Ressorts et mecanismes: Une solution aux problemes d'equilibrage

Mech. Mach. Theory Vol. 23, No. 2, pp. 157-168, 1988 Printed in Great Britain. All rights reserved

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RESSORTS ET MECANISMES: U N E SOLUTION A U X PROBLEMES D'EQUILIBRAGE P. M I N O T T I et P. P R A C H T Laboratoire de M6canique Appliqu6e, associ6 au CNRS, Facult6 des Sciences--La Bouloie---Route de Gray, Besancon 25030 Cedex, France (Refu le 18 juin 1986)

Rtsmn6---L'importance des interactions du champ de pesanteur et de toute structure robotis6e, ainsi que les inconv6nients des techniques d'6quilibrage classiques, nous ont conduit au d6veloppement de nouveaux modules d'6quilibrage statique, ceux-ci int6grent des ressorts lin6aires et des m6canismes plans. La versalit6 des m6canismes 4 barres plans conjugu6e ~i la capacit6 de stockage d'6nergie potentielle des ressorts assure un 6quilibrage exact des sollicitations non-lin6aires dues fi la pesanteur. Cette m6thode est illustr6e par de nombreux exemples.

INTRODUCTION

Nous pensions, ent tant que m6caniciens, qu'une certaine coh6sion se doit d'exister entre d'une part, l'6volution de ces recherches et, d'autre part, les caract6ristiques architecturales des structures auxquelles ces derni6res s'appliquent. C'est darts ce contexte que nous aeons orient6 notre travail sur la conception d'architectures pertinentes int6grant pour les raisons qui ont 6t~ 6voqu6es, des modules d'6quilibrage statique, p6nalisant aussi peu clue possible l'inertie des charges.

Les op6rateurs m6caniques (m6canismes articul6s, structures robotis6es) travaillent pour la plupart dans un champ de densit6 massique de force fi potentiel. En tout point M appartenant ~ de tels op6rateurs s'exerce une densit6 massique de force g (M, t). Dans la tr6s grande majorit6 des cas 6tudi6s, le champ de force rencontr6 conserve la m~me valeur en tout point M au cours du temps. C'est le cas notamment du champ des forces de pensanteur qui exerce en toute particule des n + 1 solides s~ (i = 0 . . . . . n) d'un op6rateur m6canique une densit6 massique de force g e t en chaque liaison m6canique de celuici un couple de pesanteur: Qi. La morphologie des op6rateurs m6caniques modernes utilis6s en milieu industriel (degr6 de mobilit6, hombre de composants, nature des liaisons) est g6n6ralement telle que les couples Q~ issus des actions de pesanteur sont des fonctions fortement non-lin6aires des configurations articulaires[1]. On observe par ailleurs que ces sollicitations contribuent pour l'essentiel au couple moteur n6cessaire au syst6me actionneur de l'op6rateur. On comprend done l'importance du probl6me pos6 en premier lieu par r6quilibrage statique de telles architectures, probl6me qui bien que simple en apparence, est traditionnellement r6solu par deux families de solutions manifestement peu satisfaisantes[2], caract6ris6es par l'implantation de contrepoids ou de transmissions de mouvement irr6versibles. Malheureusement, ces solutions pr6sentent respectivement rinconv6nient d'augmenter l'inertie giobale des charges et les difficult6s de commande[3, 4]. De plus, elles se pr~tent mal fi une commande dynamique de l'op6rateur. Or, c'est pr6cis6ment vers ce type de commande que s'orientent actuellement la plupart des recherches[5-7].

POSITION DU PROBLEME

Les op6rateurs m6caniques consid6r6s dans notre travail sont constitu6s de cha/nes de solides ferm6es ou ouvertes, poss6dant un ou plusieurs degr6s de libert6. Chaque solide consid6r6 est soumis ~ des liaisons mutuelles technologiquement compatibles avec la transmission d'efforts importants. Nous consid6rerons donc dans ce qui suit exclusivement des liaisons de classe CI du type pivot (un degr~ de libert~ unique en rotation) ou glissi6re (un degr6 de libert~ unique en translation). Les modules d'6quilibrage statique que nous proposons sont le fait de rassociation de mecanismes des ressorts lin6aires. Nous consid6rerons par la suite deux families d'op6rateurs selon que ces derniers poss6dent un ou plusieurs degr6s de mobilit6 mais nous verrons qu'il existe une m6thodologie de r6solution unique pour ces deux types de probl~mes. On peut en effet consid6rer (en se plagant strictement au niveau du probl6me de r6quilibrage statique), qu'un syst6me m6canique complexe (structure robofis6e par exemple) r~sulte de rassociation en s6rie d'un certain nombre de m~canismes ind6pendants ~ un degr6 de libert6, que nous d6signerons par sous-syst6mes, constitu6s de deux solides articuEs. 157

158

P. MZr~OTT~et P. PRACHT

Fig. 1. Repr6sentation sch6matique d'une chalne ferm6e ou ouverte.

Au sein d'une chaine q¢ compos6e de (n + 1) solides soumis au travail des forces de presanteur, nous consid6rerons n ou ( n - 1) (selon que cg est une chalne ouverte ou ferm6e) sous syst6mes independants: ~ teis que (Fig. 1): ~i=sjUsi÷l

(i = 0 . . . n ) .

Le principe de la technique d'6quilibrage pr6sent6e consiste/l cr6er sur s~+ ~, ~ partir de s~, un champ de force qui d6rive du potentiel 61astique d'un ressort r. Le probl6me est d'asservir par des moyens m6caniques ce potentiel aux variations de travail d6velopp6es sur si+ 1 par le champ des forces de pesanteur au cours des ~volutions de l'op6rateur. La validit6 d'une telle technique suppose l'utilisation de ressorts de raideur k parfaite et ind6pendante du temps[8]. On trouve dans la iitt6rature actuelle de nombreuses propositions ponctuelles[l 0, 11], qui se g~n6ralisent difficilement et qui malheureusement ne contr61ent que partiellement l'~quilibre. La plus connue d'entre elles, sp6cifique /t l'6quilibrage d'une articulation roto/de unique poss6de de nombreuses applications partiques toutes similaires. On peut notamment citer le syst~me d'6quilibrage statique recontr6 sur certaines lampes de bureau et que certains robots de projection de peinture exploitent. Le contr61e de l'~quilibrage n~cessite avec de tels syst6mes une optimisation des param6tres autour d'une position m~diane et conduit g6n~ralement ~ un choix de ressorts dont la raideur est 6levee. N6anmoins, la r6ponse de tels syst~mes se d~grade h mesure que I'on s'~loigne de cette position et par cons6quent s'ils sont valables sur des op~rateurs dont le caract~re de fonctionnement est statique, ils ne le sont plus pour des op6rateurs 6volu~s commandos en mode dynamique. Nous sommes parvenus /t 6laborer une m6thodologie de conception de modules d'6quilibrage indifferent applicable quelle que soit la morphologie de l'op6rateur m6canique consid6r~[9]. Les r~sultats obtenus peuvent ~tre v6rifies par une analyse g~om6trique ainsi que par une analyse ~nerg~tique. Nous pr6sentons dans ce qui suit la d~marche que nous avons adopt~ ainsi qu'une application des r~sultats de

notre travail sur des exemples concrets, tr6s diversifi6s, pr6sentant pour la plupart un caract6re d'utilisation courant.

METHODOLOGIE DE RESOLUTION Consid6rons

un sous-syst6me ouvert: d'une chaine ~, et supposons l'6quilibre de sm pr6alablement r6alis6. L'implantation d'un module d'6quilibrage: ./¢ sur ~, r6alise la fermeture d'une cha~ne: ~ = ~ ' Usm Usm÷ ~ sur sm (consid6r6 comme b~ti). Faisons abstraction de la nature morphologique de la liaison: L#(m, m + I) de classe C x, de centre 0, et supposons qu'en un point M de sm+! s'exerce une force de pesanteur: ~m=s,,Usm÷I

F = m g M.

(1)

Les propri~t~s de la classe de liaison consid~r~e d'une part (caract6ris~e par un degr~ de mobilit~ unique) et de la densit~ massique de force: gu d'autre part (caract~ris6e localement par une direction verticale constante) permettent quelles que soient les propri6t6s g6om~triques de la chalne qf, de rapporter l'&ude du sous-syst6me: ~, dans un plan vertical: n contenant mgu et O M (Fig. 2). Consid6rons par ailleurs les extr~mit~s P e t M ' d'un ressort r et supposons qu'en ces points, les liaisons de r avec ~m sont sph~riques parfaites. Notons qu'il est pour l'instant fait abstraction du module d'&luilibrage: ./¢ fi l'exclusion du ressort r. P e s t un point fixe de sin; M ' est un point courant, 1i6 Sin+ l, dont le lieu g6om&rique dans le rep&e x O y est pour l'instant inconnu. Les torseurs: z(r--,sin) et T(r-,sin+l) sont en fait des glisseurs g ( P , r --, sin) et g ( M ' , r --, Sm + ~) ~gaux et opposes d'axe central port~ par la droite A. L'6quilibre du ressort r de raideur k impose: R~. . . . ) = - RI . . . . . .

) = - kPM'.

(2)

Si les hypoth6ses du paragraphe 2 sont v6rifi~es (hypotheses sur k ) , - k P M " peut ~tre assimil6 ~i un champ de force exerc~ par le point P sur le point M ' .

Une solution aux probl6mes d'6quilibrage

159

Y

J J

~A

J

J

/" 4-] . J

j

.-JX

J

Fig. 2. Implantation du syst6me d'&luilibrage sur un sous-ensemble eonstitu6 de 2 solides artieul6s.

Soit

la forme: - - Q o : le couple tendant /t d6placer Sin+ 1 par rapport fi sm sous l'effet de la pesanteur; ---Co: le couple de rappel exerch en 0 par le ressort.

L'6quilibre statique indiff6rent du syst6me: ~U./t' conduit ~i r6quation vectorielle: Q 0 + C o = O M ^ m g + O M ' ^ - k IIPM'IIu = OM A mg+

IIO H l l v ^ - k

[I PM'II u

= 0,

(3)

o6 PM' u= ~ :

vecteur norm6 de A.

OH v = 11--O-~: vecteur norm6 de 6. II O H I I -

p(a)mg cos `9 d`9 = k x d x .

u et v sont par d6finition orthogonaux et appartiennent tous deux au plan n. En projection sur 0z, on obtient: (4)

avec: (Pro), `9): coordonn6es polaires de M clans le rep6re x O y . Nous poserons par la suite --II O H II -- hta>: bras de levier de la force de rappel du ressort --II PM" II = x:tension du ou des ressorts et nous 6crirons (4) sous

(6)

o/1

orthogonale de 0 sur A.

IIPM'II = 0

(5)

qui met en 6vidence le rapport entre les caract6ristiques m6caniques de la structure 6quilibr6e et les lois de variations x(a) et hta) du module d'6quilibrage: ~t'. Ce sont ces lois de variations (ou autrement dit le lieu g6om6trique de M ' lorsque M varie) ainsi que les caract6ristiques physiques du module (notamment k) que nous nouns proposons de d6terminer dans le cas g6n6ral. Or, nous allons voir qu'un raisonnement purement analytique ne permet pas la r6solution exacte de ce probl6me. Conform6ment au principe des travaux virtuels, l'6quilibre indiff6rent du syst6me: ~U~¢/ est effectif lorsque la somme des travaux des forces ext6rieures exerc6es sur ce dernier lors d'une rotation d`9 est nulle. La condition d'6quilibre indiff6rent s'6crit ici: Qo d`9 - k x dx = 0

IIOM' ^ P M ' II ; H 6tant la projection IIP M ' II

mgpts) c o s `9 + [ [ O H I l ' - k

k x h = Pta)mg cos #,

(7)

Les forces en pr6sence d6rivant toutes d'un potentiel, on doit v6rifier par int6gration ridentit6 des potentiels 61astiques et de pesanteur. Or, g6n6ralement, rint6gration est difficile (notamment pour ce qui concerne les m6canismes ~ came) en raison de l'expression analytique de P(a). Une telle m6thodologie de r6solution n'est ainsi applicable que dans le cas tr6s particulier (mais n6anmoins fr6quent) des m6canismes qui v6rifient: p = cte. Ainsi par exemple, en posant dans (7): p = cte et en supposant arbitrairement: x = 0 pour `9 = n/2, il vient par int6gration: kx 2 ping(1 - sin ,9) = - -

2

(8)

P. MINOTTI et P. P&Acrrr

160

et on d6duit les lois de variations: x~)= +

C7,) - -

(1 - sin`9)t/2= _+2R s i n e / 2

(ping "~,/2 cos `9 h(~l = + \ - ~ - J ( 1 - sin`9)~/2 = + R cos~/2, (9)

k""

OU f

f a

b

~X X

ct = n/2 - `9. Par consequent, le lieu g6om6trique de M ' Iorsque M varie est u n cercle de centre 0, de rayon R et la duret6 k doit satisfaire l'6galit6:

pmg

k = ~

= cte.

(10)

On remarquera que la condition x = 0 pour `9 = n/2 (ou 3n/2) impose l'ordonn6e du point P. Les coordonn6es de ce point dans xOy sont ainsi: xe = 0 (Par raison de sym6trie) et YP = R (avec R positif ou n6gatif). Or, nous avons v6rifi6 exp6rimentalement que cette condition est contraignante car si dans la pratique, tous les ressorts v6rifient les qualit6s intrins6ques de duret6 au-del~ d ' u n seuil de tension: Xm~ = a, [6 partir duquel effectivement: k = cte conform6ment & (10), il n'en est pas de m~me pour 0 ~ x ~ a. (Fig. 3). I1 en r6sulte un couple parasite plus ou moins important scion les c,as, au voisinage des configurations pour lesquelles Q0 est minimum. Pour cette raison, nous proposons une autre m6thodologie de r6solution permettant de choisir une ordonn6e yp quelconque. En posant a priori: P(0, d) avec d > 0 ou < 0, on cherche le nouveau lieu g6om6tdque de M ' lorsque M varie. Si les coordonn6es de M ' dans xOy sont: M(xu, ;YM,), on obtient imm6diatement d'apr6s (3):

Fig. 3. Raideur et limite d'utilisation.

D'apre's (11), on peut donc 6crire l'6galit6 vraie quel que soit `9:

m2g 2 mgp cos `9 - - - ~ p2 sin `9 cos ,9

,

dyu, -k(d-yu,)-~=O, d'ofl

(d--yM')~=(d-~dPsin' ) x

mg

YM' = ~--dP sin `9

(17)

(18)

et le lieu g6om6trique de M ' est compl6tement d6fini par le syst6me form6 des 6quations (11) et (18). En remarquant dans ces 6quations que m g / k d est un coefficient sans dimension et en posant:

(11)

=

pcos`9 .

I1 vient donc par identification:

2

mg XM" -~-dp cos ~.

(16)

mg

kd'

(19)

L'ordonn6e YM" de M ' peut quant fi elle 6tre d6finie partir des conditions 6nerg6tiques qui expriment r6quilibre du syst6me et qui s'6crivent ici:

Il apparait que lieu g6om6trique de M ' est un cercle de centre O, de rayon R = 2p, ce qui est conforme aux r6sultats de la m6thodologie pr6ckdente, et que:

OE(~U.AI) _ OEpot(¢U.~t) = 0. ~`9 a`9

O M ' = 2OM.

(12)

L'+nergie potentielle totale de ~U.A( s'~crit:

Ep = rngp sin ~ + ½k IIPM' II2

(13)

II P M ' I I 2 = x ~ + ( d - Y M , )

(14)

avec

2.

Afin de simplifier les calculs, nous 6mettrons ~t nouveau I'hypoth6se que p = cte, mais nous verrons ult6rieurement que cette condition n'est pas indispensable.

c~`9 = mgp cos `9

I- 0x,~, + ~ LxM,-~--

(20)

Par cons6quent, nous venons de d6montrer que quelle que soit l'ordonn6e de P dans xOy, et dans le cas od p = c t e , le module d'6quilibrage: doit &re g6om6triquement conqu de telle sorte que les points M et M ' d6crivent des courbes homoth6tiques au point 0, dans le rapport: 2. La Fig. (4) illustre l'interpr&ation g6om&rique de cette analyse. On notera l'existence de deux m6canismes selon que d > 0 ou <0. Le param&rage adopt6 permet d'6tablir de nouvelles lois de variations:

x(a) = (22p 2 + d ~ - 22pd sin `9)1/2

, ey~,-] ( d - yM,)-fS-j = 0.

(15)

2p d cos `9 his) = - X

(21)

Une solution aux probl~mcs d'6quilibrage

161

est telle que:

~.Y

p = p~ = ~

L

(~ ~ ~/2 + kn).

(25)

Les potentiels 61astiques du ressort et de pesanteur de la charge doivent v6rifier:

Mg f p~,cosOda =k fxdx

(26)

kx 2 MgLO + K = - - . 2

(27)

donc:

Manifestement, un tel calcul ne permet pas des difficult6s d'aboutir fi un r6sultat, en raison de determination K. La r6solution de ce probl6me est par contre possible fi partir de l'interpr6tation des resultats obtenus pour le cas particulier 6tudi6 au paragraphe pr6c6dent (pour lequel p = cte). U est en effet remarquable que l'6galit6 (22) est satisfaite ind6pendamment de p = P69) si:

k

Fig. 4. Implantation du syst6me d'6quilibrage.

Introduites dans l'6quation d'6quilibre (5), elles font apparaitre 1'6galit6: (k2d - Mg)p cos ,9 = 0, (22) o6 Yon v6dfie ais6ment que [conform6ment ~ l'6galit6 (19)], l'6quilibre est satisfait indif6remment Iorsque: mg k=-~=cte.

(23)

Comme on l'a vu, cette 6galit6 est v6rifi6e si: (24)

xto).i.i = a > O.

oti a = tension du ressort pour ~ =

ou

(a) QueUe que soit la trajectoire d6crite par le point M: O M ' = 2OM, ce qui suppose l'existence d'un module .~' dont la g6om6trie est compatible aux propri6t6s recherch6es: homot6thie au point 0 des courbes d6crites par M
.

On comprend donc l'int6r& de cette nouvelle m6thodologie qui, d'une part, permet d'6viter l'introduction d'un couple de rappel parasite au voisinage des configurations pour lesquelles Q0 est nul: (0 = n/2 ou 3n/2), et d'autre part, conf6re une souplesse de conception du module au niveau de la d6termination du ressort. (Il suffit en effet de faire varier 2 ou d, pour satisfaire la duret6 k recherch6e).

t

Y

t

II

M]~THODOLOGIE DE RESOLUTION DANS LE C A S G E N E R A L (p ----P(a))

II est bien 6vident que sur un plan purement 6nerg6tique, il est int6ressant de g6n6raliser l'utilisation de cette nouvelle technique d'6quilibrage. Or, comme nous l'avons d6jfi dit, et ¢omme le d6montre l'exemple suivant, une d6marche de calcul purement analytique n'est pas applicable d6s lors que p =p{a). Consid6rons par exemple l'6tude de l'6quilibrage statique d'un couple prismatique vertical (Fig. 5). La trajectoire d6crite par le point M dans le plan M.M.T. 23/2--F

k!

.I. Fig. 5. Equilibrage d'une liaison glissi6re.

162

P. MiNOTTI et P. PRACHT xt9) = (22p~a) + d 2 - 2).pta)d sin 8) ll: h~) =

(2) L'ordonn6e du renvoi:

2p(~)d cos

d 1>0

(28)

d2<0,

qui caract6rise la duret6 k du ressort ainsi que le rapport de transmission (ou bras de levier du m6canisme): k. On montre en effet que le lieu g6om6trique de H au tours des variations de 8 est un cercle de diam6tre: d, de centre: I(0, d/2).

Cette proc6dure de synth6se est d'ailleurs imm6diatement v6rifi6e sur l'exemple pr6ckdent pour lequel on peut 6crire:

kxta)h~) = pta)Mg cos 9 = MgL = cte

ou

(29)

OU:

k

D'apr6s ies notations de la Fig. 6, un tel cercle peut en effet &re param6triquement repr6sent6 par ies 6quations:

Mg 2d'

d x~(~) = ~ sin 2~

ainsi que dans le cas g6n6ral de la Fig, 6 qui r6sume bri6vement les caract6ristiques g6om6triques essentielles que doivent respectivement v6rifier les modules d'6quilibrage ,/tl ou J(2, c'est-fi-dire:

(31) d YH(~) = ~ (cos 2~a - 1).

(1) Le rapport d'homoth6tie: o n peut aussi 6crire: 2~ =

OM'l OM

ou

OM~ 22= O M '

(30)

x~t(~) = - h cos tp Yu~a) = - h sin ¢p

qui peut 6tre positif ou n6gatif selon la solution choisie mais qui, en tout 6tat de cause, doit de pr6f6rence &re tel que:

(32)

oil h = JI o H II.

0<1~1~1.

Or, en remarquant que:

En raison essentiellement des probl6mes d'encombrement.

h = d sin qT.

Y

I

\.

-

\

xaM:

/ i

_

__J!

/

P2

i k2 = k.~; lo2 Fig. 6. Equilibrage d'une charge astreinte fi un parcours impos6.

(33)

Une solution aux probl~mes d'~quilibrage

163

pour ce qui conccrne les liaisons pivot, I'introduction de mtcanismes n'est pas ntcessaire, les membrcs de l'optrateur ~quilibr6 pouvant eux-m~mes ~tre utilists dans la fonction d'equilibrage. La Fig. (8) illustr¢ une application immtdiate de notre m~thode sur l'exemple concret d'un mtcanisme ~i came.

/

/ /

J '

I.--"

J J

VERIFICATION DES RESULTATS PAR LA M E T H O D E ENERGETIQUE

J

b

Fig. 7. Domaine d'utilisation des modules d'tquilibrage. (Triangle OHP rectangle en H quel que soit 0). On vtrifie immtdiatement l'identit6 des systtmes (31) et (32). En dtfinitive, le choix de d ne peut done ~tre arbitraire. Hormis la duret6 k du ressort, il dttermine la tension maxi de celui-ci. La Fig. (7) illustre l'allure de l'tvolution des caracttristiques physiques d'un ressort lorsque [~ 6tant figt, Pta) 6rant une donn~¢ du mtcanisme] d varie, xto~m est fonction de 10 (longueur du ressort au repos). (On vtrifie exl~rimentalement que xta)m~i~ 10 pour des ressorts de traction de forme et de qualit6 standard). xta) 6tant fonction du paramttre: d, il apparait que pour une longueur 10 limite (dtterminte par des crittres d'encombrement), d ne peut ~tre choisi qu'fi l'inttrieur d'un intervalle de choix: ~ ( d ~ ~ ~ du) vtrifiant la condition de fonctionnement: k = cte ¥ x(~) = f(d),

(34)

--x(~)~m//> a: Seuil de tension minimal admissible (voir Fig. 3). --X(,9)maxi~ b: Seuil de d~formation limite 81astique du ressort.

La validit6 des m~canismes precedents est imm~diatement v~rifiable dans le cas g~n~ral, a partir d'une analyse purement ~nerg~tique. Consid~rons par exemple le m~canisme de la Fig. (8) pour iequel nous allons v~rifier la conservation de l'~nergie potentielle totale au cours des variations de M. A partir du param~trage adoptS, on peut d ~ n i r - - L e potentiel V du point M:

V, = MgyM(,) o/l

Yu est l'altitude de M danx xOy v reprtsente le vecteur: (01,01 + 02)T. 2xl - - L e potentiel 61astique qJ du ou des ressorts de raideur k. 2 T(,) = ~1k (x(,)).

II reste~ d~finir concr~tement dans le cas g~n~ral, les caract~ristiques morphoiogiques des modules d'~quilibrage. Ces derniers, d'apr~s c¢ qui precede, pr~sentent la caract~ristique d'etre plans. Or, la capacit~ des m~canismes "4 barres-plans" fi engendrer des mouvcments plans de toute sorte est remarquable[12, 13]. D'autre part, lorsque les longueurs des barres de tels m~anismes respectent certaintes propri~t~s g~om~triques (syst~mes pantographes), leurs extr~mit~s d~rivent des courbes homoth~tiques ~ un point fixe[14]. Ces m~canismes semhlent done, clans le cas le plus g~n~ral, prouver leur ad~quation i r~soudre pratiquement le probl~me technique pos~ par la r~alisation de l'~quilibrage. On notera que dam certains cas particuliers, notamment

(36)

Si l'on considtre que le systtme 6tudi6 est holonome, compost de liaisons parfaites et que les actions exttrieures dtrivent de potentiels indtpendants du temps (en d'autres termes, si l'on ntglige a priori la fatigue des ressorts au cours du temps), l'tnergie potentielle totale: D du syst~me s'tcfit: 1 2 ~,) = V(,)+ ~Ft,) = Mgyu(,) + ~k(xt,)).

(37)

Pour deux configurations articulaires distinctes respectivement caracttristes par: v(0) et v °), on peut former la difftrence de potentiel: o~ = fit0) _

MORPHOLOGIE DES M O D U L E S D'EQUILIBRAGE

(35)

flo).

(38)

La validit~ du m~canisme suppose un asservissement strict du travail des ressorts en fonction de I'~volution du potentiel du point M. Analytiquement (et d'un point de vue statique), il convient done de v~rifier les conditions: &o -----~0

00n

&o

(39)

- - ~ 0 .

Pour une altitude y~ maximale th~orique: YM= LI +/-,2.

(40)

L'~nergie potentielle [~(0) du syst~me s'tcrit: D (°) = P ( L , + L2).

(41)

164

P. MINOTTIet P. PRACHT

"\

¥

'\ '\.1

I /-

M't.

r~

/

/

/

i

\•

|

\

Fig. 8. Equilibrage par pantographe et ressort.

Pour une altitude Yutv) quelconque:

~2 =

91 = "2;

0

(equilibre instable)

~.~(1)= Mg[Llsin 31 + L2 sin (91 + 92)] et

1 2 + 5k[2 (L 2t + L 2 + 2L l L 2 cos 32

9j =--'3n 2'

+ d 2 - 22d (L l sin 91 + L 2 sin (91 + 32)].

(42)

La variation de potentiel du syst6me en fonction de l'6volution de l'inclinaison des barres avec ox s'6crit:

92 = 0

(equilibre stable)

et la condition d'6quilibre artificiel indiff6rent: Mg k=-2d"

to = Mg[Li (1 - sin ~qj) + L2(I - sin(91 + 32))] - / k1 [ 2

2

(L 21+ L~ + 2L 1L2 cos 92

+ d 2 - 2).d(L l sin 91 + 92 sin (gt + 92)].

APPLICATIONS PRATIQUES (43)

C o n f o r m 6 m e n t / t (36), on obtient le syst6me: dto - - = (k2d - Mg)(LI cos 9j t331 +L2 cos (91 + 02)) = 0 dto - = (k2d - M g ) L 2 cos (,91 + 92) = 0, (44) ~9(91 + 9:) qui v&ifie effectivement les configurations d'6quilibre naturelles du m6canisme:

La simplicit6 de mise en oeuvre de cette technique d'6quilibrage permet d'envisager de nouvelles solutions susceptibles d ' u n bon nombre d'applications dans des secteurs tr6s divers: m6canismes-robotique. Nous pr6sentons dans ce paragraphe quelques-unes de ces applications (Fig. 10) qui illustrent assez bien l'6tendue du domaine d'utilisation des modules d'6quilibrage pr6c6demment d6finis. Le tableau suivant (Fig. 9) indique pour chacun des cas 6tudi6s le rapport d'homoth6tie du module d'6quilibrage correspondant et la raideur du ou des ressorts qui lui sont associ6s.

Une solution aux probl6mes d'6quilibrage

D6sigr~atlon

Fig. 10

Raideur

(MI+M2)g (a}

Robot type R.R.

k1=

k2=

-~IDI M2g

Table h dessin

{c)

Manipulateur h cha~ne

2gllMI~M 2 ) 1= LI(MI+2M 2) 2~2 k2 = L2

R

CC'

ferm6e (Charge concentr~e)

Manipulateur ~

Rapport d'homoth~tle

X= r_

(b)

(d)

165

cha~ne

BM'

BM

2BM~(MI+M2)

(Ml+M2)g

kl:

~I :

M2g k2= "~'2D2

~2

ferm4e (Earres pesantes)

BB'

~:~-6:~:

BC(MI+2M2)

BM~ :

(e)

Forte de garage

X= £R

(t')

Liaison glissi~re

X= U

CM2

Fig. 9. Modules d'6quilibrage: applications et caract6ristiques.

CONCLUSION L'analyse de la conception des op6rateurs m6caniques 6volu6s et rapides montre qu'il est manifestement n6cessaire de s'orienter, notamment au niveau de l'6quilibrage statique, vers des solutions qui p6nalisent aussi peu que possible l'inertie des charges[15]. Aussi, rutilisation de nouvelles tech-

g

I

niques d'6quilibrage est peu ~ peu envisag6e. Elles font naturellement appel ~ des organes m6caniques 16gers capables de stocker l'6nergie potentielle n6cessaire ~i la compensation des effets de la pesanteur, sous forme passive (ressorts) ou active (v6rins)[16]. On trouve actuellement de nombreuses solutions ponctuelles qui ne contr61ent clue partieUement r6quilibre. Les modules que nous proposons assurent quant h eux 1'6quilibrage statique indiff6rent d'une structure donn6e. Leur conception r6sulte de la m6thodologie que nous avons d6velopp6e et dont remploi

02

I1

Fig. 10(a). Robot Type R.R.

Fig. 10(b). Table ~i dessin.

166

P. MINol~rl et P. PRACHT

/

Yt

o2.,

~:CC' BB' C M : BC

!

~

BM' BM

\ \

M

~

Mg

Fig. lO(c). Manipulateur ~ chalne ferrule: charge concentr6e.

~± \, "---/ fY

/

/

k, Fig. lO(d). Manipulateur ~ chaine ferm~e: barres pesantes.

Fig. lO(e). Porte de garage.

Une solution aux probl6mes d'6quilibrage

I

4. 5.

6.

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

Fig. 10(f). Colonne de robot: liaison glissi6re verticale.

17.

est par ailleurs imm6diat quelle que soit la structure rencontr6e. I1 est de plus remarquable que l'association de m6canismes plans et de ressorts lin6aires permet, par un choix convenable des param6tres g6om6triques des 4 barres introduits (notamment ;. et d) de satisfaire les caract6ristiques physiques (raidcur des ressorts) recherch6es au niveau des modules. N o t o n s enfin que l'int6gration de ces nouveaux syst6mes devrait pouvoir se faire sans probl6me tout en sachant cependant que leur int6ff:t d6pend pour une large mesure, du contexte de leur implantation.

18. 19. 20.

21. 22.

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Abstract--This paper deals with the problem of static balancing of robots. Indeed as a manipulator moves, it transmits forces to its surroundings, unless it is balanced these forces result in vibration, noise, wear and cause fatigue problems. Balancing may be accomplished through the addition of inertia counterweights and restrictions on arm configurations. Irreversible transmission such as screw nut type are also used. But the use of these techniques to achieve force and moment balancing induce significant effects on input torques, robot control and

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P. MINOTTIet P. PRACHT configuration. So to reduce loading characteristics, which can significantly enhance machine process, we present a new method to balance manipulators by springs. The potential energy storage capabilities of linear springs are integrated with the non linear motion of manipulator to provide an exact value of the desired counter loading functions. This is performed by introducing simple mechanism between the spring and the structure to be balanced. Synthesis techniques based on torque balancing and energy method, are developed to design the characteristics of mechanism and spring capable of balancing a given structure. Examples are worked to demonstrate applications of these procedure and to illustrate the industrial potential of spring balancing.