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Singularités génériques et quasi-résolutions des variétés de Schubert pour le groupe linéaire
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 333, Série I, p. 561–566, 2001 Géométrie algébrique/Algebraic Geometry
Singularités génériques et quasi-résolutions des variétés de Schubert pour le groupe linéaire Aurélie CORTEZ Équipe d’analyse algébrique, case 82, Institut de mathématiques de Jussieu, Université Pierre-et-Marie-Curie, 4, place Jussieu, 75252 Paris cedex 05, France Courriel : [email protected] (Reçu le 23 juin 2001, accepté le 3 août 2001)
Résumé.
On détermine explicitement les composantes irréductibles du lieu singulier d’une variété de Schubert arbitraire pour GLn (K), K étant un corps algébriquement clos de caractéristique quelconque. On décrit aussi la singularité générique le long de chacune des composantes. Ceci avait été obtenu antérieurement par l’auteur dans le cas covexillaire. L’ingrédient principal utilisé ici est l’étude de certaines « quasi-résolutions » des variétés de Schubert non covexillaires. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Generic singularities and quasi-resolutions of Schubert varieties for the general linear group Abstract.
We determine explicitly the irreducible components of the singular locus of any Schubert variety for GLn (K), K being an algebraically closed field of arbitrary characteristic. We also describe the generic singularity along each of them. This was obtained earlier by the author in the covexillary case. The main tool used here is the study of certain quasiresolutions of non-covexillary Schubert varieties. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Abridged English version Let K be an algebraically closed field of arbitrary characteristic. Our purpose here is to determine explicitly the irreducible components of the singular locus of any Schubert variety in the classical flag variety Fn (K), and the generic singularity along each of them. Schubert varieties are parametrized by the symmetric group Sn , and the inclusion relation induces the Bruhat–Chevalley order on Sn . Given v w, by [4], Lemma A4, the standard open neighborhood of the flag ev in Xw splits as the product Cv × Nv,w , where Cv is the Schubert cell, and Nv,w is called the slice at ev in Xw . Then Xv is an irreducible component of Sing Xw if and only if ev is the only singular point in the slice Nv,w . These are the generic singularities that we are going to describe. Note présentée par Pierre D ELIGNE. S0764-4442(01)02101-2/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés
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According to the cases known so far (see [1], §§ 3.3 and 4.6), we define two types of singularity. We say that an irreducible component Xv of Sing Xw is of type S1 if Nv,w is isomorphic to the variety Cs,t of matrices of size (s, t) and rank at most 1, with s, t 2, and that it is of type S2 if Nv,w is isomorphic to a non-degenerate quadratic cone of odd dimension at least 5. Note that the local ring at ev is factorial in the second case, whereas it is not in the first. By [5], the Schubert variety Xw is singular if and only if there exist integers a < b < c < d such that either w(d) < w(b) < w(c) < w(a) or w(c) < w(d) < w(a) < w(b). We show that the irreducible components of Sing Xw are parametrized by the configurations of this type that are minimal in a certain sense, and that the generic singularities are either of type S1 or S2 . There are two distinct constructions for the permutations that describe the singular locus. The first one is the generalization of the construction given in [2], as follows. Let P = (p + 1, q) be a coessential point of w, that is suppose w(p) q < w(p + 1) and w−1 (q) p < w−1 (q + 1). We assume moreover that P is well framed, which means that the graph of w, Γw , meets both sets NO(p, q) = {(i, j) | i p, j > q} and SE(p, q) = {(i, j) | i > p, j q} (which we will simply denote by NO and SE from now on). Let (P− , P+ ) ∈ NO × SE be a minimal frame of P , that is, denoting by R the rectangle with upper-left corner P− , and lower-right corner P+ , we assume that there is no other point of the graph contained in either R ∩ NO or R ∩ SE. We associate to this admissible triple (P, P− , P+ ) two sequences of points of the graph of w, the NE-sequence and the SO-sequence, of respective lengths s, t 0. The permutation τ associated to the triple is obtained from w by applying a cycle of support P− , P+ and the points of the two sequences. Then we have the: T HEOREM 1. – Given τ as above, the slice Nτ,w is isomorphic to Cs+1,t+1 . Consequently, if st = 0, Xτ is an irreducible component of Sing Xw of type S1 , while if st = 0, eτ is a smooth point of Xw . The second construction goes as follows. One first introduces a notion of incompressibility for 3412 patterns of w, that is integers a < b < c < d such that w(c) < w(d) < w(a) < w(b). Then given such a pattern, we construct three sequences of points of the graph, the median, NE, and SO ones, of respective lengths r, s, t 0. The permutation σ associated to the pattern is obtained from w by applying a cycle whose support consists of the four points of the pattern and the points of the NE and SO sequences. Given integers i, j, k such that i, k 1 and j 2, let us denote by Ni,j,k the variety {(M, N ) ∈ Cj,k × Ci,j | N M = 0}. T HEOREM 2. – Given σ as above, the slice Nσ,w is isomorphic to the variety Ns+1,r+2,t+1 . Consequently: 1) if r = 0, Xσ is an irreducible component of Sing Xw of type S1 ; 2) if r = 0 and s = t = 0, Xσ is an irreducible component of Sing Xw of type S2 ; 3) if rt = 0 (resp. rs = 0), then Xσ is contained in an irreducible component of Sing Xw , associated to an admissible triple of w, and of codimension r + t + 1 (resp. r + s + 1) in Xw . Denote by Σw the union of the irreducible components exhibited so far. The last step consists in proving that Σw = Sing Xw . This equality is known for covexillary permutations (see [2]), and we base our proof of the general case on this result. We study the exceptional locus of certain quasi-resolutions of the noncovexillary Schubert variety Xw . Then by induction on the dimension, we can establish the: T HEOREM 3 (Main theorem). – The singular locus of Xw is the union of the irreducible components described above. In particular, the generic singularities are either of type S1 or S2 as defined earlier, that is either a cone of matrices of rank at most 1, or a non-degenerate quadratic cone of odd dimension d, with d 5.
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Singularités génériques et quasi-résolutions des variétés de Schubert pour le groupe linéaire
Soit K un corps algébriquement clos de caractéristique quelconque. L’objet de cette Note est de déterminer explicitement les composantes irréductibles du lieu singulier d’une variété de Schubert arbitraire dans la variété de drapeaux classique Fn (K), et la singularité générique le long de chacune de ces composantes. Les variétés de Schubert sont paramétrées par le groupe symétrique Sn , et la relation d’inclusion induit l’ordre de Bruhat–Chevalley sur Sn . Soient v w, d’après [4], Lemma A4, le voisinage ouvert standard du drapeau ev dans Xw se décompose comme le produit Cv × Nv,w , où Cv est la cellule de Schubert ; Nv,w est la transversale à Cv dans Xw . Alors, Xv est une composante irréductible du lieu singulier si et seulement si ev est l’unique point singulier de la transversale Nv,w . Ce sont les singularités génériques que nous allons décrire. Les situations connues jusqu’ici (voir [1], §§ 3.3 et 4.6) suggèrent de définir les deux types de singularité suivants. Soit Xv une composante irréductible du lieu singulier de Xw ; on dira qu’elle est de type S1 si Nv,w est isomorphe à la variété Cs,t des matrices de taille (s, t) et de rang au plus 1, pour des entiers s, t 2, et l’on dira qu’elle est de type S2 si Nv,w est isomorphe à un cône quadratique non dégénéré de dimension impaire au moins 5. Remarquons que l’anneau local en ev est factoriel dans le second cas, alors qu’il ne l’est pas dans le premier. D’après [5], la variété de Schubert Xw associée à la permutation w ∈ Sn est singulière si et seulement s’il existe des entiers a < b < c < d dans [1, n] vérifiant : w(d) < w(b) < w(c) < w(a) ou bien w(c) < w(d) < w(a) < w(b). On démontre que les composantes irréductibles du lieu singulier de Xw sont associées à celles de ces configurations qui sont minimales en un certain sens, et que les singularités génériques sont de l’un des deux types S1 et S2 . Les permutations qui décrivent le lieu singulier sont obtenues par deux constructions distinctes. La première est une généralisation de celle de [2]. Soit P = (p + 1, q) un point coessentiel de w, c’est-à-dire tel que w(p) q < w(p + 1) et w−1 (q) p < w−1 (q + 1). On définit le quadrant Nord-Ouest associé par NO(p, q) = {(i, j) | i p, j > q}, et l’on définit de même les quadrants SO(p, q) = {(i, j) | i p, j q}, NE(p, q) = {(i, j) | i > p, j > q}, et SE(p, q) = {(i, j) | i > p, j q}. On les désignera simplement par NO, SO, etc., lorsqu’il n’y aura pas d’ambiguïté. On suppose que le point coessentiel P est bien bordé, c’est-à-dire que le graphe de w, Γw , rencontre les deux quadrants NO et SE. On fixe un bordage minimal (P− , P+ ) de P , c’est-à-dire un couple de points de NO × SE tels que, si R est le rectangle dont la diagonale est le segment ouvert ]P− , P+ [, R ∩ NO et R ∩ SE ne contiennent aucun point du graphe de w. Notons (x−∞ , y∞ ) les coordonnées de P− , et (x∞ , y−∞ ) celles de P+ . Si l’ensemble Γw ∩ R ∩ NE est non vide, sa frontière Sud-Ouest constitue la suite NE associée au triplet (P, P− , P+ ). Soient s la longueur de cette suite (s = 0 si Γw ∩ R ∩ NE = ∅), et (xi , yi )1is les coordonnées des points, indexés de sorte que xs < · · · < x1 . De manière symétrique, si l’ensemble Γw ∩ R ∩ SO est non vide, sa frontière Nord-Est constitue la suite SO associée à (P, P− , P+ ). Soient t la longueur de cette suite et (xi , yi )−ti−1 les coordonnées des points, indexés de sorte que x−1 < · · · < x−t . Notant (i, j) la transposition de support {i, j}, on définit la permutation τ(P,P− ,P+ ) associée au triplet admissible (P, P− , P+ ) par : τ(P,P− ,P+ ) = (y−1 , y1 ) (y−1 , y−2 ) · · · (y−t , y−∞ ) (y1 , y2 ) · · · (ys , y∞ ) w, où, si s = 0 (resp. t = 0) on omet le produit entre crochets correspondant et l’on remplace y1 par y∞ (resp. y−1 par y−∞ ). On la notera simplement τ lorsqu’il n’y aura pas d’ambiguïté. On a alors le : T HÉORÈME 1. – La transversale Nτ,w est isomorphe à Cs+1,t+1 . Par conséquent, si st = 0, Xτ est une composante irréductible de Sing Xw de type S1 , tandis que si st = 0, eτ est un point lisse de Xw . La correspondance entre les triplets admissibles et les permutations τ n’est pas injective : deux triplets admissibles (P, P− , P+ ) et (Q, Q− , Q+ ) donnent la même permutation si et seulement si l’on a P− = Q− ,
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P+ = Q+ , et si les quadrants associés aux points coessentiels P et Q définissent la même partition de Γw ∩ R, où R est défini comme précédemment. On aura aussi recours par la suite à une autre paramétrisation, donnée par les configurations I de w. D ÉFINITION 2. – On appelle configuration I de w un ensemble de points du graphe de w, I = {(x−∞ , y∞ ), (x∞ , y−∞ )} ∪ {(xi , yi ), i ∈ [−t, −1] ∪ [1, s]}, avec s, t 0, vérifiant les inégalités x−∞ < x−1 < · · · < x−t < xs < · · · < x1 < x∞ , y−∞ < y−t < · · · < y−1 < y1 < · · · < ys < y∞ , et tels que, notant R le rectangle ouvert délimité par les points (x−∞ , y∞ ) et (x∞ , y−∞ ), on ait : Γw ∩ R ⊆
t i=1
SO(x−i , y−i ) ∪
s
NE(xi − 1, yi − 1).
i=1
On a de plus la proposition suivante, qui relie les permutations τ(P,P− ,P+ ) et les points coessentiels de Γw . On renvoie à [2] et [6] pour les notions de cobigrassmanniennes, de corectrices, et leur lien avec l’ordre de Bruhat–Chevalley. Notons c la corectrice de w associée au point coessentiel P , et c1 son itérée. P ROPOSITION 3. – Les variétés Xτ(P,P− ,P+ ) pour (P− , P+ ) bordage minimal du point coessentiel P , sont exactement les composantes irréductibles de la variété Xw ∩ Xc1 . Passons maintenant à la deuxième construction. On appelle configuration 3412 de w la donnée de quatre points du graphe, d’abscisses a < b < c < d, tels que w(c) < w(d) < w(a) < w(b). Par abus de langage, on assimilera cette donnée à celle des abscisses. Une telle configuration est dite incompressible s’il n’existe pas d’autre configuration 3412 d’abscisses x < y < c < d telle que (x, w(x)) (resp. (y, w(y))) soit au Sud-Est de (a, w(a)) (resp. (b, w(b))), ni, de manière symétrique, d’autre configuration 3412 d’abscisses a < b < x < y telle que (x, w(x)) (resp. (y, w(y))) soit au Nord-Ouest de (c, w(c)) (resp. (d, w(d))). Soit maintenant a< dans le carré [1, n]2 , les b < c < d une configuration 3412 incompressible. Alors, régions ]a, b[ ∪ ]c, d[ × ]w(d), w(a)[ et ]b, c[ × ]w(c), w(d)[ ∪ ]w(a), w(b)[ ne contiennent aucun point du graphe de w. De plus, si le rectangle ]b, c[ × ]w(d), w(a)[ contient des points du graphe de w, notés (γi , δi )1ir , avec γ1 < · · · < γr , alors on a δ1 > · · · > δr . Ces points forment la suite médiane associée à la configuration. On considère maintenant l’ensemble NEII = Γw ∩ ]c, d[ × ]w(a), w(b)[. S’il n’est pas vide, sa frontière Sud-Ouest constitue la suite NE associée à la configuration a < b < c < d. Soient s la longueur de cette suite, et (αi , βi )1is ses points, indexés de sorte que c < αs < · · · < α1 < d ; l’on a alors w(a) < β1 < · · · < βs < w(b). De manière symétrique, si l’ensemble SOII := Γw ∩ ]a, b[ × ]w(c), w(d)[ est non vide, sa frontière NordEst constitue la suite SO associée à la configuration a < b < c < d. Soient t la longueur de cette suite et (αi , βi )−ti−1 ses points, indexés de sorte que a < α−1 < · · · < α−t < b ; l’on a alors w(c) < β−t < · · · < β−1 < w(d). D ÉFINITION 4. – On appelle configuration II de w la donnée d’une configuration 3412 incompressible et des trois suites associées comme ci-dessus. On définit alors la permutation σ par : σ = w(d), β1 (β1 , β2 ) · · · (βs−1 , βs ) βs , w(b) w(a), β−1 (β−1 , β−2 ) · · · (β−t+1 , β−t ) β−t , w(c) w(c), w(b) w, les deux premiers crochets étant réduits à (w(d), w(b)) (resp. (w(a), w(c))) si NEII (resp. SOII ) est vide.
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Pour décrire la transversale, introduisons la variété suivante : étant donné trois entiers i, j, k avec i, k 1 et j 2, on définit Ni,j,k = {(M, N ) ∈ Cj,k × Ci,j | N M = 0}. On a alors le : T HÉORÈME 5. – Soit σ comme précédemment. La transversale Nσ,w est isomorphe à la variété Ns+1,r+2,t+1 . Par conséquent : 1) si r = 0, Xσ est une composante irréductible de Sing Xw de type S1 ; 2) si r = 0 et s = t = 0, Xσ est une composante irréductible de Sing Xw de type S2 ; 3) si rt = 0 (resp. rs = 0), alors Xσ est contenu dans une composante irréductible de Sing Xw , associée à un triplet admissible de w, et de codimension r + t + 1 (resp. r + s + 1) dans Xw . On a ainsi décrit toutes les singularités génériques, d’après le théorème suivant. T HÉORÈME 6 (Théorème principal). – Le lieu singulier de Xw est la réunion des composantes décrites précédemment. En particulier, les singularités génériques sont de l’un des deux types S1 ou S2 définis initialement, c’est-à-dire soit un cône de matrices de rang au plus 1, soit un cône quadratique non dégénéré de dimension d impaire, avec d 5. Esquisse de la démonstration. – On donne ici une idée de la preuve du théorème principal, détaillée, ainsi que celles des autres résultats énoncés ici, dans [3]. Notons Σw la réunion des composantes irréductibles du lieu singulier de Xw exhibées jusqu’ici. On va montrer que Σw est exactement le lieu singulier de Xw . Ce résultat est déjà établi dans le cas covexillaire (voir [2]), et l’on va s’appuyer sur ce cas pour établir l’égalité en général. On étudie le lieu exceptionnel de certaines « quasi-résolutions » de la variété de Schubert non covexillaire Xw , du type PI ×PJ Xw , pour des sous-groupes paraboliques PI et PJ , et des permutations w bien choisis. D ÉFINITION 7. – Soit II une configuration 3412 de w, correspondant aux abscisses a < b < c < d. Notons α = w(a), β = w(b), γ = w(c), δ = w(d). – On dit que II est bien remplie si w−1 ]δ, α[ ⊆ ]b, c[. – On définit la hauteur de II par ht(II) = β − γ. On remarque que si w n’est pas covexillaire, elle a des configurations 3412 bien remplies : toute configuration 3412, a < b < c < d, telle que α − δ soit minimal est bien remplie. Fixons II une configuration 3412 bien remplie et de hauteur minimale (parmi les configurations bien remplies). On voit aisément que II est incompressible. On considère α = max q α | ∀ q ∈ [α, q[, w−1 (q + 1) < w−1 (q ) , δ = min q δ | ∀ q ∈ ]q, δ], w−1 (q − 1) > w−1 (q ) . Soit I = {sδ , . . . , sα −1 }, où sq désigne la réflexion simple (q, q + 1), et pour i = 1, . . . , α − δ, soient ri = δ + α − α + i − 1 et Ji = I {sri }. Notant wI et wJi les permutations maximales des sous-groupes paraboliques de Sn correspondant aux ensembles de réflexions simples I et Ji , on définit wi = wJi wI w. Comme w est maximal dans sa classe WI w, wi est maximal dans WJi wi . Soit Zi = PI ×PJi Xwi , on a un morphisme birationnel πi : Zi → Xw ; néanmoins, la variété Zi n’est en général pas lisse, on l’appelle donc quasi-résolution de Xw . On étudie ensuite le lieu exceptionnel des πi . P ROPOSITION 8. – Pour i ∈ [1, α − δ], les composantes irréductibles du lieu exceptionnel de πi sont en bijection avec la réunion des trois ensembles suivants : – la frontière Sud-Est de NO(i) = Γw ∩ {(p, q) | p < w−1 (α − i + 1), q > α } ; – la frontière Nord-Ouest de SE(i) = Γw ∩ {(p, q) | p > w−1 (α − i), q < δ } ; – les configurations 3412 incompressibles de la forme w−1 (α − i + 1) < w−1 (β ) < w−1 (γ ) < w−1 (α − i).
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De façon explicite, étant donné P− = (b , β ) un point de la frontière Sud-Est de NO(i), soit α le plus grand entier de l’intervalle [α − i + 1, α] tel que b < w−1 ( α). Alors il existe un point coessentiel P de w tel que (P, P− , P+ ) soit un triplet admissible de w, où P+ est le point du graphe de w d’ordonnée α . La composante irréductible du lieu exceptionnel de πi associée au point (b , β ) est la permutation τ(P,P− ,P+ ) . Les composantes associées aux points de la frontière Nord-Ouest de SE(i) sont décrites de la même manière. Enfin, si w−1 (α − i + 1) < w−1 (β ) < w−1 (γ ) < w−1 (α − i) est une configuration 3412 incompressible de w, la composante irréductible du lieu exceptionnel de πi associée est simplement la permutation σ définie par cette configuration. P ROPOSITION 9. – L’intersection des lieux exceptionnels des πi , pour i parcourant l’intervalle [1, α − δ], est contenue dans Σw . P ROPOSITION 10. – Pour toute configuration C de wi , de type I ou II, paramétrant la composante irréductible Xy du lieu singulier de Xwi , on a : – ou bien PI ×PJi Xy ⊆ πi−1 (Ex(πi )) ; – ou bien wI wJi C est une configuration du même type de w, et πi (PI ×PJi Xy ) = XwI wJi y est la composante irréductible du lieu singulier de Xw associée. On procède alors par récurrence sur la dimension, en combinant le cas covexillaire traité dans [2] et les deux dernières propositions, pour démontrer le théorème principal. Remarque 1. – Alors que la rédaction de ce travail était en cours, L. Manivel a également obtenu la description des singularités génériques [7]. Remerciements. Je tiens à remercier mon directeur de thèse, P. Polo, pour le soutien constant qu’il m’a apporté durant l’élaboration de ce travail.
Références bibliographiques [1] Brion M., Polo P., Generic singularities of certain Schubert varieties, Math. Z. 231 (1999) 301–324. [2] Cortez A., Singularités génériques des variétés de Schubert covexillaires, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 51 (2) (2001) 375–393. [3] Cortez A., Singularités génériques et quasi-résolutions des variétés de Schubert pour le groupe linéaire (en préparation). [4] Kazhdan D., Lusztig G., Representation of Coxeter groups and Hecke algebras, Invent. Math. 53 (1979) 165–184. [5] Lakshmibai V., Sandhya B., Criterion for smoothness of Schubert varieties in SL(n)/B, Proc. Indian Acad. Sci. 100 (1990) 45–52. [6] Lascoux A., Schützenberger M.P., Treillis et bases des groupes de Coxeter, Electron. J. Combin. 3 (1996). [7] Manivel L., Generic singularities of Schubert varieties, Preprint, ArXiv, math.AG/0105239.
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Résumé.
On détermine explicitement les composantes irréductibles du lieu singulier d’une variété de Schubert arbitraire pour GLn (K), K étant un corps algébriquement clos de caractéristique quelconque. On décrit aussi la singularité générique le long de chacune des composantes. Ceci avait été obtenu antérieurement par l’auteur dans le cas covexillaire. L’ingrédient principal utilisé ici est l’étude de certaines « quasi-résolutions » des variétés de Schubert non covexillaires. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Generic singularities and quasi-resolutions of Schubert varieties for the general linear group Abstract.
We determine explicitly the irreducible components of the singular locus of any Schubert variety for GLn (K), K being an algebraically closed field of arbitrary characteristic. We also describe the generic singularity along each of them. This was obtained earlier by the author in the covexillary case. The main tool used here is the study of certain quasiresolutions of non-covexillary Schubert varieties. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Abridged English version Let K be an algebraically closed field of arbitrary characteristic. Our purpose here is to determine explicitly the irreducible components of the singular locus of any Schubert variety in the classical flag variety Fn (K), and the generic singularity along each of them. Schubert varieties are parametrized by the symmetric group Sn , and the inclusion relation induces the Bruhat–Chevalley order on Sn . Given v w, by [4], Lemma A4, the standard open neighborhood of the flag ev in Xw splits as the product Cv × Nv,w , where Cv is the Schubert cell, and Nv,w is called the slice at ev in Xw . Then Xv is an irreducible component of Sing Xw if and only if ev is the only singular point in the slice Nv,w . These are the generic singularities that we are going to describe. Note présentée par Pierre D ELIGNE. S0764-4442(01)02101-2/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés
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According to the cases known so far (see [1], §§ 3.3 and 4.6), we define two types of singularity. We say that an irreducible component Xv of Sing Xw is of type S1 if Nv,w is isomorphic to the variety Cs,t of matrices of size (s, t) and rank at most 1, with s, t 2, and that it is of type S2 if Nv,w is isomorphic to a non-degenerate quadratic cone of odd dimension at least 5. Note that the local ring at ev is factorial in the second case, whereas it is not in the first. By [5], the Schubert variety Xw is singular if and only if there exist integers a < b < c < d such that either w(d) < w(b) < w(c) < w(a) or w(c) < w(d) < w(a) < w(b). We show that the irreducible components of Sing Xw are parametrized by the configurations of this type that are minimal in a certain sense, and that the generic singularities are either of type S1 or S2 . There are two distinct constructions for the permutations that describe the singular locus. The first one is the generalization of the construction given in [2], as follows. Let P = (p + 1, q) be a coessential point of w, that is suppose w(p) q < w(p + 1) and w−1 (q) p < w−1 (q + 1). We assume moreover that P is well framed, which means that the graph of w, Γw , meets both sets NO(p, q) = {(i, j) | i p, j > q} and SE(p, q) = {(i, j) | i > p, j q} (which we will simply denote by NO and SE from now on). Let (P− , P+ ) ∈ NO × SE be a minimal frame of P , that is, denoting by R the rectangle with upper-left corner P− , and lower-right corner P+ , we assume that there is no other point of the graph contained in either R ∩ NO or R ∩ SE. We associate to this admissible triple (P, P− , P+ ) two sequences of points of the graph of w, the NE-sequence and the SO-sequence, of respective lengths s, t 0. The permutation τ associated to the triple is obtained from w by applying a cycle of support P− , P+ and the points of the two sequences. Then we have the: T HEOREM 1. – Given τ as above, the slice Nτ,w is isomorphic to Cs+1,t+1 . Consequently, if st = 0, Xτ is an irreducible component of Sing Xw of type S1 , while if st = 0, eτ is a smooth point of Xw . The second construction goes as follows. One first introduces a notion of incompressibility for 3412 patterns of w, that is integers a < b < c < d such that w(c) < w(d) < w(a) < w(b). Then given such a pattern, we construct three sequences of points of the graph, the median, NE, and SO ones, of respective lengths r, s, t 0. The permutation σ associated to the pattern is obtained from w by applying a cycle whose support consists of the four points of the pattern and the points of the NE and SO sequences. Given integers i, j, k such that i, k 1 and j 2, let us denote by Ni,j,k the variety {(M, N ) ∈ Cj,k × Ci,j | N M = 0}. T HEOREM 2. – Given σ as above, the slice Nσ,w is isomorphic to the variety Ns+1,r+2,t+1 . Consequently: 1) if r = 0, Xσ is an irreducible component of Sing Xw of type S1 ; 2) if r = 0 and s = t = 0, Xσ is an irreducible component of Sing Xw of type S2 ; 3) if rt = 0 (resp. rs = 0), then Xσ is contained in an irreducible component of Sing Xw , associated to an admissible triple of w, and of codimension r + t + 1 (resp. r + s + 1) in Xw . Denote by Σw the union of the irreducible components exhibited so far. The last step consists in proving that Σw = Sing Xw . This equality is known for covexillary permutations (see [2]), and we base our proof of the general case on this result. We study the exceptional locus of certain quasi-resolutions of the noncovexillary Schubert variety Xw . Then by induction on the dimension, we can establish the: T HEOREM 3 (Main theorem). – The singular locus of Xw is the union of the irreducible components described above. In particular, the generic singularities are either of type S1 or S2 as defined earlier, that is either a cone of matrices of rank at most 1, or a non-degenerate quadratic cone of odd dimension d, with d 5.
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Singularités génériques et quasi-résolutions des variétés de Schubert pour le groupe linéaire
Soit K un corps algébriquement clos de caractéristique quelconque. L’objet de cette Note est de déterminer explicitement les composantes irréductibles du lieu singulier d’une variété de Schubert arbitraire dans la variété de drapeaux classique Fn (K), et la singularité générique le long de chacune de ces composantes. Les variétés de Schubert sont paramétrées par le groupe symétrique Sn , et la relation d’inclusion induit l’ordre de Bruhat–Chevalley sur Sn . Soient v w, d’après [4], Lemma A4, le voisinage ouvert standard du drapeau ev dans Xw se décompose comme le produit Cv × Nv,w , où Cv est la cellule de Schubert ; Nv,w est la transversale à Cv dans Xw . Alors, Xv est une composante irréductible du lieu singulier si et seulement si ev est l’unique point singulier de la transversale Nv,w . Ce sont les singularités génériques que nous allons décrire. Les situations connues jusqu’ici (voir [1], §§ 3.3 et 4.6) suggèrent de définir les deux types de singularité suivants. Soit Xv une composante irréductible du lieu singulier de Xw ; on dira qu’elle est de type S1 si Nv,w est isomorphe à la variété Cs,t des matrices de taille (s, t) et de rang au plus 1, pour des entiers s, t 2, et l’on dira qu’elle est de type S2 si Nv,w est isomorphe à un cône quadratique non dégénéré de dimension impaire au moins 5. Remarquons que l’anneau local en ev est factoriel dans le second cas, alors qu’il ne l’est pas dans le premier. D’après [5], la variété de Schubert Xw associée à la permutation w ∈ Sn est singulière si et seulement s’il existe des entiers a < b < c < d dans [1, n] vérifiant : w(d) < w(b) < w(c) < w(a) ou bien w(c) < w(d) < w(a) < w(b). On démontre que les composantes irréductibles du lieu singulier de Xw sont associées à celles de ces configurations qui sont minimales en un certain sens, et que les singularités génériques sont de l’un des deux types S1 et S2 . Les permutations qui décrivent le lieu singulier sont obtenues par deux constructions distinctes. La première est une généralisation de celle de [2]. Soit P = (p + 1, q) un point coessentiel de w, c’est-à-dire tel que w(p) q < w(p + 1) et w−1 (q) p < w−1 (q + 1). On définit le quadrant Nord-Ouest associé par NO(p, q) = {(i, j) | i p, j > q}, et l’on définit de même les quadrants SO(p, q) = {(i, j) | i p, j q}, NE(p, q) = {(i, j) | i > p, j > q}, et SE(p, q) = {(i, j) | i > p, j q}. On les désignera simplement par NO, SO, etc., lorsqu’il n’y aura pas d’ambiguïté. On suppose que le point coessentiel P est bien bordé, c’est-à-dire que le graphe de w, Γw , rencontre les deux quadrants NO et SE. On fixe un bordage minimal (P− , P+ ) de P , c’est-à-dire un couple de points de NO × SE tels que, si R est le rectangle dont la diagonale est le segment ouvert ]P− , P+ [, R ∩ NO et R ∩ SE ne contiennent aucun point du graphe de w. Notons (x−∞ , y∞ ) les coordonnées de P− , et (x∞ , y−∞ ) celles de P+ . Si l’ensemble Γw ∩ R ∩ NE est non vide, sa frontière Sud-Ouest constitue la suite NE associée au triplet (P, P− , P+ ). Soient s la longueur de cette suite (s = 0 si Γw ∩ R ∩ NE = ∅), et (xi , yi )1is les coordonnées des points, indexés de sorte que xs < · · · < x1 . De manière symétrique, si l’ensemble Γw ∩ R ∩ SO est non vide, sa frontière Nord-Est constitue la suite SO associée à (P, P− , P+ ). Soient t la longueur de cette suite et (xi , yi )−ti−1 les coordonnées des points, indexés de sorte que x−1 < · · · < x−t . Notant (i, j) la transposition de support {i, j}, on définit la permutation τ(P,P− ,P+ ) associée au triplet admissible (P, P− , P+ ) par : τ(P,P− ,P+ ) = (y−1 , y1 ) (y−1 , y−2 ) · · · (y−t , y−∞ ) (y1 , y2 ) · · · (ys , y∞ ) w, où, si s = 0 (resp. t = 0) on omet le produit entre crochets correspondant et l’on remplace y1 par y∞ (resp. y−1 par y−∞ ). On la notera simplement τ lorsqu’il n’y aura pas d’ambiguïté. On a alors le : T HÉORÈME 1. – La transversale Nτ,w est isomorphe à Cs+1,t+1 . Par conséquent, si st = 0, Xτ est une composante irréductible de Sing Xw de type S1 , tandis que si st = 0, eτ est un point lisse de Xw . La correspondance entre les triplets admissibles et les permutations τ n’est pas injective : deux triplets admissibles (P, P− , P+ ) et (Q, Q− , Q+ ) donnent la même permutation si et seulement si l’on a P− = Q− ,
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P+ = Q+ , et si les quadrants associés aux points coessentiels P et Q définissent la même partition de Γw ∩ R, où R est défini comme précédemment. On aura aussi recours par la suite à une autre paramétrisation, donnée par les configurations I de w. D ÉFINITION 2. – On appelle configuration I de w un ensemble de points du graphe de w, I = {(x−∞ , y∞ ), (x∞ , y−∞ )} ∪ {(xi , yi ), i ∈ [−t, −1] ∪ [1, s]}, avec s, t 0, vérifiant les inégalités x−∞ < x−1 < · · · < x−t < xs < · · · < x1 < x∞ , y−∞ < y−t < · · · < y−1 < y1 < · · · < ys < y∞ , et tels que, notant R le rectangle ouvert délimité par les points (x−∞ , y∞ ) et (x∞ , y−∞ ), on ait : Γw ∩ R ⊆
t i=1
SO(x−i , y−i ) ∪
s
NE(xi − 1, yi − 1).
i=1
On a de plus la proposition suivante, qui relie les permutations τ(P,P− ,P+ ) et les points coessentiels de Γw . On renvoie à [2] et [6] pour les notions de cobigrassmanniennes, de corectrices, et leur lien avec l’ordre de Bruhat–Chevalley. Notons c la corectrice de w associée au point coessentiel P , et c1 son itérée. P ROPOSITION 3. – Les variétés Xτ(P,P− ,P+ ) pour (P− , P+ ) bordage minimal du point coessentiel P , sont exactement les composantes irréductibles de la variété Xw ∩ Xc1 . Passons maintenant à la deuxième construction. On appelle configuration 3412 de w la donnée de quatre points du graphe, d’abscisses a < b < c < d, tels que w(c) < w(d) < w(a) < w(b). Par abus de langage, on assimilera cette donnée à celle des abscisses. Une telle configuration est dite incompressible s’il n’existe pas d’autre configuration 3412 d’abscisses x < y < c < d telle que (x, w(x)) (resp. (y, w(y))) soit au Sud-Est de (a, w(a)) (resp. (b, w(b))), ni, de manière symétrique, d’autre configuration 3412 d’abscisses a < b < x < y telle que (x, w(x)) (resp. (y, w(y))) soit au Nord-Ouest de (c, w(c)) (resp. (d, w(d))). Soit maintenant a< dans le carré [1, n]2 , les b < c < d une configuration 3412 incompressible. Alors, régions ]a, b[ ∪ ]c, d[ × ]w(d), w(a)[ et ]b, c[ × ]w(c), w(d)[ ∪ ]w(a), w(b)[ ne contiennent aucun point du graphe de w. De plus, si le rectangle ]b, c[ × ]w(d), w(a)[ contient des points du graphe de w, notés (γi , δi )1ir , avec γ1 < · · · < γr , alors on a δ1 > · · · > δr . Ces points forment la suite médiane associée à la configuration. On considère maintenant l’ensemble NEII = Γw ∩ ]c, d[ × ]w(a), w(b)[. S’il n’est pas vide, sa frontière Sud-Ouest constitue la suite NE associée à la configuration a < b < c < d. Soient s la longueur de cette suite, et (αi , βi )1is ses points, indexés de sorte que c < αs < · · · < α1 < d ; l’on a alors w(a) < β1 < · · · < βs < w(b). De manière symétrique, si l’ensemble SOII := Γw ∩ ]a, b[ × ]w(c), w(d)[ est non vide, sa frontière NordEst constitue la suite SO associée à la configuration a < b < c < d. Soient t la longueur de cette suite et (αi , βi )−ti−1 ses points, indexés de sorte que a < α−1 < · · · < α−t < b ; l’on a alors w(c) < β−t < · · · < β−1 < w(d). D ÉFINITION 4. – On appelle configuration II de w la donnée d’une configuration 3412 incompressible et des trois suites associées comme ci-dessus. On définit alors la permutation σ par : σ = w(d), β1 (β1 , β2 ) · · · (βs−1 , βs ) βs , w(b) w(a), β−1 (β−1 , β−2 ) · · · (β−t+1 , β−t ) β−t , w(c) w(c), w(b) w, les deux premiers crochets étant réduits à (w(d), w(b)) (resp. (w(a), w(c))) si NEII (resp. SOII ) est vide.
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Singularités génériques et quasi-résolutions des variétés de Schubert pour le groupe linéaire
Pour décrire la transversale, introduisons la variété suivante : étant donné trois entiers i, j, k avec i, k 1 et j 2, on définit Ni,j,k = {(M, N ) ∈ Cj,k × Ci,j | N M = 0}. On a alors le : T HÉORÈME 5. – Soit σ comme précédemment. La transversale Nσ,w est isomorphe à la variété Ns+1,r+2,t+1 . Par conséquent : 1) si r = 0, Xσ est une composante irréductible de Sing Xw de type S1 ; 2) si r = 0 et s = t = 0, Xσ est une composante irréductible de Sing Xw de type S2 ; 3) si rt = 0 (resp. rs = 0), alors Xσ est contenu dans une composante irréductible de Sing Xw , associée à un triplet admissible de w, et de codimension r + t + 1 (resp. r + s + 1) dans Xw . On a ainsi décrit toutes les singularités génériques, d’après le théorème suivant. T HÉORÈME 6 (Théorème principal). – Le lieu singulier de Xw est la réunion des composantes décrites précédemment. En particulier, les singularités génériques sont de l’un des deux types S1 ou S2 définis initialement, c’est-à-dire soit un cône de matrices de rang au plus 1, soit un cône quadratique non dégénéré de dimension d impaire, avec d 5. Esquisse de la démonstration. – On donne ici une idée de la preuve du théorème principal, détaillée, ainsi que celles des autres résultats énoncés ici, dans [3]. Notons Σw la réunion des composantes irréductibles du lieu singulier de Xw exhibées jusqu’ici. On va montrer que Σw est exactement le lieu singulier de Xw . Ce résultat est déjà établi dans le cas covexillaire (voir [2]), et l’on va s’appuyer sur ce cas pour établir l’égalité en général. On étudie le lieu exceptionnel de certaines « quasi-résolutions » de la variété de Schubert non covexillaire Xw , du type PI ×PJ Xw , pour des sous-groupes paraboliques PI et PJ , et des permutations w bien choisis. D ÉFINITION 7. – Soit II une configuration 3412 de w, correspondant aux abscisses a < b < c < d. Notons α = w(a), β = w(b), γ = w(c), δ = w(d). – On dit que II est bien remplie si w−1 ]δ, α[ ⊆ ]b, c[. – On définit la hauteur de II par ht(II) = β − γ. On remarque que si w n’est pas covexillaire, elle a des configurations 3412 bien remplies : toute configuration 3412, a < b < c < d, telle que α − δ soit minimal est bien remplie. Fixons II une configuration 3412 bien remplie et de hauteur minimale (parmi les configurations bien remplies). On voit aisément que II est incompressible. On considère α = max q α | ∀ q ∈ [α, q[, w−1 (q + 1) < w−1 (q ) , δ = min q δ | ∀ q ∈ ]q, δ], w−1 (q − 1) > w−1 (q ) . Soit I = {sδ , . . . , sα −1 }, où sq désigne la réflexion simple (q, q + 1), et pour i = 1, . . . , α − δ, soient ri = δ + α − α + i − 1 et Ji = I {sri }. Notant wI et wJi les permutations maximales des sous-groupes paraboliques de Sn correspondant aux ensembles de réflexions simples I et Ji , on définit wi = wJi wI w. Comme w est maximal dans sa classe WI w, wi est maximal dans WJi wi . Soit Zi = PI ×PJi Xwi , on a un morphisme birationnel πi : Zi → Xw ; néanmoins, la variété Zi n’est en général pas lisse, on l’appelle donc quasi-résolution de Xw . On étudie ensuite le lieu exceptionnel des πi . P ROPOSITION 8. – Pour i ∈ [1, α − δ], les composantes irréductibles du lieu exceptionnel de πi sont en bijection avec la réunion des trois ensembles suivants : – la frontière Sud-Est de NO(i) = Γw ∩ {(p, q) | p < w−1 (α − i + 1), q > α } ; – la frontière Nord-Ouest de SE(i) = Γw ∩ {(p, q) | p > w−1 (α − i), q < δ } ; – les configurations 3412 incompressibles de la forme w−1 (α − i + 1) < w−1 (β ) < w−1 (γ ) < w−1 (α − i).
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De façon explicite, étant donné P− = (b , β ) un point de la frontière Sud-Est de NO(i), soit α le plus grand entier de l’intervalle [α − i + 1, α] tel que b < w−1 ( α). Alors il existe un point coessentiel P de w tel que (P, P− , P+ ) soit un triplet admissible de w, où P+ est le point du graphe de w d’ordonnée α . La composante irréductible du lieu exceptionnel de πi associée au point (b , β ) est la permutation τ(P,P− ,P+ ) . Les composantes associées aux points de la frontière Nord-Ouest de SE(i) sont décrites de la même manière. Enfin, si w−1 (α − i + 1) < w−1 (β ) < w−1 (γ ) < w−1 (α − i) est une configuration 3412 incompressible de w, la composante irréductible du lieu exceptionnel de πi associée est simplement la permutation σ définie par cette configuration. P ROPOSITION 9. – L’intersection des lieux exceptionnels des πi , pour i parcourant l’intervalle [1, α − δ], est contenue dans Σw . P ROPOSITION 10. – Pour toute configuration C de wi , de type I ou II, paramétrant la composante irréductible Xy du lieu singulier de Xwi , on a : – ou bien PI ×PJi Xy ⊆ πi−1 (Ex(πi )) ; – ou bien wI wJi C est une configuration du même type de w, et πi (PI ×PJi Xy ) = XwI wJi y est la composante irréductible du lieu singulier de Xw associée. On procède alors par récurrence sur la dimension, en combinant le cas covexillaire traité dans [2] et les deux dernières propositions, pour démontrer le théorème principal. Remarque 1. – Alors que la rédaction de ce travail était en cours, L. Manivel a également obtenu la description des singularités génériques [7]. Remerciements. Je tiens à remercier mon directeur de thèse, P. Polo, pour le soutien constant qu’il m’a apporté durant l’élaboration de ce travail.
Références bibliographiques [1] Brion M., Polo P., Generic singularities of certain Schubert varieties, Math. Z. 231 (1999) 301–324. [2] Cortez A., Singularités génériques des variétés de Schubert covexillaires, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 51 (2) (2001) 375–393. [3] Cortez A., Singularités génériques et quasi-résolutions des variétés de Schubert pour le groupe linéaire (en préparation). [4] Kazhdan D., Lusztig G., Representation of Coxeter groups and Hecke algebras, Invent. Math. 53 (1979) 165–184. [5] Lakshmibai V., Sandhya B., Criterion for smoothness of Schubert varieties in SL(n)/B, Proc. Indian Acad. Sci. 100 (1990) 45–52. [6] Lascoux A., Schützenberger M.P., Treillis et bases des groupes de Coxeter, Electron. J. Combin. 3 (1996). [7] Manivel L., Generic singularities of Schubert varieties, Preprint, ArXiv, math.AG/0105239.
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