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Versuch Einer Theorie der Positiven Säule Mit Laufenden Schichten
VERSUCH EINER THEORIE DER POSITIVEN SAULE MIT LAUFENDEN SCHICHTEN von M. J. D R U Y V E S T E Y N Natuurkundig Laboratorium der N.V. PhiUps' Gloeilampenfabrieken Eindhoven-HoUan6 Summary T h e e q u a t i o n s of t h e h o m o g e n e o u s p o s i t i v e c o l u m n i n n o b l e g a s e s a r e e n l a r g e d , so t h a t t h e y c a n b e u s e d f o r t h e p o s i t i v e c o l u m n w i t h i n o v i n g s t r i a t i o n s (eq. 4 - - 7 ) . A n a p p r o x i m a t e s o l u t i o n of t h e s e e q u a t i o n s is g i v e n , w h i c h r e s e m b l e s t h e m o v i n g s t r i a t i o n s . T h e o r d e r of m a g n i t u d e of t h e d i s t a n c e of t h e s t r i a t i o n s a n d of t h e v e l o c i t y i n N e o n is c o r r e c t l y g i v e n b y the calculation.
§ 1. Einleitung Die positive S~ule einer Gasentladung kann in verschiedenen Formen auftreten: 1. Die SAule kann homogen sein. 2. Die S~ule kann viele Schichten aufweisen; die Anzahl scheint unbegrenzt zu sein. Scheinbar ist fiir diese Entladung die Anwesenheit eines Molektilgases notwendig. 3. In Edelgasen treten unter Umstitnden bei der Kathode anfAngend einige Schichten auf; sie werden aber bald unscharf und es sind selten mehr als 5 Schichten zu unterscheiden. 4. In Edelgasen ist die S~ule manchmal scheinbar homogen; es treten aber Schichten auf, die mit einer Geschwindigkeit yon 20 bis 104 Meter pro Sekunde zur Kathode ellen. 5. Die S~ule kann kontrahiert sein. Im Folgenden werden wit uns auf die SAule mit laufenden Schichten beschr~nken. Es gibt eine Anzah/Messungen tiber diese Form der S~ule in Neon und Argon 1), die wichtigsten Messresultate sind: 1) C. S a m s o n, Zs. f. techn. Phys. 6, 281, |925. R. W h i d d i n g t o n , Nature 126, 470, 1930. W. P u p p , Phys. Zs. 33, 844, 1932. W. E l e n b a a s , Ned. Tijds. v. Natuurk. 1, 16, 1934. W.J. Oosterkarnp, Physica 13, 51, 1933. Physiea I
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M.J. DRUYVESTEYN
1. Die Geschwindigkeit der Schichten ist immer v o n d e r Gr6ssenordnung der axialen Geschwindigkeit der positiven Ionen, n~imlich tz+E, wo ~z+ die Beweglichkeit der positiven Ionen und E der Gradient ist, doch sie ist mancl~mal etwas gr6sser (zum Beispiel 3 ×) oder etwas kleiner; sie iindert sich in wenig tibersichtlicher Weise mit dem S~iulenstrom, wie dieses auch mit der Distanz der Schichten der Fall ist. 2. Sondenmessungen haben ergeben, class der Gradient E, die Elektronentemperatur V und die Elektronenkonzentration n nicht konstant shad, sondern sich periodisch in Phase mit den Schichten /indern. 3. Der S/iulenstrom ~tndert sich w/ihcend einer Periode nur um etwa 1%. Schottky und L a n g I n u i r l ) habeneineTheoriederhomogenen positiven Siiule gegeben. Sie nehmen an, dass die Elektronenkonzentration gleich der Konzentration der positiven Ionen ist, und dass die Elektronen eine M a x w e 11 sche-Geschwindigkeitsverteilung besitzen mit einer Elektronentemperatur V, die in der S~iule konstant ist. Man kann das Wichtigste dieser Theorien in 3 Gleichungen zusammenfassen:
nE i = C V,---~ iE =
(1)
n
(2)
nV n~(V) = 3,8F+ R2
(3)
n ist die Anzahl der Elektronen pro cm L~inge der S/iule 2), i ist der S/iulenstrom. Die erste Gleichung besagt, dass der S~iulenstrom ein Elektronenstrom ist; die Beweglichkeit der Elektronen ist durch die Forrnel von L a n g e v i n gegeben, und bier gleich C/a/V gesetzt, 1) W. S c h o t t k y , Phys. ZS. 25,342, 635, 1924. L. T o n k s u.I. Langmuir, Phys. Rev. 34, 876, 1929. T.J. Killian, Phys. Rev. 35, 1238, 1931. R. S e e l i g e r , Phys. ZS. 33, 273,313, 1932. M.J. ]3ruyvesteyn, ZS. f. Phys. 81,571, 1933; Phil. Mag. 17, 1, 1934. 2) Wenn 1on die Konzentration in der S~iulenachse ist, d a n n i s t R n = n,n f 2nr 0
[ 2, 4r
J. ~ R )
dr = 1,36 R2n-m.
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wobei C eine Konstante ist. Die zweite Gleichung gibt die Energiebilanz an; die Leistung iE ist gleich der S u n , h e der Strahlung, der Wandvefluste und der Volumenverluste, die in den Term no~(V) zusammengefasst werden. Die dritte Gleichung gibt an, dass die Anzahl Ionisierungen pro cm der S~ule, n~(V), gleich dem Wandstrom ist. Wenn ~. und ~ als Funktionen yon V bekannt sind, kt~nnen wir fiir einen bestimmten Wert von i aus diesen Gleichungen V, n und E 16sen. In der Praxis gelingt diese Lt~sung jedoch nicht, da wit die Funktionen ~ und ~ nicht geniigend genau kennen. Ausserdem tritt bei h6heren Stromst~rken stufenweise Anregung und Ionisation, d.h. Anregung und Ionisation yon angeregten Atomen auf, welche in den Gleichungen 1--3 vernachl~tssigt ist. Obwohl also diese Gleichungen gewiss nur als eine erste N~_he.rung betrachtet werden k~nnen und in keiner Weise das ganze Problem der homogenen positiven SAule 1/~sen, geben sie dennoch eine erste Stiitze zur Erkl~rung der S~ule. Ich will nun andeuten, wie diese Gleichungen ausgedehnt werden mfissen fiir die SAule mit laufenden Schichten und zeigen in wiefern sie auch in diesem Falle in erster A n n ~ e r u n g uns einen Einblick in den Mechanismus der S~ule mit laufenden Schichten geben k6nnen.
§ 2. Die Gleichungen der Sdule mit lau]enden Schichten In der positiven SAule mit laufenden Schichten sind n, E und V Funktionen von der Distanz des betreffenden Punktes zur Anode (x) und der Zeit(t). Wir nehmen an, dass die Elektronen immer eine M a x w e 11 sche Geschwindigkeitsverteilung 1) besitzen und dass die Elektronentemperatur V konstant ist in einem Querschnitt senkrecht zur S~ulenachse. Die Gleichungen der S~ule sind in diesem Falle: nE dn i = C ~ - f f + h d--x(4) I) Die A n n a h m e einer M a x w e 11 schen-Geschwindigkeitsverteilungder E l e k t r o n e n g ibt sofort die MSglichkeit fiir das Auftreten eines Potentialuntersehiedes zwischen den Schiehten, der kleiner ist als die Anregungsspannung des Gases. Aueh der P ot e nt i a l unt e rschied zwischen einem P o t e n t i a l m i n i m u m und dem darauffolgenden M a x i m u m kSnnte kleiner als die An regungsspannung sein. Die,hier gegebene R e e hnung ist also sehr ~¢ersehieden yon einer frfiher gefiusserten Erkliirung der laufenden Schichten (ZS. f. Phys. 1~4 789, 1930). WiH~rend danlals eine H y p o t h e s e gegeben wi~rde, auf welche Weise die Gesehwindigkeitsverteilung der Elektronen vielleicht entstehen kann, wird dieser P u n k t hier nicht besprochen, sondern eine M a x w e 11 sche Gesehwindigkeitsverteilung angenolnmen.
M.J. D R U Y V E S T E Y N
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iF. = n . ( v ) - - i - ~
+
- - v -d~ +
dn nV di dt - - n ~ ( V ) - - 3 , 8 p.+ ~ + d~
(5) (6)
a (~E)
ai a~ = -- ~+
a--Z--
(7)
Gleichung (4) ist gleich (I), vermehrt mit dem Diffusionsterm, D ist die Diffusionskonstante der Elektronen; dieser Term hat ein positives Vorzeichen, da wir i und E positiv annehrnen. Gleichung (5) i s t die Energiebilanz. Weiter unten werden wir sehen, dass wir die Te~ne zwischen Klarnmern vernachl~sigen dfirfen. Gleichung (6) gibt an, wie sich die Elektronenkonzentration durch Ionisierung, Wandstrom und Aenderung des S~ulenstromes ~udert. Gleichung (7) folgt aus dem Urnstand dass die Konze'ntrationen der Elektronen und der positiven Ionen einander gleich sind *) und der axiale positive Ionenstrom gleich ~+ n E ist. Wir brauchen nicht gesondert die P o i s s o n sche Gleichung hinzuzuffigen, ebensowenig wie dass in der S c h o t t ky schen Theorie der homogenen S~tule notwendig ist. Wenn wir aus (4) und (5) E eliminieren, bekomrnen wir: i2-oi
dn Cn2ce dx -- V'V
Cin dV .v/V dx
(8)
Wir werden nun ffir n und V ansetzen: n = no + n, sin (co x - - v t) V=
Vo + V, sin (co x - -
(9)
v t + q~)
und wollen dann sehen, ob (9) eine L6sung unserer Gleichungen ist. Zur Erleichterung der Rechnung nehmen wir an, dass die Schwankungen klein sind, d.h. nt ~ n o und V I . ~ V0
(io)
t) W e n n w i r d E / d x = I0 V o l t c m - : a n n e h m e n , d a n n i s t n a c h d e r P o i s s o n s c h e n G l e i c h u n g die D i f f e r e n z z w i s c h e n d e r K o n z e n t r a t i o n d e r p o s i t i v e n l o n e n u n d d e r E l e k t r o n e n gleich 5.10 6 c m - 3 ; d a bei 0,1 A . S ~ i u l e n s t r o m die E l e k t r o n e n k o n z e n t r a t i o n m e i s t e n s gr~Ssser i s t als l0 l° c m --~, d a r f m a n w o h l die E l e k t r o n e n k o n z e n t r a t i o n d e r K o n z e n t r a t i o n tier p o s i t i v e n I o n e n g l e i c h s e t z e n .
VERSUCH EINER THEORIE DER POSITIVEN SAULE
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und gehen nur bis zur ersten Ordnung in nl und Vl. (4) und (7) geben uns
i = io-+
~+ D V~-Voo~ C nlcos(cox--vt)
~+ io
2 C- o
VlSin(cox--vt +~)
(I1)
Da die Beweglichkeit der positiven Ionen (~+) klein ist in Bezug auf die Beweglichkeit der Elektronen (C/~/V), ist die Welligkeit in dem Strom viel kleiner als die WeUigkeit in n und V. Auch g e m hieraus hervor, dass die eingeklammerten Terme in (5) zu vernachl~issigen sind. Wenn wir nun (9) u n d (1 l) in unsere Gleichungen (6) und (8) ein: setzen, und wieder ~+ in Bezug auf C/~¢/Vo vernachl~tssigen, dann linden wir:
C n2 ~ 2 C noo~ ,~--Dioconlcos(cox--vt) = ~ + ~ nl sin (cox--vt) + d~ Cn2o Vlsin(o~x--vt+T) + dV .v/-#-o C
Cn2°~ 2Vo/" V~sin(cox--vt+ ,p)-io no o~
- - n l v cos (¢ox-- vt) = ~no + ~nl sin (cox-- vt) + ~-# n o V1 sin (cox--vt +T) - 3,8 ~+ noVo R2
3,8~+ Vo R2 nl sin (ox--vt)
Vt+D V ~ o o 2 C
3,8~+ n o R2 Vl sin (oax--vt +q~)
~+ ioO
~v~I s i n ( f o x - - vt) - - 2 C ~ W - ~ o V I cos (oJx - - ~)t + ~)
(] 3)
Diese Gleichungen sollen fiir jeden Welt yon x und t gelten, d.h. die konstanten Terme sowie die Terme mit sin ( c o x - vt) u n d cos (cox - - vt) kSnnen gesondert einander gleichgesetzt werden. Wir bekommen dann 6 Gleichungen:
C n~ o¢ ~no= 3,8 no ~+ Vo R2
(14) (15)
27,8
Iv[. I. DRUYVESTEYN
2C nonla
C ionoco Vt sin
yi2 VlCOSV
_
/Vo
Vo
C iono co ~ VIc°s~+
--Di°ntco-Dx/VC -oJnl_ v
Woo
8 no V, cos ~ + R2
yVoo it Vt sin
ioco
VlsinT
io co
n, ~ + -- 2- C- ~¢/~-o Vl C°S ~ - - R 2 n° V~ sin ~
(16) (17)
(18)
(19)
wobei
dV
2C Vono d[3 dV
3,8 ~+
C VVo.o
~a+
R 2 -- ,R 2
(l 4) u n d (15) geben an, dass die GrSssen n o, Vo und i o auch L6sungen der Gleichungen Iiir die h o m o g e n e S~iule (l) bis (3) sind, wie m a n es auch e r w a r t e n dfirfte, da das P r o b l e m linear in n~ u n d Vt angenomm e n ist. y u n d 8 h~ingen mit d e m Anstieg der Anregung u n d Ionisier u n g mit der E l e k t r o n e n t e m p e r a t u r z u s a m m e n ; i m m e r ist y > - - 0,5 u n d da die Ionisierung schnell mit der E l e k t r o n e n t e m p e r a t u r ansteigt, darf m a n wohl a n n e h m e n , dass 8 i m m e r p o s i t i v i s t . W e n n wir v o n d e r T o w n s e n d schen Bedingung: D _ D ~v/Vo 2 ~_ C -- 3 V° G e b r a u c h m a c h e n u n d aus (16) bis (19) n l / V 1u n d ~oeliminieren, dann b e k o m m e n wit 2 Gleichungen ffir co und v:
8 4- (y2 4- Y + 1,5) E2o), E~ co4 4- co2[~.--R~ V~I 4- 3 y 8 ~ - ~ = 0. (28 ~--Y
E2'~
v
V2]cotz~_ E - -
2j+(E 3
2
4y8'~ 4821
(19) (20)
~ o 4- 3 R 2 ~ 4- R4 co2
E o ist der k o n s t a n t e T e r m des Gradienten. W e n n Eo/V o sowie y u n d 8 b e k a n n t sind, kSnnen wir aus diesen Gleichungen co und v 15sen. A u c h kSnnte m a n nun die Phase der E l e k t r o n e n t e m p e r a t u r (~) u n d des G r a d i e n t e n bestimmen.
VERSUCH
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E I N E R T H E O R I E D E R P O S I T I V E N SAULE
§ 3. Resultate Da in (l 9) und (20) die GrSssen y, 8 und'EoR/V o von der GrSssenordnung eins sind, finden wir auch fiir o~R ungef/ihr eins, d.h. dass die Distanz der Schichten a ungef~hr gleich 2nR sein soll. Wenn die Werte yon y und 8 so angenommen werden, das co reell ist, dan ist v/o~ immer positiv 1), d.h. die Schichten laufen zur Kathode, und wir linden dass v/oJ von der GrSssenordnung ~t+E ist. Qualitativ ist dieses wohl mit der Erfahrung im Einklang. Wenn wir die Gleichungen (19) und (20) vergleichen wollen mit den Messungen von E 1 e n b a a s 3) bei 2 m m Ne, dann k6nnen wit ffir'einen Weft des Stromes (0,1 A) y und 8/R 2 bestimmen; wenn wir annehmen, dass y und 8 unabh~ngig sind von der Elektronentemperratur, dann k6nnen wir ffir jede Stromst~trke co und v/o~ berechnen. Die Tabelle gibt zuerst die Messrestfltate von E 1 e n b a a s 3). Wir finden y ---- - - 0 , 1 5 und ~/R 2 -----0,43, welche Werte auch ~t priori nicht unwahrscheinlich sind. Mit diesen Werten und den angegebenen Werten yon Eo/V o 4) linden wir O~ber.,wir k6nnen v/co~t+E mittels der berechneten Werte von co berechnen und finden dan v/o~+ Eber. oder mittels der experimentellen oJ-Werte, woraus vl/co t~t+Eb~, folgt, dieser letzten Wert ist in guter fibereinstimmung mit dem ExperiTABELLE i in Amp. 0,01 0,02 0,1 0,2 1 2
O~exp. 0.90 0,81 0,50 0,52 0,64 0,8!
2T~ v a copt+E exp.
0.75 1, ~. 3,7 3,2 2,9 2,4
E0 V0
0,72 0,70 0,50 0,47 0,36 0,34
v
O~ber.
¢Dbt + E ber
0,43 0,45
4,8 4,6
(0,50) 0,52 0,56 0,58
- -Vl ber. ¢.01[./-+ E
(3,7) 3,4 2,9 2,8
2,0 2,1
(3,7) 3,4 2,4 1,8
ment. Man sieht, dass Unterschiede zwischen Messung und Rechnung bestehen, wie man es wohl auch erwarten dfirfte. Da Eo/Vo sich nur wenig mit dem Druck/indert, findet man fur 1 m m Ne ungefiihr die 1) Wenn y n e g a t i v ist, d a n a ist v/to positiv, da das r e c h t e Glied in (20) gr6sser ist als (co ~/2/3 - - 2~/~R2)2; wenn y positiv ist, d a n a ist das r e c h t e Glied in (20) i m m e r positiv, das linke Glied ebenfalls, da co reell ist u n d also 8 > (y~ -b y/2 -b 1,5) Eo~/go ~. 2) W. E l e n b a a s , Ned. Tds. v. Natuurk. l, 16, 1934. 3} Es wurde [z+p = 7,4 . 10g c m pro Sek. (p in m m ) g e n o m m e n . 4) R. S e e l i g e r undR. Hirchert, Ann. d. Phys. ll. 830,1931. A. L o m p e und R. S e e l i g e r , Ann. d. Phys. 15,.300, 1932.
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M. ]. DRUYVESTEYN, THEORIE DER POSITIVEN S~'iULE
gleichen Werte ffir co und v/o~v.+E, was wohl im Einklang mit den Messungen von E 1 e n b a a s ist. Letzterer findet, dass die Werte yon ¢o bei 1 und bei 2 mm Ne einander ungef/ihr gleich sind, w~_hrend v/co bei 1 mm grSsser ist als bei 2 mm, was man auch erwartet, da ~ + dem Drucke umgekehrt proportional ist. Das Wesentliche dieser Betrachtungen scheint mir abet nicht in einem quantitativen Vergleich zu liegen, sondern darin, dass die Gleichungen uns ein Bild geben yon der S/iule mit laufenden Schichten, das in mancher Hinsicht den Messresult/iten dhnlich ist. Auch ohne Formel sind die qualitativen Resultate wohl einigermassen zu verstehen. Da die Konzentration der positiven Ionen derj enigen der Elektronen immer gleich ist, wird auf den Strom eine ambipolare WeUigkeit superponiert (Gleichung 7). Dieser axiale ambipolare Strom ist dem tangentiellen ambipolaren Strom nach S c h o t t k y ~hnlich und da die Konzentration an den W/inden null ist, also 2R gleich eine halbe Period~ ist, wird man erwarten o R = rc/2, w/fllrend die Geschwindigkeit der Schichten v/co der der positiven Ionen ungef~hr gleich sein wird. Eine N/iherung will ich noch besprechen. Die Experimente haben gezeigt, dass die Welligkeit in n und V betr~chtlich sein kann. Wir haben jedoch angenommen, dass dieselbe in n und V klein ist und sind in der Entwicklung nur bis zur ersten Ordnung in nl und Vt gegangen. Die Folge hiervon war, dass wir nicht n, und V1 gesondert, sondern nut nl/Vt bestimmen konnten. Auch war der Gradient in der S/~ule mit laufenden Schichten hierdurch gleich dem tier homogenen S/iule. In Wirklichkeit abet wird der Gradient in den verschiedenen F/fllen ein wenig verschieden sein und auch von n~ abh~ngen. Es wird sich dann diejenige S/iule einstellen, die den niedrigsten Gradienten hat. Unsere Rechnung gibt uns also keine Antwort auf die Frage, wann eine homogene S~ule und wann eine S/iule mit laufenden Schichten auftritt; sie zeigt nur die M6glichkeit fiir das Auftreten von laufenden Schichten und erlaubt eine Sch/itzung der dabei auftretenden Geschwindigkeit und Distanz der Schichten. Die S~ule mit stehenden Schichten, also v = 0, ist keine L6sung unserer Gleichungen; ftir diesen Fall ist wohl ein anderer Prozess entscheidend. Eindhoven, 24. Januar 1934.
§ 1. Einleitung Die positive S~ule einer Gasentladung kann in verschiedenen Formen auftreten: 1. Die SAule kann homogen sein. 2. Die S~ule kann viele Schichten aufweisen; die Anzahl scheint unbegrenzt zu sein. Scheinbar ist fiir diese Entladung die Anwesenheit eines Molektilgases notwendig. 3. In Edelgasen treten unter Umstitnden bei der Kathode anfAngend einige Schichten auf; sie werden aber bald unscharf und es sind selten mehr als 5 Schichten zu unterscheiden. 4. In Edelgasen ist die S~ule manchmal scheinbar homogen; es treten aber Schichten auf, die mit einer Geschwindigkeit yon 20 bis 104 Meter pro Sekunde zur Kathode ellen. 5. Die S~ule kann kontrahiert sein. Im Folgenden werden wit uns auf die SAule mit laufenden Schichten beschr~nken. Es gibt eine Anzah/Messungen tiber diese Form der S~ule in Neon und Argon 1), die wichtigsten Messresultate sind: 1) C. S a m s o n, Zs. f. techn. Phys. 6, 281, |925. R. W h i d d i n g t o n , Nature 126, 470, 1930. W. P u p p , Phys. Zs. 33, 844, 1932. W. E l e n b a a s , Ned. Tijds. v. Natuurk. 1, 16, 1934. W.J. Oosterkarnp, Physica 13, 51, 1933. Physiea I
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1. Die Geschwindigkeit der Schichten ist immer v o n d e r Gr6ssenordnung der axialen Geschwindigkeit der positiven Ionen, n~imlich tz+E, wo ~z+ die Beweglichkeit der positiven Ionen und E der Gradient ist, doch sie ist mancl~mal etwas gr6sser (zum Beispiel 3 ×) oder etwas kleiner; sie iindert sich in wenig tibersichtlicher Weise mit dem S~iulenstrom, wie dieses auch mit der Distanz der Schichten der Fall ist. 2. Sondenmessungen haben ergeben, class der Gradient E, die Elektronentemperatur V und die Elektronenkonzentration n nicht konstant shad, sondern sich periodisch in Phase mit den Schichten /indern. 3. Der S/iulenstrom ~tndert sich w/ihcend einer Periode nur um etwa 1%. Schottky und L a n g I n u i r l ) habeneineTheoriederhomogenen positiven Siiule gegeben. Sie nehmen an, dass die Elektronenkonzentration gleich der Konzentration der positiven Ionen ist, und dass die Elektronen eine M a x w e 11 sche-Geschwindigkeitsverteilung besitzen mit einer Elektronentemperatur V, die in der S~iule konstant ist. Man kann das Wichtigste dieser Theorien in 3 Gleichungen zusammenfassen:
nE i = C V,---~ iE =
(1)
n
(2)
nV n~(V) = 3,8F+ R2
(3)
n ist die Anzahl der Elektronen pro cm L~inge der S/iule 2), i ist der S/iulenstrom. Die erste Gleichung besagt, dass der S~iulenstrom ein Elektronenstrom ist; die Beweglichkeit der Elektronen ist durch die Forrnel von L a n g e v i n gegeben, und bier gleich C/a/V gesetzt, 1) W. S c h o t t k y , Phys. ZS. 25,342, 635, 1924. L. T o n k s u.I. Langmuir, Phys. Rev. 34, 876, 1929. T.J. Killian, Phys. Rev. 35, 1238, 1931. R. S e e l i g e r , Phys. ZS. 33, 273,313, 1932. M.J. ]3ruyvesteyn, ZS. f. Phys. 81,571, 1933; Phil. Mag. 17, 1, 1934. 2) Wenn 1on die Konzentration in der S~iulenachse ist, d a n n i s t R n = n,n f 2nr 0
[ 2, 4r
J. ~ R )
dr = 1,36 R2n-m.
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wobei C eine Konstante ist. Die zweite Gleichung gibt die Energiebilanz an; die Leistung iE ist gleich der S u n , h e der Strahlung, der Wandvefluste und der Volumenverluste, die in den Term no~(V) zusammengefasst werden. Die dritte Gleichung gibt an, dass die Anzahl Ionisierungen pro cm der S~ule, n~(V), gleich dem Wandstrom ist. Wenn ~. und ~ als Funktionen yon V bekannt sind, kt~nnen wir fiir einen bestimmten Wert von i aus diesen Gleichungen V, n und E 16sen. In der Praxis gelingt diese Lt~sung jedoch nicht, da wit die Funktionen ~ und ~ nicht geniigend genau kennen. Ausserdem tritt bei h6heren Stromst~rken stufenweise Anregung und Ionisation, d.h. Anregung und Ionisation yon angeregten Atomen auf, welche in den Gleichungen 1--3 vernachl~tssigt ist. Obwohl also diese Gleichungen gewiss nur als eine erste N~_he.rung betrachtet werden k~nnen und in keiner Weise das ganze Problem der homogenen positiven SAule 1/~sen, geben sie dennoch eine erste Stiitze zur Erkl~rung der S~ule. Ich will nun andeuten, wie diese Gleichungen ausgedehnt werden mfissen fiir die SAule mit laufenden Schichten und zeigen in wiefern sie auch in diesem Falle in erster A n n ~ e r u n g uns einen Einblick in den Mechanismus der S~ule mit laufenden Schichten geben k6nnen.
§ 2. Die Gleichungen der Sdule mit lau]enden Schichten In der positiven SAule mit laufenden Schichten sind n, E und V Funktionen von der Distanz des betreffenden Punktes zur Anode (x) und der Zeit(t). Wir nehmen an, dass die Elektronen immer eine M a x w e 11 sche Geschwindigkeitsverteilung 1) besitzen und dass die Elektronentemperatur V konstant ist in einem Querschnitt senkrecht zur S~ulenachse. Die Gleichungen der S~ule sind in diesem Falle: nE dn i = C ~ - f f + h d--x(4) I) Die A n n a h m e einer M a x w e 11 schen-Geschwindigkeitsverteilungder E l e k t r o n e n g ibt sofort die MSglichkeit fiir das Auftreten eines Potentialuntersehiedes zwischen den Schiehten, der kleiner ist als die Anregungsspannung des Gases. Aueh der P ot e nt i a l unt e rschied zwischen einem P o t e n t i a l m i n i m u m und dem darauffolgenden M a x i m u m kSnnte kleiner als die An regungsspannung sein. Die,hier gegebene R e e hnung ist also sehr ~¢ersehieden yon einer frfiher gefiusserten Erkliirung der laufenden Schichten (ZS. f. Phys. 1~4 789, 1930). WiH~rend danlals eine H y p o t h e s e gegeben wi~rde, auf welche Weise die Gesehwindigkeitsverteilung der Elektronen vielleicht entstehen kann, wird dieser P u n k t hier nicht besprochen, sondern eine M a x w e 11 sche Gesehwindigkeitsverteilung angenolnmen.
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iF. = n . ( v ) - - i - ~
+
- - v -d~ +
dn nV di dt - - n ~ ( V ) - - 3 , 8 p.+ ~ + d~
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a (~E)
ai a~ = -- ~+
a--Z--
(7)
Gleichung (4) ist gleich (I), vermehrt mit dem Diffusionsterm, D ist die Diffusionskonstante der Elektronen; dieser Term hat ein positives Vorzeichen, da wir i und E positiv annehrnen. Gleichung (5) i s t die Energiebilanz. Weiter unten werden wir sehen, dass wir die Te~ne zwischen Klarnmern vernachl~sigen dfirfen. Gleichung (6) gibt an, wie sich die Elektronenkonzentration durch Ionisierung, Wandstrom und Aenderung des S~ulenstromes ~udert. Gleichung (7) folgt aus dem Urnstand dass die Konze'ntrationen der Elektronen und der positiven Ionen einander gleich sind *) und der axiale positive Ionenstrom gleich ~+ n E ist. Wir brauchen nicht gesondert die P o i s s o n sche Gleichung hinzuzuffigen, ebensowenig wie dass in der S c h o t t ky schen Theorie der homogenen S~tule notwendig ist. Wenn wir aus (4) und (5) E eliminieren, bekomrnen wir: i2-oi
dn Cn2ce dx -- V'V
Cin dV .v/V dx
(8)
Wir werden nun ffir n und V ansetzen: n = no + n, sin (co x - - v t) V=
Vo + V, sin (co x - -
(9)
v t + q~)
und wollen dann sehen, ob (9) eine L6sung unserer Gleichungen ist. Zur Erleichterung der Rechnung nehmen wir an, dass die Schwankungen klein sind, d.h. nt ~ n o und V I . ~ V0
(io)
t) W e n n w i r d E / d x = I0 V o l t c m - : a n n e h m e n , d a n n i s t n a c h d e r P o i s s o n s c h e n G l e i c h u n g die D i f f e r e n z z w i s c h e n d e r K o n z e n t r a t i o n d e r p o s i t i v e n l o n e n u n d d e r E l e k t r o n e n gleich 5.10 6 c m - 3 ; d a bei 0,1 A . S ~ i u l e n s t r o m die E l e k t r o n e n k o n z e n t r a t i o n m e i s t e n s gr~Ssser i s t als l0 l° c m --~, d a r f m a n w o h l die E l e k t r o n e n k o n z e n t r a t i o n d e r K o n z e n t r a t i o n tier p o s i t i v e n I o n e n g l e i c h s e t z e n .
VERSUCH EINER THEORIE DER POSITIVEN SAULE
277
und gehen nur bis zur ersten Ordnung in nl und Vl. (4) und (7) geben uns
i = io-+
~+ D V~-Voo~ C nlcos(cox--vt)
~+ io
2 C- o
VlSin(cox--vt +~)
(I1)
Da die Beweglichkeit der positiven Ionen (~+) klein ist in Bezug auf die Beweglichkeit der Elektronen (C/~/V), ist die Welligkeit in dem Strom viel kleiner als die WeUigkeit in n und V. Auch g e m hieraus hervor, dass die eingeklammerten Terme in (5) zu vernachl~issigen sind. Wenn wir nun (9) u n d (1 l) in unsere Gleichungen (6) und (8) ein: setzen, und wieder ~+ in Bezug auf C/~¢/Vo vernachl~tssigen, dann linden wir:
C n2 ~ 2 C noo~ ,~--Dioconlcos(cox--vt) = ~ + ~ nl sin (cox--vt) + d~ Cn2o Vlsin(o~x--vt+T) + dV .v/-#-o C
Cn2°~ 2Vo/" V~sin(cox--vt+ ,p)-io no o~
- - n l v cos (¢ox-- vt) = ~no + ~nl sin (cox-- vt) + ~-# n o V1 sin (cox--vt +T) - 3,8 ~+ noVo R2
3,8~+ Vo R2 nl sin (ox--vt)
Vt+D V ~ o o 2 C
3,8~+ n o R2 Vl sin (oax--vt +q~)
~+ ioO
~v~I s i n ( f o x - - vt) - - 2 C ~ W - ~ o V I cos (oJx - - ~)t + ~)
(] 3)
Diese Gleichungen sollen fiir jeden Welt yon x und t gelten, d.h. die konstanten Terme sowie die Terme mit sin ( c o x - vt) u n d cos (cox - - vt) kSnnen gesondert einander gleichgesetzt werden. Wir bekommen dann 6 Gleichungen:
C n~ o¢ ~no= 3,8 no ~+ Vo R2
(14) (15)
27,8
Iv[. I. DRUYVESTEYN
2C nonla
C ionoco Vt sin
yi2 VlCOSV
_
/Vo
Vo
C iono co ~ VIc°s~+
--Di°ntco-Dx/VC -oJnl_ v
Woo
8 no V, cos ~ + R2
yVoo it Vt sin
ioco
VlsinT
io co
n, ~ + -- 2- C- ~¢/~-o Vl C°S ~ - - R 2 n° V~ sin ~
(16) (17)
(18)
(19)
wobei
dV
2C Vono d[3 dV
3,8 ~+
C VVo.o
~a+
R 2 -- ,R 2
(l 4) u n d (15) geben an, dass die GrSssen n o, Vo und i o auch L6sungen der Gleichungen Iiir die h o m o g e n e S~iule (l) bis (3) sind, wie m a n es auch e r w a r t e n dfirfte, da das P r o b l e m linear in n~ u n d Vt angenomm e n ist. y u n d 8 h~ingen mit d e m Anstieg der Anregung u n d Ionisier u n g mit der E l e k t r o n e n t e m p e r a t u r z u s a m m e n ; i m m e r ist y > - - 0,5 u n d da die Ionisierung schnell mit der E l e k t r o n e n t e m p e r a t u r ansteigt, darf m a n wohl a n n e h m e n , dass 8 i m m e r p o s i t i v i s t . W e n n wir v o n d e r T o w n s e n d schen Bedingung: D _ D ~v/Vo 2 ~_ C -- 3 V° G e b r a u c h m a c h e n u n d aus (16) bis (19) n l / V 1u n d ~oeliminieren, dann b e k o m m e n wit 2 Gleichungen ffir co und v:
8 4- (y2 4- Y + 1,5) E2o), E~ co4 4- co2[~.--R~ V~I 4- 3 y 8 ~ - ~ = 0. (28 ~--Y
E2'~
v
V2]cotz~_ E - -
2j+(E 3
2
4y8'~ 4821
(19) (20)
~ o 4- 3 R 2 ~ 4- R4 co2
E o ist der k o n s t a n t e T e r m des Gradienten. W e n n Eo/V o sowie y u n d 8 b e k a n n t sind, kSnnen wir aus diesen Gleichungen co und v 15sen. A u c h kSnnte m a n nun die Phase der E l e k t r o n e n t e m p e r a t u r (~) u n d des G r a d i e n t e n bestimmen.
VERSUCH
279
E I N E R T H E O R I E D E R P O S I T I V E N SAULE
§ 3. Resultate Da in (l 9) und (20) die GrSssen y, 8 und'EoR/V o von der GrSssenordnung eins sind, finden wir auch fiir o~R ungef/ihr eins, d.h. dass die Distanz der Schichten a ungef~hr gleich 2nR sein soll. Wenn die Werte yon y und 8 so angenommen werden, das co reell ist, dan ist v/o~ immer positiv 1), d.h. die Schichten laufen zur Kathode, und wir linden dass v/oJ von der GrSssenordnung ~t+E ist. Qualitativ ist dieses wohl mit der Erfahrung im Einklang. Wenn wir die Gleichungen (19) und (20) vergleichen wollen mit den Messungen von E 1 e n b a a s 3) bei 2 m m Ne, dann k6nnen wit ffir'einen Weft des Stromes (0,1 A) y und 8/R 2 bestimmen; wenn wir annehmen, dass y und 8 unabh~ngig sind von der Elektronentemperratur, dann k6nnen wir ffir jede Stromst~trke co und v/o~ berechnen. Die Tabelle gibt zuerst die Messrestfltate von E 1 e n b a a s 3). Wir finden y ---- - - 0 , 1 5 und ~/R 2 -----0,43, welche Werte auch ~t priori nicht unwahrscheinlich sind. Mit diesen Werten und den angegebenen Werten yon Eo/V o 4) linden wir O~ber.,wir k6nnen v/co~t+E mittels der berechneten Werte von co berechnen und finden dan v/o~+ Eber. oder mittels der experimentellen oJ-Werte, woraus vl/co t~t+Eb~, folgt, dieser letzten Wert ist in guter fibereinstimmung mit dem ExperiTABELLE i in Amp. 0,01 0,02 0,1 0,2 1 2
O~exp. 0.90 0,81 0,50 0,52 0,64 0,8!
2T~ v a copt+E exp.
0.75 1, ~. 3,7 3,2 2,9 2,4
E0 V0
0,72 0,70 0,50 0,47 0,36 0,34
v
O~ber.
¢Dbt + E ber
0,43 0,45
4,8 4,6
(0,50) 0,52 0,56 0,58
- -Vl ber. ¢.01[./-+ E
(3,7) 3,4 2,9 2,8
2,0 2,1
(3,7) 3,4 2,4 1,8
ment. Man sieht, dass Unterschiede zwischen Messung und Rechnung bestehen, wie man es wohl auch erwarten dfirfte. Da Eo/Vo sich nur wenig mit dem Druck/indert, findet man fur 1 m m Ne ungefiihr die 1) Wenn y n e g a t i v ist, d a n a ist v/to positiv, da das r e c h t e Glied in (20) gr6sser ist als (co ~/2/3 - - 2~/~R2)2; wenn y positiv ist, d a n a ist das r e c h t e Glied in (20) i m m e r positiv, das linke Glied ebenfalls, da co reell ist u n d also 8 > (y~ -b y/2 -b 1,5) Eo~/go ~. 2) W. E l e n b a a s , Ned. Tds. v. Natuurk. l, 16, 1934. 3} Es wurde [z+p = 7,4 . 10g c m pro Sek. (p in m m ) g e n o m m e n . 4) R. S e e l i g e r undR. Hirchert, Ann. d. Phys. ll. 830,1931. A. L o m p e und R. S e e l i g e r , Ann. d. Phys. 15,.300, 1932.
280
M. ]. DRUYVESTEYN, THEORIE DER POSITIVEN S~'iULE
gleichen Werte ffir co und v/o~v.+E, was wohl im Einklang mit den Messungen von E 1 e n b a a s ist. Letzterer findet, dass die Werte yon ¢o bei 1 und bei 2 mm Ne einander ungef/ihr gleich sind, w~_hrend v/co bei 1 mm grSsser ist als bei 2 mm, was man auch erwartet, da ~ + dem Drucke umgekehrt proportional ist. Das Wesentliche dieser Betrachtungen scheint mir abet nicht in einem quantitativen Vergleich zu liegen, sondern darin, dass die Gleichungen uns ein Bild geben yon der S/iule mit laufenden Schichten, das in mancher Hinsicht den Messresult/iten dhnlich ist. Auch ohne Formel sind die qualitativen Resultate wohl einigermassen zu verstehen. Da die Konzentration der positiven Ionen derj enigen der Elektronen immer gleich ist, wird auf den Strom eine ambipolare WeUigkeit superponiert (Gleichung 7). Dieser axiale ambipolare Strom ist dem tangentiellen ambipolaren Strom nach S c h o t t k y ~hnlich und da die Konzentration an den W/inden null ist, also 2R gleich eine halbe Period~ ist, wird man erwarten o R = rc/2, w/fllrend die Geschwindigkeit der Schichten v/co der der positiven Ionen ungef~hr gleich sein wird. Eine N/iherung will ich noch besprechen. Die Experimente haben gezeigt, dass die Welligkeit in n und V betr~chtlich sein kann. Wir haben jedoch angenommen, dass dieselbe in n und V klein ist und sind in der Entwicklung nur bis zur ersten Ordnung in nl und Vt gegangen. Die Folge hiervon war, dass wir nicht n, und V1 gesondert, sondern nut nl/Vt bestimmen konnten. Auch war der Gradient in der S/~ule mit laufenden Schichten hierdurch gleich dem tier homogenen S/iule. In Wirklichkeit abet wird der Gradient in den verschiedenen F/fllen ein wenig verschieden sein und auch von n~ abh~ngen. Es wird sich dann diejenige S/iule einstellen, die den niedrigsten Gradienten hat. Unsere Rechnung gibt uns also keine Antwort auf die Frage, wann eine homogene S~ule und wann eine S/iule mit laufenden Schichten auftritt; sie zeigt nur die M6glichkeit fiir das Auftreten von laufenden Schichten und erlaubt eine Sch/itzung der dabei auftretenden Geschwindigkeit und Distanz der Schichten. Die S~ule mit stehenden Schichten, also v = 0, ist keine L6sung unserer Gleichungen; ftir diesen Fall ist wohl ein anderer Prozess entscheidend. Eindhoven, 24. Januar 1934.