L'équation de Laplace avec conditions aux limites discontinues : convergence d'une discrétisation par éléments spectraux

C. R. Acad. Sci. Paris, t. 324, Sbrie I, p. 1161-l 168, 1997 Analyse num&ique/Numerical Analysis

L’hquation aux limites convergence par &ments Christine

de Laplace avec conditions discontinues : d’une discrhtisation spectraux

BERNARD1

C. B. : Analyse 4, place Jussieu,

et And&as

IC’umCrique - C.N.R.S. 75252 Paris CEDEX

KARAGEORGHIS & U nlversitk . 05, France;

Pierre-et-Marie-Curie

A. K. : Dept. of Mathematics and Statistics, University Cyprus. P.O. Box 537, 1678 Nicosialhc?)nwaLcu,

R&urn&

- B.C.

of CypruslIIInva~Lcr7~~/,o

187, KZJT~OV,

dCmontrons un resultat d’existence pour l’equation de Laplace dans un disque avec des conditions aux limites de Dirichlet discontinues : 0 sur une par-tie de la frontier-e et 1 sur le reste. Puis, nous discretisons ce problbme par la methode d’elements spectraux avec joint et montrons une estimation de convergence, qui est confirmee par une experimentation numerique.

Nous

The Lap&e convergence

equation with discontinuous boundary of the spectral element discretization

data:

Abstract.

We prove an existence result for the Laplace equation in a disk with discontinuous Dirichlet boundary conditions: 0 on part of the boundaT and 1 on its complement. The problem is discretized by the mortar spectral element method and a convergence estimate is derived which is con.rmed numerically.

Abridged

English

Version

1. Introduction The aim of this Note is to study the spectral element discretization of Laplace’s equation (1) when fi is the unit disk in Iw’, l?c a part of its boundary and I’i the interior of afi \ pa. In order to handle the discontinuity of the boundary condition, a weight is introduced near afi. Moreover, since the discretization that we propose relies on the change of variables (2), weights of type T and T-I (see [l], Chapter II, and [2]) must also be taken into account. The analysis of the corresponding continuous problem is carried out in section 2. Note prCsentke par Philippe 0764-4442/97/0324

G.

I 161 0 AcadCmie

CIARLET.

des SciencesElsevier,

Paris

1161

C. Bernardi

et A. Karageorghis

The discrete problem is constructed via the mortar spectral element method (see [5]) and its convergence properties are described in section 3. In section 4, we present some numerical experiments. Some conclusions are given in section 5. 2. The continuous

problem

The change of variables (2) maps the disk fi onto the rectangle R = [0, 1[ x [0,27r[ (see Figure 1 for the notation in this new geometry). It also transforms problem (1) into problem (3). Let u: be a fixed parameter, 0 < cy < 1. In (4), (5), and (6), we introduce the weighted spaces we are working with; they are provided with natural norms. This allows for writing the equivalent variational formulation (7) of problem (3), where the form a,(., .) is defined-in (8). To analyze problem (7) we first state in (9) and (10) the continuity and ellipticity properties of the form a,(., .) that are derived from a Hardy type inequality (and are no longer true for Q: > 1). This, combined with a lifting operator of the trace in H*(ra U ri) (see [4], $18) leads to the following theorem: - Problem (7) has a unique solution. To state the regularity properties of this solution, we introduce the space X2 (0) in (1 I), and then the spacesX:(Q), 1 < s < 2, by Hilbertian interpolation. THEOREM.

- The solution u of problem (7) belongs to X;(Q) for all s < 1 + 5. Note that the value of the solution u at T = 0 is equal to the constant K = 1 - 8. This allows to work with discrete spaces made of functions vanishing at r = 0. PROPOSITION.

3. The discrete problem The discretization parameter is a positive integer N. From now on, we denote by P,,(C), for any interval or rectangle C and any nonnegative integer IL, the space of polynomials on C of degree 5 n with respect to each variable. We also introduce the nodes t$ and weights p;, 0 5 j 5 N, of the standard Gauss-Lobatto formula on 10,@a[for Ic = 0, and on ]&,27r[ for k = 1, together with the nodes T; and weights w; of the weighted Gauss-Radauformula (12). This allows to define the discrete product (13). The discrete space Y~(5;2) is the standard one in the mortar spectral element method: it consists of all functions z~~~~ such that their restrictions z~~~~ lo, to fi,, k = 0, 1, belong to P’,(flk) and vanish at T = 0, and which satisfy the matching condition (14) on both interfaces l? = l?or and l? = l?ia. We also define Y$ (0) to be the subspaceof functions in Y%(Q) which vanish at T = 1. It may be observed (see (15)) that the functions in Y1v(fl) are not necessarily continuous on the interfaces, but that the functions in Y;(G) are. So the method is said to be semiconfirming. The discrete problem now consists in finding u,~, with UN - ri in Y)v(0) and UN equal to 0 on rO, to 1 on I1 such that (16) holds, the form u~+v(., -) being defined in (17). The properties of this form are similar to that of ucy(e, .), whence - Problem (16) has a unique solution. Proving an error estimate between u and UN is rather technical (see [3], 5 3); it relies on the best approximation in YN(~) of the function u* = u - K that preserves the traces of u* (see (18)), and on the standard arguments of spectral methods for “doubling” the order of convergence. THEOREM.

THEOREM.

(16), for

1162

- The error estimate (19) holds between the solution u of (7) and the solution uLv of all s < 1 + Q.

Conditions

4. Numerical

aux

limites

discontinues

et 6lbments

spectraux

experiments

In Figures 2 and 3 respectively, are presented, for 00 = F and Q = 0.75, the convergence curve of log 11~s~ - ~,~ll~~;(o~) as a function of log N, for N varying from 8 to 32, and the isolines of u,~ for N = 36.

5. Conclusions The discretization technique that we propose works, even though it could be improved by using a more adapted decomposition of the domain. The extension to the bilaplacian equation and the Navier-Stokes equations is under consideration (see [3]). The technique could also be applied to other types of geometries.

1. Introduction Le but de cette Note est d’etudier la discretisation

I -Au.=0 u=o

(1)

par elements spectraux de l’equation de Laplace : dans a, sur I;a,

1

I u=l

sur I?i,

lorsque fi est le disque unite de R ‘, I’” une partie de sa front&e et l?i l’interieur de 86 \ I’,. Les arcs l?a et ?, sont tous deux supposes de mesure positive dans afi. La premiere idee consiste a noter qu’a cause de la discontinuite de la condition aux limites, la solution du probleme (1) ne peut pas appartenir a l’espace de Sobolev usuel Hl(fi). On va done introduire un poids s’annulant sur &. La second idee, lice a la discretisation par elements spectraux, consiste a envoyer le disque fi sur le rectangle R = [O, l[x [0,27r[ par le changement de variables :

(2)

.7:= r cos0:

y = r

sin0.

Grace a cette transformation on est amen6 a utiliser des espaces avec les poids r ou r-l, comme indiqut dans [l], Chapter II, ou dans [2]. Tous ces elements nous permettent d’ecrire une formulation variationnelle du probleme (1) dans les espaces appropries et d’en deduire un resultat d’existence. La technique de discretisation est ici la methode d’elements spectraux avec joints introduite dans [SJ. En effet, cette technique est en general non conforme et, lorsque la decomposition de R en deux elements est like a la partition de dR en I’0 et I 1, elle permet de tenir compte au mieux de la discontinuite des conditions aux limites, ce qui conduit a un resultat de convergence. La section 2 est consacree a l’etude du probleme continu et la section 3 a celle du probleme discret. Dans la section 4, on en presente la realisation numerique et, dans la section 5, on donne quelques conclusions.

2. Le problhme

continu

x [l es images respectives de I’, et I=‘, par le changement Onnotera = {l}x]O,BO[etI?i = {l}x]&~:! de variables (2). Comme indiqut sur la figure suivante, on definit les elements 00 = [O?l[x]O, &I[ et et rlo = [O, l[x{27r}. RI = [O, l[x]&, 27r[, ainsi clue les interfaces I’ai = [O,l[x{&}

1163

C. Bernardi

et A. Karageorghis

Fig. 1.

En les variables T et 8, le probleme (1) se reecrit alors : -8,Zu - r-l d,u - rw2 d,2u = 0

dans 0,

u=o

sur ITo,

IL=1

sur ITI,

(3)

I u(., 0) = u(., 27r) et

(&m)(., 0) = (&m)(-, 2~)

sur ITlo.

Sa formulation variationnelle repose sur l’introduction des espacesB poids suivants. Soit ct un parametre compris entre 0 et 1. On definit d’abord l’espace L:(R)

(4)

= {‘u : Q + W mesurable;

sR

w2(r, 19)~(1 - r)” dr d0 < +m

>

.

Puis, on introduit l’espace (5)

xm

= { 21E L:(R);

&w E L:(R)

et r-l &e E m},

ainsi que ses sous-espaces (6)

X&P)

= { w E XL(n);

w(.,O) = v(.,~T)}

et X$(n)

= (11 E X&(n);

~(1, .) = O}.

sont munis de leurs normes naturelles. Les espacesL;(R) et X:(0) Bien entendu, la formulation variationnelle du probleme (3) s’ecrit, pour chaque valeur de Q: : trouver u dam X&(n), avec u ml sur ITOet &gal i2 1 sur ITI, tel que vu E x;p(n),

(7)

a,(u, II) = o>

oti la forme a,( ., .) est definie par (8)

G(U, w) =

J’.(

&u&((l

- 7.)” U) + T-26’eu a,((1 - r)” w)) r dr do.

On doit done Ctudier les proprietes de la forme a,(., .) qui reposent sur une inegalite de Hardy (et ne sont plus vraies pour LY2 1, ce qui explique la limitation sur a).

1164

Conditions

LEMME.

- Lu forme acy(., .) ve’rijie les propri&%

et d’ellipticite’

aux

limites

discontinues

et Wments

spectraux

suivantes de continuitP :

:

(10) L’espace des traces de X;(0) sur F;o UT, comcide (voir [4], $18) avec H* (TO U rr), il contient done les fonctions regulibres sur Pa et l?t sans conditions de raccord. Ceci permet de deduire le resultat d’existence. TH~O&ME.

- Le probEme

(7) a une solution unique.

Pour Cnoncer le resultat de regularite, on introduit

l’espace

(11) de facon a definir par interpolation hilbertienne les espaces X;(R), 1 < s < 2. La regularit solution du probleme (7) n’est ici limitee que par la discontinuite de sa trace.

de la

- La solution u du probl2me (7) appartient iz Xi(R) pour tout s < 1 + F. Remarquons pour terminer que la valeur de la solution u en T = 0 est independante de 0 et est Cgale a K = 1 - 2. On utilisera cette propriete pour travailler avec des espaces discrets constitues de fonctions s’annulant en T = 0. PROPOSITION.

3. Le problkme

discret

Le parambtre de discretisation est un entier N positif. On designe par P,(C), C &ant un intervalle ou un rectangle et n un entier positif ou nul quelconque, l’espace de polynomes de degre 5 n par rapport a chaque variable. Puis, on note $ et ps, 0 5 j < N + 1, les nceuds et les poids de la formule usuelle de Gauss-Lobatto, translates sur [0,&l pour k = 0 et sur [&, 2~1 pour k = 1. On introduit egalement sur 10, l[ la formule de Gauss-Radau suivante (voir [3], Theorem A. l), oh TN est Cgal a 1 :

(12)

(les ri, 1 5 i < N - 1, se construisent par transformation affine a partir des zeros du polynome de Jacobi de degre N - 1 et d’ordre (Q + 1,1) sur ] - l! l[). On peut ainsi definir un produit scalaire discret par tensorisation : pour toutes fonctions ‘u, et ‘u continues sur chaque fik, 1

N

N

(13) Pour k = 0, 1, on introduit le sous-espace $*,(Rk) constitue des elements de $~(flk) s’annulant en T = 0. L’espace discret est alors defini de maniere usuelle en methode de joints (voir [5]) : c’est l’espace YN(R) des fonctions w,~ telles que (i) la restriction vlvto, de ‘UN a flk, k = 0 et 1, appartient a p;;r(fl,); 1165

C. Bernardi

et A. Karageorghis

(ii) la condition de raccord suivante est satisfaite sur les deux interfaces P = For et I’ = Fro

Puis l’on introduit le sowespace Y:(n) constitue des fonctions de &(62) s’annulant en r = 1. RePnargue. - Si l’on designe par ,mU,l le polynome de Jacobi de degre 7~et d’ordre (n? l), Ia trace de chaque V,V/Q~ sur I’une quelconque des interfaces s’ecrit

vlv- in, (r) = 2

la demiere condition interface verifie

At J,y;'(%

- l),

avec

k

A,"; (-l)n(7t

f 1) = 0,

traduisant la nullite en r = 0. On deduit alors de (14) que le saut sur cette

Par consequent, les fonctions de Yxr(Q) ne sont pas necessairement continues a travers les interfaces, mais celles de Y,;(0) le sont (ce qui signifie que Y1{(Q) est inclus dans Xi:(Q)). Pour ces raisons, la discretisation sera dite semi-con&me. Le probleme discret s’ecrit maintenant : trouver ulv avec upj - K duns K,:(Q), u&h’nul sur r. et &gal 6 1 sw l?r, tel que

oti la forme a,,~(.,

-) est definie par

Grace aux propriCk% des formules de quadrature, la forme Q,(~,N(-, .) est en fait t&s peu differente de la forme ati ( a7.) lorsqu’elle est appliquee aux fonctions de YIv (Q), puisque dans ce cas une seule integrale par rapport a 0 est remplacee par la formule de Gauss-Lobatto. Ses proprietes de continuite et d’ellipticite sont done identiques, et l’on en deduit le - Le probl&ne (16) a me sohtion unique. On desire maintenant Ctablir une majoration d’erreur entre u et UN dam (somme des normes de X:(a) restreinte a chaque ‘2,). Sa demonstration la construction d’une bonne approximation dans YN(~), preservant les fonction U* = u - ri. Des arguments relativement techniques (voir [3], I’existence d’une telle fonction ‘ti.hr verifiant THWRSME.

la norme brisee // . l/~~;~oO) repose essentiellement sur traces sur I?0 et l?r, de la 53) permettent de montrer

D’apres la regular% de ‘11indiquee precedemment, ceci per-met de montrer que l’erreur est 5 cNleS pour tout s < 1 + 5. Toutefois, comme souvent en methodes spectrales, un regard plus attentif sur Ie comportement des singularites de la solution permet de doubler cet ordre de convergence.

1166

Conditions

aux

limites

discontinues

et 46ments

spectraux

TH~OR~ZME.- On a la majoration d’erreur suivante entre la solution IL du probEme (7) et la solution uLbr du problkme (16) pour tout s < 1 + (1: :

4. Rdalisation

numkique

L’inversion du systeme lintaire non symetrique equivalent a (16) est relativement complexe, on refere a [3], 54, pour les details de la mise en ceuvre. Les resultats ci-dessous traitent du cas B0 = %, le parametre Q Ctant choisi Cgal a 0,75, La figure 2 presente la courbe de convergence de log JJusa - uN Ilst,(oO) en fonction de log N, pour N variant de 8 a 32. La figure 3 represente les courbes d’iso-valeurs de u.,v- pour N = 36 : les neuf courbes correspondent, de haut en bas, aux valeurs 1 - n * 0,105 pour n variant de 1 6 9.

Fig. 3.

Fig. 2.

5. Conclusions La discretisation CtudiCe ici mene a des resultats de convergence corrects, bien qu’elle soit relativement gross&e : en effet, un decoupage en plusieurs elements resserresau voisinage des deux discontinuites permettrait sarisdoute d’ameliorer grandement son efficacite. L’extension des resultats de convergence au cas des equations du bilaplacien et de Navier-Stokes est en tours (voir [3]) (un premier resulat d’existence pour les equations de Navier-Stokes dans ce cas est demontre dans [6]). La technique de discretisation que nous proposonsdevrait pouvoir s’etendre a d’autres geometries. Remerciements.Les auteurs remercient 1’UniversitC de Chypre pour avoir accept6 de financer leurs rencontres. Note remise le 24 janvier

1997, accepde

aprbs kvision

le 3 mars 1997.

1167

C. Bernardi

et A. Karageorghis

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