Zur numerischen untersuchung der formgenauigkeit in der metallumformung

MECHANICS RESEARCH COMMUNICATIONS Vo1.11(2),129-136, 1984. Printed in the USA, Copyright (c) 1984 Pergamon Press Ltd. 0093-6413184 $3.00 + .OO

ZUR NUMERISCHEN UNTERSUCHUNG DER FORMGENAUIGKEIT IN DER METALLUMFORMUNG*

*** *+ ** und 0. Mahrenholtz , N.L. Dung C. Westerling *c+ Institut fiirMechanik, Universitgt Hannover, Bundesrepublik Deutschland +** Technische Universitgt Hamburg-Harburg, Bundesrepublik Deutschland (Receiwed 0.

3 Nowmbe~

1983;

accep;ted

dotr ptint

15 Uece.mbuz 1983)

Einfiihrung

Die Finite-Element-Methode (FEM) in der Plastizitlitstheorie wurde in den letzten Jahren im Hinblick auf die Berechnung technischer Umformprozesse sehr stark vorangetrieben. Mit der FEM 1113t sich neben der Ermittlung der Spannungen und der Umformkraft die Formgenauigkeit des Werkstiickes besser untersuchen. Die Einflugfaktoren auf die Genauigkeit bei der Massivumformung von Formteilen sind: die Herstellung des Rohteils, das Umformverfahren, die Tribologie, das Werkzeug und die Umformmaschine. In der vorliegenden Arbeit werden diese Einflugfaktoren Umfonntemperatur, Reibung und Werkstoff in einer gekoppelten Analyse erfaBt. Ein Finite-Element-Konzept dazu wird hier vorgestellt. 1.

Finite-Element-Konzept

Die Finite-Element-Methode wird auf der Grundlage einer Starr-plastischen Betrachtungsweise entwickelt. Die Methode basiert auf dem Markovschen Variationsprinzip, wobei die Imkompressibilit8tsbedingung mit Hilfe eines Lagrangeschen Multiplikators

om

implizit erfiillt wird. Beriicksichtigt man die Reibleistung

als eine innere Dissipationsleistung, so ergibt sich ein gquivalentes Variationsprinzip l-IL = j Y: dV - / o;vi dS + 1 amEii dV + \ rjvtIdS=>STAT. V V S SF Die Entwicklung dieser Methode wurde ausfiihrlich in friiherenArbeiten [1,2] dargestellt.

W;ihrend der Umformung wird eine TemperaturerhShung innerhalb der Werkstiickes infolge der Reibleistung und der inneren Umfonnleistung allgemein beobachtet. Sie beeinflust den Verlauf der Umformung, so darj eine Erweiterung des Rechenmodells im Hinblick darauf unbedingt erforderlich ist.

*

Gefijrdert von der Deutschen Forschungsgemeinschaft (DFG) Vorgetragen auf der GAMM-Jahrestagung, Hamburg, M;irz 1983 129

130

C. WESTERLING, N.L. DUNG and 0. MAHRENHOLTZ

2.

Erweiterung des Rechenmodells zur Erfassung der Temperaturerhohung wahrend der Umformune

Die Formanderungsfestigkeit geschwindigkeit

?

Y

ist eine Funktion der Vergleichsform2nderungs-

, der Vergleichsformanderung

E

und der Temperatur

T .

Urn nun den EinfluB der Temperatur auf die Xaterialeigenschaft des Werkstiicks zu erfassen, sol1 dies in einer sogenannten "entkoppelten Analyse" geschehen. Bei der Erfassung des Temperatureinflusses

auf den Umformvorgang konkurrieren

zwei Berechnungsverfahren miteinander: die Finite-Differenzen-Methode und die Finite-Element-Methode

(FDM)

(FEM). Hier kommt die FDM zur Anwendung, da sie

- wie Untersuchungen zeigen - beziiglich der Summe der Rechenoperationen, der Speicherplatzbelegung und dem Konvergenzgrad

(bei gleicher Anzahl von

Elementen) iiberlegen ist [3]. Bei dem Verfahren werden die kontinuierlich

und

gleichzeitig ablaufenden Vorglnge der Warmeentwicklung und der WIrmeleitung in diskrete Zeitschritte

At

aufgeteilt. Der ProzeR der WBrmeentwicklung und der

Warmeleitung wird dabei getrennt voneinander betrachtet. Werkstiick und Werkzeug werden zunlchst mit einem fiktiven Gitternetz iiberzogen, dessen Knotenpunkte die Elementmittelpunkte

des FE-Netzes sind. Den Elementmittelpunkten wird

die den Elementen eigerr:Temperatur T

zugewiesen, und sie sind fiirdie Tempera-

turberechnung die sogenannten "reprasentativen Punkte". es die Linienschwerpunkte

Am Werkstiickrand sind

(s. Bild 1). Die Gesamttemperaturerhahung

ATG

je

Element errechnet sich aus der Warmestrombilanz

Ai2 Entw.

-

iLeit

(2)

= A~

mit A6 Entw. = A;R + A9, und,

AT .

A{=c.o+

ist der Warmestrom aufgrund von Reibung, A& aufgrund der dissipierten Umformleistung und

ist der Wlrmestrom

AbLeit

bedeutet der

WSrmestrom aufgrund der Warmeleitung. Die nach einem Zeitschritt

AtK =

HK - HK-l "K

berechnete TemperaturerhBhung temperatur

T

ATG

wird zu der urspriinglichen Element-

addiert und die FlieSspannung

Y = f(i,c,T)

fiirden nlchsten

131

FORMGENAUIGKEIT IN DER METALLUMFORMLJNG

Deformationsschritt neu berechnet. im K-ten Deformationsschritt,und

HK vK

ist die momentane Hijhe des Werkstiicks

istdie momentane Geschwindigkeit der

Werkzeugbahn im K-ten Deformationsschritt.

2. 1

Vorgang der W&meentwicklung

Die TemperaturerhEhung der wlhrend des Zeitintervalls setzten Dissipationsleistung der Umformung

AQ

U

AtK

in W;irme umge-

und der Reibung

AQ,

errechnet

sich wie folgt: Die TemperaturerhBhung

AT

an einem Flachenelement

AA

infolge Reibung zwischen

Werkstiick und Werkzeug ist mit

AQR

=

AwR = FR

l

As = T

l

AA . $0

AtK K

und As = Av , zq

TZrn.Y, 6

In

Gl.

bedeuten

(3)

V

das Volumen des Reibelementes, bestehend je zur

Hllfte aus Werkstiick- und Werkzeuganteil (s. Bild 21, Cws, Cwz bzw. Pws, P,, die spezifischen WIrmekapazititen des Werkstiick- und Werkzeugmaterials bzw. die Dichten

und

Av

ist die Gleitgeschwindigkeit des Reibknotens.

Die TemperaturerhBhung

OQU

AT"

infolge der dissipierten Umformleistung ist mit

= Aw, =n*Y*P*AV 3

AT” = r)

l

l

At._ K

ws

Der Faktor

+

c

n

l

.

Pws

gibt an, wieviel Prozent der Umformleistung in W;irme umgewandelt

wird (0,85 5 n S 0,951, U ist die Vergleichsspannung und

e

die Vergleichsform-

Bnderungsgeschwindigkeit. Die Verbindungslinien der reprgsentativen Punkte bilden nun das FD-Netz fiirdie nachfolgende Temperaturausgleichsrechnung wlhrend des gleichen Zeitintervalls

AtK

bei gleichbleibendem Formgnderungs-

zustand.

2.2

Vorgang der WSnneleitun8

Die partielle Differentialgleichung

der instationsren Wlrmeleitung

(Fouriersche

132

C. WESTERLING, N.L. DUNG and 0. MAHRENHOLTZ

Differentialgleichung)

lautet in Zylinderkoordinaten

(5)

Diese Gleichung llljt sich mit Hilfe der in Bild 2 ersichtlichen Netzgeometrie unter Verwendung zentraler Differenzen umwandeln in eine Differenzengleichung der

Form:

= ! I-aAt;{&

T

+ AZ I

Lo

+ aAt

[

K

fiirTL

1

s ii1

fir.

AzyAz.

T3 + AZ;iiA~.

1

To, T,, T2, Tj

AtK

1+l

TL

,

T1

1

und

T4

+

Si+,

I T” + r.

Ari+,

T2 + 5%

i1

die Anfangstemperaturen

a ' ist die Temperaturleitzahl und

1BRt sich such aus der WPrmebilanzgleichung

die be!achbarten Knoten

v

(6)

’

der Elemente

ist die Temperatur des Elementes "0" nach dem

senkrecht zum Temperaturgradienten.

i

1

r. 1+1

i = 0,1,2,3 und 4 ,

des Elementes

’

1

Darin bedeuten

Zeitschritt

i

ri +-----;Si nr;

‘i+l

’

;+,*AZ.

j

S

ist die Oberfllche

Die gleiche Beziehung fiirden Knoten

i

und

herleiten: T.

z' .i

Kij

(Tj

(t)

-

(7)

.

Ti(t)) = Vi ~

Es gilt fiir

innere Knoten:

K.. = a( 13

und fiir

Randknoten:

K

ij

= a. A.. J 13

,

des zum reprxsentativen Punkt i gehiirenden A.. die Elementoberfl%he 13 Elementes senkrecht zur Richtung des W$rmeflusses in das Element j bedeutet,

wobei

der Abstand der reprgsentativen Punkte der Elemente ij der Warmetibergangskoeffizient ist. L

Wiirde der Koeffizient vor nach dem Zeitschritt *0

AtK

To

aus

Gl.

(6)

i

und

j

und

negativ werden, so ware

a. J

TL

urn so niedriger, je hBher die Anfangstemperatur'

zu Beginn des Zeitschrittes

AtK

war.

Diesist physikalisch nicht mijglich,

133

FORMGENAUIGKEIT IN DER METALLUMPORMUNG At K

so da8 fiir

Cl.

und Konvergenzbedingung):

(8)

I

AtK t

Sollte

muR (Stabilitlts-

gelten

1 a( AyAY.

r +A+AZ. SAri+, 1

I + AZ+,

1

das Deformationszeitinkrement so ist

sein,

(8)

entsprechend

kleinere

AtK

=i SAri)

AtK

fiir

die

grijBer

als

das berechnete

nach

Temperaturausgleichsrechnung At

Zeitintervalle

in

aufzuteilen.

Randbedingungen

Fiir den Fall

des WBrmetiberganges

Wandtemperatur

aus der Wlrmebilanz V.

Volumenelement lugeren

(s.

Wandfllche

3))

sich

die

lirtliche

K6rperoberflliche

fiir

ein

an die

wobei

der

reprlsentative

angrensendes

Punkt “0”

dann der

angehiSrt.

Mit den geometrischen

araAZJTa-To)

Bild

ergibt

am WerkstUckrand

Verhlltnissen

+ XAZi(ra-

= P - c-

nach Bild

3 gilt:

2 AZi*Ar

TL/u,-To

v

0

(*r,-

4

l

AtK

+)

oder 4Cira aAr(2r

a

1

T,+ Ar2(2r

a

des Wzrmeiiberganges

der Kontaktschicht

hiihung aufgrund idealen

der

T2+

’

- $)

Azi

AL+,

sic

bereits

fiir

und

an das Gesenk

(Zunder-,

getroffen

AL_,

To+

1 (9)

1 T3 AZ; Azi _ ,

(a=h/c*p).

sol1

aufgrund

Schmierschichten,

Reibungsmechanismen)

Materialkontaktes

rechnung,wie

Azi

CL= WBrmeiibergangskoeffizient,

a = Temperaturleitzahl

Struktur

+

AziAzi+,

A = WBrmeleitflhigkeitskoeffizient

Fiir den Fall

1

+

-

T3 +

Es bedeuten:

4(r,-

+

mit guter

werden.

das Werkstiick

Dies

der komplizierten

ijrtliche

NPherung die fiihrt

hergeleitet

zu einer wurde.

TemperaturerAnnahme des Wlrmeleitungs-

134

C, WESTERLING, N.L. DUNG and 0. MAHRENHOLTZ

Bild 4 zeigt den stark schematisierten Ablaufplan zur Berechnung eines Umformvorganges mit Beriicksichtigung des Temperatureinflusses.

3. 1. 2. 3. 4.

Literatur N.L. Dung, Forschr.-Ber. VDI-Z. Reihe 2 Nr. 46 (1981) 0. Mahrenholtz, Comp. Methods Appl. Mech. Engg. 33, 453 (1982) W.H. Gray and N.M. Schnurr, Comp. Methods Appl. Mech. Engg. 6, 243 (1975) W.M. Rohsenow and J.P. Hartnett, Handbook of Heat Transfer, McGraw Hill, (1973)

FORMGENAUIGKEITIN DER METALLUMFORMUNG

.&.L.J-.l.i.-.+

berechnung

s

Bild 1 : Finite-Element - Netz und Liniennetz mit reprijsentativen Punkten zur Temperaturberechnung

l

T1

r

Bild 2: Netzgeometrie zur Temperaturausgleichsrechnung des Elementes i

135

136

C. WESTERLING, N.L. DUNG and 0. MAHRENHOLTZ

l

T1

.

-AI--E

al Volumenelement

TO.1

lTo

T3"

2

c

h---l

b) Randgitter

Biid 3: Zur Berticksichtigung des W&me tibergangs am Werksttickrand

St rukturdaten

+ Temperatur vertei lung

-

-

Berechnung *

Fliel3vorganges

Bild 4: Schematisierter

des

Ergebnisse a,v,Z,T

Programmablaufplan

: ,...