- Email: [email protected]
Sur Une Nouvelle Methode De Resolution Du Probleme De La Diffraction D'une Onde Plane Par Un Reseau Infiniment Conducteur
CO~IAl~:NIC’.\‘l‘1ONS
0I”I‘ICS
1. DESCRIPTION
DE LA METHODE
Le probleme que nous now proposons de resoudre a d&j; dt& pose dans un p&&dent article (111. chapitre I). Nous rn adoplerors 1~s ~2of~iliot~s. La nouvelle formulation que nous en avons don&e. utilisant les propridtk des transformations conformes. permet de se ramener 5 la recherche de la fonction F(X.1’)” solution du probleme (I) suivant :
periode 2;; et tend exponentiellement vers k2 si Y~-m. Si l’on admet que. pour I’ il. (o‘u A est un nombre 5 determiner par quelques tests num&riques. et qui depend de la pre’cision exigee pour les calculs). K2(X.Y) = 122. nous sommes done ramengs % un probleme analogue a celui trait6 dans 121. La condition (2) permet de reprksenter F(X. Y) sous la forme: +a F(X.Y) - C F,,(l*) expIi(!z +/? siniq)XI . (5) 12:-m Si nous posons: (5bi avec
f+‘(X+ k.1’)
=F(X.Y)
:
exp[ik2iisinii]
(21 crll(I’) - $
(F-Fincidenti sortantes”
v6rifie une “condition pour Y m;
F = 0 dans
le “cas
?Y = 0 dans Dans
le “cas
ce problkmeK2(S.
II
(3)
1-
0 .
(4)
I’ . Y) est periodique
exp[-inX]
dX ,
” 0
d’ondes
1; ” pour
iI;
2z J’ is”
de
il a deja et& 6tabli de la forme:
131 que la solution
E‘(X. I’) est
Volume
number 1
3.
OPTICS
COMMUSICATIONS
Si Y 0: F(X.Y) = 0. Si 0 Y 6 A: Les fonctions F,(Y) sont solutions d’un systkme infini d’dquations diffdrentielles coupl&es (II) : d2Fn - (n+ ksinH)2
F,+k2
“c”
u,_mFm=O
teur T’(0): T’(0)
Nous devons maintenant traduire en Y =A. la continuite des composantes tangentielles des champs klectrique et magn&ique. ce qui implique la continuitd de F(X. Y) et de sa derivee normale. D’oti les relations: F;(A)
- ikcosH.FO(A)
F,‘(A)
- ix,F,(A)
= -2ikcos~.exp[-ikAcos0]
FA (A) dksignant la dirivce fonction F, (Y).
au point Y =A
de la
Ainsi. si l’on admet que F(X.Y) est suffisamment bien de’crit par N termes du d&eloppement (5). le problkme initial se ram&e i la dktermination de N fonctions F,(Y). dhfinies sur (0.A) par re’solution d’un systeme d’kouations differentielles line’aires coupl&es. Si nous dGs.ignons par g la I I matrice d’elements z?~, m d&finis par:
I’n, m = -k2a n_m + (n + ksinQ)26,,,
0;
6 12.m designe
matrice virifie: ‘3”(Y) 7’(A) T(O) ‘3’(O)
=V(Y)
5-(Y) ;
t PA 7(A)
= $;
= 0 dans le “cas = 0 dans
= -
ixn
(III),
= Fp2(A) exp
1-iX,,A ]
exp[-ikcosN.A]
si 12+ 0 ; - exp[-2ikcosiJ.Al
.
(7)
(8)
F(?z$+l)
,
PA disigne
T’(A)
NOUS avons tout d’abord utilise la mGthode employ&e dans [2]. L’intervalle d’integration est divisi en p intervalles e’gaux; les fonctions F, (Y) et F;,(Y) sont introduites en machine sous forme de blocs g deux indices n et p. et l’on calcule F(~.p+l) par une diffkrence finie:
le “cas H//l’ .
Dans ce systgme d’&l&ments: zA(n2.n)
E,:‘”
+ PA
RO =FO(A)
(6) ;
;
qui est dgale 5 un vecteur C;~C# (j’. le vecteur $jII ddpendant lineairement de’%. 11 existe done une matrice ~% qui fait passer de T’(O) = (l! i Gu, Pour la construire, on remarque que sa ,,lGme colonne n’est autre que le vecteur (J1( obtenu en prenant pour ‘J’(0) un vecteur don,t.toutes les composantes sont nulles sauf la r2leme qui est &ale a l’unitd. 11 suffit done de se donner N vecteurs 9’(O) de ce type et de calculer chaque vecteur $/!( pour obtenir la matrice )/I. Connaissant ‘??!. on d&ermine le bon vecteur T’(O) 2 choisir. par inversion du syst2?me’l/r. T’(0) = = g et l’integration numdrique de (6) fournit alors les vrais vecteurs $(A) et ‘?‘(A). On en deauit imme’diatement les valeurs des coefficients R,, qui intdressent l’opticien: R,,
.
le symbole de Krsnecker, la ? d’&lements: F1 , F2.. . Fpz
colonne
:?(A)
;
=O sir? f 0 (
quelconque
la condition (6). jointe ri la condition (8): :? (0) = 0 permet le calcul de -J”(O). L’intkgration numGrique de (6) fournit alors 7(A) et 3’(A). On calcule alors la somme:
.
m=- 03
dY2
= 9? . vecteur
la matrice
h,pp2
et $ est la matrice colonne dont tous les Gments sont nuls sauf l’eliment central qui vaut -2i kcos 0 exp [-ikA cos Q]. Les conditions (8) decoulent immgdiatement des conditions (4). La &solution du probl&me (III) se traite par une mkthode directement d&iv&e de celle utilisie dans [2]; donnons-en le principe dans le “cas EL”’ par exemple: On choisit arbitrairement le vec-
= 2F(n./1)
- F(n,p-1)
+ (AU2F
“(?z./~) .
Signalons encore que. compte tenu de la decroissance exponentielle de la fonction K2(X.Y) quand Y croit. une intggration B pas variable a kgalement 6th test&e. Cette m&hode n’a pas paru presenter d’avantages notables par rapport a la pr&‘dente.
Conside’rons le systkme (IIb). obtenu tronquant le systdme (II). et en ne retenant que les valeurs des indices n et IH comprises entre -Net + N. od N est un nombre avhilrnivc. Formons le wronskien: 49
critere de conservation de l’energie est verifie’ quel que soit le nombre de coefficients de Fourier utilises pour decrire le champ F(X.1.). rttPtrtc> si
W( 1’) -- Im
cc’ norrthrc
PSI it!ti;t*icJctu
oti F,, designe le nombre complexe conjugue de I; II. Etudions les propridtes de WC\,). 1. W esl consloril: en effet:
Comme
1‘17. MI
L
~‘n2.11
meme des coefficients dW __ dI_
2;
a
cause de la definition c/n-,r2 (cf. (5b) 1 on a:
x 15 I’//. 112I;,,? - 41 l’,,f.,j r;,,, I II. II/
2. W - 0 en I’= 0 5 cause des conditions Ce wronskien est done tzuI /mrr- /ou/ I’. 3. Si 1. x’ . F,,(T’) -- At2 exp [ -ixj2Y] + R 12exp j ix,, 1’1.
m
t7ott2hm
d’ordvc~s
~c~cls
On pourra
e*galement etablir que ce critere est encore satisfait quel que soit la hauteur A du domaine d’integration et quel que soit le nombre de points d’integration choisi. Dans ces conditions. il ne peut etre utilise pour controler la validite de la methode proposee. (I1 n’est utile clue lors de la mise au point des programmes. pour le depistage des erreurs de programmation.) Nous sommes done amends a controler la validite des resultats obtenus en etudiant It//v cor~r~~vgc~?zc,r quand les parametres precedents varient. diffmc‘t6s.
2. RESULTATS
=0 . (4).
avec
La methode proposee a d’abord ete testee sur des cas simples. ceux ou le profil du reseau est une cycloihe reccourcie. On sait que ce type de courbe peut etre utilise pour la representation mathematique du profil des reseaux holographique /4]. Ses equations parametriques: 3c
X-(Isin,X
:
J’ - a cos x ,
0; a est un nombre reel 0. sont obtenues faisant I7 0 dans l’equation:
en
..I,, = 1 si I/ : 0 : =Osi
z -Z
t? #O,
(cf. [l\. chapitre
d’o; [I’( I’) Q Im{C (An exp [ix,,Y] I/
+ BI1 exp [ -ix,Y])
‘I (En exp j ix, I’ 1 - A ,/ exp 1-ix,, J7/) ix 121 . Si nous designons par 0’ l’ensemble des valeurs de H pour lesquelles x,, est reel. nous obtenons: II’-
r
I,R,,f2 - ‘At,12] x82 pour 1~
+2 .
12 I: d’ou: -7 - R,, 2xPz = c ‘A,, ’ x,, > 12 1: II I,’ ce qui dans notre problkme particulier
d” :. 1 -0 dZ
entraine:
IV). ce qui entraine:
exp liX -Y ) :
de 2 ‘;11_zl = 1 i a2 exp [ -21’1 -n(exp[iX
-17]-exp[-iX-
I’]) .
On a done seulement trois coefficients definis dans (5b) non nuls: n()(E’)
expression qui traduit le critere classique de conservation de l’energie. On voit done que. dans ce problkme, le 50
+ ia exp[iZl
0-1(Y)
1 +(I 2 exp [ -2YI
= -a
exp[-Yj
;
=al(Y)
al(Y)
c~,~(l~)
= - n exp(-YJ
,
d’ou une matriceLv(Y) particulierement simple. Nous avons alors etudie la distribution de l’energie diffractke entre les ondes des differrents ordres. pour divers reseaux. dans un montage a deviation constante de 13O. A titre d’exemple.
:
Volume
3, number
March
OPTICS COMMUNICATIONS
1
1971
A -1 c
I
“C AS
z
E II“
e = 0,180
0 L
0
- -0-5 Y l; 4 0 Y :
!L.Lhd 1
0.5
1.5)lm
I
I
I
1
0.5
-I
1.5pm
Fig. 2
Fig. I
” c p.s ”
CA
S
E
II
e=
“
Ii I, ”
A
0,240
e = 0,240 ..I
I/\
.
t u
, 0
0.5
1
1.5pm
uy
0
0
de variation
1
0,5
I
A
*
1.5pm
Fig. 6
Fig. 5 1 & 6. Courbes
A 1 1,5pm
Fig. 4
Fig. 3
Figs.
1
0,5
de l’efficacit6 dans l’ordre - 1 en fonction de profondeurs de sillons diffgrentes.
de la longueur
d’onde.
pour des reseaux
51
nous donnons les efficacit&s*obtenues dans l’ordre -1. dans les deux cas fondamcntaux de polarisation. pour deux valeurs du paramGtre a. et pour des longueurs d’onde h comprises ent re 0.275 et 1.5 /irn (figs. 1 j 6). Le re’seau &die possede 1300 traits mn. On designe par p lr rapport de la profondeur des sillons sur le pas du rkseau. Lrs courbes obtenues presentent une zone assez tourmente’e. surtout dans le “c~s ‘ HI/. ” due :i la presence d’anomalies de Wood et situ&e pour h compris entre 0.275 et 0.600 11,. Pour les longueurs d’onde supkirures ii 0.600 11. I’efficacite dPcroit puis s’annule dans le “cas E. I’, croit au contraire /w/w dcrcv7ir f~~-cr/i~~~c~rr~c~~LI @g(~Ic 2 l’ctr7il~~ N’~IIIS “cus ?I l(. Dans le “cas L 1:> ‘I. 161~ c#ificwitPs lc ntcc,\\-i,llcrlc~.s ohfw7t1~~~~
croissct7l
oi‘(‘c
IN
/~l*qfOr?rlctcle
tics sillms.
Dans le cas oti p 0.240. nous notons par des Croix les resultats obtenus par Maystre et Petit (41 en traitant les equations intGgrales de la diffraction. On pourra constater l’accord tres satisfaisant entre les deux theories.
3. DISCUSSION
DE LA METHODE
11 peut sembler. a priori, que la mkthode proposge possede un certain nombre d’arbitraires: - d’une part. le choix du nombre LVde coefficients F12(?Y qui serve& a calculer le champ diffract&. - d’autre part la valeur du domaine d’intkgration A. au-deli duquel on identifie K( X. 1.) et k. - enfin. le nombre de points d’intkgration utilisds dans le calcul de F,;(I') que nous appellerons KN. De nombreux tests numkriques ont done &td effectue’s. pour pouvoir choisir convenablement ces divers param&res et s’assurer de la convergence des re’sultats; il ressort de cette etude que :
52
- quand A croit. la convergence est obtenue I .3 fois In p&riode du 5 1 IOOe prPs pour A reseau; - quand N croit. ce resultat est ohtenu d6s que 1%’ 21; - quand KN crok. on obtient la convergence & 1 1OOe l&s des que KN = 150. Ainsi. en choisissant A = 1.3 fois la periode du rkseau i. 23 21 et KV = 150. nous obtenons des resultats convergent qui s’accordent t&s bien avec ceux obtenus par des mdthodes diffkrentes. Ces resultats sont obtenus avec la mkne precision au voisinage des anomalies de Wood. Les temps de calcul sur ordinateur UNIVAC 1108 sont de l’ordre de 2 seconde par point. ce qui donne environ une minute trente pour obtenir une courbe compl&e (avec une cinquantaine de points). 11s sont done particulierement bas. Enfin. la m&hode proposee traite aussi aisement le “casH ” que le “cas E “. Nous avow donne des resultats sur un cas simple. obtenus a l’aide d’une methode d’inte’gration klkmentaire. Des &udes sont actuellement en tours en vue d’utiliser des mkthodes d’intkgration plus prkises 151 et d’accroitre ainsi le domaine de convergence des rbsultats. La m&hode proposke semble pouvoir s’appliquer & to&es sortes de profils dont on connait les coefficients ((112
REFERENCES
[II >I. SC\ iercs ~‘1RI. Cadilhac,
Opt. Commun. Z (1970) 235. II. Petit ct M. Cadilh:lc. Compt. [21 (;. Cerutti-Mnori. Rc,nd. Acad. Sci. (Paris) 268B (1969) 1060. Opt. 45 (l!Jtiti) 24Y. 3.53. 131 1~.I’etit. 1~~s~. [41 I). M;k!-stre et li. l’ctit. Opt. Commun. 2 (l!J70) 309. J. Rn!.nnl et T. S:~\\atkt. c>n: [5] M. A. Mcll,anoff. n~kthds in computational pII>-sits. \ (11.1 (Acnd~~m~c I’I’C’S:,. SC,\\ York. 1966) p. 1.
0I”I‘ICS
1. DESCRIPTION
DE LA METHODE
Le probleme que nous now proposons de resoudre a d&j; dt& pose dans un p&&dent article (111. chapitre I). Nous rn adoplerors 1~s ~2of~iliot~s. La nouvelle formulation que nous en avons don&e. utilisant les propridtk des transformations conformes. permet de se ramener 5 la recherche de la fonction F(X.1’)” solution du probleme (I) suivant :
periode 2;; et tend exponentiellement vers k2 si Y~-m. Si l’on admet que. pour I’ il. (o‘u A est un nombre 5 determiner par quelques tests num&riques. et qui depend de la pre’cision exigee pour les calculs). K2(X.Y) = 122. nous sommes done ramengs % un probleme analogue a celui trait6 dans 121. La condition (2) permet de reprksenter F(X. Y) sous la forme: +a F(X.Y) - C F,,(l*) expIi(!z +/? siniq)XI . (5) 12:-m Si nous posons: (5bi avec
f+‘(X+ k.1’)
=F(X.Y)
:
exp[ik2iisinii]
(21 crll(I’) - $
(F-Fincidenti sortantes”
v6rifie une “condition pour Y m;
F = 0 dans
le “cas
?Y = 0 dans Dans
le “cas
ce problkmeK2(S.
II
(3)
1-
0 .
(4)
I’ . Y) est periodique
exp[-inX]
dX ,
” 0
d’ondes
1; ” pour
iI;
2z J’ is”
de
il a deja et& 6tabli de la forme:
131 que la solution
E‘(X. I’) est
Volume
number 1
3.
OPTICS
COMMUSICATIONS
Si Y 0: F(X.Y) = 0. Si 0 Y 6 A: Les fonctions F,(Y) sont solutions d’un systkme infini d’dquations diffdrentielles coupl&es (II) : d2Fn - (n+ ksinH)2
F,+k2
“c”
u,_mFm=O
teur T’(0): T’(0)
Nous devons maintenant traduire en Y =A. la continuite des composantes tangentielles des champs klectrique et magn&ique. ce qui implique la continuitd de F(X. Y) et de sa derivee normale. D’oti les relations: F;(A)
- ikcosH.FO(A)
F,‘(A)
- ix,F,(A)
= -2ikcos~.exp[-ikAcos0]
FA (A) dksignant la dirivce fonction F, (Y).
au point Y =A
de la
Ainsi. si l’on admet que F(X.Y) est suffisamment bien de’crit par N termes du d&eloppement (5). le problkme initial se ram&e i la dktermination de N fonctions F,(Y). dhfinies sur (0.A) par re’solution d’un systeme d’kouations differentielles line’aires coupl&es. Si nous dGs.ignons par g la I I matrice d’elements z?~, m d&finis par:
I’n, m = -k2a n_m + (n + ksinQ)26,,,
0;
6 12.m designe
matrice virifie: ‘3”(Y) 7’(A) T(O) ‘3’(O)
=V(Y)
5-(Y) ;
t PA 7(A)
= $;
= 0 dans le “cas = 0 dans
= -
ixn
(III),
= Fp2(A) exp
1-iX,,A ]
exp[-ikcosN.A]
si 12+ 0 ; - exp[-2ikcosiJ.Al
.
(7)
(8)
F(?z$+l)
,
PA disigne
T’(A)
NOUS avons tout d’abord utilise la mGthode employ&e dans [2]. L’intervalle d’integration est divisi en p intervalles e’gaux; les fonctions F, (Y) et F;,(Y) sont introduites en machine sous forme de blocs g deux indices n et p. et l’on calcule F(~.p+l) par une diffkrence finie:
le “cas H//l’ .
Dans ce systgme d’&l&ments: zA(n2.n)
E,:‘”
+ PA
RO =FO(A)
(6) ;
;
qui est dgale 5 un vecteur C;~C# (j’. le vecteur $jII ddpendant lineairement de’%. 11 existe done une matrice ~% qui fait passer de T’(O) = (l! i Gu, Pour la construire, on remarque que sa ,,lGme colonne n’est autre que le vecteur (J1( obtenu en prenant pour ‘J’(0) un vecteur don,t.toutes les composantes sont nulles sauf la r2leme qui est &ale a l’unitd. 11 suffit done de se donner N vecteurs 9’(O) de ce type et de calculer chaque vecteur $/!( pour obtenir la matrice )/I. Connaissant ‘??!. on d&ermine le bon vecteur T’(O) 2 choisir. par inversion du syst2?me’l/r. T’(0) = = g et l’integration numdrique de (6) fournit alors les vrais vecteurs $(A) et ‘?‘(A). On en deauit imme’diatement les valeurs des coefficients R,, qui intdressent l’opticien: R,,
.
le symbole de Krsnecker, la ? d’&lements: F1 , F2.. . Fpz
colonne
:?(A)
;
=O sir? f 0 (
quelconque
la condition (6). jointe ri la condition (8): :? (0) = 0 permet le calcul de -J”(O). L’intkgration numGrique de (6) fournit alors 7(A) et 3’(A). On calcule alors la somme:
.
m=- 03
dY2
= 9? . vecteur
la matrice
h,pp2
et $ est la matrice colonne dont tous les Gments sont nuls sauf l’eliment central qui vaut -2i kcos 0 exp [-ikA cos Q]. Les conditions (8) decoulent immgdiatement des conditions (4). La &solution du probl&me (III) se traite par une mkthode directement d&iv&e de celle utilisie dans [2]; donnons-en le principe dans le “cas EL”’ par exemple: On choisit arbitrairement le vec-
= 2F(n./1)
- F(n,p-1)
+ (AU2F
“(?z./~) .
Signalons encore que. compte tenu de la decroissance exponentielle de la fonction K2(X.Y) quand Y croit. une intggration B pas variable a kgalement 6th test&e. Cette m&hode n’a pas paru presenter d’avantages notables par rapport a la pr&‘dente.
Conside’rons le systkme (IIb). obtenu tronquant le systdme (II). et en ne retenant que les valeurs des indices n et IH comprises entre -Net + N. od N est un nombre avhilrnivc. Formons le wronskien: 49
critere de conservation de l’energie est verifie’ quel que soit le nombre de coefficients de Fourier utilises pour decrire le champ F(X.1.). rttPtrtc> si
W( 1’) -- Im
cc’ norrthrc
PSI it!ti;t*icJctu
oti F,, designe le nombre complexe conjugue de I; II. Etudions les propridtes de WC\,). 1. W esl consloril: en effet:
Comme
1‘17. MI
L
~‘n2.11
meme des coefficients dW __ dI_
2;
a
cause de la definition c/n-,r2 (cf. (5b) 1 on a:
x 15 I’//. 112I;,,? - 41 l’,,f.,j r;,,, I II. II/
2. W - 0 en I’= 0 5 cause des conditions Ce wronskien est done tzuI /mrr- /ou/ I’. 3. Si 1. x’ . F,,(T’) -- At2 exp [ -ixj2Y] + R 12exp j ix,, 1’1.
m
t7ott2hm
d’ordvc~s
~c~cls
On pourra
e*galement etablir que ce critere est encore satisfait quel que soit la hauteur A du domaine d’integration et quel que soit le nombre de points d’integration choisi. Dans ces conditions. il ne peut etre utilise pour controler la validite de la methode proposee. (I1 n’est utile clue lors de la mise au point des programmes. pour le depistage des erreurs de programmation.) Nous sommes done amends a controler la validite des resultats obtenus en etudiant It//v cor~r~~vgc~?zc,r quand les parametres precedents varient. diffmc‘t6s.
2. RESULTATS
=0 . (4).
avec
La methode proposee a d’abord ete testee sur des cas simples. ceux ou le profil du reseau est une cycloihe reccourcie. On sait que ce type de courbe peut etre utilise pour la representation mathematique du profil des reseaux holographique /4]. Ses equations parametriques: 3c
X-(Isin,X
:
J’ - a cos x ,
0; a est un nombre reel 0. sont obtenues faisant I7 0 dans l’equation:
en
..I,, = 1 si I/ : 0 : =Osi
z -Z
t? #O,
(cf. [l\. chapitre
d’o; [I’( I’) Q Im{C (An exp [ix,,Y] I/
+ BI1 exp [ -ix,Y])
‘I (En exp j ix, I’ 1 - A ,/ exp 1-ix,, J7/) ix 121 . Si nous designons par 0’ l’ensemble des valeurs de H pour lesquelles x,, est reel. nous obtenons: II’-
r
I,R,,f2 - ‘At,12] x82 pour 1~
+2 .
12 I: d’ou: -7 - R,, 2xPz = c ‘A,, ’ x,, > 12 1: II I,’ ce qui dans notre problkme particulier
d” :. 1 -0 dZ
entraine:
IV). ce qui entraine:
exp liX -Y ) :
de 2 ‘;11_zl = 1 i a2 exp [ -21’1 -n(exp[iX
-17]-exp[-iX-
I’]) .
On a done seulement trois coefficients definis dans (5b) non nuls: n()(E’)
expression qui traduit le critere classique de conservation de l’energie. On voit done que. dans ce problkme, le 50
+ ia exp[iZl
0-1(Y)
1 +(I 2 exp [ -2YI
= -a
exp[-Yj
;
=al(Y)
al(Y)
c~,~(l~)
= - n exp(-YJ
,
d’ou une matriceLv(Y) particulierement simple. Nous avons alors etudie la distribution de l’energie diffractke entre les ondes des differrents ordres. pour divers reseaux. dans un montage a deviation constante de 13O. A titre d’exemple.
:
Volume
3, number
March
OPTICS COMMUNICATIONS
1
1971
A -1 c
I
“C AS
z
E II“
e = 0,180
0 L
0
- -0-5 Y l; 4 0 Y :
!L.Lhd 1
0.5
1.5)lm
I
I
I
1
0.5
-I
1.5pm
Fig. 2
Fig. I
” c p.s ”
CA
S
E
II
e=
“
Ii I, ”
A
0,240
e = 0,240 ..I
I/\
.
t u
, 0
0.5
1
1.5pm
uy
0
0
de variation
1
0,5
I
A
*
1.5pm
Fig. 6
Fig. 5 1 & 6. Courbes
A 1 1,5pm
Fig. 4
Fig. 3
Figs.
1
0,5
de l’efficacit6 dans l’ordre - 1 en fonction de profondeurs de sillons diffgrentes.
de la longueur
d’onde.
pour des reseaux
51
nous donnons les efficacit&s*obtenues dans l’ordre -1. dans les deux cas fondamcntaux de polarisation. pour deux valeurs du paramGtre a. et pour des longueurs d’onde h comprises ent re 0.275 et 1.5 /irn (figs. 1 j 6). Le re’seau &die possede 1300 traits mn. On designe par p lr rapport de la profondeur des sillons sur le pas du rkseau. Lrs courbes obtenues presentent une zone assez tourmente’e. surtout dans le “c~s ‘ HI/. ” due :i la presence d’anomalies de Wood et situ&e pour h compris entre 0.275 et 0.600 11,. Pour les longueurs d’onde supkirures ii 0.600 11. I’efficacite dPcroit puis s’annule dans le “cas E. I’, croit au contraire /w/w dcrcv7ir f~~-cr/i~~~c~rr~c~~LI @g(~Ic 2 l’ctr7il~~ N’~IIIS “cus ?I l(. Dans le “cas L 1:> ‘I. 161~ c#ificwitPs lc ntcc,\\-i,llcrlc~.s ohfw7t1~~~~
croissct7l
oi‘(‘c
IN
/~l*qfOr?rlctcle
tics sillms.
Dans le cas oti p 0.240. nous notons par des Croix les resultats obtenus par Maystre et Petit (41 en traitant les equations intGgrales de la diffraction. On pourra constater l’accord tres satisfaisant entre les deux theories.
3. DISCUSSION
DE LA METHODE
11 peut sembler. a priori, que la mkthode proposge possede un certain nombre d’arbitraires: - d’une part. le choix du nombre LVde coefficients F12(?Y qui serve& a calculer le champ diffract&. - d’autre part la valeur du domaine d’intkgration A. au-deli duquel on identifie K( X. 1.) et k. - enfin. le nombre de points d’intkgration utilisds dans le calcul de F,;(I') que nous appellerons KN. De nombreux tests numkriques ont done &td effectue’s. pour pouvoir choisir convenablement ces divers param&res et s’assurer de la convergence des re’sultats; il ressort de cette etude que :
52
- quand A croit. la convergence est obtenue I .3 fois In p&riode du 5 1 IOOe prPs pour A reseau; - quand N croit. ce resultat est ohtenu d6s que 1%’ 21; - quand KN crok. on obtient la convergence & 1 1OOe l&s des que KN = 150. Ainsi. en choisissant A = 1.3 fois la periode du rkseau i. 23 21 et KV = 150. nous obtenons des resultats convergent qui s’accordent t&s bien avec ceux obtenus par des mdthodes diffkrentes. Ces resultats sont obtenus avec la mkne precision au voisinage des anomalies de Wood. Les temps de calcul sur ordinateur UNIVAC 1108 sont de l’ordre de 2 seconde par point. ce qui donne environ une minute trente pour obtenir une courbe compl&e (avec une cinquantaine de points). 11s sont done particulierement bas. Enfin. la m&hode proposee traite aussi aisement le “casH ” que le “cas E “. Nous avow donne des resultats sur un cas simple. obtenus a l’aide d’une methode d’inte’gration klkmentaire. Des &udes sont actuellement en tours en vue d’utiliser des mkthodes d’intkgration plus prkises 151 et d’accroitre ainsi le domaine de convergence des rbsultats. La m&hode proposke semble pouvoir s’appliquer & to&es sortes de profils dont on connait les coefficients ((112
REFERENCES
[II >I. SC\ iercs ~‘1RI. Cadilhac,
Opt. Commun. Z (1970) 235. II. Petit ct M. Cadilh:lc. Compt. [21 (;. Cerutti-Mnori. Rc,nd. Acad. Sci. (Paris) 268B (1969) 1060. Opt. 45 (l!Jtiti) 24Y. 3.53. 131 1~.I’etit. 1~~s~. [41 I). M;k!-stre et li. l’ctit. Opt. Commun. 2 (l!J70) 309. J. Rn!.nnl et T. S:~\\atkt. c>n: [5] M. A. Mcll,anoff. n~kthds in computational pII>-sits. \ (11.1 (Acnd~~m~c I’I’C’S:,. SC,\\ York. 1966) p. 1.