Sur le principe de saint-venant en elasticite plane: Une evaluation du decrement logarithmique pour le probleme non-homogene

MECH. RES. COMM.

VOI.4(5), 321-324, 1977.

Pergamon Press.

Printed in USA.

S U H L E PRINCIPE DE SAI~f-VENANT EN ELASTICITE PLANE : UNE EVALUATION DU DE~. CREMENT LOGARITHMIQUE POUR LE PROBLEME NON-HOMOGENE. A.Rigolot Laboratoire de M4canique Th4orique de l'Universit4 Paris 6, 4, Place Jussieu 75250, Paris, Cedex 05, France. (Received and accepted for print 13 July 1977.)

Introduction C'est en 1965 que la question si controvers4e du domaine de validit4 du Prin cipe de Saint-Venant prend son aspect moderne. C'est ~ cette date en effet que Toupin [I] donne une estimation de la d~croissance exponentielle de l'~nergie de d~formation et des contraintes, au voisinage de la base non charg~e du cylindre. Cette estimation, qui n'a qu'une valeur ponctuelle est 4tendue, un peu plus tard, par R o s e m a n [ 2 ] , ~ chaque section droite, grace. ~ une m~thode due ~ Fritz Jones. Une revue bibliographique de ces questions est pr~sent~e par Gurtin [ 3 ] . Le r~sultat de Toupin pr4sente l'inconv~nient de ne pas permettre un calcul explicite du d~cr@ment logarithmique, qui caract~rise la d4croissance exponentielle de l'~nergie de d~formation. Seuls des cas particuliers ont ~t~ 4tudi~s, par exemple celui du cylindre de r~volution [ 4 ] . Un probl~me voisin de celui de l'~lasticit~, relatif au laplacien, a 4t~ conduit jusqu'au stade de l'application num~rique [ 5 1 • Ainsi que Gurtin le souligne, il est essentiel de placer le principe de Saint-Venant dans le cadre g~om~trique d'un cylindre semi-infini. C'est d'ailleurs ainsi que se pr4sentent les probl~mes de construction du champ de d4placements dans les corps ~lanc~s (poutres, coques) au voisinage des bords par la m~thode des d~veloppements asymptotiques raccord4s [6 ~ 7S. De plus, sans compliquer beaucoup le probl~me, il est possible de traiter le cas "non homog~ne", oh les forces ~ distance et les contraintes - sur les g4n~ratrice~ -fronti~res-ne sont pas n~gligeables. Enfin il convient de remarquer que seul le probl~me plan est trait~ : il pr4sente en effet l'avantage de se ramener , grace ~ la transformation de Laplace, ~ un syst~me d'~quations diff4rentielles ordinaires et le d4cr4ment logarithmique cherch4 est li~ ~ la localisation dans le plan complexe des pSles des transform~es de Laplace. Sci en ti f i c Con~nuni ca ti on

321

322

A. RIGOLOT

Notations et 4nonc4 du r4sultat principal Les notations sont explicit@es par la figure I

~~).

~--~

Figure ~ : notations.

, ~

E ~

~ ~ ) ~

module d' Young co@fficientde Poisson

~ ~

~

}

densit4 de forces ~ dist~ce

~f d eon s irt ~ c surfacique e s ~ de ~de contact sur le contour de ~

0

-~armi les solutions de l'@quation du champ complexe :

(~)

~~

=

~."

la, notation~ d4signera la partie r4elle de la solution & plus petite partie reelle positive. De plus une fonction~:~-~sera notge O ~ -~ s'il existe deux constantes~et ~, telles que pour x2 suffisamment grand : quel que soit ~4 ~[O~]j I~C:~.~)I ~ ~ ~ ( - ~ ) • Proposition •• "si les forces donnges ~, sont O [ ~ e t~ ~ /~, ~'~ ~ ~

[

s&t&sZo~t &~z ~ £ ~ t & o ~ s ez&ste ~ e

(- ~,)]

~ ~qa&Z&b~e ~Zob~1 Z~ ~om&&~e ~ ,

co~st&~te ~, teZZe £~e Ze ?#obZ~me ~'~Z&st&c&t~

&az ~#Z~oeme~ts ?Z&~s

~&Zmette

~e ,

~: ~

~

-"

:

~oZ~t&o~ et ~ e

&Z

SUR LE PRINCIPE DE SAINT-VENANT

D~monstration de la proposition

323

.

La d4monstration consiste h se placer dans l'espace des transform4es de

/~°

Laplace :

~(~,,~)= ,-P ~ (~,~? a~,. Les gquations de Navi~r de l'glasticit~

~,~, ~

( [@,

~. ~ . 5 )

~+a~.~a~ ~,~

~a~(~,ob ~o) + ~-a~ ~

~ ~w0-~) ~ = - a (g~ ) ~ ~• ~.

~ ~~ ¢ (~o) + ~ et les conditions ~ la limite

s'~crivent

C aa~ ~ ~, ~

_

:

. ~) (a,~)~e(~O

+ ~~_ ~ ~~ ( ~ ~~ ~' + a-a~ F ~~

devie~ent

~'~)+~(~

~,C~); -

:

~,(~,o~, (~(,-,~ ~(~)

~

~ a-~ ~I ~= o~ I-~ ~7~ Q-~)E ~ (a~, ~ ~a~) _ ,~ + ~)*~ ~,~ I~:o,~ (~'QI~o,~ - ~C~.

Oa solution de ce systbme de deux gquations diffgrentielles ordinaires -avec conditions ~ la limite~st

la s o ~ e

d'~e

et de la solution du syst~me homog&ne associe

-~-z~

-

~ savoir :

-e_z~4 - ~ ~

+B

A

~es c o n s t a n t e s A,B,O, e t D ~ t ~ t

solution

~b

_~+~37~j du syst&me l i n ~ a i r e

3-z~ -~. ~-~ P~n'~-~ ~ ' _ ~ ~ (~.~+~,)C~ '

~

;

~ -~Z~

~C

[~-~-'~]~". ~ . ~, 4CG'~) , ~~ [~-~)+~]K ~

solution particuli&re

.~

:

~o , ' , , ~i ~ A ~

B

-*~B-~) ~ ,, [~xC~~)+~]~ ~ ,, ~a~,~ o = _D

~[ ~~,

~- ~2]

'

324

A. RI GOLOT

Dans ce syst~me la colonne du deuxi~me membre est constitute par des combinaisons lin@aires des donn~es et conditions "initiales" obtenues pour x2= 0. Le d~terminant de ce syst&me est : 16 (sin 2 p - p2 ) et la condition de d4croissance h l'±nfini expr±m~par la proposition h d~montrer est la consequence des remarques suivantes

qui se v~rifient ais~-

ment:

( ~ ) les racines ~ partie r4elle positive ou nulle de l'4quation (I) ne sont pas des p~les des fonctions

~(xl,

p) lorsque les relations d'~quilibre

global suivantes sont satisfaites : @

I

• "~O

J..,~i~

~~ ~(~,,.~-~ ~ (~,~o] ~

(kk) ka localisation d a ~

~

0

~

~

+

O

_

°,

~

a~ + ~s ~a~ ~+~(~}l_~

X2;'

le plan compl~xe des racin~s de l'~quation (I) est

d~finie par les in~galit~s suivantes : en notant les racines par

~: ~ ~~ il vient :

~.'~ ~ ~'~(~,÷-t)~

(o<~~,~~= ~;,...) I

o ~ ~ ~ Lo~. ~(~÷

~}S~

•

R~f~rences

I. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

R.A. Toupin - Arch. for Rat.Mech.and Anal., 18, (1965). J.J. Roseman - Arch.for Rat.Mech.and Anal., 18, (1966). M.E. Gurtin - Handbuch der Physik, Vol. VI a/2, Springer, Berlin (1972), M.E. Duncan-Fama - Quartly Jour.of Mech.and App.Maths, XXV, (1972). 0.Maisonneuve - Th~se de Doctorat d'Etat, Universit4 de Poitiers, (1971). A.W. Koloss et A.C.6old,~i~Journal of App.Maths and Mech., 29, (1965). A.Rigolot - Journal de M4canique, Vol. 11, (1972). P.Germain - M~canique des Milieux Continus, Masson, Paris (1962).