Confinement d'ions par un champ électrique de radio-fréquence dans une cage cylindrique

421 Internafio?al Journal of Mass Spectromefry and Ion Physics, 11 (1973) 421432 @ Elsevier Scientific Publishing Company, Amsterdam - Printed in The Netherlands

CONFINEMENT FREQUENCE

MARIE-NOi3LLE

D'IONS DANS

BEMLAN

UNE

PAR

UN

CAGE

ET CLAUDE

CHAMP

ELECTIHQUE

DE

RADIO-

CYLINDRIQUE

AUDOIN

Laboratoire de I’HorIoge Atomique, B&t. 221, UnioersitPParis-Sad, 9I Orsay (Frame) (Requ le 16 octobre 1972; modifie le 7 f&rier 1973)

ABSTRACT

Ion storage in a radiofrequency electric field, produced in a cylindrical trap, is studied for two particularly interesting values of the diameter/height ratio. The stability diagrams and domains are given, and the value of the secular motion frequency is specified. Comparison of these results with the storage properties of a quadrupole trap shoivs that the use of a cyhndrical trap may be favourable in some cases.

Le confinement ci’ions dans un champ Clectrique de radiofrequence produit dans une cage cylindrique, est Ctuclie pour dew valeurs plus particulierement interessantes du rapport diametrejhauteur. Nous donnons les diagrammes et Ies domaines de stabilitC et nous prtcisons la valeur de la frequence du mouvement stculaire. La comparaison des resultats obtenus avec les propriMs de continement d’une cage quadrupolaire permet de conchue B i’utihsation parfois avantageuse de la cage cylindrique.

INTRODUCTION

La possibilitC de confiner des ions dans un champ Clectrique de configuration convenable a $tk d6montree par Paul, Osberghaus and Fisher (voir ref. 4). Cette technique a CtC dCveloppCe pour la spectroscopic hyperfine des ions’, d’une part, et pour la spectrometrie de masse2’3 d’autre part.

422

lb

la

Fig. 1. Forme des cages considCr6e.sici et leurs connexions 6lectriques. Les cages sont 2 symktrie de rholution autour de i’axe des z. (a) Cage quadrupolaire rOz = 2~~‘. (b) Exemple de cage cylindrique avec r12 = 2z12 (et zl = zO).

Mn de simplifier le calcul theorique des trajectoires des particules chargees, et ceIui des diagrammes de stabilite, on a le plus souvent utilisC la cage representee &equation sur la Fig. la, epousant la forme d’&quipotentieIIes

(2J2-(L.J2 = 11

=

(1)

ob rO et zO sont definis sur la Fig. la. Ces Cquipotentielles sont des hyperboloides de.r&olution autour de I’axe des z. Une difference de potentielle V. est appliquee entre la paroi laterale, et les deux couvercles. La solution de l’equation de Laplace s’exprime alors tres simplement si la condition ?-; = 22;

(2)

est remplie. Le potentiel dans la cage est &gal4 ti:

t&y”

22; (

.crf

21

Dans cet articte, nous Ctudions les proprietes de confinement dune cage cyhndrique de revolution, de diamttre 2r, et de hauteur 2~3= repr6sentCe sur la Fig. lb. Ce type de cage est d’une realisation tres aisCe et, lorsqu’elle est.utilisZe en r&onateur micro-onde pour l’itude spztroscopique des ions stock&, par exemple, ses prop&t& (frequence de r&onance, coefficient de surtension, configuration du champ Clectromagnetique) sont bien co~ues. Nous considerons deux geometries cylindriques plus partictiherement int&essantes. Dans l’une le diar&tre est &al B ia hauteur, ce qui per-met d’_obtenir

423 la valeur maximale du coefficient de quahte du resonateur; dans I’autre Ia condition 2 r 1 = 2,: est remplie ce qui laisse espCrer, B priori, u.n champ tlectrique qui se rapproche davantage de la configuration quadrupolaire de la cage de la Fig. la. Nous comparons les proprietes de la cage quadrup&laire et de l’une et l’autre des deux cages cylindriques lorsque celles-ci sont inscrites dans la cage quadrupoIaire (zl = zO) et posddent done un encombrement moindre.

fQUATlONS

DU MOUVEliXENT

D’UXE

PARTICULE

CHARGeE

DANS

UNE

CAGE

CYLINDRIQUE

(I) Expression du champ tflectrique Le potentiel Y B l’interieur dune cage cylindrique de revolution, dont on Porte la paroi laterale au potentiel z&o et les bases au potentiel V, est solution de I’Cquation de Laplace, avec pour conditions aux limites: V=opollrr=rl Y= V,pourz

(41

= 42,

L’kquation de Laplace se rkoud par la m&hode de skparation des variables” et on peut aisement montrer que, compte tenu des symetries du probleme, le potentiel V(r, z), en tout point d’un cercle de rayon r est kgal 5: V(Y,

Z)

=

C

Ai J,(mi r)

- Ch (7721~)

i

(5)

oh J, est la fonction de Bessel de Ire espece, d’ordre 0 et ch Ia fonction cosinus hyperbohque. Ai est une constante et m, un nombre que l’on determine, sachant que V= Opourr = rl. On obtient ;

J,(mir,)

= 0

(6)

De meme, pour z = fz,. C AiJo(mi ~) Ch (m,Zl) I

on doit avoir V = VO_ On a alors:

= V,

Les coefficients Ci se calculent en utilisant les relations d’orthogonalite tions de Bessel’. II vient: v(r

,

zj

=

c

i

2% mirl

Jo(J%r)

Jl(miri)

.

ch (miz> ch (mizl)

des fonc-

(7)

oti Ji est la foaction de Bessel de Ire espece, d’ordre 1. On en d&tit les composantes du champ electrique 5 l’interieur de la cage

424 qui sont alors Cgales 6:

-c-- 2Vo Jo(mir) _ sh (mix)

E==

i

(2) hpations

T1

J,(lni ~1) ch (mi 21)

du mouuement dfulte particule ckarg&e

que la densite des ions est sufbsamment faible pour que le champ ilectrique defini par les equations (8) ne soit pas sensiblement mod&S par la presence des ions confir& dans la cage. Cette hypothbe est identique 5 cede qui permet le calcul des trajectoires, des diagrammes et des domaines de stabilite dans une cage ‘dont la forme est defmie par Ies equations (1) et (2). Nous- considCrons alors une. particule de masse m et de charge e dont la position cst r&&6c en coordon.n&s cylindriques r, 8, z. OR applique & cette cage une difference de potentiel: Nous

supposons

v0 =

-(vdC- v,, cos ntj

(9)

comprenant une composante continue V,= et une composante d’amplitude VJE et de frequence Q. On peut montrer que, dans les conditions habituelles de stockage, l’effet du champ magnetique associe 5 la partie variable de V0 est parfaitement n+ligeable, ainsi que celui de la force de Lorentz. Lcs equations du mouvement de la particule sont alors:

(10)

On peut montrer comme dans le cas de la cage de for-me hyperboIoide6 que le mouvement en 0 cst neghgeable, c’est-a-dire que l’on peut considerer avec une bonne approximation que les trajectoires sont contenues dans un plan (r, 2). En p&ant

~.2!. 2

‘.

m--r

__1.

.~I .I -y

i*

r

G

4=.v

=u. ’

rl.

I

(l-l)

425 et

._ -se

a=

ydc; m tfQ2

x=

-4eyac m r25L2 1

WI

les equations du mouvement s’ecrivent alors:

Afin de comparer ie confinement dans une cage cyhndrique (Fig. -lb) et une cage hyperboloide det%ies par les equations (1) et (2), rappelons que dans cette derniere, Ies equations du mouvement en Y et en z se s&parent et se mettent sous la forme dune equation de Mathieu’: d2u +(a-2q S

cos2+

= 0

(14)

avec: G!t T=--;

(13

u=rouz

2

et a==

-2a,=

-45.

V dc-

m z~i2’ ’

4==

-2q,=

-25

.x!E-

(16)

??2 zgR2

Si l’on envisage des ions de meme espece et si l’on applique aux dew: ty_pes de cage des diff&ences de potentiel de mEmes amplitudes et de meme frequence, on a la correspondance suivante entre les parametres a et x dune part et a, et qz d’autre part: cc=az~

0

2

r1

(17)

2 x=

4=

z 0

TRAJECTOIRES DES IONS

-

(I) Miihode de cal&Z des tr~Jectoire.s ..

:.

Les trajectoires des ions dans la cage cylindrique ant Cd C@CL&& num&i:

:

_-.

_.

:

--.

426 quement en utihsant les methodes d’integration de Runge-I$utta d’ordre 4 B pas variable, ou d’Adams-Moulton. Les cakuls ont CtC eiiectues pour diverses positions initiales et diverses vitesses initiales; les trajectoires ant CtCca.lcufCespour un nombre don+ de p&iodes du champ radiofrequence (100 cycles en general). .-

(2) Forme gek&aZe des frajecfoires

Fig. 2 montre la forme d’une trajectoire ainsi calculte. Le mouvementde l’ion a deux composantes. Un mouvement s&x&&-e don-e B la trajectoire l’allure g&&ale dune courbe de Lissajous, les frequences CO,et o= des projections de ce mouvement sur les deux axes de coordonnees Ctant differentes. Lks’y superpose un micromouvemwt B une frequence beaucoup plus grande, &gale5 Q. La

1

point

de crbtion

Fig- 2. Exemple de trajectoire ionique calcul& pendant 160 phiodes du champ de .confinement, dans les conditions suivantes: ri = z1 = 3 X10-2 m; e/m = 3.2~ 10’ MKSA; Q = 10’ rad see-‘; v,, = 0: v, = 30 v; K = 0 et 3: = 0.17.

Les trajtitoires -calcul&s dans des conditions. initiales diffkrentes ont la r&me ahure que celle qui est reprise&e sur la Pig. 2. -La forme generale de c&s trajectoires est la m&ne que dans une cage hyperboloiides. Par analogie avec la cage quadrupolaire, nous introduisons les coefficients /?, et Bz tels que

:-:

..-

.. _:

427:

La connaissance des valeurs de @ permet I’interp&ati&Cde~la stock& par la methode d’absorption en oeuvre est t&s ai&.

r&on&We

d’&ergie

d&ction des ions de P+14 .dont-la mise

komme pour -la cage quadrupolaire, la trajectoire d’un ion form6 sans vitesse initiale est dite stable si son amplitude reste infErieure aux dimensions de la cage. Dans. la Cage hyperbololde, la stabilit& des ttijectoires depends des valeurs de a et q. De meme- dans une cage cylindrique Ia stabiliti du mouvement depend des coefficients .o! et x. Les diagrammes de stabiiit5 des cages cjllindriques telles we r1 = 2: et ri =.,I? z1 sent repr&ent& respectivement sur les Figs. 3 et 4. IIs sont limit& par les courbes iso-/ telies que /Ir = 0 et /$ = 1 d’une part; et & = 0. et /X== 1 d’autre part. Dans ces dew figures, les axes de coordonn&s ont btC gradu& de faGon h faciliter la cotipa&tison avec le diagramme correspondant d’une cage. qua&polaire?. Si I’on considere le mEme ion, les m2mes differences de potentiel appliqu%s et le meme frCquence de confinement, on a en effet, en consCquence des Cquations (17): a = 2a=

x = 2qz

w

si rl = z1 et z1 = z.

et a = a=

x=

(20)

4=

. .. kg.

3.

a.

Diagrammede stabilitCet likes iso-p pour +e cage cyliidrique telle que ii = tl. . -,

:

428

Fig. 4. Diagramme de stabilitk et lignes iso-p pour une cage cyfinckique telie que rl =+%I.

TO.3 .-OS _-OS .-Cl6

Fig. 5. Compzzison

des diagrammes de stabilitd pour une cage quadrupolaire (a), une cage

cylmdrique avec rx = z, (b) et une -cage cylindrique avec rl - dZ, a pti les mknes dimensions en 2: 20 = =I.

(c). Pour ces trois cages on

429

Cette comparaison est explicitee sur la Fig. 5 oh sont represent& les diagrammes de stabihte dune cage quadrupolaire (rg = 22:) et des deux cages cylindriques _ que nous avons considerees. C’est le diagramme de- stabilitC de la cage-quadrupolaire qui est le plus Ctendu, comme on pouvait s’y attendre. Cependant le diagramme de stab&G de la cage cylindrique avec rI = $zl = $zO en est tres voisin. La cage cylindrique avec rl = z1 = z. est interessante car son diagramme de stabi& a la plus grande extension en CIpour 4 petit. Ceci doit permettre un meilleur confinement

d’ions de masses quelque peu difF&entes, par exempie dacs

les experiences oh l’on veut ammler la charge d’espace en stockant simultanement des ions posit&

et nCgatifsg.

On montre en effet’l que I’addition d’rme composante statique, au champ Clectrique radiofrequence, permet d’augmenter la profondeur du puits de potentiel que l’on peut associer au champ de confinement. On sait que les resonances non lineaims r&.&ant de l’&art entre la configuration du champ Clectrique de confinement et la configuration quadrupolaire pure1 O n’apparaissent pas pour les faibles valeurs de 4 (4 < 0.5). C’est la raison pour laquelle nous n’avons pas analyse cette possible cause d’instabilite dans les cages cylindriques car nous nous intCressons specifiquement A l’obtention de longs temps de stockage, qui sent obtenus lorsque les valeurs de u et 4 sont petites7. (4) Domaines de siabilire’ La stabilite des trajectoires depend aussi des valeurs initiales des coordon&es, c’est-&dire de l’endroit oh l’ion est c&G et de sa vitesse initiale. L’ensemble des valeurs initiales des coordonnees correspondant Ztdes trajectoires stables, pour un point de fonctionnement (z, 2); ou (a, 4) dorm& determine le domaine de stabilitG Ce domaine englobe toutes les trajectoires stables correspondant B ce point de forictionnement. Dans les deux cages cylindriques consider&es, les domaines de stabiiite determines, avec la condition u = 0, pour des ions sans vitesse initiaIe, sont des ellipsoides de revolution autour de l’axe des Z, dont la section meridienne depend de la valeur de x. Ils sont representes sur les Figs. 6 et 7. Le volume du domaine de stabilite tend vers zero pour x + xl oh lr est la valeur maximaie de x pour CI= 0 sur le diagramme de stabiliti. Dans *a cage cylindrique telle que r; = 21, le domaine de stabilitC tend vers une sph&re dont le rayon est &al B 0.8 r1 environ lorsque x devient irks petit. Lorsque r1 = J2z,, le domaine de stabiiite tend vers l’ellipsoide dont la section meridienne a pour demi-axes 0.8 rl et srl environ lorsque 2 devient t&s petit. On sait” que dans le cas de la cage quadrupolaire, le domaine de stabilite* tra& dans les mEmes conditions que prec6demment est un elhpsoide dont les de&

? -00

-0s

-0.6

-02

0

02

OS

I

I

1

t

06 I

0.6

I

t

Fig. 6. Domaines de stabSit pour une cage cylindrique telle que r 1 = z, pour diffkrentes valeurs de x. Les ions sont c&s sans vitesse initiale et a = 0.

0.6

OS 02 0 c2 -0.4

Fig. 7. Domaines de stabilitk pour une cage cyrindrique telle que rl = fiz, valeurs de 2. Les ions sont cr&s sark vitesse initiale et a = 0. TABLEXU

pour diE&entes

1

COMPARAlSONDUVOLUMEDU~~DESIABILTIPI,CORRESWNDANTAU=CL=O~q=X=O POUR DES IONS SANS WIESSE DRIQUES

INlllALE

DANS

UNE

CAGE

&KDRUl?OLMRE

ET L+?S

DEUX

CAGES

CYLIN-

-.

._ -431

ties de la s&ion mCr;dienneso& &wx’& r. et ro/& Le Tableau 1 oompa&ie volume des eilipsoides c&re~pondant A q = K = 0 pour les trois cages-c&id&es. ’ Si la vitesse initiale des ions n’est plus nulle, i’ampliitude..du-&uvement . s&&ire auginente,comme pour la cage qi&rupo~aire7 et le volume du domaine. de stab&e. n’est que faiblement reduit; (5) FrZqu&h. du m&&menf

skculaire

fr@uence. est Sx&zpar la valeur de p (equations 18). Pour-la cage quadrirpolaire, on montre!’ que dans l’approximation adiabatique (a <<.l et q < I) la valeur de fi est reliee a ceiles de a et q par la relation apprbchee snivante:Cette

K = a,+&qi

u = I-,,7

(21)

Cette relation est valable A 2 % pres pour q < 0.4. Dans la cage eylindrique telle que rf = 2z,2, on verifie que les relations suivantes sont valables a 5 % prCs environ pour x -C 0.4

tandis que lo&que rl = z, on a, & 5 o/0pres environ, pour x < 0.6 .-

.2

-%+k /!I: = Z+% P,”=

(23)

“2

INFLUENCE

DE LA CHARGE

D’ESPACE

SUR LA

DENSIti

MAXIMALE DES IONS STOCK&

En reprenantune methode de calcul due a Dehmelt’” et qui per-metd’obtenir dans l’approximation adiabatique, une valetir approchCe de la densite maximale %W des ions stockes (car elle ne tient pas compte des collisions), on obtient pour une cage cylindriqtie n mar = ~

[(~

4i. Ch(,n,Z)..Jo(mi~)-mij2

-_ *~_~ Ai ~sh (miZ) -:_J,(m,S..mi)2]... .

i

.

_.

.. -.-._._. __.__i .-.';: _ ..(24) :.

..

432 avec

oh e. est la permittivite du vide, et ?, Z sent les composantes du mouvement moyennC sur la periode du champ r.f., ou mouvement sect&tire. A titre d’exemple, pour des ions He+ avec V,, = 30 V, 42 = 3 x lo6 rad set-‘, z1 = rl = 3 cm, la valeur de n_, est egaIe B lo6 crnu3 au centre de la cage. Pour une cage quadrupolaire, l’expression de n,,, est la s&ante: nmnx

3&o .g

=

4nls22

z;:

On obtiendrait dans les m&mes conditions avec z. = 3 cm nmax

= 1.6 x lo5 crno3

La valeur maximale de la densit6 est done supCrieure dans la cage cylindrique, B c&e qui est calculee pour la cage quadrupolaire darts Ies mCmes conditions.

Kous avons p&is6 les conditions dans lesquelles des ions peuvent 2fre stock& dans une cage cylindrique lorsqu’une difference de potentiel convenable est appliquee entre la paroi laterale dune part et les deux bases d’alutre part. Les proprietes dune cage cylindrique dont la geometric est telle que sont voisines de celles de la cage quadrupolaire generalement utilisee. r1 = JS, Une cage cylindrique dont le diametre est &al & la hauteur prCsente egalement des propriCtQ interessantes pour le confinement d’ions. Elle peut Etre utilisee pour Ia spectroscopic des ions stock& lorsqu’il est avantageux d’utiliser aussi la cage comme resonateur microonde a fort coefficient de snrtension.

BIBLIOGRAPHIE 1 H. .A. SCHLIESSLER, E. N. FORT-SONET H. G. DEHME~, Phys. Reo., 187 (1969) 5. 2 E. FISCHER,2. P&z_, 156 (1959) 26. 3 G. ,SET’ITNGHAUS, 2. Anger. P&S., 22 (1967) 321. 4 W. PAUL, 0. OSBERGHAUS ET E. FISCXXEFC, Forsckungsber skein- Wesfaalen, No. 415 (1958). 5 E. DUIU~V, &ectrostatique et Magn@tostatique, 6 F- LABETOULU, Rapport interne, 1970.

Wirtsck.

Ver~krssminister~I~?ns, Nord-

Masson, Paris, 1953, p. 403.

P. M. DAWSO~JET N. R. WHET-I-EN, J. Vuc. Sci. Tecknol., 5 (1968) 1. 3. Appl. Pkys-, 30 (1959) 342. 8 R. F. WUERKER.H. !!bELTON FZ R. v. LANG-,

7

9 J. P. SCHERMANN FT F. G. h%AJOR, Bull. Amer. Pkys. Sot., 16 (1971) 838. 10 P. H. DAWSON ET N. R. WS-RTZN, Int. .K Mass Spectrom. Ion Pkys-, 2 (1969) 45. 11 F. G. MAJOR ET H. G. DEESMELT,Pkys. Rev., 170 (1968) 91. 12 H. G. DEHXSEIX,Advances in Atomic and Moleczdar Physics, Vol. 3, Acridetiic Preys, New

York, 1967,$.

53.