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Une méthode de pénalisation pour la résolution d'équations aux dérivées partielles avec conditions de périodicité
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 324, SCrie I, p. 339-342, Analyse num&ique/Numerica/ Analysis
Une pour aux avec
mhthode de phnalisation la &solution d’hquations d&iv&es partielles conditions de p&iodicit6
Mohamed UnivrrsitP
1997
Rachid
LAYDI
de Franche-Comti.
RbumL
LCS
IJRA
CNRS
741,
16,
route
dr
Gray,
25300
Nous prksentons une mkthode de ptkalisation pour la resolution elliptique avec conditions aux limites pkiodiques. La convergence et une estimation de I’erreur sont Ctablies.
Besanqon,
Franw.
d’un problkme de la mkthode
A penality method for solving partial difierential equations with boundary periodic conditions Abstract.
We present u method bused on penaliz&m technique for solving an elliptic problem with periodic boundary conditions. The convergence of the method is proved and an error estimation is given.
1. Introduction On s’intkresse B la r&solution numtrique d’un problkme issu de la thkorie de l’homogCnCisation, oti la solution u prksente des conditions aux limites non classiques de pkriodicitk Plusieurs mCthodes sont actuellement utilides. Nous faisons rCf&ence en particulier 5 la Note de Charpentier et Maday [2], dans laquelle nous trouvons deux m&odes ittratives de rksolution basCes sur la technique de d&composition de domaine. On pourra consulter Cgalement les travaux [4]-[6], ainsi que les rkfkrences qui s’y trouvent. Nous en proposons ici une nouvelle : il s’agit d’une mkthode directe d’approximation par ptnalisation. Ce pro&d6 est commode et efficace, puisqu’il permet l’utilisation des 6lCments finis classiques, et conduit, Cventuellement aprks une renumkrotation des nceuds, A une matrice de rigidit. peu cotiteuse en mkmoire et en temps de calcul, comme le montrent des expkriences numkriques [ 11. Note prksentbe 0764~4442/97/03240339
par Philippe
G. CIARIXT.
0 AcadCmie
des Sciences/Elsevier,
Paris
339
M.
R. Laydi
2. Position
du probkme
On considtre
lc probleme modele etudie dam [2] :
,=I
./=I
t ((/,,,I E) ‘11;= 0 sur i)I’- \ (P
U T’
)
./=I
II est Y’F-pCriodique en :(I? de moyenne nulle. ou E- est un domaine de 10, I [‘. de front&e reguliere d-t-, I”’ et I?’ sont identiques a une translation pres (i.e. m&me longueur, m&me intervalle en ~1). avec ri dChni par i)Y’ n {y2 = ,i}, /I”/ # 0, et u,, E I,“(I-) veritiant les hypotheses habituelles de coercivite et .f E h’(Y’). La solution faible du probleme est don&e par :
Lcs espaces Z et Z# sont hilbertiens pour la norme usuelle dans H’(Y), notee j/ . j/l,l.. I1 est clair, par l’application de Lax-Milgram, yue ce probleme admet une solution unique.
3. Notations
et prCliminaires
Soit (1,,),1 une famille uniformement reguliere (voir [3]), de triangulations de Y. Nous construisons, a l’aidc de la methode des elements finis PI-conforme, l’espace d’approximation :
(2)
z,, := { li E z; ‘111,, E r, ~\y’kE ?;,} .
Atin de simplitier les notations, nous supposons yue la trace du maillage sur T’() est la m&me que sur r1 : nous posons Z,? := {“j# E Z,, : ‘O/,,,.0 = ‘V,, , >. On verifie par la theorie classique des elements finis, que pour tout 11 6 Z#, if existe vir E Zf, tel yue lirrlj,,o I/7! - 1:/,)/l,). = 0. On utiiisera la notation suivante : {(LA.} designera l’ensemble des sommets du mailfage et {&k,} l’ensemble des fonctions de base associe. Soit r := I’” U r1 ; pour tout sommet (1~.situ6 sur le bord I‘, on notera (i,# le sommet oppose B (1~.sur I’. Entin, pour tout zl, E Z,, , on notera ,0h# l’uniyue fonction de Zj,, detinie par: ,1:/f(Q) = { 1;;:;:,;; Ainsi. pour qu’une fonction /I!, E ZI, soit dans Zf, #if+ 1 l!,, . les identitts tsf’ = ~1,~et ‘o,,
340
;I,‘;;.’
r,
il faut et il sufft que ,,,f = ‘,I~,; nous avons
Une
mbthode
de pknalisation
pour
Pour prendre en compte les conditions de pbiodicite.
la rbsolution
d’bquations
aux
d&i&es
partielles...
nous introduisons les formes bilineaires sur Z,, :
(‘I, (,lJ.F, 1II/,) = f c ( (‘Uft - ~?Lf)(.l:,,- ,Vf))(Q). (II.El h, (,w, , ‘ll/1 ) = IJ>(U,, ~ ‘I:[, ) + x 651~(U,, . /!lr ), le scalaire X &ant un parametre positif de penalisation. 4. RCsolution
approchke
du probkme
On propose d’approcher la solution de (2) a I’aide du probleme : (3)
Trouver ,ui E 21, telle que : bh (YJ,~,
~1, ) =
(.f,
‘qL)
pour
four
‘1>/, E
2,)
I1 convient de constater que cette formulation n’a pas de sens dans 2. mais il est clair que ce probltme admet une solution unique, et la matrice de rigidite associee A’ := (K,,j) est simplement donnee par : he,,, = a(d,i.+,)
+ A
pour (L, E I’,
h-,,,,
-
POUr U,, (J,,j E Iet OppOS& dans les autres cas.
=
U&b,.
C$!)
x
t K,>,, = dui., . 4, ) La convergence de cette methode est donnee par : THBORBME.- Soient
*YL
et
,IJ,~
les solutions respecti\les de ( 1) et (3). Alors, on c(:
Si on suppose en outre que X est d’ordre /I.-“, alms, on ~1: lirn 11II h--o
pour une constunte C: indkpendunte 5. Remarques
-
‘71,; Ijl,F
0
pour tout p > 0
de 1,.
finales
I. La methode est d’ordre 1 pour p = 2. 2. L’extension de la methode a la dimension 3 et a d’autres types d’eltments finis atines [3] se fait saris probleme. 3. Nous avow compare numeriquement les solutions du probleme penalise et non penalise. 11 en ressort que l’on peut obtenir pour une bonne precision un gain de l’ordre de 30% du temps de calcul. Pour des CnoncCs plus precis voir [I]. 4. C’est pour reduire la largeur de bande de la matrice de rigidite que nous avons pris le terme de penalisation sous la forme (2). Cependant, les resultats du theoreme sont vrais pour une forme de type: WI(W,.‘W,)
=
;
/(Q
-
,lLf )(,lI,,
-
~lh#))(S)dS
5. La methode de calcul utilisee dans [4] peut trouver une justification
mathematique dans ce travail.
341
M. R. iaydi Ce travail
a bCnCfkiC du soutien de I’action
Remerciements. qui ont ameliork
intkgrke
franco-marocaine
L’auteur remercie Madame le Professeur C. Bemardi les rCsultats de cette Note.
Note remise le IO octobre
1995. acceptke aprks rkvision
le 28 octobre
93/637. pour difftkentes
remarques et suggestions
1996
RCfkrences bibliographiques 1I J Aoubiza B. et Laydi M.R., 1992.
Une
methode
de penalisation
en homogeneisation.
24’
Con~res
d’An&se
NumrmPriqur,
Vittel.
121 Charpentier derivtes
321,
I. et Maday Y., 1995. Deux methodes de decomposition de domaine pour la resolution d’equations aux partielles avec conditions de ptriodicite: application a la theorie de I’homogtneisation. C. R. Acud. Sci. Pm-is, serie 1, p. 359-366.
[3] Ciarlet PG., 1978. 7’he Fir~ifr Ekmrnr Method jtir 141 Holiister S.J. et Kikuchi N., 1992. Effective material periodic
microstructure:
a comparison
Ellipric Problems. North-Holland, Amsterdam. property identification and local stress estimation of homogenization and standard mechanics approaches, Comp~.
[S] Sanchez-Palencia E., 1980. Ndrr homogrnrou.~ media anti vibrufion throrv, Suquet P., 1990. Une methode simplitiee pour le calcul des proprietes
161
periodique,
342
C. K. Arud.
Sci. P&s.
3 I I. rerie
II.
p. 769-774.
Lecture elastiquea
for composites
Me&,
Notes in Phys.. 127. de materiaux heterogenes
IO,
with
p, 73-95.
a structure
Une pour aux avec
mhthode de phnalisation la &solution d’hquations d&iv&es partielles conditions de p&iodicit6
Mohamed UnivrrsitP
1997
Rachid
LAYDI
de Franche-Comti.
RbumL
LCS
IJRA
CNRS
741,
16,
route
dr
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25300
Nous prksentons une mkthode de ptkalisation pour la resolution elliptique avec conditions aux limites pkiodiques. La convergence et une estimation de I’erreur sont Ctablies.
Besanqon,
Franw.
d’un problkme de la mkthode
A penality method for solving partial difierential equations with boundary periodic conditions Abstract.
We present u method bused on penaliz&m technique for solving an elliptic problem with periodic boundary conditions. The convergence of the method is proved and an error estimation is given.
1. Introduction On s’intkresse B la r&solution numtrique d’un problkme issu de la thkorie de l’homogCnCisation, oti la solution u prksente des conditions aux limites non classiques de pkriodicitk Plusieurs mCthodes sont actuellement utilides. Nous faisons rCf&ence en particulier 5 la Note de Charpentier et Maday [2], dans laquelle nous trouvons deux m&odes ittratives de rksolution basCes sur la technique de d&composition de domaine. On pourra consulter Cgalement les travaux [4]-[6], ainsi que les rkfkrences qui s’y trouvent. Nous en proposons ici une nouvelle : il s’agit d’une mkthode directe d’approximation par ptnalisation. Ce pro&d6 est commode et efficace, puisqu’il permet l’utilisation des 6lCments finis classiques, et conduit, Cventuellement aprks une renumkrotation des nceuds, A une matrice de rigidit. peu cotiteuse en mkmoire et en temps de calcul, comme le montrent des expkriences numkriques [ 11. Note prksentbe 0764~4442/97/03240339
par Philippe
G. CIARIXT.
0 AcadCmie
des Sciences/Elsevier,
Paris
339
M.
R. Laydi
2. Position
du probkme
On considtre
lc probleme modele etudie dam [2] :
,=I
./=I
t ((/,,,I E) ‘11;= 0 sur i)I’- \ (P
U T’
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./=I
II est Y’F-pCriodique en :(I? de moyenne nulle. ou E- est un domaine de 10, I [‘. de front&e reguliere d-t-, I”’ et I?’ sont identiques a une translation pres (i.e. m&me longueur, m&me intervalle en ~1). avec ri dChni par i)Y’ n {y2 = ,i}, /I”/ # 0, et u,, E I,“(I-) veritiant les hypotheses habituelles de coercivite et .f E h’(Y’). La solution faible du probleme est don&e par :
Lcs espaces Z et Z# sont hilbertiens pour la norme usuelle dans H’(Y), notee j/ . j/l,l.. I1 est clair, par l’application de Lax-Milgram, yue ce probleme admet une solution unique.
3. Notations
et prCliminaires
Soit (1,,),1 une famille uniformement reguliere (voir [3]), de triangulations de Y. Nous construisons, a l’aidc de la methode des elements finis PI-conforme, l’espace d’approximation :
(2)
z,, := { li E z; ‘111,, E r, ~\y’kE ?;,} .
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340
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il faut et il sufft que ,,,f = ‘,I~,; nous avons
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mbthode
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nous introduisons les formes bilineaires sur Z,, :
(‘I, (,lJ.F, 1II/,) = f c ( (‘Uft - ~?Lf)(.l:,,- ,Vf))(Q). (II.El h, (,w, , ‘ll/1 ) = IJ>(U,, ~ ‘I:[, ) + x 651~(U,, . /!lr ), le scalaire X &ant un parametre positif de penalisation. 4. RCsolution
approchke
du probkme
On propose d’approcher la solution de (2) a I’aide du probleme : (3)
Trouver ,ui E 21, telle que : bh (YJ,~,
~1, ) =
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I1 convient de constater que cette formulation n’a pas de sens dans 2. mais il est clair que ce probltme admet une solution unique, et la matrice de rigidite associee A’ := (K,,j) est simplement donnee par : he,,, = a(d,i.+,)
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Si on suppose en outre que X est d’ordre /I.-“, alms, on ~1: lirn 11II h--o
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-
‘71,; Ijl,F
0
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finales
I. La methode est d’ordre 1 pour p = 2. 2. L’extension de la methode a la dimension 3 et a d’autres types d’eltments finis atines [3] se fait saris probleme. 3. Nous avow compare numeriquement les solutions du probleme penalise et non penalise. 11 en ressort que l’on peut obtenir pour une bonne precision un gain de l’ordre de 30% du temps de calcul. Pour des CnoncCs plus precis voir [I]. 4. C’est pour reduire la largeur de bande de la matrice de rigidite que nous avons pris le terme de penalisation sous la forme (2). Cependant, les resultats du theoreme sont vrais pour une forme de type: WI(W,.‘W,)
=
;
/(Q
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,lLf )(,lI,,
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5. La methode de calcul utilisee dans [4] peut trouver une justification
mathematique dans ce travail.
341
M. R. iaydi Ce travail
a bCnCfkiC du soutien de I’action
Remerciements. qui ont ameliork
intkgrke
franco-marocaine
L’auteur remercie Madame le Professeur C. Bemardi les rCsultats de cette Note.
Note remise le IO octobre
1995. acceptke aprks rkvision
le 28 octobre
93/637. pour difftkentes
remarques et suggestions
1996
RCfkrences bibliographiques 1I J Aoubiza B. et Laydi M.R., 1992.
Une
methode
de penalisation
en homogeneisation.
24’
Con~res
d’An&se
NumrmPriqur,
Vittel.
121 Charpentier derivtes
321,
I. et Maday Y., 1995. Deux methodes de decomposition de domaine pour la resolution d’equations aux partielles avec conditions de ptriodicite: application a la theorie de I’homogtneisation. C. R. Acud. Sci. Pm-is, serie 1, p. 359-366.
[3] Ciarlet PG., 1978. 7’he Fir~ifr Ekmrnr Method jtir 141 Holiister S.J. et Kikuchi N., 1992. Effective material periodic
microstructure:
a comparison
Ellipric Problems. North-Holland, Amsterdam. property identification and local stress estimation of homogenization and standard mechanics approaches, Comp~.
[S] Sanchez-Palencia E., 1980. Ndrr homogrnrou.~ media anti vibrufion throrv, Suquet P., 1990. Une methode simplitiee pour le calcul des proprietes
161
periodique,
342
C. K. Arud.
Sci. P&s.
3 I I. rerie
II.
p. 769-774.
Lecture elastiquea
for composites
Me&,
Notes in Phys.. 127. de materiaux heterogenes
IO,
with
p, 73-95.
a structure