Zur dreidimensionalen auswertung von vierteilchenreaktionen

Volume 7, number 1 Mav=

PHYSICS

fM[Pi;(Az)"Pi] d ~ ( A ) / f d ~ ( A )

,

LETTERS

(17)

w h e r e A i s a m a t r i x b e l o n g i n g to t h e c o m p l e x p r o p e r L o r e n t z g r o u p L+(C) and d~(A) t h e m e a s u r e on t h e g r o u p . I n p r a c t i c e , it is s u f f i c i e n t to c o n s i d e r averages over the 4-dimensional rotation group, w h i c h i s a s u b g r o u p of L+(C), s i n c e t h e y a l r e a d y y i e l d i n v a r i a n t f u n c t i o n s of PiPj. E x p l i c i t f o r m u l a e c a n be g i v e n in t h e c a s e w h e r e M h a s a f o u r i e r t r a n s f o r m in z~. It i s not i m p o s s i b l e t h a t the a v e r a g i n g p r o c e s s m a y d e s t r o y t h e u n i t a r i t y of t h e S m a t r i x w h e n pi o ~ L - 1 (although one m i g h t t r y to a v p i d t h a t by u s i n g a s u i t a b l e w e i g h t f u n c t i o n in t h e group integration). This would mean that our conc e p t of a " c l o s e d " t h e o r y ( i . e . , r e s t r i c t e d to i n t e r a c t i o n s b e t w e e n e l e c t r o n s and photons) b r e a k s down a t high e n e r g y .

5. Photon mass renormalization I n an u n q u a n t i s e d e x t e r n a l f i e l d A~ ext, t h e v a c u u m e x p e c t a t i o n v a l u e of J~(x) c a n b e w r i t t e n a s (J~(x)>o = f r ~ v ( x - x ' ) I I ( x ' - x " ) c e x t ( x " ) d 4 x ' d4x '' (18)

fr~(x-y)

where ~ext(x) = Avext(y) d 4 y , and II i s a scalar f u n c t i o n of x ' - x " . (Note t h a t , in m o m e n t u m s p a c e , ~ ( p ) ~ p ( p ) = ~ 0 ( P ) . ) T h e c o n s t a n t 6U2 i s d e t e r m i n e d by t h e c o n d i t i o n : I1 (0) = 0 (H (p) i s t h e F o u r i e r t r a n s f o r m of .rIix)). T h i s c o r r e s p o n d s to t h e r e q u i r e m e n t t h a t t h e p h y s i c a l p h o t o n m a s s be z e r o . To t h e s e c o n d o r d e r in e, it i s found t h a t 61z2 i s a w e l l - d e f i n e d n o n v a n i s h i n g i n t e g r a l p r o p o r t i o n a l to -e2L-2. T h i s t e r m d o e s not d e s t r o y g a u g e i n v a r i a n c e , s i n c e i t s c o n t r i b u t i o n to t h e c u r r e n t i s p r o p o r t i o n a l to t h e g a u g e i n v a r i a n t f i e l d ¢ ~ ( x ) ,

15 October 1963

This work was started when the author was a v i s i t i n g m e m b e r of t h e I n s t i t u t e f o r A d v a n c e d S t u dy. He would l i k e to e x p r e s s h i s g r a t i t u d e to P r o f e s s o r R. O p p e n h e i m e r f o r h i s h o s p i t a l i t y and to t h e N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n f o r a g r a n t . He a l s o w o u l d l i k e to t h a n k P r o f e s s o r R. G. S a c h s f o r h i s h o s p i t a l i t y at t h e U n i v e r s i t y of W i n c o n s i n , and t h e m e m b e r s of t h e S u m m e r I n s t i t u t e , e s p e c i a l l y H. B o t c h e r s , C. M. S o m m e r f e l d and A. S. W i g h t m a n , for s e v e r a l s t i m u l a t i n g d i s c u s s i o n s .

References 1) E.g., G.K~tll~n, Handbuch der Physik (Springer V e r lag, Berlin, 1958) Vol. V / l ; J.Schwinger, Phys. Rev. Letters 3 (1959) 296; K.Johnson, Nuclear Phys. 25 (1961) 431; C. M. Sommerfeld, to be published. 2) S. S. Schweber, An introduction to r e l a t i v i s t i c quantum field theory (Row, Peterson and Co., Evanston, Ill., 1961). 3) G. Feldman and P. T. Matthews, Phys. Rev. 130 (1963) 1633. 4) H. Botchers, to be published. 5) P. Kristensen and C. Mdller, Kgl. Danske Vidensk. Selsk. M a t . - F y s . Medd. 27, no. 7 (1952); M. Chr~tien and R . E . P e i e r l s , Proc. Roy. Soc. A 223 (1954) 468. 6) C.N.Yang and D. Feldman, Phys. Rev. 79 (1950) 972; G.K~tll~n, Arkiv Fysik 2 (1950) 187. 7) W. Pauli, Nuovo Cimento 10 (1953) 648. 8) C.Hayashi, Progr. Theoret. Phys. 11 (1954) 226. 9) C. Bloch, Kgl. Danske Vidensk. Selsk. M a t . - F y s s . Medd. 27, no. 8 (1952). 10) H. Lehmann, K. Symanzik and W. Zimmermann, Nuovo Cimento 1 (1955) 205.

* * * $ $

ZUR

DREIDIMENSIONALEN

AUSWERTUNG

VON

VIERTEILCHENREAKTIONEN

K. H E H L und C. R I E D E L

Zentralinstitut flit Kernphysik Rossendorf bei Dresden Eingegangen am 4. September 1963

Mit der Verbesserung der experimentellen T e e h n i k w~tchst d i e Z a h l d e r A r b e i t e n t i b e r M e h r teilchenreaktionen. Die eindeutige Charakterisierung des Endzustandes bei Mehrteilchenreaktionen e r f o r d e r t i m V e r g l e i c h zu Z w e i t e i l c h e n r e a k t i o n e n eine gr~ssere Anzahl unabh~ngiger Parameter; b e i K e r n r e a k t i o n e n v o m T y p x + x -" Yl +Y2 +Y3 +Y4 sind es acht. Die Reaktion kann im einfaehsten F a l l e so v e r l a u f e n , d a s s a l l e Endzust~tnde g l e i c h wahrscheinlich auftreten (statistischer Zerfall). Es ist jedoch anzunehmen, dass Zwischensysteme 38

wechselwirkender Endteilchen eine Rolle spielen. Man muss deshalb mehrdimensionale Auswertungen vornehmen, um die physikalischen Aussagen d e s E x p e r i m e n t e s m O g l i c h s t g e n a u und vollst~indig zu e r f a s s e n 1). Um d i e N i v e a u s d e r an d e r R e a k t i o n b e t e i l i g t e n Z w i s c h e n k e r n e und i h r e r e l a t i v e n G e w i c h t e zu b e s t i m m e n , w i r d in d e r v o r l i e g e n d e n Arbeit der differentielle Querschnitt tiber den Energien der Teilchen im Endkanal dargesteilt. An S t e l l e d e r I m p u l s e P l , P 2 , P 2 , P 4 i m S c h w e r punktsystem werden Relativimpulse eingeftihrt.

Volume 7,number 1

PHYSICS

LETTERS

15 O c t o b e r 1965

1

ql 2 = ¢2q2

ql = l~m l(m2~m 3+m4) I~

( ml+m2+m3+m4 X

q22 = )`21(q22+q32) = ),21(1 - (1)q 2 ,

m2+m3+m4 (P2+P3+P4) ,

1 Pl

q32 = (1-)`21 ) (1-¢1) q2

(1) q2 =t "m2(m3+m4)f½ 1 ~ , t-~-2 P2-m3+m------~4(P3+P4) 1 ,

(1 = E1 max

1

q3=r~4~

~-3P3-~P4

)`21 =

ml+m2+m3+m 4 Der differentielle Wirlmngsquerschnitt der Reaktion ist d~ = fMI2 df~.

I

~i=1 2-mi

p 2 . E) (2)

x dPl dp2 dP3 dp4

bestimmt. Die Richtungen der Vektoren ql, q2, q3 werden in Polarkoordinaten angegeben = (ql, e1,~1)

,

q2 = ( q 2 , 8 1 , 2 , ~ 1 , 2 )

,

q3 = (q3,82,3,~2,3) ;

~ (ez;ql),

e l , 2 h (ql;q2) ,

zl

m3+m4

*(ey;ezxql)

(5)

des zweiten Teilchens im Schwerpunktsystem (234) bei vorgegebenem ¢1 ist. Ftir das Phasenraumelement ergibt sich

[~21(1.-)`~I)]½ (6)

Dabei sind (½(1-(1) 2 und [)`21(1-)`21)]½ die bekannten Phasenraumverteilungen fur den Vier- bzw. Dreiteilchenzerfall. Verltluft die Reaktion tiber Niveaus des Systems (234), dann werden bei einer eindimensionalen Auswertung tiber (1 v o n d e r statistischen Verteilung abweichende Peaks auftreten. Sie sind besond e r s im vorderen Teil des Spektrums schwer zu identifizier en. Mit der weiteren Transformation y = )`21 - ½ ,

(7)

, z =f

~1,2 ~- (ezXql; q l x q 2 ) ,

- E) q l 2 d q l q 2 2 dq2 q32 dq3

× sin e I dO1 d~ 1 sin 01, 2 de1, 2 d~l, 2 × sin 02, 3 d02, 3 d~2, 3 .

(4)

E2 ( ~

x = [.)`21(1-)`21)] ½ cos e2, 3 ,

02,3 ~- (q2;q3) , 02,3 ~- ( q l x q 2 ; q2Xq3) • Die Einheitsvektoren ex, ey, ez bilden ein r a u m festes System m i t e z als Einschussrichtung der Inzidentzteilchen. Aus (2) folgt dann nach Integration tiber den Gesamtimpuls

d~ = 5 ~(~ .q12 +q22

E

x sin e2,3 de I d)`21 sin 02,3 .

4

ql

m2+m3+m4

dt~o~6(~ - E) q8dq ¢1~ (I-¢1)2

Das Phasenraumelement df~ wird ftir eine feste kinetische Energie E im Endkanal dutch d " : 5(Pl+P2+P3+P4) 5( 5

m2+m3+m4

d e s e r s t e n T e i l c h e n s im Schwerpunktsymtem (1234), w~hrend )`21 die reduzierte Energie

;

p3 = mlm2m3m4

Sl

Die G r ~ s s e ( I ist die reduzierte Energie E:I ml+m2+m3+m4 E 1

(3)

Um zu einer driedimensionalen Darstellung zu kommen, kann man tiber die Lage des Polygonzuges {ql,q2,q3} (Eulersche Winkel ~1, e1,~1,2) und tiber die Richtung des ersten Teilchens (Plcc ql) beztiglich der Ebene {ql,q2}, d.h. tiber 01, 2 und ~2,3, mitteln. Ftir die tlbrigen Variablen werden neue eingeftlhrt.

n~(1-n) 2 d~

o

ist dab Phasenraumelement

unabh~ngig von x, y, z und dem Volumenelement d x d y d z direct proportional. Ein statistischer Z e r fall wtirde im physikalischen Gebiet des Raumes (x, y, z) eine gleichmllssige Verteilung der Ereignisse bedeuten. Die Abgrenzung des physikalischen Gebietes ist durch die Erhaltungss|ltze gegeben. In der Ebene (x,y) lassen sich zu )`21 analoge Gr~ssen )`31 und )`41~bilden. Der Energiesatz in den neuen Variablen ergibt die Beziehung (m3+m4))`21 + (m2+m4))`31 + (m2+m3))`41

= m2+m3+m 4 ,

(9)

w~_hrend der Impulssatz die Einschrftnkung 39

Volume 7. number 1

PHYSICS

(m 2(m 3 +m 4) k 21) 2 + (~t 3 (m 2+m 4) k31) 2

+ (m4(m2+m3)k41) 2 - 2m2m3(m3+m4)(m2+m4)~.21~.31 - 2m2m4(m3+m4)(m2+m3)k21k41 - 2m3m4(m2+m3)(m2+m4)k31k41

< 0

(10)

liefert. D i e G r S s s e n ki 1 s i n d D r e i e c k s k o o r d i n a t e n in d e r E b e n e (x, y) 1). D i e W i n k e l d e s D r e i e c k s s i n d d u r c h d e n E n e r g i e s a t z (9) b e s t i m m t (z.B. tg2½a2 = (m 3+m 4 ) / m 2(m 2+m 3 +m4)) • D e r I m p u l s s a t z (10) s c h r t i n k t d a s p h y s i k a l i s c h e G e b i e t auf d i e F1tlche d e s e i n b e s c h r i e b e n e n K r e i s e s ( e n t s p r i c h t x 2 +y2 ~ 14, s i e h e (7)) m i t d e m R a d i u s ¼ ein. D e r E n e r g i e s a t z b e g r e n z t d i e V a r i a b l e z auf io5t-6( s i e h e F i g . 1).

Y

Qa

Fig. 1. Jedes Ereignis wird durch einen Punkt im P r i s m a mit dem Dreieek {a2o3a4) als Grundflttche und der H~She ~ - d a r g e s t e l l t . Das physikalische Gebiet ist der einbeschriebene Zylinder. Wenn keine reine statistische Verteilung vorl i e g t , und N i v e a u s d e s S y s t e m s (234) e i n e R o l l e spielen, sei es durch Compoundkernbildung oder R e s o n a n z w e c h s e l w i r k u n g i m E n d k a n a l , so t r e t e n in den e n t s p r e c h e n d e n Ht~hen z Httufungen d e r E r e i g n i s s e in d e n F l t t c h e n p a r a l l e l z u r GundfHiche

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LETTERS

15 October 1963

auf. D i e s e N i v e a u s k a n n m a n d u r c h S c h n i t t e s e n k r e c h t z u r (x, y ) - E b e n e b s p w . p a r a l l e l zu e i n e r Dreiecksseite durch die Zylinderachse bestimmen. Dartiber hinaus kann man den weiteren Zerfall des N i v e a u s e r k e n n e n , w e n n m a n d i e Htiufungen in d e r E b e n e u n t e r s u c h t . H~tufungslinien p a r a l l e l z u r D r e i e c k s s e i t e a 2 e n t s p r e c h e n d a b e i N i v e a u s von (34). A n a l o g e U n t e r s u c h u n g e n k a n n m a n ftir d i e S y s t e m e (123), (124) und (134) a n s t e l l e n . D a n e b e n k a n n m a n in d i e s e m B i l d Z w e i t e i l c h e n niveaus auffinden, die durch Zerfall des Systems in (12) und (34) o d e r in (1), (2) und (34) e n t s t e h e n . Dabei tritt bei bestimmten Relativenergien, die den N i v e a u s yon (34) e n t s p r e c h e n , e i n e Httufung d e r E r e i g n i s s e auf. D u r c h e i n e n Schnitt p a r a l l e l z u r D r e i e c k s s e i t e a 3 o d e r a 4 und z u r Z y l i n d e r a c h s e kann man Kurven erkennen, aus denen man die A m - e g u n g s e n e r g i e b e s t i m m e n kann. Auf d i e s e W e i s e s o l l t e n a l l e a u f t r e t e n d e n N i v e a u s b e s t i m m t w e r d e n kSnnen. I h r r e l a t i v e s G e w i c h t e r h t i l t m a n d u r c h d i r e k t e s A u s z t t h l e n und Abziehen des Phasenraumuntergrundes. Es ist k l a r , d a s s m i t e i n e r d e r a r t i g e n A n a l y s e d i e in d e n experimentellen Ergebnissen enthaltenen Informat i o n e n tiber d e n R e a k t i o n s m e c h a n i s m u s noch n i c h t v o l l s t ~ n d i g a u s g e w e r t e t sind. E i n e z u s t i t z l i c h e A u s w e r t u n g d e r W i n k e l v e r t e i l u n g e n (neue T r a n s formationen im Phasenraumelement, eventuell mehrdimensionale Auswertung nach mehreren Winkeln) mtisste weitere Aussagen liefern. Trtigt m a n b e i s p i e l s w e i s e ftir e i n b e s t i m m t e n N i v e a u (234), d a s e i n e r f e s t e n E n e r g i e e I e n t s p r i c h t , d i e V e r t e i l u n g d e s e r s t e n T e i l c h e n s tiber d e m W i n k e l e l auf, so k a n n m a n u n t e r U m s t t t n d e n e n t s c h e i d e n , ob d a s N i v e a u d u r c h e i n e n d i r e k t e n P r o z e s s o d e r t i b e r e i n C o m p o u n d s y s t e m (1234) g e b i l d e n w o r d e n ist. Wir danken dem Kollektiv der Arbeitsgruppe K e r n r e a k t i o n e n d e s B e r e i c h e s T h e o r i e und b e s o n d e r s H e r r n D r . Kh. M t i l l e r f u r w e r t v o l l e D i s k u s sionen. 1) D.Dehnhard, D.Kamke und P. K r a m e r , Physics Letters 3 {1962) 52.