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Diffraction d'une onde electromagnetique plane par un objet cylindrique non infiniment conducteur de section arbitraire
Volume 5, number 5
DIFFRACTION
OPTICS COMMUNICATIONS
August 1972
D'UNE ONDE ELECTROMAGNETIQUE
PAR UN OBJET CYLINDRIQUE
NON INFINIMENT
PLANE
CONDUCTEUR
DE SECTION ARBITRAIRE D. MAYSTRE et P. VINCENT Universitd de Provence, Laboratoire d'Optique Electromagndtique, Centre de St-Jdr~me 13 Marseille (13e), France
Recu le 26 avril 1972 A new method to investigate the diffraction of an electromagnetic wave by an infinite cylinder of arbitrary cross section, made with a dielectric or conductor material, is given. This method leads to a Fredholm integral equation. Some computation has already been achieved on the UNIVAC 1106 computer, they are in good agreement with the conservation of energy.
1. Introduction A
Le probl6me de la diffraction d'une onde 61ectromagn6tique par un obstacle di61ectrique ou de conductivit6 finie a 6t6 abord6 par de nombreux auteurs: la majorit6 d'entre eux se sont int6ress6s/l des profils de formes g6om6triques simples et ont utilis~ des m6thodes analytiques ou variationneiles. Dans le cas off la longueur d'onde est de l'ordre de grandeur des dimensions de l'objet, des m6thodes g6n6rales ont 6t6 propos6es pour r6soudre ce probl~me [ 1 - 3 ] ou le probl6me formellement semblable de la diffraction d'une onde plane par un r6seau di61ectrique ou conducteur [ 4 - 6 ] ; nous proposons une m6thode reposant sur la r6solution d'une seule 6quation int6grale de type Fredholm.
y
!
n(M
...
""
" "
M'
)
"w'(M,M')
x ~
Fig. 1. Notations utilis~es.
2. Notations utilis6es Elles sont r6sum6es sur la fig. 1. Les g6n6ratrices du cylindre diffractant, de permittivit6 e et de perm6abilit6/~0, sont parall~les ~ l'axe Oz du vecteur unitaire ez. Bien que le formalisme math6matique puisse s'appliquer ~ un profil quelconque, nous prenons ici une directrice C d'6quation r = f ( 0 ) limitant le domaine D int6rieur. On d6signe par h(M') le vecteur unitaire de la normale au point M' de C dirig6 vers l'ext&ieur, et on pose ~,(M,M') = MM'/IMM'I. "-* -+
Nous choisissons une d~pendance temporeUe en exp ( - icot) et, par souci de simplicitY, nous nous limitons au cas de polarisationE II off l'onde incidente E i de nombre d'onde k 0 s'6crit: E~ = ez Ei = ez exp (ik0x).
(1)
On montre alors que le champ ~lectrique total E(P) reste parall~le ~t Oz [7], le probl~me est donc de d~terminer la fonction E(P) = E(P) • '~z: Cette fonction est d~finie par les conditions (2), (3) et (4) traduisant respectivement: 327
Volume 5, number 5 -
OPTICS COMMUNICATIONS
les 6quations de Maxwell:
3.2. Expression en fonction de ~ du champ sur C ainsi que de sa d~rivde normale
AE(P) + ko2E(p) = 0, P ~ D, AE(P) + k2E(p) = 0, P ~ D,
-
-
(2)
o¢1 A d6signe l'op6rateur Laplacien et k 2 = ek02, la continuit6 de E et de sa d6riv6e normale dE/dn, (3) une condition d'ondes sortantes pour le champ diffract6 E d = E - E i. (4)
3. Mise
August 1972
D'apr~s (6) et (8), o n p e u t 6crire au sens des distributions sur l'espace des fonctions de ~ ] deux variables, ind6finement d6rivables et/~ support born6 [8] : (10)
Au + k2u = c~8c ,
~b/5C 6tant la distribution d6finie par: (~6C,¢J> = f ~ ( M ) ~(M) ds, c off s d6signe l'abscisse curviligne et ff une fonction de
D.
en 6quation
Soit G0(OM ) la fonction de Green v6rifiant une condition d'ondes sortantes ~ l'infini et l'6quation suivante:
3.1. Choix d'une fonction inconnue
Soit la fonction u(P) d6finie en tout point par:
A G0(O~M) + k 2 G0(O~M) = tS,
u(P) = Ed(p) si P ~ D,
(5)
u(P) est partout continue,
(6)
off 8 d6signe la distribution de Dirac. On sait que:
Au(P) + k2u(p) = 0 si P E D.
(7)
G0(OM) = - ¼ i n 0 (k01OM[).
Si l'on admet l'unicit6 du champ diffract6 E d et l'unicif6 de la solution au probl~me int6rieur de D :~, la fonction u est unique. La fonction u(P) est par d6finition continue ~ la travers6e de C, mais rien ne nous permet d'affirmer que sa d6riv~e normale jouit de la m~me propri6t6, et nous choisissons comme inconnue du probl~me la fonction ¢(M) d6finie sur C e t 6gale au saut de la d6riv6e normale du/dn de u(P) lors du franchissement de C dans le sens de la normale n(M). On peut poser:
ext
int
dl~__tl = lim [~i(M) • V(u(P))], ~lnI int P--,M
(12)
D'apr~s (10) et (11) et compte tenu des propri6t6s 6r6mentaires du produit de convolution: u(P) = GO * ~ 6 c = f G o ( P , M ' ) ~ ( M ' ) d s ' , (13) C off M' est un point courant de C d'abscisse curviligne s' et G0(P,M' ) -- G 0 ( ~ P - O--~1'). u(P) ets une fonction continue qui, sur C, est 6gale au champ diffract6 donc: E(M) = Ei(M) +
fGo(M,M')
~b(M') ds'. (14) C Le calcul de la d6riv6e normale du champ diffract6 sur C, 6gal ~ (du/dn)ext, peut 6tre fait ~ partir de (9) en
avec (fig. 2): d(-~..l = lim [~(M).V(u(P))], \un/ ext P--,M
(l 1)
y
~(M)
P ~ D, P E D,
(9)
Pest un point de P.
f
o
I×
Cette derni~.re peut ne pas ~tre assur~e dans le cas 0~ v = (1/2~r) c k o est une fr6quence propre de D.
328
Fig. 2.
Volume 5, number 5
August 1972
OPTICS COMMUNICATIONS
remarquant que si, par exemple, F est un cercle F 0 centr6 ~ l'origine (fig. 2), l'expression ~(M)" V(u(P)) est une fonction pdriodique de 0(P) reprdsentable par une s&ie de Fourier discontinue pour 0(P) = 0(M), donc:
dG(M, M') Ei(M,.~ ds', dn M, N(M,M') = - G(M,M') - Go(M,M')
+2 f
C \
du du 1 I(~)ext + (~_nt)intl = ri(M).V(u(M)).
dE(M) _ dEi(M) + ½¢(M) + JfdGo(M,M') , q~(M,) ds', dn dn C °nM (15) off d/dn M signifie que la ddrivation est faite par rapport ~ M.
M")Co(M",M')
anM"
v
- G(M,M") dG°(M"' M') ) dnM" ds".
(9')
D'apr~s (8) et (9'):
(19)
(20)
Ainsi que nous le verrons par la suite, les intOgrales figurant dans (19) et (20) existent toujours, et apr~s avoir rOsolu (18), le champ diffract6 ~ l'ext0rieur de D est donn~ par (13).
4. Traitement num6rique 3.3. Equation intOgrale Connaissant la fonction ~, nous pouvons d'apr~s (14) et (15) dOterminer le champ et sa dOrivOe normale sur C. Comme nous allons le montrer, la prOsence de l'obstacle diffractant impose une relation entre ces deux grandeurs. Pour cela, nous introduisons une fonction v(P) d~finie partout par:
u(P) = E(P) si P E D, =0
s i P ~ D,
(16)
et au sens des distributions:
En introduisant la fonction G(P,M') d~duite de G0(P,M') par substitution de k ~tk0, il vient: '
dG0(M,M') -~ dnM - ¼ik0 ~(M)'fi~(M',M) H~(k0IMM']),
dG(M, M') _ ¼ik ti(M'), fi,(M,M') H;(kIM~M'l), dn M, restent finies quand M' tend vers M car: lira M'--*M
Av + k2v = - (dE/dn) 5 v - V.(nESc).
v(P) =
Le lecteur vdrifiera (fig. 1) que les deux expressions:
E ( M ' ) - G(P,M
,dEM
, ds.
C Par le raisonnement ddj~ utilisd pour obtenir (9'), on obtient la relation cherch6e: ½E(M) = f ( d G d ~ M ' ) E ( M ' ) - G(M,M')dE(M')~ ds'. C un {17) En reportant dans (17) les expressions de E et dE/dn donn6es par (14) et (15), on obtient une 6quation intdgrale de Fredholm de premiere esp~ce:
Co(M) =El(M) ÷ 2
(M,M')
(18)
dn M
-
dG(M,M') 1 lira M'--*M dnM' 4nRc'
oh Rc, 6gal au rayon de courbure algdbrique, est positif si la concavitd de C est tournde vers l'intdrieur de D et n6gatif dans le cas contraire. Comme, par contre, G0(M,M' ) et G(M,M') ne sont pas bornOs, le calcul des intOgrales du type fc G0(M' M')~(M') ds' qui apparaissent dans (19)et (20) pose un problSme numOrique. Nous l'avons rOsolu en 0crivant: fG0(M,M' ) ~(M')ds' C =:[Go(M,M')}(M')
So(M,M')~(M ~ ds'
+ }(M) JSo(M,M')ds' , off
¢o(M) = fN(M,M') ¢(M') ds', c off:
dG0(M,M')
(21)
c
S 0 (M,M') = (1/2n) {log [I 0(M) - 0(M') I] +log [2n -[0(M) - 0(M')J]}.
dn 329
Volume 5, number 5
OPTICS COMMUNICATIONS
Cette m6thode nous a paru judicieuse car: l'int6grale fc S0(M,M') ds' est analytique et sa valeur ne ddpend pas de M, - l'expression [G0(M,M' ) ~(M') S0(M,M' ) ~(M)] restant finie, il est possible d'utiliser une m&hode de discr6tisation (reprdsentation de la fonction ~ par sa valeur en Np points de C) pour effectuer la premiere intdgrale qui figure au second membre de (21). On sait que s i r > sup (riO)), le champ diffractd se met sous la forme d'un d6veloppement en fonction de Hankel: +oo -
+
Ed = ~ m
r6seau. I1 s'applique th6oriquement non seulement aux obstacles di61ectriques mais aussi aux obstacles conducteurs. Les difficult6s num6riques qui apparaissent alors et qui sont li6es ~ la pr6sence de fonctions de Hankel de la variable complexe sont actuellement 6tudides dans notre laboratoire sur le cas des r6seaux de conductivitd finie dont il est souhaitable de connaftre les propri6t6s 6nergdtiques pour aborder certains probl~mes de spectroscopie dans l'ultra-violet.
--~
ZmHm(kolOMI )exp [im 0(M)]
Remerci6ment
=
et que les coefficients A mse d6duisent ais6ment de la fonction ~ [9]. Le calcul a 6td effectu6 pour des cylindres circulaires ou elliptiques de permittivit6 relative 6gale ~ 2 et dont les dimensions 6taient de l'ordre de quelques longueurs d'ondes. En prenant six points de discr6tisation par longueur d'onde, le crit6re d'6nergie [9] est v6rifi6 mieux que le centi~me et le temps de calcul reste de l'ordre de grandeur de quelques secondes; d'autre part, les r6sultats sont en tr~s bon accord avec les calculs effectu6s parall~lement en utilisant une mdthode diff~rentielle [3].
5. Conclusion Ce formalisme qui pr6sente l'int6r6t de conduire la r6solution d'une seule 6quation se transpose ais6ment au probl~me de la diffraction d'une onde plane par un
330
August 1972
Nous remercions Messieurs les Professeurs R. Petit et M. Cadilhac dont les conseils ont facilit6 la r6alisation de ce travail sugg6r6 par Monsieur R. Petit.
Rdf&ences
[1] J.H. Richmond, I.E.E.E. Trans. Ant. Prop. Ap 13 (1965) 334. [2] P.C. Waterman, MITRE Technical Report, n° 84 (1968). [3] P. Vincent et R. Petit, en pr6paration. [4] A.R. Neureuther et K. Zaki, Alta Frequenza 38 (1969) 282. [5] G. Cerutti-Maori, R. Petit et M. Cadilhac, Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris) 268 B (1969) 1060. [6] P.M. van den Berg, Appl. Sci. Res. 24 (1971) 261. [7] R. Petit, Rev. Opt. 6 (1966) 249,353. [8] L. Schwartz, Mdthodes math~matiques pour les sciences physiques (Hermann, Paris, 1965). [9] J.Ch. Bolomey, Th~se, Orsay, n° C.N.R.S.A.O. 5604 (1971).
DIFFRACTION
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August 1972
D'UNE ONDE ELECTROMAGNETIQUE
PAR UN OBJET CYLINDRIQUE
NON INFINIMENT
PLANE
CONDUCTEUR
DE SECTION ARBITRAIRE D. MAYSTRE et P. VINCENT Universitd de Provence, Laboratoire d'Optique Electromagndtique, Centre de St-Jdr~me 13 Marseille (13e), France
Recu le 26 avril 1972 A new method to investigate the diffraction of an electromagnetic wave by an infinite cylinder of arbitrary cross section, made with a dielectric or conductor material, is given. This method leads to a Fredholm integral equation. Some computation has already been achieved on the UNIVAC 1106 computer, they are in good agreement with the conservation of energy.
1. Introduction A
Le probl6me de la diffraction d'une onde 61ectromagn6tique par un obstacle di61ectrique ou de conductivit6 finie a 6t6 abord6 par de nombreux auteurs: la majorit6 d'entre eux se sont int6ress6s/l des profils de formes g6om6triques simples et ont utilis~ des m6thodes analytiques ou variationneiles. Dans le cas off la longueur d'onde est de l'ordre de grandeur des dimensions de l'objet, des m6thodes g6n6rales ont 6t6 propos6es pour r6soudre ce probl~me [ 1 - 3 ] ou le probl6me formellement semblable de la diffraction d'une onde plane par un r6seau di61ectrique ou conducteur [ 4 - 6 ] ; nous proposons une m6thode reposant sur la r6solution d'une seule 6quation int6grale de type Fredholm.
y
!
n(M
...
""
" "
M'
)
"w'(M,M')
x ~
Fig. 1. Notations utilis~es.
2. Notations utilis6es Elles sont r6sum6es sur la fig. 1. Les g6n6ratrices du cylindre diffractant, de permittivit6 e et de perm6abilit6/~0, sont parall~les ~ l'axe Oz du vecteur unitaire ez. Bien que le formalisme math6matique puisse s'appliquer ~ un profil quelconque, nous prenons ici une directrice C d'6quation r = f ( 0 ) limitant le domaine D int6rieur. On d6signe par h(M') le vecteur unitaire de la normale au point M' de C dirig6 vers l'ext&ieur, et on pose ~,(M,M') = MM'/IMM'I. "-* -+
Nous choisissons une d~pendance temporeUe en exp ( - icot) et, par souci de simplicitY, nous nous limitons au cas de polarisationE II off l'onde incidente E i de nombre d'onde k 0 s'6crit: E~ = ez Ei = ez exp (ik0x).
(1)
On montre alors que le champ ~lectrique total E(P) reste parall~le ~t Oz [7], le probl~me est donc de d~terminer la fonction E(P) = E(P) • '~z: Cette fonction est d~finie par les conditions (2), (3) et (4) traduisant respectivement: 327
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les 6quations de Maxwell:
3.2. Expression en fonction de ~ du champ sur C ainsi que de sa d~rivde normale
AE(P) + ko2E(p) = 0, P ~ D, AE(P) + k2E(p) = 0, P ~ D,
-
-
(2)
o¢1 A d6signe l'op6rateur Laplacien et k 2 = ek02, la continuit6 de E et de sa d6riv6e normale dE/dn, (3) une condition d'ondes sortantes pour le champ diffract6 E d = E - E i. (4)
3. Mise
August 1972
D'apr~s (6) et (8), o n p e u t 6crire au sens des distributions sur l'espace des fonctions de ~ ] deux variables, ind6finement d6rivables et/~ support born6 [8] : (10)
Au + k2u = c~8c ,
~b/5C 6tant la distribution d6finie par: (~6C,¢J> = f ~ ( M ) ~(M) ds, c off s d6signe l'abscisse curviligne et ff une fonction de
D.
en 6quation
Soit G0(OM ) la fonction de Green v6rifiant une condition d'ondes sortantes ~ l'infini et l'6quation suivante:
3.1. Choix d'une fonction inconnue
Soit la fonction u(P) d6finie en tout point par:
A G0(O~M) + k 2 G0(O~M) = tS,
u(P) = Ed(p) si P ~ D,
(5)
u(P) est partout continue,
(6)
off 8 d6signe la distribution de Dirac. On sait que:
Au(P) + k2u(p) = 0 si P E D.
(7)
G0(OM) = - ¼ i n 0 (k01OM[).
Si l'on admet l'unicit6 du champ diffract6 E d et l'unicif6 de la solution au probl~me int6rieur de D :~, la fonction u est unique. La fonction u(P) est par d6finition continue ~ la travers6e de C, mais rien ne nous permet d'affirmer que sa d6riv~e normale jouit de la m~me propri6t6, et nous choisissons comme inconnue du probl~me la fonction ¢(M) d6finie sur C e t 6gale au saut de la d6riv6e normale du/dn de u(P) lors du franchissement de C dans le sens de la normale n(M). On peut poser:
ext
int
dl~__tl = lim [~i(M) • V(u(P))], ~lnI int P--,M
(12)
D'apr~s (10) et (11) et compte tenu des propri6t6s 6r6mentaires du produit de convolution: u(P) = GO * ~ 6 c = f G o ( P , M ' ) ~ ( M ' ) d s ' , (13) C off M' est un point courant de C d'abscisse curviligne s' et G0(P,M' ) -- G 0 ( ~ P - O--~1'). u(P) ets une fonction continue qui, sur C, est 6gale au champ diffract6 donc: E(M) = Ei(M) +
fGo(M,M')
~b(M') ds'. (14) C Le calcul de la d6riv6e normale du champ diffract6 sur C, 6gal ~ (du/dn)ext, peut 6tre fait ~ partir de (9) en
avec (fig. 2): d(-~..l = lim [~(M).V(u(P))], \un/ ext P--,M
(l 1)
y
~(M)
P ~ D, P E D,
(9)
Pest un point de P.
f
o
I×
Cette derni~.re peut ne pas ~tre assur~e dans le cas 0~ v = (1/2~r) c k o est une fr6quence propre de D.
328
Fig. 2.
Volume 5, number 5
August 1972
OPTICS COMMUNICATIONS
remarquant que si, par exemple, F est un cercle F 0 centr6 ~ l'origine (fig. 2), l'expression ~(M)" V(u(P)) est une fonction pdriodique de 0(P) reprdsentable par une s&ie de Fourier discontinue pour 0(P) = 0(M), donc:
dG(M, M') Ei(M,.~ ds', dn M, N(M,M') = - G(M,M') - Go(M,M')
+2 f
C \
du du 1 I(~)ext + (~_nt)intl = ri(M).V(u(M)).
dE(M) _ dEi(M) + ½¢(M) + JfdGo(M,M') , q~(M,) ds', dn dn C °nM (15) off d/dn M signifie que la ddrivation est faite par rapport ~ M.
M")Co(M",M')
anM"
v
- G(M,M") dG°(M"' M') ) dnM" ds".
(9')
D'apr~s (8) et (9'):
(19)
(20)
Ainsi que nous le verrons par la suite, les intOgrales figurant dans (19) et (20) existent toujours, et apr~s avoir rOsolu (18), le champ diffract6 ~ l'ext0rieur de D est donn~ par (13).
4. Traitement num6rique 3.3. Equation intOgrale Connaissant la fonction ~, nous pouvons d'apr~s (14) et (15) dOterminer le champ et sa dOrivOe normale sur C. Comme nous allons le montrer, la prOsence de l'obstacle diffractant impose une relation entre ces deux grandeurs. Pour cela, nous introduisons une fonction v(P) d~finie partout par:
u(P) = E(P) si P E D, =0
s i P ~ D,
(16)
et au sens des distributions:
En introduisant la fonction G(P,M') d~duite de G0(P,M') par substitution de k ~tk0, il vient: '
dG0(M,M') -~ dnM - ¼ik0 ~(M)'fi~(M',M) H~(k0IMM']),
dG(M, M') _ ¼ik ti(M'), fi,(M,M') H;(kIM~M'l), dn M, restent finies quand M' tend vers M car: lira M'--*M
Av + k2v = - (dE/dn) 5 v - V.(nESc).
v(P) =
Le lecteur vdrifiera (fig. 1) que les deux expressions:
E ( M ' ) - G(P,M
,dEM
, ds.
C Par le raisonnement ddj~ utilisd pour obtenir (9'), on obtient la relation cherch6e: ½E(M) = f ( d G d ~ M ' ) E ( M ' ) - G(M,M')dE(M')~ ds'. C un {17) En reportant dans (17) les expressions de E et dE/dn donn6es par (14) et (15), on obtient une 6quation intdgrale de Fredholm de premiere esp~ce:
Co(M) =El(M) ÷ 2
(M,M')
(18)
dn M
-
dG(M,M') 1 lira M'--*M dnM' 4nRc'
oh Rc, 6gal au rayon de courbure algdbrique, est positif si la concavitd de C est tournde vers l'intdrieur de D et n6gatif dans le cas contraire. Comme, par contre, G0(M,M' ) et G(M,M') ne sont pas bornOs, le calcul des intOgrales du type fc G0(M' M')~(M') ds' qui apparaissent dans (19)et (20) pose un problSme numOrique. Nous l'avons rOsolu en 0crivant: fG0(M,M' ) ~(M')ds' C =:[Go(M,M')}(M')
So(M,M')~(M ~ ds'
+ }(M) JSo(M,M')ds' , off
¢o(M) = fN(M,M') ¢(M') ds', c off:
dG0(M,M')
(21)
c
S 0 (M,M') = (1/2n) {log [I 0(M) - 0(M') I] +log [2n -[0(M) - 0(M')J]}.
dn 329
Volume 5, number 5
OPTICS COMMUNICATIONS
Cette m6thode nous a paru judicieuse car: l'int6grale fc S0(M,M') ds' est analytique et sa valeur ne ddpend pas de M, - l'expression [G0(M,M' ) ~(M') S0(M,M' ) ~(M)] restant finie, il est possible d'utiliser une m&hode de discr6tisation (reprdsentation de la fonction ~ par sa valeur en Np points de C) pour effectuer la premiere intdgrale qui figure au second membre de (21). On sait que s i r > sup (riO)), le champ diffractd se met sous la forme d'un d6veloppement en fonction de Hankel: +oo -
+
Ed = ~ m
r6seau. I1 s'applique th6oriquement non seulement aux obstacles di61ectriques mais aussi aux obstacles conducteurs. Les difficult6s num6riques qui apparaissent alors et qui sont li6es ~ la pr6sence de fonctions de Hankel de la variable complexe sont actuellement 6tudides dans notre laboratoire sur le cas des r6seaux de conductivitd finie dont il est souhaitable de connaftre les propri6t6s 6nergdtiques pour aborder certains probl~mes de spectroscopie dans l'ultra-violet.
--~
ZmHm(kolOMI )exp [im 0(M)]
Remerci6ment
=
et que les coefficients A mse d6duisent ais6ment de la fonction ~ [9]. Le calcul a 6td effectu6 pour des cylindres circulaires ou elliptiques de permittivit6 relative 6gale ~ 2 et dont les dimensions 6taient de l'ordre de quelques longueurs d'ondes. En prenant six points de discr6tisation par longueur d'onde, le crit6re d'6nergie [9] est v6rifi6 mieux que le centi~me et le temps de calcul reste de l'ordre de grandeur de quelques secondes; d'autre part, les r6sultats sont en tr~s bon accord avec les calculs effectu6s parall~lement en utilisant une mdthode diff~rentielle [3].
5. Conclusion Ce formalisme qui pr6sente l'int6r6t de conduire la r6solution d'une seule 6quation se transpose ais6ment au probl~me de la diffraction d'une onde plane par un
330
August 1972
Nous remercions Messieurs les Professeurs R. Petit et M. Cadilhac dont les conseils ont facilit6 la r6alisation de ce travail sugg6r6 par Monsieur R. Petit.
Rdf&ences
[1] J.H. Richmond, I.E.E.E. Trans. Ant. Prop. Ap 13 (1965) 334. [2] P.C. Waterman, MITRE Technical Report, n° 84 (1968). [3] P. Vincent et R. Petit, en pr6paration. [4] A.R. Neureuther et K. Zaki, Alta Frequenza 38 (1969) 282. [5] G. Cerutti-Maori, R. Petit et M. Cadilhac, Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris) 268 B (1969) 1060. [6] P.M. van den Berg, Appl. Sci. Res. 24 (1971) 261. [7] R. Petit, Rev. Opt. 6 (1966) 249,353. [8] L. Schwartz, Mdthodes math~matiques pour les sciences physiques (Hermann, Paris, 1965). [9] J.Ch. Bolomey, Th~se, Orsay, n° C.N.R.S.A.O. 5604 (1971).