Sommes arithmétiques et éléments de Stickelberger

JOURNAL OF ALGEBRA ARTICLE NO.

179, 145]190 Ž1996.

0008

Sommes arithmetiques et ´ elements de Stickelberger ´ ´ A. Bayad et W. Bley* Institut fur 8, D-86159 Augsburg, ¨ Mathematik der Uni¨ ersitat ¨ Augsburg, Uni¨ ersitatsstr. ¨ Germany

et Ph. Cassou-Nogues ` U.F.R. de Mathematiques et d’Informatique, Uni¨ ersite´ Bordeaux I, F-33405, ´ Talence Cedex, France Communicated by Walter Feit Received June 14, 1994

´ 1. INTRODUCTION ET RESULTATS Le celebre ´ ` theoreme ´ ` de Stickelberger fournit des annulateurs du groupe des classes d’ideaux des corps cyclotomiques. La demonstration de ce ´ ´ theoreme repose de maniere ´ ` ` essentielle sur la factorisation en produit d’ideaux premiers des sommes de Gauss w2, 9x. ´ L’etude d’une situation relative, lorsqu’on remplace Q par un corps de ´ nombres F, est introduite dans w4x. On ´ etudie pour cela la factorisation de certaines resolvantes, introduites par Abel et Jacobi, construites ` a partir ´ d’une courbe elliptique munie d’un point d’ordre premier rationnel sur F. Cette factorisation est analogue ` a celle des sommes de Gauss. On s’interesse ici aux proprietes introduites ´ ´ ´ de nouvelles resolvantes ´ dans le cas de la multiplication complexe par S. P. Chan w5x qui generali´ ´ sent les fonctions considerees ´ ´ dans w4x. Le but de cet article est notamment d’etudier leur factorisation en ´ produit d’ideaux premiers et ses consequences arithmetiques. Les ´ ´ ´ theoremes 1.1, 1.2 et 1.3 que nous obtenons generalisent les theoremes 1 ´ ` ´ ´ ´ ` w x et 2 de w4x, qui en sont des cas particuliers, et les theoremes A et B de 1 . ´ ` Ils les ameliorent egalement en donnant la valuation en des premiers que ´ ´ * Les auteurs tiennent ` a remercier la DFG pour son soutien financier ` a l’aboutissement de ce travail. 145 0021-8693r96 $12.00 Copyright Q 1996 by Academic Press, Inc. All rights of reproduction in any form reserved.

BAYAD, BLEY, ET CASSOU-NOGUES `

146

l’etude de w4x excluait. On sait que l’etude de la structure galoisienne des ´ ´ anneaux d’entiers de corps de nombres depend de maniere ´ ` cruciale du comportement arithmetique de ce type de resolvantes de Lagrange ´ ´ w3, 5, 7x. Il est ` a noter que les resolvantes considerees ´ ´ ´ ici sont `a une constante multiplicative non nulle pres ` celles de w7x. Si n est un entier, n G 2, on note zn une racine primitive n-ieme ` de 1. Pour tout entier t, 1 F t F n, Ž t, n. s 1, on note st l’automorphisme de QŽ zn . induit par zn ¬ znt ; par abus de notation, st designe ´ ´egalement toute restriction ou prolongement ‘‘naturel’’ de cet automorphisme. Si E est une courbe elliptique definie sur un corps de nombres on pose Ew n x le ´ groupe des points de n-division de E. On fixe un nombre premier l, l G 5, et un corps de nombres F. On . et G s GalŽ NrF . suppose que F l QŽ z l . s Q. On pose N s F Ž z l q zy1 l  Ž . 4 Ž . ou ` G s st , 1 F t F l y 1 r2 . Soit E, P une courbe elliptique E definie ´ sur F munie d’un point rationnel sur F d’ordre l. A tout nombre premier p tel que Ž l, pŽ p q 1.. s 1 et ` a tout point Q g Ew l x R Z P nous associons une ‘‘somme de Gauss elliptique’’, T˜p Ž P, Q . dont la definition precise est ´ ´ donnee que T˜p Ž P, Q . g F Ž Ew l x. et que T˜pl Ž P, Q . g N. ´ en Ž2.3.. On verifie ´ D´ EFINITION. de Qw G x par:

On definit l’element de Stickelberger quadratique u 2 Ž p . ´ ´´ Ž ly1 .r2

u 2 Ž p. s Ž p3 y p2 .

Ý

g Ž t . sy1 t ,

st g G

ts1

avec py1

g Ž t . s Ž p2 y p. b Ž t . q

Ý a Ž t, s. ss1

ou par: ` b Ž t . et a Ž t, s . sont les rationnels definis ´

b Ž t. s

l p

t

tp

l

l

ž½ 5 ž

a Ž t , s . s ytp

a

½ 5 lp

q lp inf

et a s lsx q pty, ou ` x, y g Z sont choisis tels que lx y py s 1.

t

tp

½ 5// ž ½ 5/

q inf 0, 1 y

l

t l

y

,

l

a

lp

SOMMES ARITHMETIQUES ´

147

On pose  z 4 la partie fractionnaire du nombre reel ´ z. Remarques. Ži. La definition de a Ž t, s . ne depend pas du choix de x ´ ´ et y. Žii. L’element u 2 Ž p . de Qw G x est dit quadratique car il satisfait la ´´ congruence suivante:

u2 Ž p. '

Ž ly1 .r2

12 n p

Ý

l

Ž mod Z w G x .

t 2sy1 t

ts1

ou ` 2

np s

p 2 Ž p y 1. Ž p q 1. 12

.

Lorsqu’on choisit p ' 1 Žmod l . on montre dans l’appendice 2 l’egalite ´ ´

u2 Ž p. s

6np l

Ž ly1 .r2

Ý Ž tl y t 2 . sy1 t .

ts1

Pour tout ideal ´ premier p de F on note rp la valuation p-adique du discriminant minimal D Er F de la courbe ErF. On designe par R Ž E, P . l’ensemble des diviseurs premiers p de D Er F , ´ premier ` a l, pour lesquels la reduction de P modulo p est un point ´ regulier de la courbe reduite. ´ ´ Si a et b sont des ideaux fractionnaires de N, on ´ ecrit: ´ a'b

Ž mod l .

lorsque les diviseurs de a by1 divisent l. Maintenant on peut ´ enoncer les principaux resultats de cet article. ´ THEOREME ´ ` 1.1. Tout ideal ´ premier p de R Ž E, P . possede ` un rele`¨ ement P dans N tel que: l

ž T˜ Ž P , Q . / D p

lnp Er F

'

ž

Ł

pgR Ž E , P .

P rp

lu 2 Ž p .

/

Ž mod l . .

THEOREME ´ ` 1.2. On suppose que tout di¨ iseur premier de D Er F , premier a ` l, appartient a` R Ž E, P .. Alors on a: Ž ly1 .r2

ž

Ł T˜p Ž P , tQ .

ts1

/

lŽ ly1.r2. n p ' D ŽEr F

Ž mod l . .

BAYAD, BLEY, ET CASSOU-NOGUES `

148

Il est ` a remarquer que le theoreme immediatement du ´ ` 1.2 se deduit ´ ´ theoreme des sommes suivantes: ´ ` 1.1 et de l’evaluation ´ ly1 py1

ly1

Ý b Ž n.

Ý Ý a Ž n, s .

et

ns1

ns1 ss1

qui sont riches en proprietes ´ ´ analytiques et arithmetiques. ´ THEOREME ´ ` 1.3. on a les ´ egalites: ´

Soient l et p des entiers tels que Ž l, pŽ p q 1.. s 1. Alors

ly1

Ž i.

Ý b Ž n. s

l2 y 1

ns1

12 p

ly1 py1

Ž ii .

Ý Ý a Ž n, s . s

p Ž p y 1. Ž l 2 y 1.

ns1 ss1

12

.

Remarque. Lorsque les hypotheses ` du theoreme ´ ` 1.2 ne sont pas remplies on pose D Er F , r e g s

Ł

pgR Ž E , P .

p rp .

Le theoreme ´ ` 1.2 doit ˆetre remplace´ par Ž ly1 .r2

ž

Ł T˜p Ž P , tQ .

ts1

/

y1 ' Ž D lq1 Er F , r e g D Er F .

ŽŽ ly1 .r2 . n p

Ž mod l . .

Le plan de cet article est le suivant: le paragraphe 2 contient la definition ´ de nos resolvantes et leurs proprietes. ´ ´ ´ Ces proprietes ´ ´ se demontrent ´ comme dans w4, paragraphe 2x. Le lecteur peut aussi se reporter ` a w1x. Les paragraphes 3 et 4 sont consacres complexe et p-adique de ces ´ `a l’etude ´ sommes. Le point crucial est leur expression comme produit de fonctions u complexes, theoreme ´ ` 3.9, et p-adique, theoreme ´ ` 4.6. Les demonstrations techniques du paragraphe 4 sont donnees ´ ´ en appendice 1. Dans le paragraphe 5 nous donnons une demonstration analytique ´ du theoreme 1.3. Une demonstration de ces egalites reposant sur la ´ ` ´ ´ ´ theorie des sommes de Dedekind nous a ete communiquee par C. Meyer. ´ ´´ ´ Le theoreme 1.1 est demontre ´ ` ´ ´ dans le paragraphe 6. Enfin dans le paragraphe 7 nous donnons une application du theoreme ´ ` 1.1 `a l’annulation de certains groupes de classes d’ideaux ainsi que quelques exemples. Nous ´ indiquons notamment une methode de calcul de l’ideal ´ ´ Ł p g R Ž E, P . P r p .

SOMMES ARITHMETIQUES ´

149

Lorsque l s 5 nous determinons explicitement cet ideal ´ ´ dans plusieurs cas. Les calculs de ce paragraphe ont ´ ete ´ effectues ´ avec le systeme ` Pari. Les auteurs remercient H. Cohen, A. Jehanne et M. Olivier de leur aide. Ils remercient ´ egalement J. Cougnard pour ses nombreuses suggestions. Une partie de ce travail a ´ ete ´ realise´ lors d’un sejours de l’un des auteurs au Fields Institute. Il le remercie de son hospitalite. ´

´ 2. RESOLVANTES ELLIPTIQUES Ce paragraphe contient la definition et quelques proprietes ´ ´ ´ de nos ‘‘sommes de Gauss elliptiques’’. Les demonstrations donnees ´ ´ dans w1x sont essentiellement celles de w4, paragraphe 2x. On fixe deux nombres premiers l et p distincts, l G 5, et un corps de nombres F qu’on suppose lineairement disjoint de QŽ z l .. ´ Soit E une courbe elliptique definie sur F, munie d’un point P ra´ tionnel sur F, d’ordre l. Soit  S, R4 un couple de points de Ew p x qui forment une base de Ew p x sur Fp . D´ EFINITION 2.1. On designe par DŽ?, S, R . une fonction appartenant ` a ´ M Ž E ., M s F Ž Ew p x., telle que: py1

Ž D. s

Ý Ž Ž S q kR . y Ž kR . . . ks0

Remarque 2.2. L’existence d’une telle fonction est assuree ´ par le w x theoreme d’Abel-Jacobi 8, III, remarque 3.5.1 . ´ ` D´ EFINITION 2.3. Soient S et T deux points primitifs respectivement de p-division et p 2-division de la courbe E tels que  S, R s pT 4 forment une base de Ew p x sur Fp . Si Q est un point d’ordre l de E, n’appartenant pas ` a ² P : Z , alors on associe ` a Ž P, Q, S, T . la somme de Gauss elliptique: R Ž P , Q, S, T . s

Ý ugF l

D Ž Q q uP , S, R . D Ž T , S, R .

e l Ž Q, uP .

y1

ou l’accouplement de Weil sur les points de l-division de E. ` e l designe ´ On deduit de la definition de D que RŽ P, Q, S, T . ne depend que de la ´ ´ ´ classe de S modulo ² R : Z . On definit une nouvelle somme independante ´ ´ du choix de S et T en posant: T˜p Ž P , Q . s pyŽ p

yp 3 .

4

Ł

Ł

Y X TgE w p 2 x SgE w p x

R Ž P , Q, S, T .

BAYAD, BLEY, ET CASSOU-NOGUES `

150

ou l’ensemble des points primitifs de p 2-division de la ` EX w p 2 x designe ´ Y courbe E et E w p x designe un systeme des points non ´ ` de representants ´ nuls de Ew p xr² R : Z . Par raison de simplicite T˜ la ´ on note desormais ´ ˜ somme Tp . Les proprietes ´ ´ de ces sommes sont rappelees ´ ci-dessous. PROPOSITION 2.4. Ži. T˜Ž P, Q . ne depend pas du choix de modele ´ ` de la courbe E sur F. Žii. T˜Ž P, Q . g F Ž Ew l x. pour toute F l-base  P, Q4 de Ew l x. Žiii. Soit v g GalŽ F Ž Ew l xrF .. defini ´ par a¨ ec av g FUl , bv g F l ,

Q v s av Q q bv P P v s P. On a alors: v

T˜Ž P , Q . s e l Ž P , Q . p

2Ž

py1 . 2 Ž pq1 . av bv

T˜Ž P , av Q . .

Živ. T˜Ž P, Q . l g N et T˜Ž P, Q . s T˜Ž P, yQ.. Žv. L’ideal ´ ŽT˜Ž P, Q.. est un ideal ´ ambige pour Ž F Ž Ew l x.rN .. Puisque l’ideal ´ ŽT˜Ž P, Q.. est ambige pour F Ž Ew l x.rN nous aurons

Ž T˜Ž P , Q . l . ' I l Ł P s P

P

Ž mod l . ,

ou premiers de N, ramifies ` I est un ideal ´ de N et P parcourt les ideaux ´ ´ dans F Ž Ew l x., qui ne divisent pas l. Les ideaux P sont necessairement des ´ ´ relevements dans N d’ideaux premiers de F ou ` ´ ` la courbe E possede ` mauvaise reduction, Il est ` a noter que l’existence d’un point rationnel sur ´ F d’ordre l, l G 5, implique qu’en de tels premiers la reduction de E est ´ semi-stable, w4, paragraphe 1x. Le but des paragraphes 3 et 4 est de preciser la factorisation de ŽT˜Ž P, Q .. l en produit d’ideaux premiers. ´ ´

´ 3. RESOLVANTES COMPLEXES Dans ce paragraphe l et p designent des entiers tels que Ž l, p . s 1, ´ qu’on ne suppose pas necessairement premiers. On donne le lien entre nos ´ w resolvantes et les resolvantes considerees dans 7x, puis on les factorise en ´ ´ ´´ produit de fonctions de Klein. Pour cela, on fixe un reseau V de C et une base  v 1 , v 2 4 de V telle que ´ ImŽ v 1rv 2 . ) 0. On note Ew n x le groupe des points de CrV annules ´ par  4 w x n, n g N. On fixe un systeme de generateurs w , c de E p sur Z, ` ´ ´  4 w l g Ew p 2 x tel que pl s c et un systeme de generateurs a , g de E lx ` ´ ´ sur Z.

SOMMES ARITHMETIQUES ´

151

D´ EFINITION 3.1. Soit D Ž?, w , c . une fonction elliptique pour V qui a pour diviseur: py1

Ž D Ž ?, w , c . . s Ý Ž Ž w q k c . y Ž k c . . . ks0

On definit la resolvante elliptique ´ ´ ly1

RŽ a , g , w , l. s

Ý

DŽ g q ua , w , c .

us0

DŽ l, w , c .

el Ž g , u a .

y1

,

Ž 1.

ou l’accouplement de Weil sur les points de l-division de CrV. ` e l designe ´ Pour ´ etudier Ž1. on introduit une fonction elliptique pour V, definie ´ par: ly1

R Ž z, a , g , w , l . s

Ý us0

DŽ z q ua , w , c . DŽ l, w , c .

el Ž g , u a .

y1

.

Ž 2.

Dans la suite on note RŽ z . cette fonction. Elle a les proprietes ´ ´ suivantes: PROPOSITION 3.2. Ži. RŽ z q c . s v V Ž w , c . RŽ z ., ou ` v V Ž w , c . est une racine p-ieme ` de l’unite. ´ Žii. RŽ z q a . s e l Žg , a . RŽ z .. Si l’on definit Dc Ž?, w , c . par ´ Dc Ž z, w , c . s D Ž z q c , w , c . on note que les fonctions D et Dc ont le meme ˆ diviseur. Elles sont donc ´egales `a une constante v V Ž w , c . pres. ` Puisque c est d’ordre p on en Ži.. La demonstration deduit que v V Ž w , c . p s 1 ce qui demontre de Žii. se ´ ´ ´ Ž2.. deduit de la definition ´ ´ On considere par ` la fonction theta ˆ definie ´

v1 v v 2 q z v 1 s 2p ieyŽ1r2.Žh 2 r v 2 . z s z v 1 h 2 vy1 2 , v2 2 2

ž /

ž / ž /

ou la fonction h de Dedekind, h1 et h 2 les quasi-periodes de la ` h designe ´ ´ fonction z de Weierstrass et s la fonction sigma de Weierstrass pour le reseau V s Z v 1 q Z v 2 . La fonction theta les proprietes ´ ˆ verifie ´ ´ ´ suivantes, w que l’on deduit de celles de la fonction s , 3, III, proposition 3.10x. ´

BAYAD, BLEY, ET CASSOU-NOGUES `

152 PROPOSITION 3.3.

Ž i.

v q z v1 2

ž /

est une fonction holomorphe sur C dont

les zeros elements de V . ´ sont simples et sont les ´´

Ž ii .

v v q z q v 1 v 1 s yeyŽ2 p i r v 2 .Ž zqŽ1r2. v 1 .q z v 1 . 2 2

Ž iii .

v v q z q v 2 v 1 s yq z v 1 . 2 2

ž ž

/ /

ž /

ž /

Soit V un reseau de C, V s Z v 1 q Z v 2 , ImŽ v 1rv 2 . ) 0, et x en point ´ d’ordre n de CrV. On definit le reseau V q Z x en posant V q Z x s V ´ ´ q Zu ou quelconque de x dans C. On utilise ` u est un representant ´ souvent le lemme suivant LEMME 3.4.

Il existe un representant g de x dans C et b g V tels que ´ V q Z x s Z b q Zg

a¨ ec Im

b g

) 0,

V s Z b q Z ng . Montrons qu’il existe un representant g de x tel que ng s n1 v 1 q n 2 v 2 ´ avec Ž n1 , n 2 . s 1. Soit u un representant de x. On a ´ nu s a1 v 1 q a2 v 2 . On suppose que a1 a2 s 0, par exemple a1 s 0. Puisque x est d’ordre n alors Ž a2 , n. s 1. On pose g s v 1 q u. On suppose dorenavant a1 a2 / 0. ´ On pose d s Ž a1 , a2 . et a1 s dm1 , a2 s dm 2 . Soit mX2 le plus grand diviseur de m 2 premier ` a n et mY2 tel que m 2 s mX2 mY2 . Puisque Ž n, dmX2 . s 1 il existe b1 , b 2 g Z tels que 1 y dm1 s b1 n q b 2 Ž dmX2 . . On pose g s u q b1 v 1. On obtient ng s Ž dm1 q nb1 . v 1 q Ž dm 2 . v 2 . On note n1 s dm1 q nb1 et n 2 s dm 2 . Soit l un nombre premier. Si l < dmX2 alors l ne divise pas n1 s dm1 q b1 n. Si l ¦ dmX2 et l < mY2 alors l < n, mais l ¦ dm1 , donc l ¦ n1. On a donc montre ´ que Ž n1 , n 2 . s 1. Soit Ž u 0 , ¨ 0 . g Z 2 tel que u 0 n 2 y ¨ 0 n1 s 1.

SOMMES ARITHMETIQUES ´

153

On note b s u 0 v 1 q ¨ 0 v 2 . Puisque Ms

ž

u0 n1

¨0

/

n2

g Sl 2 Ž Z .

les ´ egalites ´ du lemme sont immediates. ´ Soit L s V q Z c . On choisit un representant de c qu’on note aussi c ´ et un ´ element b 1 de V tels que  c , b 14 Žresp.  pc , b 14. soit une base sur Z ´ de L Žresp. V . et ImŽ crb 1 . ) 0. D´ EFINITION 3.5. Ži. On designe par m 0 et n 0 des ´ elements de Z tels ´ ´ que

w s m0 c y n0

b1 p

.

Žii. On definit la fonction h par ´

ž

q z q n 0 Ž b 1rp . hŽ z . s

c b1

c q z b1

/

.

ž /

D’apres ` la proposition Ž3.3., on sait que h est une fonction elliptique pour V. Son diviseur est donne ´ par py1

Ž h. s

Ý ks0

žž

yn 0

b1 p

q kc y Ž kc .

/

/

py1

s

Ý Ž Ž w q kc . y Ž kc . . . ks0

Donc, d’apres d’Abel-Jacobi, la fonction hŽ z . est ´ egale ` a ` le theoreme ´ ` DŽ z, w , c . ` a une constante multiplicative non nulle pres. ` On considere S s L q Z a . Puisque Ž l, p . s 1, SrL est un ` le reseau ´ groupe cyclique d’ordre l. D´ EFINITION 3.6. On designe par x le caractere ´ ` de SrL defini ´ par

x Ž u a . s el Ž g , u a . .

154

BAYAD, BLEY, ET CASSOU-NOGUES `

Alors on obtient RŽ z . s

1 h Ž l.

ly1

Ý hŽ z q ua . x Ž ua . . us0

Ž . Ž . est la resolvante Remarque. La quantite ´ Ýly1 ´ us0 h z q u a x u a consideree depend ´ ´ par Schertz dans w7x. Il est `a noter que cette resolvante ´ ´ du modele pas de ce ` choisi de la courbe E, tandis que RŽ z . ne depend ´ modele. ` Grace de a modulo L ˆ au lemme 3.4 on peut choisir un representant ´ qu’on note aussi a de fac¸on que l a s n1 c q n 2 b avec Ž n1 , n 2 . s 1. On fixe Ž u 0 , ¨ 0 . g Z = Z tel que u 0 n 2 y ¨ 0 n1 s 1 et l’on pose b 2 s u 0 c q ¨ 0 b 1. On sait que  b 2 , a 4 Žresp.  b 2 , l a 4. est une base de S Žresp. L .. On designe par a et b des entiers tels que: ´ el Ž g , a . s e 2p i a r l ,

v V Ž w , c . s e 2p i b r p . On deduit alors de la proposition 3.2: ´ RŽ z q a . s e 2p i a r l RŽ z .

Ž 3.

RŽ z q b 2 . s e 2p i b u 0 r p RŽ z . . On considere par ` une nouvelle fonction qu’on definit ´

q lz q d T Ž z . s e 2 p iŽ a r a l . z

ž

q lz

l b2 la

l b2 la

/

Ž 4.

ž /

ou ` d s ybu0 Ž a lrp. q a b 2 . On remarque que T satisfait les proprietes ´ ´ Ž3., donc la fonction RrT est elliptique pour S et ne peut avoir qu’un pole ˆ en z ' yŽ drl . Žmod S . qui est simple. Cette fonction est donc une constante. Soit C g CU tel que R s CT .

Ž 5.

On pose z 0 s ydrl, w 0 s lpz 0 . La condition Ž l, p . s 1 implique que la fonction R elliptique pour V est de valence lp. On deduit de Ž4. le ´ Ž . diviseur de T qui est aussi grace a 5 celui de R . ˆ `

SOMMES ARITHMETIQUES ´

155

PROPOSITION 3.7.

Ž R. s

Ý 0FiFpy1 0FuFly1

žž

y

d l

q ic q u a y Ž ic q u a .

/

/

a¨ ec d s ybu 0 Ž a lrp . q a b 2 . On exprime maintenant la fonction R ` a l’aide de la fonction s Ž z . s v1 s Ž z < v .. 2

PROPOSITION 3.8.

La fonction R s’exprime comme le produit: py1

R Ž z . s e zh Ž w 0 .y lh Ž pw .

Ł

is0

=

Ł

0FiFpy1 0FuFly1

s Ž l q i c . s Ž yw q i c . s Ž l y w q ic . s Ž ic .

s Ž i c q u a . s Ž z y z0 q i c q u a . s Ž yz 0 q i c q u a . s Ž z q i c q u a .

,

ou, ` par con¨ ention, chaque facteur du produit qui donne s Ž0. est remplace´ par 1. De la proposition 3.7 on deduit la decomposition de R en produit de ´ ´ fonctions s pour le reseau V ´ RŽ z . s A

s Ž z y z0 .

Ł s Ž z y w0 . i , u

s Ž z y z0 q i c q u a .

,

s Ž z q ic q u a .

Ž 6.

ou ` Ž i, u. parcourt l’ensemble

 0, 1, . . . , p y 1 4 =  0, 1, . . . , l y 1 4 R  0, 0 4 et A est une constante ` a determiner. Pour cela nous ´ etudions la limite de ´ s Ž z y w 0 . RŽ z . lorsque z ª w 0 . On deduit immediatement des proprietes ´ ´ ´´ des fonctions s et h , w3, IIIx, l’egalite ´ ´ lim s Ž z y w 0 . R Ž z . s AeyŽ w 0 r2.h Ž w 0 .s Ž yz 0 . Ł

zªw 0

s Ž i c q u a y z0 . s Ž ic q u a .

.

Ž 7. On veut maintenant calculer cette limite en revenant ` a la definition de R. ´ Puisque R ne depend pas du choix de la fonction D satisfaisant Ž3.1., ´ nous choisissons D Ž z, w , c . s

s Ž z y w.

py1

Ł s Ž z y pw . is1

s Ž z y w q ic . s Ž z q ic .

.

BAYAD, BLEY, ET CASSOU-NOGUES `

156 On obtient alors

lim s Ž z y w 0 . R Ž z . s lim s Ž z y w 0 .

zªw 0

zªw 0

DŽ z . D Ž l.

,

d’ou ` l’on deduit ´ yŽ p w r2.h Ž p w .

lim s Ž z y w 0 . R Ž z . s e

zªw 0

s Ž yw .

py1

Ł D Ž l . is1

s Ž yw q i c . s Ž ic .

. Ž 8.

La proposition 3.8 est alors une consequence de Ž6., Ž7. et Ž8.. ´ Comme la fonction w de Klein fournit par une specialisation ‘‘conven´ able’’ des entiers algebriques, il est naturel d’exprimer RŽ a , g , w , l. ´ comme produit de fonctions de Klein. On rappelle qu’on definit la fonc´ tion de Klein par:

v1 U v v w z v 1 s 2p ieyŽ1r2. z z s z v 1 h 2 vy1 2 , v2 2 2

ž /

ž / ž /

Im

v1 v2

) 0,

ou ` zU s a1h1 q a2 h 2

avec a1 , a2 g R tels que

z s a1 v 1 q a2 v 2 . De la definition de w et la proposition 3.8, on deduit le resultat suivant: ´ ´ ´ THEOREME ´ ` 3.9. On a l’egalite: ´ ´ 2

2

RŽ z . 2 l p s F Ž z . 2 l p , ou ` py1

FŽ z. s

Ł

is0

=

w Ž l q i c . w Ž yw q i c . w Ž l y w q ic . w Ž ic .

Ł

0FiFpy1 0FuFly1

w Ž i c q u a . w Ž z y z0 q i c q u a . w Ž yz 0 q i c q u a . w Ž z q i c q u a .

.

Par con¨ ention, chaque facteur du produit qui donne w Ž0. est remplace´ par 1.

´ 4. RESOLVANTES LOCALES Nous nous proposons dans ce paragraphe d’introduire l’analogue padique des resolvantes considerees ´ ´ ´ dans le paragraphe 2. La decomposi´

SOMMES ARITHMETIQUES ´

157

tion de ces resolvantes en produits de fonctions theta ´ ˆ qu’on obtient dans le theoreme ´ ` 4.6 est l’analogue p-adique de la proposition 3.8. Soient K une extension finie d’un corps p-adique et K une cloture algebrique de K. On ˆ ´ note ¨ K la valuation discrete ` normalisee ´ de K. On considere ` q un ´element ´ de K de valuation strictement positive. Nos references pour ce paragraphe ´´ sont chap. III, VI et App. I de w1x. On definit la fonction u fondamentale par ´

u Ž w. s Ž1 y w.

w g KU .

Ł Ž 1 y q n w . Ž 1 y q n wy1 . ,

nG1

Pour tout m g Z elle satisfait l’equation ´ m

u Ž q m w . s Ž y1 . qymŽ my1.r2 wymu Ž w . .

Ž 9.

Si n est un entier, n ) 0, on note Ew n x le groupe des points x dans K U rq Z tels que x n s 1. On fixe un entier p, p ) 0 et  w , c 4 une base de Ew p x sur ZrpZ. On considere D de diviseur ` une fonction q-periodique ´ py1

Ž D Ž ?, w , c . . s Ý Ž Ž wc i . y Ž c i . . .

Ž 10 .

is0

Si l’on fixe de representants dans K U de cette base, qu’on note encore ´  w , c 4 , on sait qu’a ` constante multiplicative non nulle pres ` on a l’egalite ´ ´ D Ž z, w , c . s

u Ž z wy1 .

py1

u Ž z wyp .

is1

Ł

i y1 u Ž zc w .

u Ž zc i .

.

Ž 11 .

Soit l un entier, l ) 0 tel que Ž l, p . s 1. On suppose l premier ` a la caracteristique residuelle de K. On fixe une base  a , g 4 de Ew l x sur ZrlZ ´ ´ et l g Ew p 2 x tel que l p s c . D´ EFINITION 4.1. On definit la resolvante ´ ´ RŽ a , g , w , l. s D Ž l , w , c .

y1

ly1

Ý D Ž ga u , w , c . el Ž g , a u . y1 ,

us0

ou ` e l est l’accouplement de Weil sur les points de l-division de K U rq Z. Pour ´ etudier cette quantite R ou ´ on introduit la fonction q-periodique ´ ` R Ž z . s R Ž z, a , g , w , l . s D Ž l , w , c .

y1

ly1

Ý D Ž z a u , w , c . el Ž g , a u . y1 .

us0

De la definition de la fonction R et de Ž9. on deduit ´ ´

BAYAD, BLEY, ET CASSOU-NOGUES `

158

PROPOSITION 4.2. Ži. Soit s Ž resp. t . l’entier defini ´ par w p s q s Ž resp. t. c s q , on a alors: p

R Ž z c . s w tcys R Ž z . . Žii. RŽ z a . s el Ž g , a . RŽ z . . Remarque 4.3. Soit n un entier, n G 1, et q 1r n Žresp. zn . une racine n-ieme ` de q dans K Žresp. primitive n-ieme ` de 1. fixee. ´ Soient x et y des w x de E n respectivements representes ´elements ´ ´ ´ par q a r nznb , q c r nznd. On peut verifier l’egalite ´ ´ ´ suivante w1, Chap. II, lemme 3.1x e n Ž x, y . s znadyb c . C’est une generalisation de w3, lemme 3-18x. ´ ´ On veut factoriser la fonction RŽ z . en produit de fonctions theta. ˆ On introduit pour cela des fonctions auxilliaires. On fixe des representants de ´ la base  a , g 4 de Ew l x qu’on note encore a et g . A tout point non nul de lp-division, z 0 , on associe la fonction Tz 0Ž z . s

u Ž zzy1 0 .

X

p Ł u Ž zzyl . j, i 0

i j u Ž zzy1 0 ca .

u Ž z c ia j .

ou ` le couple Ž j, i . parcourt 0, . . . , l y 14 = 0, . . . , p y 14 R Ž0, 0.4. On fixe z l Žresp. z p . une racine primitive l-ieme ` Žresp. p-ieme ` . de 1 et 1r l Ž 1r p . Ž . q resp. q une racine P-ieme resp. p-ieme de q dans K. On peut ` ` ´ecrire a s q m 1 r zl l m 2 et c s q s1 r pz ps 2 ou ` s1 s t et m1 et m 2 Žresp. s1 et s2 . sont des entiers non tous deux divisibles par l Žresp. p .. D´ EFINITION 4.4. On associe ` a  a , g 4 et  w , c 4 les entiers a s aŽ a , g . et b s bŽ w , c . definis par ´ el Ž g , a . s z la ,

0 F a F l y 1,

w tcys s z pb ,

0 F b F p y 1.

Il existe des entiers a1 et a2 qui satisfont le systeme suivant: ` d’equations ´ ym 2 a1 q m1 a2 ' a Ž a , g . y s2 a1 q s1 a2 ' b Ž w , c .

Ž mod l .

Ž 12 .

Ž mod p . .

Puisque Ž l, p . s 1 on peut choisir une racine primitive lp-ieme ` de 1 et une racine lp-ieme ` de q de fac¸on que

z l pp s z l ,

z l lp s z p ,

Ž q 1r l p .

l

s q 1r p ,

Ž q 1r l p .

p

s q 1r l .

SOMMES ARITHMETIQUES ´

159

On pose z 0 s q a1 r l pz l ap2 ,

a1 , a2 g Z.

PROPOSITION 4.5. Ži. Tz 0Ž z a . s w tcys Tz 0Ž z . Žii. Tz Ž z c . s e l Žg , a .Tz Ž z .. 0 0 Ces ´ egalites immediatement de Ž9. et de la remarque Ž4.3.. ´ se deduisent ´ ´ THEOREME ´ ` 4.6.

La fonction R satisfait l’egalite ´ ´ py1

R Ž z . s l s zya1

i y1 u Ž lc i . u Ž c w .

Ł u Ž lc wi y1 . u Ž c i . i u u Ž c ia u . u Ž zzy1 0 ca . = Ł , y1 i u i u 0FiFpy1 u Ž z 0 c a . u Ž z c a . is0

0FuFly1

ou, ` par con¨ ention, chaque facteur du produit qui donne u Ž1. est remplace´ par 1. On deduit des propositions 4.2 et 4.5 que RrTz 0 est une fonction ´ meromorphe sur K U de valence inferieure ou ´ egale ` a 1 comme fonction de ´ ´ K U rq Za Zc Z . Comme dans le cas complexe on deduit de w1, lemme 3-14x ´ que R s C ? Tz 0 . Pour calculer C on multiplie les deux membres de cette ´ egalite ´ par p. lp u Ž zzyl et on fait tendre z vers z . Le calcul, analogue a celui de la ` 0 0 proposition 3.8, est laisse au lecteur. ´ Remarque 4.7. Il est important pour la suite de notre ´ etude de remarquer qu’on ne change pas la valeur de RŽ a , g , w , l. en remplac¸ant a ou c par tout autre generateur du sous-groupe qu’il engendre dans K U rq Z . ´ ´ On remarque ´ egalement les ´ egalites ´ R Ž a , ga u , wc ¨ , l . s R Ž a , g , w , l .

; u, ¨ g Z.

Ainsi l’etude dans le cas general ´ ´ ´ de la valuation de RŽ a , g , w , l. se ramene des cas consideres ` lorsque l et p seront premiers `a l’etude ´ ´ ´ dans les theoremes 4.8 et 4.9. ´ ` Dans ce paragraphe si x et y g K U on note x ; y si xyy1 est une unite ´ de K U THEOREME ´ ` 4.8. Ži. Soit u un entier tel que 1 F u - p 2 et Ž u, p . s 1. Alors on a R q 1r l , z l , z p , q u r p

ž

2

/ ; Ž1 y z . . p

BAYAD, BLEY, ET CASSOU-NOGUES `

160

Žii. Soient s et u des nombres entiers tels que 1 F s F p y 1, Ž s, p . s 1, 0 F u - p 2 et u ' 0 Žmod p .. Alors on a R q 1r l , z l , q sr p , z p 2 q u r p

ž

2

/ ; M Ž u, s . q

su r p 2yi nf Ž s, u r p.

a¨ ec

¡1

M Ž u, s . s

si u / 0, u / ps,

~ Ž1 y z .

si u s 0,

p

¢Ž1 y z .

y1

si u s ps.

p

On s’interesse maintenant au cas ou ´ ` a est une unite. ´ Si x g Q on note  x 4 sa partie fractionnaire. Enfin on rappelle que l’entier n p et les rationnels b Ž n., g Ž n. et a Ž n, s . sont definis dans l’introduction. ´ THEOREME ´ ` 4.9. Ži. Soient n et u des nombres entiers tels que 1 F n F l y 1, Ž n, 1. s 1, 1 F u - p 2 et Ž u, p . s 1. Alors on a: R zl , q n r l , zp , q u r p

ž

2

/ ; Ž1 y z . q p

b Ž n.

Žii. Soient n, s et u des nombres entiers tels que 1 F n F l y 1, Ž n, l . s 1, 1 F s F p y 1, Ž s, p . s 1, 0 F u - p 2 et u ' 0 Žmod p .. Alors on a: R z l , q n r l , q sr p , z p 2 q u r p

ž

2

/ ; M Ž u, s . q

su r p 2yi nf Ž s, u r p.q a Ž n , s.

ou ` M Ž u, s . est defini ´ dans le theoreme ´ ` 4.8. Les demonstrations de ces theoremes sont donnees ´ ´ ` ´ dans l’appendice. On suppose dorenavant que l et p sont des nombres premiers distincts. ´ D´ EFINITION 4.10. T˜Ž a , g . s pyŽ p

yp 3 .

4

Ł

Ł

Y l gE X w p 2 x wlgEl w p x

R Ž a , g , wl , l .

ou ` EX w p 2 x est l’ensemble des points primitifs de p 2-division de K U rq Z et ElY w p x designe un systeme non nuls de Ew p xr² pl:. ´ ` de representants ´ PROPOSITION 4.11. Ži. Pour tout entier m, 1 F m F l y 1, on a T˜Ž q m r l , z l . ; qyn p ,

SOMMES ARITHMETIQUES ´

Žii.

161

Soit n un entier, 1 F n F l y 1, alors on a T˜Ž z l , q n r l . ; qyn pqŽ p

yp 2 .g Ž n.

3

.

On designe par E1X w p 2 x Žresp. E2X w p 2 x. l’ensemble des l g EX w p 2 x tels ´ p2 u que l s q avec 0 F u F p 2 y 1 et u ' 0 Žmod p . Žresp. u k 0 Žmod p ... On associe ` a cette partition de EX w p 2 x une decomposition de ´ Ž p 4yp 3 . ˜Ž p T a , g . en produit T1 Ž a , g . ? T2 Ž a , g . avec T1 Ž a , g . s

T2 Ž a , g . s

Ł

Ł

R Ž a , g , q sr p , z px2 q u r p .

Ł

Ł

R a , g , z ps , z px2 q u r p .

0Fu-p 1FsFpy1 0Fx-p 2 Ž x , p .s1

0Fu-p 2 1FsFpy1 0Fx-p 2 Ž u , p .s1

2

ž

/

On deduit du theoreme ´ ´ ` 4.8Ži. et Žii. T2 Ž q m r l , z l . ; p Ž p

4

yp 3 .

T1 Ž q m r l , z l . ; q Ž p

2

yp . ¨

ou ` ¨s

Ý 1Fs-p 1Fu-p

ž

s

u p

y inf Ž s, u .

/

on verifie immediatement les ´ egalites ´ ´ ´

Ý 1Fs-p 1Fu-p

Ý 1Fs-p 1Fu-p

s

u p

s

inf Ž s, u . s

p Ž p y 1. 4

2

,

Ž 13 . 1 6

p Ž p y 1. Ž 2 p y 1. ,

Ži.. On d’ou ¨ s ypŽ p y 1.Ž p q 1.r12, ce qui demontre ` l’on deduit ´ ´ Ž . Ž . Ž . Ž . deduit ii du theoreme 4.9 i et ii et de 13 . ´ ´ `

BAYAD, BLEY, ET CASSOU-NOGUES `

162

´ 5. SOMMES ARITHMETIQUES Ce paragraphe contient la demonstration du theoreme ´ ´ ` 1.3. Pour cela on Ž l, pŽ p q 1.. s 1. Il s’agit de fixe deux entiers l et p qui verifient ´ determiner les sommes ´ ly1 py1

ly1

Ý

b Ž n.

Ý Ý a Ž n, s .

et

ns1

ns1 ss1

qui proviennent des valuations des resolvantes RŽ a , g , w , l. dans le cas ´ local. La strategie est d’utiliser d’une part le theoreme ´ de la demonstration ´ ´ ` 3.9 qui est l’analogue complexe du theoreme 4.6 et d’autre part les ´ ` proprietes pour ce paragraphe ´ ´ des fonctions w de Siegel. Notre reference ´´ est w6, chap. 2, paragraphe 4x. Zt q Z. Soit n un Pour t g C, Im t ) 0, nous notons V t le reseau ´ entier, n G 1, on note Sn l’anneau des series formelles de Laurent ´ QŽ zn .ŽŽ qt1r n .. ou de cet anneau on ` qt s e 2 p it . Si f et g sont des ´elements ´ note f ; g lorsque f s gh ou ` h s Ý`ks 0 c k qtk r n avec c k g QŽ zn . ;k G 0 et c 0 / 0. On rappelle les qt-developpements des fonctions w et D: ´ 12

2p i v D 1 s v2 v2

ž / ž /

`

24

qv Ł Ž 1 y qvn . , ns1

qv s e 2 p i v ,

Ž 14 .

ou ` v s v 1rv 2 tel que Im v ) 0. Pour tout a1 , a2 g Q on a:

w Ž a1t q a2 < t1 . s yqtŽ1r2. B 2 Ž a1 . e 2 p i a 2 Ž a1y1 .r2 Ž 1 y qta1 e 2 p i a 2 . `

Ł Ž 1 y qtnq a e 2p i a .Ž 1 y qtnya ey2p i a . 1

2

1

2

Ž 15 .

ns1

ou facilement que ` B2 Ž X . s X 2 y X q 1r6 et qt s e 2 p it . On verifie ´

w 12 n a1t q a2

ž

t t ; w 12 n a1t 1 1

/

ž /

Ž 16 .

pour tout Ž a1 , a2 . g Ž1rn.Z 2 , a1 / 0, n g N. Ži.. On suppose les ´ Demontrons elements a , g , w , c et l respective´ ´ ment representes modulo V par ´ ´ t

as

1 l

,gs

n l

t, ws

1 p

, cs

1 p

t, ls

1 p2

t.

On verifie que dans ce cas l’element z 0 introduit au paragraphe 3 est ´ egal ´ ´´

`a z0 s y

n lp

tq

1 lp

.

SOMMES ARITHMETIQUES ´

163

D’apres ` le theoreme ´ ` Ž3.9. on a 1 n 1 1 R , t, , 2t l l p p

ž

s



py1

Ł

is0

=

12 l p 2

/

w Ž trp 2 q Ž irp . t . w Ž y1rp q Ž irp . t . w Ž trp 2 q Ž irp . t y 1rp . w Ž Ž irp . t . w Ž Ž irp . t q url . =w Ž Ž nrl . t q Ž irp . t q url qŽ nrlp . t y 1rlp .

Ł

w Ž Ž irp . t q url q Ž nrlp . t y 1rlp . =w Ž Ž nrl . t q Ž irp . t q url .

0FiFpy1 0FuFly1

12 l p 2

0 Ž 17 .

On va appliquer plusieurs fois le theoreme ´ ` 4.1 de w6, chap. 2, paragraphe 4x Ž . pour simplifier le produit 17 . On a les resultats suivants qui decoulent ´ ´ immediatement de ce theoreme: ´ ´ `

py1

Ł w 12 l p

2

is1

i

py1

Ł w 12 l p

2

is0

ž

jq

i p

l p2

ž /

 ž/0

t

t s 1

t

2 trp t s w 12 l p j 1 1

ž / p

trp 1 t D 1

D

/

,

Ž 18 .

ž /

Ž 19 .

pour tout j g C R V Ž1r p.t et tel que lp 2j g V t ,

Ł

Ž i , u ./ Ž0, 0 .

Ł

0FiFpy1 0FuFly1

w 12 l p

w 12 l p

2

ž

2

ž

jq

i p i p

trp D 1rl

l p2

ž /

 ž/0

tq

u t s l 1

tq

u t trp 2 s w 12 l p j 1rl l 1

/

/

t D 1

ž /

pour tout j g C R ŽZŽ1rp .t q ZŽ1rl .. et tel que lp 2j g V t .

,

Ž 20 .

Ž 21 .

.

BAYAD, BLEY, ET CASSOU-NOGUES `

164

De Ž16., Ž18., Ž19., Ž20. et Ž21. on obtient: 1 n 1 1 R , t, , 2t l l p p

ž



;

12 l p 2

/ 12 l p 2

trp trp w y1rp w Ž nrl . t q Ž nrlp . t 1rl 1

/ž

ž

trp trp r Ž nrl . t 1rl 1rl

w Ž nrlp . t

ž

=

/ž

/

/

0

l p2

trp D 1rl

ž /

 ž /0

.

trp D 1

l’equivaLes proprietes ´ ´ d’homogeneite ´ ´ des fonctions w permettent d’ecrire ´ ´ lence suivante 1 n 1 1 R , t, , 2t l l p p

ž

;



12 l p 2

/

trp ltrp w y1rp w Ž p q 1 . Ž nrp . t 1 1 ltrp ltrp w Ž nrp . t w nt 1 1

ž

/ž

ž

/ž

12 l p 2

/

/

l p2

trp D 1rl

ž /

0  ž /0 =

trp D 1

En utilisant le qt-developpement ´ `a l’infini Ž14. et Ž15. de w et D on obtient 1 n 1 1 R , t, , 2t l l p p

ž

12 l p 2

; qt12 l p

/

2

d Ž n.ql pŽ ly1.

,

Ž 22 .

ou `

d Ž n. s

l

ž

1

2 p 6l

q B2

ž½

np l

q

n l

5/

y B2

n

ž½ 5/ l

On verifie que 12 lp 2d Ž n. q lpŽ l y 1. s 12 lp 2b Ž n.. ´

y B2

np

ž½ 5// l

.

.

SOMMES ARITHMETIQUES ´

165

Comme Ž p q 1. et p sont premiers avec l l’ensemble des ´ elements ´ Ž p q 1.Ž nrp.t Žresp. Ž nrp.t , resp. nt ., 1 F n F l y 1 constitue un systeme ` de representants non triviaux de V Ž1r p.trV Ž l r p.t . On en deduit que ´ ´ 12 l p 2

ly1

1 n 1 1 Ł R l , l t , p , p2 t ns1

ž

1 trp ;w y p 1

ž

/

12 l p 2 Ž ly1 .

/

l p 2 Ž ly1 .

trp D 1rl

ltrp D 1 trp D 1

ž /

l p2

ž / ž /

 ž /0  0 D

trp 1

.

On utilise maintenant les qt-developpements de w et D. Un calcul ´

nous donne: ´elementaire ´

12 l p 2

ly1

1 n 1 1 Ł R l , l t , p , p2 t ns1

ž

/

; qtl pŽ l

2

y1.

.

Ž 23 .

Le theoreme donc de Ž22. et Ž23.. ´ ` 1.3 Ži. se deduit ´ Demontrons maintenant Žii.. On suppose a , g , w , c et l respective´ ment representes ´ ´ par

as

1 l

,gs

n l

t, ws

s p

t, cs

1 p

, ls

1 p2

.

On verifie que dans ce cas ´ z0 s

z1 lp

t

avec z1 s lsx q pyn

ou lx y py s 1. On considere ` x et y verifient ´ ` la fonction 1 n s 1 R , t, t, 2 l l p p

ž

s

=

Ł



py1

Ł

is0

0FiFpy1 0FuFly1

12 l p 2

/

w Ž 1rp 2 q irp . w Ž y Ž srp . t q irp . w Ž 1rp 2 q irp y Ž srp . t . w Ž irp .

w Ž irp q url . w Ž Ž nrl . t q irp q url y Ž z1rlp . t . w Ž irp q url y z1rlp . w Ž Ž nrl . t q irp q url .

12 l p 2

0

.

Ž 24 .

BAYAD, BLEY, ET CASSOU-NOGUES `

166

Comme dans le cas precedent en appliquant plusieurs fois le theoreme ´´ ´ ` 4.1 de w6, Ž2., paragraphe 4x on obtient: py1

Ł w 12 l p

2

is1

i t s p 1

ž /

py1

Ł w 12 l p

2

is0

ž

D

l p2

t 1rp

ž /

 ž/0

i t 2 t s w 12 l p j 1rp 1 p

jq

,

t 1

D

/

ž

Ž 25 .

/

Ž 26 .

pour tout j g C R ŽZt q ZŽ1rp .. et tel que lp 2j g V t ,

Ł

Ž i , u ./ Ž0, 0 .

Ł

w 12 l p

w 12 l p

2

0FiFpy1 0FuFly1

ž

2

ž

jq

i p i p

D

l p2

t 1rlp

ž /

q

u t s l 1

q

u t 2 t s w 12 l p j 1rlp l 1

/

 ž/0

/

,

t 1

D

ž

Ž 27 .

/

Ž 28 .

pour tout j g C R ŽZt q ZŽ1rlp .. et tel que lp 2j g V t . De Ž16., Ž25., Ž26., Ž27. et Ž28. on deduit: ´ 1 n s 1 R , t, t, 2 l l p p

ž

;

12 l p 2

/ l p2

t D 1rpl

ž / ž / ž ž

 0  D

=

t 1rp

t t w 1rp w Ž nrl . t y Ž z1rlp . t 1rp 1rlp 2

/ž

t t w y Ž z1rlp . t w Ž nrl . t 1rlp 1rlp

/ž

/

12 l p 2

/

0

.

Des qt-developpements de w et D on deduit l’equivalence: ´ ´ ´ 1 n s 1 R , t, t, 2 l l p p

ž

12 l p 2

/

; qt12 l p

2

v Ž n , s.ql p 3 Ž ly1.

Ž 29 .

SOMMES ARITHMETIQUES ´

167

ou `

v Ž n, s . s

lp 2

ž

1 6l

q B2

ž½

n l

z1

y

pl

5/

y B2

z1

n

ž½ 5/ ž // y

pl

y B2

l

et l’on verifie que 12 lp 2v Ž n, s . q lp 3 Ž l y 1. s 12 lp 2a Ž n, s .. ´ On est donc ramene que: ´ `a demontrer ´ 12 l p 2

py1 ly1

Ł

ss1

1 n s 1 Ł R l , l t , p t , p2 ns1

ž

; qtl p

/

3

Ž py1.Ž l 2 y1.

.

On applique de nouveau le theoreme ´ ` 4.1 de w6x. Compte-tenu de l’homogeneite ´ ´ de la fonction w , on trouve: 12 l p 2

py1 ly1

Ł

ss1

1 n s 1 Ł R l , l t , p t , p2 ns1

ž

;

t D 1rlp

/

l p 2 Ž ly1 .Ž py1 .

ž / ž /

lpt D 1 pt D 1

ž / ž / / /

l p 2 Ž py1 .

 0  0 ž ž 0 D

t 1rp

py1 ly1

=

Ł Ł

ss1 ns1

^

lpt w pnt y z1t 1

w yz1t

`

AŽ s .

lpt 1

w

12 l p 2 Ž ly1 .Ž py1 .

1 pt p 1

ž /

12 l p 2

.

_

py 1 Ž . Nous demontrons que Ł ss1 A s ; 1. D’apres de z1 on a: ´ ` la definition ´

ly1

AŽ s . s

Ł

ns1



lpt w n Ž 1 y y . pt y lxst 1

ž

w yynpt y lxst

ž

lpt 1

12 l p 2

/

/ 0

.

Comme lx y py s 1 et Ž l, pŽ p q 1.. s 1, on deduit que Ž l, y . s Ž1 y y, l . ´ Ž . Ž s 1. Par consequent, les elements n 1 y y resp. yyn. parcourent un ´ ´´ systeme de representants non nuls de ZrlZ. On conclut que AŽ s . s 1. ` ´

BAYAD, BLEY, ET CASSOU-NOGUES `

168

On utilise maintenant les qt-developpements de w et D pour demontrer ´ ´ que 12 l p 2

py1 ly1

Ł

ss1

1 n s 1 Ł R l , l t , p t , p2 ns1

ž

; qtl p

/

3

Ž py1.Ž l 2 y1.

,

ce qui termine la demonstration du theoreme ´ ´ ` 1.3.

´ ´ ` 6. DEMONSTRATION DU THEOREME 1.1 On designe par S l’ensemble des ideaux premiers de F pour lesquels la ´ ´ courbe Ž ErF . a mauvaise reduction ou qui divisent l. Pour demontrer le ´ ´ theoreme la valuation des resolvantes T˜Ž P, Q . en ´ ` 1.1 on doit determiner ´ ´ tout ideal en deux parties suivant que ´ premier. Cette ´etude se decompose ´ l’ideal de S . ´ considere ´ ´ releve ` ou ne releve ` pas un ´element ´ A. Etude aux places de bonne reduction ´ On exprime T˜Ž P, Q . comme valeur de fonction modulaire et on utilise le principe du ‘‘q-developpement’’. On fixe un modele ´ ` de Weierstrass de E, defini sur F, associe a un reseau V s Z v q Z v ´ ´` ´ ` t s v 1rv 2 1 2 de C ou g H . Si ` designe la fonction de Weierstrass de V on considere ´ ` l’isomorphisme de varietes complexes: ´´ CrV ¬ E Ž C . z ¬ Ž ` Ž z . , `X Ž z . . z¬0

si z f V

Ž 30 .

si z g V .

Le point M de EŽC. de coordonnees ´ Ž`Ž z ., `X Ž z .. est dit de parametre ` z. Pour tout entier n, n G 1, on identifie via Ž30. les groupes Ew n x et Ž1rn. VrV. Soit a Žresp. g . un parametre ` de P Žresp. Q.. Alors T˜Ž P, Q. s’exprime ` a l’aide des resolvantes introduites en Ž1., paragraphe 3, par ´ l’egalite ´ ´ T˜Ž a , g . s pyŽ p

4

yp 3 .

Ł

Ł

Y l gE X w p 2 x wlgEl w p x

R Ž a , g , wl , l . .

Ž 31 .

Les notations et les choix des ´ elements a , g , w , c , l sont dorenavant ceux ´ ´ precises ´ ´ au paragraphe 3. Nous utilisons le lemme suivant LEMME 6.1. Pour tout couple Ž i, u., 0 F i F p y 1, 0 F u F l y 1, les nombres complexes g y z 0 q i c q u a et yz 0 q i c q u a sont des parametres ` de points de Ew pl x R Ew p x.

SOMMES ARITHMETIQUES ´

169

On rappelle les definitions et les choix du paragraphe 3. ´ On a L s V q Z c , S s L q Z a . En outre c , a , b 1 , b 2 ont ´ ete ´ choisis de maniere ` que: V s Z b 1 q Z Ž pc . , L s Z b 1 q Z c s Z b 2 q Z Ž l a . , S s Z b 2 q Z a .

Ž 32 . Puisque b 2 g L y V on peut ´ ecrire b 2 s ¨ 0 b 1 q u 0 c , avec Ž p, u o . s 1. On deduit facilement des egalites ´ ´ ´ precedentes ´´ V s Z Ž pb 2 . q Z Ž l a . .

Ž 33 .

On a pose ´ z 0 s bu 0

a p

ya

b2 l

,

Ž 34 .

ou ` a et b satisfont e l Ž g , a . s e 2 ip Ž a r l . ,

v V Ž w , c . s e 2 ip Ž b r l . ,

Ž a, l . s Ž b, p . s 1.

Puisque Ž bu 0 , p . s Ž a, l . s 1 on deduit de Ž33. et de Ž34. que z 0 est le ´ parametre ` d’un point primitif de lp-division. Puisque  pŽ b 2rl ., a 4 est une base sur F l de Ew l x on peut ´ ecrire

g s x0

pb 2 l

q y0 a ,

Ž 35 .

ou ` x 0 , y 0 g Z et Ž x 0 , l . s 1. On obtient alors l’egalite ´ ´ e l Žg , a . s e Ž2 ip r l . x 0 , w1, I, proposition 1-3x, d’ou que a ' x 0 Žmod l .. Supposons qu’il ` l’on deduit ´ existe u, 0 F u F l y 1, tel que p Ž g y z0 . y u a ' 0

Ž mod V . .

On deduit de Ž34. et Ž35. que ´

ž

a q x0 p l

/Ž

pb 2 . q

ž

py 0 y bu 0 y u l

/Ž

la . g V ,

i.e., Ž a q x 0 p . ' 0 Žmod l . et Ž py 0 y bu 0 y u. ' 0 Žmod l .. La premiere ` congruence est ´equivalente `a x 0 Ž p q 1. ' 0

Ž mod l . .

Ce qui est impossible puisque Ž l, p . s Ž l, p q 1. s 1. On demontre ainsi ´ w x w x que g y z 0 q i c q u a definit un element de E pl R E p . On demontre ´ ´´ ´ de la meme ˆ maniere ` la propriete ´ ´ souhaitee ´ pour yz 0 q i c q u a .

BAYAD, BLEY, ET CASSOU-NOGUES `

170

On veut maintenant exprimer RŽ a , g , w , l. comme valeur de fonction modulaire. On fixe a Žresp. c, resp. d, resp. r, resp. s, resp. t . appartenant `a Ž1rl .Z 2 Žresp. Ž1rl .Z 2 , resp. Ž1rpl .Z 2 , resp. Ž1rp.Z 2 , resp. Ž1rp.Z 2 , resp. Ž1rp 2 .Z 2 . tels que arv 2 s at Žresp. grv 2 s ct , resp. z 0rv 2 s dt , resp. wrv 2 s rt , resp. crv 2 s st , resp. lrv 2 s tt . ou, ` lorsque x s Ž x 1 , x 2 . g Q 2 on note xt l’element x 1t q x 2 de C. Pour tout x g Q 2 y Z 2 ´´ on definit la fonction w Ž x . par ´ H¬C

v ¬ w xv

ž

v . 1

/

On rappelle la convention w Ž x . s 1 si x g Z 2 . On pose py1

G Ž a, c, r , t . s

Ł

is0

w Ž t q is . w Ž yr q is . w Ž t y r q is . w Ž is .

Ł

w Ž is q ua. w Ž c y d q is q ua.

0FiFpy1 0FuFly1

w Ž yd q is q ua. w Ž c q is q ua.

.

Ž 36 .

Le theoreme ´ ` 3.9 fournit l’egalite ´ ´ R m Ž a , g , w , l . s G m Ž a, c, r , t . Ž t . ,

m s 12 lp 2 .

Ž 37 .

On utilise maintenant la terminologie et les resultats de w6, II, paragraphe ´ x 2 . Si n est un entier, n G 1, on designe par Fn le corps des fonctions ´ modulaires de niveau n dont les coefficients de Fourier aux pointes appartiennent ` a QŽ j n .. On designe par R n la cloture integrale de Zw j x ´ ˆ ´ w x Ž . dans Fn . Le theoreme ´ ` 2.2 de 6, II implique que G a, c, r, t est une unite´ de R l p 2 w1rl, 1rp x. D´ EFINITION 6.2. Soient f et g des ´ elements de Fl p 2 on note f ; g ´ lorsque fgy1 est une unite ´ de R l p 2 w1rl x. PROPOSITION 6.3. On a l’equi ´ ¨ alence py1

G Ž a, c, r , t . ; m

Ł

is0

ž

w Ž t q is . w Ž yr q is . w Ž t y r q is .

m

/

.

On sait grace de ˆ au lemme 6.1 que pour tout couple Ž i, u., les ´elements ´ Ž1rp 2 l .Z 2 , c y d q is q ua, yd q is q ua et c q is q ua sont d’ordre composite ou ´ egal ` a l modulo Z 2 . Le theoreme ´ ` 2.2, de w6, IIx, affirme alors

SOMMES ARITHMETIQUES ´

171

que les fonctions w associees ´ sont des unites ´ de R l p 2 w1rl x. Ce meme ˆ theoreme ´ ` implique py1

w Ž is q ua. ;

Ł

Ł w Ž is . .

is0

0FiFpy1 0FuFly1

Ce qui permet de conclure. Soit E X w p 2 x un systeme de representants dans Ž1rp 2 .Z 2 des points ` ´ 2 2 d’ordre p du groupe ŽQrZ. . Pour tout t g E X w p 2 x on considere ` le quotient du groupe Ž1rp .Z 2rZ 2 par le sous-groupe engendre ´ par l’image de pt. On note EtY w p x un systeme des ´ elements non nuls ` de representants ´ ´ de ce groupe. PROPOSITION 6.4. On a l’equi ´ ¨ alence

Ł X

tg E w p

2x

Ł

Y w t

rg E

px

G m Ž a, c, r , t . ; p mŽ p

yp 3 .

4

.

Designons par F le membre de gauche. La proposition 6.3 nous donne ´ l’equivalence ´ py1

F;

Ł

Ł Ł

Y X tg E w p 2 x rg Et w p x is0

ž

w Ž t q is . w Ž yr q is . w Ž t y r q is .

m

/

.

Ž 38 .

On verifie facilement les ´ egalites ´ ´ py1

Ł

Ł Ł

Y X tg E w p 2 x rg Et w p x is0

py1

w Ž t q is . s ;

Ł Ł w Ž t y r q is . Ž 39.

Ł

Y X tg E w p 2 x rg Et w p x is0 2

Ł

X tg E w p 2 x

w p Ž t. .

Ž 40 .

On deduit de Ž39. et Ž40. ´ py1

F;

Ł Ł w m Ž yr q is . .

Ł

Y X tg E w p 2 x rg Et w p x is0

Ž 41 .

Si E X w p x designe un systeme de representants dans Ž1rp .Z 2 des points ´ ` ´ 2 d’ordre p de ŽQrZ. , on obtient de Ž41. F;

ž

Ł

X ¨ gE w p x

wmŽ¨ .

Ž p 4 yp 3 .

/

.

Ž 42 .

BAYAD, BLEY, ET CASSOU-NOGUES `

172

Pour tout v de H notons V v le reseau Z v q Z. Le theoreme ´ ´ ` 4.1 de w6, IIx nous fournit l’egalite ´ ´

Ł

X ¨ gE w p x

w

12 p

Ž¨. s

ž

D Ž Ž 1rp . V v . D Ž Vv .

p

/

s p12 p .

Ž 43 .

La proposition s’obtient alors ` a partir de Ž41. et Ž42.. PROPOSITION 6.5. T˜Ž P, Q . est une S-unite. ´ Grace ˆ `a Ž37. et la proposition 6.4 on sait qu’il existe une unite´ H de R l p 2 w1rl x telle que T˜ m Ž P , Q . s H Ž t . . Soit P un relevement premier dans N d’un ideal ` ´ premier p de F, p f S . Puisque ¨ p Ž jŽt .. G 0, le principe du q-developpement implique que ´ ¨ P Ž T˜ m Ž P , Q . . s 0.

B. Etude aux places de mau¨ aise reduction ´ Soit p un ideal resduelle t / l, en ´ premier de F, de caracteristique ´ ´ lequel la courbe ErF a mauvaise reduction. On pose rp s y¨ p Ž jŽ E ... On ´ .. rappelle que N s F Ž j l q jy1 l PROPOSITION 6.6. Ži. Si p f R Ž E, P ., on a ¨ P Ž T˜l Ž P , Q . . s yln p rp .

pour tout rele`¨ ement premier P de p dans N. Žii. Si p g R Ž E, P . il existe un rele`¨ ement premier P de p dans N tel qu’on ait ¨ P s ty1 Ž T˜l Ž P , Q . . s lrp

Ž Ž p3 y p2 .g Ž t . y n p . ,

1FtF

ly1 2

.

Les resultats de cette proposition se deduisent de la proposition 4.11 ´ ´ suivant la methode developpee du ´ ´ ´ dans w4, paragraphe V, demonstration ´ theoreme ´ ` 6.1x. Nous la rappelons brievement. On fixe un plongement h de Q dans Q t ` qui par restriction ` a F Žresp. N . definit le premier p Žresp. q .. La courbe ´ ErF devient via h une courbe elliptique sur le corps local Fp . Puisque E possede de E en p est ` un point rationnel sur Fp d’ordre l G 5, la reduction ´ w x necessairement semi-stable, 4, proposition 1.1 . On sait qu’il existe alors ´´

SOMMES ARITHMETIQUES ´

173

un unique ´ element q de FpU , de valuation rp , une extension non ramifiee ´ ´ Ž LrFp ., w L : Fp x F 2 en un isomorphisme defini ´ sur L de Eq , la courbe de Tate associee un isomorphisme de ´ `a q, sur E, w4, paragraphe 1x. On deduit ´ modules galoisiens U

j : Fp rq Z , E Ž Fp . . U

Soit M g EŽFp., on appelle parametre de Fp dont ` de M tout ´element ´ l’image par j de la classe modulo q Z est ´ egale ` a M. Soit a Žresp. g . un parametre ` de P Žresp. Q.. On a h Ž T˜l Ž P , Q . . s T˜l Ž a , g . , ou ` T˜l Ž a , g . est defini ´ au paragraphe 4. Pour tout entier t, 1 F t F Ž l y 1.r2, on a: ¨ q s ty1 Ž T˜l Ž P , Q . . s ¨ q Ž T˜l Ž P , Q .

st

..

Ž 44 .

Puisque st possede s˜t dans GalŽ F Ž Ew l x.rF . tel que ` un relevement ` Q s˜t s P q tQ, on deduit de Ž44., via la proposition 2.4, que ´ ¨ q s ty1 Ž T˜l Ž P , Q . . s ¨ q Ž T˜l Ž P , tQ . . .

Ž 45 .

On suppose que p f R Ž E, P .. Le point P possede ` un parametre ` a de la forme q n r l avec 1 F n F l y 1. Puisque T˜l Ž P, Q . ne depend que du sons-groupe engendre ´ ´ par P, on peut supposer n s 1. Le point Q possede ` un parametre ` de la forme g s q m r l j l . Puisque T˜l Ž P , tQ . s T˜l Ž P , tQ y mtP . , on obtient donc h Ž T˜l Ž P , tQ . . s T˜l Ž q 1r l , j lt . .

Ž 46 .

Le point Ži. de la proposition se deduit donc de Ž45., Ž46. et de la ´ proposition 4.11 Ži.. On suppose que p g R Ž E, P .. Alors P Žresp. Q . possede ` pour parametre ` a s j l Žresp. g s q n r l , 1 F n F l y 1.. Soit m, 1 F m F l y 1, tel que y1 mn ' 1 Žmod l . et P s q s m . On obtient ¨ P Ž T˜l Ž P , Q . . s ¨ q Ž T˜l Ž P , mQ . .

174

BAYAD, BLEY, ET CASSOU-NOGUES `

avec h Ž T˜l Ž P , mQ . . s T˜l Ž j l , q 1r l . . On deduit que pour tout entier t, 1 F t F Ž l y 1.r2, ´ ¨ P s ty1 Ž T˜l Ž P , Q . . s ¨ q Ž T˜l Ž P , mtQ . . ,

Ž 47 .

ou ` hŽT˜l Ž P, mQ.. s T˜l Ž j l , q 1r l .. Le point Žii. de la proposition se deduit ´ donc de Ž47. et de la proposition 4.11 Žii.. Le theoreme des proposition 6.5 et ´ ` 1.1 est donc un corollaire immediat ´ 6.6.

7. ANNULATION DE GROUPES DE CLASSES Comme dans le cas du theoreme ´ ` de Stickelberger classique le theoreme ´ ` 1.1 nous permet d’introduire un sous-quotient du groupe des classes d’ideaux de N annule ´ ´ par lu 2 Ž p .. On rappelle que l est un nombre fixe, ´ l G 5. Le nombre premier p Ž l, pŽ p q 1.. s 1. peut-etre considere comme auxilliaire, il satisfait ˆ ´´ D´ EFINITION 7.1. On appelle l-groupe des classes du corps de nombres L et l’on note ClX Ž L. le quotient du groupe des classes de L par le sous-groupe engendre premiers de l dans ´ par les classes des relevements ` L. Si MrL est une extension de corps de nombres on note ClX Ž MrL. le conoyau de l’homomorphisme induit par l’extension des scalaires de ClX Ž L. dans ClX Ž M .. Soit F tel que F l QŽ j l . s Q. A tout couple Ž E, P . ou ` E est une courbe elliptique definie sur F et P un point rationnel sur F d’ordre l et ` a ´ tout point Q g Ew l x R Z P nous associons l’ideal ´ de N M Ž E, P , Q . s

Ł

pgR Ž E , P .

P rp

Ž 48 .

introduit dans le theoreme ´ ` 1.1. On remarque que cet ideal ´ est independant ´ de p. On deduit de la proposition 2.4 et du paragraphe 6ŽB. les ´ egalites ´ ´ v

M Ž E, P , av P q bv Q . s M Ž E, P , Q . . Pour tout v g GalŽ F Ž Ew l x.rF .. D´ EFINITION 7.2. On designe par E Ž N . Žresp. E Ž NrF .. le sous-groupe ´ de ClX Ž N . Žresp. ClX Ž NrF .. engendre M Ž E, P, Q . ´ par les images des ideaux ´ Ž . associes aux couples E, P rationnels sur F. ´

SOMMES ARITHMETIQUES ´

175

On deduit immediatement du theoreme ´ ´ ´ ` 1.1 THEOREME ´ ` 7.3. Ži. Pour tout nombre premier p, Ž l, pŽ p q 1.. s 1, alors lu 2 Ž p . annule le groupe E Ž NrF .. Žii. On a l’inclusion:

Ž EŽ N ..Ý

Ž ly 1.r 2 2 y 1 t st ts 1

; ClX Ž N . . l

Remarque 7.4. Ž1. On peut noter que le theoreme ´ ` 1.1 fournit parfois un resultat meilleur que celui donne ´ ´ en Ži.. Si la courbe ErF possede ` un modele la classe ` minimal global sur F, l’ideal ´ M Ž E, P, Q. lu 2 Ž p. definit ´ triviale dans ClX Ž N .. Si en outre les relevements premiers de l dans N ` sont principaux, alors l’ideal ´ M Ž E, P, Q. lu 2 Ž p. est principal. Ž2. Il faut noter que pour un corps de nombres F la ‘‘boundness conjecture’’1 affirme qu’il n’existe qu’un nombre fini de nombres premiers l pour lesquels il existe des couples Ž E, P . rationnels sur F. La liste de ces nombres premiers l est connue lorsque F s Q grace ˆ `a Mazur et lorsque FrQ est un corps quadratique grace ˆ `a Kamieny. Nous terminons ce paragraphe par des exemples. Nous donnons en particulier une methode qui permet de determiner explicitement, ` a conju´ ´ gaison pres, M Ž E, P, Q .. ` les ideaux ´ Le couple Ž E, P . est defini sur le corps de nombres F. Soit p un ideal ´ ´ premier de F de caracteristique residuelle k premiere ´ ´ ` `a 6 l. On suppose que ¨ p Ž j Ž E . . s yrp ,

1 F rp - l.

On sait que p g R Ž E, P ., w4, paragraphe 1x. Soit Q g Ew l x R Z P. Nous nous proposons de determiner le relevement premier de p dans N qui ´ ` apparait dans l’egalite de p’’. ´ ´ Ž48.. On dira qu’il s’agit du ‘‘bon relevement ` On fixe un plongement h de Q dans Q k dont la restriction ` a F definit p. ´ On note P le relevement de p dans N defini ` ´ par h. Si L est un sous-corps de Q on designe par LX l’adherence de hŽ L. dans Q k . ´ ´ On suppose la courbe E donnee ´ sur F par une ´equation de Tate Y 2 q XY s X 3 q a4 X q a6 ,

a 4 , a6 g F ,

Ž 49 .

et l’on suppose que Ž49. definit via h un modele ´ ` minimal de ErF X . Puisque X ErF est de mauvaise reduction multiplicative on sait associer ` a jŽ E . un ´ unique ´ element q de F X de valuation rp tel que ´ jŽ E . s 1

1 q

q 744 q 196884 q q ??? .

La ‘‘boundness conjecture’’ a ´ ete par Merel. ´ demontree ´ ´ recemment ´

176

BAYAD, BLEY, ET CASSOU-NOGUES `

On pose aX4 s y5

n3q n

Ý Ž1 y qn. ,

nG1

aX6

sy

1 12

Ý nG1

Ž 7n5 q 5n3 . q n . Ž1 y qn.

Ž 50 .

On considere ` la courbe Eq d’equation ´ Y 2 q XY s X 3 q aX4 X q aX6 .

Ž 51 .

Il existe un isomorphisme de module galoisien U

u : Q k ¬ Eq Ž Q k . z ¬ Ž X X Ž z . , Y X Ž z . , 1. , zª0

si z f q Z ,

si z g q Z ,

ou ` XXŽ z. s

qnz

Ý ngZ

YXŽ z. s

Ž1 y qnz .

2

Ý

Ž1 y qnz .

nq n

Ý Ž1 y qn. ,

nF1

q2nz2 ngZ

y2

3

q

nq n

Ž 52 .

Ý Ž1 y qn. ,

nG1

w8, appendice C, paragraphe 14x. On sait en outre qu’il existe un isomorphisme w de Eq sur E, d’equation ´ Ž49., defini sur une extension F YrF X non ramifie ´ ´ ou ` w F Y : F X x F 2. Cet isomorphisme est explicitement donne ´ par X s ¨ 2XX q r, Y s ¨ 3 Y X q s¨ 2 X X q t ,

Ž 53 .

ou ` r, s, t et ¨ g F Y et satisfont ¨ s 1 q 2 s,

0 s ys y s 2 q 3r , 0 s r q 2t,

Ž 54 .

X ¨ 4 a4

s a4 y Ž t q rs . q 3r y 2 st ,

X ¨ 6 a6

s a6 q ra4 q r 3 y rt y t 2 .

2

SOMMES ARITHMETIQUES ´

177

Puisque les modeles ` sont minimaux ¨ est une unite, ´ puisque Ž k, 6. s 1, on deduit de Ž54. que r, s et t sont des entiers. Soit pX l’ideal ´ ´ de valuation de F X . On deduit de Ž50. que ´ aX4 ' aX6 ' 0

Ž mod pX . .

Il existe en outre n 4 et n 6 g OF tels que a4 ' n 4 Ž mod pX . ,

a6 ' n 6 Ž mod pX . .

On deduit facilement de Ž54., les congruences ´ 3r 2 q r q 3

r2 4

r 2

Ž mod pX . ,

q n4 ' 0

Ž 55 . X

q n 4 r q n6 ' 0

Ž mod p . .

Ces congruences nous permettent la determination explicite de x p g OF ´ tel que r ' xp

Ž mod pX . .

Ž 56 .

Il est caracterise ´ ´ modulo p par la relation

ž

2 3

n4 y

1 72

xp '

/ ž

n4 36

y n6

Ž mod pX . .

/

Ž 57 .

On rappelle maintenant les conventions du paragraphe 6. On pose j s w ou . On dit que M g EŽQ k . est de parametre ` z en h si l’on a M s j Ž z mod q Z . . LEMME 7.5. On suppose que Q Ž resp. P . est de parametre ` q n r l Ž resp. j l . en h. Alors on a ¨P

ž

Ł Ž X Ž Q q kP . y x p .

0FkFly1

/ s r inf Ž n, l y n. . p

On identifie dans la demonstration tout ´ element de Q et son image par ´ ´ h. On deduit de Ž52. ´ X X Ž Q q kP . ; q inf Ž n r l , 1yn r l . ,

0 F k F l y 1,

d’ou, ` puisque ¨ est une unite, ´ X Ž Q q kP . y r ; q inf Ž n r l , 1yn r l . .

BAYAD, BLEY, ET CASSOU-NOGUES `

178

Puisque, 1 F rp - l et que F X Ž q 1r l .rF X est totalement ramifee ´ on conclut que X Ž Q q kP . y x p ; q inf Ž n r l , 1yn r l . ,

0 F k F l y 1,

d’ou le lemme. ` l’on deduit ´ On peut maintenant conclure. Soit Ž E, P . definie sur F, Q g Ew l x R Z P ´ et p g R Ž E, P . tel que 1 F rp - l. Ž1. On cherche une ´ equation de Tate de ErF minimale en p. Ž2. On determine x p g OF par la congruence Ž57.. ´ Ž3. On determine le polynome ´ ˆ minimal P ŽT . de X Ž Q. sur N. C’est un polynome ˆ de degre´ l. On pose RŽ T . s P ŽT q xp . . Alors le bon relevement de p est le relevement P tel que ` ` ¨ P Ž R Ž 0 . . s rp .

Pour finir ce paragraphe nous appliquons cette methode dans le cas ou ´ ` l s 5. Soient FrQ un corps de nombres non ramifie en 5 et N s F Ž'5 .. ´ On a le lemme suivant LEMME 7.6. Soit u g F tel que Ž u y 1.Ž u 2 q 9u y 11. / 0. Alors la courbe Eu d’equation ´ Eu : y 2 q uxy q Ž u y 1 . y s x 3 q Ž u y 1 . x 2 est une courbe elliptique et P s Ž0, 0. est un point d’ordre 5 de Eu . En outre le discriminant de Eu est donne´ par 5

D Ž u . s Ž 1 y u . Ž u 2 q 9u y 11 . . On suppose dorenavant que u g OF et que Eu est un modele ´ ` minimal sur F. On note que c’est toujours le cas si F s Q et que c’est souvent le cas si F est une extension quadratique de Q. On pose pŽ u. s u 2 q 9u y 11. On deduit immediatement de l’equation ´ ´ ´ Ž . de Eu que les ´ elements de R E , P sont les facteurs premiers dans F de ´ u Ž pŽ u... Le theoreme ´ ` 1.1 devient alors:

SOMMES ARITHMETIQUES ´

179

THEOREME ´ ` 7.7. Tout di¨ iseur premier p de Ž pŽ u.. possede ` dans N un rele`¨ ement premier P tel qu’on ait

ž T˜ Ž P , Q . / D Ž u . 5 p

5n p

'

ž

Ł

p < pŽ u.

P rp

5u Ž p .

/

Ž mod 5 . .

On sait que l’ideal ´ M Ž Eu , P, Q. est independant, ´ `a conjugaison pres ` par un ´ element du groupe de Galois de Ž F Ž j 5 .rF ., du choix de Q. On note ´ M Ž u. l’un quelconque de ces ideaux. On montre maintenant comment la ´ methode precedemment decrite permet de determiner explicitement M Ž u.. ´ ´´ ´ ´ On pose S5 s  x Ž R . , R g E w 5 x R  O 4 4 . On sait que x Ž P . s 0 et x Ž2 P . s 1 y u appartiennent ` a S5 . On definit ´ 5f ŽT . s 5

Ł Ž T y a. rT Ž T y 1 q u . .

agS 5

On obtient 5 f Ž T . s 5 x 10 q Ž 5u 2 q 15u y 15 . x 9 q Ž u 4 q 3u 3 q 29u 2 y 33u q 1 . x 8 q Ž yu 5 q 8u 4 q 4 u 3 q 77u 2 y 184u q 96 . x 7 q Ž u 6 y 9u 5 q 49u 4 q 122 u 3 y 549u 2 q 575u y 189 . x 6 q Ž yu7 q 10u 6 q 32 u 5 q 47u 4 y 589u 3 q1036u 2 y 706u q 171 . x 5 q Ž u 8 q 4 u7 q 38u 6 y 75u 5 y 279u 4 q 910u 3 y988u 2 q 473u y 84 . x 4 q Ž 5u 8 q 10u7 y 30 u 6 y 185u 5 q 675u 4 y 880u 3 q540u 2 y 145u q 10 . x 3

BAYAD, BLEY, ET CASSOU-NOGUES `

180

q Ž 10u 8 y 15u7 y 95u 6 q 325u 5 y 375u 4 q 115u 3 q115u 2 y 105u q 25 . x 2 q Ž 10u 8 y 50 u7 q 70 u 6 q 70 u 5 y 350u 4 q 490u 3 y350u 2 q 130u y 20 . x q Ž 5u 8 y 40u7 q 140u 6 y 280u 5 q 350u 4 y 280u 3 q140u 2 y 40 u q 5 . . En examinant l’action de GalŽ F Ž Ew5x.rN . sur S5 on verifie que f ŽT . se ´ Ž . Ž decompose en produit de 2 polynomes irreductibles f 1 T f 2 T . de N w T x. ´ ˆ ´ En effectuant le changement de variables Xq

1 12

sxq

Ž u2 q 4 u y 4. 12

,

Ž 58 .

2Y q X s 2 y q ux q Ž u y 1 . , on obtient une ´ equation de Tate de la courbe Eu Y 2 q XY s X 3 q a4 Ž u . X q a6 Ž u . , ou ` a4 Ž u . s a6 Ž u . s

Ž u y 1. 48

Ž u y 1. 1728

Ž yu 3 y 9u 2 q 7u q 15 . , Ž 59 . Ž 2 u 5 q 26 u 4 q 23u 3 y 281u 2 q 487u y 257. .

Le polynome P ŽT . s f 1ŽT y Ž1r12. u 2 y Ž1r3. u q 5r12. est le polynome ˆ ˆ minimal de X Ž Q . ou ` Q g Ew5x R Z P. Si p est un facteur de Ž pŽ u.., on utilise Ž59. pour determiner x p . Le bon ´ relevement premier P de p dans N est caracterise par l’egalite ` ´ ´ ´ ´ ¨ P Ž P Ž x p . . s rp .

Le tableau I regroupe les exemples traites ´ avec le systeme ` Pari. Le corps F est quadratique imaginaire, F s QŽ'y d . ou ` d est un entier strictement positif sans facteur carre. ´ On pose w s 'y d Žresp. Ž1 q 'y d .r2. si d ' 1 ou 2 Žmod 4. Žresp. d ' 3 Žmod 4...

SOMMES ARITHMETIQUES ´

181

Lorsqu’un ideal ´ premier de OF est note´ p, Ž x, y . , cela signifie qu’il est ´ egal ` a pOF q Ž x q yw . OF . On note N le corps F Ž'5 . et h N son nombre de classes. On fixe un primitif y de NrQ et l’on note g ŽT . son polynome ´element ´ ˆ minimal sur Q. Les lignes w et b contiennent respectivement la decomposition de w ´ et d’une Z-base de ON , Ž v 0 , v 1 , v 2 , v 3 ., sur la base de puissances  1, y, y 2 , y 34 . On note w p, Ž a0 , a1 , a2 , a3 .x l’ideal ´ premier de ON 3

pON q a ON ,

as

Ý ak v k . ks0

Le systeme Pari fournit une famille de generateurs x 1 , x 2 , . . . , x m du ` ´ ´ groupe des classes Cl Ž N . de N. Nous avons fait suivre chaque facteur premier P de M Ž u. d’une suite d’entiers n1 , . . . , n m qui traduit l’egalite ´ ´ x s x 1n1 . . . x mn m ou ` x la classe de P dans Cl Ž N .. Enfin la ligne x p contient un representant ´ modulo p de l’element considere ´´ ´ ´ en Ž57.. Remarque 7.8. Ž1. Il est ` a noter que dans les exemples traites ´ M Ž u. est principal. Il serait interessant d’exhiber un tel ideal ´´ ´ non principal. C’est certainement difficile. En effet on remarque que le polynome pŽT . s T 2 q 9T y ˆ 11 ´ etant totalement decompose ´ ´ dans QŽ'5 . si l’on a Ž pŽ u.. s Ł p r p dans OF il existe toujours un produit

ŁPr

p

P
qui est principal dans ON . Ainsi si Ž pŽ u.. est la puissance d’un ideal ´ premier M Ž u. est principal. On sait en outre, w4, paragraphe 6x, que M Ž u. est d’ordre premier ` a l pour l - 11. Ž2. Dans les exemples consideres ´ ´ Eu est une ´equation minimale de Weierstrass. La connaissance de la factorisation de Ž u y 1., Ž pŽ u.. et M Ž u. en ideaux premiers rend explicite le theoreme ´ ´ ` 7.3.

182

BAYAD, BLEY, ET CASSOU-NOGUES `

SOMMES ARITHMETIQUES ´

183

8. APPENDICE 1 Les hypotheses ` sont celles du paragraphe 4. On rappelle que le corps est de caracteristique residuelle differente de l. Le theoreme ´ ´ ´ ´ ` 4.6 nous donne l’egalite ´ ´ R Ž a , g , w , l. s AŽ w , l. B Ž a , g , w , c . , ou ` i y1 py1 u Ž lc i . u Ž c w . AŽ w , l. s l s Ł , i y1 i .u Žc . is0 u Ž lc w et ya1

BŽ a , g , w , c . s g

i u u Ž c ia u . u Ž g zy1 0 ca .

Ł

0FiFpy1 0FuFly1

i u i u u Ž zy1 0 c a . u Ž gc a .

,

ou ` le choix de z 0 et des entiers a1 et a2 est donne´ dans le paragraphe 4. Pour demontrer les theoremes 4.8 et 4.9 nous allons determiner les ´ ´ ` ´ valuations de AŽ w , l. et B Ž a , g , w , c . suivant les differents choix de a , g, ´ w , c et l. LEMME 8.1. Ži. AŽ z p , q u r p . ; Ž1 y z p . si 1 F u - p 2 et Ž u, p . s 1. 2 2 Žii. AŽ q sr p , z p 2 q u r p . ; Ž1rp . M Ž u, s . q su r p yi nf Ž s, u r p. si 0 F u - p 2 et u ' 0 Žmod p .. 2

de la definition de u Puisque dans le cas Ži., w est une unite ´ on deduit ´ ´ i y1 u Ž lc i . ; u Ž lc w ., i y1 u Žc w . ; u Žc i.,

0 F i F p y 1,

1 F i F p y 1,

u Ž wy1 . ; Ž 1 y z p . , Ži.. On suppose maintenant que c est une racine ce qui demontre ´ primitive p-ieme ` de 1, c s z p . On obtient alors

u Ž lc i . ;

½Ž

1 y zp 2 . ,

si u s 0,

i y1 u Žc w . ; u Ž wy1 . ; qys r p ,

u Ž c i . ; Ž1 y zp . , i y1 u Ž lc w . ; u Ž lwy1

0 F i F p y 1.

si u ) 0,

1,

si 0 F i F p y 1.

si 1 F i F p y 1.

¡1, . ;~ Ž 1 y z ¢q

.,

si u s ps,

u r p ysr p

si u - ps.

2

On en deduit l’equivalence de Žii.. ´ ´

si u ) ps, p2

,

BAYAD, BLEY, ET CASSOU-NOGUES `

184 LEMME 8.2.

Si g est une unite´ alors BŽ a , g , w , c . ;

½

si w est une unite, ´ si c est une unite. ´

1, p,

Puisque g est une unite, ´ on choisit z l s g et on se rameme ` `a a s q 1r l. 1r p Ž Si w est Žresp. n’est pas. une unite, on choisit w s z , resp. ´ p csq sr p Ž . Ž . les w s q , c s z p .. Ces choix ´ etant faits on deduit de 4.3 et 4.4 ´ egalites ´ ´ a Ž q 1r l , z l . s l y 1,

b Ž z p , q 1r p . s 1,

b Ž q sr p , z p . s p y s.

Puisque m1 s 1 et m 2 s 0, le systeme ` Ž12. devient a2 ' y1 a2 ' 1

Ž mod l . Ž mod p . Ž resp. a1 ' s y p Ž mod p . . ,

si w est Žresp. n’est pas. une unite. ´ Dans le premier cas on choisit a1 s 0, a2 s lx q py ou lx y py s 1. Dans le second cas on prend ` Ž x, y . verifient ´ 2 a1 s s, a2 s y1. On traite le cas ou ` w s j p et c s q 1r p , l s q u r p avec Ž u, p . s 1. On obtient

u Ž c ia u . ; u Ž gc ia u .

si Ž i , u . / Ž 0, 0 . ,

u Ž g . ; 1. Puisque z 0 s z pxz l y , alors i u y1 i u i u u Ž g zy1 0 c a . ; u Ž z0 c a . ; u Ž c a .

si Ž i , u . / Ž 0, 0 . .

En outre yx yy u Ž zy1 0 . ; 1 y zp zl ,

yx 1y y u Ž g zy1 . 0 . ; 1 y zp zl

On deduit de la definition de x et y et du fait que Ž l, p q 1. s 1, que x et ´ ´ . ; 1 ; u Žg zy1 .. On y sont non nuls et y k 1 Žmod l .. On a donc u Ž zy1 0 0 deduit des ´ equivalences precedentes que ´ ´´ BŽ a , g , w , c . ; 1 dans ce cas. On suppose maintenant que w s q sr p et c s z p . On sait qu’alors Ž i u . ; u Žgc ia u .. En outre u Ž c i . ; z 0 s q sr l pzy1 l p . Si u / 0, on a u c a i Ž1 y z p ., 1 F i F p y 1 et u Žgc . ; 1, 0 F i F p y 1. Comme dans le cas precedent ´´ i u y1 i u u Ž g zy1 0 c a . ; u Ž z0 c a .

On conclut que B Ž a , g , w , c . ; Ž1 y z p

. py 1

pour tout Ž i , u . . ; p.

SOMMES ARITHMETIQUES ´

185

Nous nous proposons de traiter maintenant le cas ou ` a est une unite. ´ Nous posons

g s qnrl,

a s zl ,

1 F n - l.

On determine les entiers a1 et a2 dans les deux cas que nous avons ` a ´ ´etudier. Si w est une unite´ on choisit w s z p et c s q 1r p. Ainsi a1 et a2 satisfont ya1 ' n

Ž mod l . ,

a2 ' 1

Ž mod p . .

On choisit donc a1 s yn, a2 s 1 et z 0 s qyn r l pz l p . Si w n’est pas une unite, ´ on a w s q sr p et c s z p . Le systeme ` Ž12. devient ya1 ' n

Ž mod l .

a1 ' s

Ž mod p . .

On choisit alors a1 s lsx q pyn avec lx y py s 1 et a2 s 0. On pose a s lsx q pyn et l’on a z 0 s q a r l p. LEMME 8.3.

B Ž z l , q n r l , z p , q 1r p . ; q b Ž n..

On verifie immediatement les ´ equivalences suivantes: u Ž c ia u . ; 1, pour ´ ´ Ž . tout couple i, u . En outre puisque il n’existe pas d’entier i, 0 F i F p y 1 tel que nrl q irp q nrlp ou nrl q irp soient entiers, on obtient u i n r lqi r pqn r l p u Ž g zy1 ., 0 a c . ; uŽq

u Ž ga uc i . ; u Ž q n r lqi r p . ,

0 F u F l y 1,

0 F u F l y 1,

u i n r l pqi r p u Ž zy1 ., 0 a c . ; uŽq

0 F u F l y 1.

On en deduit que ´

u Ž q n r lqi r pqn r l p .

py1

B Ž zl , q

nrl

, zp , q

1r p

. ;q

n2 r l

Ł

is0

ž

u Ž q n r lqi r p .

l

/

.

Soit i 0 le plus petit entier, 0 F i 0 F p y 1, tel que nrl q i 0rp q nrlp G 1. Puisque 1 F n F l y 1 on a les inegalites ´ ´ n l

q

i0 y 1 p

-

n l

q

i0 y 1 p

q

n lp

-1F

n l

q

n lp

q

i0 p

-

n l

q

i0 q 1 p

.

BAYAD, BLEY, ET CASSOU-NOGUES `

186

On en deduit grace ´ ˆ `a Ž9. les ´equivalences

u Ž q n r lqi r pqn r l p .

py1

Ł

u Ž q n r lqi r p .

is0

;q

Žyn r l p.Ž pyi 0 y1.

¡q ~ ; ¢q

u Ž q n r lqi 0 r pqn r l p . u Ž q n r lqi 0 r p .

Ž n r l .Ž i 0 r py1.yŽ n r lqi 0 r py1. Ž n r l .Ž i 0 r py1.

,

n

si

,

q

l

i0

- 1,

p

sinon.

On interprete ` i 0 comme l’entier p y w nprl q nrl x, ou ` l’on note w x x la partie entiere alors l’egalite ` du rationnel x. On verifie ´ ´ ´ n l

q

i0 p

1

y1s

p

np

n

½½ 5 ½ 55

y

) 0,

si

l

q

l

n

1 p

½ 5 l

.

Ainsi

¡1

n l

q

i0 p

y1s

~

p 1

¢p

np

½ 5 ž½ 5 / l np l

y 1 - 0,

np

½ 5 l

q

n l

- 1,

sinon.

On conclut que py1

q

n2 r l

Ý is0

ž

¡ ¢q

q ;~

u Ž q n r lqi r pqn r l p . u Ž q n r lqi r p . Ž n r p. n p r l4

l

/

,

Ž n r p. n p r l4qŽ l r p.Ž1yn r lyn p r l4.

si ,

Ce qui acheve du lemme. ` la demonstration ´ LEMME 8.4.

B Ž z l , q n r l , q sr p , z p . ; pq a Ž n, s..

np

½ 5

l sinon.

q

n l

- 1,

SOMMES ARITHMETIQUES ´

187

Si Ž i, u. / Ž0, 0. on a l’equivalence ´

u Ž z pi z l u . ; Ž 1 y z pi z l u . ,

Ł

0FiFpy1 0FuFly1

u Ž z pi z l u . ; p.

Puisque 0 - n F l y 1 et que arlp et nrl y arlp ne sont pas entiers on obtient que

u Ž q n r zl pi z l u . ; 1,

;Ž i , u. ,

u Ž q n r lya r l pz pi z l u . ; u Ž q n r lya r l p . , u Ž qya r l pz pi z l u . ; u Ž qya r l p . ,

;Ž i , u. , ;Ž i , u. .

On ´ ecrit que arlp s w arlp x q  arlp4 et l’on utilise Ž9. pour montrer que

u Ž q n r lya r l pz pi z l u . u Ž qya r l pz pi z l u .

; q Ž n r l .w a r l px ?

u Ž q n r lya r l p4 . u Ž qya r l p .

,

;Ž i , u. .

Puisque 0 -  arlp4 - 1, y1 - nrl y  arlp4 - 1 et nrl /  arlp4 , on obtient

u Ž qy a r l p4 . ; qy a r l p4 , u Ž q n r lya r l p4 . ;

½

q n r lya r l p4 , 1,

si nrl -  arlp4 , sinon.

On conclut que

Ł

0FiFpy1 0FuFly1

i u u Ž c ia u . u Ž zzy1 0 ca . i u i u u Ž zy1 0 c a . u Ž gc a .

; pq l pŽŽ n r l .w a r l pxqinf Ž n r l , a r l p4.. .

Puisque gya 1 s qyn Ž a r l ., on obtient l’equivalence souhaitee. ´ ´ Les theoremes 4.8 et 4.9 se deduisent maintenant immediatement des ´ ` ´ ´ lemmes precedents. Plus precisemment on applique les lemmes 8.3 et 8.4 ´´ ´ pour demontrer le theoreme ´ ´ ` 4.9.

9. APPENDICE 2 Les theoremes 1.1 et 1.2 ont ´ ete ´ ` ´ demontres ´ ´ pour tout couple de nombres premiers l et p tels que l G 5 et Ž l, pŽ p q 1.. s 1. Le but de cet

BAYAD, BLEY, ET CASSOU-NOGUES `

188

appendice est de demontrer que si l’on suppose p ' 1 Žmod l . l’element ´ ´´ u 2 Ž p . prends alors une forme tres ` simple. Puisque, comme nous l’avons deja pas du choix de p, ´ ` remarque, ´ le groupe de classe E Ž NrF . ne depend ´ nous utilisons la simplification precedente pour obtenir un annulateur plus ´´ simple du m-sous-groupe de Sylow de E Ž NrF . pour m / l et m ) 3. THEOREME ´ ` 9.1. l’egalite ´ ´

Pour tout nombre premier p, tel que p ' 1 Žmod l ., on a 6np

u2 Ž p. s

l

Ž ly1 .r2

Ý Ž tl y t 2 . sy1 t .

ts1

Si m est un nombre premier on note E Ž NrF . m le m-sous-groupe de Sylow de E Ž NrF .. ly1.r2 Ž COROLLAIRE 9.2. L’element ÝŽts1 tl y t 2 . sy1 annule le groupe ´´ t E Ž NrF . m pour tout nombre premier m, m ) 3 et m / l. ly1.r2 Ž Remarque 9.3. Si l s 5 on note l’egalite tl y t 2 . sy1 s 4Ž s 1 q ´ ´ ÝŽts1 t s 2 . q 2 s 2 . Puisque la norme de NrF annule E Ž NrF . on deduit, compte ´ tenu de la remarque 7.8, que

E Ž NrF . m s  1 4

si m / 2 et 3.

Demonstration du theoreme sont ´ ´ ` 9.1 et du corollaire 9.2. Les methodes ´ celles du paragraphe 5. On suppose dorenavant la congruence p ' 1 ´ Žmod l .. Compte tenu de la definition de u 2 Ž p ., donnee ´ ´ au paragraphe 1, il suffit de montrer l’egalite: ´ ´

g Ž t. s

Ž p 2 y 1. 2l

Ž tl y t 2 . ,

ly1

1FtF

2

.

Ž 60 .

On deduit de la definition les ´ egalites ´ ´ ´ py1

g Ž t . s Ž p2 y p. b Ž t . q

Ý a Ž t, s. ss1

avec

b Ž t. s

l p

ž

t2 l

2

q inf 0, 1 y

ž

2t l

//

.

Ž 61 .

On verifie immediatement que Ž60. se deduit de Ž61. et du lemme suivant ´ ´ ´ que nous allons demontrer. ´

SOMMES ARITHMETIQUES ´

189

Pour tout entier t, 1 F t F Ž l y 1.r2 on a l’egalite: ´ ´

LEMME 9.4.

l Ž p y 1.

py1

Ý

a Ž t, s. s

ž

2

ss1

t l

t2

Ž p q 1. y

l2

Ž p q 3.

1 y 2t

y l Ž p y 1 . inf 0, 1 y

ž

l

/

/

.

On utilise les notations et les resultats du paragraphe 5. On a les ´

´equivalences: 1 t s 1 R , t, t, 2 l l p p

ž

12 l p 2

/

; qt12 l p

=



2

t D 1rpl

l p2

ž / ž / ž / žŽ ž /ž

a Ž t , s.

;

 0 D

t 1rp

pt w 1rp w 1

lpt tp y z1 . t 1

lpt lpt w ptt w yz1t 1 1

/

12 l p 2

/

0

,

Ž 62 . ou ` z1 s lsx q pyt et lx y py s 1. Puisque p ' 1 Žmod l . on peut choisir y s y1. On utilise le theoreme ´ ` 4.1 de w6x pour montrer l’egalite ´ ´

py1

w 12 l p

Ł

ss1

w

2

lpt Ž tp y z1 . t 1

ž

12 l p 2

ž

lpt Ž yz1 . t 1

/

s

/

lpt lt w 2 tpt w tpt 1 1

/ž

ž

ž

lpt lt w 2 tpt w tpt 1 1

12 l p 2

/

/ž /

0

.

On note H Žt . cette expression. On obtient alors py1

Ł

ss1

1 t s 1 R , t, t, 2 l l p p

ž

;

t D 1rpl

ž / ž /

12 l p 2

/

l p 2 Ž py1 .

pt w 1rp 1

ž ž

12 l p 2 Ž py1 .

/ /

 0  0 t D 1rp

lpt w ptt 1

H Žt . .

Ž 63 .

190

BAYAD, BLEY, ET CASSOU-NOGUES `

Ž63. est On sait par Ž62. que le membre de gauche de l’equivalence ´

´equivalent `a qt12 l p

2

py 1 Ý ss 1 a Ž t , s.

.

On determine par un calcul ´ elementaire, ´ ´ `a partir de Ž14. et Ž15., un ´equivalent du membre de droite de Ž63.. C’est la comparaison de ces ´equivalents qui fournit l’egalite ´ ´ du lemme 9.4 et acheve ` la demonstration ´ du theoreme. ´ `

ly1.r2 Ž On pose u s ÝŽts1 tl y t 2 . sy1 t . Soit m un nombre premier. On sait que pour tout nombre premier p, p ' 1 Žmod l ., alors Ž6 n prl .u annule E Ž NrF . m . Si m ) 3 et m / l il existe un nombre premier p, tel que p ' 1 Žmod l . et p k 0, " 1 Žmod m.. On en deduit que Ž6 n prl, m. s 1 et ´ que par consequent u annule E Ž NrF . m , ce qui demontre le corollaire. ´ ´

´ ´ REFERENCES 1. A. Bayad, ‘‘Resolvantes elliptiques et ´ elements de Stickelberger,’’ Pub.ecole doctorale de ´ ´ ´ mathematiques de Bordeaux I, 1992. ´ 2. J. Brinkhuis, Gauss sums and their prime factorization, Enseign. Math. 36 Ž1990., 39]51. 3. Ph. Cassou-Nogues ` et M. J. Taylor, Elliptic functions and rings of integers, in ‘‘Prog. Math.,’’ Vol. 66, Birkhauser, BaselrStuttgartrBoston, 1987. ¨ 4. Ph. Cassou-Nogues de Stickelberger quadratique, J. Number ` et M. J. Taylor, Un ´element ´ Theory Ž 3 . 37 Ž1991., 307]342. 5. Shih-Ping Chan, Modular functions, elliptic functions and Galois module structure, J. Reine Angew. Math. Ž1987., 67]82. 6. D. S. Kubert et S. Lang, Modular units, in ‘‘Grundlehren Math. Wiss.,’’ Vol. 244, Springer-Verlag, New YorkrBerlin, 1981. 7. R. Schertz, Galoismodulstruktur und Elliptische Funktionen, J. Number Theory 39 Ž1991., 285]326. 8. J. H. Silverman, The arithmetic of elliptic curves, in ‘‘Graduate Texts in Mathematics,’’ Vol. 106, Springer-Verlag, New YorkrBerlin, 1986. 9. L. Washington, Introduction to cyclotomic fields, in ‘‘Graduate Texts in Mathematics,’’ Vol. 83, Springer-Verlag, New YorkrBerlin.