Structure electronique des impuretes dans le nickel

J. Phys. Chem. Solids

STRUCTURE APPLICATION

Pergamon

Printed

Press 1963. Vol. 24, pp. 387-403.

ELECTRONIQUE DES LE NICKEL. ;2 LA

DIFFUSION

ALLIAGES

MAGNBTIQUE

Dl?SORDONNl%

h

BASE

in Great Britain.

IMPURETES DES DE

NEUTRONS

DANS PAR

DES

NICKEL

F. GAUTIER Facultt

des Sciences, Groupe II (Service de Physique des Solides). B.P. No. 11 Orsay (Seine et Oise) France (Received 25 May 1962)

R&urn&-On calcule la forme asymptotique de la variation de densite electronique Ap(r) produite dans la bande d du nickel par un atome d’impurete. On adopte un modele de structure das bandes d du nickel dtduit par des calculs de liaisons fortes a l’aide d’un developpement pour des vecteurs d’onde proches du haut de la bande. On trouve que Ap(r) est fortement anisotrope ; elle est localisee dans les plans atomiques (loo), (010) et (001) qui contiennent l’atome d’impurete et elle oscille pour les distances r croissantes avec une amplitude decroissante en +. Dans le nickel ferromagnetique, ce changement de densite Clectronique produit un moment magnetique a grande distance de signe alterne pour les distances r croissantes. Cet effet produit une singularid dans le facteur de forme magndtique pour la diffusion des neutrons par des alliages desordonnes a base de nickel. La singularite observee dans les alliages de Ni-Fe pourrait 6tre due en partie a cet effet. On pourrait observer aussi de telles singularites dans tous les alliages metalliques avec des moments magnetiques desordonnts ; ceci est settlement une consequence du comportement oscillant a grande distance de ces moments. Summary-The asymptotic form of the change Ap(r) in electronic density produced in the d band of nickel by an impurity atom is computed. The structure assumed for the d bands of pure nickel is deduced from tight binding computations by a development in wave vector near to the top of the bands. Ap(r) is found to be highly anisotropic; it is localized on the (loo), (010) (001) atomic planes which contain the impurity atom, and oscillates with increasing distance r, with an amplitude decreasing as r-s. In ferromagnetic nickel, this change in electronic density produces a long range magnetic moment of sign alternating with increasing distance. This effect should produce a singularity in the magnetic form factor for neutron diffusion by disordered nickel base alloys. The singularity actually observed in Ni-Fe alloys might be due in part to this effect. Similar singularities should be observed in all metallic alloys with disordered magnetic moments: they are merely a consequence of the long range oscillating behaviour of these moments.

I.

INTRODUCTION

I. 1. Les electrons de conduction d’un metal caracterise par un potentiel de reseau VE sont diffuses par une perturbation localisee. La modification de repartition Clectronique spatiale qui en r&&e presente B grande distance de I’impurete des oscillations dont l’amplitude decroit comme r-3. Dans l’approximation de HARTREE, ROTH(~) et 387

BLANDIN@,3) ont lie le comportement asymptotique de ces oscillations a la forme de la surface de Fermi. On se propose ici de determiner dans ses grandes lignes la forme des oscillations de densite Clectronique dans le nickel. On developpe pour cela dans la Section II un modele approche des bandes d du nickel a partir des calculs de liaisons fortes de FLETCHER.t4)

388

F.

GAUTIER

La theorie g&r&ale de Roth-Blandin ne s’applique pas par suite de la forme particuliere des surfaces d’energie constante ; on calcule dans la Section III la forme asymptotique de la variation de densite Clectronique. On trouve (cf. formule 3.32) qu’elle est localisee au voisinage des plans atomiques (loo), (OlO), (001) passant par l’impured. I. 2. La diffusion magnetique des neutrons par un alliage ferromagnttique est sensible aux oscillations de spin introduites par chaque impurete : la courbe donnant l’intensite neutronique diffusee dans une direction determinCe en fonction de la longueur s du vecteur de diffusion presente un point singulier s = 2kF. Dans le cas du nickel, comme dans le cas des electrons libres, 2kp est le nombre d’ondes des oscillations de spin (Section IV). Les courbes de diffusion obtenues dans le cas d’un alliage Fe-Ni par SHULL@) et LOWDE@) presentent un point singulier. On attribue ce phenomene aux oscillations de spin ; si les calculs theoriques ne predisent pas exactement la forme de la courbe de diffusion, ils donnent cependant une position du point singulier en accord avec les mesures experimentales. II. MODELE DE STRUCTURE ELECTRONS 3d DU

II.

DE BANDES NICKEL

(h gauche) section par le plan kz = 0.

FIG. l(a).

FIG. l(b).

Section par le plan Kz = 2x/n.

kz

f

DES

1. Structure de bande de Fletcher

Fletcher a dtveloppe un calcul de liaisons fortes pour les electrons 3d du nickel. 11 a montre que le sommet de la bande est constitue par les diagonales des faces car&es de la zone de Brillouin. Quand la bande est presque pleine, c’est-a-dire dans la limite oh : 6E = EF--E. (ET est l’energie de bande),

de Fermi

-+ 0

; Eo l’energie

k, J du haut

(a) les surfaces d’energie constante sont voisines de cylindres ayant pour axes les diagonales des faces carries de la zone de Brillouin (Fig. 1) ; (b) la loi de dispersion E(k) = EF est donnee sensiblement par une variation parabolique du rayon des cylindres 9 en fonction de l’energie 26E = AS. A est une constante

dependant

(2.1) des integrales

de

x

kx FIG. l(c) FIG. 1. On a reprCsent6 (a droite) les surfaces d’Cnergie constante correspondant B notre mod&k en comparaison avec les surfaces obtenues par Fletcher.

STRUCTURE

recouvrement

ELECTRONIQUE

du potentiel

DES

:

(c) la fonction d’onde de Bloch y(k,r) qui, en gCnCra1, est une combinaison line’aire des cinq orbitales d centrees sur chacun des sites Rj du r&eau

est, pour chaque cylindre, fonction d’une seule orbitale d, les autres coefficients Ala s’annulant. Ainsi, pour des cylindres ayant leurs axes paraWes B [O,l,O], la seule orbitaie

intervient

; ia fonction

de Bloch s’Ccrit :

exp(ikRj)&(r-

Rj) (Fig. lc)

IMPURETES

DANS

LE

NICKEL

389

grandes lignes, sinon dans le d&ail, coincide avec a densit electronique reelle. ILI. OSCILLATIONS

DE DENSITE ELECTRONIQUE DANS LE MODELE CHOfSI

III 1. La diffusion Clectronique dans les mCtaux a et& Ctudiie g partir des 6quations aux diffkrences de SLATER et KOSTER par KOSTER(~~) qui en a dhduit la forme asymptotique des fonctions d’onde diffusCes. En utilisant directement les fonctions de Bloch, Roth et Blandin ont obtenu les formes asymptotiques de la fonction d’onde et de la variation de densit Clectronique. C’est ce formalisme que nous utilisons ; on en trouve l’essentiel en rCf&ence.(ll) Les formules donnt!es par Roth et Blandin ne sont d’ailleurs pas applicables ; efles font en effet intervenir le tenseur inverse des masses effectives a = VkVkE

(2.4) oh N est une constante qui normal& de BJoch dans 1’unitC de volume : $

~(k,r)~*(k,~)

la fonction

dr = 1

s n oh Q, est le volume atomique. du calcul des liaisons fortes

Dans l’hypothhse

N = a-1. II. 2. Modkle choisi On supposera que les r&&tats prCcCdents (a), (b), (c), trouves dans la limite air SE -+O, sont encore valables pour 1’Cnergie de Fermi. En fait, le niveau de, Fermi du nickel - qu’il soit ferromagn~tique ou par~agn~tique - est assez loin du haut de bande de sorte que l’approximation est gross&e. La validit de cette approximation est discutCe dans I’Appendic~ A. Remarquons simplement que cette description preserve le caracthre dominant de symCtrie de la surface de Fermi. La r&partition de densit& klectronique, d’apres les rCsultats de Roth et Blandin, refl&te la forme de la surface de Fermi, au moins B grande distance de l’impuretk localisde ; on doit s’attendre g avoir une description de la r&partition Clectronique qui dans ses

qui n’existe pas dans le cas de surfaces cylindriques puisqu’alors le diterminant associC & a est nul. Si on applique brutalement les formules de Roth Blandin, on trouve une densit infinie rCpartie dans chacun des plans (loo), (010) et (001) issus de l’origine. 11 est done nCcessaire de refaire des calculs analogues aux calculs de Roth et Blandin pour trouver dans ce cas particulier la variation de densit&. Dans la suite, apres avoir Ctabli rapidement les formules gCnCrales relatives g la variation de densit Clectronique (paragraphe III. 2), on examine dans notre modele la dCpendence spatiale de la variation de densit (paragraphe III 3) et on calcule dans l’approximation de Born et dans l’hypoth&e d’un potentiel IocalisC I’amplitude de diffusion (paragraphe III 4) ; dans le paragraphe III. 5, on donne la forme dgfinitive de la variation de densit Clectronique et on d&cute rapidement les &ultats obtenus (3.32 et 3.33). g&n&ales dormant la variation de densite’ &lectronique

III. 2. Form&s

On rappelle rapidement dans ce paragraphe la man&e dont on obtient la variation de dens& klectronique introduite par un potentiel localis VP(r). On obtient la forme asymptotique de la fonction

F.

390 d’onde a partir de la forme distribution de Green G+(E) M+(k)> Dans

asymptotique

= la(r))-~G+(s)v,l~+(k)i.

GAUTIER

de la

(3.1)

:

cette formule

]qh+(k)j est l’onde stationnaire resultant de la diffusion vers Z’uvant de l’onde de Bloch jrp(k)) par le potentiel localise VP. G+(E) est l’operateur de Green dont les elements de matrice dans une representation {r} satisfont a l’equation {A+Z(E-

VR)} G+(r,r’,E)

= -4d(r-r’)

(3.2)

ou VB(r) est le potentiel du reseau. Le signe + dans G+ signifie que G+(r,r’,E) a un comportement a l’infini d’onde sortante. En developpant la masse de Dirac S(r- Y’) par rapport au systeme complet des fonctions de Bloch, on obtient

Dans cette expression E > 0 est un nombre qui tend vers zero : il fixe le comportement asymptotique de G+(r,r’,E) ; n indice les bandes ; I’integrale J”’est prise sur la premiere zone de Brillouin. A partir du dCveloppement de la fonction

= ;+*i*(.z) designe et en remarquant vent s’ecrire cp,(k,r)

la partie

principale

que les fonctions

(3.4) de

de Bloch peu-

= u,(r, - iv) exp(ikr)

x

I,(E,u)

x

2 u(rn

I

=

(3.6)

exp(ikr) -dsk.

(3.7)

lCkEl

S,,(E)

Si on se limite a la recherche de la forme asymptotique de #+(k,r), settle une connaissance de la forme asymptotique de I,(E,r) est necessaire. En effet dans ce cas puisque le potentiel perturbateur est localise, les seuls points donnant une contribution non nulle dans (3.6) a I%(E,r-Y’) sont tels que Ir( 9 Ir’j. On &value dans l’ilppendice B par la mtthode de la phase stationnaire l’integrale (3.7) dans le cas particulier du modele choisi au paragraphe II. 2. La Fig. l(c) precise la gcometrie du probltme ; deux demi-cylindres i de longueur moyenne 271. I 2: - (a est le cAtC du cube a faces cent&es du

a

nickel), de rayon 2 sont symetriques par rapport au centre 0 de la premiere zone de Brillouin ; leurs axes sont paralleles a kc (K, R, ou k,) ; pi est le plan perpendiculaire a Kg passant par 0. Le point d’observation r est rep&C par rapport aux deux demi cylindres i par ses projections pi et zg respectivement sur le plan xi et l’axe ki. Les resultats du calcul donnent pour la contribution de la bande d

(3.5)

ou Un(r,--_V) est l’operateur obtenu en remplacant dans la partie periodique de la fonction de Bloch u,(r,k), k par l’operateur -iV qui n’agit que sur la fonction situ&e a droite de u, on trouve : = &

I

Dans cette expression on a &pare l’integration dans I’espace reciproque en integration sur les surfaces d’energie constante E’,Sn(E’) et sur les energies. On doit Cvaluer l’integrale

I(E,r)

G+(r,r’,E)

-’ exp[ik(r- r’)] __ IVkE] dSk* s,:(F)

- ?_ 2 T-~CO A

i

sin L zi

cos(ka(E,r)

_?_-

_________ -cj

r-n/4)

V’Pi

(3.8)

Les points de l’espace reciproque ki(E,r) qui interviennent dans (3.8) sont determines par la relation :

iV)uE(r’, -iv’)

G*,E = Ai@ avec hi < 0 d’apres Fermi

la forme

particuliere ki(E,r)

de

= koa f &‘&

(3.9a)

la surface

de

(3.9b)

STRUCTURE

ELECTRONIQUE

DES

kot determine par cette derniere relation joint 0 au centre d’un carre limite de zone de Brillouin ; on a pose en outre pi = [prl&. On &value alors separement partie reelle et partie imaginaire de la fonction de Green ; l’integration en Cnergie de la partie imaginaire de (3.6) est immediate ; pour la partie reelle, on remarque que les contributions importantes proviennent de on &end alors l’integration jusqu’a E’21E; l’infini et en developpant la phase au voisinage de l’energie E, on trouve facilement la valeur de l’integrale correspondante ; on obtient :

IMPURETES

La grandeur ai

I(E,r) = f

2

(z

tres simple et en tous points on dtduit de densite electronique Ap(r) spin determinCe et integree BLANDIN@)

~_@W+p(k~,r). IRAI~‘~

L’amplitude de diffusion de man&e habituelle :

(3.16)

i = u(r, - ;V)f+( -iV,ki)l(E,r)

(3.11)

et a l’aide de la relation (cf [4] Appendice

B)

sf+*(M)f+(k,k,)-IVkEI dsk

= f i

analogue (3.12) la pour une sur toute

L’integration est &endue sur tous les &tats occupcs. On effectue l’indgration de man&e identique a celle de la Ref. 3 ; rappelons en les &apes. On &pare l’integration dans le volume en integration Q Cnergie constante d’abord, puis sur les energies. L’integration a Cnergie constante s’evalue simplement a l’aide de I(E,r) en notant que

exp(i?r/4)

phi et xhi sont respectivement les projections de Rh sur TT~et kt. A l’aide des formules (3.1) et (3.11), pour r appartenant a CA, l’onde diffusee a la forme asymptotique suivante : 2

(3.15)

exp(iktr)-CC)

= IICI+(k,r)12-l~(k,r)12.

I

#+(k,r) N cp@v)+

)

Ap(r) = --& l APk(r) dk avec Apk(r)

On a remplace dans cette formule ki(E,r) par kz. On utilise la forme particulihe des fonctions de liaisons fortes (2.4) et grace a la localisation des fonctions atomiques &(r), on obtient finalement, si r appartient a la cellule CA centree sur le site h tel que IRA] 9 a :

x ‘pt(fw>cpi*(kd.

*@J

i

(3.10)

siniy

est don&e par la formule

Elle est IiCe Q I(E,r) par la relation

exp [ii&r-ij] y*(kt,*))

G+(r,r’,E) r %/(&I

391

NICKEL

(3.14)

sin - y x --&-

LE

at(r) = Y3,s(fJ(&)

Par un calcul a celui de variation de direction de la bande

G+(r,r’,E) ,T& 3 “iW)~&/(gT-~

DANS

Cf+(kki)-f+( + k,,kt)l.

On obtient (3.12)

s

dsk

AF’k(r) m

vers l’avant est definie X

ww(W’)cp(

kg)f+(

1 = 47rsirz -

kj,k{) - CC

392

F.

GAUTIER

Pour &valuer Ap(r), on integre sur les energies par parties en ne gardant que le terme preponderant a grande distance, on obtient alors si r appartient h CA telle que /Rhl & a

x cPc(k~,v)cpg(k3,r)~~(-kj,kr)+

CC

(3.17)

oti CC designe la partie conjuguee. A,(r) depend de deux facteurs qui traduisent faits nouveaux introduits par le potentiel rbeau.

Au contraire, pour une direction du plan T(, ‘pi = 0 et $

tend vers zero comme ~~1’2 = r-l/a

ment. Ceci explique pourquoi, lorsqu’on appliquait brutalement les formules de Roth Blandin, on obtenait une .forme asymptotique de la variation de densite strictement localisee dans chacun des plans TT~et de la valeur infinie. On applique maintenant ces formules pour pt $ a mais fini.

les de

(1) un .fucteur g.4omHrique caracterise par ki(E,r) et par ai ; il depend de la forme des familles de surfaces d’energie constante au voisinage du niveau de Fermi ; il determine dans une grande partie la dependance spatiale de Ap(r). (‘2) un facteur dependant de facon complexe des fonctions de Bloch. Comme dans le cas general il y a superposition de differentes ondes il existe des termes electroniques ; notamment d’interference (ii) entre les differentes portions de la surface de Fermi. Mais on verra que la forme particulikre des facteurs (1) et (2) fait que ces termes n’existent qu’entre cylindres d’axes paralleles et ne sont pas du tout g&ants, cette simplification considerable permet de poursuivre les calculs jusqu’au bout.

FIG. 2. Interfkrences

La fonction 3. Distribution de densite’ electronique : facteur

III.

g~ome’trique

Chacun des temps al(r) s’ecrit d’apres (3.14) 1 sin - .zi ai

_

y3/2

Pour

1

= exp(&/4) 2 A

une

direction

142779)

2/(pi)

entre

cylindres

; on a un ordre de grandeur de cette localization en notant que la largeur de la premiere oscillation sin 112~6 de la fonction ~~- l-est :

xi

2Axi=

;.

‘pi # 0 don&e,

la fonction

Dans le cas particulier

present Ir

Eet

n

Az~ N a.

1

,q

(3.19)

xi

y3/2

zi‘)m

paralkles.

fli

ac -- tend vers zero comme p;l/s puisque sin - .et 2 lim I__ = ;

d’axes

T3$ est localisee au voisinage du plan

2

1

__---

seule-

QJr tg cpi) = 3

IPi

qtg

cpr)

(3.18)

On distingue

deux sortes

de termes

(3.20) Apii(r)

(a) ki et kj correspondent d des cylindres d’axes para&les. On a alors xi = xi, pi = pj et ai

STRUCTURE

ELECTRONIQUE

DES

= ai(r) (Fig. lc). Le facteur g~om~trique qui intervient directement dans Apg*(r) se reduit & :

wzj

a,2

-12

1 sin2 -x2 1 2

IMPURETES

DANS

LE

NICKEL

393

- On choisit eomme fonctions d’onde Ies fonctions approchees (2.4). On distingue, comme dans le paragraphe prC&dent, les cas (a) et (b)

(a) kg et kj ~o~~es~o~e~~ ci MS ~y~indres d’axes (vi E vj). Les fonctions d’onde (2.4) font intervenir une seule et mCme orbitale atome I1 a une valeur non nPgligeable seulement au dn(r) (Fig. 1~). voisinage du plan TQ. Dans la suite OR n&gligerca de densite electronique J’ejffet des ‘tfrangeP f”(-ki,kt) = --l--xexp(-iki~,) correspondant aux oscillations de la fonction 27rN c@ sins 112zi -et on supposera, d’apres (3.21), que zt x exp(-~k~~~) V$ (3.23) se& ies plans reticulaires (loo), (010) et (001) sont ou on a pose : atteints par une perturbation non nulle B grande distance de l’impuretC.* (3.24) J$ = &51~Yf$)lbB)Le facteur geometrique prend une valeur indey3

=7=

(3.21)

xzzpt

$

par&les

pendente du plan ~6 quand r appartient B ce plan, comme l’imposent d’ailleurs des raisons de symetrie, il vaut alors : a2 i l2 ---c-v_ r3 r 2nAs9

On ne conserve de tous ces termes en accord avec l’approximation des liaisons fortes que ceux correspondant a a=j3=0

(3.22)

(b) ka et ki correspondent d des cylindres &axes non ~aral~~ies (n+ $ 91-j). Le facteur geometrique

eta=0

f+( - kj,ki) = -&

p#O Vg”o’+cc(kz,k$). (3.25)

77

est nul a grande distance de l’origine ; en ef?et, Le premier terme est independant de k ; le second 96 et 9~ ne peuvent Ctre tous deux voisins de zero n’intervient que pour faire varier sinusoi’dalement que prbs de la cellule centrale. On verra de plus, f+( - kf,kt) autour de la moyenne Vtn). dans Ie paragraphe suivant, que amplitude de D’aprb les approximations p&cite%, 09sn~gligera diffusion &;(kj,kt), correspondant a deux &tats ct(kl,ki) devant Vri. Si on suppose, de plus, que ka et kj pris sur deux cylindres d’axes non paralle potentiel V a une symetrie spherique, tous les leles est nulle pourvu qu’on se limite a l’approxitermes d’amplitude de diffusion sont Cgaux : mation de Born. Duns sotre mo&e, il n’y a done q$ = v;t = vg z v, pas de couplage entre les ~~~ndres d’axes non paraWes.

III,

4. Amplitude de diffusion

III.

4a. Dans le developpement (3.19, interviennent les termesf+( - kj,kf). On les Cvalue dam les approximations suivantes : - approximation de Born ; - approximation du potentiel localise ; le potentie1 perturbateur est suppose ne pas deborder de la cellule atomique oh se trouve l’impurete.

et

f+( - kj,ka) = --f2d

V,,.

(3.26)

(b) ks et kj correspondent li! des cylindres d’axes (rr( f 5rf). On peut refaire les mCmes calculs ; on obtient des expressions analogues a (3.24) mais oh interviennent des elements de matrice du potentiel perturbateur.

non paralGles

* Notons que la valeur de a&) n’est pas encore nt!gligeabte sur les sites plus proches voisins du plan fli ; Dans Ies approximations faites precedemment n6anmoins on verra que dans ce cas la contribution & les termes correspondant a’ na # ?rj sont nPgl&eables la densit6 Clectronique est nulle par suite de la forme par rapport aux termes “6 E *j. particulike des fonctions ~(k~,r) (cf. Appendice D).

391

F.

GAUTIER

III. 4b. On peut determiner la profondeur moyenne du potentiel diffuseur a l’aide de la regle de somme de Friedel. Puisque nous avons calcule l’amplitude de diffusion dans l’approximation de Born, il suffit d’ecrire cette relation au premier ordre en perturbation (approximation des bandes rigides). Elle s’ecrit : 2 = n(&)f

OiJ

On obtient pour la valeur de la densite tronique l’expression t&s simple :

b(r)

sin 29Z’R

= P ---L

Glec-

(3.32)’

&h(r).

h

p est un coefficient entierement

(3.28)

1 l”na ---E” = 4-4 A

calculable

:

vo

(3.33)

Rappelons que 1 est la longueur moyenne des cylindres, A la constante de dispersion (Z-l), a le volume atomique et Ve l’element de matrice du potentiel entre Ies fonctions atomiques (3.26). Les oscillations de densite dans le nickel sont fortement a~iso~apes ; elles sont locafisees dans certains des plans reticulaires (100) (010) et (001) passant par I’impured. L’amplitude des oscillations de densite dans ces plans decroit avec Ia III. 5. Forme d@nitive de la variation de densite’ distance Y comme r-e. Le nombre d’ondes des Llectronique introduite par une impurete’ dans le oscillations est 29 oh W est le rayon des cylindres decrivant la surface de Fermi. nickel Les resultats obtenus ne sont Ctonnants ; La forme asymptotique de la variation de dennous avons fait un developpement site Clectronique est done, si on neglige les puisque jusqu’au 2e ordre de la loi de dispersion B pa&r “franges”, nulle en dehors des cellules de Wigner du haut de la bande nous sommes dans l’approxicent&es sur les plans i7%. mation des masses effectives ; semi-classiquement, Dans une cellule cent&e sur le site X du plan on a done un gaz de trous dont une des masses ‘xwla seule contribution des cylindres d’axes paral1Cles Q k, n’est pas nulle. D’apres (3.17), (3.22) effectives est infinie, avec un nombre d’ondes de Fermi @. La perturbation ne s’etend done qu’au et (3.26) on a alors : voisinage des plans rrz: sur une distance &gale a i I’ la port&e du potentiel ; puisqu’on a suppose que Jw?i) &3(r) = ___ (3.30) le potentiel localise ne debordait pas la cellule 32rr4A RhZ atomique de l’impurete, il est nature1 que les A%(r) est dans cette formule somme de fonctions seules cell&es atteintes par la perturbation soient oscillantes de (3.17) correspondant aux cylindres les cellules cent&es sur nn. d’axes paralleles Qk,. L’effet du caractere ondufatoire se traduit seulement par : et oh I est la densite d’etats au niveau de Fermi par unite d’energie et de volume et 2 la charge dtplacee. La densite d’etats est don&e par le modele choisi. En assimilant le puits de potentiel a un puits car&, on obtient une valeur de l’ampiitude de diffusion en fonction de la charge deplacee qu’on utilisera dans le paragraphe III. 4.

v

n

Q

A,(r)

= 2’ {9?n(kz,r)cpn(ki,r)-CC).

(3.31)

Rappelons que dans cette formule &(E,r) sont definis par (3.9). Un calcul tres simple reproduit dans l’bppendice D.l montre que (D.4)

A%(r) = 8&?&(r)

oh 8%est le vecteur unitaire

sin 29& de pn.

. I?,+

(a) les “franges” de densite electronique paragraphe III. 3 que l’on a ici negligees. (b) les termes d’axes paralleles.

d’interference

entre

du

cylindres

Ce calcul ne donne un rbultat aussi simple que parce que l’on peut traiter a grande distance de man&e inde’pendunte les cylindres dont les axes ne sent pas parall&les.

STRUCTURE

~L~CTRO~IQUE

DES

IV. DIFFUSION MAGNETIQUJX DES NEUTRONS PAR UN ALLIAGE A BASE DE NICKEL ; INFLUENCE DES OSCILLATIONS A GRANDE DISTANCE D’UNE B5WRETE SUR LA DSFFUSION DES NEUTRONS IV. 1. Introduction

La diffusion des neutrons par un alliage ferromagn~tique r&_&e du couplage des neutrons, d’une part avec les noyaux (diffusion nucleaire), d’autre part avec les Clectrans (diffusion magnetique). On considere habituellement les Clectrons de I’alliage comme koculis& sur Ies orbitales atomiques des constituants (modele de Heisenberg}. Dans ce cas, la dependance par rapport au vecteur de diffusion s de l’intensite de desordre magn~tique est identique B celle del’intensite de dCsordre nuciCaire ; Ia section efficace de diffusion s’ecrit dans ie cas d’un alliage completement d&ordonnC :

IMFURE~~S

DANS

LE

NICKEL

395

d’origine ~lectronigue La diffusion magndtique de dCsordre prend son origine dans la r&partition Clectronique, autour de chaque impurete 3 situ&e au site RA, Ap(r--R,& Dans un alliage d&t! chaque impuretC diffuse ind~pendamment et si le desordre est parfait une formule analogue B la formule de Laiie (4.1) est valable (4.2) Dans cette formule et dans la suite le signe N signifie la transformee de Fourier d&nie comme &ant: f(.s) = 1 j(s) exp(-isr)

dr;

(4.3)

I’integraie est &endue sur tout le c&al. Dans le cas de la diffusion de neutrons incidents non polaris& par un Cchantillon d’alliage ferromagnetique sans aimantation macroscopique, on peut calculer le coefficient M.[8]

(formule de Von Laiie (7)) oh CA, CB, f-4, fB sent respectivement leS COncentrations et facteurs de forme du metal de base A et de Simpurete dissoute B ; ccest une constante. Dans le cas present dun alfiage B base de nickel, les electrons d sont a la base de la diffusion magnetique ; ils ne sont plus localises sur chaque atome mais repartis sur chacune des orbitales (2.4). Chaque impureto introduit des oscillations de charge ZIgrande distance, done de spin, puisque dans le nickel ferromagnitique une bande est pleine ; les neutrons sont sensibles B ces oscillations de spin. Le caractere delocalise des dlectrons d (metal) entrdine ainsi qu’on le montre dans le paragraphe IV. 2 l’existence d’une singularite dans la section efficace de diffusion magn~tique ; ainsi aux effets Gventuels de l’ordre sur le facteur de structure se superpose une singularit purement Clectronique ; la dependance de dcrjdQ(s) par rapport B s n’est pas la m6me selon que l’on consid&-e la diffusion magn~tique et la diffusion nu&aire. Dans Ie paragraphe IV. 3 un calcul grossier permet de prevoir le type de singularite obtenu et dans le paragraphe IV. 4 on d&cute rapidement Ies r&&.ats expCrimentaux de Shull et Lowde.

y est le moment magdtique du neutron (y = 1,91), ra est le rayon electronique classique et S le spin Clectronique. Les oscillations a grande distance de la variation de densid Ciectronique introduite par une impurete, consequence du caractere metallique de la matrice, ont un nombre d’ondes voisin de Zkp, oh 2k~ est une dimension caract~ristique de la surface de Fermi; on s’attend done B ce que sa transform&e de Fourier presente un point singulier plus ou moins marque pour Is] 5~ 2&. Cette remarque est g&r&ale et entraine d’apres (4.2) une singuiarite dans la section de diffusion magnttique. Dans l’appendice C, on donne les rCsultats obtenus dans le cas des electrons libres ; on pourrait diceler un tel effet dans Ies alliages du type Cu-Mn. Cet effet n’est d’ailleurs qu’un des multiples aspects decoulant dune densite d’etats non nulle au niveau de Fermi (effet Kohn ; singuIaritC dans le spectre des ondes de spin. . .). Dans le cas oh les dlectrons ne sent pas libres, le calcul de r&s) est difficile parce qu’en general on ne connait que la forme ~ymptot~que de Ap(t), on la notera dans la suite Apa(

396

F.

GAUTIER

Pour le nickel, la formule (3.32) laisse prevoir une singularite pour IsI fl 29’. Le rayon 9 pour le nickel ferromagnetique est calcule dans notre modele de sorte qu’il y ait 0,5 magneton de Bohr par atome. On trouve 9 = 0,7 rr,/n ; I’angle de diffusion auquel il y aurait une singularid est done 2 0 N 13” pour une longueur d’onde neutronique /\ = 1,l A. On essaye dans la suite de calculer le type de singularite obtenu. IV. 3. iZllure de la singularite’ obtenue dam alliages 2 base de nickel On &pare

Ap(r en deux parties

n sin 29 R,, cos sR,,. = CL2 RR2 h X

&(s)

La

somme

i

A

est

la somme

sur

tous

(4.7)

les

sites

R, du plan & hormis le site central. fn(s) est le facteur de structure de l’orbitale n ; dans g,(s) est contenue toute l’information relative aux oscillations de densite electronique ; ce sont ces

des

:

Ap( r) = Apm( r) + Apo( r)

(4.4)

APO(r) decrit 1’Ccart de Ap(r) par rapport a sa forme asymptotique ; la fonction A@(r) est essentiellement localisee dans la cellule atomique dc l’impurete ; son allure spatiale est don&e par la repartition Clectronique corresatomique pondante. La transformee de Fourier de .IpO(r) sera une fonction monotone decroissante du type generalement obtenu;(“p 5) elle aura des valeurs non negligeables pour :

IsI 2 2 ys oti rs est le rayon de la sphere $(s) est alors somme ments differents :

FIG. 3. atomique.

de termes

(1) &h( s ) f one t’ion monotone (2) &m(s) fonction pour IsI = 2%.

de comporte-

decroissante,

presentant

une singularite

Apm(r) ne prenant des valeurs appreciables que dans les cellules cent&es sur les plans 7rn et en utilisant la formule (3.32) on trouve facilement Apa comme somme de trois termes correspondant aux contributions des trois plans rn. AP?s) Dans

cette formule, f%(s)

= 2 fn(s)g&)~ 11

(4.5)

exp-(isr)

(a) On suppose que les electrons dans la cellule centrale sont repartis sur des orbitales atomiques. &z(r) ; on suppose de plus que les trois orbitales d sont Cgalement occupees, ce qui, dans I’hypothese d’un potentiel perturbateur VP (r) B symetrie spherique est evident par raison de symetrie. (b) On determine la densite dans la premiere cellule par la condition que la charge totale deplacee dans la bande d soit Cgale au supplement de charge nucleaire 2 introduit par l’impurete 2 =

on definit

= s+fJr)

fonctions g,(s) (TZ= 1,2,3) qui ont une singularite au voisinage de IsI = 2%. On determine la contribution de la cellule centrale de la man&e suivante :

dr

(4.6)

I’

Ap(r) dr = a”,(O) = &(O)+@(O).

(4.8)

On peut determiner entierement le coefficient p dans l’hypothese ou le potentiel diffuseur est une

STRUCTURE

EL~CTRON~QUE

DES

perturbation d’aprbs la remarque du paragraphe III. 4b. Pour que le probleme soit entierement rkolu, 11 sufht done de calculer A;=(S) ; on alors :

Dans eet article, nous donnons seulement une approximation t&s grossi&e de Apw(s) ; on ne cherche pas a dormer de man&e precise la forme de la courbe de di~usion mais seulement B $6 v&r b type de disco~t~~u~t~ que peut engendrer la consideration d’orbitales mol~cul~res. On trouvera dans ~Appendice D.2 les calculs et les approximations faites ; on rephe le vecteur S par rapport aux plans nn par les angIes ‘pz et S; (Fig. 3)

I~PUR~TES

DANS

LE

NICKEL

397

marque si on tient compte de Ia decroissance de f%(s) ; on pourrait mCme avoir une coube de la forme don&e par Ia Fig. 4(c). Les memes remarques sont valables pour 1~Ip(s)j2 ; dans le cas de polycrista~ pour Iesquels on a fait des mesures, c’est la moyenne de 1Ap(s)1” calculce pour toutes les orientations du vecteur de effusion par rapport aux axes cristallographiques ; l’intensite ne depend alors que du module IsI ; la singularitt est moins marquee par suite des operations de moyenne. La Fig. 4(d) montre l’intensite d&see due B la seule variation de densit& Ap”(r) :

On applique la theorie precedente aux a&ages Xi-Fe pour Iesquels on a quelques resultats exp~rimentaux. La diffusion magnetique des neutrons donne des courbes qui presentent des anomalies par rapport 8 la diffusion calcul&e a partir d’alliages desordonnkes et dans l’hypothese de moments locali& ; le type de courbes obtenues est donne par la Fig. S.(st 6710) La courbe reprcsentant cette fonction a une Ces &arts ont et& interpret& par ces auteurs singularite pour $1 z 26% (Fig. 4a), comme dii 8 un ordre local; et en effet l’anomalie En calculant la densite d’etats au niveau de est au voisinage des raies de surstructures pour Fermi grace I la formule (3.29) on trouve N&Fe (18%’ et 25%‘). Cependant on obtient ce type de diagrammes non seulement pour des s2 p=zvaleurs des concentrations voisines de N&Fe mais 37ra dans tout le domaine de concentrations. De plus la et region de singular&S reste ~nd~~e~duntede la conc~tratian et ~~d~~~a~te dv tra~teme~tt~~~iq~e. Ces faits sont difliciles Q interpreter par un ordre chimique local. Rtcemment, COLLINS,JONESet On reprcsente sur la Fig. 4(b) Ia courbe reprbenLOWDE(JQont mesure en m&me temps que la tant $(s) dans ces approximations. Elie part de la diffusion magn~tique d’origine Clectronique, la valeur Z, croit jusqu’a la valeur de Is] = 2% pour diffusion nucleaire. 11s ont montrc que les courbes laquelle elle a une d~sco~tin~it~de la tange~te de diffusion montraient l’existence dun ordrc ~~(~~ est assez fortement anisotrope ; notons local pour la composition de 30 Fe 70 6sNi et aussi, qu’en vertu des approximations grossikres qui mais a un moindre degre, pour 60 Fe 40 eONi. ont &te faites I’anisotropie provient seulement de Dans ce dernier cas, les courbes experimentales g%(s). 11 faudrait ajouter une anisotropie due au obtenues pour la diffusion magn~tique et la facteur de structure qui est assez grande. De plus, diffusion nuclCaire montrent cependant des comfe m~imum obtenu pour Is/ = 29 sera mains portements distincts. On trouve aIors :

398

F.

--

GAUTIER

Ib)

13

10

degrees

28, 4(a).

La

degrees

24

courbe g&) a une singularitt .V; = 2,Z(2f? = 13”).

4(b).

pour

30

20

Amplitude de diffusion totale direction d&erminee,

dans

une

id)

1 ilk IO

degrees

28, 4(c).

20

13

28,

Amplitude de diffusion totale direction dCtermin6e.

dans

une

(el

dQ

< E

I--

!

IO

13

24 4(e).

Section

efficace

totale

degrees

4(d). Section efficace pour une poudre due g APE(~), La singularit est moins marquee dans une poudre.

.d.c g

30

20

30

degrees pr&ue

pour une poudre.

FIG. 4. Sections efficaces de diffusions. ----------Contribution de la variation de densiti: courte distance.

1

-.--.-

B

Contribution de la variation grande distance.

de densite

STRUCTURE

ELECTRONIQUE

DES

Un or&e local ne saurait explipuer tout le ph&nomJne.

Or, d’aprk le paragraphe p&&dent les oscillations de den&C de spin ?I grande distance sont ti l’origine d’une singularit dans la courbe de diffusion pour 26 N 13” ; les mesures de Shull et I

I

du Tiz

(a)

1. . .

I. x

X

.. X

‘-,x

X --__

I

IO 28

DANS

LE

NICKEL

399

nkessaire de connaitre de faGon plus exacte la charge dCplacCe Ap(r) dans tout l’espace, mais surtout on doit d’abord calculer de man&e plus prCcise g,(s) et sa dCpendance par rapport g 1s 1 dans certaines directions. On pourra alors comparer directement avec des rksultats expkrimentaux sur les monocristaux ; la comparaison avec des expkriences sur des polycristallins est beaucoup plus difficile parce qu’elle nkessite la connaissance de la variation du facteur de structure par rapport g toutes les directions de s.

Y ---_

I

IMPURETES

-_

I

I

,

20

30

degrees

de remercier ici Remerciement-Je suis heureux Monsieur le Professeur J. FRIEDEL qui m’a propos6 ce probKme et m’a constamment guidC au tours de ce travail.

5(a). Mesures de Shull.

APPENDICE A Validit

du =

g 3

du Modkle (1) On utilise dans toute la suite les notations de (4).

-A'3-

x Y

2-

Q

I-

(b) -.

+. --K_

Y(k,r)

X ---__

X

X --'___

X

---.__ I IO

I 13 28

Rappelons (2.2)

I 20

I 30

degrees

exptrimentales

d’onde du type

= 2 n,,(k) exp(ikRj)&(r-Rj). ma3

On obtient facilement B l’aide des Cquations de Schrijdinger des Clectrons d dans le potentiel atomique U et dans le potentiel de rkseau VR, la sCrie d’kquations linkaires ;

S(b). Mesures de Lowde. FIG. 5. Mesures

qu’8 partir d’une fonction

a,(Hmn-EZ&)

=

0

(m,n = 1,2, . . . 5).

de la section efficace.

Lowde situent en gros cette singularit entre 10 et 20”. Cet effet serait indkpendant du traitement thermique et de la concentration pour autant qu’on ndglige les interactions entre impure&. On prkvoit ainsi une courbe de diffusion qui a l’allure don&e par la Fig. 4(e). Elle diffkre de la courbe expdrimentale en ce qu’elle est d&al&e dans la region des petits angles. Ceci n’a rien d’Ctonnant par suite des calculs rudimentaires que l’on a faits. Pour opter de manikre indubitable en faveur de l’une ou l’autre interpktation, il est nkessaire, du point de vue expkrimental, d’avoir d’autres informations sur la diffusion des neutrons aux petits angles et surtout par un morwcristal. On aura ainsi une information sur l’anisotropie du facteur de structure. Du point de vue thkorique, il est sans doute

Dans ces equations Hm, sont des quantitks dkpendant du vecteur d’onde k et des Clements de matrice Ai du potentiel VR- U pris entre les fonctions d’onde atomiques d cent&s sur des sites voisins (kquation (7) Ref. (4)) Les relations de dispersion E = E(k) sont done donnkes par I’kquation s6culaire. (A)

det (Hmn--El&(

= 0

et les coefficients all s’en dkduisent immCdiateme+ Dans la suite on pose2 r[, 7, 5) = a(k,,k,,ki) ; k,, kk sont les axes men& du milieu 0 de .4B paralklement &kz et kv. Nous cherchons la relation de dispersion et la fonction d’onde pour des vecteurs d’onde proches de la diagonale AB qui constitue pour une part le sommet de bande. Plus prCcis6ment au voisinage du point ko de AB on kcrit

E(k,,+Sk)

= E;+SE.

Eb &ant I’Bnergie de haut de bande ; on developpe alors dans (A) les quantitks HvLn en fonction de 5 et 5 et on se limite au 2” ordre par rapport ZIces variahles ;

400

F.

un calcul sans difficult6 (i) les surfaces (h.1)

qui sera reproduit

d’Cnergie constante

GAUTIER

ailleurs donne

sont donnees

par

(A.11 les quantites A (7) et Eo = 4 (AI+&) A(q)

= h’ -n’

et B (7) sont Ii&es aux paramhtres Ai

cos2

de Fletcher

v/2

B(T) = b’-a’ sin2 77/2

par les relations

b’ = 4(A1 -An) = 0.524 Eo 0’ =

8A2, 4 AZ---AI+&

I

En particulier, les surfaces cylindriques delimitent un volume commun d6s le haut de la bande (H ” 0) puis deux volumes d&s que R 3 (n/2a). A chacune de ccs parties communes, il correspond une bandc distincte dans le modkle de Fletcher. On doit considerer chaque surface limitant une partie commune, comme surface limitant deus bandes. On doit en tenir compte notamment dans l’&aluation de la densit d’Ctats et de l’int& grale I(E,r) (Appendice B). Lc niveau de Fermi ferromagnCtique correspond B .X = 0,7 r/n. *qu niveau de Fermi, comme dans le modkle de Fletcher interoiennent trois bandes.clJ

= 0.012 E. (ii) Ies fonctions d’onde donnees par (2-4) ne dCpendent que de la seule orbitale d qui pointe dans les directions KZ et kz perpendiculaires & AR. (2) Discussion des h_vpoth&es dzl paragmphe II.2 dans In limite XE + 0 Ces hypotheses sont valables au dew&me ordre si on nt?glige a’ devant b’. On a d’ailleurs calculC dans les hypothsses des formules (2.4) (A.1) la variation de densit Clectronique ; on trouve : (a) une densit Clectronique 1ocalisCe dans des rtgions angulaires trPs Ctroites au voisinage des plans (010) (001) (100). (b) une assez forte anisotropie selon la direction d’observation dans chacun de ces plans. Celle-ci est cons& quence de la topologie particuliere des surfaces (A.1) (Elles representent une ligne de singularitk). La rkpartition Clectronique prCsente la m&me allure g&&ale que celle pr&vue par le mod&le dans le paragraphe III. Ceci justifie entikrement le mod&le dans la limite 8 E --f 0. (3)

APPENDICE (1)Surface

B

de Fermi

Dans le mod&le choisi, la surface de Fermi se compose de douze 4 cylindres ; on groupe ces cylindres en trois classes de 4 cylindres, suivant que leurs axes sent paralleles B ks, kll ou kz. On traite simultan6ment deux demi-cylindres symttriques par rapport au centre de la z&e de Brillouin. On veut calculer la fonction I(E,r)

I(E,r) = xIt(E,r) somme des integrales

Ii(E,r)

1 G i 6 6,

de surface.

=s

ask

exp(W us

WV

On &due dans intCgrales lj(E, *).

le paragraphe

suivant

I’une

des

Validire’ du modile jusqlr’au nizentr de Fermi

L’extension du mod&le jusqu’au niveau de Fermi est justifiCe essentiellement par le fait que, m&me loin du haut de bande, les surfaces presentent une symetrie “cylindrique”. Au-de]& du 2e ordre, les calculs deviennent t&s compliquts. Cependant la signification de l’approximation est assez Claire. Dans notre modhle, les diverses portions cylindriques de la surface de Fermi s’intersectent, ce qui ne saurait avoir lieu que pour un potentiel t&s particulier. En particulier, quand on fait un dCveloppement au 4e ordre, les surfaces s’evitent selon un r&ultat gCn6ral de la thCorie des bandes. Les dCviations importantes par rapport g la sym&rie cylindrique sont la cons6quence de ce fait. Ainsi par l’application d’une perturbation du potentiel de r&eau SV,(r) on passe du modkle ‘Lcylindrique” caractkristique du potentiel de rCseau VA(r) au mod& de Fletcher caracteristique du potentiel de reseau du nickel (cf. Figs. la et lb).

(2) Calcul de l’integrale

r’(E,r)

P-1)

L’intCgrale est &endue sur les deux cylindres ayant deux axes parall&les B la m&me diagonale AB de la z&e de Brillouin (Fig. lc).

2E = A%. D’apr+s les notations

r=p+ptgipkz k = L%+rlk,

de la Fig. l(c)

9 et p sont respectivement les prof’ jections de k et de r sur le plan 1 k’ k,

i, est le vecteur unitarre dirige parallelement kr

k,r = gp+Tp

tgp

en posant 0 = (kl,@)

00 =

(knp).

& l’axe

STRUCTURE L’integraie

devient

ELECTRONIQUE

DES

:

IMPURETES

DANS

et en regroupant

LE

les r&&tats

401

NICKEL

de (B.2) et (B.3)

-4112

AI’(E,r)

= exp(ikor) j exp[Mp COS(~-&,)]U~ 1 0

-Cl2

x exp(+ = -

2

tg ‘p)

dq+ CC

I’(E,r) = i

(B.2) cos(k(E,r) r-f)

sin l/Z p tg p (exp(i&or)

PQY x

X

03.4) l/P

I”(r) + CC}

avec

ou encore, puisque I cos p = p

I’(E,r) = On peut developper cette integrale en serie de fonctions de Bessel, mais dans la limite des grandes valeurs de Irj elle s’evalue simplement par la methode de la phase stationnaire. Les seules contributions proviennent de 8 N Bs. On developpe COS(~-00) = cos 01 au voisinage 8 = 0 et

I”(r) N f exp(iS?p cos 0’) dfY --E

exp( - 9)

du

avec la notation

@P

28=

Ji-Fei

Quand p + cn 1 integrale du deuxieme vers une integrale numerique classique.

membre

zrr

sin+gY1

9

sin ‘pv’cos

$ Jf- 1 --( sin(k(E,r)

l

up)

r+a)

X

VW

r3:2

Le developpement precedent n’est plus valable pour 00 = 0, puisqu’alors on a deux extrCma de phase et Y(r) = VJO ( Wp), ohJa est la fonction de Bessel d’ordre 0. Cependant puisqu’ici on est dans l’approximation des liaisons fortes, on n’aure pas B calculer cette grandeur f’(E,r) que sur un site du reseau RA de sorte que expikoRA = i: 1 ; dans ces conditions, on voit aisement que la formule (B.5) est encore vaiable m&me pour t?o = 0. Les integrales Ig(E,r), d’aprbs la formule (B,S) ne dependent que de I’angle (ii de r avec YT~.I(E,r) est somme de contributions correspondant aux trois groupes de cylindres paralleles ic kz ky et Rz.

APPENDICB

tend

C

Diffusion mugn&ique des neutrons par un ailliagc d&ordon& dans l’approximation des dlectrons libres L’existence d’oscillations ii grande distance autour dune impurete dissoute se traduit necessairement dans

= l/n * exp(ik0r) P(r) +

la transform&e de Fourier ;;“p(s) par une singularite, sinon de la fonction, au moins des derivees. Ce fait appara^it dans l’approximation des electrons

expj-i:j

libres oti l’on peut calculer rp(s) aisement. L’introduction dune charge ponctuelle 26(r) dans un gaz d’blectrons libres conduit une variation de densite Clectronique qui a l’une des valeurs suivantes selon le type d’approximation que I’on fait :

cc

(1) Dans le modele de Thomas D’oti en posant

(B.3)

:

WW = k,+h$

ko = 0 0’

A?F(r)

x2.z = ,--;exp(-A,)

Fermi,(s)

; A2 =

402

F.

G”p’”(s)

4kF.Z

= +

(C.2)

n(s2+ AZ)

(2) Dans le modele de Hartree l’approximation de Born,(a)

A&b(s)= Z

GAUTIER

self consistent

et dans

(C.3)

,S2

~+m F

g(s) =I

APPENDICE

en evidence

un

D

Evaluation de l’nmplitude de diffusion

g(s)

Dans cette formule g(s) est donnee par

Par contre, peut-&tre pcut-on mettre tel phenomenc dans un alliage CuMn.

(C.4)

Dans le modele de Thomas Fermi TV’ reguliitrement avec s sans aucune singularite

An(r)

(1) Calcul de la fonction

:

+k” ls

1,a contribution de la variation de densite au voisinage du plan (010) a la diffusion est donnee par fa(s) gs(s) que l’on evalue ici ; les autres termes s’obtiennent de maniere identique.

dtcroit (Fig. 6a).

(definition

3.33).

La fonction A,z(r) a une forme t&s simple par suite de la valeur particuliere des fonctions d’onde (liaisons fortes). Ainsi, si r appartient a la cellule CA centree sur le site du reseau RA A3(f)

=

All(r)+2Alz(r)+A22(r)

P.1)

ob l’on dtfinit

t (a)

All(r)

exp(2ikolRJ

= k

exp(2i.%j% . Rh) (D.2a)

x g(Y) - cc A12(r) =

k exp[i(h

+ koz)RJ exp(2i@3

. RA)

x 5gAW - cc

(bl

i

1

/h(r)

= F exp[2i(kozRJJ

(D.2b)

exp(2Mjk

It,,)

x @jr)-CC

(D.2c)

On a pose p3 =

D’une maniere g&kale exp 2ikol Rh = exp 2ikoz Rh = 1 puisque 2 kol et 2 km sont des vecteurs du reseau reciproque.

FIG. 6. Dans le modble de Hartree

self-consistent,

;31p31.

l’existence

des oscillations a grande distance se traduit sur GHn( s) par un point singulier (d&iv&e infinie) pour s = 2kp (Fig. 6b). La decroissance en l/r3 se traduit d’autre part par une concentration vers s N 0 par rapport au modele de Thomas Fermi.

Pour des neutrons qui ont une longueur d’onde voisine de, 1 _k et pour kF N 1 UA = 0,s A, l’angle de diffusion correspondant est 20 N (tiF/n) N 10”. En dehors des pures difficult& experimentales, les neutrons n’etant sensibles qu’aux moments magnetiques, la plupart des alliages oh l’approximation des electrons libres n’est pas mauvaise ne donnent rien (CU, Zn . ..).

De plus, dans le cas particulier oti Rh est centre sur le plan 718et pour le systeme cubique a faces centrees

exp[i(kol+

koz)RJ

=

(D.3)

1

ainsi qu’on s’en assure tres simplement. Les contributions des termes d’interference egales aux contributions des termes directs

As(r) = i

exp.S&R,&(r)-

= g&i(r) [pour r appartenant

CC

sin 2%?jTj3RA a CJ

sent

(D.4)

STRUCTURE

ELECTRONIQUE

DES

Cette expression n’est pas toujours vraie quand est un site quelconque du rbeau, car alors

exp[i(kol+koz)Ril

R;\

defn(s)

cc

s

Y

NICKEL

403

On obtient d’apres la formule DE CALLOP, le resultat de (4.11) &condition de negliger la variation de fn( s) avec s.

BIBLIOGRAPIIIE

g,(s) est une somme sur les differents sites du plan “s par suite des hypotheses du calcul des liaisons fortes. En vue d’avoir le type de discontinuite pour 1s] N 2 @, on remplace la somme par une integrale sur tout le plan xn. Cette approximation n’est pas justifiee dans la mesure ou la longueur d’onde des oscillations 2% est sensiblement de l’ordre de grandeur de l’inverse de la distance interatomique. D’autre part, etendre l’integrale jusqu’a l’origine surestime certainement la contribution de la partie asymptotique, Ap”(r). Le type de discontinuite obtenu sera cependant probablement le meme queique la valeur calculee pour &“(s) ne soit pas bonne. Onaalors :

0

LE

On &value faciiement g,(s) B i’aide de la representation intdgrale de la fonction de Bessel d’ordre 0, Jo(u)

g,(s).

sin 2S?r I

DANS

= + 1

et pour la moitie des sites du rdseau cristallin les contributions des termes d’interference detruisent alors simplement ies contributions des termes directs (la variation de densite dans la cellule correspondante sera alors n&e). Dans le cadre de l’hypothese du paragraphe III. 3a, on neglige les franges de densite electronique alors seules les cellules sit&es sur les plans 71, pour lesquelles la formule (D.4) est valable, sont atteintes par la perturbation. Cette hypothese est completement justifiee par le fait, facilement verifiable, que pour les premiers voisins du plan ns Ap”(r) = 0 (2) Evaluation

IMPURETES

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

exp( -isr)

dr

(D.5)

11.

ROTH L., These, Harvard University (1957). BLANDIN A., These, Universite de Paris (1961). BLANDIN A., J. Phys. Radium 22, 507 (1961). FLETCHER, Pm. phys. Sac. LopId. 65, 192 (1952). SHULL C. G. et WILKINSONM. K., Phys. Rev. 97, 304 (195.5). Rep. 3758 (Harwell, LOWDE R. D., A.E.R.E. 1961). GUINIER A., Thtbie et Technique de la Radiocristallographie, p. 574. Dunod, Paris (1956). HALPERINet JOHNSON,PIzys.Rev. 55,898 (1939). MAGNUS et OBERHETTINGER, Functions of It/lathematicnl Physics, Chelsea, London (1954). COLLINSM. I?., JONESR. V. et LOWDE R. D., J phys. Sot. Japan (sous presse). KOSTERC. F., Phys. Rew. 95, 1436 (1959).