Séparation des solutions aux modèles géométriques direct et inverse pour les manipulateurs pleinement parallèles

Mechanism and Machine Theory 36 (2001) 763±783

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Separation des solutions aux modeles geometriques direct et inverse pour les manipulateurs pleinement paralleles Damien Chablat *, Philippe Wenger Institut de Recherche en Communications et Cybern etique de Nantes, 1, rue de la Noe B.P. 6597, F-44321 Nantes Cedex 3, France Received 8 May 2000; accepted 8 May 2000

ReÂsume Cet article fournit un formalisme permettant de gerer les solutions des modeles geometriques direct et inverse des manipulateurs pleinement paralleles. Nous introduisons la notion de ``modes de fonctionnement'' pour separer les solutions du modele geometrique inverse. Puis, nous de®nissons, pour chaque mode de fonctionnement, les aspects de ces manipulateurs. Pour separer les solutions du modele geometrique direct, nous introduisons la notion de surfaces caracteristiques. Puis, nous de®nissons les domaines d'unicite, comme etant les plus grands domaines de l'espace de travail dans lesquels il y a unicite de solutions. Les applications principales de ce travail sont la conception, la plani®cation de trajectoires et la commande. Ó 2001 Elsevier Science Ltd. All rights reserved.

1. Introduction L'utilisation de manipulateurs dans l'industrie n'a cesse d'augmenter ces dernieres annees. Ils ont permis d'augmenter la production et la precision des mouvements e€ectues. La plus grande partie de ces manipulateurs est constituee des manipulateurs seriels dont la morphologie peut facilement ^etre comparee  a celle de l'^etre humain. Plus recemment, les manipulateurs paralleles sont apparus dans les domaines o u l'on a besoin d'e€ectuer des mouvements rapides ou des placements tres precis (simulateur de vol, usinage, chirurgie, etc.) ou transporter de lourdes charges. Un probleme important non resolu lie a l'utilisation de ce type de mecanisme est la gestion des di€erentes solutions aux modeles geometriques.

*

Corresponding author. Tel.: +33-02-40-37-69-54; fax: +33-02-40-37-69-30. E-mail addresses: [email protected] (D. Chablat), [email protected] (P. Wenger). 0094-114X/01/$ - see front matter Ó 2001 Elsevier Science Ltd. All rights reserved. PII: S 0 0 9 4 - 1 1 4 X ( 0 1 ) 0 0 0 1 7 - 9

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La resolution de ce probleme passe par la determination de domaines d'unicite des operateurs geometriques. Historiquement, Borrel [1] a introduit la notion d'aspect pour les manipulateurs seriels et Wenger [2] a etendu cette notion pour les mecanismes cuspidaux par l'introduction des regions et composantes de base. Dans un precedent travail, nous avons rede®ni la notion d'aspect pour les manipulateurs paralleles possedant une seule solution au modele geometrique inverse [3]. Le but de cet article est de formaliser la notion d'aspect pour les manipulateurs paralleles possedant plusieurs solutions au modele geometrique inverse. Pour ce faire, nous de®nissons des modes de fonctionnement, qui permettent de separer les solutions du modele geometrique inverse. Ainsi, nous de®nissons de nouveaux aspects. Nous montrons qu'il est aussi possible de de®nir une trajectoire de changement de mode d'assemblage, a l'interieur d'un m^eme aspect, exempte de toute singularite. Ce qui montre que la notion d'aspect, limitee a l'etude des singularites, n'etait pas susante pour de®nir les domaines d'unicite d'un tel manipulateur. Nous de®nissons des nouveaux domaines d'unicite gr^ ace  a la notion de surfaces caracteristiques que nous introduisons. Nous decrivons de m^eme un vocabulaire permettant de de®nir les singularites, les matrices jacobiennes etles aspects qui en decoulent. Le travail presente dans cet article est illustre a l'aide d'exemples. 2. PreÂliminaires 2.1. Manipulateurs etudi es De®nition 1 (Les manipulateurs pleinement parall eles). Ce sont des mecanismes comportant autant de cha^õnes cinematique elementaires que l'e€ecteur presente de degre de liberte, chaque cha^õne cinematique elementaire comporte au plus un actionneur. De plus, aucun segment d'une cha^õne cinematique elementaire ne doit ^etre relie a plus de deux corps (cha^õne cinematique serie) [4]. Ces manipulateurs sont donc non redondants et nous supposons les cha^õnes cinematiques elementaires independantes. De®nition 2 (Une cha^õne cin ematique el ementaire). En parlant d'un manipulateur parallele, c'est une cha^õne cinematique reliant la base ®xe  a l'e€ecteur du manipulateur. On appelle aussi celle-ci, jambe d'un manipulateur [5]. 2.2. Les aspects 2.2.1. Espace articulaire et espace op erationnel On peut de®nir une relation entre les entrees …q†, c'est-a-dire les variables articulaires et les sorties …X†, c'est- a-dire les con®gurations de la plate-forme mobile de la maniere suivante: F …X; q† ˆ 0: …1† Cette de®nition peut ^etre appliquee  a tout type de manipulateur, qu'il soit seriel ou parallele. On note: · EAn l'espace articulaire lie aux articulations motorisees q (n designe le nombre d'articulations motorisees);

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· EAPr l'espace articulaire lie aux articulations passives qp (r designe le nombre d'articulations passives); · EOm l'espace operationnel lie aux con®gurations de la plate-forme mobile (m designe le nombre de degre de liberte de la plate-forme mobile). L'ensemble articulaire Q est l'ensemble des positions articulaires motorisees permettant d'assembler le manipulateur. · Q  EAn ;  8i 6 n; qi min 6 qi 6 qi max ; q 2 EAn =qp 2 EAPp ; · Qˆ 9X 2 EOm =F …X; q† ˆ 0

8j 6 r; qpj min 6 qpj 6 qpj max

 :

L'espace de travail W est l'ensemble des positions et des orientations accessibles par un repere lie a l'organe e€ecteur du manipulateur de®ni tel que: · W  EOm ; · 8X 2 W et 8q 2 Q;

F …X; q† ˆ 0.

2.2.2. Les singularit es Pour identi®er les con®gurations singulieres, nous utilisons la methode proposee par Gosselin et Angeles [14]. Par di€erentiation de l'equation (1), nous obtenons l'equation suivante: At ‡ Bq_ ˆ 0;

…2†

avec:   · t dans le cas des manipulateurs plans, o u - represente la vitesse de rotation plane et c_ la c_ vitesse de deplacement dans le plan; · t  ‰-Š dans le cas des manipulateurs spheriques, o u - represente le vecteur rotation;   · t dans le cas des manipulateurs spatiaux, o u - represente le vecteur rotation et c_ la c_ vitesse de deplacement dans l'espace; · q_ ˆ ‰q_ 1 ; q_ 2 ; . . . ; q_ m ŠT represente le vecteur des vitesses articulaires liees aux articulations motorisees; · A et B sont deux matrices jacobiennes. On appelle singularite toute con®guration telle que A ou B (ou les deux) n'est (ne sont) plus inversible(s). Nous pouvons ainsi etudier 3 types de con®gurations singulieres: (a) Det…A† ˆ 0; (b) Det…B† ˆ 0; (c) Det…A† ˆ 0 et Det…B† ˆ 0. Remarque. Dans la plupart des etudes realisees sur les manipulateurs pleinement paralleles, on ecrit souvent l'equation (2) sous la forme t ˆ Jq_ avec J ˆ A 1 B. Ce formalisme, emprunte aux manipulateurs seriels, ne permet pas de distinguer les di€erents types de con®gurations singulieres. De plus, cette notation utilise implicitement l'inversion de la matrice jacobienne parallele. Or celleci n'est pas toujours inversible.

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De®nition 3 (Les singularit es parall eles). Les singularites paralleles sont dues a la perte de rang la matrice jacobienne A que l'on nommera par la suite matrice jacobienne parallele, c'est- a-dire lorsque Det…A† ˆ 0. Dans ce cas, il est possible de deplacer la plate-forme mobile alors que les articulations motorisees sont bloquees. Dans ces con®gurations, le manipulateur gagne un ou plusieurs degre(s) de liberte. Ces singularites sont propres aux manipulateurs paralleles. De®nition 4 (Les singularit es s erielles). Les singularites serielles sont dues a la perte de rang la matrice jacobienne B que l'on nommera par la suite matrice serielle, c'est-a-dire lorsque Det…B† ˆ 0. Dans ce cas, il n'est pas possible d'engendrer certaines vitesses de la plate-forme mobile. Les singularites serielles representent les limites de l'espace de travail [6]. Dans ces con®gurations, le manipulateur perd un ou plusieurs degre(s) de liberte. 2.2.3. Notion d'aspect La notion d'aspect a ete introduite pour des manipulateurs possedant les caracteristiques suivantes: (a) Manipulateur seriel [1]; (b) Manipulateur parallele avec plusieurs solutions au modele geometrique direct et une seule solution au modele geometrique inverse [3,7]. De®nition 5 (Les aspects parall eles [3]). Nous appelons aspects paralleles, les aspects de®nis pour les manipulateurs paralleles possedant plusieurs solutions au modele geometrique direct et une seule solution au modele geometrique inverse. Un aspect parallele (note WA) est un domaine de l'espace de travail W o u le determinant de la matrice jacobienne parallele A n'est jamais nul, sauf s'il est nul partout sur A: · WA  W ; · WA est connexe; · 8X 2 WA; Det…A† 6ˆ 0: Les aspects paralleles sont donc les plus grands domaines de W depourvus de toute singularite parallele (De®nition 3). Les aspects paralleles separent l'espace de travail. Cette de®nition est insusante pour de®nir la notion d'aspect dans le cas des manipulateurs pleinement paralleles possedant plusieurs solutions au modele geometrique inverse. Il faut la generaliser. De®nition 6 (Les aspects introduits pour les manipulateurs s eriels [1]). La notion d'aspect a ete introduite pour les mecanismes seriels. Un aspect (note QA) est un domaine de l'ensemble articulaire Q o u le determinant de la matrice jacobienne J (J est la matrice jacobienne des manipulateurs seriels) n'est jamais nul, sauf s'il est nul partout sur QA: · QA  Q; · QA est connexe; · 8q 2 QA; Det…J† 6ˆ 0. Les aspects sont donc les plus grands domaines de Q depourvus de toute singularite serielle (De®nition 4). Les aspects separent l'ensemble articulaire. Nous allons tester cette de®nition pour caracteriser les aspects des manipulateurs paralleles dus aux singularites serielles.

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2.3. Changement de posture et de mode d'assemblage 2.3.1. Changement de posture Les di€erentes postures d'un manipulateur parallele sont dues a l'existence de plusieurs solutions au modele geometrique inverse. Nous associons ainsi plusieurs postures pour la m^eme position et la m^eme orientation de l'e€ecteur du manipulateur (Fig. 1). Un changement de posture revient  a changer de solution du modele geometrique inverse. 2.3.2. Changement de mode d'assemblage Les di€erents modes d'assemblage d'un manipulateur parallele sont dus a l'existence de plusieurs solutions au modele geometrique direct. Il est ainsi possible d'associer plusieurs modes d'assemblage pour les m^emes coordonnees articulaires [6] (Fig. 2). Un changement de mode d'assemblage revient  a changer de solution du modele geometrique direct. Dans le cas du manipulateur parallele plan de type 3-RPR, Innocenti et Parenti-Castelli [8] et Wenger et Chablat [3] montrent qu'il est possible de changer de mode d'assemblage sans passer par une singularite parallele.

Fig. 1. Exemple de changement de posture.

Fig. 2. Changement de mode d'assemblage.

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2.4. Les modes de fonctionnement Nous de®nissons les modes de fonctionnement pour les manipulateurs pleinement paralleles (De®nition 1). Ces manipulateurs possedent des jambes independantes comportant les elements suivants: prismatique, pivot, cardan et rotule. De cette propriete, nous pouvons en deduire la forme de la matrice jacobienne serielle B, pour  (3)), un manipulateur  a n degres de liberte (Eq. B ˆ Diag‰B11 ; . . . ; Bjj ; . . . ; Bnn Š:

…3†

A chaque terme Bjj est associe une jambe du manipulateur. Son annulation provoque l'apparition d'une singularite serielle. De®nition 7 (Les modes de fonctionnement). Un mode de fonctionnement, note Mfi , est l'ensemble des con®gurations du mecanisme …X; q† pour lesquelles Bjj …j ˆ 1; . . . ; n† ne change pas de signe et ne s'annule pas. Soit:  …4† Mfi ˆ …X; q† 2 W  Q n signe…Bjj † ˆ constantes pour j ˆ 1; . . . ; n et det…B† 6ˆ 0 : L'ensemble des modes de fonctionnement Mf ˆ fMfi g, i 2 I, est donc obtenu en utilisant toutes les permutations de signe de chaque terme Bjj . S'il existe des contraintes sur les articulations (limites articulaires ou collisions internes) alors les modes de fonctionnement ne sont pas toujours tous accessibles. Dans le Theoreme 1, nous montrons que les modes de fonctionnement permettent de separer les solutions du modele geometrique inverse dans le cas o u les jambes ne sont pas cuspidales. 1 C'est a-dire que les solutions sont bien separees par les singularites serielles. On peut trouver dans [10] la liste des cha^õnes serielles non cuspidales les plus courantes. Changer de mode de fonctionnement revient  a e€ectuer un changement de posture pour l'une des jambes. Theoreme 1. Les modes de fonctionnement separent les solutions du modele geometrique inverse si et seulement si les jambes du manipulateur sont non cuspidales. Demonstration. Si une jambe du manipulateur est cuspidale alors le manipulateur peut executer une trajectoire de changement de posture sans rencontrer de con®guration singuliere. Dans ce cas, aucun terme de la matrice serielle B ne s'annule. Reciproquement, si aucune des jambes n'est cuspidale alors une trajectoire de changement de posture implique obligatoirement de passer par une ou plusieurs con®guration(s) singuliere(s) o u le determinant de la matrice jacobienne serielle B s'annule. Pour un mode de fonctionnement Mfi , nous n'avons qu'une seule solution au modele geometrique inverse du manipulateur, nous pouvons donc de®nir une application permettant d'associer une coordonnee operationnelle X a une coordonnee articulaire q, gi …X† ˆ q:

…5†

1 Une cha^õne serielle est dite cuspidale s'il existe une trajectoire de changement de posture qui ne passe pas par une singularite [9].

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De m^eme, nous posons la notation suivante permettant de de®nir l'ensemble des images dans W d'une posture donnee de Q. g1 1 …q† ˆ fX n …X; q† 2 Mfi g; o u l'indice i represente l'indice associe au mode de fonctionnement Mfi .

…6† 

Exemples. Dans le cas du robot Delta de [11], manipulateur a trois degres de liberte, il existe 8 modes de fonctionnement (3 jambes avec 2 postures par jambe, avec 23 ˆ 8 modes de fonctionnement). Les singularites serielles apparaissent lorsque les articulations des cha^õnes cinematique elementaires sont alignees. Et pour le robot Hexa de [12], manipulateur a six degres de liberte, il existe 64 modes de fonctionnement …26 ˆ 64†. 3. Extension de la notion d'aspect 3.1. Introduction La De®nition 5 permet de de®nir les aspects pour les manipulateurs paralleles possedant une seule solution au modele geometrique inverse. La De®nition 6 permet de de®nir les aspects pour les manipulateurs seriels. Pour etendre ces de®nitions aux manipulateurs paralleles ayant plusieurs solutions au modele geometrique inverse et au modele geometrique direct, nous illustrons notre propos avec un manipulateur plan  a deux degres de liberte de type RR-RRR (Fig. 3). Ce mecanisme comporte seulement une boucle fermee et l'organe e€ecteur est place en C1 . Les pivots A1 et A2 sont des articulations motorisees alors que les pivots B1 , B2 et C1 sont des articulations passives. Nous avons choisi d'etudier le mecanisme possedant les dimensions L1 ˆ 8, L2 ˆ 5, L3 ˆ 5, L4 ˆ 8, c1 ˆ 0 et c2 ˆ 9. 3.2. Etude d'un manipulateur plan L'etude de la cinematique de ce mecanisme nous amene a la resolution du modele geometrique direct et du modele geometrique inverse. Nous pouvons facilement ecrire le systeme (7) pour decrire le fonctionnement de ce mecanisme:

Fig. 3. Manipulateur a boucle fermee plan de type RR-RRR.

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…x

L1 cos…h1 ††2 ‡ …y

…x

L2 cos…h2 †

L21 sin…h1 ††2 ˆ L23 ;

c2 †2 ‡ …y

…7†

L2 sin…h2 ††2 ˆ L24 :

3.2.1. Mod ele g eom etrique inverse Nous pouvons decoupler les deux equations du systeme (7) pour obtenir les solutions en a1 et a2 : x2

2xL1 cos…h1 † ‡ y 2

2yL1 sin…h1 † ‡ L21

L23 ˆ 0;

x2

2x…L2 cos…h2 † ‡ c2 † ‡ L2 c2 cos…h2 † ‡ y 2 ‡ c22

…8a†

2yL2 sin…h2 † ‡ L22

L24 ˆ 0:

…8b†

Nous obtenons ainsi deux equations du second degre. Le nombre maximum de solutions est donc de quatre. Ces deux equations etant independantes, nous aurons au maximum 2 racines doubles. 3.2.2. Mod ele g eom etrique direct Le modele geometrique direct possede 2 solutions placees symetriquement par rapport a l'axe  partir du systeme d'equations (7), nous ecrivons le polyn^ ome du second degre suivant: B1 B2 . A 4…a2 ‡ b2 †Y 2

4bcY

4a2 L23 ‡ c2 ˆ 0;

…9†

avec: X ˆx

L1 cos…h1 †;

a ˆ L1 cos…h1 †

Y ˆy

L2 cos…h2 †

L1 sin…h1 †; c2 ;

b ˆ L1 sin…h1 †

L2 sin…h2 †;

c ˆ L24

L23

b2

a2 :

Les racines de l'equation (9) sont les solutions du modele geometrique direct. 3.2.3. Singularit es  partir de l'equation (2), nous pouvons de®nir les deux matrices jacobiennes du manipulateur, A   x L1 cos…h1 † y L1 sin…h1 † Aˆ ; …10a† x L2 cos…h2 † c2 y L2 sin…h2 † 2

3 L1 sin…h1 †…x L1 cos…h1 †† 0 B ˆ 4 L1 cos…h1 †…y1 sin…h1 †† L2 sin…h2 †…x L2 cos…h2 † c2 † 5: 0 L2 cos…h2 †…y L2 sin…h2 ††

…10b†

3.2.3.1. Les singularit es parall eles. Les singularites paralleles (De®nition 3) representent les limites de l'ensemble articulaire. det…A† ˆ …x

L1 cos…h1 ††…y

L2 sin…h2 ††

…x

L2 cos…h2 ††…y

L1 sin…h1 ††:

Soit les vecteurs suivants:   ! x Li cos…hi † ci Bi C1 ˆ pour i ˆ 1; 2: y Li sin…hi † !

!

det…A† ˆ 0 si B1 C1 ^ B2 C1 ˆ ~ 0, c'est- a-dire lorsque les points B1 C1 B2 sont alignes (Fig. 4).

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Fig. 4. Exemple de singularite parallele.

3.2.3.2. Les singularit es s erielles. Pour conna^õtre les singularites serielles (De®nition 4) nous utilisons une approche geometrique pour expliquer leurs positions. Soit les vecteurs suivants:     ! ! Li cos…hi † x Li cos…hi † ci Ai Bi ˆ et Bi Ci ˆ pour i ˆ 1; 2 avec c1 ˆ 0; y Li sin…hi † Li sin…hi † det…B† ˆ 0 !

!

L sin…h1 †…x si 1 L2 sin…h2 †…x

L1 cos…h1 †† L1 cos…h1 †…y L1 sin…h1 †† ˆ 0 ou L2 cos…h2 † c2 † L2 cos…h2 †…y L2 sin…h1 †† ˆ 0:

…11†

Soit si Ai Bi ^ Bi Ci ˆ ~ 0, c'est- a-dire lorsque les points Ai Bi C1 sont alignes (Fig. 5). 3.2.3.3. Calcul des singularit es s erielles. A partir du resultat precedent, nous pouvons determiner les conditions geometriques necessaires  a la determination des di€erentes con®gurations singulieres. Nous pouvons denombrer! 4 types de singularites: 1. alignement de A1 B1 C1 avec kA1!C1 k ˆ L1 ‡ L3 ; 2. alignement de A1 B1 C1 avec kA1!C1 k ˆ L1 L3 ; 3. alignement de A2 B2 C1 avec kA2!C1 k ˆ L2 ‡ L4 ; 4. alignement de A2 B2 C1 avec kA2 C1 k ˆ L2 ‡ L4 . Dans ces con®gurations, nous pouvons exprimer h2 en fonction de h1 ou h1 en fonction de h2 .

Fig. 5. Exemple de singularite serielle.

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3.3. Les aspects: etude d'un exemple 3.3.1. Utilisation de la notion d'aspect parall ele (D e®nition 5) Le calcul des aspects paralleles repose sur l'utilisation de la De®nition 5. Dans le cas du manipulateur RR-RRR, il est possible d'associer deux modes d'assemblage, les deux solutions du modele geometrique direct. Nous obtenons deux ensembles, l'un o u le determinant de la matrice jacobienne parallele est positif (Fig. 6) et l'autre o u il est negatif (Fig. 7). On remarque que les ensembles sont identiques tant dans l'ensemble articulaire que dans l'espace de travail. Les singularites paralleles sont les limites de l'ensemble articulaire. Pour ces con®gurations, il n'existe qu'une solution double au modele geometrique direct. La position de l'image de ces con®gurations dans l'espace de travail est identique. Cependant, pour une con®guration donnee du point C1 , il peut exister des con®gurations du manipulateur qui soient en con®gurations singulieres et d'autres en con®gurations regulieres. En e€et, pour chaque con®guration du point C1 , il existe 4 solutions au modele geometrique inverse. En conclusion, l'utilisation du signe du determinant de la matrice jacobienne parallele A ne permet pas de decomposer l'espace de travail en aspects. Nous devons donc rechercher une autre formulation de la notion d'aspect pour resoudre ce probleme.

 Fig. 6. Etude du manipulateur RR-RRR pour un determinant de la matrice jacobienne parallele positif.

 Fig. 7. Etude du manipulateur RR-RRR pour un determinant de la matrice jacobienne parallele negatif.

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3.3.2. Utilisation de la notion d'aspect introduite pour les manipulateurs s eriels (D e®nition 6) Nous allons tester la de®nition de la notion au sens de Borrel (De®nition 6). La valeur du determinant de la matrice jacobienne serielle B est fonction, comme pour la matrice jacobienne parallele A, de la con®guration articulaire q et de la con®guration de la plate-forme X. Pour une position de l'organe e€ecteur, il est possible d'associer 4 solutions du modele geometrique inverse. On calcule la valeur du determinant de la matrice jacobienne serielle B pour toutes ces solutions, c'est- a-dire pour tous les modes de fonctionnement de ce manipulateur. Les modes de fonctionnement (De®nition 7) permettent de separer facilement ces solutions car ils sont de®nis  a partir de la matrice jacobienne serielle. Le manipulateur RR-RRR possede deux jambes independantes, on peut donc associer deux modes de fonctionnement pour chaque jambe (Fig. 8) pour une m^eme position du point C1 . Ainsi, il existe 4 modes de fonctionnement …Mf1 ; Mf2 ; Mf3 ; Mf4 † de®nis dans le Tableau 1. On en deduit que les aspects de®nis par Borrel (De®nition 6) ne peuvent pas diviser l'ensemble articulaire en domaines disjoints car, pour le manipulateur parallele RR-RRR, les

Mode de fonctionnement n˚1

Mode de fonctionnement n˚3

Mode de fonctionnement n˚2

Mode de fonctionnement n˚4

Fig. 8. Les 4 modes de fonctionnement du manipulateur RR-RRR.

Table 1 Les 4 modes de fonctionnement d'un manipulateur RR-RRR Bii B11 ˆ L1 sin…h1 †…x B22 ˆ L2 sin…h2 †…x

L1 cos…h1 †† L1 cos…h1 †…y L1 sin…h1 †† L2 cos…h2 † c2 † L2 cos…h2 †…y L2 sin…h2 ††

Mf1

Mf2

Mf3

Mf4

positif positif

positif negatif

negatif negatif

negatif positif

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domaines ainsi de®nis se recouvrent partiellement. Ils ne sont donc pas les plus grands domaines sans singularite. 3.3.3. Conclusion Nous avons vu que les deux de®nitions des aspects ne peuvent s'appliquer aux manipulateurs pleinement paralleles avec plusieurs solutions aux modeles geometriques direct et inverse, car aucune n'est capable de separer ces solutions, ni dans l'ensemble articulaire, ni dans l'espace de travail. Nous allons donc de®nir les aspects de ces manipulateurs dans le produit cartesien de l'espace de travail et de l'ensemble articulaire pour trouver les domaines exempts de toute con®guration singuliere. 3.4. Les aspects: d e®nition g en erale Dans les Sections 3.3.1 et 3.3.2, nous avons vu qu'il n'etait pas possible de de®nir les aspects uniquement dans l'espace de travail ou dans l'ensemble articulaire pour les manipulateurs pleinement paralleles possedant plusieurs solutions a leurs modeles geometriques direct et inverse.  l'aide des modes de fonctionnement, nous allons de®nir les aspects pour ces manipulateurs que A l'on nommera aspects generalises. De®nition 8 (Les aspects g en eralis es). On appelle aspects generalises Aij d'un manipulateur pleinement parallele, les plus grands domaines connexes de W  Q tels que: · Aij  W  Q; · Aij est connexe; · Aij ˆ f…X; q† 2 Mfi tel que det…A† 6ˆ 0g. La projection pW des aspects generalises sur l'espace de travail donne les domaines WAij tels que: · WAij  W ; · WAij est connexe. Ces domaines sont appeles, les W -aspects, ils sont les plus grands domaines connexes de l'espace de travail, pour un mode de fonctionnement donne Mfi , exempts de singularite serielle et parallele. La projection pQ des aspects generalises sur l'ensemble articulaire donne les domaines tels que: · QAij  Q; · QAij est connexe. Ces domaines sont appeles, les Q-aspects, ils sont les plus grands domaines connexes de l'espace articulaire, pour un mode de fonctionnement donne, exempts de singularite serielle et parallele. 3.4.1. Les aspects g en eralis es: application au manipulateur RR-RRR Nous representons donc les projections sur l'espace de travail et l'ensemble articulaire pour chaque mode de fonctionnement Mfi . L'ensemble des resultats est synthetise dans le Tableau 2 et pour chaque mode de fonctionnement, nous trouvons le nombre d'aspects generalises associes (Fig. 9). Les aspects generalises sont les plus grands domaines exempts de toutes singularites. Pour notre exemple, ils permettent de separer les solutions des modeles geometriques inverse et direct. Cependant, nous allons voir que cette propriete n'est pas veri®ee pour tous les manipulateurs pleinement paralleles.

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Table 2 De®nitions des aspects generalises du manipulateur RR-RRR det…A† B11 B22 Nombre d'aspects generalises

1

2

3

4‡5

6

7‡8

9

10

positif positif positif 1

positif positif negatif 1

positif negatif negatif 1

positif negatif positif 2

negatif positif positif 1

negatif positif negatif 2

negatif negatif negatif 1

negatif negatif positif 1

4. Les domaines d'unicite 4.1. Illustration du probl eme a l'aide d'un manipulateur a trois degr es de libert e Nous avons choisi le manipulateur 3-RRR qui est etudie par [6,13]. Il possede plusieurs solutions aux modeles geometriques inverse et direct. Sa morphologie est proche de celle du manipulateur de type 3-RPR etudie par [3] pour lequel il est montre qu'il est possible de changer de mode d'assemblage sans passer par une singularite. 4.1.1. Le mod ele g eom etrique inverse L'equation (12) permet la resolution du modele geometrique inverse de ce manipulateur: ……x

Cix cos…/†

Ciy sin…/†

Li sin…ai ††2 † ˆ Mi2

Aix

Li cos…ai ††2 ‡ …y

pour i ˆ 1; 2; 3;

Cix sin…/†

Ciy cos…/†

Aiy …12†

o u Aix et Aiy sont les coordonnees des points Ai dans le repere ®xe et Cix et Ciy sont les coordonnees a la plate-forme mobile. des points Ci dans le repere lie  4.1.2. Le mod ele g eom etrique direct La resolution de ce probleme est abordee par [15]. Nous pouvons resoudre le probleme du modele geometrique direct de ce manipulateur, en utilisant les resultats obtenus pour le manipulateur  a boucle fermee de type 3-RPR [7]. Nous calculons les coordonnees des points Ci a partir de la methode de resolution du manipulateur 3-RPR, en ®xant les longueurs des articulations prismatiques egales aux longueurs des segments Mi . Nous avons donc le m^eme nombre de solutions que pour le manipulateur 3-RPR, c'est-a-dire 6. 4.1.3. Singularit es  4.1.3.1. Etude des singularit es parall eles. Les singularites paralleles se produisent lorsque det…A† ˆ 0. h o……x ‡ Cix cos…/† Ciy sin…/† Aix Li cos…ai ††2 ‡ …y ‡ Cix sin…/† ‡ Ciy cos…/† Aiy i Li sin…ai ††2 † =oX ˆ Pi1 pour i ˆ 1; 2; 3: …13a†

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Fig. 9. Les aspects generalises du manipulateur RR-RRR.

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h o……x ‡ Cix cos…/† Ciy sin…/† Aix Li cos…ai ††2 ‡ …y ‡ Cix sin…/† ‡ Ciy cos…/† i Li sin…ai ††2 † =oY ˆ Pi2 pour i ˆ 1; 2; 3: h 2 o……x ‡ Cix cos…/† Ciy sin…/† Aix Li cos…ai †† ‡ …y ‡ Cix sin…/† ‡ Ciy cos…/† i Li sin…ai ††2 † =o/ ˆ Pi3 pour i ˆ 1; 2; 3: En utilisant les equations P11 P12 det…A† ˆ P21 P22 P31 P32

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Aiy …13b† Aiy

((13a)±(13c)), nous pouvons ainsi ecrire det…A†: P13 P23 : P33

…13c†

…14†

Le determinant de la matrice jacobienne parallele A est fonction des variables d'entree h c'est-adire de ‰a1 ; a2 ; a3 ŠT . Les singularites paralleles sont les con®gurations de la plate-forme mobile pour lesquelles les droites Bi Ci ont un point commun.  4.1.3.2. Etude des singularit es s erielles. Les singularites serielles se produisent lorsque. h o……x ‡ Cix cos…/† Ciy sin…/† Aix Li cos…ai ††2 ‡ …y ‡ Cix sin…/† ‡ Ciy cos…/† Aiy i Li sin…ai ††2 † =oai ˆ 2Li sin…ai †…x ‡ Cix cos…/† Ciy sin…/† Aix † ‡ cos…ai †…y ‡ Cix sin…/†
‡ Ciy cos…/† Aiy † ˆ Bii pour i ˆ 1; 2; 3: Nous pouvons ainsi ecrire l'expression de det…B†: det…B† ˆ

3 Y

2Li … sin…ai †…x ‡ Ci x cos…/†

Ci y sin…/†

Ai x†

cos…ai †…y ‡ Ci x sin…/†

1

‡ Ci y cos…/†

Ai y††:

Pour interpreter les con®gurations singulieres de ce type, nous posons les expressions suivantes:     ! ! x ‡ Ci x cos…/† Ci y sin…/† Ai x sin…ai † Ai Ci ˆ et Ai Bi ˆ Li : y ‡ Ci x sin…/† ‡ Ci y cos…/† Ai y cos…ai † !

!

0, c'est-a-dire lorsque les points Ai , Chaque facteur du determinant s'annule lorsque Ai Ci ^ Ai Bi ˆ ~ Bi et Ci sont alignes, pour i ˆ 1; 2; 3. 4.1.4. Les aspects g en eralis es Nous de®nissons les aspects generalises de ce manipulateur a partir de la De®nition 8. Pour les dimensions du manipulateur etudie (Tableau 3), nous avons ainsi 8 modes de fonctionnement. Il n'est pas possible de representer ici tous les aspects generalises de ce manipulateur. Cependant, nous avons trouve des aspects paralleles possedant plusieurs solutions au modele geometrique direct, ce qui nous permet de dire que la notion d'aspect generalise n'est pas suf®sante pour determiner les domaines d'unicite de ces manipulateurs.

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Table 3 Dimensions d'un manipulateur parallele 3-RRR A1x ˆ 10:0 A1y ˆ 10:0 C1x ˆ 0:0 C1y ˆ 0:0 L1 ˆ 10:0 M1 ˆ 10:0

A2x ˆ 10:0 A2y ˆ 10:0 C2x ˆ 10:0 C2y ˆ 0:0 L2 ˆ 10:0 M2 ˆ 10:0

A3x ˆ 0:0 A3y ˆ 10:0 C3x ˆ 10:0 C3y ˆ 10:0 L3 ˆ 10:0 M3 ˆ 10:0

4.1.5. Trajectoire de changement de mode d'assemblage Nous montrons ici qu'il est possible de realiser une trajectoire permettant de changer de mode d'assemblage sans passer ni par une singularite parallele ni par une singularite serielle. Nous de®nissons cette trajectoire  a partir de la modelisation d'un aspect generalise Aij . La trajectoire realisee est une interpolation lineaire dans l'espace de travail entre les con®gurations de la plate-forme mobile donnees dans le Tableau 4. La con®guration de depart et la con®guration d'arrivee de cette trajectoire, ainsi qu'une con®guration intermediaire sont representees dans la Fig. 10. Nous avons calcule la valeur des di€erents determinants (A et B) durant cette trajectoire. Nous pouvons ainsi veri®er qu'aucun d'entre eux ne s'annule (Fig. 11: en ordonnee, nous avons norme les valeurs de det…A†; B11 ; B22 ; B33 ). 4.2. Les surfaces caract eristiques Les surfaces caracteristiques ont ete introduites par [2] pour rede®nir les domaines d'unicite des robots seriels de morphologie cuspidale. Cette de®nition a ete etendue pour la famille des manipulateurs pleinement paralleles possedant une seule solution au modele geometrique inverse [3]. Table 4 Trajectoire de changement de mode d'assemblage X Point 1 Point 2 Point 3

Y 15.468 15.468 9.902

/ (rad) 0.781 7.091 7.091

0.073 0.500 1.081

Fig. 10. Changement de mode d'assemblage pour un manipulateur parallele 3-RRR.

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Fig. 11. Variation de la valeurs des determinants le long de la trajectoire.

Nous allons generaliser cette de®nition aux manipulateurs pleinement paralleles possedant plusieurs solutions au modele geometrique inverse. De®nition 9 (Les surfaces caract eristiques). Soit WAij un aspect parallele de l'espace de travail W . On de®nit les surfaces caracteristiques de l'aspect parallele WAij , note SC …WAij †, comme l'image reciproque dans WAij de l'image des frontieres WAij qui delimitent WAij . SC …WAij † ˆ g1 1 …g1 …WAij †† \ WAij ;

…15†

o u gi et gi 1 sont de®nies respectivement avec les equations (5) et (6). La Fig. 12 montre le principe d'obtention des surfaces caracteristiques. Pour chaque aspect generalise, on considere leurs frontieres qui correspondent aux con®gurations singulieres et aux butees articulaires. En calculant sur cette frontiere le modele geometrique inverse, on obtient une

Fig. 12. Construction des surfaces caracteristiques.

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con®guration articulaire q. Puis,  a partir de cette con®guration q, on resout le modele geometrique direct. On obtient naturellement la con®guration de la plate-forme mobile initiale (con®guration singuliere) mais aussi un ensemble d'autres con®gurations regulieres. Pour former une surface caracteristique, nous reunissons l'ensemble de ces con®gurations appartenant a l'aspect initial. Remarque. Cette de®nition suppose que les jambes du manipulateur ne sont pas cuspidales. Dans le cas contraire, il est necessaire de de®nir des surfaces caracteristiques dans l'ensemble articulaire pour separer les solutions du modele geometrique inverse. 4.3. Les r egions de base et les composantes de base Le but des surfaces caracteristiques est de subdiviser les aspects pour separer les solutions du modele geometrique direct. Les domaines ainsi obtenus seront les appeles regions de base dans l'espace de travail et leur image dans l'ensemble articulaire, les composantes de base. De®nition 10 (R egions de base). Soit WAij un W -aspect d'un mode de fonctionnement Mfi appartenant  a l'espace de travail W . On de®nit les regions de base, notees WAbijk , (k 2 K ensemble des regions de base) comme etant les composantes connexes de WAij gSC …WAij † (g designe la di€erence entre ensembles). Les regions de base realisent une partition de WAij : ! [ WAijk SC …WAij †: …16† WAij ˆ k2K

L'espace de travail est donc decoupe par les singularites en aspects generalises, et eux-m^emes subdivises en regions de base  a l'aide des surfaces caracteristiques (Fig. 13). De®nition 11 (Composantes de base). Soit QAbijk ˆ gi …WAbijk †, QAbijk est un domaine de l'ensemble articulaire Q qu'on appelle composantes de base. Soit WAij un W -aspect et QAij son image par gi , on a: ! [ …QAij † ˆ QAbijk [ gi …SC …WAij †† …17† k2K

Fig. 13. Decomposition de l'espace de travail en regions de base.

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Fig. 14. Decomposition de l'ensemble articulaire en composantes de base.

Theoreme 2. En d'autres termes, les regions de base sont les domaines d'unicite pour le modele geometrique direct. Consequence 1. Les composantes de base images des regions de base d'un m^eme aspect generalise, pour un mode de fonctionnement donne, sont soient disjointes, soient confondues. La demonstration de ce theoreme est analogue a celle donnee dans [7] pour le cas des manipulateurs paralleles possedant une seule solution au modele geometrique inverse. Le nombre de composantes de base confondues est fonction du nombre de solutions au modele geometrique direct. La Fig. 14 symbolise la decomposition de l'ensemble articulaire en composantes de base. 4.4. Les domaines d'unicit e: d e®nition g en erale Le Theoreme 2 permet de caracteriser les domaines de l'espace de travail possedant une seule solution au modele geometrique direct. Le Theoreme 3 suivant a pour but de de®nir les domaines d'unicite les plus grands de l'operateur geometrique: tout autre domaine d'unicite est alors inclus dans l'un d'eux. Th Seoreme 3. Les domaines d'unicite Wuik sont les domaines obtenus comme la reunion de l'ensemble … j2J 0 WAbij † des regions de base adjacentes d'un m^eme W -aspect WAij dont les images respectives par gi sont disjointes, et du sous-ensemble SC …J 0 † des surfaces caracteristiques qui separent ces composantes de base: 0 1 [ WAbij A [ SC …J 0 †; …18† …Wuik † ˆ @ j2J 0

avec J 0  J tel que 8j1 j2 2 J 0 , gi …WAbij1 † \ gi …WAbij2 † ˆ ;. La Fig. 15 permet de schematiser la demarche utilisee pour construire les domaines d'unicite les plus grands. Nous creons deux domaines d'unicite Wu11 et Wu12 avec Wu11 ˆ WA11 [ WA12 et Wu12 ˆ WA12 [ WA13 . Il n'est pas possible de construire un domaine d'unicite comportant les composantes WA11 , WA12 et WA13 car les images de WA11 et de WA13 dans l'ensemble articulaire sont

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Fig. 15. Les domaines d'unicite.

confondues. De la m^eme maniere, il n'est pas possible d'associer WA14 a Wu11 ou Wu12 car son image n'est adjacente  a aucune autre composante de base. 5. Conclusion Nous avons introduit les modes de fonctionnement pour separer les solutions du modele geometrique inverse. Puis, nous avons generalise la notion d'aspect a l'ensemble des manipula l'interieur de ces aspects, nous n'avons pas de singularite parallele ni teurs pleinement paralleles. A de singularite serielle. Cependant, nous avons montre que cette notion est insusante pour determiner les domaines d'unicite de tous ces manipulateurs. Nous avons ainsi montre qu'il est possible de changer de mode d'assemblage sans passer par une singularite parallele ni une singularite serielle. Aussi, nous avons etendu la de®nition des surfaces caracteristiques, des regions de base et des composantes de base pour ces manipulateurs. Ces de®nitions sont une extension des de®nitions utilisees pour les manipulateurs pleinement paralleles possedant une seule solution a leur modele geometrique inverse [3]. Ces nouveaux domaines d'unicite vont ainsi nous permettre de formaliser les notions de parcourabilite. References [1] P. Borrel, in: Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation, 1986, pp. 1180± 1185. [2] Ph. Wenger, IEEE Robotics and Automation, 1992, pp. 442±447. [3] Ph. Wenger, D. Chablat, Syroco 1997, Nantes. [4] F. Pierrot, These de doctorat, Montpellier, 1991. [5] J. Angeles, in: Fundamentals of Robotic Mechanical Systems, Springer, Berlin, 1997. [6] J.-P. Merlet, in: Les Robots Paralleles, second ed, Hermes, Paris, 1997. [7] D. Chablat, These de doctorat, Nantes, France, 1998. [8] C. Innocenti, V. Parenti-Castelli, in: Robotics, Spatial Mechanisms and Mechanical Systems, ASME, New York, 1992. [9] J. El Omri, These de doctorat, Nantes, France, 1996. [10] Ph. Wenger, ICAR'93, Tokyo, Japan, 1993, pp. 649±654. [11] R. Clavel, in: 18th International Symposium on Industrial Robot, Lausanne, 26±28 April 1988, pp. 91±100.

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[12] F. Pierrot, P. Dauchez, A. Fournier, in: IEEE International Conference on Robotics and Automation, Sacramento, 11±14 April 1991, pp. 1288±1293. [13] C. Gosselin, These de doctorat, McGill, 1988. [14] C. Gosselin, J. Angeles, IEEE Trans. Robotics Autom. 6 (1990) 281±290. [15] C. Gosselin, J. Sefrioui, M.J. Richard, Tech. Mach. Theory 27 (2) (1992) 107±119.