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Le transport neutronique avec des conditions aux limites générales
5. R. Acad. Sci. Paris, t. 329, Skrie I, p. 121-124, 1999 Equations aux d&i&es partielles/Partia/ Differential Equations (Analyse fonctionnellelfunctional Adysis)
Le transport neutronique aux limites &n&ales Mohamed Laboratoire boulevard Courriel (Rey
BOULANOUAR de modklisation mtcanique 3, t618port 2, B.P. 179, 86960 : [email protected]
le 12 novembre
RCsumC.
1998,
accept&
et de Futuroscope
apr&s
mathkmatiques cedex,
France
le 11 mai
1999)
r&vision
appliqkes,
UniversitC
de
Poitiers,
Dans cette Note, nous Ctudions l’opkrateur de transport monodimensionnel avec des conditions aux limites g&kales. Nous montrons la gCnCration d’un semi-groupe fortement continu par cet opkrateur. Nous donnons des conditions simples et pratiques sur l’opkrateur de bord pour assurer la positivitk et l’irrkductibilitk du semi-groupe engendk Nous calculons explicitement le type essentiel de ce semi-groupe et nous montrons sa convergence vers une projection de rang un dans la topologie de la norme des opkrateurs. 0 Acadkmie des Sciences/Elsevier,Paris The neutron
Abstract.
avec des conditions
transport
with general
boundary
conditions
In this Note, the one-dimensional transport operator with general boundary conditions is studied. Weshow the generation of a strongly continuous semigroup by this operator. Wegive simple andpractical conditions on the boundary operator to ensure thepositivity and the irreducibility of generated semigroup. We calculate explicitly the essential type of the generated semigroup and we show its convergence to rank one projection in operators norm topology. 0 AcadCmie des SciencesfElsevier,Paris
1. Introduction Dans cette Note, nous considhons
l’opkrateur de transport monodimensionnel
dCfini par :
1 AK(P(z,
Y)
=
-9%
-
4~
Y)CP(Z,
Y> +
~(2,
Y, Y’)cP(~,
Y’) dy'>
s -1
oa(qy)
E R =] - a, u[ x] - 1, l[ (0 < a < co), avec des conditions aux limites gCnCrales don&es par (2.2) liant le flux entrant et le flux sortant par un optrateur abstrait K dit de bords. Ces nouvelles conditions aux limites gCnCralisent naturellement toutes les conditions aux limites connues. On trouve, dans la littkature, une Ctude abondante de l’opkrateur A0 et de son semi-groupe note (Wo(t))t20, lorsque K est l’opkrateur nul (voir par exemple [5], [6], [S], [9], [ll] et leurs rkfkrences).
Note prCsentc5e par Pierre-Louis
LIONS.
0764~4442/99/03290121
des ScienceslElsevier,
0 Acadtmie
Paris
121
M.
Boulanouar
L’irreductibilite du Co-semi-groupe ( Wc (t)) tko a CtC Ctudiee par [6], [II]. Deux criteres differents sur la fonction T ont CtC alors dtgages pour assurer l’irreductibilite de ce Cc-semi-groupe. Un autre critere, qui rentre dans un cadre general, a 6tC applique au Cc-semi-groupe (VVa(t))t2a (voir [S]). Le comportement asymptotique de ce semi-groupe a Cte obtenu dans L1 (voir [6]) et dans P (voir [l 11). En revanche, pour K operateur non nul, nous trouvons une litterature t&s modeste et incomplete concernant l’operateur AK. Dans [lo], on trouve dans l’existence d’un Co-semi-groupe. Nous signalons que cette existence est valable seulement pour des operateurs de bord de norme inferieur ou Cgale a un. Dans [7], nous trouvons l’etude spectrale de l’operateur AK pour des fonctions (T et r independantes de la variable z. Dans cette Note, nous considerons le cadre Lp(R) avec 1 5 p < co. Nous montrons que AK engendre, dans LP(R), un Co-semi-groupe note (W~(t))~ka. N ous signalons que cette generation est valable pour un operateur de bord borne et saris restriction sur sa norme. Nous Ctudions la positivite et l’irreductibilite de ce semi-groupe en montrant que si les deux composantes Krz et K21 de l’operateur de bord K (voir relation (2.1)) sont des operateurs irreductibles ou bien, si les deux autres composantes de l’operateur K sont des operateurs fortement irreductibles, alors le Co-semi-groupe en question est irreductible. De telles conditions sur les composantes de l’operateur de bord K sont visiblement simples et pratiques. Nous finissons cette Note par le calcul explicite du type essentiel du semi-groupe engendre, apres quoi le comportement asymptotique de ce semi-groupe dans l’espace L (LP(R)) est immediat. Nous signalons au passage que les techniques utilistes ici sont celle de [ 11 et que l’ensemble des resultats de cette Note constitue une nouveaute.
2. Position
du problitme
Nous considerons l’espace LP(R) (1 5 p < CQ) muni de sa norme naturelle notee ]I . ]lP et l’espace de Sobolev partiel WP (0) = { cp E LP( fi) ; y 2 E Lp(R) } muni de la norme
IIVllWq2)= [lIPlIP+ IIY~IlPl~. Ensuite,
nous definissons les applications de traces suivantes :
%54Yy> = c]o,l[(Y)‘P(a> Yy>3 -Y,cp(Yl = Cl-l,OI(YM%YL = ~IO,I[(Y)V(-a, Y) et ~lcp(Y) = Il-l,~[(Y)cP(-a, ~4)~ on EA est la fonction indicatrice de l’ensemble A C] - 1, l[. En designant par X,’ (resp. Xi) l’espace LP(]O, l[; ydy) (resp. LP(] - l,O[; ]y] dy)) muni de sa norme naturelle notee I] . ]lx; (resp. )) . Ilx;), il vient que les applications de traces r,+, r?, : Wp(n) + XP+ et r;, 71, : Wp(0) + X; sont lineaires continues (voir [2], [3]). Nous normons l’espace Xj = X,’ x Xc -~f,cp(y)
du flux entrant par
et l’espace Xi
= X;
x XP+ du flux sortant
0
II /I [ $1
par
@2 P
= ll~lll”,, + ll?qyt] $. Dans
K E C(X,“, Xj)
Kl,l
de bord
explicite par K =
E W,-,X,+>,
K2,2
et desormais ,0 = IIK(llL~pxi,. limites getkales,
ces conditions nous introduisons l’operateur
E JW,+,X;),
K1,2
E L(X,‘,X,‘,,
K2,1
E W&X,-),
(2.1)
y+p : a1par [YL(P
Finalement, dans ce contexte nous introduisons les conditions aux
liant le flux entrant
[ a1 T&F
et le flux sortant
(2.2)
122
Le transport
et now definissons l’operateur d’advection T~cp = -y g
sur le domaine,
TK
par
neutronique
:
II
= {‘p E WP(sZ) ; cp verifiant (2.2)).
Le cas K = 0 est bien connu dans la litdrature. L’opCrateur To = -y $ d&hi sur le domaine D(To) = {‘P E Wp(0); r?,(p = 0 et y;cp = 0} engendre, sur Lp(R), un Co-semi-groupe positif note (Ua(t))~a. Mais en general, nous avons : THBORBME 2.1. - L’ope’rateur
IIUjy(t)llq~~(fi))
5 max{l,
3. L’opCrateur
de transport
TK engendre, sur Lp(R), un Co-semi-groupe
(UK(t)&,
ve’rifiant
/3}etmax(0~ tlncs)). AK
Maintenant nous allons definir les operateurs d’absorption LK et de transport AK. Pour ce faire, nous introduisons alors les operateurs de perturbation 1
Scp d2f -0p
et Rp(z,
y) +Zf
s -1
45,
YY,Y’MT
Y’) dy’.
Les hypotheses : 0 E L”(R)
Wl) et f r est mesurable ;
assurent la continuite des operateurs R et 5’ sur LP(R) ( voir [ll]) et nous permettent de dtfinir = LK+R l’operateur d’absotption LK et celui de transport AK par L K = TK+S et AK = TK+S+R sur le domaine II = D(AK) = D(TK). D ans ce contexte, en appliquant le theoreme de la perturbation bornee ([4], Theorem 3.20, p. 72), nous obtenons : THI?OR&ME3.1. - Sous les hypothkses (Hl) et (H2), l’ope’rateur LK (resp. AK) engendre, duns Lp(fl),
un
Co-semi-groupe
(VK(t))t20
(rev.
(Wf4t))t20).
Ainsi, si K = 0 on retrouve alors les resultats du transport classique : COROLLAIRE3.1. - Sous Zes hypothbses (Hl) P(O),
un
Co-semi-group
4. PositivitC
(JG(t))t20
Crew
et (H2),
Z’ope’rateur LO (resp. Ao) engendre, duns
(WO@))~~O).
et irrCductibilitC
Dans cette section now donnons des conditions suffisantes pour assurer la positivite et l’irreductibilite du Co-semi-groupe (W~(t))~z~. Soit alors I’hypothese : (H3)
T est positive.
TH~OR&E 4.1. - Supposons que Zeshypothbes (Hl), (H2) et (H3) sont ve’rijkes. Si l’ope’rateur K est positifou nul, alors Zes Co-semi-groupes (UK(t))tzO, (V~(t))~>o et (WK(t))t20 sont posit+. De plus, We(t) 5 WK(~) pour tout t > 0.
123
M. Boulanouar
Quant B I’irr~ductibilitC
du Co-semi-groupe
(W(t))tlO,
nous avons :
THI?O&ME 4.2. - Supposons que Eeshypothkses (HI), (H2) et (H3) sont ve’rifikes. Si Z’ope’ruteur K est positif et si l’une des deux conditions suivantes :
1. les ope’rateurs K12 et Kzl sont irrkductibles, 2. les ope’rateurs K11 et K22 sont fortement irrkductibles, est ve’rijiPe, alors le Co-semi-groupe
(W(t)),,,
est irrkductible.
Remarque 4.1. - Une autre approche de I’irrCductibilitC du Co-semi-groupe (WK(t))t20 est basCe sur la relation WK(t) > We(t) ( voir thkorkme 4.1). Si l’hypothkse de [6] ou celle de [II] sur la fonction T est v&if&e, alors le Co-semi-groupe ( We(t)) tko est irreductible et il en sera de mCme pour le Co-semi-groupe en question.
5. Comportement
asymptotique
Dans cette section nous dkivons le comportement asymptotique du Co-semi-groupe (W(t))t20. Pour ce faire, nous introduisons l’hypothtise suivante : (H4)
T est bomCe et G est positive.
TH~ORBME 5.1. - Supposons que Zeshypothbses (HI), (H2), (H3) et (H4) sont ve’rijkes. Si Z’ope’rateur K est compact, alors
G.ss(Vo(~)> = %s(VK(t)) = %s(wK(q). De plus, si K est positiJ; 1‘une des deux conditions du th&orSme 4.2 est ve’rijkfe et l’une des deux inkgalitks suivuntes : weSS(Vo(t)) 5 w(Vo(t)) 5 w(V~(t)) est stricte, il existerait alors une projection P de rang un duns Lp(R) et E > 0 tels que, pour tout 7 E (0, E), il existe M(v) 2 1 avec Ile-S(Ax)WK(t)
- PIl~(~~(fijj 5 M(v) e-@,
t 2 0.
Remarque 5.1. - Si K = 0, en utilisant la remarque 4.1 et le thCor&me 5.1, nous retrouvons sans peine les rksultats de [6] et [ 1 I] dCdiCs au comportement asymptotique du transport classique.
RCftkences bibliograpbiques [l] Boulanouar M., Un modtle de Rontenberg avec des vitesses de maturitt nulles, C. R. Acad. Sci. Paris 326 SBrie I (1998) 443-446. [2] Cessenat M., Thtorkmes de trace LP pour des espaces de fonctions de la neutronique, C. R. Acad. Sci. Paris 299 SCrie I (1984) 831-834. [3] Cessenat M., Thtorkmes de trace LP pour des espaces de fonctions de la neutronique, C. R. Acad. Sci. Paris 300 SCrie I (1985) 89-92. [4] Clement Ph. et al., One-Parameter Semigroups, North-Holland, Amerterdan-New York, 1987. [5] Dautrey R., Lions J.-L., Analyse mathkmatiques et calcul numCrique, tome 9, Masson, Paris, 1988. [6] Greiner G., Spectral Properties and Asymptotic Behaviour of Linear Transport Equation, Math. Z. 185 (1984) 167-177. [7] Latrach K., Quelques propriCtCs spectrales d’opCrateurs de transport avec des conditions aux limites abstraites, C. R. Acad. Sci. Paris 320 SBrie I (1995) 809-814. [8] Mokhtar-Kharroubi M., Thbse d&at, Universitk Paris XIII, 1987. [9] Mokhtar-Kharroubi M., Mathematical topics in neutron transport theory: new aspects, Series on Advances in Mathematics for Applied Sciences, Vol. 46, World Scientific, Singapore, 1997. [lo] Greenberg W., van der Mee C.V.M., Protopopescu V., Boundary Value Problem in Abstract Kinetic Theory, Birkhauser, Basel, 1987. [l l] Voigt J., Spectral Properties of the Neutron Transport Equation, J. Math. Anal. Appl. 106 (1) (1985) 14%153.
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Le transport neutronique aux limites &n&ales Mohamed Laboratoire boulevard Courriel (Rey
BOULANOUAR de modklisation mtcanique 3, t618port 2, B.P. 179, 86960 : [email protected]
le 12 novembre
RCsumC.
1998,
accept&
et de Futuroscope
apr&s
mathkmatiques cedex,
France
le 11 mai
1999)
r&vision
appliqkes,
UniversitC
de
Poitiers,
Dans cette Note, nous Ctudions l’opkrateur de transport monodimensionnel avec des conditions aux limites g&kales. Nous montrons la gCnCration d’un semi-groupe fortement continu par cet opkrateur. Nous donnons des conditions simples et pratiques sur l’opkrateur de bord pour assurer la positivitk et l’irrkductibilitk du semi-groupe engendk Nous calculons explicitement le type essentiel de ce semi-groupe et nous montrons sa convergence vers une projection de rang un dans la topologie de la norme des opkrateurs. 0 Acadkmie des Sciences/Elsevier,Paris The neutron
Abstract.
avec des conditions
transport
with general
boundary
conditions
In this Note, the one-dimensional transport operator with general boundary conditions is studied. Weshow the generation of a strongly continuous semigroup by this operator. Wegive simple andpractical conditions on the boundary operator to ensure thepositivity and the irreducibility of generated semigroup. We calculate explicitly the essential type of the generated semigroup and we show its convergence to rank one projection in operators norm topology. 0 AcadCmie des SciencesfElsevier,Paris
1. Introduction Dans cette Note, nous considhons
l’opkrateur de transport monodimensionnel
dCfini par :
1 AK(P(z,
Y)
=
-9%
-
4~
Y)CP(Z,
Y> +
~(2,
Y, Y’)cP(~,
Y’) dy'>
s -1
oa(qy)
E R =] - a, u[ x] - 1, l[ (0 < a < co), avec des conditions aux limites gCnCrales don&es par (2.2) liant le flux entrant et le flux sortant par un optrateur abstrait K dit de bords. Ces nouvelles conditions aux limites gCnCralisent naturellement toutes les conditions aux limites connues. On trouve, dans la littkature, une Ctude abondante de l’opkrateur A0 et de son semi-groupe note (Wo(t))t20, lorsque K est l’opkrateur nul (voir par exemple [5], [6], [S], [9], [ll] et leurs rkfkrences).
Note prCsentc5e par Pierre-Louis
LIONS.
0764~4442/99/03290121
des ScienceslElsevier,
0 Acadtmie
Paris
121
M.
Boulanouar
L’irreductibilite du Co-semi-groupe ( Wc (t)) tko a CtC Ctudiee par [6], [II]. Deux criteres differents sur la fonction T ont CtC alors dtgages pour assurer l’irreductibilite de ce Cc-semi-groupe. Un autre critere, qui rentre dans un cadre general, a 6tC applique au Cc-semi-groupe (VVa(t))t2a (voir [S]). Le comportement asymptotique de ce semi-groupe a Cte obtenu dans L1 (voir [6]) et dans P (voir [l 11). En revanche, pour K operateur non nul, nous trouvons une litterature t&s modeste et incomplete concernant l’operateur AK. Dans [lo], on trouve dans l’existence d’un Co-semi-groupe. Nous signalons que cette existence est valable seulement pour des operateurs de bord de norme inferieur ou Cgale a un. Dans [7], nous trouvons l’etude spectrale de l’operateur AK pour des fonctions (T et r independantes de la variable z. Dans cette Note, nous considerons le cadre Lp(R) avec 1 5 p < co. Nous montrons que AK engendre, dans LP(R), un Co-semi-groupe note (W~(t))~ka. N ous signalons que cette generation est valable pour un operateur de bord borne et saris restriction sur sa norme. Nous Ctudions la positivite et l’irreductibilite de ce semi-groupe en montrant que si les deux composantes Krz et K21 de l’operateur de bord K (voir relation (2.1)) sont des operateurs irreductibles ou bien, si les deux autres composantes de l’operateur K sont des operateurs fortement irreductibles, alors le Co-semi-groupe en question est irreductible. De telles conditions sur les composantes de l’operateur de bord K sont visiblement simples et pratiques. Nous finissons cette Note par le calcul explicite du type essentiel du semi-groupe engendre, apres quoi le comportement asymptotique de ce semi-groupe dans l’espace L (LP(R)) est immediat. Nous signalons au passage que les techniques utilistes ici sont celle de [ 11 et que l’ensemble des resultats de cette Note constitue une nouveaute.
2. Position
du problitme
Nous considerons l’espace LP(R) (1 5 p < CQ) muni de sa norme naturelle notee ]I . ]lP et l’espace de Sobolev partiel WP (0) = { cp E LP( fi) ; y 2 E Lp(R) } muni de la norme
IIVllWq2)= [lIPlIP+ IIY~IlPl~. Ensuite,
nous definissons les applications de traces suivantes :
%54Yy> = c]o,l[(Y)‘P(a> Yy>3 -Y,cp(Yl = Cl-l,OI(YM%YL = ~IO,I[(Y)V(-a, Y) et ~lcp(Y) = Il-l,~[(Y)cP(-a, ~4)~ on EA est la fonction indicatrice de l’ensemble A C] - 1, l[. En designant par X,’ (resp. Xi) l’espace LP(]O, l[; ydy) (resp. LP(] - l,O[; ]y] dy)) muni de sa norme naturelle notee I] . ]lx; (resp. )) . Ilx;), il vient que les applications de traces r,+, r?, : Wp(n) + XP+ et r;, 71, : Wp(0) + X; sont lineaires continues (voir [2], [3]). Nous normons l’espace Xj = X,’ x Xc -~f,cp(y)
du flux entrant par
et l’espace Xi
= X;
x XP+ du flux sortant
0
II /I [ $1
par
@2 P
= ll~lll”,, + ll?qyt] $. Dans
K E C(X,“, Xj)
Kl,l
de bord
explicite par K =
E W,-,X,+>,
K2,2
et desormais ,0 = IIK(llL~pxi,. limites getkales,
ces conditions nous introduisons l’operateur
E JW,+,X;),
K1,2
E L(X,‘,X,‘,,
K2,1
E W&X,-),
(2.1)
y+p : a1par [YL(P
Finalement, dans ce contexte nous introduisons les conditions aux
liant le flux entrant
[ a1 T&F
et le flux sortant
(2.2)
122
Le transport
et now definissons l’operateur d’advection T~cp = -y g
sur le domaine,
TK
par
neutronique
:
II
= {‘p E WP(sZ) ; cp verifiant (2.2)).
Le cas K = 0 est bien connu dans la litdrature. L’opCrateur To = -y $ d&hi sur le domaine D(To) = {‘P E Wp(0); r?,(p = 0 et y;cp = 0} engendre, sur Lp(R), un Co-semi-groupe positif note (Ua(t))~a. Mais en general, nous avons : THBORBME 2.1. - L’ope’rateur
IIUjy(t)llq~~(fi))
5 max{l,
3. L’opCrateur
de transport
TK engendre, sur Lp(R), un Co-semi-groupe
(UK(t)&,
ve’rifiant
/3}etmax(0~ tlncs)). AK
Maintenant nous allons definir les operateurs d’absorption LK et de transport AK. Pour ce faire, nous introduisons alors les operateurs de perturbation 1
Scp d2f -0p
et Rp(z,
y) +Zf
s -1
45,
YY,Y’MT
Y’) dy’.
Les hypotheses : 0 E L”(R)
Wl) et f r est mesurable ;
assurent la continuite des operateurs R et 5’ sur LP(R) ( voir [ll]) et nous permettent de dtfinir = LK+R l’operateur d’absotption LK et celui de transport AK par L K = TK+S et AK = TK+S+R sur le domaine II = D(AK) = D(TK). D ans ce contexte, en appliquant le theoreme de la perturbation bornee ([4], Theorem 3.20, p. 72), nous obtenons : THI?OR&ME3.1. - Sous les hypothkses (Hl) et (H2), l’ope’rateur LK (resp. AK) engendre, duns Lp(fl),
un
Co-semi-groupe
(VK(t))t20
(rev.
(Wf4t))t20).
Ainsi, si K = 0 on retrouve alors les resultats du transport classique : COROLLAIRE3.1. - Sous Zes hypothbses (Hl) P(O),
un
Co-semi-group
4. PositivitC
(JG(t))t20
Crew
et (H2),
Z’ope’rateur LO (resp. Ao) engendre, duns
(WO@))~~O).
et irrCductibilitC
Dans cette section now donnons des conditions suffisantes pour assurer la positivite et l’irreductibilite du Co-semi-groupe (W~(t))~z~. Soit alors I’hypothese : (H3)
T est positive.
TH~OR&E 4.1. - Supposons que Zeshypothbes (Hl), (H2) et (H3) sont ve’rijkes. Si l’ope’rateur K est positifou nul, alors Zes Co-semi-groupes (UK(t))tzO, (V~(t))~>o et (WK(t))t20 sont posit+. De plus, We(t) 5 WK(~) pour tout t > 0.
123
M. Boulanouar
Quant B I’irr~ductibilitC
du Co-semi-groupe
(W(t))tlO,
nous avons :
THI?O&ME 4.2. - Supposons que Eeshypothkses (HI), (H2) et (H3) sont ve’rifikes. Si Z’ope’ruteur K est positif et si l’une des deux conditions suivantes :
1. les ope’rateurs K12 et Kzl sont irrkductibles, 2. les ope’rateurs K11 et K22 sont fortement irrkductibles, est ve’rijiPe, alors le Co-semi-groupe
(W(t)),,,
est irrkductible.
Remarque 4.1. - Une autre approche de I’irrCductibilitC du Co-semi-groupe (WK(t))t20 est basCe sur la relation WK(t) > We(t) ( voir thkorkme 4.1). Si l’hypothkse de [6] ou celle de [II] sur la fonction T est v&if&e, alors le Co-semi-groupe ( We(t)) tko est irreductible et il en sera de mCme pour le Co-semi-groupe en question.
5. Comportement
asymptotique
Dans cette section nous dkivons le comportement asymptotique du Co-semi-groupe (W(t))t20. Pour ce faire, nous introduisons l’hypothtise suivante : (H4)
T est bomCe et G est positive.
TH~ORBME 5.1. - Supposons que Zeshypothbses (HI), (H2), (H3) et (H4) sont ve’rijkes. Si Z’ope’rateur K est compact, alors
G.ss(Vo(~)> = %s(VK(t)) = %s(wK(q). De plus, si K est positiJ; 1‘une des deux conditions du th&orSme 4.2 est ve’rijkfe et l’une des deux inkgalitks suivuntes : weSS(Vo(t)) 5 w(Vo(t)) 5 w(V~(t)) est stricte, il existerait alors une projection P de rang un duns Lp(R) et E > 0 tels que, pour tout 7 E (0, E), il existe M(v) 2 1 avec Ile-S(Ax)WK(t)
- PIl~(~~(fijj 5 M(v) e-@,
t 2 0.
Remarque 5.1. - Si K = 0, en utilisant la remarque 4.1 et le thCor&me 5.1, nous retrouvons sans peine les rksultats de [6] et [ 1 I] dCdiCs au comportement asymptotique du transport classique.
RCftkences bibliograpbiques [l] Boulanouar M., Un modtle de Rontenberg avec des vitesses de maturitt nulles, C. R. Acad. Sci. Paris 326 SBrie I (1998) 443-446. [2] Cessenat M., Thtorkmes de trace LP pour des espaces de fonctions de la neutronique, C. R. Acad. Sci. Paris 299 SCrie I (1984) 831-834. [3] Cessenat M., Thtorkmes de trace LP pour des espaces de fonctions de la neutronique, C. R. Acad. Sci. Paris 300 SCrie I (1985) 89-92. [4] Clement Ph. et al., One-Parameter Semigroups, North-Holland, Amerterdan-New York, 1987. [5] Dautrey R., Lions J.-L., Analyse mathkmatiques et calcul numCrique, tome 9, Masson, Paris, 1988. [6] Greiner G., Spectral Properties and Asymptotic Behaviour of Linear Transport Equation, Math. Z. 185 (1984) 167-177. [7] Latrach K., Quelques propriCtCs spectrales d’opCrateurs de transport avec des conditions aux limites abstraites, C. R. Acad. Sci. Paris 320 SBrie I (1995) 809-814. [8] Mokhtar-Kharroubi M., Thbse d&at, Universitk Paris XIII, 1987. [9] Mokhtar-Kharroubi M., Mathematical topics in neutron transport theory: new aspects, Series on Advances in Mathematics for Applied Sciences, Vol. 46, World Scientific, Singapore, 1997. [lo] Greenberg W., van der Mee C.V.M., Protopopescu V., Boundary Value Problem in Abstract Kinetic Theory, Birkhauser, Basel, 1987. [l l] Voigt J., Spectral Properties of the Neutron Transport Equation, J. Math. Anal. Appl. 106 (1) (1985) 14%153.
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