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Estimation de certaines sommes courtes
Journal of Number Theory 206 (2020) 231–249
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Journal of Number Theory www.elsevier.com/locate/jnt
General Section
Estimation de certaines sommes courtes O. Labihi, A. Raouj ∗ Département de Mathématiques, Faculté des Sciences, Semlalia, Université Cadi Ayyad, B.P. 2390, Marrakech, Maroc
i n f o
a r t i c l e
Historique de l’article : Reçu le 12 février 2019 Reçu en forme révisée le 14 mai 2019 Accepté le 11 juin 2019 Disponible sur Internet le 18 juillet 2019 Communiqué par F. Pellarin MSC : 11N37
r é s u m é On s’intéresse à étendre la méthode de Selberg-Delange pour l’évaluation asymptotique des sommes courtes de type :
f (n),
x≤g(n)
avec f fonction arithmétique, g fonction arithmétique positive et 1 < xα ≤ y ≤ x. © 2019 Elsevier Inc. Tous droits réservés.
Mots-clés : Fonctions arithmétiques Évaluation asymptotique Sommes courtes Méthode de Selberg Delange La fonction zêta de Riemann
1. Introduction La méthode de Selberg-Delange permet d’obtenir un développement asymptotique de la fonction sommatoire n≤x f (n) pour une certaine classe de fonctions arithmétiques f : N ∗ → R (ou C). Il s’agit grosso modo de la classe de fonctions arithmétiques f dont la série de Dirichlet associée F (s) = n f (n)n−s se comporte comme une puissance de la fonction zêta de Riemann ζ(s). Une telle hypothèse sera utile pour pouvoir appliquer * Auteur correspondant. Adresses e-mail : [email protected] (O. Labihi), [email protected] (A. Raouj). https://doi.org/10.1016/j.jnt.2019.06.012 0022-314X/© 2019 Elsevier Inc. Tous droits réservés.
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les diverses propriétés et estimations de ζ(s) dans la bande {s : 1/2 < Re(s) < 1 + ε}. Pour plus de détails sur cette méthode classique, le lecteur peut se référer au livre de G. Tenenbaum [7]. En 2015, M. Tip Easter Phaovibul [8] a établi une extension de la méthode de Selberg Delange aux sommes de la forme g(n)≤x f (n). La méthode de Selberg-Delange s’applique aussi pour évaluer des sommes courtes de la forme x
nous avons utilisé des notations du livre de G. Tenenbaum [7]. Soit f : N ∗ → C une fonction arithmétique. Soit g : N ∗ → ]0, +∞[ une fonction arithmétique telle que lim g(n) = +∞
n−→∞
et
lim sup
log n = κ ∈ R. log g(n)
(1)
On suppose aussi que l’abscisse de convergence σc de la série de Dirichlet F (s) = ∞ f (n) est fini. Dans ce cas, il est simple de vérifier que son abscisse de convergence g(n)s n=0 absolue σa vérifie σa ≤ σc + κ (voir par exemple [8]). Dans toute la suite, la variable s est complexe et de forme algébrique : s = σ + i t où σ, t ∈ R. Définition 1.1. Soient A, M, M1 , M2 des réels ≥ 0, 0 ≤ δ < 1 et 1 et 2 deux fonctions à +∞ f (n) valeurs complexes. On dit que la série de Dirichlet F (s) := possède la propriété g(n)s n=1 P(A, M, M1 , M2 , δ; 1 , 2 ) si les conditions (a) et (b) suivantes sont à la fois vérifiées : (a) la fonction G(s) := F (s)ζ(2s)−2 (s) ζ(s)−1 (s)
(2)
est prolongeable en une fonction analytique sur un ouvert contenant le demi-plan Re(s) ≥ 1/2 et sur lequel elle vérifie la majoration : |G(s)| ≤ M (|t| + 3)max(δ(1−σ),0) (log(|t| + 3))A .
(3)
(b) Les deux fonctions 1 et 2 sont analytiques sur ouvert contenant le demi-plan Re(s) ≥ 1/2 et telles que pour tout s de partie réelle Re(s) ∈ [1/2, 2 + κ]
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|1 (s)| ≤ M1 ,
(4)
|2 (s)| ≤ M2 .
(5)
+∞ f (n) une série de Dirichlet vérifiant la propriété précés g(n) n=1 dente P(A, M, M1 , M2 , δ; 1 , 2 ). On dit qu’une telle série est de type T (A, M, M1 , M2 , δ; 1 , 2 , 1 , 2 ) s’il existe une suite de nombres réels positifs (f+ (n))n≥1 telle que pour tout entier n ≥ 1
Définition 1.2. Soit F (s) =
|f (n)| ≤ f+ (n) et telle que la série de Dirichlet F+ (s) :=
f+ (n) g(n)s
n1
possède la propriété P(A, M, M1 , M2 , δ; 1 , 2 ). Sous les notations de la définition 1.2, on pose : B(s) := G(s) ((s − 1)ζ(s)) ak,n :=
1 (s)
n
(k ) 1 i (1)
k1 +···+kn =k ki ≥1
i=1
ki !
, ,
(6) a0,n := 1,
(7)
m (−1)n B (m−k) (1) em,n := ak,n , n! (m − k)! k=n dk 1 1 := k , Γk (z0 ) dz Γ(z) z=z0 n−j m m nn − j (−1)i+j Xj, em,n Pm (X) := i j Γ ( (1) − m) i 1 j=0 n=j i=0
(8)
(9)
(10)
N +1 N y |Pm |(log log x) c1 N + 1 (c2 + log log x) + + (11) RN (x, y) = x m=0 (log x)m+1 log x 1
M e−c3 (log x) 3 (log log x) où l’on a utilisé la notation : |P |(X) :=
K
−1 3
|bk |X k si P (X) =
k=0
nôme. Le résultat principal de ce travail est le théorème suivant :
K k=0
bk X k étant un poly-
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+∞ f (n) une série de type T (A, M, M1 , M2 , δ; 1 , 2 , 1 , 2 ). s g(n) n=1 1 . On a pour x > y ≥ xθ+ε et N entier ≥ 0, Soit ε > 0. On pose : θ := 1 − (24/5) + 2δ
Théorème 1.1. Soit F (s) =
1 (1)−1
f (n) = y(log x)
n≥1 x≤g(n)
N
Pm (log log x) + O R (x, y) N (log x)m m=0
(12)
où les constantes c1 , c2 et c3 qui apparaissent dans l’expression de RN (x, y) sont positives et dépendent uniquement de A, M1 , M2 , δ et ε. A titre d’illustration, nous présentons quelques exemples d’application du théorème 1.1. Dans toute la suite, la lettre p désigne un nombre premier. Exemple 1. Pour tout entier n ≥ 1, ω(n) désigne le nombre de facteurs premiers distincts de n. Soit z ∈ C. On pose f (n) = z ω(n) et g(n) = ϕ(n) où ϕ est la fonction indicatrice z ω(n) log n = 1. La série de Dirichlet F (s) := d’Euler. On sait que lim sup peut log ϕ(n) ϕ(n)s n≥1
s’écrire : F (s) = G(s) ζ(s)z ζ(2s)(z−z
2
)/2
(13)
où l’on a posé
G(s) :=
p
1 1− s p
z
1 1 − 2s p
(z−z2 )/2
⎛
⎞
⎝1 +
ps 1 −
z
1 ps
(1 − p1 )s
⎠.
La fonction G est analytique sur {s : Re(s) > 1/3} et satisfait pour tout ε > 0, G(s) ε 1 sur {s : Re(s) > 1/3 + ε}. Ainsi pour tout |z| ≤ M1 , on obtient l’évaluation (12) avec 1 (1) = z et δ = 0. Exemple 2. Pour tout entier n ≥ 1, Ω(n) désigne le nombre de facteurs premiers de n, comptés avec leur multiplicité. Soit z ∈ C. On pose f (n) = z ω(n) et g(n) = ϕ(n). La z Ω(n) série de Dirichlet F (s) := s’écrit : ϕ(n)s n≥1
F (s) = G(s) ζ(s)z ζ(2s)(z où l’on a posé
2
−z)/2
(14)
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G(s) :=
p
1 1− s p
z
1 1 − 2s p
(z2 −z)/2
⎛
235
⎞
⎝1 + ps
1−
z
z ps
(1 −
1 s p)
⎠.
Ainsi pour tout |z| < 2, on obtient l’évaluation (12) avec 1 (1) = z et δ = 0. On voit que dans les deux exemples précédents, les deux fonctions 1 (s) = z et 2 (s) = ±(z − z 2 )/2 ne dépendent pas de s. Exemple 3. Soit z ∈ C, λ et α deux réels > 0 et β un réel tel que 0 ≤ β < 1/3. On considère : f (n) = z ω(n) et g(n) = nh(n) avec h une fonction multiplicative telle que pour tout entier n ≥ 1, h(n) 1/nβ
h(n) > 0, et pour tout nombre premier p
h(p2 ) = α.
h(p) = 1/λ,
Cette fonction a été introduite dans[1]. Par exemple, on peut prendre : h(n) = 1/τ (n) où τ (n) est le nombre de diviseurs de n. log n 1 On a d’abord : lim g(n) = +∞ et 1 ≤ lim sup log g(n) ) ≤ 1−β . n z ω(n) En outre, la série de Dirichlet F (s) := s’écrit : g(n)s n≥1
F (s) = G(s) ζ(s)1 (s) ζ(2s)2 (s)
(15)
avec λ2s 2 1 λs z− z , − s α 2 2 (s) 2 (s) 1 1 1 zλs z z 1− s 1 − 2s 1 + s + s 2s + + . . . . G(s) := s p p p α p (h(p3 )p3 ) p
1 (s) = zλs , 2 (s) =
On vérifie que la fonction G s’écrit G(s) =
1 + O p−3(1−β)σ ; elle est donc ana-
p 1 lytique sur {s : Re(s) = σ > 3(1−β) } ⊃ {s : Re(s) > 1/2} et vérifie pour chaque ε > 0, 1 G(s) ε 1 sur {s : Re(s) > 3(1−β) + ε}. Ainsi pour tout |z| ≤ M1 , on obtient l’évaluation (12) avec 1 (1) = zλ, et δ = 0.
Remarque. Les trois résultats précédents permettent aussi d’évaluer les sommes x≤ϕ(n)
1,
x≤ϕ(n)
1 et
x≤g(n)
1.
(16)
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Pour cela, on applique le résultat suivant dont la démonstration est analogue à celle du Theorem II.6.3 du [7], basée sur la formule intégrale de Cauchy. Lemme 1.1. Soit (h(z, n))n≥1 une suite de fonctions analytiques sur un voisinage d’un disque fermé D(0, A) avec A > 0. Soit h(z, n) =
ck (n)z k
(n = 1, 2, ...)
k≥0
le développement de h(z, n) en série entière dans D(0, A). Soient N ∈ N, θ et λ deux réels > 0, et g une fonction arithmétique telles que l’on ait pour x > y ≥ xθ et |z| ≤ A
h(z, n) = y(log x)λz−1
n≥1 x≤g(n)
N
zuj (z) + O (x, y) , R A,θ N (log x)j j=0
(17)
où les uj (0 ≤ j ≤ N ), sont des fonctions analytiques sur D(0, A) et où le reste RN (x, y) est une quantité indépendante de z. Alors on a uniformément pour x > y ≥ xθ ≥ 3 et 1 ≤ k ≤ Aλ log log x,
(λ log log x)k y Qj,k (λ log log x) R + O (x, y) , (18) A,θ N log x j=0 (log x)j k! N
ck (n) =
n≥1 x≤g(n)
où Qj,k est le polynôme Qj,k (X) :=
m+l=k−1
1 (m) u (0)X l m!l! j
(0 ≤ j ≤ N, k ≥ 1).
Si de plus, B étant un réel tel que sup|z|≤A |u0 (z)| ≤ B, alors on a uniformément pour x > y ≥ xθ et 1 ≤ k ≤ Aλ log log x, n≥1 x≤g(n)
ck (n) =
y (λ log log x)k−1 u0 log x (k − 1)!
+ OA,θ B
k−1 λ log log x
(19)
k−1 λ log log x R + (x, y) . 0 (λ log log x)2 k
Par application du lemme 1.1, les résultats donnés dans les trois exemples précédents entraînent successivement les évaluations suivantes. • En fixant un réel A > 0, on a uniformément pour chaque entier k vérifiant 1 ≤ k ≤ A log log x,
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x≤ϕ(n)
y (log log x)k−1 v0 1= log x (k − 1)!
k−1 log log x
+O
k (log log x)2
237
,
(20)
avec (z−z2 )/2 z 1 1 pz 1 1− 1− 2 1+ . v0 (z) := Γ(z + 1) p p p (p − 1)2
(21)
• Pour chaque réel ε ∈ ]0, 1[, on a uniformément pour chaque entier k vérifiant 1 ≤ k ≤ (2 − ε) log log x,
1=
x≤ϕ(n)
y (log log x)k−1 v1 log x (k − 1)!
k−1 log log x
+ Oε
k (log log x)2
(22)
avec dans ce cas z (z2 −z)/2 1 1 pz 1 1− 1− 2 1+ . v1 (z) := Γ(z + 1) p p p (p − 1)(p − z)
(23)
• En fixant un réel A > 0, on a uniformément pour chaque entier k vérifiant 1 ≤ k ≤ Aλ log log x,
1=
x≤nh(n)
y (λ log log x)k−1 log x (k − 1)!
u0
k−1 λ log log x
+O
k (λ log log x)2
(24) avec
u0 (z) :=
1 Γ(z + 1)
p
1−
1 p
λz 1−
1 p2
2 (1)
⎛ ⎝1 + λz + z + z p αp2
j≥3
⎞ 1 ⎠ , h(pj )pj (25)
où 2 (1) :=
λ 1 − α 2
z−
λ2 2 z . 2
2. Démonstration du Théorème 1.1 On pose A(t) :=
n≥1 g(n)
f (n)
(t ≥ 1).
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Dans sa thèse, M. Tip Easter Phaovibul (voir [8], Theorem 3.1.5, pp. 36-37) a montré la formule suivante qui représente un analogue de la formule de Perron pour une classe +∞ f (n) de séries de Dirichlet de la forme F (s) = (voir par exemple le chapitre II.2 du s g(n) n=1 livre de G. Tenenbaum [7] pour le cas des séries de Dirichlet classiques). +∞ f (n) d’abscisse de convers g(n) n=1 gence σc fini et d’abscisse de convergence absolue σa vérifiant σa ≤ σc + κ pour une certaine constante positive κ. Soit b un réel > max(0, σc ), fixé. On suppose que lorsque b ∈ ]σc , σa ], alors il existe un réel α ∈ [0, 1[ tel que pour tout s de partie réelle σ ∈ [b, b +κ] on a
Lemme 2.1. On se donne une série de Dirichlet F (s) =
|F (s)| b tα . Alors on a la formule suivante : x
1 A(t)dt = 2πi
1
b+i∞
F (s)
xs+1 ds s(s + 1)
(x ≥ 1).
(26)
b−i∞
Le résultat suivant est le Lemma 3.1.11 de [8], mutatis mutandis. +∞ f (n) une série de Dirichlet vérifiant la propriété g(n)s n=1 P(A, M, M1 , M2 , δ; 1 , 2 ). Soit r une constante > 0 et suffisamment petite. Pour tout s ∈ D(1, r)]1 − r, 1 + r[, on a
Lemme 2.2. Soit F (s) =
F (s) = (s − 1)
−1 (1)
N
Qm
∗ m log(s − 1) (s − 1) + O RN
(27)
m=0
où l’on a posé Qm (X) :=
m
em,n X n
(voir (8) pour l’expression de em,n ),
n=0 ∗ RN := (2M )N +1 |
s − 1 N +1 | | log(s − 1)|N +1 . r
Le résultat suivant est classique (voir par exemple [3,6]). Lemme 2.3. Uniformément pour tous les réels σ et t tels que |t| ≥ 3 et σ ≥ 1 − c0 (log |t|)−2/3 (log log |t|)−1/3 , (c0 étant une certaine constante absolue > 0, convenablement choisie), on a
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(log |t|)−2/3 (log log |t|)−1/3 |ζ(σ + it)| (log |t|)2/3 (log log |t|)1/3 .
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(28)
Les deux résultats qui suivent sont donnés par Y. Motohashi dans [4]. Les détails des démonstrations sont présentés dans [2]. Nous avons gardé les mêmes notations que celles utilisées dans [2]. Soient ε > 0 une constante absolue qui peut être choisie arbitrairement petite. Soit T0 une constante dépendant de ε et suffisamment grande. Pour T ≥ T0 , on pose 1 −1 −2/3 −1/3 − δT log T et KT := T (log T ) δT := c0 (log T ) (log log T ) , JT := 2 (29) où la notation [x] désigne la partie entière du réel x. Pour tous les couples (j, k) d’entiers tel que 0 ≤ j ≤ JT et −kT ≤ k ≤ kT , on pose : σj :=
1 + j (log T )−1 et tk := k log T ; 2
(30)
et on définit les rectangles pleins suivants : Δj,k := {s = σ + it : σj ≤ σ < σj+1 et tk ≤ t < tk+1 } .
(31)
On note (Δ) := Δj,k : 0 ≤ j ≤ JT , −kT ≤ k ≤ kT . Dans (Δ) on considère la sous-classe (W ) formée des Δj,k tels que : – dans le cas : σj ≤ 1 − ε, Δj,k doit contenir au moins un zéro de la fonction ζ ; – dans le cas : 1 − ε < σj ≤ 1 − δT , Δj,k doit contenir au moins un point s tel que 1 |ζ(s) MNj (s)| < avec 2 MN :=
μ(n) , ns
n≤N
⎛
1 ⎞ 2(1−σ
j)
Nj := ⎝A (log T )5 max |ζ(s)|⎠ σ≥4σj −3 1≤|t|≤4T
, A étant un entier arbitraire fixé.
Le complémentaire de (W ) dans (Δ) est noté (Y ). Soit jk := max{j : Δj,k ∈ (W )} avec ici max ∅ = 0, := Δj,k , D
(32) (33)
|k|≤KT 0≤j≤jk
0 := D
|k|≤KT jk ≤j≤jT
Δj,k .
(34)
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0 , un contour MT , dit de Hooley-Huxley-Motohashi, constitué Enfin, on considère dans D de lignes horizontales H et de lignes verticales V telles que ) = log log T, dh := d(H, D
(35)
et ) = ε2 , d(V ∩ {s : σ ≤ 1 − ε), D ) = (log T )−1 d(V ∩ {s : 1 − ε < σ < 1 − δT }, D (d(A, B) désigne habituellement la distance entre les ensembles A et B). Les deux lemmes suivants sont exactement les Propositions 2.3 et 2.4 de [2]. Lemme 2.4. Pour tout s ∈ MT , on a T −400
√
ε(1−σ)
(log T )−4 ε |ζ(s)| ε T 400
√
ε(1−σ)
(log T )4 .
(36)
Lemme 2.5. Pour tout j = 0, 1, · · · , JT , on a | {k ≤ KT : Δj,k ∈ (W )} |
T (12/5)(1−σj ) (log T )9 3
T
170(1−σj ) 2
si σj ≤ 1 − ε, si 1 − ε ≤ σj ≤ 1 − σT .
13
(log)
(37)
Démonstration du Théorème 1.1. Dans toute la suite : ε est une constante absolue > 0 et arbitrairement petite, T0 est une constante dépendant de ε et suffisamment grande et T ≥ T0 est un paramètre réel. On rappelle : δT := c0 (log T )−2/3 (log log T )−1/3 . Soit b := 1 + log1 x . D’après l’assertion (b) de la définition 1.1, on vérifie, en appliquant (28), que pour tout s de partie réelle σ ∈ [b, b + κ], B0 |F (s)| log(1 + |t|) pour une constante convenable B0 . On peut donc appliquer la formule de Perron (26) et on a : x+y
1 A(t)dt = 2πi
x
b+i∞
F (s)
(x + y)s+1 − xs+1 ds. s(s + 1)
b−i∞
Posons D(t) := A(t + y) − A(t) =
t≤g(n)
f (n).
(38)
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Pour tout réel h ∈ [0, y], on a x+h
x+h
A(t + y)dt −
D(t)dt = x
x+h
x
A(t)dt x
x+y+h
x+h
A(t)dt −
= x+y
A(t)dt, x
et donc, d’après (38), on a l’écriture x+h
b+i∞
1 D(t)dt = 2πi
x
F (s)
Δ(x, y, h; s) ds s(s + 1)
(39)
b−i∞
où l’on a posé Δ(x, y, h; s) := (x + y + h)s+1 − (x + y)s+1 − (x + h)s+1 + xs+1 . b±i∞
Commençons d’abord par estimer les deux intégrales :
F (s)
Δ(x, y, h; s) ds. s(s + 1)
b±iT
Pour tout point s de la droite verticale [b + iT, b + i∞[, on a en vertu de (3), (4), (5) et (28) |F (s)| = |G(s)ζ(2s)2 (s) ζ(s)1 (s) | M (log t) (log t) A
πM2
exp M1
1 2 log2 t + log3 t 3 3
= M (log t)B1 , avec B1 = A + M1 . D’où b+i∞
F (s)
Δ(x, y, h; s) ds M x2 s(s + 1)
∞
(log t)B1 dt t2
T
b+iT
M x2
(log T )B1 . T
De la même manière, on a aussi b−i∞
F (s) b−iT
Δ(x, y, h; s) (log T )B1 ds M x2 . s(s + 1) T
(log t)πM1
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Par suite, la formule (39) devient x+h
1 D(t)dt = 2πi
x
b+iT
F (s)
x2 Δ(x, y, h; s) ds + O M (log T )B1 . s(s + 1) T
(40)
b−iT
On va maintenant, en utilisant le théorème de Cauchy, remplacer le segment d’intégration [b − iT, b + iT ] par un chemin convenable LT . c c Dans toute la suite r est un paramètre réel tel que log x ≤ r ≤ log x avec c et c deux constantes > 0 et suffisamment petites. On désigne d’abord par ΓT,r le chemin (de Hankel tronqué) obtenu par la juxtaposition des trois morceaux suivants : – le segment horizontal orienté [1 − δT , 1 − r] sur lequel l’argument vaut −π, – le cercle C + (1, r) privé du point 1 − r, – le segment horizontal orienté [1 − r, 1 − δT ] sur lequel l’argument vaut +π. On considère alors le chemin orienté LT joignant le segment horizontal [b −iT, 1 −δT −iT ], le segment vertical [1 − δT − iT, 1 − δT ], le chemin ΓT,r , le segment vertical [1 − δT , 1 − δT + iT ], et le segment horizontal [1 − δT + iT, b + iT ] (Fig. 1).
Fig. 1. Les deux chemins [b − iT, b + iT ] et LT .
Pour tout point s situé sur l’un des deux segments horizontaux [1 − δT ± iT, b ± iT ], on a en vertu de (3), (4), (5) et (28) A
|G(s)| M T δ max(1−σ,0) (log T ) , |ζ(s)1 (s) | (log T )M1 , |ζ(2s)2 (s) | 1.
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D’où F (s) M T δ max(1−σ,0) (log T )B1 . En utilisant en outre la majoration : h y
Δ(x, y, h; s) = s(s + 1)
(x + u + v)s−1 dudv v=0 u=0
hyxσ−1 ,
(41)
on obtient b±iT
1−δT ±iT
Δ(x, y, h; s) ds M (log T )B1 F (s) s(s + 1)
b T δ max(1−σ,0)
hyxσ−1 dσ T2
(42)
1−δT
hy M 2 (log T )B1 T
1
Tδ x
1−σ dσ.
(43)
1−δT
Supposant que le paramètre T vérifie de plus la condition : T δ ≤ x,
(44)
il s’ensuit ainsi b±iT
F (s) 1−δT ±iT
hy Δ(x, y, h; s) ds M 2 (log T )B1 . s(s + 1) T
(45)
Par le théorème de Cauchy, l’écriture (40) devient en conséquence x+h
D(t)dt = x
1 2πi
F (s) L∗ T
x2 Δ(x, y, h; s) ds + O M (log T )B1 , s(s + 1) T
(46)
avec L∗T le chemin LT privé des deux segments horizontaux [1 − δT ± iT, b ± iT ]. Considérons maintenant le contour de Motohashi MT et notons I2 :=
F (s) MT
Δ(x, y, h; s) 1 ds et I1 := s(s + 1) 2πi
F (s) Γ∗ r
Δ(x, y, h; s) ds s(s + 1)
avec Γ∗r := [σj0 +1 + dv , 1 − δT ] ∨ ΓT,r ∨ [1 − δT , σj0 +1 + dv ].
(47)
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244
En appliquant encore le théorème de Cauchy, l’évaluation précédente (46) devient x+h
x2 D(t)dt = I1 + I2 + O M (log T )B1 . T
(48)
x
On est donc amené à évaluer les deux intégrales I1 et I2 (Fig. 2).
Fig. 2. Les deux chemins MT et Γ∗ T.
Pour évaluer I2 , on reprend mutatis mutandis la même méthode que celle dans [2] où l’utilisation des lemmes 2.4 et 2.5 est essentielle. On obtient alors l’estimation 1
I2 M hye−c2 (log x) 3 (log2 x)
−1 3
(49)
en choisissant : √ ε)/((12/5)+δ+εM )
T = x(1−
avec M une certaine constante > 0 convenable. En reportant donc dans (48), il suit en conséquence : x+h
1 −1 x2 D(t)dt = I1 + O M (log T )B1 + M hye−c2 (log x) 3 (log2 x) 3 T
x
où I1 est l’intégrale définie dans (47).
,
(50)
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245
Posant : Φ(x) :=
1 2πi
F (s)
Γ∗ r
xs+1 ds, s(s + 1)
l’intégrale I1 s’écrit I1 = Φ(x + y + h) − Φ(x + y) − Φ(x + h) + Φ(x). Par la formule de Taylor, on a pour |u| ≤ 2x, Φ(u + h) = Φ(u) + hΦ (u) +
h3 h2 Φ (u) + O M (log x)M1 −1 , 2 x
en utilisant le fait que sur Γ∗r , on a |F (s)| M |s − 1|−M1 M (log x)M1 .
(51)
D’où
h2
h3 I1 = h Φ (x + y) − Φ (x) + Φ (x + y) − Φ (x) + O M (log x)M1 −1 . 2 x Or sur Γ∗r , on a aussi (x + y)s−1 − xs−1 |s − 1|yxσ−2 y , x log x on obtient par conséquent I1 =
h 2πi
F (s) Γ∗ r
h2 hy (x + y)s − xs ds + hO M +M (log x)M1 −1 . s x x
Et par suite, l’évaluation (50) devient : 1 h
x+h
D(t)dt =
1 2πi
x
F (s) Γ∗ r
(x + y)s − xs ds + O R1 (x, y, h) s
(52)
avec R1 (x, y, h) := M (
1 −1 h2 x2 + )(log x)B2 + M ye−c2 (log x) 3 (log2 x) 3 , Th x
B2 étant une certaine une constante positive.
(53)
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246
On pose maintenant pour tout w ∈ [x/2, 2x] 1 Ψ(w) := 2πi
F (s)ws−1 ds
(54)
Γ∗ r
et on écrit (52) sous la forme : x+h
1 h
x+y
Ψ(w)dw + O R1 (x, y, h) .
D(t)dt = x
(55)
x
D’après le lemme 2.2, on peut écrire : Ψ(w) =
+O RN
(56)
N
avec N
N m
1 := em,n 2πi m=0 n=0
:= (2M )N +1 RN
| Γ∗ r
(log(s − 1))n (s − 1)m (s − 1)m−1 (1) ws−1 ds, Γ∗ r
s − 1 N +1 | | log(s − 1)|N +1 |ws−1 ||ds|. r
Pour continuer l’estimation de Ψ(w), on pose u = (s − 1) log w, et on suit la même méthode que celle utilisée dans [8], pp. 51-55, mutatis mutandis. On obtient
N Pm (log log w) N (x)) + O(R m (log w) m=0
1 (1)−1
Ψ(w) = (log w)
(57)
avec Pm le polynôme exprimé dans (10) et N (x) = R
N +1 c4 N + 1 (c5 + log log x) , log x
c4 et c5 étant des constantes > 0. Par le développement x+y
y α
(log(x + u))α Pm (log log(x + u))du
(log w) Pm (log log w)dw = x
0
= y(log x)α Pm (log log x) +y
2 (log x)
x
α−1
O
N
m=0
|Pm |(log log x) ,
(58)
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247
on obtient en vertu de (55) et (57) : 1 h
x+h 1 (1)−1
D(t)dt = y(log x) x
N Pm (log log x) + O R2 (x, y, h) m+1 (log x) m=0
(59)
avec N +1 N y |Pm |(log log x) c4 N + 1 (c5 + log log x) R2 (x, y, h) = + + x m=0 (log x)m+1 log x +M (
(60)
1 −1 h2 x2 + )(log x)B2 + M e−c3 (log x) 3 (log2 x) 3 . T hy xy
En considérant à la place de D(t), la fonction sommatoire
D1 (t) :=
f (n),
t≤g(n)
alors sous l’hypothèse h = o(y),
(61)
on a aussi en vertu de (55), (57) et (58) 1 h
x 1 (1)−1
D1 (t)dt = (y + h)(log x) x−h
N Pm (log log x) + O R2 (x, y, h) . (log x)m+1 m=0
(62)
Considérons finalement x 1 r(x) := h
x−h
f (n)dt − f (n) . t≤g(n)
Nous allons achever la démonstration du théorème 1.1 en montrant que r(x) hM (log x)M1 . On fera appel à l’hypothèse du Théorème 1.1 affirmant que la série de Dirichlet f+ (n) F+ (s) := , associée à F (s), possède la propriété P(A, M, M1 , M2 , δ; 1 , 2 ). g(n)s n1
D’abord, l’inclusion J := [x, x + y[⊂ Jt := [t, t + h + y[ implique
r(x) ≤
1 h
x x−h
g(n)∈Jt J
f (n)dt
248
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1 ≤ h 1 = h
x
f+ (n)dt
x−h g(n)∈Jt J
x
f+ (n)dt −
x−h g(n)∈Jt
f+ (n).
g(n)∈J
Or si t ∈ [x, x + h[ alors It := [t, t + y − h[⊂ [x, x + y[ = J. Donc
x+h
1 f (n) ≥ h +
g(n)∈Jt
x
f+ (n)dt.
g(n)∈It
Par suite, on peut écrire 0 ≤ r(x) ≤ r1 (x) − r2 (x) avec 1 r1 (x) := h 1 r2 (x) := h
x
f+ (n)dt,
x−h g(n)∈Jt x+h
x
f+ (n)dt.
g(n)∈It
Définissons Ψ+ (w) d’une manière analogue à Ψ(w) en remplaçant dans (54) la série F (s) f+ (n) par F+ (s) := . D’après (55), on a g(n)s n1
x+h+y
r1 (x) − r2 (x) =
x+y−h
+
+ (w)dw Ψ
Ψ (w)dw − x
x−h
x =
+ (w)dw − Ψ
x−h
x+y+h
+ (w)dw. Ψ
x+y−h
Comme + (w)| M (log x)M1 |Ψ
(x/2 ≤ w ≤ 2x),
il vient alors r(x) hM (log x)M1 .
(63)
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249
Et il découle donc de (62) x≤g(n)
1 f (n) = h
x
D1 (t)dt + O hM (log x)M1
x−h
1 (1)−1
= (y + h)(log x)
N Pm (log log x) + O R2 (x, y, h) , (log x)m+1 m=0
où l’expression de R2 (x, y, h) est celle de (60). Le terme d’erreur énoncé dans le Théorème 1.1 s’obtient finalement par le choix h = x1+ε −ε yx et la condition y ≥ √ . T Références [1] B. Balasubramanian, K. Ramachandra, On the number of integers n such that nd(n) ≤ x, Acta Arith. 49 (1998) 313–322. [2] Z. Cui, G. Lü, J. Wu, The Selberg-Delange method in short intervals with some applications, Sci. China Math. 1 (22) (2018). [3] A. Ivić, The Riemann Zeta-Function, A Wiley Interscience Publication, 1985. [4] Y. Motohashi, On the sum of the Möbius function ina short segment, Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 52 (1976) 477–479. [5] A.A. Sedunova, On the mean values of some multiplicative functions on the short interval, arXiv: 1302.0471v1. [6] E.C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-Function, Second, Second Edition Revised by D.R. Heath-Brown, Oxford University Press, 1986. [7] G. Tenenbaum, Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 46, Cambridge University Press, 1995. [8] M. Tip, Easter Phaovibul, Extensions of the Selberg-Delange Method, Diss., University of Illinois at Urbana-Champaign, 2015.
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Journal of Number Theory www.elsevier.com/locate/jnt
General Section
Estimation de certaines sommes courtes O. Labihi, A. Raouj ∗ Département de Mathématiques, Faculté des Sciences, Semlalia, Université Cadi Ayyad, B.P. 2390, Marrakech, Maroc
i n f o
a r t i c l e
Historique de l’article : Reçu le 12 février 2019 Reçu en forme révisée le 14 mai 2019 Accepté le 11 juin 2019 Disponible sur Internet le 18 juillet 2019 Communiqué par F. Pellarin MSC : 11N37
r é s u m é On s’intéresse à étendre la méthode de Selberg-Delange pour l’évaluation asymptotique des sommes courtes de type :
f (n),
x≤g(n)
avec f fonction arithmétique, g fonction arithmétique positive et 1 < xα ≤ y ≤ x. © 2019 Elsevier Inc. Tous droits réservés.
Mots-clés : Fonctions arithmétiques Évaluation asymptotique Sommes courtes Méthode de Selberg Delange La fonction zêta de Riemann
1. Introduction La méthode de Selberg-Delange permet d’obtenir un développement asymptotique de la fonction sommatoire n≤x f (n) pour une certaine classe de fonctions arithmétiques f : N ∗ → R (ou C). Il s’agit grosso modo de la classe de fonctions arithmétiques f dont la série de Dirichlet associée F (s) = n f (n)n−s se comporte comme une puissance de la fonction zêta de Riemann ζ(s). Une telle hypothèse sera utile pour pouvoir appliquer * Auteur correspondant. Adresses e-mail : [email protected] (O. Labihi), [email protected] (A. Raouj). https://doi.org/10.1016/j.jnt.2019.06.012 0022-314X/© 2019 Elsevier Inc. Tous droits réservés.
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232
les diverses propriétés et estimations de ζ(s) dans la bande {s : 1/2 < Re(s) < 1 + ε}. Pour plus de détails sur cette méthode classique, le lecteur peut se référer au livre de G. Tenenbaum [7]. En 2015, M. Tip Easter Phaovibul [8] a établi une extension de la méthode de Selberg Delange aux sommes de la forme g(n)≤x f (n). La méthode de Selberg-Delange s’applique aussi pour évaluer des sommes courtes de la forme x
nous avons utilisé des notations du livre de G. Tenenbaum [7]. Soit f : N ∗ → C une fonction arithmétique. Soit g : N ∗ → ]0, +∞[ une fonction arithmétique telle que lim g(n) = +∞
n−→∞
et
lim sup
log n = κ ∈ R. log g(n)
(1)
On suppose aussi que l’abscisse de convergence σc de la série de Dirichlet F (s) = ∞ f (n) est fini. Dans ce cas, il est simple de vérifier que son abscisse de convergence g(n)s n=0 absolue σa vérifie σa ≤ σc + κ (voir par exemple [8]). Dans toute la suite, la variable s est complexe et de forme algébrique : s = σ + i t où σ, t ∈ R. Définition 1.1. Soient A, M, M1 , M2 des réels ≥ 0, 0 ≤ δ < 1 et 1 et 2 deux fonctions à +∞ f (n) valeurs complexes. On dit que la série de Dirichlet F (s) := possède la propriété g(n)s n=1 P(A, M, M1 , M2 , δ; 1 , 2 ) si les conditions (a) et (b) suivantes sont à la fois vérifiées : (a) la fonction G(s) := F (s)ζ(2s)−2 (s) ζ(s)−1 (s)
(2)
est prolongeable en une fonction analytique sur un ouvert contenant le demi-plan Re(s) ≥ 1/2 et sur lequel elle vérifie la majoration : |G(s)| ≤ M (|t| + 3)max(δ(1−σ),0) (log(|t| + 3))A .
(3)
(b) Les deux fonctions 1 et 2 sont analytiques sur ouvert contenant le demi-plan Re(s) ≥ 1/2 et telles que pour tout s de partie réelle Re(s) ∈ [1/2, 2 + κ]
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233
|1 (s)| ≤ M1 ,
(4)
|2 (s)| ≤ M2 .
(5)
+∞ f (n) une série de Dirichlet vérifiant la propriété précés g(n) n=1 dente P(A, M, M1 , M2 , δ; 1 , 2 ). On dit qu’une telle série est de type T (A, M, M1 , M2 , δ; 1 , 2 , 1 , 2 ) s’il existe une suite de nombres réels positifs (f+ (n))n≥1 telle que pour tout entier n ≥ 1
Définition 1.2. Soit F (s) =
|f (n)| ≤ f+ (n) et telle que la série de Dirichlet F+ (s) :=
f+ (n) g(n)s
n1
possède la propriété P(A, M, M1 , M2 , δ; 1 , 2 ). Sous les notations de la définition 1.2, on pose : B(s) := G(s) ((s − 1)ζ(s)) ak,n :=
1 (s)
n
(k ) 1 i (1)
k1 +···+kn =k ki ≥1
i=1
ki !
, ,
(6) a0,n := 1,
(7)
m (−1)n B (m−k) (1) em,n := ak,n , n! (m − k)! k=n dk 1 1 := k , Γk (z0 ) dz Γ(z) z=z0 n−j m m nn − j (−1)i+j Xj, em,n Pm (X) := i j Γ ( (1) − m) i 1 j=0 n=j i=0
(8)
(9)
(10)
N +1 N y |Pm |(log log x) c1 N + 1 (c2 + log log x) + + (11) RN (x, y) = x m=0 (log x)m+1 log x 1
M e−c3 (log x) 3 (log log x) où l’on a utilisé la notation : |P |(X) :=
K
−1 3
|bk |X k si P (X) =
k=0
nôme. Le résultat principal de ce travail est le théorème suivant :
K k=0
bk X k étant un poly-
O. Labihi, A. Raouj / Journal of Number Theory 206 (2020) 231–249
234
+∞ f (n) une série de type T (A, M, M1 , M2 , δ; 1 , 2 , 1 , 2 ). s g(n) n=1 1 . On a pour x > y ≥ xθ+ε et N entier ≥ 0, Soit ε > 0. On pose : θ := 1 − (24/5) + 2δ
Théorème 1.1. Soit F (s) =
1 (1)−1
f (n) = y(log x)
n≥1 x≤g(n)
N
Pm (log log x) + O R (x, y) N (log x)m m=0
(12)
où les constantes c1 , c2 et c3 qui apparaissent dans l’expression de RN (x, y) sont positives et dépendent uniquement de A, M1 , M2 , δ et ε. A titre d’illustration, nous présentons quelques exemples d’application du théorème 1.1. Dans toute la suite, la lettre p désigne un nombre premier. Exemple 1. Pour tout entier n ≥ 1, ω(n) désigne le nombre de facteurs premiers distincts de n. Soit z ∈ C. On pose f (n) = z ω(n) et g(n) = ϕ(n) où ϕ est la fonction indicatrice z ω(n) log n = 1. La série de Dirichlet F (s) := d’Euler. On sait que lim sup peut log ϕ(n) ϕ(n)s n≥1
s’écrire : F (s) = G(s) ζ(s)z ζ(2s)(z−z
2
)/2
(13)
où l’on a posé
G(s) :=
p
1 1− s p
z
1 1 − 2s p
(z−z2 )/2
⎛
⎞
⎝1 +
ps 1 −
z
1 ps
(1 − p1 )s
⎠.
La fonction G est analytique sur {s : Re(s) > 1/3} et satisfait pour tout ε > 0, G(s) ε 1 sur {s : Re(s) > 1/3 + ε}. Ainsi pour tout |z| ≤ M1 , on obtient l’évaluation (12) avec 1 (1) = z et δ = 0. Exemple 2. Pour tout entier n ≥ 1, Ω(n) désigne le nombre de facteurs premiers de n, comptés avec leur multiplicité. Soit z ∈ C. On pose f (n) = z ω(n) et g(n) = ϕ(n). La z Ω(n) série de Dirichlet F (s) := s’écrit : ϕ(n)s n≥1
F (s) = G(s) ζ(s)z ζ(2s)(z où l’on a posé
2
−z)/2
(14)
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G(s) :=
p
1 1− s p
z
1 1 − 2s p
(z2 −z)/2
⎛
235
⎞
⎝1 + ps
1−
z
z ps
(1 −
1 s p)
⎠.
Ainsi pour tout |z| < 2, on obtient l’évaluation (12) avec 1 (1) = z et δ = 0. On voit que dans les deux exemples précédents, les deux fonctions 1 (s) = z et 2 (s) = ±(z − z 2 )/2 ne dépendent pas de s. Exemple 3. Soit z ∈ C, λ et α deux réels > 0 et β un réel tel que 0 ≤ β < 1/3. On considère : f (n) = z ω(n) et g(n) = nh(n) avec h une fonction multiplicative telle que pour tout entier n ≥ 1, h(n) 1/nβ
h(n) > 0, et pour tout nombre premier p
h(p2 ) = α.
h(p) = 1/λ,
Cette fonction a été introduite dans[1]. Par exemple, on peut prendre : h(n) = 1/τ (n) où τ (n) est le nombre de diviseurs de n. log n 1 On a d’abord : lim g(n) = +∞ et 1 ≤ lim sup log g(n) ) ≤ 1−β . n z ω(n) En outre, la série de Dirichlet F (s) := s’écrit : g(n)s n≥1
F (s) = G(s) ζ(s)1 (s) ζ(2s)2 (s)
(15)
avec λ2s 2 1 λs z− z , − s α 2 2 (s) 2 (s) 1 1 1 zλs z z 1− s 1 − 2s 1 + s + s 2s + + . . . . G(s) := s p p p α p (h(p3 )p3 ) p
1 (s) = zλs , 2 (s) =
On vérifie que la fonction G s’écrit G(s) =
1 + O p−3(1−β)σ ; elle est donc ana-
p 1 lytique sur {s : Re(s) = σ > 3(1−β) } ⊃ {s : Re(s) > 1/2} et vérifie pour chaque ε > 0, 1 G(s) ε 1 sur {s : Re(s) > 3(1−β) + ε}. Ainsi pour tout |z| ≤ M1 , on obtient l’évaluation (12) avec 1 (1) = zλ, et δ = 0.
Remarque. Les trois résultats précédents permettent aussi d’évaluer les sommes x≤ϕ(n)
1,
x≤ϕ(n)
1 et
x≤g(n)
1.
(16)
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236
Pour cela, on applique le résultat suivant dont la démonstration est analogue à celle du Theorem II.6.3 du [7], basée sur la formule intégrale de Cauchy. Lemme 1.1. Soit (h(z, n))n≥1 une suite de fonctions analytiques sur un voisinage d’un disque fermé D(0, A) avec A > 0. Soit h(z, n) =
ck (n)z k
(n = 1, 2, ...)
k≥0
le développement de h(z, n) en série entière dans D(0, A). Soient N ∈ N, θ et λ deux réels > 0, et g une fonction arithmétique telles que l’on ait pour x > y ≥ xθ et |z| ≤ A
h(z, n) = y(log x)λz−1
n≥1 x≤g(n)
N
zuj (z) + O (x, y) , R A,θ N (log x)j j=0
(17)
où les uj (0 ≤ j ≤ N ), sont des fonctions analytiques sur D(0, A) et où le reste RN (x, y) est une quantité indépendante de z. Alors on a uniformément pour x > y ≥ xθ ≥ 3 et 1 ≤ k ≤ Aλ log log x,
(λ log log x)k y Qj,k (λ log log x) R + O (x, y) , (18) A,θ N log x j=0 (log x)j k! N
ck (n) =
n≥1 x≤g(n)
où Qj,k est le polynôme Qj,k (X) :=
m+l=k−1
1 (m) u (0)X l m!l! j
(0 ≤ j ≤ N, k ≥ 1).
Si de plus, B étant un réel tel que sup|z|≤A |u0 (z)| ≤ B, alors on a uniformément pour x > y ≥ xθ et 1 ≤ k ≤ Aλ log log x, n≥1 x≤g(n)
ck (n) =
y (λ log log x)k−1 u0 log x (k − 1)!
+ OA,θ B
k−1 λ log log x
(19)
k−1 λ log log x R + (x, y) . 0 (λ log log x)2 k
Par application du lemme 1.1, les résultats donnés dans les trois exemples précédents entraînent successivement les évaluations suivantes. • En fixant un réel A > 0, on a uniformément pour chaque entier k vérifiant 1 ≤ k ≤ A log log x,
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x≤ϕ(n)
y (log log x)k−1 v0 1= log x (k − 1)!
k−1 log log x
+O
k (log log x)2
237
,
(20)
avec (z−z2 )/2 z 1 1 pz 1 1− 1− 2 1+ . v0 (z) := Γ(z + 1) p p p (p − 1)2
(21)
• Pour chaque réel ε ∈ ]0, 1[, on a uniformément pour chaque entier k vérifiant 1 ≤ k ≤ (2 − ε) log log x,
1=
x≤ϕ(n)
y (log log x)k−1 v1 log x (k − 1)!
k−1 log log x
+ Oε
k (log log x)2
(22)
avec dans ce cas z (z2 −z)/2 1 1 pz 1 1− 1− 2 1+ . v1 (z) := Γ(z + 1) p p p (p − 1)(p − z)
(23)
• En fixant un réel A > 0, on a uniformément pour chaque entier k vérifiant 1 ≤ k ≤ Aλ log log x,
1=
x≤nh(n)
y (λ log log x)k−1 log x (k − 1)!
u0
k−1 λ log log x
+O
k (λ log log x)2
(24) avec
u0 (z) :=
1 Γ(z + 1)
p
1−
1 p
λz 1−
1 p2
2 (1)
⎛ ⎝1 + λz + z + z p αp2
j≥3
⎞ 1 ⎠ , h(pj )pj (25)
où 2 (1) :=
λ 1 − α 2
z−
λ2 2 z . 2
2. Démonstration du Théorème 1.1 On pose A(t) :=
n≥1 g(n)
f (n)
(t ≥ 1).
238
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Dans sa thèse, M. Tip Easter Phaovibul (voir [8], Theorem 3.1.5, pp. 36-37) a montré la formule suivante qui représente un analogue de la formule de Perron pour une classe +∞ f (n) de séries de Dirichlet de la forme F (s) = (voir par exemple le chapitre II.2 du s g(n) n=1 livre de G. Tenenbaum [7] pour le cas des séries de Dirichlet classiques). +∞ f (n) d’abscisse de convers g(n) n=1 gence σc fini et d’abscisse de convergence absolue σa vérifiant σa ≤ σc + κ pour une certaine constante positive κ. Soit b un réel > max(0, σc ), fixé. On suppose que lorsque b ∈ ]σc , σa ], alors il existe un réel α ∈ [0, 1[ tel que pour tout s de partie réelle σ ∈ [b, b +κ] on a
Lemme 2.1. On se donne une série de Dirichlet F (s) =
|F (s)| b tα . Alors on a la formule suivante : x
1 A(t)dt = 2πi
1
b+i∞
F (s)
xs+1 ds s(s + 1)
(x ≥ 1).
(26)
b−i∞
Le résultat suivant est le Lemma 3.1.11 de [8], mutatis mutandis. +∞ f (n) une série de Dirichlet vérifiant la propriété g(n)s n=1 P(A, M, M1 , M2 , δ; 1 , 2 ). Soit r une constante > 0 et suffisamment petite. Pour tout s ∈ D(1, r)]1 − r, 1 + r[, on a
Lemme 2.2. Soit F (s) =
F (s) = (s − 1)
−1 (1)
N
Qm
∗ m log(s − 1) (s − 1) + O RN
(27)
m=0
où l’on a posé Qm (X) :=
m
em,n X n
(voir (8) pour l’expression de em,n ),
n=0 ∗ RN := (2M )N +1 |
s − 1 N +1 | | log(s − 1)|N +1 . r
Le résultat suivant est classique (voir par exemple [3,6]). Lemme 2.3. Uniformément pour tous les réels σ et t tels que |t| ≥ 3 et σ ≥ 1 − c0 (log |t|)−2/3 (log log |t|)−1/3 , (c0 étant une certaine constante absolue > 0, convenablement choisie), on a
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(log |t|)−2/3 (log log |t|)−1/3 |ζ(σ + it)| (log |t|)2/3 (log log |t|)1/3 .
239
(28)
Les deux résultats qui suivent sont donnés par Y. Motohashi dans [4]. Les détails des démonstrations sont présentés dans [2]. Nous avons gardé les mêmes notations que celles utilisées dans [2]. Soient ε > 0 une constante absolue qui peut être choisie arbitrairement petite. Soit T0 une constante dépendant de ε et suffisamment grande. Pour T ≥ T0 , on pose 1 −1 −2/3 −1/3 − δT log T et KT := T (log T ) δT := c0 (log T ) (log log T ) , JT := 2 (29) où la notation [x] désigne la partie entière du réel x. Pour tous les couples (j, k) d’entiers tel que 0 ≤ j ≤ JT et −kT ≤ k ≤ kT , on pose : σj :=
1 + j (log T )−1 et tk := k log T ; 2
(30)
et on définit les rectangles pleins suivants : Δj,k := {s = σ + it : σj ≤ σ < σj+1 et tk ≤ t < tk+1 } .
(31)
On note (Δ) := Δj,k : 0 ≤ j ≤ JT , −kT ≤ k ≤ kT . Dans (Δ) on considère la sous-classe (W ) formée des Δj,k tels que : – dans le cas : σj ≤ 1 − ε, Δj,k doit contenir au moins un zéro de la fonction ζ ; – dans le cas : 1 − ε < σj ≤ 1 − δT , Δj,k doit contenir au moins un point s tel que 1 |ζ(s) MNj (s)| < avec 2 MN :=
μ(n) , ns
n≤N
⎛
1 ⎞ 2(1−σ
j)
Nj := ⎝A (log T )5 max |ζ(s)|⎠ σ≥4σj −3 1≤|t|≤4T
, A étant un entier arbitraire fixé.
Le complémentaire de (W ) dans (Δ) est noté (Y ). Soit jk := max{j : Δj,k ∈ (W )} avec ici max ∅ = 0, := Δj,k , D
(32) (33)
|k|≤KT 0≤j≤jk
0 := D
|k|≤KT jk ≤j≤jT
Δj,k .
(34)
240
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0 , un contour MT , dit de Hooley-Huxley-Motohashi, constitué Enfin, on considère dans D de lignes horizontales H et de lignes verticales V telles que ) = log log T, dh := d(H, D
(35)
et ) = ε2 , d(V ∩ {s : σ ≤ 1 − ε), D ) = (log T )−1 d(V ∩ {s : 1 − ε < σ < 1 − δT }, D (d(A, B) désigne habituellement la distance entre les ensembles A et B). Les deux lemmes suivants sont exactement les Propositions 2.3 et 2.4 de [2]. Lemme 2.4. Pour tout s ∈ MT , on a T −400
√
ε(1−σ)
(log T )−4 ε |ζ(s)| ε T 400
√
ε(1−σ)
(log T )4 .
(36)
Lemme 2.5. Pour tout j = 0, 1, · · · , JT , on a | {k ≤ KT : Δj,k ∈ (W )} |
T (12/5)(1−σj ) (log T )9 3
T
170(1−σj ) 2
si σj ≤ 1 − ε, si 1 − ε ≤ σj ≤ 1 − σT .
13
(log)
(37)
Démonstration du Théorème 1.1. Dans toute la suite : ε est une constante absolue > 0 et arbitrairement petite, T0 est une constante dépendant de ε et suffisamment grande et T ≥ T0 est un paramètre réel. On rappelle : δT := c0 (log T )−2/3 (log log T )−1/3 . Soit b := 1 + log1 x . D’après l’assertion (b) de la définition 1.1, on vérifie, en appliquant (28), que pour tout s de partie réelle σ ∈ [b, b + κ], B0 |F (s)| log(1 + |t|) pour une constante convenable B0 . On peut donc appliquer la formule de Perron (26) et on a : x+y
1 A(t)dt = 2πi
x
b+i∞
F (s)
(x + y)s+1 − xs+1 ds. s(s + 1)
b−i∞
Posons D(t) := A(t + y) − A(t) =
t≤g(n)
f (n).
(38)
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241
Pour tout réel h ∈ [0, y], on a x+h
x+h
A(t + y)dt −
D(t)dt = x
x+h
x
A(t)dt x
x+y+h
x+h
A(t)dt −
= x+y
A(t)dt, x
et donc, d’après (38), on a l’écriture x+h
b+i∞
1 D(t)dt = 2πi
x
F (s)
Δ(x, y, h; s) ds s(s + 1)
(39)
b−i∞
où l’on a posé Δ(x, y, h; s) := (x + y + h)s+1 − (x + y)s+1 − (x + h)s+1 + xs+1 . b±i∞
Commençons d’abord par estimer les deux intégrales :
F (s)
Δ(x, y, h; s) ds. s(s + 1)
b±iT
Pour tout point s de la droite verticale [b + iT, b + i∞[, on a en vertu de (3), (4), (5) et (28) |F (s)| = |G(s)ζ(2s)2 (s) ζ(s)1 (s) | M (log t) (log t) A
πM2
exp M1
1 2 log2 t + log3 t 3 3
= M (log t)B1 , avec B1 = A + M1 . D’où b+i∞
F (s)
Δ(x, y, h; s) ds M x2 s(s + 1)
∞
(log t)B1 dt t2
T
b+iT
M x2
(log T )B1 . T
De la même manière, on a aussi b−i∞
F (s) b−iT
Δ(x, y, h; s) (log T )B1 ds M x2 . s(s + 1) T
(log t)πM1
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242
Par suite, la formule (39) devient x+h
1 D(t)dt = 2πi
x
b+iT
F (s)
x2 Δ(x, y, h; s) ds + O M (log T )B1 . s(s + 1) T
(40)
b−iT
On va maintenant, en utilisant le théorème de Cauchy, remplacer le segment d’intégration [b − iT, b + iT ] par un chemin convenable LT . c c Dans toute la suite r est un paramètre réel tel que log x ≤ r ≤ log x avec c et c deux constantes > 0 et suffisamment petites. On désigne d’abord par ΓT,r le chemin (de Hankel tronqué) obtenu par la juxtaposition des trois morceaux suivants : – le segment horizontal orienté [1 − δT , 1 − r] sur lequel l’argument vaut −π, – le cercle C + (1, r) privé du point 1 − r, – le segment horizontal orienté [1 − r, 1 − δT ] sur lequel l’argument vaut +π. On considère alors le chemin orienté LT joignant le segment horizontal [b −iT, 1 −δT −iT ], le segment vertical [1 − δT − iT, 1 − δT ], le chemin ΓT,r , le segment vertical [1 − δT , 1 − δT + iT ], et le segment horizontal [1 − δT + iT, b + iT ] (Fig. 1).
Fig. 1. Les deux chemins [b − iT, b + iT ] et LT .
Pour tout point s situé sur l’un des deux segments horizontaux [1 − δT ± iT, b ± iT ], on a en vertu de (3), (4), (5) et (28) A
|G(s)| M T δ max(1−σ,0) (log T ) , |ζ(s)1 (s) | (log T )M1 , |ζ(2s)2 (s) | 1.
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D’où F (s) M T δ max(1−σ,0) (log T )B1 . En utilisant en outre la majoration : h y
Δ(x, y, h; s) = s(s + 1)
(x + u + v)s−1 dudv v=0 u=0
hyxσ−1 ,
(41)
on obtient b±iT
1−δT ±iT
Δ(x, y, h; s) ds M (log T )B1 F (s) s(s + 1)
b T δ max(1−σ,0)
hyxσ−1 dσ T2
(42)
1−δT
hy M 2 (log T )B1 T
1
Tδ x
1−σ dσ.
(43)
1−δT
Supposant que le paramètre T vérifie de plus la condition : T δ ≤ x,
(44)
il s’ensuit ainsi b±iT
F (s) 1−δT ±iT
hy Δ(x, y, h; s) ds M 2 (log T )B1 . s(s + 1) T
(45)
Par le théorème de Cauchy, l’écriture (40) devient en conséquence x+h
D(t)dt = x
1 2πi
F (s) L∗ T
x2 Δ(x, y, h; s) ds + O M (log T )B1 , s(s + 1) T
(46)
avec L∗T le chemin LT privé des deux segments horizontaux [1 − δT ± iT, b ± iT ]. Considérons maintenant le contour de Motohashi MT et notons I2 :=
F (s) MT
Δ(x, y, h; s) 1 ds et I1 := s(s + 1) 2πi
F (s) Γ∗ r
Δ(x, y, h; s) ds s(s + 1)
avec Γ∗r := [σj0 +1 + dv , 1 − δT ] ∨ ΓT,r ∨ [1 − δT , σj0 +1 + dv ].
(47)
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244
En appliquant encore le théorème de Cauchy, l’évaluation précédente (46) devient x+h
x2 D(t)dt = I1 + I2 + O M (log T )B1 . T
(48)
x
On est donc amené à évaluer les deux intégrales I1 et I2 (Fig. 2).
Fig. 2. Les deux chemins MT et Γ∗ T.
Pour évaluer I2 , on reprend mutatis mutandis la même méthode que celle dans [2] où l’utilisation des lemmes 2.4 et 2.5 est essentielle. On obtient alors l’estimation 1
I2 M hye−c2 (log x) 3 (log2 x)
−1 3
(49)
en choisissant : √ ε)/((12/5)+δ+εM )
T = x(1−
avec M une certaine constante > 0 convenable. En reportant donc dans (48), il suit en conséquence : x+h
1 −1 x2 D(t)dt = I1 + O M (log T )B1 + M hye−c2 (log x) 3 (log2 x) 3 T
x
où I1 est l’intégrale définie dans (47).
,
(50)
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245
Posant : Φ(x) :=
1 2πi
F (s)
Γ∗ r
xs+1 ds, s(s + 1)
l’intégrale I1 s’écrit I1 = Φ(x + y + h) − Φ(x + y) − Φ(x + h) + Φ(x). Par la formule de Taylor, on a pour |u| ≤ 2x, Φ(u + h) = Φ(u) + hΦ (u) +
h3 h2 Φ (u) + O M (log x)M1 −1 , 2 x
en utilisant le fait que sur Γ∗r , on a |F (s)| M |s − 1|−M1 M (log x)M1 .
(51)
D’où
h2
h3 I1 = h Φ (x + y) − Φ (x) + Φ (x + y) − Φ (x) + O M (log x)M1 −1 . 2 x Or sur Γ∗r , on a aussi (x + y)s−1 − xs−1 |s − 1|yxσ−2 y , x log x on obtient par conséquent I1 =
h 2πi
F (s) Γ∗ r
h2 hy (x + y)s − xs ds + hO M +M (log x)M1 −1 . s x x
Et par suite, l’évaluation (50) devient : 1 h
x+h
D(t)dt =
1 2πi
x
F (s) Γ∗ r
(x + y)s − xs ds + O R1 (x, y, h) s
(52)
avec R1 (x, y, h) := M (
1 −1 h2 x2 + )(log x)B2 + M ye−c2 (log x) 3 (log2 x) 3 , Th x
B2 étant une certaine une constante positive.
(53)
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246
On pose maintenant pour tout w ∈ [x/2, 2x] 1 Ψ(w) := 2πi
F (s)ws−1 ds
(54)
Γ∗ r
et on écrit (52) sous la forme : x+h
1 h
x+y
Ψ(w)dw + O R1 (x, y, h) .
D(t)dt = x
(55)
x
D’après le lemme 2.2, on peut écrire : Ψ(w) =
+O RN
(56)
N
avec N
N m
1 := em,n 2πi m=0 n=0
:= (2M )N +1 RN
| Γ∗ r
(log(s − 1))n (s − 1)m (s − 1)m−1 (1) ws−1 ds, Γ∗ r
s − 1 N +1 | | log(s − 1)|N +1 |ws−1 ||ds|. r
Pour continuer l’estimation de Ψ(w), on pose u = (s − 1) log w, et on suit la même méthode que celle utilisée dans [8], pp. 51-55, mutatis mutandis. On obtient
N Pm (log log w) N (x)) + O(R m (log w) m=0
1 (1)−1
Ψ(w) = (log w)
(57)
avec Pm le polynôme exprimé dans (10) et N (x) = R
N +1 c4 N + 1 (c5 + log log x) , log x
c4 et c5 étant des constantes > 0. Par le développement x+y
y α
(log(x + u))α Pm (log log(x + u))du
(log w) Pm (log log w)dw = x
0
= y(log x)α Pm (log log x) +y
2 (log x)
x
α−1
O
N
m=0
|Pm |(log log x) ,
(58)
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on obtient en vertu de (55) et (57) : 1 h
x+h 1 (1)−1
D(t)dt = y(log x) x
N Pm (log log x) + O R2 (x, y, h) m+1 (log x) m=0
(59)
avec N +1 N y |Pm |(log log x) c4 N + 1 (c5 + log log x) R2 (x, y, h) = + + x m=0 (log x)m+1 log x +M (
(60)
1 −1 h2 x2 + )(log x)B2 + M e−c3 (log x) 3 (log2 x) 3 . T hy xy
En considérant à la place de D(t), la fonction sommatoire
D1 (t) :=
f (n),
t≤g(n)
alors sous l’hypothèse h = o(y),
(61)
on a aussi en vertu de (55), (57) et (58) 1 h
x 1 (1)−1
D1 (t)dt = (y + h)(log x) x−h
N Pm (log log x) + O R2 (x, y, h) . (log x)m+1 m=0
(62)
Considérons finalement x 1 r(x) := h
x−h
f (n)dt − f (n) . t≤g(n)
Nous allons achever la démonstration du théorème 1.1 en montrant que r(x) hM (log x)M1 . On fera appel à l’hypothèse du Théorème 1.1 affirmant que la série de Dirichlet f+ (n) F+ (s) := , associée à F (s), possède la propriété P(A, M, M1 , M2 , δ; 1 , 2 ). g(n)s n1
D’abord, l’inclusion J := [x, x + y[⊂ Jt := [t, t + h + y[ implique
r(x) ≤
1 h
x x−h
g(n)∈Jt J
f (n)dt
248
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1 ≤ h 1 = h
x
f+ (n)dt
x−h g(n)∈Jt J
x
f+ (n)dt −
x−h g(n)∈Jt
f+ (n).
g(n)∈J
Or si t ∈ [x, x + h[ alors It := [t, t + y − h[⊂ [x, x + y[ = J. Donc
x+h
1 f (n) ≥ h +
g(n)∈Jt
x
f+ (n)dt.
g(n)∈It
Par suite, on peut écrire 0 ≤ r(x) ≤ r1 (x) − r2 (x) avec 1 r1 (x) := h 1 r2 (x) := h
x
f+ (n)dt,
x−h g(n)∈Jt x+h
x
f+ (n)dt.
g(n)∈It
Définissons Ψ+ (w) d’une manière analogue à Ψ(w) en remplaçant dans (54) la série F (s) f+ (n) par F+ (s) := . D’après (55), on a g(n)s n1
x+h+y
r1 (x) − r2 (x) =
x+y−h
+
+ (w)dw Ψ
Ψ (w)dw − x
x−h
x =
+ (w)dw − Ψ
x−h
x+y+h
+ (w)dw. Ψ
x+y−h
Comme + (w)| M (log x)M1 |Ψ
(x/2 ≤ w ≤ 2x),
il vient alors r(x) hM (log x)M1 .
(63)
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Et il découle donc de (62) x≤g(n)
1 f (n) = h
x
D1 (t)dt + O hM (log x)M1
x−h
1 (1)−1
= (y + h)(log x)
N Pm (log log x) + O R2 (x, y, h) , (log x)m+1 m=0
où l’expression de R2 (x, y, h) est celle de (60). Le terme d’erreur énoncé dans le Théorème 1.1 s’obtient finalement par le choix h = x1+ε −ε yx et la condition y ≥ √ . T Références [1] B. Balasubramanian, K. Ramachandra, On the number of integers n such that nd(n) ≤ x, Acta Arith. 49 (1998) 313–322. [2] Z. Cui, G. Lü, J. Wu, The Selberg-Delange method in short intervals with some applications, Sci. China Math. 1 (22) (2018). [3] A. Ivić, The Riemann Zeta-Function, A Wiley Interscience Publication, 1985. [4] Y. Motohashi, On the sum of the Möbius function ina short segment, Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 52 (1976) 477–479. [5] A.A. Sedunova, On the mean values of some multiplicative functions on the short interval, arXiv: 1302.0471v1. [6] E.C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-Function, Second, Second Edition Revised by D.R. Heath-Brown, Oxford University Press, 1986. [7] G. Tenenbaum, Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 46, Cambridge University Press, 1995. [8] M. Tip, Easter Phaovibul, Extensions of the Selberg-Delange Method, Diss., University of Illinois at Urbana-Champaign, 2015.