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Strukturelle analyse kinematischer anordnungen mit starren, nachgiebigen, flüssigkeits- und gasgliedern
Mechanism and Machine TheoD' Vol. 20. No. 3. pp. 209-2|3, 1985
0094-114X/85 $3.00 ÷ .00 (' 1985 Pergamon Press Lid,
Printed in the U.S.A.
STRUKTURELLE ANALYSE KINEMATISCHER ANORDNUNGEN MIT STARREN, NACHGIEBIGEN, FLOSSIGKEITS- UND GASGLIEDERN S. M I L L E R Politechnika Wroclawska PL 50370 Wroclaw, ul. Wybrzeze Wyspianskiego 27 (Received for publication 19 April 1983) Zusammenfmuwung--lnder vorhegenden Arbeit wird eine Obersicht und Einteilung aller Gliederarten, die in modernen kinematischen Anordnungen auftreten, vorgestellt. Vorgeschlagen wird ein allgemeines Modell, das alle Gliederarten, also starre, nachgiebige, Fliissigkeits- und Gasglieder umfasst, gekennzeichnet dutch den Kennwen der sog. inneren Beweglichkeit rund die Zahl S der Bindungen, die durch andere Glieder auferlegt werden, mit denen gelenkige Verbindungen mit Relativebewegung bastehen. Auf der Grundlage dieser Erwi~gungenwird eine verallgemeinene Zwanglaufbedingung abgeleitet, die ftir kinematische Anordnungen mit allen Gliederanen wichtig sind. 1. ELNLEITUNG Die allgemein bekannten strukturellen Zwanglaufbedingungen erm6glichen die Berechnung des Kennwertes W for kinematische Anordnungen, gebaut aus unvefformbaren, d.h. starren Gliedern. Im Konstruktionsaufbau der Maschinen gibt es auch Anordnungen, in denen andere, z.B. nachgiebige (Bild la und ld), Fltissigkeits- (Bild lb) oder Gasglieder (Bild Ic und d) auftreten. Diese bilden ebenfalls mit anderen Gliedern Verbindungen mit Relativbewegungen also Gelenke. Bei der Bewenung der Kennziffer W derartiger Anordnungen sind die bereits genannten Bedingungen uneeignet. Deshalb werden Versuche der Analyse aller in kinematischen Anordnungen auftretenden Glieder und deren Verbindungen vorgenommen. Ziel dieser Untersuchungen ist es, eine allgemeine Formel aufzufinden, die die Bestimmung der Beweglichkeit aUer kinematischen Anordnungen erm6glicht.
2. GLIEDER
Die Rolle der Glieder in kinematischen Anordnungen wird im allgemeinen durch physikalische K6rper efftillt, die in allen Formen auftreten, d.h. als feste und fltissige K6rper. Auf dieser Grundlage wird weiterhin tiber feste und fltissige Glieder gesprochen. 2.1 Feste glieder Bei den festen Gliedern werden zwei Gruppen unterschieden: • Feste Glieder sind for die kinematischen Anordnungen typisch: sie ver~ndern ihre Form unter Belastung dutch aussere Kr'~ffte weder im Ruhenoch im Bewegungszustand nicht, d.h., ihre Grundabmessungen veandern sich nicht. Solche Glieder werden nachfolgend als starre Glieder
bezeichnet. Beispiele for deranige Glieder sind allgemein bekannt: Gusseiserne Geh~use, Stahlhebel, Zahnrader, Wellen usw. • Seltener gibt es in Maschinen Glieder, die ihre Form unter einer Beanspruchung wesentlich andern, wie z.B. elastische Eiemente, Membranen, Stahlb~knder, Seile usw. Im allgemeinen k6nnen deranige deformable Glieder in verschiedenanigen Formen und Gestalten auftreten, jedoch sie k6nnen alle einem bestimmten Modell zugeordnet werden. Das Modell besteht darin, dass die unvefformbaren Halbgelenke (Gelenkelemente) dutch einen verformbaren Schaft verbunden sind. Deranige Glieder werden als nachgiebige bezeichnet. In einem nachgiebigen Glied ist infolge des verformbaren Schaftes bei Belastung eine relative Bewegung seiner Gelenkelemente m6glich. Als Kennziffer dieser charakteristischen Eigenschaft der nachgiebigen Glieder wird im folgenden die Innenbeweglichkeit r des Gliedes verwendet. Sie ist die Zahl der unabhangigen relativen Bewegungen (Freiheitsgrad) aller Gelenkelemente. Nun erkl~ren wir dieses Problem anhand von Beispielen: In Bild 2a wird eine Feder, gewickelt aus breitem Band, mit Endstticken in Form yon unvefformbaren kugelf6rmigen Elementen dargesteUt. AUein die Ausftihrung des Gliedes l~ksst die Feststellung zu, class seine Belastung yon seite der mit ihm verbundenen Glieder nut dutch Kr~fte m6glich ist, die l~ngs der durch die Mittelpunkte der kugeff6rmigen Gelenkelemente verlaufenden Achse wirken. Dies bedeutet, class Vefformungen dieses Gliedes nut eine ,~nderung der Ghedl~nge bewirken k6nnen. Die kugelf6rmige Gelenkelemente ,4 and B k6nnen infolge innerer Krafte eine einfache relative Bewegung ausftihren. Die Kraftfederkonstruktion in Bild 2b gestattet im Prinzip die M0glichkeit einer eindeutiger relativen Bewegung z.B. der Elemente B gegentiber den
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Es sei betont, dass starre glieder als Sonderfalle der nachgiebigen Glieder betrachtet werden konnen, ftir die r = 0 ist. /2 I
b) _J_2
3
/H..-I~.. I
c)
d) 1
Bild 1. Beispiele ftir kinematische Anordnungcn; a) mit starren und nachsiebigen Gliedern; b) mit starren und Fltissigk¢itsglieder; c) mit starrcn und Gasgliedem; d) mit starren, nachgiebigen und Gasgliedern. Elementen A und C. Wir erwarten nut eine Biegung der Tragfederarme und vernachlassigen die praktisch unwesentliche Torsionsnachgiebigkeit. Bei einer solchen Interpretation des Gliedes ABC wiarden wit ihm r = 2 zuschreiben. Das Zweigelenkglied AB in Bild 2c, dessen unverformbare Elemente A und B miteinander durch eine verformbare Membrane verbunden sind, erm6glicht drei voreinander unabh~.ngige relative Bewegungen der Gelenkelemente A und B. Es sind die Schiebund ~A und die zwei Drehungen /~BA und R~A. FOr dieses Glied ist r = 3. Alle derartigen nachgiebigen Glieder werden weiterhin mit grafischen Symbolen der starren Glieder (Bild 2) mit Angabe der Innerbeweglichkeit r bezeichnet. o)
2.2 Fli~ssigkeitsglieder und gasglieder Die Rolle des Flfissigkeitsgliedes und des Gasgliedes kann ¢ine beliebige Fltissigkeit bzw. ein beliebiges Gas erftillen. Praktisch werden im Maschinenbau aus bekannten Grtinden am hiiufigsten yon den Fliissigkeiten das Ol und yon den Gasen die Luft verwendet. Glieder dieser Art haben gewisse gemeinsame Eigenschaften. Beide Typen yon Gliedern, Fltissigkeits- wie Gasglieder, treten in kinematischen Anordnungen als a) Abtriebsglied, passives Glied (Bild ld), b) Llbertragenges Glied (Bfld lb) oder c) Antriebsglied, aktives Glied (Bild lc). auf. Die Falle a) und c) k6nnen zur selben Art der fltissigen Aussengliedernz~len, der Fall b) hingegen zur Art der Innenglieder. Die ~iusseren Fliissigkeitsglieder haben keinen Einfluss auf die Beweglichkeit des gesamten Systems, und sic kOnnen entsprechend durch die aktive und passive Belastung ersetzt werden. Sie werden somit keinen Analysegegenstand bilden. Unter dem Begriff des Fltissigkeitsgliedes verstehen wit im weiteren nur das innere Fltissigkeitsglied. Das inhere Fliissigkeitsglied gew~ihrleistet in der Anordnung mit Zwanglauf die eindeutige 13bertragung der Bewegung und der Krafte. Diese physikalische Erscheinung sou so verstanden werden, dass eine exakt bestimmte Bewegung eines Gliedes, z.B. die aktive Kolbenbewegung, mit Hilfe des Fltissigkeitsgliedes in die Bewegung eines anderen Glliedes umgeformt werden kann. "Es kann anders so aufgefasst werden, dass ein Fltissigkeitsglied die Anzah] der Beweglichkeiten der ttbrigen Glieder einer Anordnung um Eins verringert. Eine identische Rolle, die in der Anordnung dutch das Fltissigkeitsglied effilllt wird, kann durch eine entsprechend gew~hlte Verbindungsgruppe[1] aus starren Gliedern ausgeftihrt werden. Das wird in Bild 3 dargestellt. Das Flttssigkeitsglied 3 sichert den vollen Zwanglauf der Anordnung Bfld 3a. Dieselbe Funk-
AO b)
C)
I
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(r= I}
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Bild 2. Beispiele ftlr nachgiebigen Gliedern.
Strukturelle analyse kinematischer Anordnungen
~
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4
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Bild 3. Beispiele ffir kinematisch gleichwenige Glieder a) Flfissigkeitsglied; b) Verbindungskette der starren Glieder; c) starres Glied. tion wird durch die Verbindungsgruppe g (Bild 3b) oder nur durch ein starres Glied (Bild 3c) efftillt. Es ist nicht schwer nachzuweisen, dass sich ~ine dem Fltissigkeitsglied entsprechende Gruppe von starren Gliedern g die Beweglichkeit W = - 1 haben muss. Wie bekannt ist W.
=
6k
-
'~,(6
i)p~
-
=
-1
2ll
ordnung die Gesamtzahl von S = 7 Beschrfinkungen einftihrt. Dies bedeutet, dass alas starre mehrgelenkige Glied mit der B e s c ~ u n g s z a h l S = 7 als strukturelles Model] des Flflssigkeitsgliedes dargesteUt werden kann. Fthr eben bewegte Glieder betr'agt die Zahl der B e s c h r ~ u n g e n S -- 4. Gas als Glied unterscheidet rich von einer Fltissigkeit dadurch, dasses kompressibel ist. Dies bedeutet, dass sich das Gasglied vom Fltissigkeitsglied nut durch die Innenbeweglichkeit r unterscheidet. Das heisst, dass die Kennziffer ftir das Gasglied r = 1 ist. Daraus ergibt sich, class das Gasglied flir die bediIffnisse der struktureilen Analyse als ein mehrgelenkiges Glied, gekennzeichnet durch S = 7 B e s c ~ u n g e n und durch die Innenbeweglichkeit r -- 1, betrachtet werden kann. Die bisherigen Oberlegungen lassen schlieslich die Feststeilung zu, dass sich alle im Konstruktionsaufbau der kinematischen Anordnungen auftretenden Glieder in den struktureUen Schemen dutch zwei grafische Symbole gemt~ss Bild 4 darstellen lassen. Die unterschiedenen Gliedergruppen, starre, nachgiebige, FItissigkeits- und Gasglieder, ftir die Zwecke der struktureilen Analyse unterscheiden sich voneinander nur dutch die Kennwene S und rund dutch die An der Gelenke und Verbindungen, die diese mit anderen Gliedern bilden.
(1)
3. K E ~ M A T I S C H E GELE.~¢.E
Hierin ist k Anzahl der starren Glieder der Verbindungsgruppe. p/ Anzahl der Gelenke der i-ten Ordnung. Aufgrund yon Gl. (1) erhalten wir S
=
~(6
-
i)p,.
=
6/,. +
l
(2)
oder ftir k = l S = ~(6
- i)p, = 7
(3)
Der klassische Begriff des kinematischen Gelenks mit der Einteilung in f~nf Klassen, z.B. nach dem Gelenksfreiheitsgrad[2], entspricht vollkommen den Anforderungen der Analyse der aus starren Gliedern zusammengesetzten Anordnungen. Bei der Analyse der Anordnungen, die sich auch aus nachgiebigen Gliedern zusammensetzen, k6nnen in vielen Fallen Interpretierungschwiefigkeiten auflreten. Sic lassen sich vermeiden, indem man zustitzlich den Begriff des sog. Gelenks O. Ordnung, d.h. einer starren Verbindung zultisst. Das
Die Zahl S = 7 bedeutet hier die Zahl der Bindungen (Beschrtinkungen), die insgesamt durch GeG L IEDER lenke des einzelnen starren Gliedes, das den FltisFE5 rE FL~YSSIOKEITS - ~ 5 ~ S sigkeitsglied entspricht, in die Anordnung o) b) eingeftihn wird. Bei einem analogen Fltissigkeitsglied soll beachtet werden, d a s s e s mit starren Gliedern mit einem extrem unterschiedlichen physikalischen Charakter verbindungen bildet. Sucht man nach einer gewissen Analogie zwischen Flt~s(S,r) /S,r ] sigkeitsund starren Gliedern, soll man nun auch auf Versuche verzichten, die behandelten Verbindun5 = Z f 6 - i/pi S--7 gemit allgemein bekannten Gelenken, die durch zwei starre Glieder gebildet werden, miteinander zu r: 0 r;~ 1 r= 0 r: 7 I vergleichen. Bei der Charakterisfik der strukturelSTARRE NACHGIEBIGE FLUSSIGKE/TS- i GASlen Eigenschaften kann festgesteUt werden, dass jedes Fltissigkeitsglied in der Anordnung, das die Bild 4. Bezeichnung der Glieder a) starre und nachgiebige Glieder b) Flfissigkeits- und Gasglieder. Roile eines Verbindungsgliedes erftillt, in die An-
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S MILLER
o)
b/
o/ 2 4
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2
A
t@, I(9@@@@ I
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l___~
Bild 7. Bezeichnungen der kinematischen Gelenke und Verbindungen a) kinematische Gelenke O. his 50rdnung; b) Verbindung der Flfissigkeitsgliedermit festen Gliedern.
!
Bild 5. Beispiel einer Anordnung mit kinematischen Gelenken O. Ordnung a) Anordnung: b) Strukturelles Schema. BedOrfnis, ein solches Gelenk einzufiihren, kann z.B. durch den Versuch einer struktureUen Analyse der einfachen Anordnung in Bild 5a erklart werden. Das genannte System setzt sich aus drei Gliedern zusammen, wobei die Glieder 1 und 2 ein Schubgelenk A bilden, die Feder 3 ist hingegen in B und C starr mit Glied 1 und 2 verbunden. Bei der Konzeption des Gelenks O. Ordnung wi~rde das Schema in Bild 5b bei der struktureUen Analyse behilflich sein. Die in Bild 6a dargestellte Anordnung dient zur Umwandlung der Drehbewegung des Gliedes 2 in die Drehbewegung des Gliedes 4. Als Verbindungsglied tritt hier das nachgiebige Glied in Form des Zugbandes 2 (Seil. Riemen, Kette . . .) auf. Wird allgemein vorausgesetzt, dass das Zugband nicht nur in einer Richtung, in der Langsrichtung. verformbar ist, kann ihm die Innenbeweglichkeit r = 5 zugeschrieben werden. Die Enden dieses Bandes sind mit den Gliedern 2 und 4 start verbunden, und man kann somit annehmen, dass das Glied 3 mit den Gliedern 2 und 4 kinematische Gelenke O. Ordhung bildet. Bei dieser Interpretierung kann die Anordnung in F o r m des strukturellen Schemas gemass Bild 6b dargesteUt werden. Die behandelten Beispiele weisen auf die Zweckmassigkeit der Erweiterung der kinematischen Gelenke um ein weiteres Gelenk, bezeichnet mit einem Kreis mit dem Symbol O, Bitd 7a. Eine andere Interpretierung erfordern die Verbindungen der Flfissigkeitsglieder und Gasglieder miteinander und mit festem Gliedern. Der eigenartige Charakter erwies sich bereits bei der Analyse der Fliissigkeitsglieder selbst. Diese Verbindungen fOhren bei den fliissigen Innengliedern, unabhamgig von ihrer Anzahl, dieselbe Gelenkzahl S = 7 ein. Da einzelnen Verbindungen keine konkrete Zahl an
o)
b) 3
I
J
/
C
D ~
r
~
A '@1"7~',L'D
Bild 6. Beispiel einer Anordnung mit nachgiebigen Glied (Zugband) a) Anordnung; b) Strukturelles Schema mit Gelenken O. Ordnung
Gelenken/Beschrankungen/zugeschrieben werden kann, wird vorgeschlagen, auf Strukturellen schemen diese Gelenke mit einem Kreis mit dem Symbol p zu bezeichnen, Bild 7b. 4. BESTIMMUNG DER BEWEGLICHKEIT
Die bisherigen Erw~gungen erm6glichen die Formulierung einer aUgemeinen strukturcllen Forreel zu Berechnung der Beweglichkeit W kinematischer Anordnungen, also der Anordnungen. die alle vier Gliederarten enthalten W = 6(n - 1) - ~ (6 - i)pi- 7np + ~, r~
(4)
Hierin bedeutet Anzahl aller Glieder Anzahl der inneren Fliissigkeitsglieder Anzahl der Gelenke i-ter Ordnung i = 1...6 innerer Freiheitsgrad des j-ten Gliedes. Diese Formel unterscheidet sich von der klassischen Zwanglaufbedingung W durch die beiden letzten AusdrOcke und durch umfangreichere Erfassung der Klassen von kinematischen Gelenken i = 1...6, die die festen Glieder miteinander bilden konnen. Wenn im betrachteten System nur starre Glieder auftreten, dann ist n p = 0, rj = 0 und i = 1...5. Dies bedeutet, dass die aUgemeine Formel (4) die klassische Form
n np p~ rj
W = 6(n - 1) - ~ ( 6
- i)p,
(5)
annimmt. Die Brauchbarkeit der allgemeinen Formel (4) wird am folgenden Beispiel illustrien. Beispiel Bild 8a zeigt eine mechanisch-hydraulische Anordnung fOr die Umwandlung der Schraubung des Gliedes 2 in die Schiebung des Kolbens 5. Die Blatffeder 6 soll den maximalen W e n der erreichten Kraft F verringern. Die Strukturanalyse beginnt mit der Anfenigung des strukturellen Schemas Bild 8b. Es zeigt die gegenseitigen Verbindungen tier starren Glieder I, 2, 3, 4 und 5, des nacl~iebigen Glieds 6 und des Fl0ssigkeitsglieds 7. Die Blatffeder besitzt die Innenbeweglichkeit r = 1 und bildet mit dem Gestell 1 ein Gelenk O. Ordnung. Das 01, Glied 7, hingegen bildet mit den Gliedern 1, 3, 4, und 5 Verbindungen v o m T y p p . Mit n = 7, pl = 1 , p : = 3, p4 = 1,p~ = 1, r6 = 1 und np = 1 ergibt Formel (4) W, = 6.7 - 1 - 1.6 - 1.5 - 3.4 - 1.2 - 1.7 ÷ I=5
Strukturelle analyse kinematischer Anordnungen
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b)
Bild 8. Beispiel einer Anordnung mit Gliedern verschiedener Art a) Anordnung; b) Strukturelles Schema.
Das Ergebnis W, = 5 kann hier durch W, = 2 + W~ ausgedr~ckt werden, worin W~ = 3 die lokale Beweglichkeit der Kolben 3, 4 und 5 bedeutet. $. SCHLUSSFOLGERUNGEN Im Ergebnis der in der Arbeit durchgeftihrten Erw~gungen iiber Glieder und kinematische Gelenke, die in allen kinematischen Anordnungen auftreten, wurde im Aufsatz eine veraUgemeinene strukturelle Formel (4) vorgeschlagen. Diese Formel erm6glicht es, die Beweglichkeit W in Anordnungen, aufgebaut aus Gliedern aller A n , d.h. aus starren, nachgiebigen, Flfissigkeits- und Gasgliedern, zu bestimmen. Wie bekannt, kann diese Kennziffer als
Grundlage zur Beurteilung der strukturellen Richtigkeit der Anordnungen, insbesondere bei den Untersuchungen fiber deren Llberstirnmung betrachtet werden. Die Formel (4) kann auch effektiv zur strukturellen Synthese ausgewenet werden, d.h. zur Ableitung der theoretisch m6glichen Strukturen der projektienen kinematischen Anordnungen. LITERATL~VERZEICHNIS 1. E. Adamczyk, A. Gronowicz, S. Miller, Some remarks on finding a solution for the structure when designing a mechanism. Mechanism and Machine Theory 16, (1981). 2. G. G. Baranow, Kurs Tieorii Miechanismow i Maszin--Moskwa (1958).
STRUCTURAL ANALYSIS OF KINEMATIC CONFIGURATIONS WITH RIGID. YIELDING. LIQUID AND GAS MEMBERS A b s t r a c t g l n the follov, ing paper, an outline and classification scheme is introduced for all types of
members which appear in modern kinematic configurations. A general model is suggested ~'hich encompasses all types of members, that is. rigid, yielding, liquid, and gas members, described by the specification of the so-called inner mobilit.~ r. and the number S of the connections imposed b~ other members with which jointed connections ~ith relative movement exist. On the basis is these considerations, a generalized, necessar.~ condition is derived, which is important for kinematic configurations with all types of members.
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STRUKTURELLE ANALYSE KINEMATISCHER ANORDNUNGEN MIT STARREN, NACHGIEBIGEN, FLOSSIGKEITS- UND GASGLIEDERN S. M I L L E R Politechnika Wroclawska PL 50370 Wroclaw, ul. Wybrzeze Wyspianskiego 27 (Received for publication 19 April 1983) Zusammenfmuwung--lnder vorhegenden Arbeit wird eine Obersicht und Einteilung aller Gliederarten, die in modernen kinematischen Anordnungen auftreten, vorgestellt. Vorgeschlagen wird ein allgemeines Modell, das alle Gliederarten, also starre, nachgiebige, Fliissigkeits- und Gasglieder umfasst, gekennzeichnet dutch den Kennwen der sog. inneren Beweglichkeit rund die Zahl S der Bindungen, die durch andere Glieder auferlegt werden, mit denen gelenkige Verbindungen mit Relativebewegung bastehen. Auf der Grundlage dieser Erwi~gungenwird eine verallgemeinene Zwanglaufbedingung abgeleitet, die ftir kinematische Anordnungen mit allen Gliederanen wichtig sind. 1. ELNLEITUNG Die allgemein bekannten strukturellen Zwanglaufbedingungen erm6glichen die Berechnung des Kennwertes W for kinematische Anordnungen, gebaut aus unvefformbaren, d.h. starren Gliedern. Im Konstruktionsaufbau der Maschinen gibt es auch Anordnungen, in denen andere, z.B. nachgiebige (Bild la und ld), Fltissigkeits- (Bild lb) oder Gasglieder (Bild Ic und d) auftreten. Diese bilden ebenfalls mit anderen Gliedern Verbindungen mit Relativbewegungen also Gelenke. Bei der Bewenung der Kennziffer W derartiger Anordnungen sind die bereits genannten Bedingungen uneeignet. Deshalb werden Versuche der Analyse aller in kinematischen Anordnungen auftretenden Glieder und deren Verbindungen vorgenommen. Ziel dieser Untersuchungen ist es, eine allgemeine Formel aufzufinden, die die Bestimmung der Beweglichkeit aUer kinematischen Anordnungen erm6glicht.
2. GLIEDER
Die Rolle der Glieder in kinematischen Anordnungen wird im allgemeinen durch physikalische K6rper efftillt, die in allen Formen auftreten, d.h. als feste und fltissige K6rper. Auf dieser Grundlage wird weiterhin tiber feste und fltissige Glieder gesprochen. 2.1 Feste glieder Bei den festen Gliedern werden zwei Gruppen unterschieden: • Feste Glieder sind for die kinematischen Anordnungen typisch: sie ver~ndern ihre Form unter Belastung dutch aussere Kr'~ffte weder im Ruhenoch im Bewegungszustand nicht, d.h., ihre Grundabmessungen veandern sich nicht. Solche Glieder werden nachfolgend als starre Glieder
bezeichnet. Beispiele for deranige Glieder sind allgemein bekannt: Gusseiserne Geh~use, Stahlhebel, Zahnrader, Wellen usw. • Seltener gibt es in Maschinen Glieder, die ihre Form unter einer Beanspruchung wesentlich andern, wie z.B. elastische Eiemente, Membranen, Stahlb~knder, Seile usw. Im allgemeinen k6nnen deranige deformable Glieder in verschiedenanigen Formen und Gestalten auftreten, jedoch sie k6nnen alle einem bestimmten Modell zugeordnet werden. Das Modell besteht darin, dass die unvefformbaren Halbgelenke (Gelenkelemente) dutch einen verformbaren Schaft verbunden sind. Deranige Glieder werden als nachgiebige bezeichnet. In einem nachgiebigen Glied ist infolge des verformbaren Schaftes bei Belastung eine relative Bewegung seiner Gelenkelemente m6glich. Als Kennziffer dieser charakteristischen Eigenschaft der nachgiebigen Glieder wird im folgenden die Innenbeweglichkeit r des Gliedes verwendet. Sie ist die Zahl der unabhangigen relativen Bewegungen (Freiheitsgrad) aller Gelenkelemente. Nun erkl~ren wir dieses Problem anhand von Beispielen: In Bild 2a wird eine Feder, gewickelt aus breitem Band, mit Endstticken in Form yon unvefformbaren kugelf6rmigen Elementen dargesteUt. AUein die Ausftihrung des Gliedes l~ksst die Feststellung zu, class seine Belastung yon seite der mit ihm verbundenen Glieder nut dutch Kr~fte m6glich ist, die l~ngs der durch die Mittelpunkte der kugeff6rmigen Gelenkelemente verlaufenden Achse wirken. Dies bedeutet, class Vefformungen dieses Gliedes nut eine ,~nderung der Ghedl~nge bewirken k6nnen. Die kugelf6rmige Gelenkelemente ,4 and B k6nnen infolge innerer Krafte eine einfache relative Bewegung ausftihren. Die Kraftfederkonstruktion in Bild 2b gestattet im Prinzip die M0glichkeit einer eindeutiger relativen Bewegung z.B. der Elemente B gegentiber den
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Es sei betont, dass starre glieder als Sonderfalle der nachgiebigen Glieder betrachtet werden konnen, ftir die r = 0 ist. /2 I
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Bild 1. Beispiele ftir kinematische Anordnungcn; a) mit starren und nachsiebigen Gliedern; b) mit starren und Fltissigk¢itsglieder; c) mit starrcn und Gasgliedem; d) mit starren, nachgiebigen und Gasgliedern. Elementen A und C. Wir erwarten nut eine Biegung der Tragfederarme und vernachlassigen die praktisch unwesentliche Torsionsnachgiebigkeit. Bei einer solchen Interpretation des Gliedes ABC wiarden wit ihm r = 2 zuschreiben. Das Zweigelenkglied AB in Bild 2c, dessen unverformbare Elemente A und B miteinander durch eine verformbare Membrane verbunden sind, erm6glicht drei voreinander unabh~.ngige relative Bewegungen der Gelenkelemente A und B. Es sind die Schiebund ~A und die zwei Drehungen /~BA und R~A. FOr dieses Glied ist r = 3. Alle derartigen nachgiebigen Glieder werden weiterhin mit grafischen Symbolen der starren Glieder (Bild 2) mit Angabe der Innerbeweglichkeit r bezeichnet. o)
2.2 Fli~ssigkeitsglieder und gasglieder Die Rolle des Flfissigkeitsgliedes und des Gasgliedes kann ¢ine beliebige Fltissigkeit bzw. ein beliebiges Gas erftillen. Praktisch werden im Maschinenbau aus bekannten Grtinden am hiiufigsten yon den Fliissigkeiten das Ol und yon den Gasen die Luft verwendet. Glieder dieser Art haben gewisse gemeinsame Eigenschaften. Beide Typen yon Gliedern, Fltissigkeits- wie Gasglieder, treten in kinematischen Anordnungen als a) Abtriebsglied, passives Glied (Bild ld), b) Llbertragenges Glied (Bfld lb) oder c) Antriebsglied, aktives Glied (Bild lc). auf. Die Falle a) und c) k6nnen zur selben Art der fltissigen Aussengliedernz~len, der Fall b) hingegen zur Art der Innenglieder. Die ~iusseren Fliissigkeitsglieder haben keinen Einfluss auf die Beweglichkeit des gesamten Systems, und sic kOnnen entsprechend durch die aktive und passive Belastung ersetzt werden. Sie werden somit keinen Analysegegenstand bilden. Unter dem Begriff des Fltissigkeitsgliedes verstehen wit im weiteren nur das innere Fltissigkeitsglied. Das inhere Fliissigkeitsglied gew~ihrleistet in der Anordnung mit Zwanglauf die eindeutige 13bertragung der Bewegung und der Krafte. Diese physikalische Erscheinung sou so verstanden werden, dass eine exakt bestimmte Bewegung eines Gliedes, z.B. die aktive Kolbenbewegung, mit Hilfe des Fltissigkeitsgliedes in die Bewegung eines anderen Glliedes umgeformt werden kann. "Es kann anders so aufgefasst werden, dass ein Fltissigkeitsglied die Anzah] der Beweglichkeiten der ttbrigen Glieder einer Anordnung um Eins verringert. Eine identische Rolle, die in der Anordnung dutch das Fltissigkeitsglied effilllt wird, kann durch eine entsprechend gew~hlte Verbindungsgruppe[1] aus starren Gliedern ausgeftihrt werden. Das wird in Bild 3 dargestellt. Das Flttssigkeitsglied 3 sichert den vollen Zwanglauf der Anordnung Bfld 3a. Dieselbe Funk-
AO b)
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Bild 2. Beispiele ftlr nachgiebigen Gliedern.
Strukturelle analyse kinematischer Anordnungen
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Bild 3. Beispiele ffir kinematisch gleichwenige Glieder a) Flfissigkeitsglied; b) Verbindungskette der starren Glieder; c) starres Glied. tion wird durch die Verbindungsgruppe g (Bild 3b) oder nur durch ein starres Glied (Bild 3c) efftillt. Es ist nicht schwer nachzuweisen, dass sich ~ine dem Fltissigkeitsglied entsprechende Gruppe von starren Gliedern g die Beweglichkeit W = - 1 haben muss. Wie bekannt ist W.
=
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ordnung die Gesamtzahl von S = 7 Beschrfinkungen einftihrt. Dies bedeutet, dass alas starre mehrgelenkige Glied mit der B e s c ~ u n g s z a h l S = 7 als strukturelles Model] des Flflssigkeitsgliedes dargesteUt werden kann. Fthr eben bewegte Glieder betr'agt die Zahl der B e s c h r ~ u n g e n S -- 4. Gas als Glied unterscheidet rich von einer Fltissigkeit dadurch, dasses kompressibel ist. Dies bedeutet, dass sich das Gasglied vom Fltissigkeitsglied nut durch die Innenbeweglichkeit r unterscheidet. Das heisst, dass die Kennziffer ftir das Gasglied r = 1 ist. Daraus ergibt sich, class das Gasglied flir die bediIffnisse der struktureilen Analyse als ein mehrgelenkiges Glied, gekennzeichnet durch S = 7 B e s c ~ u n g e n und durch die Innenbeweglichkeit r -- 1, betrachtet werden kann. Die bisherigen Oberlegungen lassen schlieslich die Feststeilung zu, dass sich alle im Konstruktionsaufbau der kinematischen Anordnungen auftretenden Glieder in den struktureUen Schemen dutch zwei grafische Symbole gemt~ss Bild 4 darstellen lassen. Die unterschiedenen Gliedergruppen, starre, nachgiebige, FItissigkeits- und Gasglieder, ftir die Zwecke der struktureilen Analyse unterscheiden sich voneinander nur dutch die Kennwene S und rund dutch die An der Gelenke und Verbindungen, die diese mit anderen Gliedern bilden.
(1)
3. K E ~ M A T I S C H E GELE.~¢.E
Hierin ist k Anzahl der starren Glieder der Verbindungsgruppe. p/ Anzahl der Gelenke der i-ten Ordnung. Aufgrund yon Gl. (1) erhalten wir S
=
~(6
-
i)p,.
=
6/,. +
l
(2)
oder ftir k = l S = ~(6
- i)p, = 7
(3)
Der klassische Begriff des kinematischen Gelenks mit der Einteilung in f~nf Klassen, z.B. nach dem Gelenksfreiheitsgrad[2], entspricht vollkommen den Anforderungen der Analyse der aus starren Gliedern zusammengesetzten Anordnungen. Bei der Analyse der Anordnungen, die sich auch aus nachgiebigen Gliedern zusammensetzen, k6nnen in vielen Fallen Interpretierungschwiefigkeiten auflreten. Sic lassen sich vermeiden, indem man zustitzlich den Begriff des sog. Gelenks O. Ordnung, d.h. einer starren Verbindung zultisst. Das
Die Zahl S = 7 bedeutet hier die Zahl der Bindungen (Beschrtinkungen), die insgesamt durch GeG L IEDER lenke des einzelnen starren Gliedes, das den FltisFE5 rE FL~YSSIOKEITS - ~ 5 ~ S sigkeitsglied entspricht, in die Anordnung o) b) eingeftihn wird. Bei einem analogen Fltissigkeitsglied soll beachtet werden, d a s s e s mit starren Gliedern mit einem extrem unterschiedlichen physikalischen Charakter verbindungen bildet. Sucht man nach einer gewissen Analogie zwischen Flt~s(S,r) /S,r ] sigkeitsund starren Gliedern, soll man nun auch auf Versuche verzichten, die behandelten Verbindun5 = Z f 6 - i/pi S--7 gemit allgemein bekannten Gelenken, die durch zwei starre Glieder gebildet werden, miteinander zu r: 0 r;~ 1 r= 0 r: 7 I vergleichen. Bei der Charakterisfik der strukturelSTARRE NACHGIEBIGE FLUSSIGKE/TS- i GASlen Eigenschaften kann festgesteUt werden, dass jedes Fltissigkeitsglied in der Anordnung, das die Bild 4. Bezeichnung der Glieder a) starre und nachgiebige Glieder b) Flfissigkeits- und Gasglieder. Roile eines Verbindungsgliedes erftillt, in die An-
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Bild 7. Bezeichnungen der kinematischen Gelenke und Verbindungen a) kinematische Gelenke O. his 50rdnung; b) Verbindung der Flfissigkeitsgliedermit festen Gliedern.
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Bild 5. Beispiel einer Anordnung mit kinematischen Gelenken O. Ordnung a) Anordnung: b) Strukturelles Schema. BedOrfnis, ein solches Gelenk einzufiihren, kann z.B. durch den Versuch einer struktureUen Analyse der einfachen Anordnung in Bild 5a erklart werden. Das genannte System setzt sich aus drei Gliedern zusammen, wobei die Glieder 1 und 2 ein Schubgelenk A bilden, die Feder 3 ist hingegen in B und C starr mit Glied 1 und 2 verbunden. Bei der Konzeption des Gelenks O. Ordnung wi~rde das Schema in Bild 5b bei der struktureUen Analyse behilflich sein. Die in Bild 6a dargestellte Anordnung dient zur Umwandlung der Drehbewegung des Gliedes 2 in die Drehbewegung des Gliedes 4. Als Verbindungsglied tritt hier das nachgiebige Glied in Form des Zugbandes 2 (Seil. Riemen, Kette . . .) auf. Wird allgemein vorausgesetzt, dass das Zugband nicht nur in einer Richtung, in der Langsrichtung. verformbar ist, kann ihm die Innenbeweglichkeit r = 5 zugeschrieben werden. Die Enden dieses Bandes sind mit den Gliedern 2 und 4 start verbunden, und man kann somit annehmen, dass das Glied 3 mit den Gliedern 2 und 4 kinematische Gelenke O. Ordhung bildet. Bei dieser Interpretierung kann die Anordnung in F o r m des strukturellen Schemas gemass Bild 6b dargesteUt werden. Die behandelten Beispiele weisen auf die Zweckmassigkeit der Erweiterung der kinematischen Gelenke um ein weiteres Gelenk, bezeichnet mit einem Kreis mit dem Symbol O, Bitd 7a. Eine andere Interpretierung erfordern die Verbindungen der Flfissigkeitsglieder und Gasglieder miteinander und mit festem Gliedern. Der eigenartige Charakter erwies sich bereits bei der Analyse der Fliissigkeitsglieder selbst. Diese Verbindungen fOhren bei den fliissigen Innengliedern, unabhamgig von ihrer Anzahl, dieselbe Gelenkzahl S = 7 ein. Da einzelnen Verbindungen keine konkrete Zahl an
o)
b) 3
I
J
/
C
D ~
r
~
A '@1"7~',L'D
Bild 6. Beispiel einer Anordnung mit nachgiebigen Glied (Zugband) a) Anordnung; b) Strukturelles Schema mit Gelenken O. Ordnung
Gelenken/Beschrankungen/zugeschrieben werden kann, wird vorgeschlagen, auf Strukturellen schemen diese Gelenke mit einem Kreis mit dem Symbol p zu bezeichnen, Bild 7b. 4. BESTIMMUNG DER BEWEGLICHKEIT
Die bisherigen Erw~gungen erm6glichen die Formulierung einer aUgemeinen strukturcllen Forreel zu Berechnung der Beweglichkeit W kinematischer Anordnungen, also der Anordnungen. die alle vier Gliederarten enthalten W = 6(n - 1) - ~ (6 - i)pi- 7np + ~, r~
(4)
Hierin bedeutet Anzahl aller Glieder Anzahl der inneren Fliissigkeitsglieder Anzahl der Gelenke i-ter Ordnung i = 1...6 innerer Freiheitsgrad des j-ten Gliedes. Diese Formel unterscheidet sich von der klassischen Zwanglaufbedingung W durch die beiden letzten AusdrOcke und durch umfangreichere Erfassung der Klassen von kinematischen Gelenken i = 1...6, die die festen Glieder miteinander bilden konnen. Wenn im betrachteten System nur starre Glieder auftreten, dann ist n p = 0, rj = 0 und i = 1...5. Dies bedeutet, dass die aUgemeine Formel (4) die klassische Form
n np p~ rj
W = 6(n - 1) - ~ ( 6
- i)p,
(5)
annimmt. Die Brauchbarkeit der allgemeinen Formel (4) wird am folgenden Beispiel illustrien. Beispiel Bild 8a zeigt eine mechanisch-hydraulische Anordnung fOr die Umwandlung der Schraubung des Gliedes 2 in die Schiebung des Kolbens 5. Die Blatffeder 6 soll den maximalen W e n der erreichten Kraft F verringern. Die Strukturanalyse beginnt mit der Anfenigung des strukturellen Schemas Bild 8b. Es zeigt die gegenseitigen Verbindungen tier starren Glieder I, 2, 3, 4 und 5, des nacl~iebigen Glieds 6 und des Fl0ssigkeitsglieds 7. Die Blatffeder besitzt die Innenbeweglichkeit r = 1 und bildet mit dem Gestell 1 ein Gelenk O. Ordnung. Das 01, Glied 7, hingegen bildet mit den Gliedern 1, 3, 4, und 5 Verbindungen v o m T y p p . Mit n = 7, pl = 1 , p : = 3, p4 = 1,p~ = 1, r6 = 1 und np = 1 ergibt Formel (4) W, = 6.7 - 1 - 1.6 - 1.5 - 3.4 - 1.2 - 1.7 ÷ I=5
Strukturelle analyse kinematischer Anordnungen
o)
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b)
Bild 8. Beispiel einer Anordnung mit Gliedern verschiedener Art a) Anordnung; b) Strukturelles Schema.
Das Ergebnis W, = 5 kann hier durch W, = 2 + W~ ausgedr~ckt werden, worin W~ = 3 die lokale Beweglichkeit der Kolben 3, 4 und 5 bedeutet. $. SCHLUSSFOLGERUNGEN Im Ergebnis der in der Arbeit durchgeftihrten Erw~gungen iiber Glieder und kinematische Gelenke, die in allen kinematischen Anordnungen auftreten, wurde im Aufsatz eine veraUgemeinene strukturelle Formel (4) vorgeschlagen. Diese Formel erm6glicht es, die Beweglichkeit W in Anordnungen, aufgebaut aus Gliedern aller A n , d.h. aus starren, nachgiebigen, Flfissigkeits- und Gasgliedern, zu bestimmen. Wie bekannt, kann diese Kennziffer als
Grundlage zur Beurteilung der strukturellen Richtigkeit der Anordnungen, insbesondere bei den Untersuchungen fiber deren Llberstirnmung betrachtet werden. Die Formel (4) kann auch effektiv zur strukturellen Synthese ausgewenet werden, d.h. zur Ableitung der theoretisch m6glichen Strukturen der projektienen kinematischen Anordnungen. LITERATL~VERZEICHNIS 1. E. Adamczyk, A. Gronowicz, S. Miller, Some remarks on finding a solution for the structure when designing a mechanism. Mechanism and Machine Theory 16, (1981). 2. G. G. Baranow, Kurs Tieorii Miechanismow i Maszin--Moskwa (1958).
STRUCTURAL ANALYSIS OF KINEMATIC CONFIGURATIONS WITH RIGID. YIELDING. LIQUID AND GAS MEMBERS A b s t r a c t g l n the follov, ing paper, an outline and classification scheme is introduced for all types of
members which appear in modern kinematic configurations. A general model is suggested ~'hich encompasses all types of members, that is. rigid, yielding, liquid, and gas members, described by the specification of the so-called inner mobilit.~ r. and the number S of the connections imposed b~ other members with which jointed connections ~ith relative movement exist. On the basis is these considerations, a generalized, necessar.~ condition is derived, which is important for kinematic configurations with all types of members.