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Zur theorie der magnetischen anisotropie kubischer kristalle beim absoluten nullpunkt
P h y s i c a V, no. 6
J u a i 1938
ZUR T H E O R I E D E R M A G N E T I S C H E N ANISOTROPIE KUBISCHER KRISTALLE BEIM A B S O L U T E N N U L L P U N K T ",.,on
W. F. VAN PEYPE
Zusammenfassung Durch eine Erweiterung der H e i s e n b e r g k o p p e l u n g wird ein Modell konstruiert, das magnetische Anisotropie aufweist: d.h. die Energie, die man aufwenden muss um den Kristall bis zur SAttigung zu magnetisieren, soil yon der Orientierung des Magnetfeldes in Bezug auf die Kristallachsen abhAn~en. Bei kubischen Kristallen wird diese Energie eine s y m m e t r i s c h e F u n k tion der Richtungscosmus des Magnetfeldes. B e k a n n t l i c h k a n n man daftir wahlen : E ../x"1 2 2 22 22 2 2 :
• 'Y2"Y3 '+ Y3¥1) + K 2 ("1"1 ":'2 .-L
Yl ~2 "1"3,
und es wird das magnetischc Verhalten hauptsAchlich durch K t charakterisiert. Es wird eine St6rungsrechnung g e m a c h t u n t e r d e r A n n a h m e , d a s s d e r Kristall sich beim absolutcn N u l l p u n k t in einem s t a r k e n gusseren Magnetfclde befinclet. Die zweite N~iherung der St6rungsenergie liefert die A n i s o t r o p i e k o n s t a n t e K,. Diese wird berechnet fiir kubische Kristalle; dabei wird vorausgesetzt, class der G r u n d z u s t a n d der A t o m e des Spins wcgen d o p p e l t e n t a r t e t ist; (lie Rechnung wird a b e r a u c h ohne diese Beschrankung durchgef/ihrt. Das Zeichen yon K~ ist positiv fiir das einfach-kubische G i t t e r : fiir das r a u m z e n t r i e r t e und das fl~kchenzentrierte G i t t e r negativ. Mit z u n e h m e n d e m l{ntartungsgrad des G r u n d z u s t a n d e s behglt KI sein Zeichen und konver~iert nach Null. § I. V o n d e n his j e t z t p u b l i z i e r t e n T h e o r i e n z u r Erkl~ixung d e r m a g n e t i s c h e n A n i s o t r o p i e , ist v o r a l l e m d i e T h e o r i e y o n B I o c h u n d G e n t i 1 e 1) zu erw~ihnen. N a c h d i e s e n Autox-en b e w i r k t d i e G i t t e r a n o r d n u n g d e r A t o m e im I ( r i s t a l l , d a s s d i e E n e r g i e j e d e s E l e k t r o n s , clas z u r M a g n e t i s i e r u n g beitr~igt, n o c h v o n d e r R i c h t u n g abh~ingt, in d c r (lie E l c k t r o n e n s p i n s in e r s t e r N / i h e r u n g i m m a g n e t i s i e r t e n M e t a l l s t c h e n . R e c l m c r i s c h w~ire d i e s e r e n e r g e t i s c h e E i n -Physica V
465 - 30
466
W. F. VAN P E Y P E
fluss der Spin-Bahn-Wechselwirkung zuzuschreiben, d.h. den Spintermen, die in dem vollstiindigen Ausdruck ftir die Energie eines Mehr-Elektronensystems auftreten *). Die GrSssenordnung des Effekts scheint uns nicht richtig erkannt zu sein, zumal man fiberdies durch eine n~ihere Analyse zeigen kann, dass es - - ausser den yon den Verfassern genannten - - noch andere Matrix-Elemente gibt, die den Effekt exakt zum Verschwinden bringen. Wird ein Modell gew~ihlL in dem in nuUter N~iherung jedes Atom nur ein.Elektron in nicht-Bahnentartetem Zustand hat, und sich in einem elektrischen Felde befindet, so kann man auch gleich einsehen, dass auf die Weise, in der von B l o c h und G e n t i l e gerechnet wird, ein derartiger Effekt nicht gefunden werden kann, ohne in Gegensatz zu geraten zu einem Theorem von K r a m e r s 3). Denn die Rechnung bedeutet dann im wesentlichen, dass die EnergiestSrung in einem/iusseren Magnetfelde gesucht wird ftir ein Atom, das sich im elektrischen Felde der Nachbar-Atome t~efindet, und dessen Grundzustand wegen des Spins cloppeltentartet ist. Diese StiSrung ist nach K r a m e r s in erster N~iherung dem Felde porportional, w~ihrend B 1 o c h und G e n t i 1 e in einer Rechnung, in welcher das Magnetfeld explizit keine Rolle spielt, einen energetischen Einfluss unabh~ingig v o n d e r Feldst~irke zu finden glauben. Wir werden versuchen zu einer Erkliirung der Anisotropie-Erscheinungen zu kommen durch eine Erweiterung des Modells, auf dem H e i s e n b e r g's bekannte Theorie basiert. Zum Heisenberg-Operator f fir die Wechselwirkung .zweier Nachbar-Atome k und 1
j
( 1 - - ~ k . a,) •
2
(worin J das Austausch-Integral bezeichnet, ak und al bis auf einem Faktor die Operatoren des Vektors vom magnetischen Moment der Atome k und 1), ffigen wir einen StSrungsterm
~. ~,. ~|, hinzu. (e klein, el, und , | die Komponenten von ~k und a, in der Richtung der Verbindungslinie der Atome k und 1). V a n V 1 e c k 4) ist in einer neuerdings erschienenen Arbeit fiber
ZUR T H E O R I E DF_~R M A G N E T I S C H E N A N I S O T R O P I E
~7
die Anisotropie zu e i n e m ~iquivalenten Ausdruck gefiihrt worden. Diese anisotrope Koppelung ist, mit der H e i s e n b e r g-koppelung, anzusehen als ein spezieUer Fall der allgemeinen Form.der Wechselwirkung, welche K r a m e r s 3) abgeleite t hat. t
§ 2. Ffir Kristalle mit einer Hauptachse gibt es mehrere Erkl~irungsm6glichkeiten fiir die Anisotropie, in Gegensatz zurn Falle, wo der Kristall drei gleichwertige Achsen besitzt. Wir beschr~nken uns daher auf kubische Kristalle. Auch setzen wir voraus, dass der Grundzustand der Atome wegen des Spins doppeltentartet ist; am Schluss unserer Uberlegungen werden wir in der Lage sein zu zeigen, welche Anderungen man in der Rechnung anzubringen hat, wenn man sich yon dieser Beschr~inkung befreit. Wir werden mit unserem Modell so rechnen, dass der Anisotropieterm, den wir. zu der Heisenbergkoppelung hinzugeffigt haben, als kleine StSrung betrachtet wird. Die Kompliziertheit des Problemes nStigt uns zu einer weiteren Beschriinkung: es wird nur die StSrung des Grundniveaus berechnet. Von der Bestirnmung der Zustandssumme sehen wir also ab, d.h. wir wollen nur zeigen, dass unser Modell beim absoluten Nullpunkt Anisotropie ergibt *). Die so komplizierten Erscheinungen, die bei schwachen Magnetfeldern auftreten, lassen wit beiseite, und wir denken uns den Kristall in einem starken ~usseren Magnetfelde. Der Grundzustand des ungestSrten Operators ist dann bekannt: alle Elementarmagnete haben die Feldrichtung. Die iibrigen Eigenfunktionen des Heisenberg-operators fiir den ganzen Kristall sind nicht genfigend genau bekannt, urn die gest6rte Eigenfunktion danach entwickeln zu kSnnen. Wir werden daher einen anderen Weg einschlagen, der fiberdies den Vorteil bietet, dass nicht angenornmen werden muss, dass die Abst~nde benachbarter Energieniveaus vom Grundniveau gross gegen die EnergiestSrung sin& (B l o c h 5) hat gezeigt, dass das nicht der Fall ist.) Es wird jedoch wohl angenommen, dass die Eigenfunktion des Grundzustandes des gestSrten Operators wenig verschieden ist yon der des ungest6rten Operators. Was die Bezeichnung anbelangt, so wird eine Situation, in welcher *) AuI den Z u s a m m e n h a n g unserer Rechnung mit der Arbeit yon V a n V 1 e c.k wird in einem Iolgenden Artikel miher eingegangen werden.
468
w.F.
VAN
PEYPE
der Spin in den Gitterpunkten fl . . - fp mit dem Felde gleichgerichtet ist, und in den Gitterpunkten fp+t . - . f~ entgegengesetzt gerichtet, durch das symbolische Produkt ur, . . . u 9 . vfp+1 . . . vfN, kurz 73f#+l
" " "
7)fN
bezeichnet. Das Symbol fiir die Eigenfunktion des Grundzustandes des ungest/Srten Operators Ut,
...
Uf N
wird abgekfirzt (~u). Die Numerierung der Gitterpunkte geschieht durch Vektoren f, deren Komponenten /, g, h ganze Zahlen sind, die in Gittermass die Abst/inde des betreffenden Gitterpunktes yon einem willkfirlich gew~ihlten Nullpunkt angeben, gemessen 1/tngs den KristaU-achsen. Es wird in jeder der drei Hauptrichtungen Periodizit/it verlangt mit der Periode yon G Gitterpunkten. N ist die Gesamtzahl der Gitterpunkte; N -= G3 ffir das einfach-kubische, N = 2G3 fiir das raumzentrierte, N = 4G a fiir das fl~ichenzentrierte Gitter. Mit z wird die Anzahl der Nachbarn angedeutet. si (i = 1 . . . . 1/2z) sind die Vektoren f, gezogen vom Aufpunkt nach der H/rifle der Nachbarn, wobei immer s~ + s i ~ 0 gelten soll. Wir haben z.B.
s I ---(100), s2=(010 ), sa~(001 ) , fiir das einfach-kubische Gitter; ] st-----(--111),s2=(l--11),%----(11--1),s4----(lll )
/
ftir das raumzentrierte Gitter; r (1)
Sl-----(110),s2--(1--10),s3=-(101),s4--(10--1),ss----(01
l),s6----(01--1), [
ffir das fl/ichenzentrierte Gitter.
/
Das Symbol * bedeutet komplex-konjugiert. § 3. Wir werden nun zur St~Srungsrechnung im Anisotropieproblem ffir das kubische Gitter fibergehen. Wir w/ihlen zwei kartesische Koordinatensysteme: (x, y, z) parallel den KristaU-Achsen, (X, Y, Z) mit der Z-Achse in der Richtung des Magnetfeldes.
ZUR THEORIE
DER MAGNETISCHEN
Die Transformations-Matrix sei X Y
/
0~12
469
Z
X
0'.11
Y
~21 ~z~ ~23
Z
0~31
0(32
ANISOTROPIE
0~13
(2)
0~33
Zwecks sp~terer Anwendung ffihren wir ein ° ~ 2 1 - i(x22 = ~2 °"31 - - i ° ~ 3 2 = ~3
(;(23 = Y2 0{33 = "~'3
;
(3)
Zwischen den ~ und ~, bestehen die Beziehungen:
(~fi'l+~2~'2+~3v3)=0;
X~2=0;
Z¥2=1;
Z~*=2.
Der Energie-Operator lautet: =--
~HX~, ~
t
+/Y" (l--a,. a,+.,) f,~ 2 + ~xo',t,,~ "~'f+', --- ~o+*~1.
(s).
Hierin bedeutet ~ eine GrSsse yon der Ordnung des Bohrschen Magnetons; H die Feldstitrke; ~ die Komponente von at in der Richtung s~. Die a x, aY, ~f sind Matrizen yon 2N Reihen und Kolonnen, in Beziehung zum Index f die Pauli-Matrizen, in Beziehung zu den iibrigen Indizes Einheits-Matrizen. Im symbolischen Produkt, dutch welches eine Situation gekennzeichnet wird, wirken sie nur auf den Faktor mit Index f: ~X . u, = v, } ~ . uf = - - iv, } az.ut=u, ) (6) , x vf = uf , ~ v~ = ¢"t ~, v, = - - v ~ Fassen wir nun die [~ und -( auf als symbolische Vektoren [~ und y mit den Komponenten ([~1, [32, [33) b.z.w. (71, T2, ¥3) 1Angs den (x, y, z) Achsen, so folgt hieraus
at.uf=[3.vt+y.m. at.
vf =
[3 *. u t ~ - - y
"t • vf.
[
(7)
Also, da
*V
l
=
s- --J-'~ . (s,. a),
gelangen wir zu G~ i ~ f =
- -
l
Is, I 1
{(s,. 8) vt + (s,. y) uf}.
~i' v, = s;---[ ] {(s,. 8*) " t -
(8) (s,. v) vt}.
Nachdem wir nun diese Grundformeln zur Durchffihrung unserer
470
w . F, V A N P E Y P E
StSrungsrechnung in leicht fibersichtlicher Weise dargesteUt haben, wollen wir zur formellen Entwicklung der LSsung der SchrSdingergleichung na.ch ¢ fortschreiten. Der Grundzustand, (~u), des ungestSrten Operators $ o u n d dessen Energie, - - N ~ / , sind bekannt: : (80 + Np2-/) (7ru) = 0.
(9)
Schreiben wir ffir den Grundzustand des gestSrten Operators und dessen Energie
• = (~u) +¢~71+ ¢292 + . . . ;
E=--N~H+¢Et
+¢2E2+ ....
(I0)
so folgt aus der SchrSdinger-gleichung
($o + N ~ n ) ~ , + ($,--E1)(~u) = 0.
(11)
(8o-I-N~H)~2-}-(~t--Et)~,--E2~u) = 0 .
(12)
mad Wit multiplizieren (11) und (12) links mit (Tru)* und,,integrieren" fiber den diskreten Werte-Bereich der beziiglichen Funktionen, wobei wegen der Normierung und der OrthogonalitRt von (nu) und ~ol f CTeu).(7:u)*= 1; f ( ~ u ) . q ~ * = o zu nehmen ist. Unter Berficksichtigung von (9) und des hermiteschen Charakters des Operators ~o, linden wir ffir die gesuchte erste und zwe~te N~iherung der StSrungsenergie
E~ = f (~u)* $, (~.),
und
(13)
E2 = f 0'~. ,~ (~u). Der Ausdruek ~)l(7:u) ist mittels (8) leicht zu bestimmen:
~i (~) = ~
1
(I 4)
{~ (st. ~)2. A~(~) + 2 ~., (s,. p) (s,. ~) ~, ~, + +Z(s~.p)2v,v,+,,}
(15)
1,$
Nur der erste S u m m a n d liefert mit (13) einen yon Null verschiedenen Beitrag; dies bedeutet eine yon der Richtung des Magnetfeldes unabh~,ngige Energieversehiebung vom Betrage e, b.z.w. 4/3 ¢ und 2e pro Atom fiir das einfach-kubische, bzw. raumzentrierte und fl~ichenzentrierte Gitter. Der zweite Summand verschwindet bei jedem der drei kubischen Gitter wegen
I: (s,. p) (s,. v) = o, i
Z U R T H E O R I E D E R MAGNE;TISCHEN A N I S O T R O P I E
471
Also ist
1
( ~ 1 - E,) (~u) = r~r~:C (s,. ~)2 v,. v,+.,. Is, I ,.,
(16)
Diesen Ausdruck wonen wir nun in (11) substituieren, zur Bestimmung yon q0t, und damit (vgl. (14)), von E2. Hier ist eine E(genschaft des Heisenberg-Operators zu erw~ihnen, die ebenfalls dem Operator des magnetischen Beitrages zur Energie zukommt : diese Operatoren, wirkend auf ein symbolisches Produkt II vtk mit l v.Faktoren, transformieren dieses Produkt in solcher Weise, dass die Anzahl der v-Faktoren sich nicht ~indert. Also schliessen Wir aus (11) und (16), dass ~l folgende Form haben mUSS :
~t = F. Bf, f. vtl vf., ft, fs
und hiermit haben wit die Entwicklung yon q~l bekommen, worauf wir in § 2 bereits zielten. Es gilt nut noch die Koeffizienten Bftf, ZU bestimmen. Dies wird sehr erleichtert dutch folgende Bemerkung: man kann die Bftf, auch auffassen als Funktion von fl + f2 und fl --" f2. Well aber der Nullpunkt des Gitters willkfirlich gew~ihlt werden kann, m~Schte ma.n vermuten, dass die 3,tf, von dem Abstand fl + f2 gar nicht abh/ingen. Man m6chte versuchen qh = y' Bf. vg vg+t. f, g
(17)
Die Summation fiber f i s t so auszufiihren, dass jede Kombination (f, g) nur einmal hierin vorkommt; das erreicht man z.B. indem man d i e B t in einem Halbraum definiert. Es zeigt sich im Folgenden, dass dieser Ansatz f fir q~l tatsiichlich genfigt. Fiir die zweite N~iherung der St6rungs-Energie liefert er mittels (14) und (15), N
E~
-
I s, 12 ~B~(s,. 13)2.
(IS)
Die spezielle Form des letzten Summanden yon (15) ist Ursache, dass hierin nur die Koeffizienten B, i auftreten. § 4. Um die Bf zu berechnen, haben wir (16) und (17) in (11) zu substituieren. Wir mfissen also untersuchen, wie der Operator ~0 auf (17) wirkt.
472
W.F. VAN
PEYPE
Mit Hilfe yon (7) findet m a n 1 -- at. af+°~ wirkend auf 2
uf vt+,i gibt
ut vt+, i - - vt ~+*i.
vf vt+.~
0
(hier sind nur zwei Faktoren des symbolischen Produktes, durch welches eine Situation gekennzeichnet ist, geschrieben; und zwar jene, deren Indizes mit denen des darauf jedesmal wirkenden Operators zusammenfallen: die fibrigen Faktoren bleiben ja ungeiindert.) Hiermit liisst sich folgende Regel ableiten: Abgesehen vofi dem Faktor J. transformiert der HeisenbergOperator ffir den ganzen Kristall den Ausdruck vivg+f in eine Summe von Termen , deren ]eder definiert ist als die Differenz des urspriinglichen Produktes und eiries'Produktes, das daraus hervorgeht, wenn einer der v-Faktoren zu einem ben~chbarten Gitterpunkt iibersiedelt. Zu surnmieren ist fiber alle Kombinationen, die man auf diese Weise bekommen kann. GehSren aber die beiden v-Faktoren im urspriinglichen Produkt zu benachbarten Gitterpunkten, so ist der bezfigliche Term fortzulassen. Der Operator d e s rnagnetischen Beitrages zur Energie wirkt auf 07) in folgender Weise: Z ~ . Z Btvg vg+t = (N - - 4)f~ Bfvg va+t. f
f, tt
(vgl. (6).) Einffihrung unserer Resultate in (11) gibt die Glejchung X va v,+t [ J . 2 Z. {(Bt - - B,+,,) + (B, - - Bt_.,)} + 4VJ'/'B,] + los/
+ Z vAvg+, [J. 2 (~, ((Bt--B,+,,) + (Bt--B,__,,)) + (B,--Br+.i) } + f=s/
"
"
+ 4~HB,] + ~
I
Z (%. ~)2 vava+., = O.
Hieraus findet man durch Gleichsetzen von Koeffizienten J . ~. {(Bt-- Bt+,,) + (Bt--Bf_.,)} + 2VJarBt-- 0
ffir f :# s i .
(19a)
J . [ Z {(Bf--Bt+,,) + (Bt--Bt_,i)} + (Bt--Bt+,~)] ,+ 2tx//Bt + 1
+ 21s,] 2(si'[3) 2 = 0
ffir f----s i.
(19b)
Der Faktor 2gY-/ist klein gegen J. Nach Heisenberg's Theorie ist J von der Ordnung k0. (k = Boltzmann-Konstante, ~-~ 1,3.10 -16 Erg/Grad; 0 ---- Curie-Temperatur, ~-~ 103).
ZUR THEORIE
DER MAGNETISCHEN
ANISOTROPIE
473
ist v o n d e r Ordnung des Bohrschen Magnetons, ~-~9.10-21. Ffir ein Magnetfeld yon 104 Gausz wird also 2p./-//J ~-~ 1,5.10 --~. Die Terme in (!9), die mit diesem Faktor multipliziert sind, werden wir vernachlttssigen. Wir definiereh eine Funktion bf auf den Punkten eines kubischen Gitters im ganzen Raum, durch die Gleichungen ~. { ( b t + , , - br) - - ( b , - - bf_,,)} = 0 fiir f 4~ (0, 0, 0). (20a) Z {(b,+,i - - b,) - - (b, - - bf_,i)}------ 4= ffir f ---- (0, 0, 0). (20b) Die bf sollen fiir grosses f nach Null Konvergieren. Diese Gleichungen kann man betrachten als das diskrete Analogon der Gleichung yon P o i s s o n fiir eine Punktladung im Ursprung. Die bf zeigen daher die gleiche Symmetrie wie die Funktion l/r, und ffir f gross verhalten sie sich wie diese Funktion. Die L6sung yon (20) gelingt durch die Einffihrung einer dreifachperiodischen' Funktion A ~ , q, r), mit den Perioden 2~, und deren Fourier-Koeflizienten die b~ sind: +~
873 A (p, q, r) ---- ~ bfe~(f'p)
(p --= (p, q, r))
21r
bf = f f f A (p, q, r). e i(f'p) . dp . dq . dr. 0
Substitution in die Gleichung (20a) gibt A (~, q, r) = c/Z (1-- cos (s,. p)) Die Konstante c findet man aus (20b), c ---- 1]4 ~a, also 2~" 2~ 2~r
o o b Z. (1--cos (s,. p)) Die bt kann man ffir N --~ oo in Zusammenhang bringen mit den gesuchten Bf mittels Bf = Z Pi (bt+,i + bf_,~), (22) i
denn dadurch werden die Gleichungen (19a) identisch gel6st, und (19b) geht fiber in folgendes System von linearen inhomogenen Gleichungen zur Bestimmung der p~ (bei der oben besprocherten Vernachl~ssigung ) *) *) Die B f s i n d u r s p r f i n g l i c h d e f i n i e r t in e i n e m H a l b r a u m , (sehe (20) u.f.) Erweitert m a n diese D e f i n i t i o n zu d e m g a n z e n R a u m m i t t e l s B - - f = Bf, so b i l d e n sie d a s disk.fete A n a l o g o n ftir die L S s u n g d e r G l e i c h u n g y o n P o i s s o n eines M u l t i p o l - F e l d e s m i t L a d u n g e n 9i in d e n P u n k t e n s i u n d - - si.
474
VAN PEYPE
W.F.
1 Z., p, {(b.i+., - - b.,) + (b.,...:_.,.- - b...,,)} - - 4= p~. = ~ j
1 I s, 12 (s;. ~)2.
(i -- 1, 'M.). Durch Summierung dieser Gleichungen findet m a n (alle bsi und b_,~ sind gleichgross)
z p, = o,
(23)
sodass m a n sie vereinfachen k a n n zu
1
1
Z. p, {(b.i+., + b.,~,,)} --- 4= Pi = ~-]j" I s, 12 (s;. ~)2.
(24)
Mit der aus (22) u n d (24) folgenden Beziehung 1 1 B,. = 4=pi + 2J ) s, }2 (si" [3) 2
(25)
geht (18) schliesslich fiber in
I s, I t
l
,
]
2J
I s, [2 z. (s,.[~)2. (s,. 0*) 2 . (26)
Wir wollen n u n die verschiedenen Gitter gesondert behandeln.
§ 5. Ein/ach-kubisches Gitter. Die s~ werden gem~ss (I) gewtthlt. I n d e m m a n (23) noch einmal in (24) einffihrt sieht man unmittelbar P~ = 2 J booo-at- boo2- - 2bon - - 4n und, unter Berficksichtigung von (3) und (26), N booo + boo2-- 2bo,, • 2 (1 - - Z y2y~). E2 = -~-f" booo + boo2- - 2 b o n - 4= Hier ist
12fff
(27)
2~r 2~r 2*r
bt = ~
0 0 c<~
0
ei(f'P) d ~ ) d ~ d r - -
3 - - Z cos p
0 21r
0
2~r
'
2~
0 O0
= 2n. i - . ( t + ' + ' l f d ' r , e-3T . Jt (i,). J, (i,r). J,(i'~). o
Jt, Jg, Jh sind die Besselschen Funktionen erster Gattung. Durch Anwendung von (20) fiir boo1, findet man booo + b o o 2 - 2boll = 6(boot - - bolt).
ZUR THEORIE
DER MAGNETISCHEN
ANISOTROPIE
475
Graphisch wurde ffir den W e r t des Inte~rales (boot - - b o n ) gefunden 0,437. In der fiblichen Notierung, (E 2 ---- Const. + Kt Z y ~ in Ergs/cm3), haben wir also KI
=
+ 0,26" ~2n •
J
(n ist die Anzahl Atome pro cm3).
(28)
Raumzentriertes Gitter. Die Rechnung l~iuft analog zu der Ifir das einfach-kubische Gitter: 1
1
0~ = 6 J "booo + bz~
--
b022
boo2- - 4~ (s~. [~)2
--
und E2 =
N
booo + b2z2 - - b022 - - boo2
- -
16 (1 + Y . y ~ ) .
18J booo + b222- - boz2 - - boo2- - 4r:
(29)
Hier ist 21r 2~r 2Tr
booo -- 1 ~ 2
1 - - cos p cos q cos r" 0 0 0
N a c h d e m man nach r integriert hat, macht man Iolgende Substitution : cot p/2 ---- 0%/2. sin 0/2. cot q/2 = p%/2. cos ~o/2., und Iindet
0
0
0
0
0
Nun in.tegriert man erst fiber p, dann fiber x und fiber ~ und findet b°°°= 8 - ~ {P(*/4)}4 = 2,1 87. Das ganze System der bf wurde angen~hert berechnet auf folgende Weise: Aus der Analogie der G1. (20) mit der Gleichung yon P o i ss o n weiss man, dass die bt mit grossen Indizes sich verhalten wie
41C12 + g2 + h In erster N~iherung wurde ffir aUe bt (ausser booo und b m, die exakt b e k a n n t sind) dieser Ansatz gemacht. Das linke Glied der G1. (20) verschwindet nun nicht, aber wird gleich einer Grtisse A, die
47.~
. W.F.VAN
PEYPE
wit den .Fehler nennen, und die fiir grosse Indizes prozentgemiiss gering ist. Die bt mit ~//~ + g 2 ~ h 2 > l0 wurden festgehalten; yon den kleineren btwurde jedesmal eins korrigiert, indem es in den acht G1. (20), in denen es gerade vorkommt, betrachtet wurde als ein Unbekannter, der so gew~hlt werden soil, dass die Summe der Qua'drate der acht linken Glieder mSglichst klein wird. Dabei wurden die bt mit den grSssten Indizes zuerst variert. (es wurde also ,,yon aussen nach innen" gearbei.tet.) Das Verfahren l~isst sich beliebig oft wiederh61en, und. lieferte schliesslidl f/ir den ersten bf: g
h
b
0 l 0 2 I 2 0
0 I 2 2 3 2
2,187 0,616 0,456 0,356 0,305 0,317 0,270
4
A - - 4~ 0,042 0,036 0,048 "~ 0,089 0,026 0,016
Fiir das raumzentrierte Gitter wird nun ~2n K 1 = --0,14 -f-.
(30)
Fldchenzentriertes Gitter. Die beiden ersten Gleichungen (24) lassen sich auf folgende Form bringen:
plA + p2B = ~
1
({3t + ~2)2
l
.. [ A =booo-Fboz2--bou--bn2--4n. ' m l t ~ B = 2boo2~ bott - - bu2.
und besitzen die LSsungen pl P2=
4j ~A + B 1 + 4J k A + B
Die. iibrigen p~ findet man durch zyklische Vert~uschung. Dies fiihrt zu
E
N[/
4~
+AS~B+3)
4~
ZUR THEORIE
DER MAGNETISCHEN
ANISOTROPIE
477
Mittels (20) und (21) lassen sich die Koeffizienten (A + B) und ( A - B) zurfickbringen auf A + B = --2re + 6 ($2-- 2S,) t
A - - B = - - 47: + 4 S 2
l
(32~
St und $2 sind t~olgende Integrale: ~ r 2~r 2*r
$1 =
~---~f f f 3 sin2p'dpdqdr - - Z cos p cos q 0 0 0
2- ~,, 2,,
1 fffsin. 3--Xco p.sin2q.dpdqdr ?02-
(33)
0 0 0
Nach Integration fiber r geht das Integral S l dutch die Substitionen t g q = = tg u. s i n ; . und sin p = 2
cos =
fiber in ~/2
4 /" cos 20t. sin c~d0t
K(ot) ist das vollst~indige eUiptische Integral erster Gattung. Die graphische Integration lieferte
0,563
<
S~
<
0,583.
In das Integral S 2 wurden nach Integration fiber r Polar-koordinaten eingeffihrt gemiiss tg ~ = p cos 9 tg q ---- p sin % Das liefert
$2=4 / P4dP/ oo
~-
:v/~" 0
2vr
dcp.sin29cos29 ( l + p 2 + p 4 s i n 2 9 c o s 2 9 ) 2 ~ / l + p 2 s i n 2 9 c o s 2 9.
0
Fiir dieses Integral wurden eine obere und eine untere Grenze bestimmt mittels 1 < %/I + p2sin2q0 c0s29 <
1 + ~-.
1478
W.F.
VAN PEYPE
Substituiert man nLrnlich fiir die Wurzel in $2 eine dieser beiden Grenzen, so kann man das Integral elementar berechnen. Es zeigte sich, dass 0,248 < $2 < 0,368 und
-o,o8 3 - <.Ki <-o,o2.
)
(34)
§ 6. Unsere Rechnung l~isst zich leicht verallgemeinern fiJr den Fall eines mehrfach-entartet.en Grundzustandes. Sei s die Quantenzahl des resultierenden Spinmomentes eines Atoms. Fiir die Operatoren der Komponenten des magnetischen Momentes 1/ings den X, Y, und Z-achsen sind dann zu nehmen 6) 1
0 1
0
0
s
0
1 /2~-- 1 s 2
0
2
0
0 i
1
1]/~--
0 0
sY
l
0 0
0
2
0
0
s--I S
0
0 s--2 s
Wir haben die a so.normiert, dass der gr6sste Eigenwert des magnetischen Momentes eines Atoms gleich Eins ist. Die hier angeschriebenen Matrix-elemente sind die einzigen, die fiir unsere Rechnung eine RoUe spielen.
ZUR THEORIE DER MAGNETISCHEN ANISOTROPIE
479
Die meisten der frfiher abgeleiteten Gleichungen behalten ihre Gfiltigkeit bei. Nur diejenigen, die ver/tndert werden, wollen wit in der gleichen Numerierung jedoch mit einem Akzent versehen, hinschreiben. Die verschiec~enen m6glichen Zust/inde eines Atoms nennen wir nach abnehmendem magnetischem Moment u, v, w, . . . Man hat dann
(6') 1
1] / 2 s - - 1
i
i 1 ~/~---~-1~1
s--1
V!
und a,u! = yu, + ~
1
flv,.
(7').
°'vf=.~-s~*m+ s YV'+s
~w!.
Weiter
1 -1 ~vv,= iT,1 l {~_~(,,. ~, ),,,+ sW_ (,,.y)~,+ : ~___2 (~, ~) ~,} (8')
Wir folgen nun unserer friiheren Rechnung bis ~)1 (xu) ----
(s,. y)2. N(m0 +
+ ~1 Y, (s,. [~)2 v! vf+,t: }
(15')
t,¢
1 1 2s i s ` ,'" !,t:Z(st:. ~)~ v, vf+,t:.
(~01- E,)(~u)
(16')
Wir werden sehen, dass der Heisenberg-Operator, wirkend auf v, v,+t nun, ausser Termen mit zwei v-Faktoren, auch noch Terme mit einem w-Faktor liefert. Es zeigt sich aber, dass man auch jetzt noch den Ansatz (17) fiir qh behalten kann. In diesem Falle findet man
1
I
E2----~ls, i2x
B* (St:
,t:
.
~)2.
(18')
Untersuchen wir wieder, wie der Operator ~)o auf ~i wirkt, dann hat man ffir diese Berechnung auszugehen yon den Grundformeln
480
W.F.
VAN PEYPE
• Uf ¢4.+s~
1 - - ¢*t¢*t+,iwirkend auf ¢6fVf+s4 2
Uf Uf+s,
-o gibt
~
(v,+.,--v,)
2s--I
vtv'+'i
, s~/~y
2
"
und
(Zt~)(ZB~vgvQ+t) = ( N - - 2 ) Z Btv~vg+,. f,t
f,~
Nach Multiplizierung mit 2s gelangt man zu der Gleichung
X v,v,+,[J. 2Z {(Bt-- B,+,i)+ (Bf-- B,__,;)}+ 4~nBt] +
f#sj
+ Z
f=s/
v,v,+,[y. 2 {Z ((B,--Bf+,.) + (Bf--B,_,,)).+ (Bf--Bf+,i)}+ i~]
s
B,] X "2 ] ~/~---1 4- 4FHB~ + ] . 2s--1 --,=.~ ~ V--2--" B,. 2~, + s
+ ~
1
X, (% ~)2 v, v,+., = 0.
Der Koeffizient yon w, ist bis auf eine Konstante ZB.i, und verschwindet daher, wie wir sp~iter sehen werden. Weiter bekommt man J . Z {(B, - - B,+,,) + (B,-- B,_..,,)} + 2~ H Bt = 0 ffir f =/: % ] !
J[ Z {(Bf--Bt+,,)+(Bt--Bf.__,,)} +(Bt--Bt+.i) + 2s~--I B,] + { (19') Li#i.
~
+ 2. H B , + ~ ( % . ~ ) 2 = 0
"J
l
fiir f = s i ' ] /
Die Bf kSnnen wieder auf diese|be Weise mit den bfin Zusammenhang gebracht werden. Anstatt (24) und (25) bekomlnt man 1
X ~,.~s (b'i+',+
1
!
b,j_,) -- 4= % = 2J " ) s; 12 % . ~)2. (24')
und 1
B.i
1
1
= 4= £i + "~./~-T"is ` 12 (sj. ~)2.
(25')
ZUR THEORIE
DER MAGNETISCHEN
ANISOTROPIE
481
Aus (25') sieht man Z B.i ---- O, was wir vo~her benutzten. Substutiert man (25') in (18'), dann zeigt sich, dass unsere Schluss-Formel (26) ungeiindert bleibt; nur hat man neue p~ einzufiihren. Diese werden aber mittels (24') berechnet, und die einzige Anclerung, die auftritt, is~ die Ersetzung von (b.j+.~ + b.i_.~) durch I/2~ . (b..+.~ + b,_.,i). Wir haben also direkt fiir das einfach-kubische Gitter: KI =
2,6/2s 2,6/2s--4= J
(28')
und ftir das raumzentrierte Gitter 16 1,7/2s e2n Ki ------ ~ 1,7/2s - - 4~ J "
(30')
Fiir das fliichenzentrierte Gitter wird (//1 + B) ---- - - 2= 2 - -
+6
2s
$2 (A - - B) = - - 4~ + 4 ~ ,
(32')
und die Anisotropie-Konstante K t i s t angen~hert ¢2n (
4,r
K, =--~j. 5/2s + 27:(2 - - 1/2s)
8~ ) 4~ - - 1,2/2s + 1
(34')
Zusammenfassend sehen wit also, dass die Anisotropie-Konstante Kt in ~Uen drei F/illen mit wachsendem Entartungsgrad des Grundzustandes abnimmt. Dabei/indert sie ihr Zeichen nicht. Fiir s-+ co verschwindet die Anisotropie. In einer quasi-ldassischen. Rechnung mit diesem ModeU, wie sie K r a m e r s und H e 11 e r in einer nicht publizierten Arbeit versucht haben, bekommt man in Obereinstimmung damit keine Anisotropie. Das Zeichen von K1 beim absoluten NuUpunkt ist in unserem Modell fiir das einfach-kubische Gitter positiv, ftir die beiden andern Gittern negativ *). Es gibt aber experimentell kein einfacher Zusammenhang zwischen Gitter-art und Zeichen der Anisotropie-Konstante; jedenfalls nicht bei gew6hnlichen Temperaturen. So zeigt z.B. N i c k e 1, das ein fl~ichenzentriertes Gitter hat, *) D a s ist in 0 b e r e i n s t i m m u n g Physica V
m i t d e n R e s u l t a t e n y o n V a n V 1 e c k. 31
4~9.
Z UR T H E O R I E D E R M A G N E T I S C H E N A N I S O T R O P I E
bei Zimmertemperatur negatives Kt, bei 200 ° C positives K1. Eisen hat ein raumzentriertes Gitter und positives K~. Die GrSssenordnung yon Kt ist bei Zimmertemperatur l0 s. Nimmt man an, dass dies auch bei niedrigen Temperaturen der Fall ist *), so miisste etwa 0,1 . , 2 n / J , ~ 10s; das gibt (da J , - ~ 1 0 -13, n ,~ 10z~), ¢ ,~ lO-ts, also klein gegen J . Herrn Professor H. A, K r a m e r s danke ich herzlich fiir seine Anregung und Hilfe bei dieser Arbeit. Eingegangen am 26. J a n u a r i 1938.
Leiden, 7 Januari 1938.
LITERATURVERZEICHNIS I) 2) 3) 4) 5) 6)
Z. Phys. 70, 395, 1931. W~ H e i s e n b e r g , Z. Phys, 39, 499, 1926. Proc. roy. acad. Amst. 33, 967, 1930. Phys. Rev. 51, l17B, 1937. Z. Phys. 61, 206, 1930. Vgl. H. A. K r a m e r s, Grundl. der Quantentheorie, Theorien des Aufbaues der Materie, I, 175. (ira Hand- und J a h r b u c h der chemischen Physik.)
*) Der W e r t von Kt ist fiir Ni. bei Z i m m e r t e m p e r a t u r - - 3 . 1 0 ' . Nach neuen J a pa ni schen Messungen an Ni. (vgl. B o z o r t h, J. Appl. Phys. B, 575, 1937) ist K I = - - 3.10' bei 21 ° K. V a n V l e c k bemerkt, dass man durch E x t r a p o l a t i o n bis zum absoluten N u l l p u n k t einen noch viel grSsseren Wert Iiir K t erwarten muss, sodass ma n vielleicht •icht m i t sehr kleinen ¢/] rechnen darf.
J u a i 1938
ZUR T H E O R I E D E R M A G N E T I S C H E N ANISOTROPIE KUBISCHER KRISTALLE BEIM A B S O L U T E N N U L L P U N K T ",.,on
W. F. VAN PEYPE
Zusammenfassung Durch eine Erweiterung der H e i s e n b e r g k o p p e l u n g wird ein Modell konstruiert, das magnetische Anisotropie aufweist: d.h. die Energie, die man aufwenden muss um den Kristall bis zur SAttigung zu magnetisieren, soil yon der Orientierung des Magnetfeldes in Bezug auf die Kristallachsen abhAn~en. Bei kubischen Kristallen wird diese Energie eine s y m m e t r i s c h e F u n k tion der Richtungscosmus des Magnetfeldes. B e k a n n t l i c h k a n n man daftir wahlen : E ../x"1 2 2 22 22 2 2 :
• 'Y2"Y3 '+ Y3¥1) + K 2 ("1"1 ":'2 .-L
Yl ~2 "1"3,
und es wird das magnetischc Verhalten hauptsAchlich durch K t charakterisiert. Es wird eine St6rungsrechnung g e m a c h t u n t e r d e r A n n a h m e , d a s s d e r Kristall sich beim absolutcn N u l l p u n k t in einem s t a r k e n gusseren Magnetfclde befinclet. Die zweite N~iherung der St6rungsenergie liefert die A n i s o t r o p i e k o n s t a n t e K,. Diese wird berechnet fiir kubische Kristalle; dabei wird vorausgesetzt, class der G r u n d z u s t a n d der A t o m e des Spins wcgen d o p p e l t e n t a r t e t ist; (lie Rechnung wird a b e r a u c h ohne diese Beschrankung durchgef/ihrt. Das Zeichen yon K~ ist positiv fiir das einfach-kubische G i t t e r : fiir das r a u m z e n t r i e r t e und das fl~kchenzentrierte G i t t e r negativ. Mit z u n e h m e n d e m l{ntartungsgrad des G r u n d z u s t a n d e s behglt KI sein Zeichen und konver~iert nach Null. § I. V o n d e n his j e t z t p u b l i z i e r t e n T h e o r i e n z u r Erkl~ixung d e r m a g n e t i s c h e n A n i s o t r o p i e , ist v o r a l l e m d i e T h e o r i e y o n B I o c h u n d G e n t i 1 e 1) zu erw~ihnen. N a c h d i e s e n Autox-en b e w i r k t d i e G i t t e r a n o r d n u n g d e r A t o m e im I ( r i s t a l l , d a s s d i e E n e r g i e j e d e s E l e k t r o n s , clas z u r M a g n e t i s i e r u n g beitr~igt, n o c h v o n d e r R i c h t u n g abh~ingt, in d c r (lie E l c k t r o n e n s p i n s in e r s t e r N / i h e r u n g i m m a g n e t i s i e r t e n M e t a l l s t c h e n . R e c l m c r i s c h w~ire d i e s e r e n e r g e t i s c h e E i n -Physica V
465 - 30
466
W. F. VAN P E Y P E
fluss der Spin-Bahn-Wechselwirkung zuzuschreiben, d.h. den Spintermen, die in dem vollstiindigen Ausdruck ftir die Energie eines Mehr-Elektronensystems auftreten *). Die GrSssenordnung des Effekts scheint uns nicht richtig erkannt zu sein, zumal man fiberdies durch eine n~ihere Analyse zeigen kann, dass es - - ausser den yon den Verfassern genannten - - noch andere Matrix-Elemente gibt, die den Effekt exakt zum Verschwinden bringen. Wird ein Modell gew~ihlL in dem in nuUter N~iherung jedes Atom nur ein.Elektron in nicht-Bahnentartetem Zustand hat, und sich in einem elektrischen Felde befindet, so kann man auch gleich einsehen, dass auf die Weise, in der von B l o c h und G e n t i l e gerechnet wird, ein derartiger Effekt nicht gefunden werden kann, ohne in Gegensatz zu geraten zu einem Theorem von K r a m e r s 3). Denn die Rechnung bedeutet dann im wesentlichen, dass die EnergiestSrung in einem/iusseren Magnetfelde gesucht wird ftir ein Atom, das sich im elektrischen Felde der Nachbar-Atome t~efindet, und dessen Grundzustand wegen des Spins cloppeltentartet ist. Diese StiSrung ist nach K r a m e r s in erster N~iherung dem Felde porportional, w~ihrend B 1 o c h und G e n t i 1 e in einer Rechnung, in welcher das Magnetfeld explizit keine Rolle spielt, einen energetischen Einfluss unabh~ingig v o n d e r Feldst~irke zu finden glauben. Wir werden versuchen zu einer Erkliirung der Anisotropie-Erscheinungen zu kommen durch eine Erweiterung des Modells, auf dem H e i s e n b e r g's bekannte Theorie basiert. Zum Heisenberg-Operator f fir die Wechselwirkung .zweier Nachbar-Atome k und 1
j
( 1 - - ~ k . a,) •
2
(worin J das Austausch-Integral bezeichnet, ak und al bis auf einem Faktor die Operatoren des Vektors vom magnetischen Moment der Atome k und 1), ffigen wir einen StSrungsterm
~. ~,. ~|, hinzu. (e klein, el, und , | die Komponenten von ~k und a, in der Richtung der Verbindungslinie der Atome k und 1). V a n V 1 e c k 4) ist in einer neuerdings erschienenen Arbeit fiber
ZUR T H E O R I E DF_~R M A G N E T I S C H E N A N I S O T R O P I E
~7
die Anisotropie zu e i n e m ~iquivalenten Ausdruck gefiihrt worden. Diese anisotrope Koppelung ist, mit der H e i s e n b e r g-koppelung, anzusehen als ein spezieUer Fall der allgemeinen Form.der Wechselwirkung, welche K r a m e r s 3) abgeleite t hat. t
§ 2. Ffir Kristalle mit einer Hauptachse gibt es mehrere Erkl~irungsm6glichkeiten fiir die Anisotropie, in Gegensatz zurn Falle, wo der Kristall drei gleichwertige Achsen besitzt. Wir beschr~nken uns daher auf kubische Kristalle. Auch setzen wir voraus, dass der Grundzustand der Atome wegen des Spins doppeltentartet ist; am Schluss unserer Uberlegungen werden wir in der Lage sein zu zeigen, welche Anderungen man in der Rechnung anzubringen hat, wenn man sich yon dieser Beschr~inkung befreit. Wir werden mit unserem Modell so rechnen, dass der Anisotropieterm, den wir. zu der Heisenbergkoppelung hinzugeffigt haben, als kleine StSrung betrachtet wird. Die Kompliziertheit des Problemes nStigt uns zu einer weiteren Beschriinkung: es wird nur die StSrung des Grundniveaus berechnet. Von der Bestirnmung der Zustandssumme sehen wir also ab, d.h. wir wollen nur zeigen, dass unser Modell beim absoluten Nullpunkt Anisotropie ergibt *). Die so komplizierten Erscheinungen, die bei schwachen Magnetfeldern auftreten, lassen wit beiseite, und wir denken uns den Kristall in einem starken ~usseren Magnetfelde. Der Grundzustand des ungestSrten Operators ist dann bekannt: alle Elementarmagnete haben die Feldrichtung. Die iibrigen Eigenfunktionen des Heisenberg-operators fiir den ganzen Kristall sind nicht genfigend genau bekannt, urn die gest6rte Eigenfunktion danach entwickeln zu kSnnen. Wir werden daher einen anderen Weg einschlagen, der fiberdies den Vorteil bietet, dass nicht angenornmen werden muss, dass die Abst~nde benachbarter Energieniveaus vom Grundniveau gross gegen die EnergiestSrung sin& (B l o c h 5) hat gezeigt, dass das nicht der Fall ist.) Es wird jedoch wohl angenommen, dass die Eigenfunktion des Grundzustandes des gestSrten Operators wenig verschieden ist yon der des ungest6rten Operators. Was die Bezeichnung anbelangt, so wird eine Situation, in welcher *) AuI den Z u s a m m e n h a n g unserer Rechnung mit der Arbeit yon V a n V 1 e c.k wird in einem Iolgenden Artikel miher eingegangen werden.
468
w.F.
VAN
PEYPE
der Spin in den Gitterpunkten fl . . - fp mit dem Felde gleichgerichtet ist, und in den Gitterpunkten fp+t . - . f~ entgegengesetzt gerichtet, durch das symbolische Produkt ur, . . . u 9 . vfp+1 . . . vfN, kurz 73f#+l
" " "
7)fN
bezeichnet. Das Symbol fiir die Eigenfunktion des Grundzustandes des ungest/Srten Operators Ut,
...
Uf N
wird abgekfirzt (~u). Die Numerierung der Gitterpunkte geschieht durch Vektoren f, deren Komponenten /, g, h ganze Zahlen sind, die in Gittermass die Abst/inde des betreffenden Gitterpunktes yon einem willkfirlich gew~ihlten Nullpunkt angeben, gemessen 1/tngs den KristaU-achsen. Es wird in jeder der drei Hauptrichtungen Periodizit/it verlangt mit der Periode yon G Gitterpunkten. N ist die Gesamtzahl der Gitterpunkte; N -= G3 ffir das einfach-kubische, N = 2G3 fiir das raumzentrierte, N = 4G a fiir das fl~ichenzentrierte Gitter. Mit z wird die Anzahl der Nachbarn angedeutet. si (i = 1 . . . . 1/2z) sind die Vektoren f, gezogen vom Aufpunkt nach der H/rifle der Nachbarn, wobei immer s~ + s i ~ 0 gelten soll. Wir haben z.B.
s I ---(100), s2=(010 ), sa~(001 ) , fiir das einfach-kubische Gitter; ] st-----(--111),s2=(l--11),%----(11--1),s4----(lll )
/
ftir das raumzentrierte Gitter; r (1)
Sl-----(110),s2--(1--10),s3=-(101),s4--(10--1),ss----(01
l),s6----(01--1), [
ffir das fl/ichenzentrierte Gitter.
/
Das Symbol * bedeutet komplex-konjugiert. § 3. Wir werden nun zur St~Srungsrechnung im Anisotropieproblem ffir das kubische Gitter fibergehen. Wir w/ihlen zwei kartesische Koordinatensysteme: (x, y, z) parallel den KristaU-Achsen, (X, Y, Z) mit der Z-Achse in der Richtung des Magnetfeldes.
ZUR THEORIE
DER MAGNETISCHEN
Die Transformations-Matrix sei X Y
/
0~12
469
Z
X
0'.11
Y
~21 ~z~ ~23
Z
0~31
0(32
ANISOTROPIE
0~13
(2)
0~33
Zwecks sp~terer Anwendung ffihren wir ein ° ~ 2 1 - i(x22 = ~2 °"31 - - i ° ~ 3 2 = ~3
(;(23 = Y2 0{33 = "~'3
;
(3)
Zwischen den ~ und ~, bestehen die Beziehungen:
(~fi'l+~2~'2+~3v3)=0;
X~2=0;
Z¥2=1;
Z~*=2.
Der Energie-Operator lautet: =--
~HX~, ~
t
+/Y" (l--a,. a,+.,) f,~ 2 + ~xo',t,,~ "~'f+', --- ~o+*~1.
(s).
Hierin bedeutet ~ eine GrSsse yon der Ordnung des Bohrschen Magnetons; H die Feldstitrke; ~ die Komponente von at in der Richtung s~. Die a x, aY, ~f sind Matrizen yon 2N Reihen und Kolonnen, in Beziehung zum Index f die Pauli-Matrizen, in Beziehung zu den iibrigen Indizes Einheits-Matrizen. Im symbolischen Produkt, dutch welches eine Situation gekennzeichnet wird, wirken sie nur auf den Faktor mit Index f: ~X . u, = v, } ~ . uf = - - iv, } az.ut=u, ) (6) , x vf = uf , ~ v~ = ¢"t ~, v, = - - v ~ Fassen wir nun die [~ und -( auf als symbolische Vektoren [~ und y mit den Komponenten ([~1, [32, [33) b.z.w. (71, T2, ¥3) 1Angs den (x, y, z) Achsen, so folgt hieraus
at.uf=[3.vt+y.m. at.
vf =
[3 *. u t ~ - - y
"t • vf.
[
(7)
Also, da
*V
l
=
s- --J-'~ . (s,. a),
gelangen wir zu G~ i ~ f =
- -
l
Is, I 1
{(s,. 8) vt + (s,. y) uf}.
~i' v, = s;---[ ] {(s,. 8*) " t -
(8) (s,. v) vt}.
Nachdem wir nun diese Grundformeln zur Durchffihrung unserer
470
w . F, V A N P E Y P E
StSrungsrechnung in leicht fibersichtlicher Weise dargesteUt haben, wollen wir zur formellen Entwicklung der LSsung der SchrSdingergleichung na.ch ¢ fortschreiten. Der Grundzustand, (~u), des ungestSrten Operators $ o u n d dessen Energie, - - N ~ / , sind bekannt: : (80 + Np2-/) (7ru) = 0.
(9)
Schreiben wir ffir den Grundzustand des gestSrten Operators und dessen Energie
• = (~u) +¢~71+ ¢292 + . . . ;
E=--N~H+¢Et
+¢2E2+ ....
(I0)
so folgt aus der SchrSdinger-gleichung
($o + N ~ n ) ~ , + ($,--E1)(~u) = 0.
(11)
(8o-I-N~H)~2-}-(~t--Et)~,--E2~u) = 0 .
(12)
mad Wit multiplizieren (11) und (12) links mit (Tru)* und,,integrieren" fiber den diskreten Werte-Bereich der beziiglichen Funktionen, wobei wegen der Normierung und der OrthogonalitRt von (nu) und ~ol f CTeu).(7:u)*= 1; f ( ~ u ) . q ~ * = o zu nehmen ist. Unter Berficksichtigung von (9) und des hermiteschen Charakters des Operators ~o, linden wir ffir die gesuchte erste und zwe~te N~iherung der StSrungsenergie
E~ = f (~u)* $, (~.),
und
(13)
E2 = f 0'~. ,~ (~u). Der Ausdruek ~)l(7:u) ist mittels (8) leicht zu bestimmen:
~i (~) = ~
1
(I 4)
{~ (st. ~)2. A~(~) + 2 ~., (s,. p) (s,. ~) ~, ~, + +Z(s~.p)2v,v,+,,}
(15)
1,$
Nur der erste S u m m a n d liefert mit (13) einen yon Null verschiedenen Beitrag; dies bedeutet eine yon der Richtung des Magnetfeldes unabh~,ngige Energieversehiebung vom Betrage e, b.z.w. 4/3 ¢ und 2e pro Atom fiir das einfach-kubische, bzw. raumzentrierte und fl~ichenzentrierte Gitter. Der zweite Summand verschwindet bei jedem der drei kubischen Gitter wegen
I: (s,. p) (s,. v) = o, i
Z U R T H E O R I E D E R MAGNE;TISCHEN A N I S O T R O P I E
471
Also ist
1
( ~ 1 - E,) (~u) = r~r~:C (s,. ~)2 v,. v,+.,. Is, I ,.,
(16)
Diesen Ausdruck wonen wir nun in (11) substituieren, zur Bestimmung yon q0t, und damit (vgl. (14)), von E2. Hier ist eine E(genschaft des Heisenberg-Operators zu erw~ihnen, die ebenfalls dem Operator des magnetischen Beitrages zur Energie zukommt : diese Operatoren, wirkend auf ein symbolisches Produkt II vtk mit l v.Faktoren, transformieren dieses Produkt in solcher Weise, dass die Anzahl der v-Faktoren sich nicht ~indert. Also schliessen Wir aus (11) und (16), dass ~l folgende Form haben mUSS :
~t = F. Bf, f. vtl vf., ft, fs
und hiermit haben wit die Entwicklung yon q~l bekommen, worauf wir in § 2 bereits zielten. Es gilt nut noch die Koeffizienten Bftf, ZU bestimmen. Dies wird sehr erleichtert dutch folgende Bemerkung: man kann die Bftf, auch auffassen als Funktion von fl + f2 und fl --" f2. Well aber der Nullpunkt des Gitters willkfirlich gew~ihlt werden kann, m~Schte ma.n vermuten, dass die 3,tf, von dem Abstand fl + f2 gar nicht abh/ingen. Man m6chte versuchen qh = y' Bf. vg vg+t. f, g
(17)
Die Summation fiber f i s t so auszufiihren, dass jede Kombination (f, g) nur einmal hierin vorkommt; das erreicht man z.B. indem man d i e B t in einem Halbraum definiert. Es zeigt sich im Folgenden, dass dieser Ansatz f fir q~l tatsiichlich genfigt. Fiir die zweite N~iherung der St6rungs-Energie liefert er mittels (14) und (15), N
E~
-
I s, 12 ~B~(s,. 13)2.
(IS)
Die spezielle Form des letzten Summanden yon (15) ist Ursache, dass hierin nur die Koeffizienten B, i auftreten. § 4. Um die Bf zu berechnen, haben wir (16) und (17) in (11) zu substituieren. Wir mfissen also untersuchen, wie der Operator ~0 auf (17) wirkt.
472
W.F. VAN
PEYPE
Mit Hilfe yon (7) findet m a n 1 -- at. af+°~ wirkend auf 2
uf vt+,i gibt
ut vt+, i - - vt ~+*i.
vf vt+.~
0
(hier sind nur zwei Faktoren des symbolischen Produktes, durch welches eine Situation gekennzeichnet ist, geschrieben; und zwar jene, deren Indizes mit denen des darauf jedesmal wirkenden Operators zusammenfallen: die fibrigen Faktoren bleiben ja ungeiindert.) Hiermit liisst sich folgende Regel ableiten: Abgesehen vofi dem Faktor J. transformiert der HeisenbergOperator ffir den ganzen Kristall den Ausdruck vivg+f in eine Summe von Termen , deren ]eder definiert ist als die Differenz des urspriinglichen Produktes und eiries'Produktes, das daraus hervorgeht, wenn einer der v-Faktoren zu einem ben~chbarten Gitterpunkt iibersiedelt. Zu surnmieren ist fiber alle Kombinationen, die man auf diese Weise bekommen kann. GehSren aber die beiden v-Faktoren im urspriinglichen Produkt zu benachbarten Gitterpunkten, so ist der bezfigliche Term fortzulassen. Der Operator d e s rnagnetischen Beitrages zur Energie wirkt auf 07) in folgender Weise: Z ~ . Z Btvg vg+t = (N - - 4)f~ Bfvg va+t. f
f, tt
(vgl. (6).) Einffihrung unserer Resultate in (11) gibt die Glejchung X va v,+t [ J . 2 Z. {(Bt - - B,+,,) + (B, - - Bt_.,)} + 4VJ'/'B,] + los/
+ Z vAvg+, [J. 2 (~, ((Bt--B,+,,) + (Bt--B,__,,)) + (B,--Br+.i) } + f=s/
"
"
+ 4~HB,] + ~
I
Z (%. ~)2 vava+., = O.
Hieraus findet man durch Gleichsetzen von Koeffizienten J . ~. {(Bt-- Bt+,,) + (Bt--Bf_.,)} + 2VJarBt-- 0
ffir f :# s i .
(19a)
J . [ Z {(Bf--Bt+,,) + (Bt--Bt_,i)} + (Bt--Bt+,~)] ,+ 2tx//Bt + 1
+ 21s,] 2(si'[3) 2 = 0
ffir f----s i.
(19b)
Der Faktor 2gY-/ist klein gegen J. Nach Heisenberg's Theorie ist J von der Ordnung k0. (k = Boltzmann-Konstante, ~-~ 1,3.10 -16 Erg/Grad; 0 ---- Curie-Temperatur, ~-~ 103).
ZUR THEORIE
DER MAGNETISCHEN
ANISOTROPIE
473
ist v o n d e r Ordnung des Bohrschen Magnetons, ~-~9.10-21. Ffir ein Magnetfeld yon 104 Gausz wird also 2p./-//J ~-~ 1,5.10 --~. Die Terme in (!9), die mit diesem Faktor multipliziert sind, werden wir vernachlttssigen. Wir definiereh eine Funktion bf auf den Punkten eines kubischen Gitters im ganzen Raum, durch die Gleichungen ~. { ( b t + , , - br) - - ( b , - - bf_,,)} = 0 fiir f 4~ (0, 0, 0). (20a) Z {(b,+,i - - b,) - - (b, - - bf_,i)}------ 4= ffir f ---- (0, 0, 0). (20b) Die bf sollen fiir grosses f nach Null Konvergieren. Diese Gleichungen kann man betrachten als das diskrete Analogon der Gleichung yon P o i s s o n fiir eine Punktladung im Ursprung. Die bf zeigen daher die gleiche Symmetrie wie die Funktion l/r, und ffir f gross verhalten sie sich wie diese Funktion. Die L6sung yon (20) gelingt durch die Einffihrung einer dreifachperiodischen' Funktion A ~ , q, r), mit den Perioden 2~, und deren Fourier-Koeflizienten die b~ sind: +~
873 A (p, q, r) ---- ~ bfe~(f'p)
(p --= (p, q, r))
21r
bf = f f f A (p, q, r). e i(f'p) . dp . dq . dr. 0
Substitution in die Gleichung (20a) gibt A (~, q, r) = c/Z (1-- cos (s,. p)) Die Konstante c findet man aus (20b), c ---- 1]4 ~a, also 2~" 2~ 2~r
o o b Z. (1--cos (s,. p)) Die bt kann man ffir N --~ oo in Zusammenhang bringen mit den gesuchten Bf mittels Bf = Z Pi (bt+,i + bf_,~), (22) i
denn dadurch werden die Gleichungen (19a) identisch gel6st, und (19b) geht fiber in folgendes System von linearen inhomogenen Gleichungen zur Bestimmung der p~ (bei der oben besprocherten Vernachl~ssigung ) *) *) Die B f s i n d u r s p r f i n g l i c h d e f i n i e r t in e i n e m H a l b r a u m , (sehe (20) u.f.) Erweitert m a n diese D e f i n i t i o n zu d e m g a n z e n R a u m m i t t e l s B - - f = Bf, so b i l d e n sie d a s disk.fete A n a l o g o n ftir die L S s u n g d e r G l e i c h u n g y o n P o i s s o n eines M u l t i p o l - F e l d e s m i t L a d u n g e n 9i in d e n P u n k t e n s i u n d - - si.
474
VAN PEYPE
W.F.
1 Z., p, {(b.i+., - - b.,) + (b.,...:_.,.- - b...,,)} - - 4= p~. = ~ j
1 I s, 12 (s;. ~)2.
(i -- 1, 'M.). Durch Summierung dieser Gleichungen findet m a n (alle bsi und b_,~ sind gleichgross)
z p, = o,
(23)
sodass m a n sie vereinfachen k a n n zu
1
1
Z. p, {(b.i+., + b.,~,,)} --- 4= Pi = ~-]j" I s, 12 (s;. ~)2.
(24)
Mit der aus (22) u n d (24) folgenden Beziehung 1 1 B,. = 4=pi + 2J ) s, }2 (si" [3) 2
(25)
geht (18) schliesslich fiber in
I s, I t
l
,
]
2J
I s, [2 z. (s,.[~)2. (s,. 0*) 2 . (26)
Wir wollen n u n die verschiedenen Gitter gesondert behandeln.
§ 5. Ein/ach-kubisches Gitter. Die s~ werden gem~ss (I) gewtthlt. I n d e m m a n (23) noch einmal in (24) einffihrt sieht man unmittelbar P~ = 2 J booo-at- boo2- - 2bon - - 4n und, unter Berficksichtigung von (3) und (26), N booo + boo2-- 2bo,, • 2 (1 - - Z y2y~). E2 = -~-f" booo + boo2- - 2 b o n - 4= Hier ist
12fff
(27)
2~r 2~r 2*r
bt = ~
0 0 c<~
0
ei(f'P) d ~ ) d ~ d r - -
3 - - Z cos p
0 21r
0
2~r
'
2~
0 O0
= 2n. i - . ( t + ' + ' l f d ' r , e-3T . Jt (i,). J, (i,r). J,(i'~). o
Jt, Jg, Jh sind die Besselschen Funktionen erster Gattung. Durch Anwendung von (20) fiir boo1, findet man booo + b o o 2 - 2boll = 6(boot - - bolt).
ZUR THEORIE
DER MAGNETISCHEN
ANISOTROPIE
475
Graphisch wurde ffir den W e r t des Inte~rales (boot - - b o n ) gefunden 0,437. In der fiblichen Notierung, (E 2 ---- Const. + Kt Z y ~ in Ergs/cm3), haben wir also KI
=
+ 0,26" ~2n •
J
(n ist die Anzahl Atome pro cm3).
(28)
Raumzentriertes Gitter. Die Rechnung l~iuft analog zu der Ifir das einfach-kubische Gitter: 1
1
0~ = 6 J "booo + bz~
--
b022
boo2- - 4~ (s~. [~)2
--
und E2 =
N
booo + b2z2 - - b022 - - boo2
- -
16 (1 + Y . y ~ ) .
18J booo + b222- - boz2 - - boo2- - 4r:
(29)
Hier ist 21r 2~r 2Tr
booo -- 1 ~ 2
1 - - cos p cos q cos r" 0 0 0
N a c h d e m man nach r integriert hat, macht man Iolgende Substitution : cot p/2 ---- 0%/2. sin 0/2. cot q/2 = p%/2. cos ~o/2., und Iindet
0
0
0
0
0
Nun in.tegriert man erst fiber p, dann fiber x und fiber ~ und findet b°°°= 8 - ~ {P(*/4)}4 = 2,1 87. Das ganze System der bf wurde angen~hert berechnet auf folgende Weise: Aus der Analogie der G1. (20) mit der Gleichung yon P o i ss o n weiss man, dass die bt mit grossen Indizes sich verhalten wie
41C12 + g2 + h In erster N~iherung wurde ffir aUe bt (ausser booo und b m, die exakt b e k a n n t sind) dieser Ansatz gemacht. Das linke Glied der G1. (20) verschwindet nun nicht, aber wird gleich einer Grtisse A, die
47.~
. W.F.VAN
PEYPE
wit den .Fehler nennen, und die fiir grosse Indizes prozentgemiiss gering ist. Die bt mit ~//~ + g 2 ~ h 2 > l0 wurden festgehalten; yon den kleineren btwurde jedesmal eins korrigiert, indem es in den acht G1. (20), in denen es gerade vorkommt, betrachtet wurde als ein Unbekannter, der so gew~hlt werden soil, dass die Summe der Qua'drate der acht linken Glieder mSglichst klein wird. Dabei wurden die bt mit den grSssten Indizes zuerst variert. (es wurde also ,,yon aussen nach innen" gearbei.tet.) Das Verfahren l~isst sich beliebig oft wiederh61en, und. lieferte schliesslidl f/ir den ersten bf: g
h
b
0 l 0 2 I 2 0
0 I 2 2 3 2
2,187 0,616 0,456 0,356 0,305 0,317 0,270
4
A - - 4~ 0,042 0,036 0,048 "~ 0,089 0,026 0,016
Fiir das raumzentrierte Gitter wird nun ~2n K 1 = --0,14 -f-.
(30)
Fldchenzentriertes Gitter. Die beiden ersten Gleichungen (24) lassen sich auf folgende Form bringen:
plA + p2B = ~
1
({3t + ~2)2
l
.. [ A =booo-Fboz2--bou--bn2--4n. ' m l t ~ B = 2boo2~ bott - - bu2.
und besitzen die LSsungen pl P2=
4j ~A + B 1 + 4J k A + B
Die. iibrigen p~ findet man durch zyklische Vert~uschung. Dies fiihrt zu
E
N[/
4~
+AS~B+3)
4~
ZUR THEORIE
DER MAGNETISCHEN
ANISOTROPIE
477
Mittels (20) und (21) lassen sich die Koeffizienten (A + B) und ( A - B) zurfickbringen auf A + B = --2re + 6 ($2-- 2S,) t
A - - B = - - 47: + 4 S 2
l
(32~
St und $2 sind t~olgende Integrale: ~ r 2~r 2*r
$1 =
~---~f f f 3 sin2p'dpdqdr - - Z cos p cos q 0 0 0
2- ~,, 2,,
1 fffsin. 3--Xco p.sin2q.dpdqdr ?02-
(33)
0 0 0
Nach Integration fiber r geht das Integral S l dutch die Substitionen t g q = = tg u. s i n ; . und sin p = 2
cos =
fiber in ~/2
4 /" cos 20t. sin c~d0t
K(ot) ist das vollst~indige eUiptische Integral erster Gattung. Die graphische Integration lieferte
0,563
<
S~
<
0,583.
In das Integral S 2 wurden nach Integration fiber r Polar-koordinaten eingeffihrt gemiiss tg ~ = p cos 9 tg q ---- p sin % Das liefert
$2=4 / P4dP/ oo
~-
:v/~" 0
2vr
dcp.sin29cos29 ( l + p 2 + p 4 s i n 2 9 c o s 2 9 ) 2 ~ / l + p 2 s i n 2 9 c o s 2 9.
0
Fiir dieses Integral wurden eine obere und eine untere Grenze bestimmt mittels 1 < %/I + p2sin2q0 c0s29 <
1 + ~-.
1478
W.F.
VAN PEYPE
Substituiert man nLrnlich fiir die Wurzel in $2 eine dieser beiden Grenzen, so kann man das Integral elementar berechnen. Es zeigte sich, dass 0,248 < $2 < 0,368 und
-o,o8 3 - <.Ki <-o,o2.
)
(34)
§ 6. Unsere Rechnung l~isst zich leicht verallgemeinern fiJr den Fall eines mehrfach-entartet.en Grundzustandes. Sei s die Quantenzahl des resultierenden Spinmomentes eines Atoms. Fiir die Operatoren der Komponenten des magnetischen Momentes 1/ings den X, Y, und Z-achsen sind dann zu nehmen 6) 1
0 1
0
0
s
0
1 /2~-- 1 s 2
0
2
0
0 i
1
1]/~--
0 0
sY
l
0 0
0
2
0
0
s--I S
0
0 s--2 s
Wir haben die a so.normiert, dass der gr6sste Eigenwert des magnetischen Momentes eines Atoms gleich Eins ist. Die hier angeschriebenen Matrix-elemente sind die einzigen, die fiir unsere Rechnung eine RoUe spielen.
ZUR THEORIE DER MAGNETISCHEN ANISOTROPIE
479
Die meisten der frfiher abgeleiteten Gleichungen behalten ihre Gfiltigkeit bei. Nur diejenigen, die ver/tndert werden, wollen wit in der gleichen Numerierung jedoch mit einem Akzent versehen, hinschreiben. Die verschiec~enen m6glichen Zust/inde eines Atoms nennen wir nach abnehmendem magnetischem Moment u, v, w, . . . Man hat dann
(6') 1
1] / 2 s - - 1
i
i 1 ~/~---~-1~1
s--1
V!
und a,u! = yu, + ~
1
flv,.
(7').
°'vf=.~-s~*m+ s YV'+s
~w!.
Weiter
1 -1 ~vv,= iT,1 l {~_~(,,. ~, ),,,+ sW_ (,,.y)~,+ : ~___2 (~, ~) ~,} (8')
Wir folgen nun unserer friiheren Rechnung bis ~)1 (xu) ----
(s,. y)2. N(m0 +
+ ~1 Y, (s,. [~)2 v! vf+,t: }
(15')
t,¢
1 1 2s i s ` ,'" !,t:Z(st:. ~)~ v, vf+,t:.
(~01- E,)(~u)
(16')
Wir werden sehen, dass der Heisenberg-Operator, wirkend auf v, v,+t nun, ausser Termen mit zwei v-Faktoren, auch noch Terme mit einem w-Faktor liefert. Es zeigt sich aber, dass man auch jetzt noch den Ansatz (17) fiir qh behalten kann. In diesem Falle findet man
1
I
E2----~ls, i2x
B* (St:
,t:
.
~)2.
(18')
Untersuchen wir wieder, wie der Operator ~)o auf ~i wirkt, dann hat man ffir diese Berechnung auszugehen yon den Grundformeln
480
W.F.
VAN PEYPE
• Uf ¢4.+s~
1 - - ¢*t¢*t+,iwirkend auf ¢6fVf+s4 2
Uf Uf+s,
-o gibt
~
(v,+.,--v,)
2s--I
vtv'+'i
, s~/~y
2
"
und
(Zt~)(ZB~vgvQ+t) = ( N - - 2 ) Z Btv~vg+,. f,t
f,~
Nach Multiplizierung mit 2s gelangt man zu der Gleichung
X v,v,+,[J. 2Z {(Bt-- B,+,i)+ (Bf-- B,__,;)}+ 4~nBt] +
f#sj
+ Z
f=s/
v,v,+,[y. 2 {Z ((B,--Bf+,.) + (Bf--B,_,,)).+ (Bf--Bf+,i)}+ i~]
s
B,] X "2 ] ~/~---1 4- 4FHB~ + ] . 2s--1 --,=.~ ~ V--2--" B,. 2~, + s
+ ~
1
X, (% ~)2 v, v,+., = 0.
Der Koeffizient yon w, ist bis auf eine Konstante ZB.i, und verschwindet daher, wie wir sp~iter sehen werden. Weiter bekommt man J . Z {(B, - - B,+,,) + (B,-- B,_..,,)} + 2~ H Bt = 0 ffir f =/: % ] !
J[ Z {(Bf--Bt+,,)+(Bt--Bf.__,,)} +(Bt--Bt+.i) + 2s~--I B,] + { (19') Li#i.
~
+ 2. H B , + ~ ( % . ~ ) 2 = 0
"J
l
fiir f = s i ' ] /
Die Bf kSnnen wieder auf diese|be Weise mit den bfin Zusammenhang gebracht werden. Anstatt (24) und (25) bekomlnt man 1
X ~,.~s (b'i+',+
1
!
b,j_,) -- 4= % = 2J " ) s; 12 % . ~)2. (24')
und 1
B.i
1
1
= 4= £i + "~./~-T"is ` 12 (sj. ~)2.
(25')
ZUR THEORIE
DER MAGNETISCHEN
ANISOTROPIE
481
Aus (25') sieht man Z B.i ---- O, was wir vo~her benutzten. Substutiert man (25') in (18'), dann zeigt sich, dass unsere Schluss-Formel (26) ungeiindert bleibt; nur hat man neue p~ einzufiihren. Diese werden aber mittels (24') berechnet, und die einzige Anclerung, die auftritt, is~ die Ersetzung von (b.j+.~ + b.i_.~) durch I/2~ . (b..+.~ + b,_.,i). Wir haben also direkt fiir das einfach-kubische Gitter: KI =
2,6/2s 2,6/2s--4= J
(28')
und ftir das raumzentrierte Gitter 16 1,7/2s e2n Ki ------ ~ 1,7/2s - - 4~ J "
(30')
Fiir das fliichenzentrierte Gitter wird (//1 + B) ---- - - 2= 2 - -
+6
2s
$2 (A - - B) = - - 4~ + 4 ~ ,
(32')
und die Anisotropie-Konstante K t i s t angen~hert ¢2n (
4,r
K, =--~j. 5/2s + 27:(2 - - 1/2s)
8~ ) 4~ - - 1,2/2s + 1
(34')
Zusammenfassend sehen wit also, dass die Anisotropie-Konstante Kt in ~Uen drei F/illen mit wachsendem Entartungsgrad des Grundzustandes abnimmt. Dabei/indert sie ihr Zeichen nicht. Fiir s-+ co verschwindet die Anisotropie. In einer quasi-ldassischen. Rechnung mit diesem ModeU, wie sie K r a m e r s und H e 11 e r in einer nicht publizierten Arbeit versucht haben, bekommt man in Obereinstimmung damit keine Anisotropie. Das Zeichen von K1 beim absoluten NuUpunkt ist in unserem Modell fiir das einfach-kubische Gitter positiv, ftir die beiden andern Gittern negativ *). Es gibt aber experimentell kein einfacher Zusammenhang zwischen Gitter-art und Zeichen der Anisotropie-Konstante; jedenfalls nicht bei gew6hnlichen Temperaturen. So zeigt z.B. N i c k e 1, das ein fl~ichenzentriertes Gitter hat, *) D a s ist in 0 b e r e i n s t i m m u n g Physica V
m i t d e n R e s u l t a t e n y o n V a n V 1 e c k. 31
4~9.
Z UR T H E O R I E D E R M A G N E T I S C H E N A N I S O T R O P I E
bei Zimmertemperatur negatives Kt, bei 200 ° C positives K1. Eisen hat ein raumzentriertes Gitter und positives K~. Die GrSssenordnung yon Kt ist bei Zimmertemperatur l0 s. Nimmt man an, dass dies auch bei niedrigen Temperaturen der Fall ist *), so miisste etwa 0,1 . , 2 n / J , ~ 10s; das gibt (da J , - ~ 1 0 -13, n ,~ 10z~), ¢ ,~ lO-ts, also klein gegen J . Herrn Professor H. A, K r a m e r s danke ich herzlich fiir seine Anregung und Hilfe bei dieser Arbeit. Eingegangen am 26. J a n u a r i 1938.
Leiden, 7 Januari 1938.
LITERATURVERZEICHNIS I) 2) 3) 4) 5) 6)
Z. Phys. 70, 395, 1931. W~ H e i s e n b e r g , Z. Phys, 39, 499, 1926. Proc. roy. acad. Amst. 33, 967, 1930. Phys. Rev. 51, l17B, 1937. Z. Phys. 61, 206, 1930. Vgl. H. A. K r a m e r s, Grundl. der Quantentheorie, Theorien des Aufbaues der Materie, I, 175. (ira Hand- und J a h r b u c h der chemischen Physik.)
*) Der W e r t von Kt ist fiir Ni. bei Z i m m e r t e m p e r a t u r - - 3 . 1 0 ' . Nach neuen J a pa ni schen Messungen an Ni. (vgl. B o z o r t h, J. Appl. Phys. B, 575, 1937) ist K I = - - 3.10' bei 21 ° K. V a n V l e c k bemerkt, dass man durch E x t r a p o l a t i o n bis zum absoluten N u l l p u n k t einen noch viel grSsseren Wert Iiir K t erwarten muss, sodass ma n vielleicht •icht m i t sehr kleinen ¢/] rechnen darf.