Le guidage des whistlers par le champ magnetique

Planet.

Space

Sci.

Pergamon

Press 1961. Vol. 5, pp. 274-282.

Printed

in Great Britain.

LE GUIDAGE DES WHISTLERS PAR LE CHAMP MAGNETIQUE R. GENDRIN DBpartement

C.D.S., Centre National Issy-les-Moulineaux (Received

10

d’Etudes des T6lBcommunications. (Seine), France

September

1960)

Abstract-In this paper the question is examined of how the v.1.f. radio-waves are guided along the magnetic field. Energy passes through the magnetic field under two sets of conditions. Corresponding to the “nose-whistlers” explained by Helliwell, the first one occurs when the wave-normal itself is in the direction of the magnetic field. This does not happen in the second case when the remarkable property is also shown that all frequencies are propagated at the same velocity V,,=cfH/2f, (fH gyrofrequency, f, frequency of the plasma). Considerations of energy point out that, if such a propagation is not easily observable in the case of an isotropic emission, it is not the same thing for an emission produced by cerenkov effect, which is able to produce all energy by this mode o’f propagation, provided the particle’s velocity has All frequencies being emitted at the a low fixed value (- 10,000 km/set in the exosphere). same time and following the same path wtih the same velocity, we can explain the broadThe required velocity of particles is band noise observed during the reception of whistlers. exactly the velocity V,. This coincidence is explained in an appendix, and extended to other anisotropic media. R&mm-n Btudie le guidage des ondes de t&s basse Wquence par le champ magnktique. On montre que 1’ Cnergie peut se propager le long du champ magnttique dans deux cas. Le premier, qui correspond aux “nose-whistlers” interpr&s par Helliwell, est celui dans lequel la normale & l’onde de phase est elle-meme dirigee suivant le champ magnttique. I1 n’en est pas de mi%me dans le second cas qui possede par ailleurs la propri&d remarquable que toutes les frequences se propagent fi la meme vitesse V,=cf,/2f, cf, gyrofrbquence, f, frtquence de plasma). Des consid&ations d’bnergie montrent que si une telle propagation est difficilement observable dans le cas d’une tmission isotrope, il n’en est pas de m&me dans le cas d’une tmission produite par effet cerenkov. On montre qu’au contraire il existe une vitesse des particules (- 10,000 km/s dans l’exosphtre) permettant d’emettre toutes les frkquences dans ce mode. On a ainsi une explication possible des bruits B large bande observ& dans 1’Bcoute des whistlers. La vitesse n&essaire des particules est justement la vitesse v,,. Une explication de cette coincidence est don&e en appendice. Elle se gtntralise B d’autres milieux anisotropes. 1. INTRODUCTION

LX guidage des ondes Clectromagnktiques de basse ftiquence-c’est&dire la propriCtC qu’a le rayon tlectromagnCtique d’&tre peu inclint sur le champ magnCtique+st connu depuis longtemps. StoreyQ) est le premier qui montra que l’tnergie de whistlers se propage dans l’exosphk-e, en faisant un angle faible avec le champ magktique, mCme si la normale B l’onde forme avec lui un angle grand. 11 montra tgalement que, sous certaines conditions, cet angle restait infkrieur B un angle limit6 de 19” 29’. Mais il ne s’ktait occupk que de frkquences faibles vis-

8-vis de la gyrofkquence Clectronique. Helliwell donna une formule moins approchtelimitie au cas de la propagation le long du champ magnttique-et interprkta ainsi le phknomkne des nose-whistlers”), mais il ne se ptioccupa pas entik-ement du phdnombne de guidage. Son attention fut plut8t dirigke vers un autre processus de guidage : le guidage par les fibreP, dont nous ne nous occuperons pas ici. Le travail que nous pksentons a pour but d’ktablir la nature du guidage par le champ magnktique dans l’approximation de Helliwell, 274

LE GUIDAGE

DES WHISTLERS

non point tant pour “combler une lacune” que pour faire apparaitre un phenombne nouveau, lie au mode de propagation des whistlers et susceptible d’expliquer certains bruits de t&s basse frequence. 2. FORMULES

RELATIVES PROPAGATION

i

LA

PAR LE CHAMP

v, v,

MAGNETIQUE

275

vitesse de phase vitesse de groupe (au sens des milieux isotropes) indice de groupe vitesse du rayon

n’ V

La Fig. 1 rassemble ces definitions.

Dorm&es de base

On sait que@), en l’absence de collisions, pour le mode extraordinaire et pour une propagation quesi-longitudinale, I’indice de refraction de phase est don& par la formule*

x

nZ=l-_

1-YcoskJ dans laquelle X=U,lfl

Y=fzfif f,,, frequence de plasma fi = Ne2/4+ma,+ electronique Fig. I. passer

0 angle de la not-male a l’onde avec le champ magnttique directeur H, que nous recrirons sous la forme n2=1+

a2

x(cos@-x) avec a = f, / fH parambtre caracteristique du milieu x= f / fH variable reduite definissant la frequence de l’onde Clectromagnetique employee. On sait Cgalement que, dans un milieu anisotrope, le rayon se propage suivant une direction faisant un angle a avec la normale a l’ondef, et avec une vitesse V drifiant:

V=v,

1 -_= VQ

cette

DCfinitions. L’homothkie des courbes figure,

ulthrieurement

aux

a

n’ =-_.1 a(m) c ax c

* Nous supposons dans ce qui suit cos e>O : Ceci ne change rien ir la g&&alit6 mais nous alourdirait par la pr6sence de barres de valeur absolue. t Systtme MKSA rationalist5

et I”z

courbes

C,

qui

permet

repr6sentCes et

I?+

de sur

utilikes

est dCfinie dans le texte.

En reportant la valeur de l’indice de phase don&e par la formule (2) dans les equations (3) et (5) on obtient “=

2X3-4~~~0~~+2xcos~ 6+a2 cos0 2x”2 [a2 + x (cos 0 -x)]‘/” (cos 19- ~)3/~

(6)

a2 sin 9 tga= - 2 (cos 0-x) [a2+x (cos O-x)]

(7)

Validitk de l’approximation quasi-longitudinale

(QU En l’absence de collisions, l’approximation QL est valableo) tant que 1

set

C,

sin2 ~3

~y~~ll-xl ce qui se traduit, si X>l,

par

$ La direction de propagation est Bgalement perpendiculaire B la tangente en M B la courbe d’indice.

R. GENDRIN

216

Si l’on se place dans le cas le plus dtfavorable oti x= 1, on voit que l’expression (2) est exacte k mieux que 5 pour-cent prks pour toute valeur 8, est une fonction de a dont nous de W0,,. reproduisons quelques valeurs (Tableau 1). Valeurs limites de I’approximation quasi-longitudinale

Tableau 1.

1,4 a _____ 0“,1 45’

1

_’

!

1,8

I 60’

2,3

1 70’

2,6 __-75’

3,2 1 80’

Lorsque la courbe I‘, prtsente un retour sur elle-mCme pour les valeurs positives de P (ce qui se produit pour tout x
Tableau 4

2.

Valeur maximum propagation

de

I’angle

de

1 85’

Nous voyons que, dans le cas usuel qui nous intkresse, a est grand (> 3)* et l’approximation QL est valable m&me pour de t&s grands angles. On remarque

L’approximation de Helliwell Elle consiste B nCgliger x devant a2, ce qui est toujours le cas pour les whistlers (sauf dans la trbs basse ionosphkre), puisque xl. Les formules (2), (6) et (7) deviennent alors: n-xl/2 rl-

(8)

acoso 2i7E(cos 0 - x)3/2

tgCr- auxquelles

a (cos @--$i~

sin 0 2 (cos 0-x)

(2)

sin0(cosB-2x) -~~~ 1+cosB(cosB-2x)

/3 = 0 + a Ctant l’angle de propagation avec le champ magnktique.

Que la notion

d’angle

maximum

n’a de

(10) sens que pour x faible, les angles ,8 pouvant prendre d’importantes sont m&me les seules dts que x>O:5.)

s’ajoute tgp-

(1) Que ces courbes ne ressemblent pas g celles donnkes par Storey(l), m&me pour de Entre autres, et c’est faibles valeurs de x. normal, elles ne pksentent pas de vitesse de propagation infinie. Cela tient B ce que nous n’avons pas nCgligC x devant cos 0. On remarque toutefois que la courbe I’O,o~s prksente une boucle trks ttroite qui s’apparente au point de rebroussement dessink dans le travail original de Storey.

(11) du rayon

Courbes d’indice et de vitesse Dans cette approximation nous avons construit pour six valeurs de x, et en nous limitant aux valeurs positives de 8, les courbes C, (points de coordonnkes polaires n/a, 8) et l‘, (points de coordonnkes polaires aVIe, /3>. Les courbes ‘I), (points de coordonnkes polaires v,. e) n’ont pas Ctk construites, mais leur dtfinition nous sera utile ult&-ieurementt (Fig. 2a-f). * Sauf dam la t&s basse ionosphkre. t Elks sont inverses des courbes C, dans l’inversion de pBle 0 et de puissance c/a.

valeurs valeurs

kgatives. (Ce qu’ils prennent

(3) Que toutes les courbes l’, passent par le point (E, 0). En effet, lorsque cos B =2 x, /3 = 0, d’aprks la formule (1 I); done cos z =2x. Les formules (4) et (9) donnent alors n’=a/x et V=V,=c/2a.

(12)

11 existe done pour chaque frkquence un angle d’kmission 0f0, tel que le rayon se propage strictement le long de la ligne de force magnttique, avec une vitesse indkpendante de la frkquence. (4) Que toutes les courbes C, sont tangentes h une mCme droite perpendiculaire B H,,, d’kquation p = 2 1cos 8. Les deux phknombnes sont lit% (voir appendice I).

LE GUIDAGE

f

t

I\

DES WHISTLERS

\

FAR LE CHAMP

MAGNETIQUE

1 1

2

in

R. GENDRIN

218 3. PROPAGATION

LE LONG MAGNETIQUE

DU CHAMP

Consid&ations d’e’nergie

Les deux modes de propagation L’equation il faut

(11) montre

que, pour

que /3 = 0,

sin f9=0 cos0=2x

ou

(13)

Le premier cas correspond de Helliwell; on a alors

Supposons la source prectdente isotrope. Quelle est l’energie que l’on peut attendre par le mode II dans un intervalle de temps 2 dt? On reco,it tout ce qui a ttt tmis suivant les directions verifiant la formule (13) et dont la vitesse V verifie c/2 a-lldt
au nose-whistler

a+ lldt

(15)

1 Ctant la distance

(14) Dans l’hypothbse d’un milieu homogbne (f, et fH co’nstant), on recoit a l’autre extremite de la ligne de force un signal ayant la for-me indiquee Fig. 3. Le second cas est celui qu’on a vu plus haut. La vitesse Ctant independante de la frequence, le signal recu a l’autre extremite aura un spectre d’impulsion. Si done en un point, on emet toutes les frequences, dans routes les directions, et que l’on tcoute a l’autre extremite, on doit recevoir un signal dont le spectre frequence en fonction du temps a l’aspect complet de la Fig. 3.

parcourue le long de H,,. Etant dond l’allure des courbes I’,, la condition (15) correspond a des valeurs de d/3 et de d0 tres petites. Par contre il est facile de voir que dans le premier mode on recoit tout ce qui a et6 emis dans un angle d0 grand. On a done beaucoup plus d’energie dans le premier mode que dans le second. Ce qui explique, qu’a notre connaissance, on n’ait pas enregistre de whistler ayant l’aspect de la Fig. 3. On voit done que par une emission isotropc -qui n’a pas de realite physique dans le cas des whistlers causes par des eclairs*-on a peu de chances d’observer le mode IT. Nous allons voir qu’un phenomene naturel, trb important dans l’exosphere est capable de produire toute

l’e’nergie dans le mode II.

4.

APPLICATION h L'EFFET ~ERENKOV

L’eflet Cerenkov dans l’exosphdre 0.6

0

Fig. 3. hmission

mis

3

o parcourirla

Spectre

complet

isotrope

L’observation -Ia

2

I Temps

de

est effect&e

ligne de force.

f,

et f,

4

6

5

longueur,

I=c/o,

obtenu toutes

pour

les

B I’autre

7 set

une

frbquences. extr6mitC

sont supposh

L’effet Cerenkov produit par des particules d’origine solaire, peut Ctre une cause importante du bruit de t&s basse frequence observe dans l’tcoute des whistlers. L’indice de refraction etant en effet trbs tleve, il suffit de vitesses faibles par rapport a la vitesse de la lumiere pour l’engendrer (- 10,000 km/s). Ce phenomene a, entre autres, CtC mentionne par Ellis’“‘. Gallet(6s,7) en a Ctudie un cas particulier; celui oti la vitesse de la particule est rigoureusement On a alors un Cgale a la vitesse de phase. mecanisme d’oscillation analogue a celui des

de

constants.

* A cause de la forte rkfraction de l’ionosphkre qui rend les angles 0 trks voisins B leur entree dam l’exosphbre.

P

t

a

LE GUIDAGE

tubes & ondes

progressives*.

DES WHISTLERS PAR LE CHAMP MAGNETIQUE

L’Ctude g&&ale

de I’effet eerenkov dans un plasma a Ct6 mention&e@). Nous renvoyons B l’appendice II pour 1’Ctude giomitrique, et nous allons tout de suite Ctudier le cas des whistlers vtrifiant l’approximation de Helliwell. Cas de l’approximation

de Helliwell

Une particule chargie, de vitesse w =yc, que nous supposons dirigee suivant H,, 6met la frt5quence f dans un angle 0 tel que v,=w

cos 0

(16)

Etant donnt! l’anisotropie du milieu, il y aura Cmission de frCquences diff&entes dans chaque angle 0. Calculons les angles d’Cmission de la frtquence f = x frr. 11s vtrifient

coso= !!?= W

J [x (cos e- x)] rv =___~~___ w

d’oti l’on tire y2a2cos2B-

XC0S~+x2=0

(17)

Cquation qui montre que, pour un angle 0 donnC on a Cmission de deux friquences. De m&me pour une frkquence don&e on a deux angles d’tmission don& par cos

o=

1k

JU-4v2a2) . (18)

1 Ceci est vrai sous r&erve que 4 y2 a2 < 1, c’estA-dire pour des vitesses w faibles; tisultat dcj& mis en Cvidence par Galletc7). Lorsque y= l/2 a, les deux angles sont confondus, et leur valeur commune est don&e par cos e=2

x.

Cette valeur est justement celle pour laquelle le rayon se propage suivant H, avec une vitesse V =c/2 a independante de la frkquence. Lorsque la condition y=1/2a

(19)

est vCrifiCe, la propagation de toutes les fr& quences Cmises par le passage de la particule se fait suivant le mCme trajet et $i la m&me * L’Bquivalence avec I’effet Cerenkov en a d’ailleurs &? montr&@).

279

vitesse. On a 18 une interprktation possible des bandes de bruit observCes entre 2 et 6 kHz et qui seraient ainsi une succession d’impulsions Cmises en mCme temps et arrivant en m&me temps. (lo) La Fig. 4 en reprksente un exemple. 11 faut noter en plus que la vitesse de propagation commune des ondes est alors tgale B celle de la particule: w=v, Nous donnons une explication dence dans l’appendice II.

(20) de cette coinci-

5. CONCLUSION Par l’t5tude dCtaillCe de la propagation des whistlers dans l’approximation de Helliwell, nous avons montrt5 que chaque frkquence peut se propager le long du champ magnCtique avec une vitesse V, ne dCpendant que des propriMs du milieu. Dans le cas d’une Cmission isotrope, 1’Cnergie reGue B l’autre extrCmit6 de la ligne de force est trop faible pour que le phCnom&e puisse Ctre observi. Par contre, l’effet %erenkov, peut. pour une vitesse don&e des particules, Cmettre stlectivement chaque frkquence dans l’angle nCcessaire pour que toute l’tnergie se propage dans ce mode. La vitesse de la particule est alors Cgale B la vitesse de propagation “du rayon” commune B toutes les frkquences. On a 18 le pendant du mCcanisme proposC par Gallet (vitesse de la particule = vitesse de phase) pour expliquer certains bruits v.1.f. Toutefois, ce m&anisme ne prend sa pleine puissance que lorsque f, et f, sont constants. On peut penser avoir 18 un phknomkne intkressant pour dCterminer la densitC Clectronique d’un plasma plad dans un champ magnCtique connu, puisque c’est seulement pour la vitesse w vbrifiant que l’on a ce ph&om&ne. APPENDICE I Quelques propritWs des courbes C, dam le cas de I’approximation de Helliwell. Nous allons montrer que la possibiliti de propaga-

tion de toutes les fkquences le long de H, B la meme * Une valeur t&s proche de celle-ci joue tgalement un rBle de valeur limite dans le mkanisme par Gallet.

propose?

280

R. GENDRIN

vitesse decoule directement du fait que, dans l’approximation de Helliwell, les courbes d’indice admettent pour enveloppe

une droite perpendiculaire

d H,.

Les courbes C, forment en effet une famille de courbes a un parametre (x) dont on obtient l’enveloppe en tliminant celui-ci entre les equations

decrit lorsque x varie le cercle inverse de D, et K est done l’inverse de I. 11 ne depend pas de la frtquence. K est un point fixe et l’on a

0 K=V,=c/Za.

n/a=[x(cosB-x)1-‘/?

a(n/a) ib

APPENDICE

O

La relation (21) donne cos 8=2x qui d&nit le point de contact M avec l’enveloppe et l’tquation de celle-ci est p=n/a=2/cos

0.

D perpendiculaire

C’est une droite

a H,

qui coupe

Ox en un point i tel que

II

Remarques g&ome’triques sur l’effet Cerenkov milieu anisotrope et dispersif.

dans un

Soit une particule se deplacant a la vitesse w suivant une direction faisant un angle /3 avec uae direction 0 x de reference (Fig. 6). Quels sont les angles 0 (definissant la normale a l’onde) suivant lesquels j’engendre une frdquence f determince? Ceux pour lesquels I.‘?= W cos (0 - P).

oi=2.

Pour une onde dont la normale est dirigee suivant 0 M, le rayon se propage suivant Ox, puisque 0 x est alors perpendiculaire a la tangente en M B la courbe des indices. Le point P, inverse de M dans l’inversion de pole 0 et de puissance c/a est un point de la courbe chT (Fig. 5). Mais puisqu’en M &z _ =O on a

:

~‘~~=v,

OX

x

Fig. 6.

Effet cerenkov

La vitesse de la particule L’bmission directions suivant

D

Fig. 5. D. 0

L’enveloppe

des courbes C, est une droite

Au point de contact

avec I’enveloppe

An/ax=

done vg=v,.

et par consequent la vitesse de propagation du rayon est mesuree par 0 K; K etant a l’intersection de 0 x et de la perpendiculaire menee en P B 0 P. Mais P

d’une B1 et

deux

dans un milieu

frCquence e2.

directions

anistrope.

est reprCsentCe

par OW.

f=xf,

se fait dans les

Les energies

se propagent

non repr6senthes.

11s sont done determines par l’intersection du cercle de diamktre 0 W (W etant le point de coordonnees polaires W. P) et de la courbe ~1)~correspondante. On a done une, ou plusieurs directions d’emission. Pour chacune d’entre elles il est possible de determiner la direction et la vitesse du rayon. Lorsque deux des angles 0 sont confondus (ce qui se produit pour certaines valeurs de w lorsque /3 et f sont determines) la propagation du rayon a alors lieu suivant la direction de la particule (Fig. 7). En effet W est tel que le cercle de diamttre 0 W est tangent a la courbe ~l~zen P. La droite inverse de ce cercle (qui est perpendiculaire a 0 w) est tangente a la

LE GUIDAGE

DES WHISTLERS

PAR LE CHAMP

281

MAGNETIQUE

courbe C en M; la propagation a done lieu suivant 0 w. Dernitre question que l’on peut se poser: la direction 0 W &ant toujours donnee, mais w et j ne l’ttant plus, y-a-t-i1 des frequences j (et des vitesses w correspondantes) pour lesquelles non seulement la propagation se ferait suivant 0 W mais encore avec une La rdponse est oui, vitesse de propagation V=w? mais. &ant donnt l’etude preddente. il faut que

C,

*

0-

Fig. 8.

Effet Cerenkov

La fhquence

f, pour

avec son enveloppe tangente Bnergie

est

dans un milieu anisotrope. laquelle un

point

perpendiculaire

se propager

suivant

la courbe

C,admet

de contact a OW, OW

et

voit

air

la son

g la m@me

vitesse que la particule.

X

0

Fig. 7.

Effet Cerenkov Alors

Cnergie

propager

se

(1) Que pour les particules le champ magnetique.

dans un milieu anisotrope.

La vitesse OW est telle que les deux confondus.

la frequence dans

la

angles 0 sont

f=xf, direction

voit de

son la

particule.

v9=v, done n=n’, done &r/ax=O. Or les points pour lesquels &/ax=0 sont les points de contact Les points des courbes C, avec leur enveloppe. demand& correspondent done a une frkquence j et un angle 0 tels que la courbe C, ait avec son enveloppe un point de contact oh la tangente soit perpendiculaire a 0 W. On cherche done: (1) Les points diculaire a 0 W. les angles 0.

Dans le cas des whistlers l’enveloppe C, est une droite perpendiculaire a H,,. de solution pour ce problcme :

de l’enveloppe a tangente perpenCeci donne les points M et done

(2) On determine celles des courbes C, qui sont tangentes a leur enveloppe aux points M preddemment determines; ceci donne les frkquences j. (3) L’inverse des tangentes aux points M sont des cercles dont l’intersection avec 0 W determine les vitesses w correspondantes (Fig. 8).

des courbes On n’a done

se propageant

suivant

(2) La frcquence j est alors indeterminee. On a done la l’explication des particularites ren* contrces dans l’ctude de l’effet Cerenkov des whistlers. 11 est interessant de noter la gCnCra1ite du phtnomtne. Darts tout milieu anisotrope et dispersif tel que l’enveloppe

(1)

des corcrhes d’indice soit une droite D

:

On a une propagation

le long de la droite vitesse constante.

de tomes les frequences Ox perpendiculaire a D d une

(2) Des particules se propageant le long de Ox avec cette vitesse e’mettent tome leur knergie d’inter” action par effet Cerenkov dans ce mode de propagation.

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Addendum

Depuis la redaction de cet article, R. L. Smithorr a publie une etude sur le m&me sujet. Sa Fig. 2, donnant l’angle maximum du rayon avec le champ magnetique, confirme le trace de nos courbes Fa. D’autre part, en faisant cos B=2 f/fH dans ses formules (7), (14) et (15) on trouve Z= -e (propagation le long du champ magnetique) et M’=2f,/f,, (M’ indice de groupe du rayon, indtpendant dans ce cas de la frequence). Les resultats sont done parfaitement concordants.