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Temps local et estimation sans biais de la densité en temps continu
Temps local et estimation sans hiais de Ia densite en temps continu Denis BOSQ Universite Pierre-et-Marie-Curie, Lahoratoire de statistique theorique et appliquee,
4. place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05.
Resume.
Soit X = (XI' t E R) un processus reel a temps continu dont les marges ont la merne loi J-L. On ales resultats suivants : • Si X a un temps local iT sur [0, Tj, alors J-L a une densite f et h 6-/T est un estimateur sans biais de f. • Sous des hypotheses assez larges, l'existence d'un temps local de carte integrable equivaut a la partie locale de la condition de Castellana-Leadbetter (condition CL). • L'existence d'un temps local tel que h converge a la vitesse liT est equivalente a CL. De plus l'estimateur a noyau verifie la meme propriete, • Sous des conditions de forte melangeance, [r est asymptotiquement gaussien et verifie la loi fonctionnelle du logarithme itere,
=
Local time and unbiased density estimation in continuous time
Abstract.
Let X = (XI, t E R) be a real continuous time process with margins admitting a common distribution, say J-L. Then we have the following results: • If X has a local time iT over [0, Tj, then J-L has a density f and Ir = iT IT is an unbiased estimator of f. • Under mild assumptions. the existence of a square integrable local time is equivalent to the local part of Castellana-Leadbetter condition (CL condition). • The existence of a local time such that [r converges at a liT rate is equivalent to CL Furthermore, the kernel estimator satisfies the same property. • Under strong mixing conditions, [r is asymptotically normal and it satisfies the functional law of iterated logarithm.
1. Temps local et Statistique Soit X = (X t , t E R) uo processus reel mesurable, defini sur l'espace probabilise (O,A, P). On suppose que les variables aleatoires X, oot la merne loi J-L. La mesure empirique J-LT associee a l'observation de X sur l'intervalle [0, T] est definie par:
J.LT(B)
= ~ iT IB(Xt)dt,
ou B decrit la tribu borelienne 13 de R. Note presentee par Paul
DEHEUVELS.
0764-4442197/03250531 © Academic des ScienceslElsevier, Paris
531
D. Bosq
Si Wr est absolumcnt continue par rapport a >. (mesure de Lebesgue sur R), on appelle temps localtoute fonction aleatoirc IT (:r., w), B @ A-mesurable et telle que (T~.",) soit une version de ~
pour (presque) taus les w dans n. Cettc definition, adaptce aux besoins de la Statistique, est legerement differente de la definition utiliscc dans Ie cadre des semi-martingales continues (voir [15)). L'utilisation du temps local en estimation fonctionnelle a ere envisagee par Nguyen et Pham (voir [II D, puis prccisce par Kutoyants (voir [9] et [10)) dans Ie cas ou Ie processus observe est une diffusion stationnaire a coefficient de diffusion connu. Pour l'estimation de ce coefficient par temps local nous renvoyons a (6) ct [7]. Nous abordons ici Ie cas general.
2. Estlmntlen sans blnls de In densite En temps discrct, il n'y a pas en general d'estimateur sans biais de la densite (voir [13] et [3]). La situation est differentc en temps continuo Void une propriete tres simple qui semble etre passee inapcrcue jusqu'a present : LJ:MME
I. - Soit (X" 0 :$ t :$ T) lin processus reel dont les marges ont la meme loi It et qui
admet till temps local fl" Alors : a) It a Wit densite, soit J. b) IT = 11'/1' est lin estimateur sans biais de
J.
3. Existence d'un temps local de carre Integrable et condition CL Sous des hypotheses asscz generales, l'existence d'un temps local de carte integrable est equivalente tl la partie locale de la condition de Castellana-Leadbetter (CL) enoncee dans [5]. On considere lcs conditions suivantes : II, - La dcnsitc 7(11,1.; 1I,Z) de (X. ,X,) existe pour tout (s,t; y,z) E (Dcn[O,TF) xU. au U est un voisinagc ouvert de la diagonale D de R~ ; elle est de plus borelienne par rapport tl ( .~.t ; U,z). 11 2 - La fonetion FT (1J , z)
=
r
JIO.TJ~
7(.'1, t ; v. z) ds
dt
est flnie dans un voislnagc de D et est continue en tout point de D. 11:1 - II, est validc, 7(11, t ; . ,.) est continue en tout point de D et il existe Xo ERtel que sup
/(.'I,t; 1/,z) = 7(s,t; xo,xo).
(D'n(u,Tp)xU
11-1 - X u un temps local IT tel que sup E(ZIt(x) - f T (x ))2 --+ 0,
n~r~b
ou
ZIt(:r.) = *~{ t : 0 :$ t :$ T,
PROPOSITION
IX, -
z]
< ~} , 6 > 0, x E R.
I. - II., 11 2 entratnent I'existence d'un temps local f T verifiant B-1, et tel que VIT(:r.) = .) - J(.) 0 J(.).
532
-00 < a < b < +00,
6-0
r
J[O.TJ~
,q~,,(x, :r.) ds (U,
Temps local et estimation sans biais de la densite en temps continu PROPOSITION
2. - Sous H 1 et H3, H 4 est equivalent
r
1(s, t
j
a
xo, xo) ds dt <
00.
J[O,TJ2
Ces resultats soot uo peu plus precis que ceux de Geman-Horowitz (voir [8], p, 40) et Berman (voir [1], p. 95).
4. Variance asymptotique de h PROPOSITION
3. -
SOUS
H1 et H2
1) Si limsuPT_oo ~ J[O,Tj2 gs,t(x,x) ds dt
<
00,
alors
lim sup T· V h(:r,)
< 00,
T-oo
2) Si .'JH,t
= ,QIH-tl
et
r:
Igu(x, x)ldu
<
00,
alors +00
T,Vh(x) --+
T-oo
Ir
La proposition suivante compare
'I\' ( )
,'1' /
;1:
avec des notations usucllcs (voir
1
,Qu(x,x)du.
-00
et l'estimateur
a noyau IF.
1 IT},(:I:-Xt) 1 = -7" \ - , - - .u, 1,'1', () ir
dcfini par:
;r,
E
R,
12D.
4. - Si : est continue et bornee,
PKOI'O!'>ITION
• J
• HI et HI ,\'0111 l'cirUicic',\' (/\'('(' {/ = Ifir! et !( 8,{. • iI existe > () IC'I qu« .rl~, II ,l}1I II" tlu. < <'X.! , alors les conditions suivantes sont equivalentes :
"-
'I"
a) b)
.)
= fiN-II'
K: estimateurs II .'/" II"" !lu < iJ noyau verifient
us
c) Jl
'XI.
existe f~K()). ou K o est
a support borne. tel que
d) H 4 est valide et
T· Vh(x)
= De plus. C~~K ) = c~Ko) ~
c: 9
C,. = ",
-00 • tl
--+ T-oo
C;r,
x E
R.
(x0" x) 11 ° (t.
533
D. lJosq
5. Normnlitc asymptotlque et loi fonctlonnelle du Iogarithme itere pour
fr
Con sidcrons les hypotheses suivantes :
11 5
-
lI(i -
X est strictemcnt stationnaire et o-melangeant avec a( u) :5 au - {3, a > 0, {3 > 1. II existe 'Y > 2 tel que Elf1(x)I'"Y < 00.
Alors PROPOSITION
5. - Si CL,
115, JIG
sont verifiees, on a :
DC' plus, [r verifie la loi[onctionnelle du logarithme itere de Strassen (voir [12l et [14]). Notons qu'unc consequence de la proposition 5 s'ecrit
F" J- f/,,(:1:, x) du = -nu
+00 L Cov(f 1(x), £(k)(X)), k=- oo
temps local sur [I.:, I.: + IJ. Par uilleurs, 1a proposition 5 s'applique en particulier aux diffusions.
ou '",) designc lc
6. Demonstrations et details Nous rcnvoyons
a 14J.
Note remise le 10 mai 1997, acccptce le 18 juin 1997.
References bibliographiques III Ucrmun S. 1\1., ICJ92. Sojourns and extremes of stochastic processes. Wedsworth and Brooks. 121 Illlsil n., 1996. Nonparumetrlc Statistics for Stochastic Proce sses, Lecture Notes in Statistics. Springer. 1:\lllllsll U. ct Leenutre J. I", ICJ1I7. Theorie d~ l'estimation fonctionnelle , Economica. 1411111sII n., 1997. Estimalion de la densil~ en temps continu et temps locaux, Preprint, Universite Paris 6. I~I Custdlullu J. V. et Leadbeuer 1\1. R., 19116. On smoothed probability density estimation for stationary processus, Stoch. I'nJ('. A"I"., 21, 17, p, 179-19:\. 16/ Jo'ICln'n~ U., ICJIIII. Statlstiques de diffusion et temps local, Ann. lnst. H. Poincare, 24, I, p. 98-130. 171 "'Illrcn~ n., ICJ97. Estimatioll of the diffusion coefficient from crossings, Preprint, CEREMADE. n? 2711. 1111 (;"1111111 n. et lIorowltz J., 1980. Occupation densities. Ann . Probab., 8, t. p. 1-67. 11I1 Kutoyanlll Y. A., 1996, Efficiellcy of the Empirical Distribution for Ergodic Diffusion, Preprim, Universite du Maine. 1101 Kutoyanl!l Y. A., 19%. On Density Estimation by the Observations of Ergodic Diffusion Process, Preprint, Universitc! du Maine. 111I NIlUY"" T. ct Pham T., 19110. Sur I'utilisation du temps local en statistique des processus, C. R. Acad. Sci., Paris, 290, A, p. 16~-170 . 11211(10 Eo, 1995, The functional law of the iterated logarithm for stationary strongly mixing sequences, Ann . Probab ., 2:\, :\. p, I lilli-12m.
IDI RlIscnhllllll\l., 1956, Remarks on some nonparamctric estimates of a density function, Ann . Math . Statist., 27, p. 832-837. 1141 Sirusscn V., IWH. Au invariance principle for the law of the iterated logarithm, Z Wahrscheinlichk, 3, p. 211-226. II ~I \'or 1\1., 1995. Local times and excursions for Brownian motion, Univ. Centro Venezuela .
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4. place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05.
Resume.
Soit X = (XI' t E R) un processus reel a temps continu dont les marges ont la merne loi J-L. On ales resultats suivants : • Si X a un temps local iT sur [0, Tj, alors J-L a une densite f et h 6-/T est un estimateur sans biais de f. • Sous des hypotheses assez larges, l'existence d'un temps local de carte integrable equivaut a la partie locale de la condition de Castellana-Leadbetter (condition CL). • L'existence d'un temps local tel que h converge a la vitesse liT est equivalente a CL. De plus l'estimateur a noyau verifie la meme propriete, • Sous des conditions de forte melangeance, [r est asymptotiquement gaussien et verifie la loi fonctionnelle du logarithme itere,
=
Local time and unbiased density estimation in continuous time
Abstract.
Let X = (XI, t E R) be a real continuous time process with margins admitting a common distribution, say J-L. Then we have the following results: • If X has a local time iT over [0, Tj, then J-L has a density f and Ir = iT IT is an unbiased estimator of f. • Under mild assumptions. the existence of a square integrable local time is equivalent to the local part of Castellana-Leadbetter condition (CL condition). • The existence of a local time such that [r converges at a liT rate is equivalent to CL Furthermore, the kernel estimator satisfies the same property. • Under strong mixing conditions, [r is asymptotically normal and it satisfies the functional law of iterated logarithm.
1. Temps local et Statistique Soit X = (X t , t E R) uo processus reel mesurable, defini sur l'espace probabilise (O,A, P). On suppose que les variables aleatoires X, oot la merne loi J-L. La mesure empirique J-LT associee a l'observation de X sur l'intervalle [0, T] est definie par:
J.LT(B)
= ~ iT IB(Xt)dt,
ou B decrit la tribu borelienne 13 de R. Note presentee par Paul
DEHEUVELS.
0764-4442197/03250531 © Academic des ScienceslElsevier, Paris
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D. Bosq
Si Wr est absolumcnt continue par rapport a >. (mesure de Lebesgue sur R), on appelle temps localtoute fonction aleatoirc IT (:r., w), B @ A-mesurable et telle que (T~.",) soit une version de ~
pour (presque) taus les w dans n. Cettc definition, adaptce aux besoins de la Statistique, est legerement differente de la definition utiliscc dans Ie cadre des semi-martingales continues (voir [15)). L'utilisation du temps local en estimation fonctionnelle a ere envisagee par Nguyen et Pham (voir [II D, puis prccisce par Kutoyants (voir [9] et [10)) dans Ie cas ou Ie processus observe est une diffusion stationnaire a coefficient de diffusion connu. Pour l'estimation de ce coefficient par temps local nous renvoyons a (6) ct [7]. Nous abordons ici Ie cas general.
2. Estlmntlen sans blnls de In densite En temps discrct, il n'y a pas en general d'estimateur sans biais de la densite (voir [13] et [3]). La situation est differentc en temps continuo Void une propriete tres simple qui semble etre passee inapcrcue jusqu'a present : LJ:MME
I. - Soit (X" 0 :$ t :$ T) lin processus reel dont les marges ont la meme loi It et qui
admet till temps local fl" Alors : a) It a Wit densite, soit J. b) IT = 11'/1' est lin estimateur sans biais de
J.
3. Existence d'un temps local de carre Integrable et condition CL Sous des hypotheses asscz generales, l'existence d'un temps local de carte integrable est equivalente tl la partie locale de la condition de Castellana-Leadbetter (CL) enoncee dans [5]. On considere lcs conditions suivantes : II, - La dcnsitc 7(11,1.; 1I,Z) de (X. ,X,) existe pour tout (s,t; y,z) E (Dcn[O,TF) xU. au U est un voisinagc ouvert de la diagonale D de R~ ; elle est de plus borelienne par rapport tl ( .~.t ; U,z). 11 2 - La fonetion FT (1J , z)
=
r
JIO.TJ~
7(.'1, t ; v. z) ds
dt
est flnie dans un voislnagc de D et est continue en tout point de D. 11:1 - II, est validc, 7(11, t ; . ,.) est continue en tout point de D et il existe Xo ERtel que sup
/(.'I,t; 1/,z) = 7(s,t; xo,xo).
(D'n(u,Tp)xU
11-1 - X u un temps local IT tel que sup E(ZIt(x) - f T (x ))2 --+ 0,
n~r~b
ou
ZIt(:r.) = *~{ t : 0 :$ t :$ T,
PROPOSITION
IX, -
z]
< ~} , 6 > 0, x E R.
I. - II., 11 2 entratnent I'existence d'un temps local f T verifiant B-1, et tel que VIT(:r.) = .) - J(.) 0 J(.).
532
-00 < a < b < +00,
6-0
r
J[O.TJ~
,q~,,(x, :r.) ds (U,
Temps local et estimation sans biais de la densite en temps continu PROPOSITION
2. - Sous H 1 et H3, H 4 est equivalent
r
1(s, t
j
a
xo, xo) ds dt <
00.
J[O,TJ2
Ces resultats soot uo peu plus precis que ceux de Geman-Horowitz (voir [8], p, 40) et Berman (voir [1], p. 95).
4. Variance asymptotique de h PROPOSITION
3. -
SOUS
H1 et H2
1) Si limsuPT_oo ~ J[O,Tj2 gs,t(x,x) ds dt
<
00,
alors
lim sup T· V h(:r,)
< 00,
T-oo
2) Si .'JH,t
= ,QIH-tl
et
r:
Igu(x, x)ldu
<
00,
alors +00
T,Vh(x) --+
T-oo
Ir
La proposition suivante compare
'I\' ( )
,'1' /
;1:
avec des notations usucllcs (voir
1
,Qu(x,x)du.
-00
et l'estimateur
a noyau IF.
1 IT},(:I:-Xt) 1 = -7" \ - , - - .u, 1,'1', () ir
dcfini par:
;r,
E
R,
12D.
4. - Si : est continue et bornee,
PKOI'O!'>ITION
• J
• HI et HI ,\'0111 l'cirUicic',\' (/\'('(' {/ = Ifir! et !( 8,{. • iI existe > () IC'I qu« .rl~, II ,l}1I II" tlu. < <'X.! , alors les conditions suivantes sont equivalentes :
"-
'I"
a) b)
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= fiN-II'
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c) Jl
'XI.
existe f~K()). ou K o est
a support borne. tel que
d) H 4 est valide et
T· Vh(x)
= De plus. C~~K ) = c~Ko) ~
c: 9
C,. = ",
-00 • tl
--+ T-oo
C;r,
x E
R.
(x0" x) 11 ° (t.
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D. lJosq
5. Normnlitc asymptotlque et loi fonctlonnelle du Iogarithme itere pour
fr
Con sidcrons les hypotheses suivantes :
11 5
-
lI(i -
X est strictemcnt stationnaire et o-melangeant avec a( u) :5 au - {3, a > 0, {3 > 1. II existe 'Y > 2 tel que Elf1(x)I'"Y < 00.
Alors PROPOSITION
5. - Si CL,
115, JIG
sont verifiees, on a :
DC' plus, [r verifie la loi[onctionnelle du logarithme itere de Strassen (voir [12l et [14]). Notons qu'unc consequence de la proposition 5 s'ecrit
F" J- f/,,(:1:, x) du = -nu
+00 L Cov(f 1(x), £(k)(X)), k=- oo
temps local sur [I.:, I.: + IJ. Par uilleurs, 1a proposition 5 s'applique en particulier aux diffusions.
ou '",) designc lc
6. Demonstrations et details Nous rcnvoyons
a 14J.
Note remise le 10 mai 1997, acccptce le 18 juin 1997.
References bibliographiques III Ucrmun S. 1\1., ICJ92. Sojourns and extremes of stochastic processes. Wedsworth and Brooks. 121 Illlsil n., 1996. Nonparumetrlc Statistics for Stochastic Proce sses, Lecture Notes in Statistics. Springer. 1:\lllllsll U. ct Leenutre J. I", ICJ1I7. Theorie d~ l'estimation fonctionnelle , Economica. 1411111sII n., 1997. Estimalion de la densil~ en temps continu et temps locaux, Preprint, Universite Paris 6. I~I Custdlullu J. V. et Leadbeuer 1\1. R., 19116. On smoothed probability density estimation for stationary processus, Stoch. I'nJ('. A"I"., 21, 17, p, 179-19:\. 16/ Jo'ICln'n~ U., ICJIIII. Statlstiques de diffusion et temps local, Ann. lnst. H. Poincare, 24, I, p. 98-130. 171 "'Illrcn~ n., ICJ97. Estimatioll of the diffusion coefficient from crossings, Preprint, CEREMADE. n? 2711. 1111 (;"1111111 n. et lIorowltz J., 1980. Occupation densities. Ann . Probab., 8, t. p. 1-67. 11I1 Kutoyanlll Y. A., 1996, Efficiellcy of the Empirical Distribution for Ergodic Diffusion, Preprim, Universite du Maine. 1101 Kutoyanl!l Y. A., 19%. On Density Estimation by the Observations of Ergodic Diffusion Process, Preprint, Universitc! du Maine. 111I NIlUY"" T. ct Pham T., 19110. Sur I'utilisation du temps local en statistique des processus, C. R. Acad. Sci., Paris, 290, A, p. 16~-170 . 11211(10 Eo, 1995, The functional law of the iterated logarithm for stationary strongly mixing sequences, Ann . Probab ., 2:\, :\. p, I lilli-12m.
IDI RlIscnhllllll\l., 1956, Remarks on some nonparamctric estimates of a density function, Ann . Math . Statist., 27, p. 832-837. 1141 Sirusscn V., IWH. Au invariance principle for the law of the iterated logarithm, Z Wahrscheinlichk, 3, p. 211-226. II ~I \'or 1\1., 1995. Local times and excursions for Brownian motion, Univ. Centro Venezuela .
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