de mesurer H(n)
suivie d'un palier pouvant s'~-
de Hz. Les appareils dont nous disposons
avec suffisamment
de precision
due de cette zone de transition,
nous ne donnerons que le niveau du palier.
tude de cette zone de transition
qui d~pend de la constante
de la sonde fera l'obJet d'une publication Nous avons utilis~ 1 °) D~termination
p~rature
et envoy~
Sur l'autre
canal,
s~ l'analyseur une vingtaine l'appareil
trois m~thodes pour faire ces mesures
canal
du g~n~rateur.
sur la gamme 0 - 5 Hz, la r~solution
est stabilis~e
et il est possible
~tant alors de 0,04 Hz. Apr~s
se d~plaqant
sur celle-ci avec affichage
A cause de la composante
un pic ~ la fr~quence
continue
z~ro et il est
de faire une mesure valable en dessous de 0,08 Hz. Or, ~ cette fr~-
pour la plupart des sondes que nous avons ~tudi~es,
attenuation
simultan~
Ii est ~galement possible d'en
graphique.
la courbe pr~sente
affich~e par
de faire des relev~s sur cette cour-
et de l'amplitude.
obtenir un trac~ sur un enregistreur existant dans le signal,
Nous avons utili-
la courbe de la fonction de transfert
sur l'~cran de la fr~quence
quence,
d'un analyseur de spectre type HP 3532A.
on envoie le signal provenant
be grace ~ un point figuratif
impossible
0,03 Hz alimente directement le
fourni par la sonde est amplifi4 par un pont de tem o
sur le premier
de moyennes,
:
~ l'aide d'un aunalyseur de spectre
de signaux carr~s de f r ~ e n c e
(= 100 ~).Le signal
L'~-
de temps des broches
ult~rieure.
de la fonction de transfert
Un g~n~rateur fil source
ne
sur toute l'~ten-
dans la fonction
de transfert.
en r~alisant une mesure en sinusoIdal que nous allons d~crire.
ture. Pour le pont,
d~J~ une
les r~sultats
entre 0,005 et 0,08 Hz par l'autre proc~d~
Nous devons signaler que la fonction de transfert
nue est celle du fil source,
sans influence.
on constate
Nous avons donc compl~t~
de l'~coulement,
la bande passante
Par contre,
s'~tend du continu ~ 12 KHz,
la bande passante
obte-
de la sonde et du pont de temperail est donc
limit~e du fil source et la diffu-
Vol. 8, No. 2
~ C ~ D A N S
LES FILS FROIDS
109
sion pendant le transfert du signal de temperature par l'~coulement pouvaient alt~rer le signal. En utilisant une sonde de grande longueur,
E/d = 1500, plac~e
perpendiculairement au plan de sym~trie de i' ~coulement, nous avons obtenu une fonction de transfert ~gale ~ I entre 0,08 et 5 Hz, c'est-~-dire que dans cette gamme de f r ~ u e n c e
le signal fourni par le g~n4rateur est bien repr~sentatif du
signal de temperature existant dans l'~coulement au niveau de la sonde. 2 ° ) Mesure rapide de Hp(n) en si~naux carr~s Nous avons, en signaux carr~s ~galement, employ~ une autre m~thode qui donne assez simplement le niveau H (n) du palier. P Lorsque le signal est appliqu~ sur le fil source, les effets au niveau de la sonde peuvent se d~composer en trois parties
:
- Du fait de son inertie thermique, le fil source ne prend pas instantan~merit sa temperature. On observe une monroe d'allure exponentielle dont la constante de temps d~pend de la vltesse de l'~coulement. - Pendant cette phase transitoire, la partie active de la sonde dont l'inertie thermique est beaucoup plus faible que celle du fil source, suit exactement la temp4rature de l'4coulement mais se trouve en r~gime de conduction. En effet, les broches ayant une inertie thermique importante, leur temperature n'a que tr~s peu vari~ pendant cette premiere phase. - Par la suite, la temperature des broches augmente pour atteindre celle de l'~coulement. A la fin de ce processus,
il n'existe plus de conduction, 1'ensem-
ble fil-broches se trouvant ~ la m~me temperature. La m~thode consiste donc ~ appliquer successivement sur le fil source : - Des signaux carr~s ~ I0 Hz et ~ mesurer en sortie du pont leur amplitude apr~s un temps correspondant ~ cinq fois la constante de temps du fil source. La temperature de l'~coulement est alors stabilis~e. - Des signaux carr~s de fr~quence suffisamment basse
(0,05 Hz) pour qu'~ la
fin du cr~neau leur amplitude n'~volue plus. Les broches sont alors ~ la temp4rature de i' ~coulement. Le rapport des deux amplitudes ainsi mesur4es donne H (n). Nous avons obteP nu une tr~s bonne concordance avec la mesure en r4gime sinusoZdal. Les signaux provenant du pont de temperature sont stock,s dans une m~moire num~rique puis restitu~s ~ basse vitesse sur un enregistreur graphique. La Fig. 3 donne un exemple pour une sonde sans gaine d'argent,de platine de 2,5~m, de rapport Z/d = 225 cul ~ partir de la formule
A
pour U = 4 m/s. On trouve Hp(n) = ~ = 0,81. Le cal(3) donne 0,80.
ii0
J.C. Lecordier,
C. Petit and P. Paranth6en
Vol.
8, No. 2
/
l
:
I
,
B
I
l 20
i
s
I
t
. . . . . . . . . . . . . .
L .
'
.
100
.
.
~
ms
i Fl
i
i
I
;
FIG. 3 Mesure de Hp(n) pour une sonde de Pt de 2,5 Hm, de rapport £/d = 225 et pour U = 4 m/s.
3 °) M@sure de Hp(n)
e n si~naux
sinuso~daux
Le fil sonde est aliment~ en courant que nous avons signal~es pr~c~demment. du pont est donn~e
sinuso[dal
L'amplitude
soit par un voltm~tre
rieures ~ 2 Hz, soit par un enregistreur
analogique graphique
Nous ne pouvons donc pas avec ce dispositif Nous avons d~termin~
l'att~nuation
avec toutes les precautions
du signal sinuso~dal pour les fr~quences entre 0 et quelque
s~rta~t sup~-
I/I0 de Hz.
couvrir toute la gamme des fr~quences
de la fonction de transfert par deux mesures
0,005 Hz et 5 Hz, la plus basse donnant
le niveau
I de r~f~rence.
Mesure du hombre de Nusselt La sonde plac~e dans l'~coulement est chauff~e rants continus utilis~s
sont pris aussi diff~rents
la plage de mesure et am~liorer 0,7~m,
la pr4cision
0,4 mA et 5 mA pour une sonde de 4~m.
~ deux temp4ratures.
Les cou-
que possible pour augmenter
: 50 ~A et I m A pour une sonde de
Vol. 8, No. 2
~ON~LESFILSFROIDS
iii
Les r~sistances correspondantes sont mesur~es ~ l'aide d'un pont d'extensom~trie en continu qui permet de d~tecter des variations relatives de 5.10 -7. Les deux mesures ~tant, pour une vitesse d'~coulement donn~e, tr~s rapproch~es dans le temps, nous n'avons pas de probl~me de d~rive thermique et les r~sultats obtenus pour une sonde sont bien reproductibles. Mesures des diam~tres des sondes Nous avons besoin pour la d~termination du nombre de Nusselt du diam~tre exact des fils. Pour les plus fins, le diam~tre moyen a ~t~ d~termin~ au microscope ~lectronique
(Parantho~n, Lecordier, Petit 110~).
constructeur~m
~ mesur~ ~m
0,63 Pt 2
0,7
Pt
2,5
2,5 PtRh (10 %)
3,3
4
4,8
Pt
R~sultats Nous avons 4tudi~ le cas des fils de Pt, Pt-Rh
(10 %) entre 4 et 24 m/s,
pour des diam~tres s'~chelonnant entre 0,7 et 4,8~m et pour des valeurs de £/d comprises entre 65 et 1500. Nous avons mesur~ par les 3 m~thodes pr~c~dentee, la valeur Hp(n) du plateau de la fonction de transfert, le niveau de r~f~rence H = I 4tant pris ~ 0,005 HZ en r~gime sinuso[dal et ~gal ~ l'amplitude du signal rectangulaire obtenu lorsque la sonde et les broches sont ~ la m~me temperature. Pour chaque sonde Hp(n) a ~t~ mesur~e ~ 4,8, 16,24
m/s
et ~ chaque mesure, nous
0_
avons calcul~ la valeur du param~tre 2 ~
. Les r~sultats sont regroup~s sur la
figure 4. La Fig. 4 montre, dans la plupart des cas, un accord satisfaisant entre la o valeur mesur~e du plateau Hp(n) et la valeur I - 2 ~ p r ~ v u e par la th~orie. L'observation des r~sultats suscite les remarques suivantes : - Tousles
points sont ou bien sur la droite ou au-dessus de celle-ci. De plus,
la divergence vis ~ vis de la droite augmente avec la vitesse. Les broches ~tant coniques, £ = 5 n~m, avec un diam~tre ~ la pointe de 0,2 mm et un diam~tre maximum de 0,4 m m ;
ce n'est que pour les faibles vitesses 4 et 8 m/s qu'on peut
obtenir un champ sensiblement uniforme sur le f i l e t
les extr~mit~s des broches.
112
J.C. Lecordier,
C. Petit and P. Paranthoen
Vol. 8, No. 2
__e~,_#_~
•O•o -
-41L..
•
0~
0
Pt
Pt-Rh 10 %
[] 2,5 ~ m
£/d = 153
m 0,63 ~ m
•
2,5 ~ m
£/d = 130
A 3,3
~m
•
4,8 ~ m
£/d =
O 3,3 •3,3
91
Platine enti~rement d~cap~
£/d = 545
•
2,5 ~ m
£/d = 168
65
•
4,8 ~ m
£/d =
~m
i/d = 111
~
4,8 ~ m
i/d = 137
~m
£/d = 137
"£/d =
81
Chaque groupe de symboles correspond aux quatre vitesses utilis~es (4, 8, 16 et 24 m/s) FIG. 4 Comparaison entre la valeur exp~rimentale Hp(n) et l'att~nuation th4orique
Pour les autres vitesses, une partie des broches n'est plus soumise au champ de temperature ce qui pourrait expliquer une valeur trop ~lev~e de Hp(n). A la limite, lorsque la totalit~ des broches n'est plus soumise aux variations de temperature, Hp(n) = i c e
que nous avons v~rifi~ en plaqant la sonde
perpendiculairement au plan de sym~trie du sillage. - La divergence importante observ~e pour la sonde Pt-Rh de £/d = 65 pourrait s'expliquer par le fait que, dans le but d'obtenir une faible longueur de fil, le d~capage n'a pu ~tre effectu~ que tangentiellement ; la section de la gaine d'argent n'~tant pas perpendiculaire au fil, ceci pourrait engendrer une perturbation importante de l'~coulement. - Parmi les sondes de 2,5~m ~tudi~es,
seules celles enti~rement d~cap~es don-
r&Bnt %1% r~sultat satisfaisant. Par contre, les deux autres de rapport £/d voisins donnent une valeur Hp(n) tr~s diff~rente. Ces sondes de 2,5pm ont, par
VOI. 8, NO. 2
ODNIX]CTION DANS LES FILS FROI13S
ailleurs, la gaine d'argent la plus mince
113
(20~m) alors que les diam~tres de
cette gaine sont 35,50 ou 60Hm pour les autres types de sonde. Par comparaison avec la bande passante du fil source
(diam~tre 9,5~m), il est possible qu'~
5 Hz on n'ait pas encore atteint le plateau de H(n). Les r~sultats ci-dessus montrent que, pour l'utilisateur, c'est le param~tre Z/£c qui est d4terminant bien plus que le rapport £/d qui ne prend pas en compte les conditions d'emploi de la sonde. Conclusion Les r4sultats precedents montrent un accord satisfaisant entre la formulation analytique concernant l'expression du plateau d~ au ph~nom~ne de conduction et les valeurs obtenues exp~rimentalement. I1 appara[t ~galement que les conditions de fabrication d'une sonde ont une influence notable sur la r4ponse de celle-ci. Cette difference de comportement de la sonde en r~gime statique
(cas de l'~talonnage)
et en r~gime dynamique
peut entra£ner, si on n'y prend garde, des sous-estimations notables de la variance et du spectre de temperature d'un ~coulement. Par ailleurs, nous avons l'intention de poursuivre cette ~tude dans le cas d'un r~gime turbulent d'une part et d'4tudier plus en d~tail la pattie comprise entre le continu et quelques Hertz de faqon ~ mettre en ~vidence l'influence du temps de r~ponse des broches. Bibliographie 1. J.P. Maye, Error due to thermal conduction between the sensing wire and its supports when measuring temperature with a wire anemometer used as a resistance thermometer. DISA Information n ° 9, 22-26 (1970). 2. J. HoJstrup, K. Rasmussen and S.E. Larsen, Dynamic calibration of temperature wires in still air by means of sound generated temperature fluctuations. The Acoustics Laboratory, Technical University of Denmark, Report n ° 16 (1976). 3. L.J.S. Bradbury and I.P. Castro, Some comments on heat-transfer laws for fine wires. J. Fluid. Mech. vol. 51, pp. 487-495 (1972). 4. K. Bremhorst and D.B. Gilmore, Influence of end conduction of the sensitivity to stream temperature fluctuations of a hot-wire anemometer, Int. J. Heat Mass Transfer, vol. 21, pp. 145-154 (1977). 5. F. Millon, P. Parantho~n et M. TrinitY, Influence des 4changes thermiques entre le capteur et ses supports sur la mesure des fluctuations de temperature dans un ~coulement turbulent. Int. J. Heat Mass Transfer. 21, 1 (1978). 6. H. Fiedler, On data acquisition in heated turbulent flows, Proceedings of the Dynamic Conference (1978). 7. A.J. Smiths, A.E. Perry and P.H. Hoffmann, The response to temperature fluctuations of a constant-current hot-wire anemometer. J. Phys. E : Sc. Instrum. Vol. 11 (1978).
114
J.C. lecordier,
C. Petit and P. Paranth~en
Vol. 8, No. 2
8. A.E. Perry, A.J. Smits and M.S. Chong, The effects of certain low-frequency phenomena on the calibration of hot wires. J. Fluid Mech. 90, 415-432 (1979) 9. P. Parantho~n et C. Petit, Influence de la conduction entre le capteur et ses supports sur la mesure des fluctuations de temperature dans un ~coulement turbulent effectu~e ~ l'aide d'un thermom~tre ~ r~sistance. Letters in Heat Mass Transfer, 6, 311-320 (1979). 10. P. Parantho~n, J.C. Lecordier et C. Petit, Comparaison entre les m~thodes de d4termination du temps de r~ponse d'un fil utilis~ comme capteur de temperature (A para[tre dans Letters in Heat Mass Transfer).
0094-4548/81/020103-12502.00/0 Ltd. Printed i n t h e United States
INFLUENCE DE LA CONDUCTION SUR LA FONCTION DE TRANSFERT DES FILS FROIDS DANS LES TRES BASSES FREQUENCES ; RESULTATS EXPERIMENTAUX
J.C. LECORDIER, C. PETIT, P. PARANTHOEN L a b o r a t o i r e d e Thermodynamique, L.A. au C.N.R.S. n ° 230 Facult~ des Sciences et des Techniques de Rouen B.P. 67 76130 MONT-SAINT-AIGNAN (France)
(Ou,,,~nicated by J. Gosse)
ABSTRACT This paper is devoted to the experimental study of the influence of conduction between a wire used as a sensor of temperature and its prongs on measurements of temperature variances and spectra. The difference in the behaviour of a wire of aspect ratio £/d between static conditions (calibration) and dynamical conditions (measurements in a turbulent temperature airflow) can be noticeable. This can involve an important underestimation of variances and spectra if no correction is made.
Introduction Au cours de mesures de fluctuations de temperature effectu~es ~ l'aide d'un fil froid utilis~ comme thermom~tre,
nous avons constat~ que la variance mesur~e
de la temperature d~pendait, pour un fil donn~, de la longueur de la partie active ; la variance ~tait d'autant plus faible que les sondes 4talent plus courtes. Nous avons v~rifi~ que ce ph~nom~ne n'~tait pas li~ ~ une difference de r~solution spatiale des sondes utilis~es.
Dans ces conditions,
pouvant ~tre (]us ~ un ph~nom~ne de conduction entre le f i l e t
les ~carts obtenus les broches, nous
nous som~es int~ress~s ~ plusieurs travaux r~cents, essentiellement
th~oriques,
qui ont mis en ~vidence le rSle des ph~nom~nes de conduction dans la r~ponse tr~s basse fr~quence d'un fil utilis~ comme capteur de temperature Hojstrup,
Rasmussen at Larsen
121, Bradbury and Castro
141, Millon, Paranth6en et Trinit~ I71, Perry,
Smits and Chong
15I, Fiedler
: Maye
Ill,
[3[, Bremhorst et Gilmore
16], Smits, Perry and Hoffman
181 .
Nous nous sommes donc plus particuli~rement ta~e d~ la fonction de transfert,
int~ress~s ~ l'~tude exp~rimen-
entre z~ro et quelques Hertz, dans le but de
falre appara[tre l'influence des ph~nom~nes de conduction entre la partie active 103
104
J.C. Lec~rdier,
C. Petit and P. Paranth'den
Vol. 8, No. 2
de la sonde et des broches qui lui servent de support. Selon les diff4rents auteurs, ces ph4nom~nes se traduisent par l'existence d'une chute de la fonction de transfert entre le continu et quelques Hertz, suivie d'un plateau pouvant s'~tendre Jusqu'~ plusieurs milliers de Hertz o4 se produit une nouvelle chute due, cette fois, ~ l'inertie thermique du fil. L'amplitude de l'att~nuation dans la partie tr~s basse fr~quence est une fonction non seulement de la g~om~trie du fil mais aussi des param~tres de l'~coulement. Notre but ~tant de v4rifier l'exactitude d'une telle formulation, nous avons r~alis~ un syst~me de g~n~ration de signaux de temperature et mesur4 l'att~nuation de cette fonction de transfert pour des fils de nature et de diam~tres diff~rents ~ l'aide de plusieurs techniques de mesure. Par ailleurs,
la confrontation entre les expressions th~oriques et les r4-
sultats exp~rimentaux n~cessitant une connaissance pr4cise du diam~tre et du nombre de Nusselt du fil, nous avons ~tudi~ avec precision ces deux param~tres. Ra~pels th~orique s On rappelle que si ~Sg est le spectre de temperature r~el et ~Sm le spectre mesur~ ~ l'aide d'un fil, on a la relation :
% o4 la fonction de transfert A(n) peut se mettre sous la forme :
o~ T(n) est la fonction de transfert relative au temps de mesure, R(n) a la r~solution spatiale, I(n) ~ l'inertie thermique du f i l e t entre f i l e t
H2(n) ~ la conduction
broches.
Nous plaqant dans le cas o4 T(n), R(n) et I(n) sont ~gales ~ l'unit~, la relation
(i) devient :
Par ailleurs, les expressions de la variance de temperature mesur~es et r~elles sont respectivement :
et
J%
Vol. 8, No. 2
C0NDUCTIONII~NSLES
FILSFROIDS
En tenant compte des relations pr~c~dentes on obtient
105
:
Or, au-del& de la chute de la fonction de transfert dans les tr~s basses fr~quences :
~
de sorte que:
=l& 0 I~ --_
Hp(n) a pour expression,
Parantho~n et Petit
o~ £c est la longueur refroidie
19 i~:
:
{
(3)
avec
d : diam~tre du fil, Xw : conductibilit~
bilit~ thermique de l'air, Nu : n o m b r e
thermique du fil, ~a : conducti-
de Nusselt du fil.
Nous devons signaler que pour chaque sonde, nous avons mesur~ le diam~tre et la longueur ce qui nous a donn~ des valeurs de r~sistivit~ pouvant ~tre tr~s ~loign4es de celles du m~tal massif. A l'aide d'une approximation de la formule de Wiedema~n-Franz, m~tal dans notre gamme de temperature, d~termin~
valable pour tout
nous avons donc, pour chaque ~chantillon,
la valeur de la conductibilit~
thermique par la relation
I
C
.
:
~. T constante.
Le nombre de Nusselt a ~t~ calcul~ & partir des expressions empiriques habituelles de King, Kramers, Collis et Collis et Williams. A c e
sujet, il faut re-
marquer que pour le diam~tre 0,7~m, seule l'expression de Collis et Williams
=
(4,48+
:
K,-.4,'1. Io } R,. )-4
est en accord satisfaisant avec nos points exp~rimentaux obtenus avec des sondes de grand £/d, Fig.
1. Pour les autres diam~tres ~tudi~s
de Collis est la plus satisfaisante.
(2,5 & 4,8t~n) la formule
106
J.C. Lecordier,
C. Petit and P. Paranth~en
Vol. 8, No. 2
FIG. 1 Variation du nombre de Nusselt en fonction du nombre de Reynolds ; points exp~rimentaux pour une sonde de Pt de 0,7 ~m
M~thode exp~rimenta!e Pour r~aliser des mesures entre le continu et quelques dizaines de Hertz, afin d'obtenir la meilleure simulation possible du fonctionnement r~el d'une sonde ~ r~sistance, nous avons c r ~
dans l'~coulement un signal de temp~rature
sinuso[dal ou rectangulaire afin de pouvoir simplement relever la fonction de transfert du capteur. Pour cela, nous avons plac~ dans la veine de mesure un fil source chauff~ par effet Joule. Afin d'obtenir pour le signal de temp6rature une amplitude constante dans le domaine de fr~quence qui nous int~ressait
(0 ~ 10 Hz)
nous avons ~t~ amends ~ utiliser un fil de 10~m de diam~tre. Dans ces conditions, on obtient,dans le sillage,des signaux sinuso[daux dont la fr~quence correspondant ~ une attenuation de 3 db varie de 165 ~ 80 Hz lorsque la vitesse de l'~coulement varie entre 24 et 4 m/s. Dans ces conditions, Jusqu'~ 10 Hz, l'att~nuation du signal de temperature due ~ l'inertie thermique du fil source reste n~gligeable - (0,1 a 0,2 db) -. Ces mesures ont ~t~ r~alis~es a l'aide d'une sonde de platine de 0,7 ~m de diam~tre et I m m de long plac~e perpendiculairement au plan de sym~trie du sillage de telle sorte que les broches et la gaine d'argent soient en dehors du champ
Vol. 8, No. 2
CONDUCTION D A N S L E S FILS FROIDS
107
de temperature, ce qui dvite tout risque d'erreur due aux ph~nom~nes de conduction. Avec cette m~me sonde, plac~e parall~lement au fil source, nous avons trac~ des profils de temperature ~ 8 mm de ce dernier pour 4, 8, 16, 24 m/s, Fig.2.
q"
D~a FB s<
.m/s
X
-60
-~
-~
0
2o
40
6o
10"~,.
FIG. 2 Profils de temperature ~ 8 mm du fil source pour 4, 8, 16, 24 m/s
Enfin, signalons que le temps de propagation du signal entre le fil source et la sonde varie entre
0,3 et 2 ms dans la gamme de vitesse de notre souffle-
tie ce qui est toujours faible par rapport ~ la p~riode des signaux que nous avons utilis~s. Alimentation du fil source Pour alimenter le f i l source, nous utilisons un g~n~rateur de fonction d'imp~dance de sortie 50 ~. En signaux rectangulaires,
il n'y a pas de precau-
tions particuli~res ~ prendre. Par contre, en r~gime s i n u s o [ d a l , ~ l a f r ~ q u e n c e du signal de temperature est double de celle du g4n~rateur. La superposition d'une tension continue ~ la tension sinusoldale provoque darts l'~coulement l'apparition d'une fr~/uence identique ~ celle du g~n~rateur, ce qui entralne une d~formation importante du signal de temperature.
II faut donc r~aliser un r~glage
108
J.C. Lecordier,
C. Petit and P. Paranth~en
tr~s precis de la tension d'Offset du g~n~rateur. du m~me type,
la r4sistance
donc avec le courant. temperature,
8, No. 2
Pour ~viter un inconv4nient
du fil source ne doit pas varier avec la temp4rature
II faut donc utiliser un mat~riau
Ni-Chrome
Vol.
~ faible coefficient de
ou Constantan. Mesures
Pour les sondes de grand rapport £/d dans lesquelles duction
sont n~gligeables,
quence,
du continu ~ la fr~quence
£/d diminue,l'importance fert pr~sente
les effets de la con-
la fonction de transfert est ind~pendante de coupure.
Par contre,
de la fr~-
lorsque le rapport
relative de ces effets augmente et la fonction de trans-
en partant du continu vers la haute fr~quence une chute qui se si-
tue entre quelques
i/i000 de Hz et I0 Hz environ
tendre jusqu'~ plusieurs milliers permettant pas de mesurer H(n)
suivie d'un palier pouvant s'~-
de Hz. Les appareils dont nous disposons
avec suffisamment
de precision
due de cette zone de transition,
nous ne donnerons que le niveau du palier.
tude de cette zone de transition
qui d~pend de la constante
de la sonde fera l'obJet d'une publication Nous avons utilis~ 1 °) D~termination
p~rature
et envoy~
Sur l'autre
canal,
s~ l'analyseur une vingtaine l'appareil
trois m~thodes pour faire ces mesures
canal
du g~n~rateur.
sur la gamme 0 - 5 Hz, la r~solution
est stabilis~e
et il est possible
~tant alors de 0,04 Hz. Apr~s
se d~plaqant
sur celle-ci avec affichage
A cause de la composante
un pic ~ la fr~quence
continue
z~ro et il est
de faire une mesure valable en dessous de 0,08 Hz. Or, ~ cette fr~-
pour la plupart des sondes que nous avons ~tudi~es,
attenuation
simultan~
Ii est ~galement possible d'en
graphique.
la courbe pr~sente
affich~e par
de faire des relev~s sur cette cour-
et de l'amplitude.
obtenir un trac~ sur un enregistreur existant dans le signal,
Nous avons utili-
la courbe de la fonction de transfert
sur l'~cran de la fr~quence
quence,
d'un analyseur de spectre type HP 3532A.
on envoie le signal provenant
be grace ~ un point figuratif
impossible
0,03 Hz alimente directement le
fourni par la sonde est amplifi4 par un pont de tem o
sur le premier
de moyennes,
:
~ l'aide d'un aunalyseur de spectre
de signaux carr~s de f r ~ e n c e
(= 100 ~).Le signal
L'~-
de temps des broches
ult~rieure.
de la fonction de transfert
Un g~n~rateur fil source
ne
sur toute l'~ten-
dans la fonction
de transfert.
en r~alisant une mesure en sinusoIdal que nous allons d~crire.
ture. Pour le pont,
d~J~ une
les r~sultats
entre 0,005 et 0,08 Hz par l'autre proc~d~
Nous devons signaler que la fonction de transfert
nue est celle du fil source,
sans influence.
on constate
Nous avons donc compl~t~
de l'~coulement,
la bande passante
Par contre,
s'~tend du continu ~ 12 KHz,
la bande passante
obte-
de la sonde et du pont de temperail est donc
limit~e du fil source et la diffu-
Vol. 8, No. 2
~ C ~ D A N S
LES FILS FROIDS
109
sion pendant le transfert du signal de temperature par l'~coulement pouvaient alt~rer le signal. En utilisant une sonde de grande longueur,
E/d = 1500, plac~e
perpendiculairement au plan de sym~trie de i' ~coulement, nous avons obtenu une fonction de transfert ~gale ~ I entre 0,08 et 5 Hz, c'est-~-dire que dans cette gamme de f r ~ u e n c e
le signal fourni par le g~n4rateur est bien repr~sentatif du
signal de temperature existant dans l'~coulement au niveau de la sonde. 2 ° ) Mesure rapide de Hp(n) en si~naux carr~s Nous avons, en signaux carr~s ~galement, employ~ une autre m~thode qui donne assez simplement le niveau H (n) du palier. P Lorsque le signal est appliqu~ sur le fil source, les effets au niveau de la sonde peuvent se d~composer en trois parties
:
- Du fait de son inertie thermique, le fil source ne prend pas instantan~merit sa temperature. On observe une monroe d'allure exponentielle dont la constante de temps d~pend de la vltesse de l'~coulement. - Pendant cette phase transitoire, la partie active de la sonde dont l'inertie thermique est beaucoup plus faible que celle du fil source, suit exactement la temp4rature de l'4coulement mais se trouve en r~gime de conduction. En effet, les broches ayant une inertie thermique importante, leur temperature n'a que tr~s peu vari~ pendant cette premiere phase. - Par la suite, la temperature des broches augmente pour atteindre celle de l'~coulement. A la fin de ce processus,
il n'existe plus de conduction, 1'ensem-
ble fil-broches se trouvant ~ la m~me temperature. La m~thode consiste donc ~ appliquer successivement sur le fil source : - Des signaux carr~s ~ I0 Hz et ~ mesurer en sortie du pont leur amplitude apr~s un temps correspondant ~ cinq fois la constante de temps du fil source. La temperature de l'~coulement est alors stabilis~e. - Des signaux carr~s de fr~quence suffisamment basse
(0,05 Hz) pour qu'~ la
fin du cr~neau leur amplitude n'~volue plus. Les broches sont alors ~ la temp4rature de i' ~coulement. Le rapport des deux amplitudes ainsi mesur4es donne H (n). Nous avons obteP nu une tr~s bonne concordance avec la mesure en r4gime sinusoZdal. Les signaux provenant du pont de temperature sont stock,s dans une m~moire num~rique puis restitu~s ~ basse vitesse sur un enregistreur graphique. La Fig. 3 donne un exemple pour une sonde sans gaine d'argent,de platine de 2,5~m, de rapport Z/d = 225 cul ~ partir de la formule
A
pour U = 4 m/s. On trouve Hp(n) = ~ = 0,81. Le cal(3) donne 0,80.
ii0
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C. Petit and P. Paranth6en
Vol.
8, No. 2
/
l
:
I
,
B
I
l 20
i
s
I
t
. . . . . . . . . . . . . .
L .
'
.
100
.
.
~
ms
i Fl
i
i
I
;
FIG. 3 Mesure de Hp(n) pour une sonde de Pt de 2,5 Hm, de rapport £/d = 225 et pour U = 4 m/s.
3 °) M@sure de Hp(n)
e n si~naux
sinuso~daux
Le fil sonde est aliment~ en courant que nous avons signal~es pr~c~demment. du pont est donn~e
sinuso[dal
L'amplitude
soit par un voltm~tre
rieures ~ 2 Hz, soit par un enregistreur
analogique graphique
Nous ne pouvons donc pas avec ce dispositif Nous avons d~termin~
l'att~nuation
avec toutes les precautions
du signal sinuso~dal pour les fr~quences entre 0 et quelque
s~rta~t sup~-
I/I0 de Hz.
couvrir toute la gamme des fr~quences
de la fonction de transfert par deux mesures
0,005 Hz et 5 Hz, la plus basse donnant
le niveau
I de r~f~rence.
Mesure du hombre de Nusselt La sonde plac~e dans l'~coulement est chauff~e rants continus utilis~s
sont pris aussi diff~rents
la plage de mesure et am~liorer 0,7~m,
la pr4cision
0,4 mA et 5 mA pour une sonde de 4~m.
~ deux temp4ratures.
Les cou-
que possible pour augmenter
: 50 ~A et I m A pour une sonde de
Vol. 8, No. 2
~ON~LESFILSFROIDS
iii
Les r~sistances correspondantes sont mesur~es ~ l'aide d'un pont d'extensom~trie en continu qui permet de d~tecter des variations relatives de 5.10 -7. Les deux mesures ~tant, pour une vitesse d'~coulement donn~e, tr~s rapproch~es dans le temps, nous n'avons pas de probl~me de d~rive thermique et les r~sultats obtenus pour une sonde sont bien reproductibles. Mesures des diam~tres des sondes Nous avons besoin pour la d~termination du nombre de Nusselt du diam~tre exact des fils. Pour les plus fins, le diam~tre moyen a ~t~ d~termin~ au microscope ~lectronique
(Parantho~n, Lecordier, Petit 110~).
constructeur~m
~ mesur~ ~m
0,63 Pt 2
0,7
Pt
2,5
2,5 PtRh (10 %)
3,3
4
4,8
Pt
R~sultats Nous avons 4tudi~ le cas des fils de Pt, Pt-Rh
(10 %) entre 4 et 24 m/s,
pour des diam~tres s'~chelonnant entre 0,7 et 4,8~m et pour des valeurs de £/d comprises entre 65 et 1500. Nous avons mesur~ par les 3 m~thodes pr~c~dentee, la valeur Hp(n) du plateau de la fonction de transfert, le niveau de r~f~rence H = I 4tant pris ~ 0,005 HZ en r~gime sinuso[dal et ~gal ~ l'amplitude du signal rectangulaire obtenu lorsque la sonde et les broches sont ~ la m~me temperature. Pour chaque sonde Hp(n) a ~t~ mesur~e ~ 4,8, 16,24
m/s
et ~ chaque mesure, nous
0_
avons calcul~ la valeur du param~tre 2 ~
. Les r~sultats sont regroup~s sur la
figure 4. La Fig. 4 montre, dans la plupart des cas, un accord satisfaisant entre la o valeur mesur~e du plateau Hp(n) et la valeur I - 2 ~ p r ~ v u e par la th~orie. L'observation des r~sultats suscite les remarques suivantes : - Tousles
points sont ou bien sur la droite ou au-dessus de celle-ci. De plus,
la divergence vis ~ vis de la droite augmente avec la vitesse. Les broches ~tant coniques, £ = 5 n~m, avec un diam~tre ~ la pointe de 0,2 mm et un diam~tre maximum de 0,4 m m ;
ce n'est que pour les faibles vitesses 4 et 8 m/s qu'on peut
obtenir un champ sensiblement uniforme sur le f i l e t
les extr~mit~s des broches.
112
J.C. Lecordier,
C. Petit and P. Paranthoen
Vol. 8, No. 2
__e~,_#_~
•O•o -
-41L..
•
0~
0
Pt
Pt-Rh 10 %
[] 2,5 ~ m
£/d = 153
m 0,63 ~ m
•
2,5 ~ m
£/d = 130
A 3,3
~m
•
4,8 ~ m
£/d =
O 3,3 •3,3
91
Platine enti~rement d~cap~
£/d = 545
•
2,5 ~ m
£/d = 168
65
•
4,8 ~ m
£/d =
~m
i/d = 111
~
4,8 ~ m
i/d = 137
~m
£/d = 137
"£/d =
81
Chaque groupe de symboles correspond aux quatre vitesses utilis~es (4, 8, 16 et 24 m/s) FIG. 4 Comparaison entre la valeur exp~rimentale Hp(n) et l'att~nuation th4orique
Pour les autres vitesses, une partie des broches n'est plus soumise au champ de temperature ce qui pourrait expliquer une valeur trop ~lev~e de Hp(n). A la limite, lorsque la totalit~ des broches n'est plus soumise aux variations de temperature, Hp(n) = i c e
que nous avons v~rifi~ en plaqant la sonde
perpendiculairement au plan de sym~trie du sillage. - La divergence importante observ~e pour la sonde Pt-Rh de £/d = 65 pourrait s'expliquer par le fait que, dans le but d'obtenir une faible longueur de fil, le d~capage n'a pu ~tre effectu~ que tangentiellement ; la section de la gaine d'argent n'~tant pas perpendiculaire au fil, ceci pourrait engendrer une perturbation importante de l'~coulement. - Parmi les sondes de 2,5~m ~tudi~es,
seules celles enti~rement d~cap~es don-
r&Bnt %1% r~sultat satisfaisant. Par contre, les deux autres de rapport £/d voisins donnent une valeur Hp(n) tr~s diff~rente. Ces sondes de 2,5pm ont, par
VOI. 8, NO. 2
ODNIX]CTION DANS LES FILS FROI13S
ailleurs, la gaine d'argent la plus mince
113
(20~m) alors que les diam~tres de
cette gaine sont 35,50 ou 60Hm pour les autres types de sonde. Par comparaison avec la bande passante du fil source
(diam~tre 9,5~m), il est possible qu'~
5 Hz on n'ait pas encore atteint le plateau de H(n). Les r~sultats ci-dessus montrent que, pour l'utilisateur, c'est le param~tre Z/£c qui est d4terminant bien plus que le rapport £/d qui ne prend pas en compte les conditions d'emploi de la sonde. Conclusion Les r4sultats precedents montrent un accord satisfaisant entre la formulation analytique concernant l'expression du plateau d~ au ph~nom~ne de conduction et les valeurs obtenues exp~rimentalement. I1 appara[t ~galement que les conditions de fabrication d'une sonde ont une influence notable sur la r4ponse de celle-ci. Cette difference de comportement de la sonde en r~gime statique
(cas de l'~talonnage)
et en r~gime dynamique
peut entra£ner, si on n'y prend garde, des sous-estimations notables de la variance et du spectre de temperature d'un ~coulement. Par ailleurs, nous avons l'intention de poursuivre cette ~tude dans le cas d'un r~gime turbulent d'une part et d'4tudier plus en d~tail la pattie comprise entre le continu et quelques Hertz de faqon ~ mettre en ~vidence l'influence du temps de r~ponse des broches. Bibliographie 1. J.P. Maye, Error due to thermal conduction between the sensing wire and its supports when measuring temperature with a wire anemometer used as a resistance thermometer. DISA Information n ° 9, 22-26 (1970). 2. J. HoJstrup, K. Rasmussen and S.E. Larsen, Dynamic calibration of temperature wires in still air by means of sound generated temperature fluctuations. The Acoustics Laboratory, Technical University of Denmark, Report n ° 16 (1976). 3. L.J.S. Bradbury and I.P. Castro, Some comments on heat-transfer laws for fine wires. J. Fluid. Mech. vol. 51, pp. 487-495 (1972). 4. K. Bremhorst and D.B. Gilmore, Influence of end conduction of the sensitivity to stream temperature fluctuations of a hot-wire anemometer, Int. J. Heat Mass Transfer, vol. 21, pp. 145-154 (1977). 5. F. Millon, P. Parantho~n et M. TrinitY, Influence des 4changes thermiques entre le capteur et ses supports sur la mesure des fluctuations de temperature dans un ~coulement turbulent. Int. J. Heat Mass Transfer. 21, 1 (1978). 6. H. Fiedler, On data acquisition in heated turbulent flows, Proceedings of the Dynamic Conference (1978). 7. A.J. Smiths, A.E. Perry and P.H. Hoffmann, The response to temperature fluctuations of a constant-current hot-wire anemometer. J. Phys. E : Sc. Instrum. Vol. 11 (1978).
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C. Petit and P. Paranth~en
Vol. 8, No. 2
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