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Produit de séries d'Eisenstein et Laplacien modulaire
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 327, Skie I, p. 521-525, Thkorie des nombres/Number Theory
Produit de shies modulaire Andre
1998
d’Eisenstein
et Laplacien
UNTERBERGER
Mathematiques,
UPRESA
6056, Universitt
de Reims, B.P. 1039, 51687 Reims cedex 2, France
(Recu le 25 mars 1998, accept6 le 3 septembre
R&m&
1998)
On explicite le developpement de Roelcke-Selberg du produit ou du crochet de Poisson de deux series d’Eisenstein. On deduit de la un lien entre la partie discrete du spectre du Laplacien modulaire et les poles de series de Dirichlet apparentees & la fonction zeta de Kloosterman-Selberg. 0 Academic des Sciences/Elsevier, Paris
Products
of Eiseustein
series and the modular
Laplaciun
Abstract.
We make the Roelcke-Selberg coejjicients of the product, or Poisson bracket, of two Eisenstein series, explicit. A (one-way, at present) link between the discrete spectrum of the modular Laplacian and the poles of Dirichlet series related to the Selberg-Kloosterman zeta function is derived as a consequence. 0 Academie des Sciences/Elsevier. Paris
Abridged
English Version
Set c*(s): = r-i I’( ;) c(s) and define, for every complex number v with Re .u < -1 and z in the upper half-plane, El++)
= ;y+
c
Imz - T&y-l.
(1)
mEZ,(n,m)=l
Our main point is to make explicit the RoelckeSelberg f(z) : = <*(l - VI)C*(l
decompositions
- V2) ~I++(++(~)
- <*(l + VI) <“(l - @) q I “1-Q 2
- q
of the functions.
‘&&)] (2)
(~)-~*(l-vl)C*(l+yZ)El+~(Z)
and h(z): = <*(l - VI) <*(l -
VP)
{L+&+}
(z),
(3)
Note prbentke par Jean-Michel BONY. 0764~2/98/03270521
0 Academic des SciencesiEtsevier, Paris
521
A. Unterberger
where the Poisson bracket on the upper half-plane is defined as
(flJ2) = y2(-2:
+ 2%).
(4)
THEOREM 1. - Assume that Re (vl + v2) < - 1, IRe (VI - 23) 1 < 1 and VI # 23. The image of f under the spectral projection corresponding to the continuous part of the spectrum of the modular Luplacian A is given as
1 -+G
O” @(A) EL+ --oo
J
(2) dX,
(5)
where (6)
The function h is related to the simpler function 1
h,,(z) = - YT 2 (7)
by the formula h = ~pUL+~2-1 TP ho,
(8)
P21
in which the sequence (TP)p21 is that of Hecke operators. This allows (see [6], p. 241) to relate the Roelcke-Selberg coefficients of the two functions. We then introduce, when Re s > 1, Ret > 1 and n # 0, the Dirichlet series (where (ux~)-~: = (v~ll-~ sign(ml)):
THEOREM 2. - The function <; (s, t) extends to a meromorphic function for Re s > - 1, Re t > - 1,
IRe (s - t)l < 2, s + t # 1, holomorphic outside the set of points (s, t) with s + t = 1 - i&, 9 in the odd part of the (discrete) spectrum of A. Under the assumptionsof Theorem 1, the projection (hO)Ah of ho onto the eigenspaceof A for the eigenvalue just indicated is given by the Fourier series: (ho)x,(z)
= yi cd, n#O
K+(2aln/9)
eairnz,
(10)
in which the coefficients d, sati@ d, = -8i7r In/-+
522
x residue of b, (p) at p = xk,
(11)
Produit
de shies d’Eisenstein
et Laplacien
modulaire
with
x c
1- ip - Ul+ z4 (
2
’
1 - i/J + Vi - Va 2 1.
(12)
In the French version of the present Note, the discrete part of f is studied instead of h, and the Dirichlet series &(s, t) to be considered in that case is related to the Kloosterman-Selberg zeta function (this can also be done for &(s, t)). Complete proofs will appear in 181.
On pose C*(S):=
r-t
I’($) c(s) et l’on rappelle la definition
E%(Z)= ;y*
c
17712 - n/“--l,
(1)
mEZ,(n,m)=l
valable pour Re v < -1, des series d’Eisenstein. f(Z) : = <*(l-
z$)<*(l-
On considbre les fonctions :
V2) El&@+&)
-
El-YL+YZ
(H]
[
- <*(l + Vl) <*(l -
v2)
q+YI--YZ
2 (+~*(l-vl)C*(l++q+~(a)
(2)
et h(z): = C*(l - v~) <*(l - ~z)
EI+,
>
oti le crochet de Poisson de deux fonctions sur le demi-plan Lfl>.fZ~ = Y2
(z),
EA+
de Poincare est defini par
3g!&+!z%~ ax ay >
(
(3)
(4)
T&OR&ME 1. - Supposons Re (~1 + ~2) < - 1, ]Re ( v1 - v2)l < 1 et ul # ~2. L’image de f par le projecteur spectral correspondant B la partie continue du spectre du laplacien modulaire A est don&e par :
1 zt-)G
m Q(X) Ev
s --Dc,
(2) dX,
(3
Oh
(6)
Pour d&ire
la partie discrete, il est commode de lier, par la formule f = CP”~+;~-~
TP fO
(7)
P21
523
A. Unterberger
faisant intervenir la suite des opCrateurs de Hecke, la fonction f h la fonction plus simple
on sait en effet relier alors (v&r [6], p. 241) les coefficients des dhzompositions des deux fonctions. Introduisons, pour Res > 1, Ret > 1, les fonctions :
de Roelcke-Selberg
&(s, t) = i
c lrnll-” Im21wt e2irn% (?‘?‘&mzG 1 mod ml). (9) mlmZ#O cm*,m2)=1 On peut prolonger analytiquement la fonction ainsi dCfinie au domaine (Re (s + t) > 2, Re t > - l), puis au domaine (Re (s -I- t) > $, Ret < 0) : dans ce dernier domaine, on peut aussi hire, si n # 0, 1 r(E) &(S, t) = a 79-5 r(l)
C 2
rnesVt C S(j, n; m) \jlt--l,
77X21
formule dans laquelle intervient la somme de Kloosterman
(on a aussi
[o(s,t)
(10)
j#O
(cf. [5], [2], [3], [4]) :
= $j$).
TH~ORJ?ME 2. - Pour n # 0, la fonction &(s, t) s’e’tenden unefonction meromorphepour Re s > 0, Ret > 0, IRe(s - t)l < 1, s # 1, t,# 1, s + t # 1, holomorphe en dehors de i’ensemble des points (s,t) tels que s + t = 1 - iXh 9 appartenant h la partie paire du spectre discret de A. Sous les hypotheses du theort?me 1, la projection (fo)~, de fo sur l’espace propre de A pour la valeur propre
que l’on vient d’indiquer est don&e par la se’rie de Fourier (fo)~, (25)= y3 C d, Kd+(27rlnly)
eaixnz,
(12)
n#O
dans laquelle les coeficients d, ve’ri$ent d, = -8ix
InI-*
x residu de b,(p)
en p = Xk,
(13)
ou les fonctions b, sont donnees par :
(14)
524
Produit
de shies d’Eisenstein
et Laplacien
modulaire
11 y a pour le developpement de Roelcke de la fonction h des formules tout a fait analogues, mutatis mutandis, a celles du theoreme 2 : liant h, grace a la theorie de Hecke, a une fonction ho faisant intervenir une serie un peu moins compliquCe; on trouvera celles-ci dans le resume en anglais de la presente Note. Les Cnonces qui precedent sont motives en partie par la theorie de la quantification, en particulier par une gedralisation [7] au cas non-holomorphe des produits de Rank&Cohen [l] de formes modulaires. Les preuves sont dune longueur assez considerable : elles sont basees sur une transformation de Radon et sur l’utilisation d’hyperfonctions. Les demonstrations completes paraitront dans [8].
Rkfkrences
bibliograpbiques
[ 1] Cohen H., Sums involving the values at negative integers of L-functions of quadratic characters, Math. Ann. 217 (1975) 21 l-295. [2] Deshouillers J.M., Iwaniec H., Kloosterman sums and Fourier coefficients of cusp forms, Invent. Math. 70 (1982) 219-288. [3] Goldfeld D., Sarnak P., Sums of Kloosterman sums, Invent. Math. 71 (2) (1983) 243-250. [4] Iwaniec H., Introduction to the spectral theory of automorphic forms, Revista Matematica Iberoamericana, Madrid (1995). [5] Selberg A., On the Estimation of Fourier Coefficients of Modular Forms, Proc. Symp. Pure Math. 8 (1963) 1-15. [6] Terras A., Harmonic analysis on symmetric spaces and applications 1, Springer-Verlag, New York-Berlin-Heidelberg-Tokyo, 1985. [7] Unterberger A., A non-holomorphic analogue of the Rankin-Cohen products of modular forms, (a paraitre). [8] Unterberger A., Quantization and graded algebras of non-holomorphic modular forms, (a paraltre).
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Produit de shies modulaire Andre
1998
d’Eisenstein
et Laplacien
UNTERBERGER
Mathematiques,
UPRESA
6056, Universitt
de Reims, B.P. 1039, 51687 Reims cedex 2, France
(Recu le 25 mars 1998, accept6 le 3 septembre
R&m&
1998)
On explicite le developpement de Roelcke-Selberg du produit ou du crochet de Poisson de deux series d’Eisenstein. On deduit de la un lien entre la partie discrete du spectre du Laplacien modulaire et les poles de series de Dirichlet apparentees & la fonction zeta de Kloosterman-Selberg. 0 Academic des Sciences/Elsevier, Paris
Products
of Eiseustein
series and the modular
Laplaciun
Abstract.
We make the Roelcke-Selberg coejjicients of the product, or Poisson bracket, of two Eisenstein series, explicit. A (one-way, at present) link between the discrete spectrum of the modular Laplacian and the poles of Dirichlet series related to the Selberg-Kloosterman zeta function is derived as a consequence. 0 Academie des Sciences/Elsevier. Paris
Abridged
English Version
Set c*(s): = r-i I’( ;) c(s) and define, for every complex number v with Re .u < -1 and z in the upper half-plane, El++)
= ;y+
c
Imz - T&y-l.
(1)
mEZ,(n,m)=l
Our main point is to make explicit the RoelckeSelberg f(z) : = <*(l - VI)C*(l
decompositions
- V2) ~I++(++(~)
- <*(l + VI) <“(l - @) q I “1-Q 2
- q
of the functions.
‘&&)] (2)
(~)-~*(l-vl)C*(l+yZ)El+~(Z)
and h(z): = <*(l - VI) <*(l -
VP)
{L+&+}
(z),
(3)
Note prbentke par Jean-Michel BONY. 0764~2/98/03270521
0 Academic des SciencesiEtsevier, Paris
521
A. Unterberger
where the Poisson bracket on the upper half-plane is defined as
(flJ2) = y2(-2:
+ 2%).
(4)
THEOREM 1. - Assume that Re (vl + v2) < - 1, IRe (VI - 23) 1 < 1 and VI # 23. The image of f under the spectral projection corresponding to the continuous part of the spectrum of the modular Luplacian A is given as
1 -+G
O” @(A) EL+ --oo
J
(2) dX,
(5)
where (6)
The function h is related to the simpler function 1
h,,(z) = - YT 2 (7)
by the formula h = ~pUL+~2-1 TP ho,
(8)
P21
in which the sequence (TP)p21 is that of Hecke operators. This allows (see [6], p. 241) to relate the Roelcke-Selberg coefficients of the two functions. We then introduce, when Re s > 1, Ret > 1 and n # 0, the Dirichlet series (where (ux~)-~: = (v~ll-~ sign(ml)):
THEOREM 2. - The function <; (s, t) extends to a meromorphic function for Re s > - 1, Re t > - 1,
IRe (s - t)l < 2, s + t # 1, holomorphic outside the set of points (s, t) with s + t = 1 - i&, 9 in the odd part of the (discrete) spectrum of A. Under the assumptionsof Theorem 1, the projection (hO)Ah of ho onto the eigenspaceof A for the eigenvalue just indicated is given by the Fourier series: (ho)x,(z)
= yi cd, n#O
K+(2aln/9)
eairnz,
(10)
in which the coefficients d, sati@ d, = -8i7r In/-+
522
x residue of b, (p) at p = xk,
(11)
Produit
de shies d’Eisenstein
et Laplacien
modulaire
with
x c
1- ip - Ul+ z4 (
2
’
1 - i/J + Vi - Va 2 1.
(12)
In the French version of the present Note, the discrete part of f is studied instead of h, and the Dirichlet series &(s, t) to be considered in that case is related to the Kloosterman-Selberg zeta function (this can also be done for &(s, t)). Complete proofs will appear in 181.
On pose C*(S):=
r-t
I’($) c(s) et l’on rappelle la definition
E%(Z)= ;y*
c
17712 - n/“--l,
(1)
mEZ,(n,m)=l
valable pour Re v < -1, des series d’Eisenstein. f(Z) : = <*(l-
z$)<*(l-
On considbre les fonctions :
V2) El&@+&)
-
El-YL+YZ
(H]
[
- <*(l + Vl) <*(l -
v2)
q+YI--YZ
2 (+~*(l-vl)C*(l++q+~(a)
(2)
et h(z): = C*(l - v~) <*(l - ~z)
EI+,
>
oti le crochet de Poisson de deux fonctions sur le demi-plan Lfl>.fZ~ = Y2
(z),
EA+
de Poincare est defini par
3g!&+!z%~ ax ay >
(
(3)
(4)
T&OR&ME 1. - Supposons Re (~1 + ~2) < - 1, ]Re ( v1 - v2)l < 1 et ul # ~2. L’image de f par le projecteur spectral correspondant B la partie continue du spectre du laplacien modulaire A est don&e par :
1 zt-)G
m Q(X) Ev
s --Dc,
(2) dX,
(3
Oh
(6)
Pour d&ire
la partie discrete, il est commode de lier, par la formule f = CP”~+;~-~
TP fO
(7)
P21
523
A. Unterberger
faisant intervenir la suite des opCrateurs de Hecke, la fonction f h la fonction plus simple
on sait en effet relier alors (v&r [6], p. 241) les coefficients des dhzompositions des deux fonctions. Introduisons, pour Res > 1, Ret > 1, les fonctions :
de Roelcke-Selberg
&(s, t) = i
c lrnll-” Im21wt e2irn% (?‘?‘&mzG 1 mod ml). (9) mlmZ#O cm*,m2)=1 On peut prolonger analytiquement la fonction ainsi dCfinie au domaine (Re (s + t) > 2, Re t > - l), puis au domaine (Re (s -I- t) > $, Ret < 0) : dans ce dernier domaine, on peut aussi hire, si n # 0, 1 r(E) &(S, t) = a 79-5 r(l)
C 2
rnesVt C S(j, n; m) \jlt--l,
77X21
formule dans laquelle intervient la somme de Kloosterman
(on a aussi
[o(s,t)
(10)
j#O
(cf. [5], [2], [3], [4]) :
= $j$).
TH~ORJ?ME 2. - Pour n # 0, la fonction &(s, t) s’e’tenden unefonction meromorphepour Re s > 0, Ret > 0, IRe(s - t)l < 1, s # 1, t,# 1, s + t # 1, holomorphe en dehors de i’ensemble des points (s,t) tels que s + t = 1 - iXh 9 appartenant h la partie paire du spectre discret de A. Sous les hypotheses du theort?me 1, la projection (fo)~, de fo sur l’espace propre de A pour la valeur propre
que l’on vient d’indiquer est don&e par la se’rie de Fourier (fo)~, (25)= y3 C d, Kd+(27rlnly)
eaixnz,
(12)
n#O
dans laquelle les coeficients d, ve’ri$ent d, = -8ix
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x residu de b,(p)
en p = Xk,
(13)
ou les fonctions b, sont donnees par :
(14)
524
Produit
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et Laplacien
modulaire
11 y a pour le developpement de Roelcke de la fonction h des formules tout a fait analogues, mutatis mutandis, a celles du theoreme 2 : liant h, grace a la theorie de Hecke, a une fonction ho faisant intervenir une serie un peu moins compliquCe; on trouvera celles-ci dans le resume en anglais de la presente Note. Les Cnonces qui precedent sont motives en partie par la theorie de la quantification, en particulier par une gedralisation [7] au cas non-holomorphe des produits de Rank&Cohen [l] de formes modulaires. Les preuves sont dune longueur assez considerable : elles sont basees sur une transformation de Radon et sur l’utilisation d’hyperfonctions. Les demonstrations completes paraitront dans [8].
Rkfkrences
bibliograpbiques
[ 1] Cohen H., Sums involving the values at negative integers of L-functions of quadratic characters, Math. Ann. 217 (1975) 21 l-295. [2] Deshouillers J.M., Iwaniec H., Kloosterman sums and Fourier coefficients of cusp forms, Invent. Math. 70 (1982) 219-288. [3] Goldfeld D., Sarnak P., Sums of Kloosterman sums, Invent. Math. 71 (2) (1983) 243-250. [4] Iwaniec H., Introduction to the spectral theory of automorphic forms, Revista Matematica Iberoamericana, Madrid (1995). [5] Selberg A., On the Estimation of Fourier Coefficients of Modular Forms, Proc. Symp. Pure Math. 8 (1963) 1-15. [6] Terras A., Harmonic analysis on symmetric spaces and applications 1, Springer-Verlag, New York-Berlin-Heidelberg-Tokyo, 1985. [7] Unterberger A., A non-holomorphic analogue of the Rankin-Cohen products of modular forms, (a paraitre). [8] Unterberger A., Quantization and graded algebras of non-holomorphic modular forms, (a paraltre).
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