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Herleitung der ODENschen Gleichung zur Auswertung der Meßwerte von Sedimentationswaagen
Short Communications
Herleitung der ODENschen Gieichung mr Austterttmg der MeSwerte van Sedimentationswaagen
Die Gleichung zur Auswertung der MeBwerte von Scdimentationswaagenwurde 1916 von Oden’ und sp?iter von weiteren Autoren2s3 hergeleitet,jedoch auf eine Weise, die unnotig kompliziert ist Wenn die Teilchen einer anfangs gleichmiiBigdurchmischten Suspension auf den Teller der Sedimentationswaage sedimentieren, so finden sich dort zur Zeit t nach Versuchsbeginn zwei Anteile. Erstens sind alle Teiichen vom groI3ten Durchmesser bis herab zu einem Durchmesser d aussedimentiert, der sich durch Gleichsetzen von Schwerkraft,Auftrieb und Widerstand nach Stokes ergibt: (I)
Wenn wir die Massenverteilungsdichte mit q und mit x den variablen Teilchendurchmesser bezeichnen, ist dieser erste Anteil
c=kx)~ d
Von den feinercn Teilchcn ist ein Anteil aussedimentiert, der der von ihnen zurtickgelegtenStrecke t;rim Verh2ltnis zur gesamten Sedimentationshohe h proportional ist Dieser Anteil ist -d vt
I
h
-
O3 q(xW
+
(2)
Zur Umformung des ersten integrals benutzen wir die Beziehung dq(x)dx + ;q(x)dx -0r I
= 1
(3)
TecFuwlogy - Elsevidr
sequoia sA_,
Dies ist eine Volterrasche lntegralgleichung erster Art4 fur die gesuchte Fur&ion q(d)_ Der in eckigen Khnnmem stehende Ausdruck wird als Kern der ?nte,oralgIeichung bezeichnet. Wenn dieser Kern eirrPolynom in d ist, Iii& sich diese Inte_&gleichung stets durch Differenzieren nach d Ii%en. Wir formen daher urn (d ist in Bezug auf die Integration iiber dx eine Konstante): d [x2-d’]-q(x)dx
-
c -0
g-m(d)+d’=O
und differenzierennach d -
gm(d)
-
$
z
+ 2d=0(6)
Nach Division der Gleichung durch -2 bleibt ein Integral fiber q(x)dx ubrig, das nach Detinition die Massenverteilungssumme (Durchgang) Q(d) darstellt Damit wird aus GL (6)
44 Q(d)+~t---
LausaIlu e-printed
d h(d)
3M
dd
I=-)
r
(71
oder aufgelgst nach der gesuchten GroBe M(l-Q(d))=m(d)
die besagt, daB sich Durchgang und Rilckstand bei ein- und derselben TeilchengroBe d stets zu 1 er_ g5nnx~ Im zweiten Integral ersetzen wir den Bruch gem%3 GL (1) Pow&r
Die Masse m ist eine Funktion der Zeit t oder-iiber GL (I)-such des Teilchendurchmessers d, so daB wir schlieBlichschreiben kiirmen:
.O
Die gcsamte zur Zcit t auf dcm Waageteller befindlithe Masse m bezogen auf die Einwaage ACist also c -d
x2
und erhalten somit aus GI. (2)
I‘d(-2d)q(x)dx
q(xW
-0
m -= M
Z(X)& h=p
+ +-T -
_
(8)
Hiermit sind wk fast schon am ZieL Da wir die Masse m als Funktion der Zeit t gemessen haben, formen wir unter Verwendung von GL (1) urn
iu The Netherlands
364
SHORT CO~¶WUNlCAIlONS
dd dt=
-__tk -.+2 Damit erhalten wir
M(l--B(d))=m(t)+~t-i-_(~~~~~*dt
_,dW_=--t dd
oder d+)
kz(l- Q(d)) = m(r) - f 7
Dies ist die Gleichung, die iiblichenveise zur Auswertung herangezogen wird. Auf der linken Seite steht der Riickstaud 1 -Q(d) multipliziert mit der Einwaage. Fiir die gratische Auswertung, wie sie zum Beispiel in Hinweis 5,6 vorgeschlagen wird, hat sich folgende Form bewzhrt M(l-Q(d))=m(t)
3
-
(10)
2 k
3
--d2m dt2
Der Differentialquotient auf der linken Seite der Gleichung ist definitionsgen-6B gleich der Massenverteihmgsdichte q(d), so da13sich schlieBlich ergibt e(a)=-&-‘t-~
d2m
Diese Gleichung fimdet sich beispielsweise in Hinweis i, 2. W. Alex Institut fir Mechrmische Verfahrenstechnik, Unit-ersitcit Karisruhe (BR Deutschland)
oder IV;1 -Q(d))
dJ+)
= m(r) -0,43
(11)
d(log,,t)
Wenn man auf die Majsenverteilungsdichte q(d) Wert legt, wird eine zweimalige grafiiche oder numerische Differentiation erforderlich, die sich auf die Genauigkeit un,@instig auswirkt- Wir differenzieren Gl. (9) nach der Zeit t _,dO(d) dt
_ b dm --_-tdt dt
d2m dt=
1 S. ODEX. Eine neue Methode NT Bestimmung der Kiimerxerteilung in Suspensionen, Kolloid-Z., 18 (2) (1916) 3347. 2 H. E. ROSE, Calculation of particle-size distribution from sedimentation observations_ Narzve. 179(1957) 774-775. 3 1%‘. F%OSTOCX,A sedimentation balance for particle-size analysis in thesub-sieve range.J_ Sci. Instr_.29 (1952) 209-211. 4 I. N. B~osrrrrs USD K. A. SEXEX~JJAIEW.Z-&zIzenb;lch der dfuarhemnrik, Veriag H. Deutsch. Frankfurt, 1961, p. 528. 5-A. M. GAUDIS. R. SCHIJHWA~X usr~ A. W. Smm. Flotation kinetics II, J_ PI&_ C&-m.. 46 (1942) 902-910. 6 K. LWOSSKI, Vergleichende Untersuchun_~ der Sedimentationsanalyse, Sraub, 22 (I 1) (1962) 475186.
Eingegangen den 18. Februar 1969
Unter Beriicksichtigung von Gl. (1) gilt
Po&er Techml.,
laser
2 (1968/69)
and nuclear counter*
The output sensitivity of a visible He-Ne gas laser to disturbances in its optical cavity can be utilized as a means of individual particle counting and s~g’_‘_3_ This output sensitivity is approximately i05 times as great as would be due to normal photoextinction cross;sectional area subtraction. Since particles passing through the laser cavity beam, as in Fig. 1, attenuate cavity oscillations, such particles giye rise to puises in the laser output. Depending on cavity gain, cavity geometry, and beam test point, particles with diameters lvger than a certain s-e * Paper presented at the International Symposium Technology, Chicago, May 20-23,1968. Ponder
TPrhnolog_v
-
JElsevier
Sequoia
SA_
Lausann
on Powder Fig
e -
1. Automatic
Printed in The Netherlands
high-speed particle sizing harda-
363-364
Herleitung der ODENschen Gieichung mr Austterttmg der MeSwerte van Sedimentationswaagen
Die Gleichung zur Auswertung der MeBwerte von Scdimentationswaagenwurde 1916 von Oden’ und sp?iter von weiteren Autoren2s3 hergeleitet,jedoch auf eine Weise, die unnotig kompliziert ist Wenn die Teilchen einer anfangs gleichmiiBigdurchmischten Suspension auf den Teller der Sedimentationswaage sedimentieren, so finden sich dort zur Zeit t nach Versuchsbeginn zwei Anteile. Erstens sind alle Teiichen vom groI3ten Durchmesser bis herab zu einem Durchmesser d aussedimentiert, der sich durch Gleichsetzen von Schwerkraft,Auftrieb und Widerstand nach Stokes ergibt: (I)
Wenn wir die Massenverteilungsdichte mit q und mit x den variablen Teilchendurchmesser bezeichnen, ist dieser erste Anteil
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Zur Umformung des ersten integrals benutzen wir die Beziehung dq(x)dx + ;q(x)dx -0r I
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Dies ist eine Volterrasche lntegralgleichung erster Art4 fur die gesuchte Fur&ion q(d)_ Der in eckigen Khnnmem stehende Ausdruck wird als Kern der ?nte,oralgIeichung bezeichnet. Wenn dieser Kern eirrPolynom in d ist, Iii& sich diese Inte_&gleichung stets durch Differenzieren nach d Ii%en. Wir formen daher urn (d ist in Bezug auf die Integration iiber dx eine Konstante): d [x2-d’]-q(x)dx
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Dies ist die Gleichung, die iiblichenveise zur Auswertung herangezogen wird. Auf der linken Seite steht der Riickstaud 1 -Q(d) multipliziert mit der Einwaage. Fiir die gratische Auswertung, wie sie zum Beispiel in Hinweis 5,6 vorgeschlagen wird, hat sich folgende Form bewzhrt M(l-Q(d))=m(t)
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Der Differentialquotient auf der linken Seite der Gleichung ist definitionsgen-6B gleich der Massenverteihmgsdichte q(d), so da13sich schlieBlich ergibt e(a)=-&-‘t-~
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Diese Gleichung fimdet sich beispielsweise in Hinweis i, 2. W. Alex Institut fir Mechrmische Verfahrenstechnik, Unit-ersitcit Karisruhe (BR Deutschland)
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Wenn man auf die Majsenverteilungsdichte q(d) Wert legt, wird eine zweimalige grafiiche oder numerische Differentiation erforderlich, die sich auf die Genauigkeit un,@instig auswirkt- Wir differenzieren Gl. (9) nach der Zeit t _,dO(d) dt
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1 S. ODEX. Eine neue Methode NT Bestimmung der Kiimerxerteilung in Suspensionen, Kolloid-Z., 18 (2) (1916) 3347. 2 H. E. ROSE, Calculation of particle-size distribution from sedimentation observations_ Narzve. 179(1957) 774-775. 3 1%‘. F%OSTOCX,A sedimentation balance for particle-size analysis in thesub-sieve range.J_ Sci. Instr_.29 (1952) 209-211. 4 I. N. B~osrrrrs USD K. A. SEXEX~JJAIEW.Z-&zIzenb;lch der dfuarhemnrik, Veriag H. Deutsch. Frankfurt, 1961, p. 528. 5-A. M. GAUDIS. R. SCHIJHWA~X usr~ A. W. Smm. Flotation kinetics II, J_ PI&_ C&-m.. 46 (1942) 902-910. 6 K. LWOSSKI, Vergleichende Untersuchun_~ der Sedimentationsanalyse, Sraub, 22 (I 1) (1962) 475186.
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The output sensitivity of a visible He-Ne gas laser to disturbances in its optical cavity can be utilized as a means of individual particle counting and s~g’_‘_3_ This output sensitivity is approximately i05 times as great as would be due to normal photoextinction cross;sectional area subtraction. Since particles passing through the laser cavity beam, as in Fig. 1, attenuate cavity oscillations, such particles giye rise to puises in the laser output. Depending on cavity gain, cavity geometry, and beam test point, particles with diameters lvger than a certain s-e * Paper presented at the International Symposium Technology, Chicago, May 20-23,1968. Ponder
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