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Sur la mécanique statistique des phénomènes irréversibles III
Klein, G. Prigogine, I. 1953
Physica XIX 1053-10471
SUR LA MECANIQUE STATISTIQUE DES PHENOMENES IRREVERSIBLES par G. KLEIN Facult6
des Sciences
de l’Universit6
III
et I. PRIGOGINE Libre
de Bruxelles,
Belgique
synopsis This paper is devoted to the study of statistical mechanics of irreversible processes in linear assemblies of harmonic oscillators where nearest neighbours only are interacting. The equations of motion are solved in terms of the initial conditions of the system and these are subjected to probability distributions. The change of the distribution functions with time is described in some detail and the asymptotic behaviour after large times is investigated. Particularly simple asymptotic results can be obtained for infinite systems and by restricting the initial distribution function to a product of uncorrelated distribution function of the different variates (velocities, relative distances). The physically significance of such initial factorized distribution functions in terms of normal modes is indicated. It is shown that such distribution functions correspond to initial states for which equipartition of energy between the different normal modes is already achieved. On the other hand the distribution of phases is initially not the equilibrium random distribution. In this case it can be shown that each finite part of the system tends asymptotically to statistical equilibrium owing to the-mechanical interaction with its surroundings. In particular, the velocity distribution of each particle and the distribution of distance between any two neighbouring particles tend to the appropriate gaussian equilibrium distributions; equipartition of kinetic and potential energy is demonstrated. This last result holds also under more general conditions. The limiting process involved in passing from the infinite to the finite system is considered and it is shown that for sufficiently short time the behaviour of a finite system is the same as that of an infinite one. The asymptotic distribution functions evaluated furnish an illustration of the central limit theorem of statistics: owing to the dependence of phase velocity on wave length, after a long time a larger and larger number of the random variables which describe the initial conditions will contribute to the distribution function of any finite part. Thus the conditions of the theorem become satisfied -this is in sharp contrast to the case of a continuous system in which there is only a single velocity of propagation.
Physica
XIX
1053 66’
1054
G. KLEIN
ET
I,. PRIGOGINE
The superposition principle of K i r k w o o d is discussed: it is shown not to be valid out of equilibrium as it prevents the correct propagation of mechanical disturbance through the system. It is of course always possible to postulate a factorisation of the initial distribution function for the complete system but such a factorisation is generally not maintained with time although it reappears asymptotically. The relation between the results obtained here and the ergodic theory is briefly indicated.
1. Introduction. Dans les deux premi&res communications de cette sitrie 1) “) nous avons montr6 qu’il etait impossible de fonder la mCcanique statistique des phCnom&nes irrkversibles sur les stules bquations de r&urrence d’Y v o n et le principe de superposition de Kirkwood*). Ceci nous a amen& A rCflCchir sur la validit de ce principe de superposition en dehors de l’irquilibre. Le probEme fondamental qui se pose ici est le calcul des fonctions de distribution statistique A un instant t, les connaissant Q un instant antCrieur 2,. Nous avons done cherchC ?t Ctudier un probEme suffisamment simple pour que nous puissions effectuer ce calcul par intbgration des Cquations du mouvement du Systhme.: C’est la raison pour laquelle nous avons consid&+ le cas d’une chaine 1inCaire d’oscillateurs telle que chaque oscillateur est en interaction seulement avec ses deux voisins les plus proches. L’intkgration des equations de la mCcanique effect&e, on peut soumettre les conditions initiales A une distribution statistique et Ctudier 1’Cvolution des fonctions de distribution. Dans le cas simple que nous considQons, nous avons pu directement utiliser la solution du probEme mCcanique pour une chaine infinie, en termes de donr&es initiales, indiquCe en 1914 par S c h r ij d i n g e r “). Nous rappelons cette solution au 3 2. D&jA S c h r ij d i n g e r avait observC que par suite de la transmission de I’Cnergie de vibration d’une particule B l’autre, les voisines de chaque particule exercent sur celle-ci une sorte d’effet dissipatif. Les conclusions de notre travail confirment cette remarque. Nous montrons en effet que par suite des seules interactions mkcaniques, s’ktablit, au bout d’un temps suffisamment grand, l’itquipartition de 1’Cnergie entre Cnergie potentielle et Cnergie cinCtique (cf. $5 3-4) et ce, moyennant des conditions t&s gCn&ales sur 1’Ctat initial du *)
Les
r6fkences
g ces communications
seront
pr6c6dCes
dcs
chiffres
remains
I ou II.
MBCANIQUE
STATISTIQUE
DES
PHkNOMl%NES
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IRRlh’liRSIBLES’III
systeme. En prenant des conditions initiales plus restrictives, nous pouvons mCme demontrer que la fonction de distribution statistique correspondant a une vitesse ou a une distance relative tend asymptotiquement vers la distribution gaussienne relative a l’equilibre statistique (cf. 3 S), c’est-a-dire a la distribution canonique. La necessite de considerer des distributions initiales plus particulieres provient du caractere non-ergodique du systeme (cf. $ 3). Nous avons consider4 un systeme lineaire indefini de man&-e A kiter un comportement periodique ou quasi periodique du systeme. Si nous prenons un systeme fini tous nos resultats subsistent a condition de ne considerer que des temps petits devant le temps necessaire a une perturbation mecanique pour se propager apres reflexion sur le bord du systeme (cf. $8). Ces resultats semblent avoir une signification d’autant plus grande ci s’expriment generalement a l’aide des fonctions de distribution pour la mecanique statistique des phenomenes irreversibles que ceuxd’un petit nombre de variables seulement “) (par exemple positions et vitesses de deux particules). La comparaison avec le principe de superposition (cf. 5 7) montre que celui-ci n’.est pas applicable en dehors de l’equilibre. Comme nous le montrons, cela est lie au fait que si nous partons d’un Ctat de non-Cquilibre, des variables telles que les positions de particules eloignees, meme si leurs distributions statistiques sont initialement independantes, cessent -de l’etre par suite d’une. .propaga%ion des actions mecaniques a travers le systeme. 2. Inte’gration des e’quations da mouvement. Le modele que nous considerons est une chaEne lineaire d’oscillateurs harmoniques. Designons par F la distance d’equilibre entre deux particules succesives et tenons compte seulement des forces entre molecules premieres voisines. Les equations du mouvement s’ecrivent alors d5,P
= W4
{(rrr.n+I
-
3 -
P,-,,,
-
(2.1)
F)>B
oti 5,‘ est la vitesse de la particule n, r,,,,+, la distance entre les particules n et n + 1, et k la constante de rappel. Nous allons introduire des grandeurs normalisees definies par 4,*,,,+I = h,n+l oii 0 est une longueur
-7)/o,
tf = &,/{a(k/m)*},
caracteristique
t* = 2&/m)*
que nous choisirons
t,
(2.2)
u&erieu.re-
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ET I. PRIGOGINE
ment de man&e a ce que l’ecart quadratique moyen de qn,n+I soit &al a l’unite. Le temps normalise t* s’exprime Cgalement a l’aide de la vitesse macroscopique du son c (= T(k/m)‘). Posons aussi Y2”fl
=
4n,n+ll
alors la solution du systeme infini forme (S c h r 6 d i n g e r “)) y,(t*)
= XLa
Y2.n =
E,*,
d’equation
(2.3)
(2.1) s’ecrit sous la
r; Jy--I (t*)
(2.4)
oti J,+,(t*) est la fonction de B e s s e 1 d’ordre v --n et oii les yz sont les valeurs des variables a l’instant initial *). La forme (2.4) de la solution permet de discuter t&s aidment des problemes lies a la propagation de mouvements dans le systeme d’oscillateurs a partir de conditions initiales donnees. Quelques exemples sont indiques dans le travail de S c h r ii d i n g e r “). Notons seulement que le premier maximum de la fonction de B e ss e 1 J,(t*) se produit pour une valeur de t* de l’ordre de n. La donnee initiale yfl+, exerce done un effet notable sur y,, seulement apres un temps t* de l’ordre de Y (ou t N 8 G/c). On peut done dire que l’effet des conditions initiales est propage avec la vitesse du son. Passons maintenant a l’aspect statistique du probleme. 3. Seconds moments - Distributions factorise’es. Nous supposons maintenant que les don&es initiales yz figurant dans (2.4) sont soumises a une loi de distribution statistique. Le probleme que nous avons a resoudre est l’evolution des lois de distribution des y,, au tours du temps. Dans ce paragraphe, nous (ttudions les seconds moments et au paragraphe suivant le probleme de l’equipartition asymptotique de l’energie entre Cnergie cinetique et Cnergie potentielle. La relation (2.4) nous donne directement **)
Yn Ym = xv xi YY”YF+i Jv--n Jv-mntj* (3.1) Nous allons considerer deux cas. Le premier est celui d’une distribution initiale Izomog&e. Dans ce cas, les seconds moments rP-
-*) 11 est facile de verifier de rhrrence des fonctions **)
L’argument
la solution (2.4) par ddrivation de B e s s e 1
des fonctions
kw*) de
(3.2) en tenant
I,‘ = a CT”-1 - Jn+l) B e s s e 1, s’il n’est pas sp6cifi6,
compte
de l’hquation
est toujours
(2.5) t*.
hI&ZANIQUE
STATISTIQUE
DES
PHkNOMkNES
IRRIk’ERSIBLES
III
1057
dependent seulement de j ainsi que de la parite de v (cf. 2.3). Nous aurons done a considerer quatre types de seconds moments initiaux que nous designerons par /&X,v;
d$i+
I,d;
p&i,d
;
p&i+
(3.3)
1,~
Ainsi j&+ represente une valeur moyenne telle que yf yi+zi avec v pair (vitesse). Ces grandeurs sont des fonctions seulement de l’indice i.
Toutes les sommes portant sur des produits de fonctions de B e ss e 1 peuvent etre calculees a l’aide des relations demontrees dans l’appendice I, A savoir et Cat pairou
impair
[Jv(‘*)l’ = 4 f i Jo(2t*)
(3.6)
Nous pouvons admettre qu’il n’y a initialement de correlation qu’entre un nombre fini de variables se rapportant h des particules voisines. En d’autres termes nous supposons qu’a partir d’une certaine valeur limite de i, les moments (3.3) sont tous nuls. Les formules (3.4)-(3.6) nous donnent alors, en tenant compte de ce que toute fonction de B es s e 1 tend vers zero lorsque son argument tend vers I’infini, (3.7) Nous verrons au prochain paragraphe que (3.7) exprime le fait qu’asymptotiquement le theoreme de l’equipartition de l’energie entre Cnergie potentielle et cinetique est satisfait. Ce theoreme est done asymptotiquement valable moyennant la seule hypothese d’homogeneite initiale du systeme. De m&me on trouve par exemple (3.8) Une correlation Physica
XIX
initiale
entre vitesses et positions
ne disparait
done 67
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pas asymptotiquement. statistique on a
ET I. PRIGOGINE
Par contre,
dans un systeme
yn y,,+ I = 0
(Cquilibre
en Cquilibre
statistique)
Toute distribution initiale ne peut done se confondre ment avec la distribution d’itquilibre statistique. On verifie d’ailleurs aisement que les quantites
(3.9)
asymptotique-
(3.10)
I, = C” Yn Yn+B
sont des invariants en vertu des equations (2.1) *). L’existence de ces invariants explique immediatement pourquoi la correlation initiale ne peut pas disparaitre. Pour traiter de tels cas il est indispensable d’introduire des forces anharmoniques, ce qui depasse le cadre du present travail. Nous nous limiterons done ici a des distributions initiales factorise’es (cf. (5.10)) dans lesquelles
I, = 0, sauf I, # 0. Les differentes a initialement
(3.11)
yy . . . . yz sont done independantes
variables
y”,y”, = 0
(n # m)
et l’on (3.12)
Le sens physique de telles distributions factorisees s’obtient facilement en rattachant les invariants (3.10) aux energies des differents modes normaux. Reportons,nous a la formule (2.4) et remplacons y les fonctions de Bessel par l’integrale de Bessel. Nous trouvons ainsi YnV) = ( l/4 R {CM cos (t sin 19+ no) + S(e) sin (t sin 19+
tie>dB
(3.13)
oh nous avons pose
c(e) =
r,
yf cos ve,
s(e) = ICY, yf sin ve.
(3.14)
L’energie contenue dans un intervalle de longeur d’onde correspondant a de est proportionnelle Q (C’(0) + S”(0)) de. On verifie que c’est un invariant du mouvement. Exprimons cette quantite Q l’aide des invariants (3.10). Les formules (3.14) permettent d’ecrire
c2(e) + s”(e) = 2 x y: Y:+~ cos ke. Comme c’est un invariant du mouvement nous pouvons v+k par IZR yy yv+k et obtenir ainsi (cf. 3.10): xlk Yf Y0
c”(e) + s2(e) = c I, cos ke. *) Monsieur
A.
L i o n a attire
notre
attention
SW ce dsultat.
(3.15) y remplacer (3.16)
MkCANIQUE
STATISTIQUE
DES
PHtiNOMkNES
IRRlhERSIBLES
III
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Cette formule Ctablit le lien trb simple qui existe entre les correlations et les energies des modes normaux. Pour une distribution initiale sans correlation (cf. 3.11)) c’(e) + S2@) = I,
(3.17)
ce qui signifie que l’equipartition de l’energie entre les differents modes normaux se trouve deja etablie. A cause de la non-ergodicite du systeme consider& les conditions de factorisation (3.11) ou (3.17) jouent un role essentiel. 11 n’en est pas de mCme de l’hypothese d’homogeneite qui n’est pas essentielle. Ainsi considerons l’exemple oh la distribution initiale des seconds moments varie periodiquement suivant la formule ,u!& = pi + A& cos (2znf/L) (3.18) oti L est une longueur nous donne d’abord En utilisant et on trouve
arbitraire.
En utilisant
(3.12) la formule
z = c P~,n+m2 (3.18) on peut effectuer la sommation 2
(3.1)
(3.19) (cf. appendice II)
= ,uz + Apt cos (2nnF/L) J,,(2t* sin S/L)
Apres un temps suffisamment grand nous retombons resultat (3.7). Nous etudierons encore un autre cas de perturbation homogene au 3 5.
(3.20) ainsi sur le initiale
non
4. Equipartition de l’e‘nergie. La formuie (3.7) montre qu’asymptotiquement le second moment de toutes les variables y,, tend vers la mCme valeur. 11 en resulte que (cf. 2.2 et 2.3)
~/(0%/m) = (Y - ;)“/a, (t + 00). (4.1) Nous en deduisons que le theoreme de l’equipartition de l’energie entre energie potentielle et Cnergie cinetique sera asymptotiquement satisfait. En introduisant la definition cinetique de la temperature, (4.1) s’ecrit aussi 4 k(r - 7)" = 4 rn2 = Q k T, (t 3 co). (4.2) 11 est commode de choisir la longueur arbitraire u de maniere a ce que les variables y,, soient normalisees, c’est-a-dire aient une dispersion unitaire. Nous poserons done (Y -
F)’ = d.
(4.3)
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5. Etude de la fonction de distribution. Dans le 9 3 nous avons CtudiC les seconds moments des variables y,,. Nous allons passer maintenant a l’etude de la fonction de distribution complete. Nous ne sommes pas parvenus Q faire cette etude dans des conditions aussi g&-kales que celle des seconds moments mais nous arrivons a des resultats simples dans les deux cas deja assez gCnCraux CtudiCs dans ce paragraphe. DCsignons par f(. . . . , y,,, . . . . ; P) la fonction de distribution de l’ensemble des variables y,, a l’instant t*. Le theoreme de L i o uv i 11 e nous donne en particulier f(...>Y,,>
La fonction
*- . ; t*) 17 dy,, = f(. . . , y:, . . . ; 0) Zl dy;,
de distribution
relative
h la seule variable
(5-l) y,, s’ecrit (5.2)
f,,(y, ; t*) = / . . . /’ f( . . . > yy, . . . ; t*) 17 ‘dy,,,
l’integration portant sur Nous nous proposons actions mecaniques entre tiquement vers la forme f,(y,,;
toutes les variables except& y,,. de montrer que par suite des seules interles oscillateurs, la fonction f,, tend asymptogaussienne
t*) + (2~)~~ exp (-
Pour cela introduisons les fonctions generatrices . ; t*) et a f,,(y,,; t*) definies par Y,,, * * M( . . . . a,,, . . . ; t*) = / . . . /exp J&k
(t + 00).
4 yz),
relatives
(5.3)
a f(. . . ,
(C a,,y,,) f(. . . , y,,, . . . ; t*) Z7dy,,, (5.4) (5.5)
t*) = / exp (ax,) f,,(y,,; t*) dy,,.
On a l’identite MJa;t*)
= M(0,
. .., 0, a,O,
Nous utiliserons aussi le logarithm(‘cumulant generating function’) &(a;
t*) = In M,,(a;
. . .,O;
t*).
de la fonction
t*) = Ci (l/i!)
(5.6) generatrice
hi,,, (t*) a’.
(5.7)
Le coefficient ki de ai dans (5.7) est le i’l”“’ cumulant. 11s sont lies de man&e simple aux moments (cf. ‘)). La fonction generatrice a l’instant t* s’exprime facilement & l’aide de celle B l’instant initial en utilisant (5.4), (5.1) et (2.4). On trouve immediatement M(.
. ., a,,, . . . ; t*) = M(.
. ., C, a, J,,-,(t*),
. . . ; 0)
(5.8)
MkCANIQUE
STATISTIQUE
et de meme en utilisant
DES
I’HdNOMkNES
IRRlh’ERSIBLES
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1061
(5.6)
M,,(a; 2*) = il!f(. . . ) aJ-2,
nJ-,, aJo>aJ,, aJz . . . ; 0) (5.9)
Considerons maintenant le cas oh initialement il n’y pas de correlation entre les variables y,, (cf. 3.9). De plus supposons que la ‘dis!ribution est initialement homogene (cf. 9 3). Nous avons done initialement (5.10) /(. . -I YE, . . * ; 0) = 17 f,,(ylj ; 0) > et d&s lors M(. . . ) a,,, . . . ; 0) = n M,,(a,, ; 0). (5.11) Les relations (5.8) et (5.9) nous donnent trices a tout instant t* M(. . .) a,,, . . . ; t*) M&z;
pour les fonctions
= 17M, (& 0, J ,,--viO),
f*) = 17M,(aJv-,;
0).
genera(5.12) (5.13)
Notons que la relation (5.12) nous montre que par suite des interactions, des correlations entre leesvariables apparaissent au tours du tenips.’ Ces correlations se propagent et asymptotiquement tout couple de variables y,, et y,,, redevient independant comme le montre (3.8). En vertu de (5.13) la ,,cumulant generating function” K,, definie par (5.7), prend la forme
K&T f*) = C, h M, (aJ,,-,r; 0). Les cumulants k,,,,(t*) a l’instant h l’instant initial par
t* s’expriment
(5.14)
done A I’aide de ceux
hi,n(t*)= xv kf,v(Jv-nli.
(5.15)
Cette formule est la generalisation de (3.1) au cas des cumulants d’ordre superieur. Par contre nous avons suppose ici l’absence de correlation a I’instant initial. Introduisons maintenant, comme au 3 3, l’hypothese de l’homogCnCitC initiale. Nous n’avons a distinguer ici que deux valeurs de k:,, ou de ki,,, suivant que v ou n se rapportent a une distance ou a une vitesse. La formule (5.15) s’ecrit done plus simplement
ki,d= kiqd2” (J2nJi+ k:v C,, (J2t,-,lit
(5.16)
k,,v= k:u C, (Jz# + k?,ci C,, (Jz,,-it
(5.17)
1062
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Utilisons l’appendice
la formule III
ET
1. PRIGOGINE
(3.6) ainsi que les relations
demontrees
(5.18)
C Jsn = 1; C Jz,,-, = 0,
x (Jzn)’= ;I;
JoP*
dans
sin 4 v) cos (t* sin q) dv, X (J2n-,)3 = 0, (5.19)
z (Jn14= $6’ {J&3* sin It ~4)’ dq.
(5.20)
En ce qui conceme le second moment ou cumulant, nous retrouvons les ritsultats du 5 3. Le moment initial d’ordre un est nul pour les variables distances (cf. 2.2). De plus nous pouvons admettre sans nuire a la gCnCralitC que la vitesse moyenne Fn est nulle. Les formules (5.19) et (5.20) montrent que les cumulants d’ordre trois et quatre tendent vers zero (cf. appendice IV) et il en est a fortiori de m&me pour des cumulants d’ordre superieur. 11 decoule de ces resultats que la ‘cumulant generating function’ K,, se reduit pour t -+ 00 a (5.21) ce qui signifie d’apres un theoreme classique du calcul des probabilities que la fonction de distribution f,, tend vers la forme gaussienne (5.3) (en utilisant la normalisation (4.3)). Le second cas que nous considererons est celui oil le systeme peut Ctre decompose en une partie centrale de dimensions quelconques mais finies delimitee par deux regions infiniment etendues qui sont deja initialement en Cquilibre. Considerons d’abord le second cumulant (ou moment). Nous admettons done la distribution initiale k;,,, = k(-
oo < n I
= arbitraire En utilisant
-
N --
1 ; N + 1 I n < 00 ), (5.22)
mais borne pour -
N I n I N.
(3.6) et (5.15) nous aurons alors
k,,,$*) - k = Z, k;,,L,)2 - E’, k(Jv-A2 = Z!, (k;,y- k) (Jy-,)2. Comme toute combinaison 1inCaire finie de fonctions tend vers zero pour t --f co, on aura done k2,,(t*) -+ k pour t* +,w
et n quelconque
(5.23)
de B e s s e 1 (5.24)
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On demontrerait de m&me que tous les cumulants d’ordre superieur disparaissent asymptotiquement. Nous retombons done sur le mCme resultat que dans le -premier cas. Chaque fonction de distribution f,, tend asymptotiquement vers une distribution gaussienne. On peut demontrer exactement de la mCme man&e que ce resultat reste vrai pour toute fonction de distribution madtifiJe se rapportant a une region finie; il subsiste Cgalement lorsqu’il existe initialement une correlation quelconque dans la region finie consideree. 6. Exemfdes de fierkrbation homogkne. Considerons deux exemples de perturbation homogene deja envisages dans notre seconde communication (cf. II $ 2). Le premier est relatif Q une leg&e assymetrie initiale de la fonction de distribution des vitesses. Nous prendrons initialement k”
= k”2,u = 1 . k;,: = (p), (w~,kT)~!’
# 0,
k,O,, = 0;
k& = kid = 0, Les formules troisieme
i > 3.
(5.17) et (5.19) nous donnent
mornem
(6.1)
alors la disparition
du
avec le temps
‘F” = (F,, &T
./opt*
sin 4 v) cos (t* sin v) dg.
(6.i)
Au bout d’un temps suffisant la dissymetrie aura disparu. I1 faut noter que l’approche vers l’equilibre n’a pas un caractere exponentiel. Le second exemple est celui oh nous n’avons pas initialement d’equipartition entre Cnergie potentielle et cinetique (cf. II, 3 2). Xous prendrons ici (cf. II, 2.17) k;,,, = 1 + ATITeq.,
k;,,i = 1 -
k;” = kFd = 0, Les formules
AT/T,,,, i>2
; (6.3)
(5.17) et (3.6) nous donnent TV*)
= Tent, + AT JoW*)
(6.4)
De nouveau, au bout d’un temps suffisant, nous obtenons l’equipartition de l’energie. Comparons ces resultats avec ceux que donne le principe de superposition.
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7. Compa.raison avec le .principe de stiflerposition. -Reportcins nous a notre seconde communication (II, 9 2). Dans le cas d’un ensemble d’oscillateurs lineaires les developpements en .sCrie en fonction du temps (II. 2.11) et (II. 2.23) peuvent s’ecrire sous forme finie. Nous avons ici pour la fonction Y utilisee dans nos precedentes communications (cf. 1.4.5 et 1.4.8)
Y = (1/2kT)
v”(r) (Y -
:)2 = -$ (r -
:)2/o?
(7.1)
Par contre, en postulant l’absence initiale de correlation (3.10) nous admettons en somme un principe de superposition, c’est-A-dire une factorisation de la fonction de distribution du systeme A l’instant ilzitial. En vertu des lois de la mitcanique, cette factorisation initiale ne se maintient pas localement au tours du temps mais se retablit asymptotiquement. Toutefois, en moyenne sur tout le systeme la correlation reste nulle a tout instant comme le montre l’existence des invariants (3.10). Considerons d’abord la perturbation de la distribution des vitesses. Nous Ccrirons pour celle-ci (cf. II. 2.1)
[1”(~dt=o= m” (1 + m))>
(7.2)
oti nv’ est la distribution d’equilibre et V”(t,) une petite perturbation. Pour la perturbation initiale nous prendrons V” = 4 (z),, (m/kT)“2
{-
&(m/kT)‘j?
+ 4 &n/kT)“,‘2}.
(7.3)
Ce choix est fait de man&e a ce que initialement le premier moment reste nul, le second reste inalter& et tous les cumulants superieurs au troisieme restent Cgalement nuls. Nous aurons done exactement les memes conditions initiales que dans le paragraphe precedent (cf. (6.1)). Nous pouvons Ccrire ici saris difficult6 la skie (I. 6.9, cf. aussi II. 2.3), ce qui nous donne A la place de (II. 2.1 l), F=(&,[l-(6/11){1-cos&/(11)t*}].
(7.4)
De mCme pour un ensemble d’oscillateurs, le second exemple relatif a une perturbation initiale de l’equipartition entre Cmergie potentielle et cinetique peut se traiter completement. La serie (II. 2.23) devient ici T(t*)
=.Tc4,1 + LIT [l -
Dans ces deux exemples,
(4/5) {l:-
le comportement
cos 3 d(10) t*>1.
(7.5)
est ainsi fondamentale-
MBCANIQUE
STATISTIQUE
DES
PHliNOMkNES
IRRh’ERSIBLES
III
la65
ment different de celui que nous avons o,btenu au 3 6 a partir de l’integration exacte des equations du mouvement. Les Pertztrbations initiales
ne disparaissent
@us mais oscillent’ pe%odiquement
au
c02trs
du tern@. Toutefois, en developpant les expressions obtenues en puissances du temps, on voit que le terme en t2 des formules (6.2) et (7.4) d’une part, des formules (6.4) et (7.5) d’autre part, coincident, mais deja les termes suivants sont differents. Le principe de superposition ne donne done des rbultats corrects que pour des temps tres courts de l’ordre de I’inverse de la frequence des oscillations. Cet Cchec du principe de superposition est tres surprenant a prcmike vue. Dans notre premiere communication (I, 3 5) nous avons nous-mCme admis qu’etant donne que ce principe est exactement verifie pour les Ctats d’equilibre des systemes consider&, il etait raisonnable de le supposer verifie aussi a titre d’approximation par les systemes en dehors de l’equilibre. Nous voyons qu’il n’en est pas ainsi et qu’au contraire le principe de superposition empeche reellement le systeme d’atteindre l’equilibre. La raison en est que si nous partons :d’un Ctat de non equilibre meme sans correlation initiale entre les particules, la propagation des actions mecaniques a travers le systeme fait naitre au moins temporairement des correlations entre particules m&me tres Cloignees (cf. $3 3 et 5). 11 en resulte qu’il devient incorrect de factoriser la fonction de distribution. Pourtant pour des temps trits courts les correlations n’ont pas encore pu se propager dans le systeme, ce qui explique que le principe de superposition donne neanmoins le coefficient de (t*)’ de man&e correcte. 8. Cas d’zsn systkme fini. Nous allons considerer maintenant le cas d’un systeme forme d’un nombre fini d’oscillateurs. de man&e h nous rendre compte de facon plus precise du passage a la limite qui est implicitement contenu dans les systemes infinis que nous avons consider& jusqu’ici. Nous prendrons un systeme forme de N oscillateurs avec bords ,,libres”. En utilisant les notations (2.3), les equations (2.1) deviennent ici fW*)
~2
=
La methode
y2,v = - 4 y2.v-1; (8.1) (n = 3, 4, . . . , 2A’ - 1). (8.2)
(d/dt*)
Q ~3,
(d/dt*) y,, = 4 (y,,.+, la plusrapide
yn-J,
consiste a poser
Y,, = z,
Yy”J”-$*)t
(8.3)
1066
G. KLEIN
ET
I.
PRIGOGINE
ce qui satisfait (8.2), et puis & soumettre les constantes arbitraires y,” a des. conditions telles que les equations (8.1) soient Cgalement satisfaites. Cela donne par identification yy = 0,
Y;N+l = 0,
yy-, = (-
l)‘+‘yy+“’
YzoN+,+” = (-- 1)‘+‘YzON+I-“.
(8.4)
Ces formules permettent d’exprimer toutes les constantes yz a y!$,, qui sont les valeurs initiales de ya, . . . , ya,,. l’aide de yi, . . . , Nous avons (k pair) Yi’+l+k.ZN+,l
= (-
l)~+~+/~ y;,+l-,
(k impair).
(8.5)
En remplar;antles yf par leurs valeurs (8.5) dans (8.3), on trouve en groupant les termes YN+l+m
=
p=N-I =
z p=--N+1
k=oo 0 YN+l+p
x k=--oo
&k.2N+p--.‘
(m = -N
@*I
+
(-
+ 1, . . ., -
l)N+l+‘J~Zk+I)PN--CI--nt
1, 0, 1, . . ., N -
@*)}I
1). (8.6)
Nous avons introduit a la place de n, la variable m qui prend la valeur 0 pour n = N + 1 (,,milieu” du systeme). On voit done que si nous prenons des temps suffisamment courts par rapport au temps que prendrait le son pour se propager jusqu’au bord, toute la somme (8.6) se reduit a YN+l+nr
-p=N-I /I=-N+I
Yi’+,+p
J,,-&*)
‘(8.7)
et on est ramene pour les temps courts envisages, au probleme Ctudie dans les paragraphes precedents. L’expression (8.6) peut aussi s’obtenir a partir de la resolution de (8.1) par la methode usuelle des vibrations propres du systeme. 9. Discussion. 11 est interessant de comparer notre resultat A celui que donne une corde continue. Dans ce cas les equations (2.1) sont remplacees par l’equation de propagation du son (212x/at2) = c2 (a”X/ax2).
(9.1)
On peut alors montrer que la densite d’energie proportionelle a (ax/al)’ + c2 (aX/ax)2, obeit Cgalement -a (9.1) et qu’il en est de
MkCANIQUE
STATISTIQUE
DES
PHkNOMkNES
IRRlh’ERSIBLES
III
1067
meme de la densite moyenne d’energie (i3X/i3Q2 + c2 (8X/&)‘, moyenne prise sur des conditions initiales quelconques des ax/at et ax/ax. Aucune evolution vers une repartition uniforme de l’energie dans le systeme ne se produit. Notre resultat depend done essentiellement (au moins dans le cas a une dimension) de la structure discontinue de la chaine et de la dispersion des ondes qui en resulte. Par suite de cette demikre, le nombre de termes qui contribue effectivement a y,(t*) dans (2.4) croit de plus en plus et tend vers l’infini pour t* + 00. 11 en resulte que pour des temps grands nous avons une situation qui est en relation directe avec le theoreme central du calcul des probabilites : La variable aleatoire y,, de (2.4) est pour t* -+ 00 une fonction lineaire d’un nombre infini des variables aleatoires yy” qui correspondent aux conditions initiales. 11 est done bien nature1 que la distribution de y,,(t*) se rapproche de plus en plus d’une distribution normale. Au contraire dans le cas continu, si on prend
(ax/at),,, = ,u(x), (ax/ax),=, = W(X), on trouve
(9.2)
a la place de (2.4)
ax/at = 4 (- c w(x - ct) + + - ct)} + + g {Zb(X+ cl) + cw(x + ct)},
ax/ax = 8 iwcX -
ct)
- (I/~) qx + a {(l/c)
ct))
(9.3)
+
4x + 4 + 4x
+ 4).
(9.4)
Quel que soit t* on a done le m&me nombre, quatre, de termes. Ces considerations montrent par quel mecanisme s’etablit ici la forme asymptotique des lois de distribution. Nous avons pu Ctablir l’existence de cette forme asymptotique canonique moyennant des hypotheses restrictives sur la fox-me initiale des fonctions de distribution a cause de la non ergodicite du systeme, c’est-a-dire de I’existence des invariants (3.10). Toutefois ces hypotheses sont deja suffisamment g&r&ales pour permettre l’etude de quelques exemples simples de processus irreversibles (cf. $6) et pour Clucider les contradictions auxquelles se heurte le principe de superposition (cf. 9 7). Nous esp&ons traiter d’autres aspects de ces problemes dans des communications ulterieures. Nous crayons qu’au moins une partie des difficult& qui s’opposent a l’edification d’une mecanique statistique des phenomknes irreversibles se trouve ainsi eliminCe.
1068
'2. KLEIN
ETI.PRIGOGINE
Nous tenons d’abord a remercier le Centre National Beige d’l?tudes Scientific&es du Proid-dont les subsides on+endu ce travail possible. Au tours de celui-ci nous avons eu des discussions interessantes avec 11. A. L i o n. Nous voudrions a&i exprimer notre reconnaissance au Dr R. I; ii r t h qui a attire riotre attention sur le travail de Schrodinger. L’un de nous, (I. P.), tient enfin Q remercier I’Institute for Advanced Study de Princeton pour une invitation qui a permis de discuter ce travail avec les physiciens de cet Institut. 11 remercie aussi l’lnstitut International de Physique Solvay dont un subside a facilite ce voyage. APPENDICES
I. DCmontrons d’abord les formules (3.5) et (3.6). On a en utilisant des formules classiques (cf. “) p. 362), Si = C,, J,, J,,+i = C,, Jn !$
cos nO cos’(i0 -
z sin 0) dO
-E:,,
sin nO sin (i0 -
z sin 0) de.
J,, !$’
la sommation Sf = l/t 76
Sj = -
sin O} d0
= C,, J,, Lit
7L
En permutant ex. 1)
cos ((tz + i) 0 -z
et l’integration,
(A. 1)
nous avons (cf. *) p. 379,
cos (z sin 0) cos (i0 -
z sin 0) d0
(A4
l/t sin (z sin 0) sin (i0 3-c
z sin 0) d0
(A4
oti Sp designe la somme sur tous les n pairs et Sf, la somme sur tous les n impairs. A partir de (A.2) et (A.3), on calcule facilement la somme et la difference de Sp et Si. De la enfin les formules indiquees dans le texte. II.
Passons a la formule C”,
(3.20). Nous devons calculer la somme
cos (n + 11)u {J”(z)}~ = cos nu C”,
cos va {J”(z)}’
(‘4.4)
JIkCANIQUE
STATISTIQUE
DES
PHliNO,MkNES
IRRh’ERSIBLES
III
1069
A l’aide de formules connues (“) p. 380 ex. 16 et. 379 ex. 1) ainsi que de 1’intCgrale de B e s s e 1 (“) p. 362) et en permutant l’ordre de la sommation et de l’intkgration c:,
cos va {Jy(z)}2 = z:,
cos vu J-j$’
n
=. $42 = ifl
J2”(2z cos 0) d0
cos (22 cos 0 sin 3 u) d0 cos (22 sin $- u sin v) dp, (AS)
= Jo (22 sin 4 u).
C’cst la formule
utiliske
clans le texte.
III. Lapremik-eformule classique (“) p. 379, ex. 1)
(5.18) r&&e
directement
cos (z sin v) = JZ J2,, cos 2ng, cn y prenant pour n entier
v = 0. La seconde formule; J-n
= (-
(5.18) ,pro\ient
1)” J,,
J&4
(A4
de ce que (A.7
Pour obtenir les formules (5.19) et (5.20) il faut utiliser d’addition de N e u m a n n (“) chap. XI) Jo(c) = Cm
de la relation
J,(b) ~0s WJ
le thkorkme (A.4
avec c2 = a2 + b2 -
Prenons a = b = z, la relation
(A.8) devient
Jo(2z sin & v) = ZZ,
En prenant
91 = 0, on obtient
2ab cos p
alors
{J,,(z)}~ cos qv
(A.91
d’abord
C”“, (Jn)2 = 1
(A. 10)
Prenons le carrC de (A.9), puis intkgrons sur rp depuis 0 & 2~. D’oh, en utilisant l’orthogonalitk des diffkrentes fonctions cos nv f$ {Jo(2z sin iv)}” drp = 27~F’, C’est la formule
(5.20) du texte.
{J,,(z)}”
(A. 1 1)
1070
G. KLEIN
ET.1.
PRIGOGINE
La premikre formule (5.19) s’obtient de la mCme manike en multipliant les formules (A.6) et (A.9) et en intkgrant 9 depuis 0 B 2n. Le seconde formule (5.19) est une conskquence immkdiate de (A.7). IV.
Nous allons montrer
maintenant
Z~ZZoo {J,,(z)}” = $jtjz
que
{J0(2z sin Y)>” dY = S,
(A. 12)
donnit par (A. 11) tend vers z&o pour z + 00. Nous pouvons introduire une constante c telle que (cf. le dhveloppement asymptotique des fonctions de B e s s e 1) UOW”
(A. 13)
< c2/x
Utilisons (A. 11). Pour z grand, 0 < l/z < n/2, de sorte que (A. 11) nous donne S, = p (/d/l + /;;r) {J,(2z sin Y)}” dY -c a $ + 2 c2 a/l;? n
(I/sin
Y) dY.
(A.14) (A.15)
D’oh S, < (2/n) {( 1/z) -
c? (l/22) In tan ( l/22)}
et tend done vers z&o pour z --t 00. Passons B 1’Ctude de S,. Nous avons vu que (cf. Appendice s, = c:zY, = zfij2
{J&)}”
= c;I-,
(A.16) III)
{J2”(4}3
J&22 sin Y) cos (z sin 2Y) dY.
(A. 17)
Nous avons done 1S, 1 < CR12 1J0(2z sin Y) 1 ) cos (z sin 2Y) 1 dY < z]c’2 n
1J0(2z sin Y) I dY
= $ (1: + /E12) 1J0(2z sin Y) I dY. Introduisons
de nouveau une grandeur
I Job) I < c +
(A. 18)
c ,telle que pour tout x (A.19)
MECANIQUE
STATISTIQUE
DES
PHENOMENES
IRREVERSIBLES
III
1071
Done ] S, 1 < G E + p cue”
(sin !P)-*
dY.
(A.20)
Dans l’integrale sin Y > sin
E >
(2/n) E
(A.21)
et d&s lors (‘4.22) OU 1 s,
prenons
1 -=c
(2/n)
& +
+ ++?
;
(A.23)
E = .z-*, d’oh enfin 1s, 1 < (2/7C) z-1 + 8 cn* 2-f
(A.24)
et tend vers zero pour z + co. 11 est bien evident que les sommes de puissances plus ClevCes, s; = c {JJZ))‘, i > 4, n p air ou impair, tendent a fortiori vers zero car on les obtient en multipliant chaque terme de S, par un ou plusieurs facteurs plus petits que l’unite. Recu.256-‘53.
REFERENCES 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
K 1 e i n, G. et P r i g o g i II e, I., Physica 18 (1953) 74. Klein, G. et Prigogine, I., Physica 19 (1953) 89. Schrddinger, E.,Annalender Physik44 (1914) 916. H o p f, E., Ergodentheorie, Berlin, Springer (1937). E p s t e i n, P. S., Commentary on the Scientific Writings of J. W. G i b b s, \:ol. II, p. 521, Yale University Press (1936). Irving, J. H. and Kir kwood, J. G., J. them. Phys. 18 (1950) 317. A i t k e n, A. C., Statistical Mathematics, London and Edinburgh, Oliver and Boyd (1944). W h i t t a k e r, E. T. and W a t s o n, G. N., Modern Analysis, Cambridge University Press (1950). W a t s o n, G. N., Bessel Functions, Cambrigde University Press (1944).
Physica XIX 1053-10471
SUR LA MECANIQUE STATISTIQUE DES PHENOMENES IRREVERSIBLES par G. KLEIN Facult6
des Sciences
de l’Universit6
III
et I. PRIGOGINE Libre
de Bruxelles,
Belgique
synopsis This paper is devoted to the study of statistical mechanics of irreversible processes in linear assemblies of harmonic oscillators where nearest neighbours only are interacting. The equations of motion are solved in terms of the initial conditions of the system and these are subjected to probability distributions. The change of the distribution functions with time is described in some detail and the asymptotic behaviour after large times is investigated. Particularly simple asymptotic results can be obtained for infinite systems and by restricting the initial distribution function to a product of uncorrelated distribution function of the different variates (velocities, relative distances). The physically significance of such initial factorized distribution functions in terms of normal modes is indicated. It is shown that such distribution functions correspond to initial states for which equipartition of energy between the different normal modes is already achieved. On the other hand the distribution of phases is initially not the equilibrium random distribution. In this case it can be shown that each finite part of the system tends asymptotically to statistical equilibrium owing to the-mechanical interaction with its surroundings. In particular, the velocity distribution of each particle and the distribution of distance between any two neighbouring particles tend to the appropriate gaussian equilibrium distributions; equipartition of kinetic and potential energy is demonstrated. This last result holds also under more general conditions. The limiting process involved in passing from the infinite to the finite system is considered and it is shown that for sufficiently short time the behaviour of a finite system is the same as that of an infinite one. The asymptotic distribution functions evaluated furnish an illustration of the central limit theorem of statistics: owing to the dependence of phase velocity on wave length, after a long time a larger and larger number of the random variables which describe the initial conditions will contribute to the distribution function of any finite part. Thus the conditions of the theorem become satisfied -this is in sharp contrast to the case of a continuous system in which there is only a single velocity of propagation.
Physica
XIX
1053 66’
1054
G. KLEIN
ET
I,. PRIGOGINE
The superposition principle of K i r k w o o d is discussed: it is shown not to be valid out of equilibrium as it prevents the correct propagation of mechanical disturbance through the system. It is of course always possible to postulate a factorisation of the initial distribution function for the complete system but such a factorisation is generally not maintained with time although it reappears asymptotically. The relation between the results obtained here and the ergodic theory is briefly indicated.
1. Introduction. Dans les deux premi&res communications de cette sitrie 1) “) nous avons montr6 qu’il etait impossible de fonder la mCcanique statistique des phCnom&nes irrkversibles sur les stules bquations de r&urrence d’Y v o n et le principe de superposition de Kirkwood*). Ceci nous a amen& A rCflCchir sur la validit de ce principe de superposition en dehors de l’irquilibre. Le probEme fondamental qui se pose ici est le calcul des fonctions de distribution statistique A un instant t, les connaissant Q un instant antCrieur 2,. Nous avons done cherchC ?t Ctudier un probEme suffisamment simple pour que nous puissions effectuer ce calcul par intbgration des Cquations du mouvement du Systhme.: C’est la raison pour laquelle nous avons consid&+ le cas d’une chaine 1inCaire d’oscillateurs telle que chaque oscillateur est en interaction seulement avec ses deux voisins les plus proches. L’intkgration des equations de la mCcanique effect&e, on peut soumettre les conditions initiales A une distribution statistique et Ctudier 1’Cvolution des fonctions de distribution. Dans le cas simple que nous considQons, nous avons pu directement utiliser la solution du probEme mCcanique pour une chaine infinie, en termes de donr&es initiales, indiquCe en 1914 par S c h r ij d i n g e r “). Nous rappelons cette solution au 3 2. D&jA S c h r ij d i n g e r avait observC que par suite de la transmission de I’Cnergie de vibration d’une particule B l’autre, les voisines de chaque particule exercent sur celle-ci une sorte d’effet dissipatif. Les conclusions de notre travail confirment cette remarque. Nous montrons en effet que par suite des seules interactions mkcaniques, s’ktablit, au bout d’un temps suffisamment grand, l’itquipartition de 1’Cnergie entre Cnergie potentielle et Cnergie cinCtique (cf. $5 3-4) et ce, moyennant des conditions t&s gCn&ales sur 1’Ctat initial du *)
Les
r6fkences
g ces communications
seront
pr6c6dCes
dcs
chiffres
remains
I ou II.
MBCANIQUE
STATISTIQUE
DES
PHkNOMl%NES
1055
IRRlh’liRSIBLES’III
systeme. En prenant des conditions initiales plus restrictives, nous pouvons mCme demontrer que la fonction de distribution statistique correspondant a une vitesse ou a une distance relative tend asymptotiquement vers la distribution gaussienne relative a l’equilibre statistique (cf. 3 S), c’est-a-dire a la distribution canonique. La necessite de considerer des distributions initiales plus particulieres provient du caractere non-ergodique du systeme (cf. $ 3). Nous avons consider4 un systeme lineaire indefini de man&-e A kiter un comportement periodique ou quasi periodique du systeme. Si nous prenons un systeme fini tous nos resultats subsistent a condition de ne considerer que des temps petits devant le temps necessaire a une perturbation mecanique pour se propager apres reflexion sur le bord du systeme (cf. $8). Ces resultats semblent avoir une signification d’autant plus grande ci s’expriment generalement a l’aide des fonctions de distribution pour la mecanique statistique des phenomenes irreversibles que ceuxd’un petit nombre de variables seulement “) (par exemple positions et vitesses de deux particules). La comparaison avec le principe de superposition (cf. 5 7) montre que celui-ci n’.est pas applicable en dehors de l’equilibre. Comme nous le montrons, cela est lie au fait que si nous partons d’un Ctat de non-Cquilibre, des variables telles que les positions de particules eloignees, meme si leurs distributions statistiques sont initialement independantes, cessent -de l’etre par suite d’une. .propaga%ion des actions mecaniques a travers le systeme. 2. Inte’gration des e’quations da mouvement. Le modele que nous considerons est une chaEne lineaire d’oscillateurs harmoniques. Designons par F la distance d’equilibre entre deux particules succesives et tenons compte seulement des forces entre molecules premieres voisines. Les equations du mouvement s’ecrivent alors d5,P
= W4
{(rrr.n+I
-
3 -
P,-,,,
-
(2.1)
F)>B
oti 5,‘ est la vitesse de la particule n, r,,,,+, la distance entre les particules n et n + 1, et k la constante de rappel. Nous allons introduire des grandeurs normalisees definies par 4,*,,,+I = h,n+l oii 0 est une longueur
-7)/o,
tf = &,/{a(k/m)*},
caracteristique
t* = 2&/m)*
que nous choisirons
t,
(2.2)
u&erieu.re-
1056
G. KLEIN
ET I. PRIGOGINE
ment de man&e a ce que l’ecart quadratique moyen de qn,n+I soit &al a l’unite. Le temps normalise t* s’exprime Cgalement a l’aide de la vitesse macroscopique du son c (= T(k/m)‘). Posons aussi Y2”fl
=
4n,n+ll
alors la solution du systeme infini forme (S c h r 6 d i n g e r “)) y,(t*)
= XLa
Y2.n =
E,*,
d’equation
(2.3)
(2.1) s’ecrit sous la
r; Jy--I (t*)
(2.4)
oti J,+,(t*) est la fonction de B e s s e 1 d’ordre v --n et oii les yz sont les valeurs des variables a l’instant initial *). La forme (2.4) de la solution permet de discuter t&s aidment des problemes lies a la propagation de mouvements dans le systeme d’oscillateurs a partir de conditions initiales donnees. Quelques exemples sont indiques dans le travail de S c h r ii d i n g e r “). Notons seulement que le premier maximum de la fonction de B e ss e 1 J,(t*) se produit pour une valeur de t* de l’ordre de n. La donnee initiale yfl+, exerce done un effet notable sur y,, seulement apres un temps t* de l’ordre de Y (ou t N 8 G/c). On peut done dire que l’effet des conditions initiales est propage avec la vitesse du son. Passons maintenant a l’aspect statistique du probleme. 3. Seconds moments - Distributions factorise’es. Nous supposons maintenant que les don&es initiales yz figurant dans (2.4) sont soumises a une loi de distribution statistique. Le probleme que nous avons a resoudre est l’evolution des lois de distribution des y,, au tours du temps. Dans ce paragraphe, nous (ttudions les seconds moments et au paragraphe suivant le probleme de l’equipartition asymptotique de l’energie entre Cnergie cinetique et Cnergie potentielle. La relation (2.4) nous donne directement **)
Yn Ym = xv xi YY”YF+i Jv--n Jv-mntj* (3.1) Nous allons considerer deux cas. Le premier est celui d’une distribution initiale Izomog&e. Dans ce cas, les seconds moments rP-
-*) 11 est facile de verifier de rhrrence des fonctions **)
L’argument
la solution (2.4) par ddrivation de B e s s e 1
des fonctions
kw*) de
(3.2) en tenant
I,‘ = a CT”-1 - Jn+l) B e s s e 1, s’il n’est pas sp6cifi6,
compte
de l’hquation
est toujours
(2.5) t*.
hI&ZANIQUE
STATISTIQUE
DES
PHkNOMkNES
IRRIk’ERSIBLES
III
1057
dependent seulement de j ainsi que de la parite de v (cf. 2.3). Nous aurons done a considerer quatre types de seconds moments initiaux que nous designerons par /&X,v;
d$i+
I,d;
p&i,d
;
p&i+
(3.3)
1,~
Ainsi j&+ represente une valeur moyenne telle que yf yi+zi avec v pair (vitesse). Ces grandeurs sont des fonctions seulement de l’indice i.
Toutes les sommes portant sur des produits de fonctions de B e ss e 1 peuvent etre calculees a l’aide des relations demontrees dans l’appendice I, A savoir et Cat pairou
impair
[Jv(‘*)l’ = 4 f i Jo(2t*)
(3.6)
Nous pouvons admettre qu’il n’y a initialement de correlation qu’entre un nombre fini de variables se rapportant h des particules voisines. En d’autres termes nous supposons qu’a partir d’une certaine valeur limite de i, les moments (3.3) sont tous nuls. Les formules (3.4)-(3.6) nous donnent alors, en tenant compte de ce que toute fonction de B es s e 1 tend vers zero lorsque son argument tend vers I’infini, (3.7) Nous verrons au prochain paragraphe que (3.7) exprime le fait qu’asymptotiquement le theoreme de l’equipartition de l’energie entre Cnergie potentielle et cinetique est satisfait. Ce theoreme est done asymptotiquement valable moyennant la seule hypothese d’homogeneite initiale du systeme. De m&me on trouve par exemple (3.8) Une correlation Physica
XIX
initiale
entre vitesses et positions
ne disparait
done 67
1058
G. KLEIN
pas asymptotiquement. statistique on a
ET I. PRIGOGINE
Par contre,
dans un systeme
yn y,,+ I = 0
(Cquilibre
en Cquilibre
statistique)
Toute distribution initiale ne peut done se confondre ment avec la distribution d’itquilibre statistique. On verifie d’ailleurs aisement que les quantites
(3.9)
asymptotique-
(3.10)
I, = C” Yn Yn+B
sont des invariants en vertu des equations (2.1) *). L’existence de ces invariants explique immediatement pourquoi la correlation initiale ne peut pas disparaitre. Pour traiter de tels cas il est indispensable d’introduire des forces anharmoniques, ce qui depasse le cadre du present travail. Nous nous limiterons done ici a des distributions initiales factorise’es (cf. (5.10)) dans lesquelles
I, = 0, sauf I, # 0. Les differentes a initialement
(3.11)
yy . . . . yz sont done independantes
variables
y”,y”, = 0
(n # m)
et l’on (3.12)
Le sens physique de telles distributions factorisees s’obtient facilement en rattachant les invariants (3.10) aux energies des differents modes normaux. Reportons,nous a la formule (2.4) et remplacons y les fonctions de Bessel par l’integrale de Bessel. Nous trouvons ainsi YnV) = ( l/4 R {CM cos (t sin 19+ no) + S(e) sin (t sin 19+
tie>dB
(3.13)
oh nous avons pose
c(e) =
r,
yf cos ve,
s(e) = ICY, yf sin ve.
(3.14)
L’energie contenue dans un intervalle de longeur d’onde correspondant a de est proportionnelle Q (C’(0) + S”(0)) de. On verifie que c’est un invariant du mouvement. Exprimons cette quantite Q l’aide des invariants (3.10). Les formules (3.14) permettent d’ecrire
c2(e) + s”(e) = 2 x y: Y:+~ cos ke. Comme c’est un invariant du mouvement nous pouvons v+k par IZR yy yv+k et obtenir ainsi (cf. 3.10): xlk Yf Y0
c”(e) + s2(e) = c I, cos ke. *) Monsieur
A.
L i o n a attire
notre
attention
SW ce dsultat.
(3.15) y remplacer (3.16)
MkCANIQUE
STATISTIQUE
DES
PHtiNOMkNES
IRRlhERSIBLES
III
1059
Cette formule Ctablit le lien trb simple qui existe entre les correlations et les energies des modes normaux. Pour une distribution initiale sans correlation (cf. 3.11)) c’(e) + S2@) = I,
(3.17)
ce qui signifie que l’equipartition de l’energie entre les differents modes normaux se trouve deja etablie. A cause de la non-ergodicite du systeme consider& les conditions de factorisation (3.11) ou (3.17) jouent un role essentiel. 11 n’en est pas de mCme de l’hypothese d’homogeneite qui n’est pas essentielle. Ainsi considerons l’exemple oh la distribution initiale des seconds moments varie periodiquement suivant la formule ,u!& = pi + A& cos (2znf/L) (3.18) oti L est une longueur nous donne d’abord En utilisant et on trouve
arbitraire.
En utilisant
(3.12) la formule
z = c P~,n+m2 (3.18) on peut effectuer la sommation 2
(3.1)
(3.19) (cf. appendice II)
= ,uz + Apt cos (2nnF/L) J,,(2t* sin S/L)
Apres un temps suffisamment grand nous retombons resultat (3.7). Nous etudierons encore un autre cas de perturbation homogene au 3 5.
(3.20) ainsi sur le initiale
non
4. Equipartition de l’e‘nergie. La formuie (3.7) montre qu’asymptotiquement le second moment de toutes les variables y,, tend vers la mCme valeur. 11 en resulte que (cf. 2.2 et 2.3)
~/(0%/m) = (Y - ;)“/a, (t + 00). (4.1) Nous en deduisons que le theoreme de l’equipartition de l’energie entre energie potentielle et Cnergie cinetique sera asymptotiquement satisfait. En introduisant la definition cinetique de la temperature, (4.1) s’ecrit aussi 4 k(r - 7)" = 4 rn2 = Q k T, (t 3 co). (4.2) 11 est commode de choisir la longueur arbitraire u de maniere a ce que les variables y,, soient normalisees, c’est-a-dire aient une dispersion unitaire. Nous poserons done (Y -
F)’ = d.
(4.3)
1060
G. KLEIN
ET
I.
PRIGOGINE
5. Etude de la fonction de distribution. Dans le 9 3 nous avons CtudiC les seconds moments des variables y,,. Nous allons passer maintenant a l’etude de la fonction de distribution complete. Nous ne sommes pas parvenus Q faire cette etude dans des conditions aussi g&-kales que celle des seconds moments mais nous arrivons a des resultats simples dans les deux cas deja assez gCnCraux CtudiCs dans ce paragraphe. DCsignons par f(. . . . , y,,, . . . . ; P) la fonction de distribution de l’ensemble des variables y,, a l’instant t*. Le theoreme de L i o uv i 11 e nous donne en particulier f(...>Y,,>
La fonction
*- . ; t*) 17 dy,, = f(. . . , y:, . . . ; 0) Zl dy;,
de distribution
relative
h la seule variable
(5-l) y,, s’ecrit (5.2)
f,,(y, ; t*) = / . . . /’ f( . . . > yy, . . . ; t*) 17 ‘dy,,,
l’integration portant sur Nous nous proposons actions mecaniques entre tiquement vers la forme f,(y,,;
toutes les variables except& y,,. de montrer que par suite des seules interles oscillateurs, la fonction f,, tend asymptogaussienne
t*) + (2~)~~ exp (-
Pour cela introduisons les fonctions generatrices . ; t*) et a f,,(y,,; t*) definies par Y,,, * * M( . . . . a,,, . . . ; t*) = / . . . /exp J&k
(t + 00).
4 yz),
relatives
(5.3)
a f(. . . ,
(C a,,y,,) f(. . . , y,,, . . . ; t*) Z7dy,,, (5.4) (5.5)
t*) = / exp (ax,) f,,(y,,; t*) dy,,.
On a l’identite MJa;t*)
= M(0,
. .., 0, a,O,
Nous utiliserons aussi le logarithm(‘cumulant generating function’) &(a;
t*) = In M,,(a;
. . .,O;
t*).
de la fonction
t*) = Ci (l/i!)
(5.6) generatrice
hi,,, (t*) a’.
(5.7)
Le coefficient ki de ai dans (5.7) est le i’l”“’ cumulant. 11s sont lies de man&e simple aux moments (cf. ‘)). La fonction generatrice a l’instant t* s’exprime facilement & l’aide de celle B l’instant initial en utilisant (5.4), (5.1) et (2.4). On trouve immediatement M(.
. ., a,,, . . . ; t*) = M(.
. ., C, a, J,,-,(t*),
. . . ; 0)
(5.8)
MkCANIQUE
STATISTIQUE
et de meme en utilisant
DES
I’HdNOMkNES
IRRlh’ERSIBLES
III
1061
(5.6)
M,,(a; 2*) = il!f(. . . ) aJ-2,
nJ-,, aJo>aJ,, aJz . . . ; 0) (5.9)
Considerons maintenant le cas oh initialement il n’y pas de correlation entre les variables y,, (cf. 3.9). De plus supposons que la ‘dis!ribution est initialement homogene (cf. 9 3). Nous avons done initialement (5.10) /(. . -I YE, . . * ; 0) = 17 f,,(ylj ; 0) > et d&s lors M(. . . ) a,,, . . . ; 0) = n M,,(a,, ; 0). (5.11) Les relations (5.8) et (5.9) nous donnent trices a tout instant t* M(. . .) a,,, . . . ; t*) M&z;
pour les fonctions
= 17M, (& 0, J ,,--viO),
f*) = 17M,(aJv-,;
0).
genera(5.12) (5.13)
Notons que la relation (5.12) nous montre que par suite des interactions, des correlations entre leesvariables apparaissent au tours du tenips.’ Ces correlations se propagent et asymptotiquement tout couple de variables y,, et y,,, redevient independant comme le montre (3.8). En vertu de (5.13) la ,,cumulant generating function” K,, definie par (5.7), prend la forme
K&T f*) = C, h M, (aJ,,-,r; 0). Les cumulants k,,,,(t*) a l’instant h l’instant initial par
t* s’expriment
(5.14)
done A I’aide de ceux
hi,n(t*)= xv kf,v(Jv-nli.
(5.15)
Cette formule est la generalisation de (3.1) au cas des cumulants d’ordre superieur. Par contre nous avons suppose ici l’absence de correlation a I’instant initial. Introduisons maintenant, comme au 3 3, l’hypothese de l’homogCnCitC initiale. Nous n’avons a distinguer ici que deux valeurs de k:,, ou de ki,,, suivant que v ou n se rapportent a une distance ou a une vitesse. La formule (5.15) s’ecrit done plus simplement
ki,d= kiqd2” (J2nJi+ k:v C,, (J2t,-,lit
(5.16)
k,,v= k:u C, (Jz# + k?,ci C,, (Jz,,-it
(5.17)
1062
G. KLEIN
Utilisons l’appendice
la formule III
ET
1. PRIGOGINE
(3.6) ainsi que les relations
demontrees
(5.18)
C Jsn = 1; C Jz,,-, = 0,
x (Jzn)’= ;I;
JoP*
dans
sin 4 v) cos (t* sin q) dv, X (J2n-,)3 = 0, (5.19)
z (Jn14= $6’ {J&3* sin It ~4)’ dq.
(5.20)
En ce qui conceme le second moment ou cumulant, nous retrouvons les ritsultats du 5 3. Le moment initial d’ordre un est nul pour les variables distances (cf. 2.2). De plus nous pouvons admettre sans nuire a la gCnCralitC que la vitesse moyenne Fn est nulle. Les formules (5.19) et (5.20) montrent que les cumulants d’ordre trois et quatre tendent vers zero (cf. appendice IV) et il en est a fortiori de m&me pour des cumulants d’ordre superieur. 11 decoule de ces resultats que la ‘cumulant generating function’ K,, se reduit pour t -+ 00 a (5.21) ce qui signifie d’apres un theoreme classique du calcul des probabilities que la fonction de distribution f,, tend vers la forme gaussienne (5.3) (en utilisant la normalisation (4.3)). Le second cas que nous considererons est celui oil le systeme peut Ctre decompose en une partie centrale de dimensions quelconques mais finies delimitee par deux regions infiniment etendues qui sont deja initialement en Cquilibre. Considerons d’abord le second cumulant (ou moment). Nous admettons done la distribution initiale k;,,, = k(-
oo < n I
= arbitraire En utilisant
-
N --
1 ; N + 1 I n < 00 ), (5.22)
mais borne pour -
N I n I N.
(3.6) et (5.15) nous aurons alors
k,,,$*) - k = Z, k;,,L,)2 - E’, k(Jv-A2 = Z!, (k;,y- k) (Jy-,)2. Comme toute combinaison 1inCaire finie de fonctions tend vers zero pour t --f co, on aura done k2,,(t*) -+ k pour t* +,w
et n quelconque
(5.23)
de B e s s e 1 (5.24)
MdCANIQUE
STATISTIQUE
DES
PHgNOMkNES
IRRlh’ERSIBLES
III
1063
On demontrerait de m&me que tous les cumulants d’ordre superieur disparaissent asymptotiquement. Nous retombons done sur le mCme resultat que dans le -premier cas. Chaque fonction de distribution f,, tend asymptotiquement vers une distribution gaussienne. On peut demontrer exactement de la mCme man&e que ce resultat reste vrai pour toute fonction de distribution madtifiJe se rapportant a une region finie; il subsiste Cgalement lorsqu’il existe initialement une correlation quelconque dans la region finie consideree. 6. Exemfdes de fierkrbation homogkne. Considerons deux exemples de perturbation homogene deja envisages dans notre seconde communication (cf. II $ 2). Le premier est relatif Q une leg&e assymetrie initiale de la fonction de distribution des vitesses. Nous prendrons initialement k”
= k”2,u = 1 . k;,: = (p), (w~,kT)~!’
# 0,
k,O,, = 0;
k& = kid = 0, Les formules troisieme
i > 3.
(5.17) et (5.19) nous donnent
mornem
(6.1)
alors la disparition
du
avec le temps
‘F” = (F,, &T
./opt*
sin 4 v) cos (t* sin v) dg.
(6.i)
Au bout d’un temps suffisant la dissymetrie aura disparu. I1 faut noter que l’approche vers l’equilibre n’a pas un caractere exponentiel. Le second exemple est celui oh nous n’avons pas initialement d’equipartition entre Cnergie potentielle et cinetique (cf. II, 3 2). Xous prendrons ici (cf. II, 2.17) k;,,, = 1 + ATITeq.,
k;,,i = 1 -
k;” = kFd = 0, Les formules
AT/T,,,, i>2
; (6.3)
(5.17) et (3.6) nous donnent TV*)
= Tent, + AT JoW*)
(6.4)
De nouveau, au bout d’un temps suffisant, nous obtenons l’equipartition de l’energie. Comparons ces resultats avec ceux que donne le principe de superposition.
1064
G. KLEIN
ET.1.
PRIGOGINE
7. Compa.raison avec le .principe de stiflerposition. -Reportcins nous a notre seconde communication (II, 9 2). Dans le cas d’un ensemble d’oscillateurs lineaires les developpements en .sCrie en fonction du temps (II. 2.11) et (II. 2.23) peuvent s’ecrire sous forme finie. Nous avons ici pour la fonction Y utilisee dans nos precedentes communications (cf. 1.4.5 et 1.4.8)
Y = (1/2kT)
v”(r) (Y -
:)2 = -$ (r -
:)2/o?
(7.1)
Par contre, en postulant l’absence initiale de correlation (3.10) nous admettons en somme un principe de superposition, c’est-A-dire une factorisation de la fonction de distribution du systeme A l’instant ilzitial. En vertu des lois de la mitcanique, cette factorisation initiale ne se maintient pas localement au tours du temps mais se retablit asymptotiquement. Toutefois, en moyenne sur tout le systeme la correlation reste nulle a tout instant comme le montre l’existence des invariants (3.10). Considerons d’abord la perturbation de la distribution des vitesses. Nous Ccrirons pour celle-ci (cf. II. 2.1)
[1”(~dt=o= m” (1 + m))>
(7.2)
oti nv’ est la distribution d’equilibre et V”(t,) une petite perturbation. Pour la perturbation initiale nous prendrons V” = 4 (z),, (m/kT)“2
{-
&(m/kT)‘j?
+ 4 &n/kT)“,‘2}.
(7.3)
Ce choix est fait de man&e a ce que initialement le premier moment reste nul, le second reste inalter& et tous les cumulants superieurs au troisieme restent Cgalement nuls. Nous aurons done exactement les memes conditions initiales que dans le paragraphe precedent (cf. (6.1)). Nous pouvons Ccrire ici saris difficult6 la skie (I. 6.9, cf. aussi II. 2.3), ce qui nous donne A la place de (II. 2.1 l), F=(&,[l-(6/11){1-cos&/(11)t*}].
(7.4)
De mCme pour un ensemble d’oscillateurs, le second exemple relatif a une perturbation initiale de l’equipartition entre Cmergie potentielle et cinetique peut se traiter completement. La serie (II. 2.23) devient ici T(t*)
=.Tc4,1 + LIT [l -
Dans ces deux exemples,
(4/5) {l:-
le comportement
cos 3 d(10) t*>1.
(7.5)
est ainsi fondamentale-
MBCANIQUE
STATISTIQUE
DES
PHliNOMkNES
IRRh’ERSIBLES
III
la65
ment different de celui que nous avons o,btenu au 3 6 a partir de l’integration exacte des equations du mouvement. Les Pertztrbations initiales
ne disparaissent
@us mais oscillent’ pe%odiquement
au
c02trs
du tern@. Toutefois, en developpant les expressions obtenues en puissances du temps, on voit que le terme en t2 des formules (6.2) et (7.4) d’une part, des formules (6.4) et (7.5) d’autre part, coincident, mais deja les termes suivants sont differents. Le principe de superposition ne donne done des rbultats corrects que pour des temps tres courts de l’ordre de I’inverse de la frequence des oscillations. Cet Cchec du principe de superposition est tres surprenant a prcmike vue. Dans notre premiere communication (I, 3 5) nous avons nous-mCme admis qu’etant donne que ce principe est exactement verifie pour les Ctats d’equilibre des systemes consider&, il etait raisonnable de le supposer verifie aussi a titre d’approximation par les systemes en dehors de l’equilibre. Nous voyons qu’il n’en est pas ainsi et qu’au contraire le principe de superposition empeche reellement le systeme d’atteindre l’equilibre. La raison en est que si nous partons :d’un Ctat de non equilibre meme sans correlation initiale entre les particules, la propagation des actions mecaniques a travers le systeme fait naitre au moins temporairement des correlations entre particules m&me tres Cloignees (cf. $3 3 et 5). 11 en resulte qu’il devient incorrect de factoriser la fonction de distribution. Pourtant pour des temps trits courts les correlations n’ont pas encore pu se propager dans le systeme, ce qui explique que le principe de superposition donne neanmoins le coefficient de (t*)’ de man&e correcte. 8. Cas d’zsn systkme fini. Nous allons considerer maintenant le cas d’un systeme forme d’un nombre fini d’oscillateurs. de man&e h nous rendre compte de facon plus precise du passage a la limite qui est implicitement contenu dans les systemes infinis que nous avons consider& jusqu’ici. Nous prendrons un systeme forme de N oscillateurs avec bords ,,libres”. En utilisant les notations (2.3), les equations (2.1) deviennent ici fW*)
~2
=
La methode
y2,v = - 4 y2.v-1; (8.1) (n = 3, 4, . . . , 2A’ - 1). (8.2)
(d/dt*)
Q ~3,
(d/dt*) y,, = 4 (y,,.+, la plusrapide
yn-J,
consiste a poser
Y,, = z,
Yy”J”-$*)t
(8.3)
1066
G. KLEIN
ET
I.
PRIGOGINE
ce qui satisfait (8.2), et puis & soumettre les constantes arbitraires y,” a des. conditions telles que les equations (8.1) soient Cgalement satisfaites. Cela donne par identification yy = 0,
Y;N+l = 0,
yy-, = (-
l)‘+‘yy+“’
YzoN+,+” = (-- 1)‘+‘YzON+I-“.
(8.4)
Ces formules permettent d’exprimer toutes les constantes yz a y!$,, qui sont les valeurs initiales de ya, . . . , ya,,. l’aide de yi, . . . , Nous avons (k pair) Yi’+l+k.ZN+,l
= (-
l)~+~+/~ y;,+l-,
(k impair).
(8.5)
En remplar;antles yf par leurs valeurs (8.5) dans (8.3), on trouve en groupant les termes YN+l+m
=
p=N-I =
z p=--N+1
k=oo 0 YN+l+p
x k=--oo
&k.2N+p--.‘
(m = -N
@*I
+
(-
+ 1, . . ., -
l)N+l+‘J~Zk+I)PN--CI--nt
1, 0, 1, . . ., N -
@*)}I
1). (8.6)
Nous avons introduit a la place de n, la variable m qui prend la valeur 0 pour n = N + 1 (,,milieu” du systeme). On voit done que si nous prenons des temps suffisamment courts par rapport au temps que prendrait le son pour se propager jusqu’au bord, toute la somme (8.6) se reduit a YN+l+nr
-p=N-I /I=-N+I
Yi’+,+p
J,,-&*)
‘(8.7)
et on est ramene pour les temps courts envisages, au probleme Ctudie dans les paragraphes precedents. L’expression (8.6) peut aussi s’obtenir a partir de la resolution de (8.1) par la methode usuelle des vibrations propres du systeme. 9. Discussion. 11 est interessant de comparer notre resultat A celui que donne une corde continue. Dans ce cas les equations (2.1) sont remplacees par l’equation de propagation du son (212x/at2) = c2 (a”X/ax2).
(9.1)
On peut alors montrer que la densite d’energie proportionelle a (ax/al)’ + c2 (aX/ax)2, obeit Cgalement -a (9.1) et qu’il en est de
MkCANIQUE
STATISTIQUE
DES
PHkNOMkNES
IRRlh’ERSIBLES
III
1067
meme de la densite moyenne d’energie (i3X/i3Q2 + c2 (8X/&)‘, moyenne prise sur des conditions initiales quelconques des ax/at et ax/ax. Aucune evolution vers une repartition uniforme de l’energie dans le systeme ne se produit. Notre resultat depend done essentiellement (au moins dans le cas a une dimension) de la structure discontinue de la chaine et de la dispersion des ondes qui en resulte. Par suite de cette demikre, le nombre de termes qui contribue effectivement a y,(t*) dans (2.4) croit de plus en plus et tend vers l’infini pour t* + 00. 11 en resulte que pour des temps grands nous avons une situation qui est en relation directe avec le theoreme central du calcul des probabilites : La variable aleatoire y,, de (2.4) est pour t* -+ 00 une fonction lineaire d’un nombre infini des variables aleatoires yy” qui correspondent aux conditions initiales. 11 est done bien nature1 que la distribution de y,,(t*) se rapproche de plus en plus d’une distribution normale. Au contraire dans le cas continu, si on prend
(ax/at),,, = ,u(x), (ax/ax),=, = W(X), on trouve
(9.2)
a la place de (2.4)
ax/at = 4 (- c w(x - ct) + + - ct)} + + g {Zb(X+ cl) + cw(x + ct)},
ax/ax = 8 iwcX -
ct)
- (I/~) qx + a {(l/c)
ct))
(9.3)
+
4x + 4 + 4x
+ 4).
(9.4)
Quel que soit t* on a done le m&me nombre, quatre, de termes. Ces considerations montrent par quel mecanisme s’etablit ici la forme asymptotique des lois de distribution. Nous avons pu Ctablir l’existence de cette forme asymptotique canonique moyennant des hypotheses restrictives sur la fox-me initiale des fonctions de distribution a cause de la non ergodicite du systeme, c’est-a-dire de I’existence des invariants (3.10). Toutefois ces hypotheses sont deja suffisamment g&r&ales pour permettre l’etude de quelques exemples simples de processus irreversibles (cf. $6) et pour Clucider les contradictions auxquelles se heurte le principe de superposition (cf. 9 7). Nous esp&ons traiter d’autres aspects de ces problemes dans des communications ulterieures. Nous crayons qu’au moins une partie des difficult& qui s’opposent a l’edification d’une mecanique statistique des phenomknes irreversibles se trouve ainsi eliminCe.
1068
'2. KLEIN
ETI.PRIGOGINE
Nous tenons d’abord a remercier le Centre National Beige d’l?tudes Scientific&es du Proid-dont les subsides on+endu ce travail possible. Au tours de celui-ci nous avons eu des discussions interessantes avec 11. A. L i o n. Nous voudrions a&i exprimer notre reconnaissance au Dr R. I; ii r t h qui a attire riotre attention sur le travail de Schrodinger. L’un de nous, (I. P.), tient enfin Q remercier I’Institute for Advanced Study de Princeton pour une invitation qui a permis de discuter ce travail avec les physiciens de cet Institut. 11 remercie aussi l’lnstitut International de Physique Solvay dont un subside a facilite ce voyage. APPENDICES
I. DCmontrons d’abord les formules (3.5) et (3.6). On a en utilisant des formules classiques (cf. “) p. 362), Si = C,, J,, J,,+i = C,, Jn !$
cos nO cos’(i0 -
z sin 0) dO
-E:,,
sin nO sin (i0 -
z sin 0) de.
J,, !$’
la sommation Sf = l/t 76
Sj = -
sin O} d0
= C,, J,, Lit
7L
En permutant ex. 1)
cos ((tz + i) 0 -z
et l’integration,
(A. 1)
nous avons (cf. *) p. 379,
cos (z sin 0) cos (i0 -
z sin 0) d0
(A4
l/t sin (z sin 0) sin (i0 3-c
z sin 0) d0
(A4
oti Sp designe la somme sur tous les n pairs et Sf, la somme sur tous les n impairs. A partir de (A.2) et (A.3), on calcule facilement la somme et la difference de Sp et Si. De la enfin les formules indiquees dans le texte. II.
Passons a la formule C”,
(3.20). Nous devons calculer la somme
cos (n + 11)u {J”(z)}~ = cos nu C”,
cos va {J”(z)}’
(‘4.4)
JIkCANIQUE
STATISTIQUE
DES
PHliNO,MkNES
IRRh’ERSIBLES
III
1069
A l’aide de formules connues (“) p. 380 ex. 16 et. 379 ex. 1) ainsi que de 1’intCgrale de B e s s e 1 (“) p. 362) et en permutant l’ordre de la sommation et de l’intkgration c:,
cos va {Jy(z)}2 = z:,
cos vu J-j$’
n
=. $42 = ifl
J2”(2z cos 0) d0
cos (22 cos 0 sin 3 u) d0 cos (22 sin $- u sin v) dp, (AS)
= Jo (22 sin 4 u).
C’cst la formule
utiliske
clans le texte.
III. Lapremik-eformule classique (“) p. 379, ex. 1)
(5.18) r&&e
directement
cos (z sin v) = JZ J2,, cos 2ng, cn y prenant pour n entier
v = 0. La seconde formule; J-n
= (-
(5.18) ,pro\ient
1)” J,,
J&4
(A4
de ce que (A.7
Pour obtenir les formules (5.19) et (5.20) il faut utiliser d’addition de N e u m a n n (“) chap. XI) Jo(c) = Cm
de la relation
J,(b) ~0s WJ
le thkorkme (A.4
avec c2 = a2 + b2 -
Prenons a = b = z, la relation
(A.8) devient
Jo(2z sin & v) = ZZ,
En prenant
91 = 0, on obtient
2ab cos p
alors
{J,,(z)}~ cos qv
(A.91
d’abord
C”“, (Jn)2 = 1
(A. 10)
Prenons le carrC de (A.9), puis intkgrons sur rp depuis 0 & 2~. D’oh, en utilisant l’orthogonalitk des diffkrentes fonctions cos nv f$ {Jo(2z sin iv)}” drp = 27~F’, C’est la formule
(5.20) du texte.
{J,,(z)}”
(A. 1 1)
1070
G. KLEIN
ET.1.
PRIGOGINE
La premikre formule (5.19) s’obtient de la mCme manike en multipliant les formules (A.6) et (A.9) et en intkgrant 9 depuis 0 B 2n. Le seconde formule (5.19) est une conskquence immkdiate de (A.7). IV.
Nous allons montrer
maintenant
Z~ZZoo {J,,(z)}” = $jtjz
que
{J0(2z sin Y)>” dY = S,
(A. 12)
donnit par (A. 11) tend vers z&o pour z + 00. Nous pouvons introduire une constante c telle que (cf. le dhveloppement asymptotique des fonctions de B e s s e 1) UOW”
(A. 13)
< c2/x
Utilisons (A. 11). Pour z grand, 0 < l/z < n/2, de sorte que (A. 11) nous donne S, = p (/d/l + /;;r) {J,(2z sin Y)}” dY -c a $ + 2 c2 a/l;? n
(I/sin
Y) dY.
(A.14) (A.15)
D’oh S, < (2/n) {( 1/z) -
c? (l/22) In tan ( l/22)}
et tend done vers z&o pour z --t 00. Passons B 1’Ctude de S,. Nous avons vu que (cf. Appendice s, = c:zY, = zfij2
{J&)}”
= c;I-,
(A.16) III)
{J2”(4}3
J&22 sin Y) cos (z sin 2Y) dY.
(A. 17)
Nous avons done 1S, 1 < CR12 1J0(2z sin Y) 1 ) cos (z sin 2Y) 1 dY < z]c’2 n
1J0(2z sin Y) I dY
= $ (1: + /E12) 1J0(2z sin Y) I dY. Introduisons
de nouveau une grandeur
I Job) I < c +
(A. 18)
c ,telle que pour tout x (A.19)
MECANIQUE
STATISTIQUE
DES
PHENOMENES
IRREVERSIBLES
III
1071
Done ] S, 1 < G E + p cue”
(sin !P)-*
dY.
(A.20)
Dans l’integrale sin Y > sin
E >
(2/n) E
(A.21)
et d&s lors (‘4.22) OU 1 s,
prenons
1 -=c
(2/n)
& +
+ ++?
;
(A.23)
E = .z-*, d’oh enfin 1s, 1 < (2/7C) z-1 + 8 cn* 2-f
(A.24)
et tend vers zero pour z + co. 11 est bien evident que les sommes de puissances plus ClevCes, s; = c {JJZ))‘, i > 4, n p air ou impair, tendent a fortiori vers zero car on les obtient en multipliant chaque terme de S, par un ou plusieurs facteurs plus petits que l’unite. Recu.256-‘53.
REFERENCES 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
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