Tragfähigkeit von beton unter inneren pressungen nach den modellen der dickwandigen hohlkugel und des dickwandigen hohlzylinders

CEMENT and CONCRETERESEARCH. Vol. 6, pp. 15 - 28, 1976. Pergamon Press, Inc. Printed in the United States.

TRAGFAHIGKEIT VON BETON UNTER INNEREN PRESSUNGEN NACH DEN MODELLEN DER DICKWANDIGEN HOHLKUGEL UND DES DICKWANDIGEN HOHLZYLINDERS ~

Lehrstuhl

U. Wagner-Grey for Baustoffkunde und Werkstoffpr0fung Technische Universit~t MOnchen 8 M0nchen 2, Arcisstr. 2~

(Communicated by F. H. Wittmann) (Received Sept. 15, 1975) ABSTRACT The problem of the stresses created by an inner, radial pressure in concrete is discussed using the models of a thick-welled hollow sphere end e thick-walled hollow, long cylinder. For both models the expressions for stresses and displacements in the elastic end plastic zone are presented. The given relations are based on the Coulomb law of failure and the assumption of an idealized elastic-plastic material. The introduced simplifications are discussed in comparison with the actual beheviour of concrete. Finally some experimental results, described in the literature, are compared with the theoretical predictions.

Oie Wirkung yon inneren, radial gerichteten Pressungen im Baton wird mit den Modellen der dickwandigen Hohlkugel und des diokwandigen, langen Hohlzylinders untersucht. FOr diese beiden Modelle warden die 01eichungen for dis Spennungen und Verformungen im elastisch-plastischen Zustand angegeben. Es wird die Coulomb'sche Bruchbedingung, sin elastisch-idealplastischer Werkstoff und im plastischen Bereich die Kompressibilit~tsbedingung zugrunde gelagt. Eingengs warden die getroffenen Annahmen begr0ndet. Am Ends warden einige Versuchsergebnisse, die der Literatur entnommen wurden, mit theoretisch berechneten Werten verglichen. Herrn Prof. H. E. Schubert zu seinem 75. Geburtstag gewidmet 15

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Vol. 6, No. l

U. Wagner-Grey Einleitun~ Die Beanspruchung yon Baton dutch innate, radial gerichtete Kr~fte, dis h~ufig als "Sprengkr~fte" bezeichnet warden, ist yon groBer praktischer Bedautung. Als Beispiels, dis hierzu in Betracht kommen, seian erw~hnt: Der Verbund zwischen Betonstahl und Beton, die Beanspmuchung yon Baton dutch SprsizdObel und die B e a n spruchung yon Baton dutch tmsibende EinsohlOsse oder dutch Eis. Bei der Beanspruchung der Matrix des Batons bei niedrigen Temperaturen infolge einem relativ zur Matrix klaineren Tempematurdehnzahl des Zuschlages liegen @hnliche Verh@itnisse vor. Solche Beanspruchungszust~nde kOnnen n~herungsweise nach den Modellen des dickwandigen Hohlzylinders oder der dickwandigen Hohlkugel unter Innendruck behandelt wemden. Im folganden warden for diese beiden Modelle die Gleichungan for die Spannungen und Verformungen unter Kurzzeitbeanspmuchung im slastisch-plastischen Zustand angegeben. Vorab warden einige Gesiohtspunkte basprochsn, die for dis Wahl der zugrunde gelagtan Werkstoffgesetze maBgebend waren. Am Ends wird dis Theorie anhand einiger Experiments, die hiarzu vorlagen, OberprOft. Warkstofflasetze Last-Verformungsvarhalten

yon Baton

Oia Varfor~nungen von Baton sind vom Anfang dsr Belestung an v o n d e r Zait abh~ngig. Eine scharfe Trennung zwischsn Kurzzeit- und Langzeitversuch ist dashelb eigentlich nicht m~glich. Im Bereich niedriger Spennungen steht die zeitabh@ngigs Ver~ormung in sinem nahezu linearen Zusemmanheng zur wirkenden Spannung und men kann sich in diessm Bereich mit einem vergr~Berten zaitabh~ngigen Verformungsmodul bahelfen, der die Kriechverformungen barOcksichtigt. Mit zunehmender Spannung staigt abar die Krischrate Obsrproportional [I) und dann ist eine solche N~herung nicht mehr mSglich. Im allgemeinen moats man daher dis Verformungen in Abh~ngigkait yon der Zait und der Spannung in Ansatz bringen. In jedem Einzalfall mOBten dazu zahlreiche Fektoren, wie etwa die Betonzusammensstzung, des Belastungsalter, die Luftfeuchtigkeit und die Tamperatur berOcksichtigt warden. Insgssamt words mit einem solchen Ansatz, der das tats~chliche, komplsxe Verhaltsn des Batons erfaBt, die Berschnung yon Spannungen und Vsrformungen auBerordentlich kompliziert. Von Fall zu Fall ist ss abet unter Umst~nden m~glich, such mit idsalisiertan Werkstoffgesatzen sinnvolle Ergebnisse zu arhaltsn. FOr die Barechnung dsr Hohlkugel und des Hohlzylinders wird bier yon stark vereinfachten Annahmen ausgegangen, die abet unter ~ n speziellen, achsialsymmetrischen Spannungszust@nden gerechtfertigt erscheinen. Annahme idealisisrtsr Warkstoff~esetze

und 8egrOndun~

Oas wi'rkliche Verhalten yon Baton untsr dam gsgsbenen Spannungszustand ist so kompliziert, dab sine realistische mathamatiache 8shandlung dieses Problems mit groBsn Schwiarigkeitsn verbunden ist. £s wird deshalb angsnommen, dab sich der Baton bis zum Erreichen der Fastigkeits- oder FlisBgrenze elastisch, danach idealplastisch verh~it. Oiase drastischs Vereinfachung muB schlieBlich dutch ainen kritischsn Vsrgleich mit vorlisgsndsn Versuchsdaten isgitimiert wsrdsn.

Vol. 6, No. l

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STRESSES, SPHERES(THICK WALLED), CYLINDERS(THICK WALLED), RADIAL PRESSURE

AIs crates muB sin Ansatz ~Or die Festigkeits- oder FlieBgrenze gemeoht warden. Wie Kupfer (2) gezeigt hat, l~Bt sich die Festigkeit von Baton unter mehrachsigar Beenspruohung mit den bekennten Bruohhypothesen nur absohnittwsise, je nach dam Verh~itnis dsr auftretenden Hauptspennungen beschreiben. Im vorliegenden Fell ist der Spannungszustand in dieser Hinaicht sehr gOnstig, wail die maBgabenden Heuptspannun£en - wenn man zun~chst vom elastischen Zustand ausgeht - im Verh~ltnis yon etwa oi/o 2 = -I vorliegan. In diasem Bereioh gleicht Kupfer (2) die Festigkeitskurve mit einar kubiaohen Parabel oder vereinfacht mit einer Gereden an. Die engegebene Gerede weioht v o n d e r Geraden, die sich aus der Coulomb'schen Bruohbedingung er£ibt, insgesemt nur wsnig ab. Deshalb sohien ea £erechtfsrtigt, die Bruchbsdingung nach Coulomb den Berechnungen zugrunda zu legan. Es kann so£ar angenommen werden, dab die Coulomb'ache Bruchbedingun£, die auf der Vorstellung baruht, daB infolge von plastischen Verformun£en sine innate Reibung wirksam wird, im vorliegenden Fall richtiger ist als dis axperimentall £efundene Bruchkurve, die ja Punkt for Punkt mit ainem konstanten Spannungsvarh~ltnis £efunden wurde. Dagegan h~ngt das Spannun£sverh~ltnis im plastischen Bereich vom jeweiligen Beenspru~hungszustand ab, das Spannungsverh~ltnis an einmm bestimmten Punkt des Zylinders oder der Kugel ~ndert sich also mit zunahmendem Innendruck entsprechend dam zugrunde £ele£ten Bruchgssetz. Es soll noch arw@hnt werden, dab nach dam Coulomb'echen Gesetz der Bruchzustand nut durch die kleinste und die £r~Bts Hauptspannung bestimmt wird. in Wirklichkeit hat aber auch die mittlere Hauptspennung h@ufi£ einen EinfluB auf den Eintritt sines Bruchas. Im vorliegenden Fall words sich aber dedurch die Bruchbedingung nur unwementlich ~ndern, wail dis mittlera Hauptspannung immsr in einem fasten Verh~ltnis zu den beiden anderen Heuptepennungan steht. E~ne Bruchbedingun£, die 3 Hauptspannun£en enth~it, l~Bt sioh deduroh wieder auf sine Gleicnun~ bringen, in d e r n u r 2 Hauptspannungen vorkommen. Sehr wichtig ist auch die Frage, ob ss gerechtfertigt ist, im vorliegenden Fall mit der Annahme aines elastisch-idaalplastisohan Werksto~fverhel~ens zu rechnen. Ein elastisohes Verhalten bis zum Erreichen des Bruchas kann unter den hier maBgebenden Zugspannungen ohne Zweifel n~herungsweise vorausgesstzt warden. Zu der Annahme sines idealplastischen Verhaltens muB bstont warden, dab diese Bedingung nioht im Oblichen Sinne srfOllt sein muB, wia es etwa bei Stehl gegeben ist, der im einaohsigen Zugversuch sine aus~epr@gte Streck~renze besitzt. DsmgegenOber habsn .wit es im plastischen Bereich der Ku~el und des Zylinders immer mit einem mehrachsi~an Spannun~szustand zu tun. Wie man weiB, kOnnen ~erketoffe wie Baton und Naturstein, die sich sonst sehr sprBds verhalten, unte~.solohen Spannun~szust~nden weeentlich £rOBere Dahnun~en als im einachsigen Versuch erreichen, ohna daB es zu sines ~uBerlich in Erscheinun~ tretenden Bruch kommt (3, 4). Mit zunehmender plaetischer Verformun~ im inneren Bereich der Ku~el und des Zylinders werden zudem die Druckspannun£en immer grSBer und die Zu~spennungen immar klainer. Man kann sich vorstellen, dab in diesem Zustend die plastischen Verformun~en in Form von spiralfOrmi~en Gleitun~en, nicht abet in Form yon radialen Rissen auftreten.

18

U. Wagner-Grey

Vol. 6, No. 1

Nach all diesen Oberlegungen erscheint es gerechtfertigt, for die Berechnung der Hohlkugel und des Hohlzylinders unter Innendruck die Coulomb'sche Bruchbedingung und elastisch-idealplastischee Verhalten des Betons vorauszusetzen. Erw~hnt werden soll noch, dab mit ~hnlichen Annahmen, zum Tei! jedoch mit der etwa8 allgemeiner gOltigen Mohr'schen Bruchbedingung, in der Bodenmechanik und im Tunnelbau zahlreiche Probleme mit gutem Er{olg behandelt werden kSnnen. Die Coulomb'sche Bruchbedingung l~Bt sich am anschaulichsten in einem Ol-O2-Diagramm darstellen, wobei 0 1 und o2 die grSBte bzw. kleinste Hauptspannung ist (FIG. I). Aus FIG. I erhSlt man auf anschauliche Weise die Coulomb'sche Bruchbedingung zu: 6Z

die im weiteren o 1 = k 02 t

verkOrzt

geschrieben

werden

soll ale

6, (I)

6Z = Zu~{eetigkeit k = 6p Oruck{sstigkeit'

6 = B Z.

Es muB hier noch betont werden, da6 mit Gleichung (I) oder such in allgemeiner Form mit der Mohr'schen Bruchbedingung nichts Ober den mikroskopischen Bruchvorgang dee Betons eusgesagt wird. Mit GleiI chung (I) ist lediglich sine SpanFIG. I nungsbeziehun~ angegeben, bei der im Beton sin "Grenzzustend" erCoulomb'sche Bruchbedingung reicht wird. Mit Erreichen dieses in Ol-O2-Oarstellung "Grenzzustandes" ist die Elaetizit~tstheorie i n dem e n t s p r e c h e n d e n B e r e i c h des u n t e r s u c h t e n KSrpers n i c h t mehr a n w e n d b a r , Theoretische

Ableitungen

Ausgan ~ s p u n k t Im g o l g e n d e n w e r d e n f o r d i e H o h l k u g e l und den H o h l z y l i n d e r d i e B e z i e h u n g s n f o r d i e S p a n n u n g e n und V e r { o m m u n g e n im e l e s t i s c h plastischen Zustand hergeleitet. AIm Grundlage hier~0r steht sine sehr um{engreiche Literatur zur Ver{Ogun E, in der genz ahnliche Problame aus{0hrlich behendelt werden. In den meisten Fellen wird jedoch die FlieBbedingung nach yon Misas oder Tresca zugrunde gelegt. FOr einen kugeligen Hohlreum in einem unendlich ausgedehnten Medium gibt Chadwick (8) sine L6sung. Eine Zusammenstellung {0r des Problem des Hohlzylinders gibt Steele (9). Hill (7) gibt den

Vol. 6, No. l 19 STRESSES, SPHERES(THICK WALLED), CYLINDERS(THICKWALLED), RADIALPRESSURE LSsungswsg suf der Basis der Mohr'schen B r u c h h y p o t h e s e an. Im a l l g e m e i n s n ist debsi jedoch keine g e s c h l o s s s n e LSsung mSglich. Gibson und Anderson (10] geben zur Thsorie des P r e s s i o m e t s r v e r suches, dsr zur B e u g r u n d u n t e r s u c h u n g benutzt wird, sine LSsung for den unendlich dicken Z y l i n d e r unter Innendruck an. Sis setzen die Coulomb'sche B r u c h b e d i n g u n g voraus. Im p l s s t i s c h e n Bsreich gshen sis versinfscht yon i n k o m p r e s s i b l e m Material eus. Die b i e r a u s g s f 0 h r t s Ableitung lehnt sich an den LSsungswsg yon Reckling (8) an, der jsdoch von dsr M i s e s - F l i e B b e d i n g u n g eusgeht, mit der dis E r g s b n i s s s stwas a i n f e c h e r warden. Hohlkugsl Im slestischen Bereich gilt analog zu den bekenntsn Glsichungsn yon Lam~: =

or

C1(I

b3 - ~),

C23

/ "plastischer

ot = CI(1 +--~-~) 2r3 "

Bereich

Dis K o n s t e n t e C I findet man eus dsr Bedingung, dsB fOP r=c Gleichung (I) stfOllt sein muB. Damit wird: Bc 3

b3 (I

(1-klc

r ot

=

3 *

(I/2 Bc

-

'

3

(I + .b

,,

(1-k)c 3 + [I/2 + k]b 3

--J

FIG. 2

),

r3

+ klb 3

Im p l a s t i s c h m n Bersich gilt, Gleichgewichtsbedingung do 2 + ~(o r - o t ] = 0

F

Hohlkugel

3

)

C33

2r 3 wis such

im elastischen

Bersich,

dis

(4)

Deraus f p l g t mit Gleichung Cl) do r _ dr Or2Cl-k) - 2B = r'-"

(5)

Dutch I n t e g r a t i o n erh~it man 1 = 7"

r

Die I n t e g r a t i o n s k o n s t e n t e O

=-p

C 2 folgt aus der R a n d b e d i n g u n g

(6)

r-a,

ZU

I

C2 = a[-p 2(1-k)

2~ 2 ( l - k ) .

Dsmit wird s c h l i s B l i c h

[7)

20

Vol.

U. Wagner-Grey

6, No. l

2(1-k) -(

Or

ot

=

)

(P

+

) + 1-k

C8)

2(1-k)

a -(T)

'

~

(p +

B )k + I--=]~- '

Wenn man in Glsichung C6) statt der R a n d b e d i n g u n g R a n d b e d i n g u n g ?Or r=c ansetzt, wird mit Gleichung or

= (c 2 ( 1 - k ) ?)

(

8( c3 _ b 3 ) (1-k)c

3 +

(1/2

+ k)b 3

-

bei r=a die (3)

B

, ) + 1-k ~

6 ' (9)

st

2(1-k)

= (~)

(

3 b3 B(c ) (1-k)c 3 + (1/2 + k)b ~

FOr r=a wird Or=-p, P :

(c)

2(1 -k)

(

woraus man p erh~It b3

6( (1-k)c

c3

3 +

) (1/2

S )k + 8 l"-k 1--rE "

zu ~-k

+ k)b 3 +

8 1-k

)

(10) "

Oer V e r ~ o r m u n g s z u s t a n d l~Bt sich vollst~ndig durch die Verschiebungen u(r) in radialer Richtung beschreiben. Im elestischen Bereich ?olgt u(r) mit 61eichung (3) und ~ dem Hooks'schen 6esetz zu u(r)

1-2v :

8c 3 3 + (1/2

(1-k)c

"E

Im plastischen ausgesetzt:

Bsreich

wird

*

k)b 3 (r

l+v + 2(1-2~)

b3 7 )

"

(11)

die K o m p r e s s i b i l i t ~ t s b e d i n g u n g

vor-

l-2v el

+ ~2 + E3 =

E

(°1

+ °2

+ °3)

'

(12)

die hier die Form I -2v er + 2¢t

=

E

(13)

(°r + 2°t)

annimmt. Setzt m@n darin Gleichung (9) ein und schreibt ~Or du/dr=u" und ~Or ct=u/r, so srh~lt man

2u u , ÷ ~---

1 2(1-k)

=

(~)

1-2v 2(1-k) A = "-'E"-- c

B = 36(1-2v) (1-k)E

A + B,

(c 3 6((1-k)c3

auBerdem

(14)

b 3) ( 1 ÷ 2 k ) + (1/2

1+2k,,

+ k ) b 3 - 1--'r'k--J'

Vol. 6, No. 1 21 STRESSES, SPHERES(THICK WALLED), CYLINDERS(THICK WALLED), RADIAL PRESSURE

Glsichung der

(14)

ist sins Euler'sche

Diffsrantislglsichung

mit

L6sung u = C3 r

-

1

2 + 2--ETT A r

2k-1

1

+ ]

B r.

(15)

Die Konstante C~ erh~it man aus dsr R a n d b s d i n g u n g an dsr s l a s t i s c h - p l s s t l s c h s n Grenzs mit r-c und Gleichungen (11) und ( 1 5 ) zu C3 = 3 ( 1 - v )

B b3 c3 (1-k)c 3 • (1/2

2E

Womit man die radials schreibsn ksnn: uCr)

E 1-2v

1 ~r

+ k)b 3'

Vsrformung

3(1-v), 2(1-2v)

• ,. + r (~)

2(1-k)

(16)

im p l a s t i s o h e n

6 b 3 c3 _ (1 k) c 3 + ( 1 / 2

(

B ( (1-k)c

Barsioh

hin-

B + k ) b 3 + r I-~I~- "'"

c3

3) - b 3 + (1/2

_

B

+ k)b 3

1-k

)

(17) '

H ohlzylinder Beim d i c k w a n d i g s n H o h l z y l i n d e r kommt sine z u s ~ t z l i c h s S c h w i e r i g k e i t g s g s n O b e r dsm K u g s l p r o b l e m dutch dis L ~ n g s s p e n n u n g e n o z hinzu. R a c k l i n g (6) hat for den langen H o h l z y l l n d s r sinen v s r s i n f e c h e n d e n Ansatz for o z gemecht, Bit dam die Glsichgsw i c h t s b s d i n g u n g in z-Richtung for den Fell des g e s c h l o s s s n e n z y l i n d r i s c h e n Bsh~Iters (d. h. mit Deckel obsn und untsn) srfOllt ist. O i s s s r Ansatz wird hier Obsrnommen, jedoch muB, ds ksin Osoksl vorhanden ssin soil, sioh

dis Spannung e u s dam D r u c k

words.

Damit

/~1

m-

~it. //4

,/,.~_ f :.'/, L//~ I

J

hat man den Ansatz

1 = ~ (o r +

Im e l e s t i s c h e n y o n Lamb: ar

= C 1 (1

-r

abgszogsn wsrden, dis auf den Dscksl ergeben FIG.

oz

,

a2 o t) Bereich

-

3

Hohlzylinder

p b2

_ a2

.

(18)

gilt

analog

zu d e n

bekennten

Gleichungen

b2 - --~),

(19) b2 o t -- C 1 (1 ÷ - ~ ) .

22

Vol.

6, No. 1

U. Wagner-Grey

Die K o n s t a n t e

C 1 findet

man mit

Gleichung

[I] f o r

r=c zu

2 =

C1

6

(l_k)c

und damit

O

[,

ot

c

(20]

2 + (l÷k)b

2 '

die S p a n n u n K e n

im e l a s t i s c h e n

B c2

=

b2

(1-k)c

2 + (l+k)b

2

(1

- --~),r

(1-k)c

6 c2 2 + (l+k]b

2

(1

b2 + --~)'r

=

Bereich:

2 B c o z = [l_k)cZ + (l+k]b

_ 2

(21)

2 p a b2 _ a2 "

Z u r B e r e c h n u n g der S p a n n u n g e n im p l a s t i s c h e n B e r e i c h w i r d die G l e i c h g e w i c h t s b e d i n g u n g benutzt, die ~Or den Z y l i n d e r do r + I dr -~(o r -

Mit

Gleichung

r

(22)

[I] w i r d

d°r o

= O.

o t]

=.dr (l-k)

-

(23)

r

B

woraus man d u r c h r [Or(l-k)-

wieder lautet:

Integration erh~it: 1 Bji-k

= 02 .

[24)

Die

Konstants C 2 k a n n man w i e d e r mum d e r R a n d b e d i n g u n g ~Or r = a oder r=c e r m i t t e l n . Man ~indet dann die Spannungen im p l a s t i s c h e n Bereich i n AbhSngigkeit yon p: =

°r

1-k

a]

(7

B

(-P-

)

1-k

+

6

T~

'

1-k ot

= [

)

[-p

-

]k

+ ~

,

1-k -- (a oz ~)

(-p -

~

I ) ~[1+kl

6 + 1-k

[25]

2 pa b2_a

w

Vol. 6, No. 1 23 STRESSES, SPHERES(THICK WALLED), CYLINDERS(THICK WALLED), RADIAL PRESSURE oder yon c: c 1-k or

:

°t

c = (?)

B (c 2

(7)

:

(.

1-k

( (l-k)

B

(

( (,l - k )

Bet Zusammenhang or(a)=-p zu 1-k

.

B (

(-~)

p = (~)

(1-k)c

1-k

c

oz

.

(

b2 ) .

2 +

.

B

.

(l+k)b

2

1 ~-

b2

c2

) c 2 ÷ (l+k)

B ) +

:

B )k 1-k

b2

l_k ) ~(l÷k)

b2 ) c2 + ( l + k )

zwischen .... b 2 B ( (1-k)c 2 ,

c2

~

) ,,, ÷ (l+k)b 2

) - ~

Die LBsung u(r)

-

2

l+v b2 ÷ 1_--C-L~vvT )

(r

- 1~ 2

a ~

1-2v 38 1-2v + - - ~ - - - I==_-~_ - --E~ = -

) cl-k

C3

A

+ ~

r

,

(26) mit

B

(27)

2 1 -E2 v

+ F

a

r,

B

(28)

2 (29)

•

Z y l i n d e r annehmen, dab h. die L S n g s d e h n u n g soll gleioh sein. Die die D i f f e r e n t i a l g l e i -

2 8c (l_k)c2+(1+k)b2

"

B (c 2 - b 2) _ 6 ( ( l - k ) c2÷ ( l + k ) b 2 1 k )"

1-~

.

(30)

dieser Euler'schsn ~--

- ~

B rk ,

r u' + u = A r e

3(I+k 2

+

kann man eus Gleichung u n m i t t e l b a r hinschrelben:

Im p l a s t i s c h e n Bereich kann man for lange Cz Ober den O u s r s c h n i t t konstant ist, d. im e l e s t i s c h e n und im p l a s t i s c h e n Bereich K o m p r e s s i b i l i t ~ t s b e d i n g u n g fOhrt dann auf chung

B = 1-2v E

(26)

p und c folgt aus Gleichung

2 8 c (l_k)c2÷(l÷k)b

2v a2 A : ~ b--~_a

B 1--~'k '

c2

8 c2 (l_k)c2+(l+k)b

1-2v Cz = E

÷

•

b2 -

Die V e r f o r m u n g e n im e l a s t i s c h e n Bereich (21) mit Hilfe des H o o k e ' s o h e n Gesetzes u(r)

~

r

k

.

Differentialgleichung

lautet:

24

Vol. 6, No.l

U. Wagner-Grey

Aus der Randbedingung 5-4v c 3

for r=c mit Gleichung

u(r)

~indet man

B b2. c 2

(32)

:

(1-k)c2+[l+k)b

Oamit

(26)

ist die radials E I'-2'v

...

1 5-4v = r 2-4v

÷

1 ~r

2

Verformung

des Hohlzylindsrs

B b2 c2 (l~k)c2+(1,k)b

...

+ rC c )

Einige

2 + "'"

( . . . . B. c. 2 .

(l_k)c2÷(l÷k)b 1-k

~(

3B

2 + 1~-

_ b2 13(c2 ) Cl_k)c2+(l+k)b

ausgew~hlte

gefunden:

2v

+ 1-2v

e2 +

...

b . ~ _a )

(33) 2 -

1Bk ) ,

Versuchser~ebnisse

Hohlkugel

a

Bachs und Isen (12) fOhrten Versuche mit einbetonisrtsn, kugelf6rmigen Gummiblassn durch, die durch Innendruck bslastet wurden. Oamit sollten Betonabpletzungen nachgeahmt warden, wie sis bei Frostbsanspruchungen oder bei Treiberscheinungen auftreten. Als Versuohsbeton wurde sin MSrtel mit einem GrSBtkorn von 0,5 mm verwendet. Die Spaltzugfestigkeit die ass "Batons" hat im Mittel BSZ=3,71 N/mm2 betragen. Dis Gummiblasen hatten einen Radius von 15 mm. Sis wurden in Platten von 400 mm Ourohmssser und 200 mm Oicke einbetoniert. Oar Abstand zwischen der Oberfl~ohe der Blase und der Oberseite der Platte (Betondeckung) wurde zwischen 2,06 mm und 30,49 mm variiert. Mit der grSBten Betondeckung (30,49 mm) wurde sin Innendruck von p=43 N/mm2 erreicht. Naoh der Elastizit~tstheorie errechnet sich for sine Hohlkugsl unter diesem Innendruck sine maximale Zugspsnnung yon ot=24 N/mm 2, was der 6,5-fachen Spaltzugfestigkeit entspricht. Die E-Thaorie fOhrt also zu keinem vernOnftigen Ergebnis. Hohlz~linder Martin (13) fOhrte Versuche dutch, bei denen Hohlzylinder aus Beton durch Innendruck bis zum Bruch belastet wurden. Die Versuche sollten dazu dienen, die Beenspruchbarkeit yon Baton unter der Sprengwirkung yon Bewehrungsstahl zu ermitteln. Die Hohlzyfinder hatten einen Innenredius yon 9 mm, der AuBsnradius wurde zwisohen 31 mm und 58 mm variiert. Oie WOrfeldruckfestigkeit des Batons leg zwischen 15,6 N/mm2 und 30,5 N/mm 2. Leider ist die Zugfestigkeit nicht angegeben. Nach siner privaten Mitteilung von Martin betrug in einer Versuchsreihe dis Biegezugfeatigkeit BBZ=5,3 N/mmZ, die zugeh~rige WOrfeldruckfestigkeit war BW -30,1 N/mm2. Bei diesen Versuchen wurde mit einem AuBenradius von 34 mm sin Innendruck yon p=6,01 N/mm 2, mit einem AuBenradius yon 46 mm sin Innendruck von p=11,5 N/mm2 erreicht. Nach der E-Theorie h~tte dabei die maximele Zugspannung 9,2 N/mm2 bzw.

Vol. 6, No. l 25 STRESSES, SPHERES (THICK WALLED), CYLINDERS (THICK WALLED), RADIAL PRESSURE

12,3 N/mm 2 betragen, was bei einer angenommenen Zugfestigkeit von ungef~hr 3,0 N/mm 2 ebenfalls wieder nicht der Wirklichkeit entsprechen kann. Vergleich

der Ergebnisse

mit der Theorie

und Oiskussion

Zur Nachrechnung der Versuche wird die Prismenfestigkeit zu Bp=O,85BW und die Zugfestigkeit zu Sz=O,gBSZ angesetzt. Die zu den Kugslversuchen fehlende Druckfestigkeit wird nach Hsilmann (15) zu BW=(BSZ/0,27)3/2 berechnet. Oie Umrechnung des Biegezugfestigkeit in die Zugfestigkeit ist im allgemeinen recht unsiches. Es wurde daher die Umrechnung an die Versuche angepaBt, de es ja im wesentlichen auf einan Vergleich zwischen den beiden verschiedenen Zylindern anksm. In etwa betr@gt die Biegezugfestigkeit das 2-fache der Zugfestigkeit, hier wurde mit dam 1,75-fachan gerechnet. Wenn man die Versuche von Bache und Isen nach dam Modell der Hohlkugel nachrachnen will, ergibt sich die Frage, welchen AuBenradius b man for die Kugel ansetzen muB. Wenn man for b den Abstand zwischen Kugelmitte und Plattenoberfl~chs nimmt und damit den Zusammenhang zwischen b/a und p berechnet, dann warden die theoretischen Warts von p gegenObes ~5 den Versuchsergebnissen erwestungsgem~B zu klein. Man kann sich nun vosN/m¢~ stellen, dab der "wisksame Kugel//// duschmesser", des mit b w bezeichnet wesden soll, in Wisklichkeit gr6Ber / 30 // ist als der an der MinimalOberdeckung gemessene West yon b. Wenn man mit bw=1,3 b rechnet, findet man eine secht gute Obeseinstimmung zwischen Theorie und Vessuch. Ousch bw wisd t5 .} der EinfluB ~er yon Bachs und Isen °/ gew~hlten Geometrie auf die Tragwis**// / * Versuch (12) kung im Vergleich zur Tsegwiskung -- Theorie sit b.minb eines Hohlkugel n~herungsweise er- - Theorie sit b ~ b w .1,3 r ~ . b faBt. In FIG. 4 sind die Vessuchsesgebnisse und im Vergleioh dazu der 2 3 b/a mtheoretische Zusan1~enhang zwisohen b/a und p for die AuBensadien b und "*FIG. 4 bw dargestellt.

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l

/

Z u s a ~ e n h a n g z w i s c h e n b/a und p, Vesgleich zwischen V e r s u c h s a r g e b n i s s a n (12) und T h e o r i e ( H o h l k u g e l ) TABELLE 1

Vergleich zwischen Varsuchsergebnissen (13) und Thaorie (Hohlzylinder) b Versuch p Thaorie p

[

.,..,,

mm N/mm_ 2

I

N/mm Z

34 B,O 7,8

48 11,5 11,5

Dis zu den Versuchen yon Martin theoretisch berechneten Warte for p stimmen gut mit den Versuchsergebnissen Oberein (Tabelle 1). Agyris und Mitarbeiter (14) haben mit finiten Elementen ebenfalls dis Versuche yon Mastin nechgarechnet. Sis linden keine bassets Obsreinstimmung. In FIG. 5 und FIG. 8 sind zu diesem Baispiel noch der Spannungsverlauf und die Beziehung zwischen Innendruck p und radialer Vesschiebung u(a) der inneren Oberfl~che dargestellt.

I

26

Vol. 6, No. l U. Wagner-Grey 3

N/mrri z i I

I

Q.

-

"9

II

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•

/

b/o = 5,33

4

c/e=~33

, :/o.z.5

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-12~ FIG,

~ Ver$ u ch /' (13)

2

I0 "~

3

u/a

__

5

FIG.

Verteilung der Spannungen im Hohlzylinder (b/a=5,33), c / a = 2 , 5 und c / a = 5 , 3 3

6

Zusemmenhang zwischen radieler Ver~ormung u(r-e] und Innend r u c k p (Annahme: E=3"104 N/mm2, v = 0 , 2 )

Insgesamt sieht man anhand der Versuchsergebnisse im Vergleich mit den theoretisch berechneten Warren, dab die grundlegenden Annahmen der Theorie gerechtfertigt sind. In einer Hohlkugsl oder einem Hohlzylinder unter Innendruck kBnnen, wie es for die Theorie vorausgesetzt war, die Spitzen der Zugspannung offenbar abgebaut warden, ohne dab der Baton reiBt und seine TragT~higkeit verliert. Oadurch wird sine wesentlich hBhere Tragf~higkeit erreicht als es nach der Elastizit~tstheorie zu erwarten w~re. Oie Theorie wird in weiteren Arbeiten dutch die Anwendung auf Problems wie etwa die Spreizwirkung yon 00beln und die Wirkung von durch Temperaturdehnung in Baton hervorgerufenen Spannungen n~her OberprOft warden mOssen. Anmerkung Herrn Prof. Dr. R. dab er die Arbeit Or. F. H. Wittmann volle Hinweise und

Springenschmid danke ich sehr herzlich dafOr, ermSglicht und unterstOtzt hat. Herrn Wiss. Rat denke ich ganz besonders for zahlreiche wartAnregungen. Literatur

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TRAGFAHIGKEIT VON BETON UNTER INNEREN PRESSUNGEN NACH DEN MODELLEN DER DICKWANDIGEN HOHLKUGEL UND DES DICKWANDIGEN HOHLZYLINDERS ~

Lehrstuhl

U. Wagner-Grey for Baustoffkunde und Werkstoffpr0fung Technische Universit~t MOnchen 8 M0nchen 2, Arcisstr. 2~

(Communicated by F. H. Wittmann) (Received Sept. 15, 1975) ABSTRACT The problem of the stresses created by an inner, radial pressure in concrete is discussed using the models of a thick-welled hollow sphere end e thick-walled hollow, long cylinder. For both models the expressions for stresses and displacements in the elastic end plastic zone are presented. The given relations are based on the Coulomb law of failure and the assumption of an idealized elastic-plastic material. The introduced simplifications are discussed in comparison with the actual beheviour of concrete. Finally some experimental results, described in the literature, are compared with the theoretical predictions.

Oie Wirkung yon inneren, radial gerichteten Pressungen im Baton wird mit den Modellen der dickwandigen Hohlkugel und des diokwandigen, langen Hohlzylinders untersucht. FOr diese beiden Modelle warden die 01eichungen for dis Spennungen und Verformungen im elastisch-plastischen Zustand angegeben. Es wird die Coulomb'sche Bruchbedingung, sin elastisch-idealplastischer Werkstoff und im plastischen Bereich die Kompressibilit~tsbedingung zugrunde gelagt. Eingengs warden die getroffenen Annahmen begr0ndet. Am Ends warden einige Versuchsergebnisse, die der Literatur entnommen wurden, mit theoretisch berechneten Werten verglichen. Herrn Prof. H. E. Schubert zu seinem 75. Geburtstag gewidmet 15