Anneaux de valuation discrète et modules des différentielles

206, 135]169, 1998 JA977415

JOURNAL OF ALGEBRA ARTICLE NO.

Anneaux de valuation discrete ` et modules des differentielles ´ Michel Andre ´ Departement de Mathematiques, Ecole Polytechnique Federale, CH-1015, ´ ´ ´´ Lausanne, Switzerland Communicated by D. A. Buchsbaum Received July 28, 1997

The module of Kahler differentials of a commutative G-algebra X is essentially ¨ described by two cardinals and two integers when X is a valuation ring and when the residue extension is good enough. The first cardinal and the two integers have been described by R. Berger and E. Kunz. The last cardinal deals with the divisible part of the torsion of the module of differentials. It is proved to be finite and given by an equality involving the Krull dimension and the module of imperfection. Q 1998 Academic Press

INTRODUCTION Considerons un anneau de valuation discrete ´ ` X, d’uniformisante j , de corps des fractions K et de corps residuel C. Un X-module W est dit ´ quasi-fini si on a la propriete ´ ´ suivante dim C Wrj W - q`. Un module quasi-fini est presque completement decrit ` ´ dans le cas general ´ ´ et completement decrit dans le cas complet par quatre modules plus ` ´ simples: un un un un

module module module module

divisible sans torsion de la forme Ý K Ž a copies., divisible de torsion de la forme Ý KrX Ž b copies., libre de rang fini c, de type fini et de torsion avec d generateurs. ´ ´

Les cardinaux a et b peuvent ˆ etre infinis. 135 0021-8693r98 $25.00 Copyright Q 1998 by Academic Press All rights of reproduction in any form reserved.

MICHEL ANDRE ´

136

Considerons un anneau local noetherien G, de corps des fractions E et ´ ´ de corps residuel S. Considerons aussi un monomorphisme local avec une ´ ´ condition pour le module des differentielles de l’extension residuelle ´ ´ GªX

avec dim C H0 Ž S, C, C . - q`

et meme positive Žvoir le Lemme 34 et la ˆ un peu plus en caracteristique ´ Condition 35.. Mais alors le X-module des differentielles de la G-algebre ´ ` X est quasi-fini W s H0 Ž G, X , X . et il s’agit de determiner les cardinaux a et b ainsi que les entiers c et d. ´ En premier lieu on a deux ´ egalites impliquant les deux ´ ´elementaires ´ extensions de corps Žvoir les Propositions 25 et 26. a q c s dim K H0 Ž E, K , K .

et

c q d s dim C H0 Ž S, C, C . q 0 ou 1

pour determiner a et d ` a partir de c. Dans leur travail fondamental sur le ´ sujet, R. Berger et E. Kunz ont determine ´ ´ l’entier c de maniere ` astucieuse, en remplac¸ant l’anneau de base G par un anneau de valuation discrete ` Žvoir bien choisi et en modifiant l’extension residuelle en consequence ´ ´ w5, Propositions 8 et 12x.. Leur resultat est redemontre ´ ´ ´ dans le present ´ travail et cela par voie homologique Žvoir les Theoremes 55 et 60.. ´ ` En fait le cardinal b est fini Žvoir la Proposition 30. et le present travail ´ determine la difference b y c. Lorsque G est complet Žou seulement ´ ´ excellent . l’egalite ´ ´ suivante est demontree ´ ´ b y c s Ž dim G y 1 . y d.tr CrS y dim K H1 Ž E, K , K . . Donc l’anneau de base G intervient par sa dimension de Krull, l’extension residuelle CrS par son degre ´ ´ de transcendance et l’autre extension de corps KrE par son module d’imperfection Žvoir le Theoreme ´ ` 43.. Lorsque G est quelconque, l’egalite reste vraie si on modifie le module ´ ´ d’imperfectionet si on ajoute un entier supplementaire obtenu ` a l’aide du ´ ˆ dans X, ˆ les deux anneaux completes noyau de l’homomorphisme de G ´´ Žvoir les Theoremes 48 et 65 avec les Definitions 45 et 62, et pour le cas G ´ ` ´ excellent, l’Exemple 47, la Remarque 63 et la Proposition 68..

MODULES QUASI-FINIS SUR UN ANNEAU ` DE VALUATION DISCRETE Soit X un anneau de valuation discrete, ` d’uniformisante j , de corps residuel C et de corps des fractions K. Son complete-separe ´ ´ ´ ´ ´ Xˆ a la meme ˆ

VALUATION DISCRETE ` ET DIFFERENTIELLES ´

137

C et le corps des fractions suivant uniformisante j , le meme ˆ corps residuel ´ L ( Xˆj ( Xˆ mX Xj ( Xˆ mX K . DEFINITION 1. Un X-module W satisfaisant ` a la condition suivante est dit quasi-fini dim C Wrj W - q`. Un module de type fini est quasi-fini et a la forme suivante c

Ý Ž Xrj k X .

W( Ž X. [

dk

kG1

Žl’entier c est quelconque et les entiers d k sont presque tous nuls, de somme d .. Un module divisible est quasi-fini et a la forme suivante a

W ( Ž K . [ Ž KrX .

b

Žles cardinaux a et b sont quelconques.. Tout module W a un plus grand sous-module divisible Wdiv . La suite exacte 0 ª Wdiv ª W ª WrWdiv ª 0 est scindee, ´ puisque Wdiv est un module injectif. LEMME 2.

On a un isomorphisme b

W ( Ž KrX . [

Ý Ž Xrj k X .

dk

kG1

pour tout module quasi-fini de torsion W. Il existe un sous-module V de type fini et un entier e ) 0 avec la propriete ´ ´ suivante W s V q j eW

j e V s 0.

et

L’egalite ´ ´ suivante donne l’inclusion suivante

j eW s j 2 eW

et

Wdiv > j e W.

Mais alors le module WrWdiv est de type fini comme quotient de V. On termine la demonstration grace 1. ´ ˆ aux remarques de la Definition ´ LEMME 3.

On a une suite exacte c

a

0ª Ž X. ªWª ŽK. ª0 pour tout module quasi-fini sans torsion W.

MICHEL ANDRE ´

138

Il existe un sous-module V de type fini avec la propriete ´ ´ suivante WsVqjW

Vrj V ( Wrj W.

et

Le module V de type fini et sans torsion est libre de rang c. La suite exacte Ann W j ª Ann U j ª Vrj V ª Wrj W ª Urj U ª 0 donne les proprietes ´ ´ suivantes Ann U j s 0

et

U est sans torsion,

Urj U s 0

et

U est divisible,

pour le module-quotient U s WrV, qui a donc bien la forme Ž K . a. LEMME 4.

Soit une suite exacte 0 ª W9 ª W ª W0 ª 0.

Alors W est quasi-fini si W9 et W0 le sont et W0 est quasi-fini si W l’est. Si la suite exacte est scindee ´ ou si W0 est sans torsion, alors W9 est quasi-fini si W l’est. Ce sont des consequences immediates de la suite exacte ´ ´ W9rj W9 ª Wrj W ª W0rj W0 ª 0 Ž´ eventuellement prolongee ´ par 0 `a gauche.. Une somme directe d’une infinite ´ de copies de la suite exacte standard 0 ª X ª K ª KrX ª 0 est un exemple d’une suite exacte avec W quasi-fini sans que W9 le soit. LEMME 5. exacte

Soit Wtor le plus grand sous-module de torsion de W. La suite 0 ª Wtor ª W ª WrWtor ª 0

est scindee ´ pour tout module quasi-fini W. Puisque le quotient WrWtor est sans torsion, le Lemme 4 s’applique et on a deux autres modules quasi-finis Wtor et WrWtor que les Lemmes 2 et 3 decrivent: ´ b

Wtor ( Ž KrX . [

Ý Ž Xrj k X .

dk

kG1 c

a

0 ª Ž X . ª WrWtor ª Ž K . ª 0.

VALUATION DISCRETE ` ET DIFFERENTIELLES ´

139

On termine la demonstration en remarquant que ´ Ext 1X Ž U, V . ( 0 dans les trois cas suivants: Ž1. U est libre, Ž2. V est divisible, Ž3. U s K et V s Xrj k X. LEMME 6.

On a une ´ egalite´

F j mW

Wdiv s

mG1

pour tout module quasi-fini W. Grace ˆ aux Lemmes 2 et 5 il suffit de traiter le cas ou ` W est sans torsion. Il s’agit de considerer ´ une famille d’elements ´´ avec w s j m wm

w et wm g W

et d’en deduire une famille d’elements ´ ´´ wmX g W

X avec w s wX0 et wmX s j wmq1

ce qui est clair avec wmX s wm . Ce lemme demontre que le module WrWdiv Žde la suite exacte scindee ´ ´ de la Definition 1. est separe. ´ ´ ´ PROPOSITION 7. Soit un X-module quasi-fini W. Alors il existe un X-module separe ´ ´ sans torsion V, puis un isomorphisme de X-modules a9

b

W ( Ž K . [ Ž KrX . [

Ý Ž Xrj k X .

dk

[ V,

kG1

enfin une suite exacte de X-modules c

0ª Ž X. ªVª ŽK.

a0

ª 0.

Les cardinaux a9, a0, b et les entiers c, d k , ainsi que le module V, sont determines ´ ´ par W. Par les deux suites exactes scindees 1 et Lemme 5. la ´ ŽDefinition ´ demonstration d’existence se ramene aux trois cas suivants: ´ ` Ž1. W divisible Žvoir la Definition 1., ´ Ž2. W separe Ž ´ ´ de torsion voir le Lemme 2., Ž3. W separe ´ ´ sans torsion Žvoir le Lemme 3..

MICHEL ANDRE ´

140

Pour demontrer l’unicite ´ ´ on construit les modules auxiliaires M s Wdiv ,

M9 s Mtor ,

M0 s MrM9,

N s WrM,

N9 s Ntor ,

N0 s NrN9,

et on remarque les isomorphismes suivants M9 ( Ž KrX . M0 ( Ž K . N9 (

b

a9

avec b s dim C Ann M 9 j , avec a9 s dim K M0 ,

Ý Ž Xrj k X .

dk

N0 ( V

Ý d k s dim C j ey1 N9rj e N9,

avec

kG1

kGe

avec c s dim C Vrj V , a0 q c s dim K V mX K .

Remarque 8. Le X-module Xˆ est quasi-fini, separe ´ ´ et sans torsion. Il apparaıt ˆ dans la suite exacte standard

ˆ ( LrK ª 0. 0 ª X ª Xˆ ª XrX Toute suite exacte de X-modules c

a

0ª Ž X. ªVª ŽK. ª0 s’obtient ` a l’aide de la suite exacte standard prise c fois c

c

c

0 ª Ž X . ª Ž Xˆ . ª Ž LrK . ª 0 et d’un homomorphisme de K-modules a

c

s : Ž K . ª Ž LrK . . Mais alors le X-module quasi-fini et sans torsion V est separe ´ ´ si et seulement si l’homomorphisme s est injectif. Il faut encore remarquer que, meme a et c, le module V ne determine pas l’extension ˆ s’il determine ´ ´ dont il est le module central. Les resultats de cette remarque ne sont pas ´ utilises ´ par la suite. COROLLAIRE 9. de X-modules

Pour un X-module quasi-fini W il existe un isomorphisme a

b

c

W ( Ž K . [ Ž KrX . [ Ž X . [

Ý Ž Xrj k X .

dk

,

kG1

si l’anneau X est complet. En particulier un module quasi-fini et separe ´ ´ est de type fini.

VALUATION DISCRETE ` ET DIFFERENTIELLES ´

141

Il s’agit de demontrer que la suite exacte de la Proposition 7 est scindee, ´ ´ car alors Ž K . a0 est separe le cas ´ ´ et a0 est nul. Il suffit de demontrer ´ particulier suivant du theoreme ´ ` de Chevalley Ext 1X Ž K , X . ( 0

pour X complet.

Sans supposer X complet on a deux suites exactes Hom X Ž K , K . ª Hom X Ž K , KrX . ª Ext 1X Ž K , X . ª 0 0 ª Hom X Ž KrX , KrX . ª Hom X Ž K , KrX . ª Hom X Ž X , KrX . ª 0 et trois isomorphismes Hom X Ž K , K . ( K ,

Hom X Ž X , KrX . ( KrX ,

Hom X Ž KrX , KrX . ( Xˆ Žpour ce dernier isomorphisme, voir w11, Theoreme ´ ` 5.14x, puisque KrX est l’enveloppe injective du X-module Xrj X .. On a donc un isomorphisme final

ˆ Ext 1X Ž K , X . ( XrX d’ou ` la conclusion dans le cas complet. D´ EFINITION 10. La Proposition 7 permet de definir les quatre car´ dinaux d’un module quasi-fini a s a9 q a0 ,

b,

c - q`

et

ds

Ý d k - q`. kG1

Un module quasi-fini avec a et b finis est dit clair. Avec un X-module ˆ quasi-fini W on a le X-module quasi-fini Xˆ mX W qui a les memes ˆ cardinaux a, b, c, d. Par la suite, pour certains modules quasi-finis, on determinera l’entier c, puis les autres cardinaux ` a l’aide de trois ´ egalites ´ ´ concernant a, b et d. Pour le moment ces trois ´ egalites ´ ont la forme suivante. Remarque 11. Avec un module quasi-fini W on a une premiere ` ´egalite´

´elementaire ´ a q c s dim K W mX K . Avec une suite exacte de modules quasi-finis 0 ª W9 ª W ª W0 ª 0 on a une ´ egalite ´ ´evidente

Ž a q c . s Ž a9 q c9 . q Ž a0 q c0 . .

MICHEL ANDRE ´

142

Remarque 12. Avec un module quasi-fini W on a une deuxieme ` ´egalite´

´elementaire ´ c q d s dim C W mX C. Avec une suite exacte de modules quasi-finis 0 ª W9 ª W ª W0 ª 0 on a une inegalite ´ ´ ´evidente

Ž c q d . F Ž c9 q d9 . q Ž c0 q d0 . . C’est une ´ egalite ´ dans les deux cas particuliers du Lemme 4: suite exacte scindee ´ ou W0 sans torsion Ž b0 s 0 s d0 .. Remarque 13. Avec un module quasi-fini W on a une troisieme ` ´egalite´

´elementaire ´ b y c s dim C Ann W j y dim C W mX C. Avec une suite exacte de modules quasi-finis 0 ª W9 ª W ª W0 ª 0 on a une ´ egalite ´

Ž b y c . s Ž b9 y c9 . q Ž b0 y c0 . qui decoule de la suite exacte de C-modules ´ 0 ª Ann W 9 j ª Ann W j ª Ann W 0 j ª W9rj W9 ª Wrj W ª W0rj W0 ª 0. LEMME 14.

Soit une suite exacte 0 ª W9 ª W ª W0 ª 0.

Alors W est clair si et seulement si W9 et W0 sont clairs. Si les trois modules sont quasi-finis on a l’egalite ´ ´ suivante Ždue aux ´egalites ´ des Remarques 11 et 13. qui permet de conclure:

Ž a q b . s Ž a9 q b9 . q Ž a0 q b0 . . Il reste ` a supposer W clair et ` a demontrer W9 quasi-fini. On sait deja ´ ´ ` que W0 est quasi-fini Žvoir le Lemme 4.. Vu la suite exacte Ann W 0 j ª W9rj W9 ª Wrj W

VALUATION DISCRETE ` ET DIFFERENTIELLES ´

143

il suffit de demontrer que b0 est fini. On demontre que a0 q b0 est fini ` a ´ ´ l’aide du foncteur decrit ´ dans la remarque suivante. Les modules clairs ne seront pas utilises ´ par la suite. Remarque 15. Il existe un foncteur additif exact T de la categorie des ´ X-modules dans la categorie des L-modules avec les deux proprietes ´ ´´ suivantes TŽ X. ( 0

et

T Ž KrX . ( L.

ˆ Il s’agit du foncteur suivant du ˆ au X-module divisible LrXˆ et au X-module divisible L T Ž W . s Hom Xˆ Ž Hom X Ž W , LrXˆ . , L . . On a en effet Hom Xˆ Ž LrXˆ, L . ( 0 d’une part et d’autre part Hom X Ž KrX , LrXˆ . ( Hom Xˆ Ž KrX . mX Xˆ, LrXˆ

ž

/

( Hom Xˆ Ž LrXˆ, LrXˆ . ( Xˆ

ˆ ˆ puisque le X-module LrXˆ est l’enveloppe injective du X-module C Žvoir w11, Theoreme ´ ` 5.14x.. Dans le cas d’un X-module clair on a dim L T Ž W . s a q b et cette dimension est infinie dans le cas d’un module quasi-fini qui n’est pas clair. Remarque 16. Completons la Remarque 13. Avec une suite exacte de ´ modules quasi-finis 0 ª W9 ª W ª W0 ª 0 on a deux suites exactes de modules quasi-finis de torsion X 0 ª Wtor ª Wtor ª W * ª 0 Y 0 ª W * ª Wtor ª W ** ª 0

qui donnent deux ´ egalites ´ b s b9 q b*

et

b0 s b* q b**.

On a donc les inegalites ´ ´ que voici b9 F b F b9 q b0 . En particulier b9 et b sont ´ egaux si b0 est nul.

MICHEL ANDRE ´

144

A la fin de ce travail le resultat suivant sera utilise. ´ ´ Remarque 17. Considerons deux suites exactes decrivant le meme ´ ´ ˆ module T i

p

j

q

V9 ª T ª V ª 0 W9 ª T ª W ª 0

avec V sans torsion, avec W9 divisible et W de type fini.

Puis considerons les modules ´ W s Im q( i

et

V s Im p( j

et le module Coker q( i ( V ( Coker p( j. On a donc deux suites exactes 0ªVªVªVª0 0ªWªWªVª0 ou ` W et V sont de type fini et ou ` V est divisible sans torsion. Mais alors V est aussi quasi-fini. Ces deux dernieres ` suites exactes concernent donc cinq modules quasi-finis, avec l’entier b nul les cinq fois. Par la Remarque 13 on a le resultat que voici. L’entier c du module W est ´ egal ` a la somme des ´ entiers c des modules W et V.

´ MODULES DES DIFFERENTIELLES SUR UN ANNEAU ` DE VALUATION DISCRETE Soit une G-algebre X avec G suppose et avec X suppose ` ´ noetherien ´ ´ de valuation discrete. Considerons le X-module des differentielles ` ´ ´ H0 Ž G, X, X . et de maniere ` auxiliaire le X-module HnŽ G, X, U . pour un entier n quelconque et pour un X-module U quelconque. Pour l’etude du ´ Ž . module des differentielles H G, X, X on peut quotienter G autant que ´ 0 faire se peut et localiser G autant que faire se peut. Finalement on a un homomorphisme de structure G ª X qui est un monomorphisme local entre anneaux locaux, monomorphisme que l’on peut toujours remplacer par une injection. L’anneau local G a l’ideal ´ maximal M Žcontenu dans Ž . et le corps des fractions E j X ., le corps residuel S contenu dans C ´ Žcontenu dans K .. Rappelons quelques resultats de l’homologie commutative Žc’est-a-dire ´ ` .. Le B-module HnŽ A, B, U . est defini de la theorie du complexe cotangent ´ ´

VALUATION DISCRETE ` ET DIFFERENTIELLES ´

145

pour toute A-algebre B et pour tout B-module U Žvoir w1, Definition ` ´ 3.11x.. Rappel 18. Pour toute A-algebre B, pour toute B-algebre C et pour ` ` tout C-module U, il existe une suite exacte de C-modules, dite de JacobiZariski Žen bref suite JZ, voir w1, Theoreme ´ ` 5.1x. . . . ª Hn Ž A, C, U . ª Hn Ž B, C, U . ª Hny 1 Ž A, B, U . ª Hny1 Ž A, C, U . ª . . . . Rappel 19. Pour toute A-algebre B et pour toute suite exacte courte ` de B-modules 0 ª U9 ª U ª U0 ª 0, il existe une suite exacte de B-modules, dite des coefficients variables Žen bref suite CV, voir w1, Lemme 3.22x. . . . ª Hn Ž A, B, U . ª Hn Ž A, B, U0 . ª Hny 1 Ž A, B, U9 . ª Hny1 Ž A, B, U . ª . . . . Rappel 20. Pour toute A-algebre-quotient B s ArI, il existe des iso` morphismes Žvoir w1, Propositions 6.1 et 6.3x. H0 Ž A, B, U . ( 0

et

H1 Ž A, B, U . ( Ž IrI 2 . mB U.

Pour A noetherien et U de type fini, tous les modules HnŽ A, B, U . sont de ´ type fini Žvoir w1, Proposition 4.55x.. Si I est monogene, ` engendre´ par un non-diviseur de zero, ´ alors tous les modules HnŽ A, B, U . sont nuls pour n / 1 Žvoir w1, Remarque 6.20x.. Rappel 21. Dans le cas d’une extension de corps A ; B, on a Žvoir w1, Proposition 7.4x. Hn Ž A, B, B . ( 0

pour n G 2.

Le B-module H1Ž A, B, B ., dit module d’imperfection, est nul si et seulement si l’extension est separable. ´ Rappel 22. Il existe un isomorphisme Hn Ž A, B, U . ( Hn Ž A, B, B . mB U sans hypothese ` si n est nul et sinon avec l’hypothese ` d’un B-module plat U Žvoir w1, Lemme 3.20x..

MICHEL ANDRE ´

146

Rappel 23. Pour un ensemble multiplicativement clos S de A, il existe B un isomorphisme pour toute Sy1A-algebre ` Hn Ž A, B, U . ( Hn Ž Sy1A, B, U . . Pour un ensemble multiplicativement clos T de B, il existe un isomorphisme pour tout Ty1 B-module U Hn Ž A, B, U . ( Hn Ž A, Ty1 B, U . Žvoir w1, Corollaire 5.27x.. Par la suite on utilisera librement toutes ces proprietes ´ ´ de l’homologie commutative. Revenons ` a la G-algebre X et au module de ses differentielles. ` ´ Condition 24. L’extension residuelle est soumise ` a la condition de ´ finitude suivante dim C H0 Ž S, C, C . - q`. Si la caracteristique residuelle est nulle, cela signifie que le degree ´ ´ ´ de transcendance est fini. Si la caracteristique residuelle est positive, ce n’est ´ ´ plus le cas et la condition sera renforcee par la suite. Une double inclusion ´ G ; G9 ; X donne un ´ epimorphisme de C-modules H0 Ž S, C, C . ª H0 Ž S9, C, C . . . en Donc on ne perd pas la condition de finitude Žet ses consequences ´ remplac¸ant G par G9. Le X-module H0 Ž G, X, X . est quasi-fini grace ˆ `a la suite JZ H1 Ž X , C, C . ª H0 Ž G, X , C . ª H0 Ž G, C, C . completee ´ ´ par les isomorphismes suivants H0 Ž G, X , X . rj H0 Ž G, X , X . ( H0 Ž G, X , C . H1 Ž X , C, C . ( C

et

H0 Ž G, C, C . ( H0 Ž S, C, C . .

Dorenavant la condition de finitude est toujours supposee ´ ´ satisfaite. Une fois pour toutes, notons que le X-module quasi-fini H0 Ž G, X, X . et le ˆ X-module quasi-fini H0 Ž G, X , Xˆ . ( H0 Ž G, X , X . mX Xˆ ont les memes cardinaux a, b, c, d. ˆ

VALUATION DISCRETE ` ET DIFFERENTIELLES ´

147

PROPOSITION 25. Pour le X-module quasi-fini H0 Ž G, X, X . on a la premiere elementaire ` ´egalite´ ´´ a q c s dim K H0 Ž E, K , K . qui determine le cardinal a a ´ ` partir de l’entier c. Vu l’isomorphisme suivant du ˆ aux Rappels 22 et 23, il s’agit de la Remarque 11 H0 Ž G, X , X . mX K ( H0 Ž E, K , K . . PROPOSITION 26. Pour le X-module quasi-fini H0 Ž G, X, X . on a la seconde ´ egalite´ ´´ elementaire c q d s dim C H0 Ž S, C, C . q l ou ` l est ´egal a` 0 ou a` 1. On prolonge la suite JZ de la Condition 24, completee ´ ´ par les memes ˆ isomorphismes et en outre par l’egalite ´ ´ de la Remarque 12 F

H1 Ž G, C, C . ª H1 Ž X , C, C . ª H0 Ž G, X , C . ª H0 Ž G, C, C . ª 0, c q d s dim C H0 Ž G, X , C . . On a alors l’egalite ´ ´ du lemme avec l s 0 si F n’est pas nul et avec l s 1 si F est nul. LEMME 27. G-algebres `

L’entier l est ´ egal a ` 1 si et seulement si l’homomorphisme de

p : Xrj 2 X ª Xrj X se rele`¨ e en un homomorphisme r de G-algebres. ` La G-algebre Xrj 2 X est une extension de la G-algebre Xrj X par le ` ` Xrj X-module j Xrj 2 X p

0 ª j Xrj 2 X ª Xrj 2 X ª Xrj X ª 0. A cette extension correspond un ´ element du premier module de coho´ mologie Žvoir w1, Proposition 16.12x.

v g H 1 Ž G, Xrj X , j Xrj 2 X . ( H 1 Ž G, C, C . . Comme l’anneau C est un corps, on a un isomorphisme Žvoir w1, Lemme 3.21x. H 1 Ž G, C, C . ( Hom C Ž H1 Ž G, C, C . , C .

MICHEL ANDRE ´

148

et l’element v correspond ` a l’homomorphisme ´´ F : H1 Ž G, C, C . ª H1 Ž X , C, C . ( C. Mais alors cet homomorphisme est nul si et seulement si l’extension en question est un produit semi-direct. Remarque 28. Il est ´ elementaire de constater que la condition neces´ ´ saire et suffisante du lemme peut ˆ etre scindee ´ en deux parties: Ž1. l’ideal ´ maximal M de G est contenu dans j 2 X Žl’homomorphisme p devient alors un homomorphisme de GrM-algebres ce qui permet ` d’exprimer la seconde partie de la condition., Ž2. l’homomorphisme p : Xrj 2 X ª Xrj X se releve ` en un homomorphisme r de S-algebres. ` Lorsque la caracteristique residuelle est nulle, la seconde partie de la ´ ´ condition est toujours satisfaite. Lorsque la caracteristique residuelle est ´ ´ positive, la seconde partie de la condition est satisfaite si l’extension residuelle est separable. ´ ´ EXEMPLE 29. Considerons le cas particulier suivant en caracteristi´ ´ que p M ; j 2X

et

X p ; G.

On a donc C p contenu dans S et l’extension S ; C a une p-base cj g C

avec c jp s s j g S.

Choisissons des representants ´ xj g X

avec c j s x j mod j X

et considerons les ´ elements ´ ´ x jp s g j g G

avec s j s g j mod M.

Il existe alors l’homomoprhisme de relevement `

r : C ª Xrj 2 X

avec r Ž c j . s x j mod j 2 X .

En resume ´ ´ on a

l s 0 si M o j 2 X

et

l s 1 si M ; j 2 X

lorsque G de caracteristique p contient X p. ´

VALUATION DISCRETE ` ET DIFFERENTIELLES ´

149

PROPOSITION 30. Pour le X-module quasi-fini H0 Ž G, X, X . le cardinal b est fini si on a la condition dim C H1 Ž S, C, C . - q` pour le module d’imperfection de l’extension residuelle. ´ On a en effet les suites exactes, les isomorphismes et les ´ egalites ´ que voici pour le demontrer ´ b q d s Ann j W

pour W s H0 Ž G, X , X . , j

H1 Ž G, X , C . ª H0 Ž G, X , X . ª H0 Ž G, X , X . , H2 Ž X , C, C . ª H1 Ž G, X , C . ª H1 Ž G, C, C . , H1 Ž G, S, C . ª H1 Ž G, C, C . ª H1 Ž S, C, C . , H2 Ž X , C, C . ( 0

et

H1 Ž G, S, C . ( Ž MrM 2 . mS C.

Remarque 31. Si on prolonge ` a gauche la suite CV de la demonstration ´ de la Proposition 30 j

H1 Ž G, X , X . ª H1 Ž G, X , X . ª H1 Ž G, X , C . on remarque que l’hypothese que le X-module ` de la proposition demontre ´ H1Ž G, X, X . est aussi quasi-fini. En augmentant d’une unite ´ tous les degres de la proposition on demontre que le ´ dans la demonstration ´ ´ cardinal b du X-module quasi-fini H1Ž G, X, X . est aussi fini. Il s’agit d’un X-module de torsion si et seulement si l’extension E ; K est separable. ´ Pour n G 2, sans aucune hypothese, ` le X-module HnŽ G, X, X . est quasifini, de torsion, ` a cardinal b fini.

´ POUR L’EXTENSION CONDITION RENFORCEE ´ RESIDUELLE Considerons une extension de corps S ; C et interessons-nous aux trois ´ ´ cardinaux suivants

m s dim C H0 Ž S, C, C . ,

n s dim C H1 Ž S, C, C .

t s degre ´ de transcendance . Rappelons que H2 Ž S, C, C . est toujours nul. En caracteristique nulle, la ´ situation est simple

mst

et

n s 0.

MICHEL ANDRE ´

150

En caracteristique positive, la situation est plus complexe, en effet on peut ´ obtenir tous les cardinaux lies ´ par l’inegalite ´ ´

mFnqt. Dans le cas d’une double extension S ; T ; C, on a une ´ egalite ´ tst9q t 0 pour les degres de transcendance ´

t 9 de S ; T ,

t de S ; C,

t 0 de T ; C

et une suite JZ 0 ª H1 Ž S, T , C . ª H1 Ž S, C, C . ª H1 Ž T , C, C . ª H0 Ž S, T , C . ª H0 Ž S, C, C . ª H0 Ž T , C, C . ª 0 d’ou ` les inegalites ´ ´ suivantes

Ž n 9 q t 9. F Ž n q t . F Ž n 9 q t 9. q Ž n 0 q t 0 . Ž n 0 q t 0 . F Ž n q t . q m9. Dans le cas d’une extension S ; C de type fini, on sait que l’on a une

´egalite´ de Cartier de nombres entiers m s n q t Žvoir w1, Proposition 7.6x.. Plus generalement soit un entier n F m. Il existe alors un corps interme´ ´ ´

diaire T donnant une extension S ; T de type fini et donnant un homomorphisme H0 Ž S, T , C . ª H0 Ž S, C, C . ayant une image de dimension au moins ´ egale ` a n. On a alors n F m9 s n 9 q t 9 F n q t d’ou ` la conclusion

mFnqt

si n et t sont finis.

LEMME 32. Dans le cas d’une double extension S ; T ; C, les cardinaux n et t sont finis si et seulement si les cardinaux n 9, t 9, n 0 et t 0 sont finis. Si cela a lieu, on a en outre une ´ egalite´

Ž n q t y m . s Ž n 9 q t 9 y m9 . q Ž n 0 q t 0 y m0 . de nombres positifs ou nuls. La condition est necessaire ´ `a cause des inegalites ´ ´ suivantes

n9 q t9 F n q t,

m9 F n 9 q t 9,

n 0 q t 0 F n q t q m9

VALUATION DISCRETE ` ET DIFFERENTIELLES ´

151

et la condition est suffisante ` a cause de l’inegalite ´ ´ suivante

n q t F n9 q t9 q n0 q t0 . L’egalite de l’egalite ´ ´ pour les trois nombres positifs ou nuls decoule ´ ´ ´

Ž n y m . s Ž n 9 y m9 . q Ž n 0 y m0 . due ` a la suite JZ. D´ EFINITION 33. Une extension de corps S ; C est appelee ´ une extension de Cartier si on a la propriete ´ ´ suivante

n q t est fini et ´ egal ` a m. Il s’agit de la condition t fini en caracteristique nulle Žautrement dit de la ´ Condition 24. et il s’agit d’une condition plus forte que la Condition 24 en caracteristique positive. ´ Dans le cas d’une double extension S ; T ; C, l’extension S ; C est de Cartier si et seulement si les extensions S ; T et T ; C sont de Cartier. LEMME 34. Une extension de corps S ; C est une extension de Cartier si et seulement s’il existe deux corps intermediaires T et D donnant un extension ´ S ; T transcendante pure de degre´ de transcendance fini, une extension T ; D algebrique separable et une extension D ; C radicielle de degre´ fini. ´ ´ Vu la remarque precedant le lemme, la condition du lemme est suffi´´ sante, puisqu’elle l’est dans les trois cas particuliers essentiels

ms1st,

n s 0, si l’extension est monogene ` transcendante ,

ms1sn,

t s 0, si l’extension est monogene ` radicielle,

msnsts0

si l’extension est algebrique separable. ´ ´

Pour demontrer la necessite ´ ´ ´ de la condition, on choisit une base de transcendance

g 1 , . . . , gt

pour l’extension donnee ´ S ; C.

Puis on considere suivants ` les deux corps intermediaires ´ T s S Ž g 1 , . . . , gt .

et

D s Tsep ´ ,

ce dernier forme separables de l’extension algebrique T ; C. ´ des ´elements ´ ´ ´ On obtient ainsi une extension transcendante pure S ; T, puis une extension algebrique separable T ; D, enfin une extension radicielle D ; ´ ´ C avec la condition

msnqt

msn. Ž c’est-a-dire `

MICHEL ANDRE ´

152

puisque la meme ˆ condition est satisfaite par les autres extensions S ; C,

S ; T,

T ; D.

On choisit alors une extension de degre ´ fini D ; V dans C de maniere ` `a avoir un homomorphisme canonique H0 Ž D, V , C . ª H0 Ž D, C, C .

surjectif.

Pour l’extension de Cartier V ; C on a m s 0 puis n s 0. Cette extension est donc ` a la fois separable et radicielle, donc trivilale. L’egalite ´ ´ ´ VsC demontre que l’extension D ; C est radicielle de degre ´ ´ fini. Condition 35. Dorenavant la G-algebre X est soumise ` a la condition ´ ` renforcee S ; C est une extension de ´ suivante: l’extension residuelle ´ Cartier. Rappelons que le cardinal b est alors fini pour le X-module quasi-fini H0 Ž G, X, X ., selon la Proposition 30 Žvoir aussi la Remarque 31.. LEMME 36. Pour G quotient d’un anneau regulier et pour X complet, la ´ G-algebre X est quotient d’une G-algebre G* formellement lisse, complete ` ` ´ et equidimensionnelle. ´ Presentons G sous la forme RrI avec R regulier et utilisons le corps ´ ´ intermediaire D du Lemme 34. Construisons progressivement un dia´ . gramme commutatif du type suivant Žanneaux locaux et corps residuels ´ R ªR9 ªR0 ªR* x

x

x

x

S ª D ª C ª C. A partir de l’extension separable S ; D et de maniere ´ ` classique on construit une R-algebre formellement lisse R9 donnant un isomorphisme ` Žvoir w6, Proposition 10.3.1x. R9 mR S ( D. Comme l’extension D ; C est de degre ´ fini on construit une R9-algebre ` formellement lisse R0 en ajoutant quelques variables, puis en localisant, enfin en completant: ´ la R-algebre R0 est formellement lisse et complete. ` `

VALUATION DISCRETE ` ET DIFFERENTIELLES ´

153

On peut obtenir par la lissite ´ formelle un carre´ commutatif R

6

6

6

6

G

R0 X.

Mais alors la R-algebre X est quotient de la R-algebre R* formellement ` ` lisse et complete ` R* s R0 w x x

avec x au-dessus de j .

Cela ´ etant, on peut considerer G* ´ la G-algebre ` G* s R*rIR*

au-dessus de X ,

qui est aussi formellement lisse et complete. ` Comme R* est ´equidiŽcar complet., plat sur R mensionnel Žcar regulier donc integre ´ ` ., catenaire ´ Žcar formellement lisse. et comme I est un ideal ´ premier de R, l’anneauquotient G* est aussi ´ equidimensionnel Žvoir w8, Theoreme ´ ` 31.5x.. Remarque 37. Sans l’hypothese on ` G quotient d’un anneau regulier, ´ demontre de la meme maniere X est quotient d’une ´ ˆ ` que la G-algebre ` G-algebre G* formellement lisse et complete. ` `

´ LA DIFFERENCE b y c DANS LE CAS COMPLET Supposons que la G-algebre X apparaisse avec une decomposition de ` ´ l’homomorphisme de structure j

q

G ª G* ª X

avec Q s Ker q.

LEMME 38. Si la G-algebre ` G* est formellement lisse, alors on a des isomorphismes Hn Ž G, G*, X . ( Hn Ž E, GQU , K .

pour n / 0.

En outre le X-module H0 Ž G, G*, X . est sans torsion. Par hypothese ` HnŽ G, G*, C . est nul pour n / 0 Žvoir w1, Propositions 4.54 et 7.23x., ce qui permet d’affirmer que l’on a un monomorphisme

j : H0 Ž G, G*, X . ª H0 Ž G, G*, X . Žet ce module est sans torsion. et des isomorphismes

j : Hn Ž G, G*, X . ª Hn Ž G, G*, X .

pour n / 0.

MICHEL ANDRE ´

154 Mais alors les isomorphismes

Hn Ž G, G*, X . ( Hn Ž G, G*, X . mX K ( Hn Ž G, G*, K . ( Hn Ž G, GQU , K . ( Hn Ž E, GQU , K . permettent de conclure. COROLLAIRE 39. Si en outre la E-algebre ` GQU est formellement lisse Ž autrement dit geometriquement . reguliere ´ ´ ´ ` , alors le module HnŽ G, G*, X . est nul pour n / 0. EXEMPLE 40. Si l’anneau G est regulier, alors les anneaux G* et GQU ´ U sont reguliers. Mais alors la E-algebre GQ est geometriquement reguliere ´ ` ´ ´ ´ ` si en outre G est de caracteristique nulle. ´ EXEMPLE 41. Si l’anneau G est complet Žou seulement quasi-excellent ., alors le theoreme ´ ` de la localisation de la lissite´ formelle s’applique Žvoir w3x. et la E-algebre GQU est formellement lisse. ` COROLLAIRE 42. Si en outre la E-algebre ` GQU est formellement lisse, alors il existe une suite JZ 0 ª H1 Ž G, X , X . ª H1 Ž G*, X , X . ª H0 Ž G, G*, X . ª H0 Ž G, X , X . ª H0 Ž G*, X , X . ª 0, a¨ ec au centre un module sans torsion.

ˆ l’isomorphisme du Lemme 38 est present Dans le cas G* s G, aussi ´ ˆ C . est aussi nul. pour n s 0, puisque H0 Ž G, G, Supposons maintenant G et X complets. Comme G est quotient d’un Žtheoreme anneau regulier ´ ´ ` de Cohen, voir w1, Theoreme ´ ` 10.21x., on peut appliquer le Lemme 36. On a donc une situation comme decrite prece´ ´´ demment, avec les proprietes supplementaires ´´ ´ G* est complet, ´ equidimensionnel et q est surjectif. On va utiliser la suite exacte decrite dans le Corollaire 42. ´ Le module H0 Ž G*, X, X . est nul. Le module H1Ž G*, X, X . est de type fini, avec les ´ egalites ´ suivantes pour ses cardinaux c y b s a q c s dim K H1 Ž G*, X , X . mX K s dim K H1 Ž GQU , K , K . s e.dim GQU s dim GQU

Ž la dimension de plongement.

´ Ž car GQU est regulier ..

VALUATION DISCRETE ` ET DIFFERENTIELLES ´

155

Le module H1Ž G, X, X . est donc aussi de type fini, avec les ´ egalites ´ suivantes pour ses cardinaux c y b s a q c s dim K H1 Ž G, X , X . mX K s dim K H1 Ž E, K , K . ce qui demontre que cette dimension est finie.. Le module H0 Ž G, G*, X . ´ est sans torsion, quasi-fini puisqu’il s’agit d’une extension d’un module de type fini par un module quasi-fini selon la suite JZ. On a les ´ egalites ´ suivantes pour les cardinaux de ce module sans torsion c y b s c q d s dim C H0 Ž G, G*, X . mX C s dim C H0 Ž G, G*, C . s dim C H0 Ž S, G*rMG*, C . . Comme on a la propriete ´ ´ de lissite´ formelle H1 Ž S, G*rMG*, C . ( H1 Ž G, G*, C . ( 0 on a la suite JZ suivante 0 ª H1 Ž S, C, C . ª H1 Ž G*rMG*, C, C . ª H0 Ž S, G*rMG*, C . ª H0 Ž S, C, C . ª 0. Cette suite exacte donne une ´ egalite ´ dim C H0 Ž S, G*rMG*, C . s d.tr CrS q dim C H1 Ž G*rMG*, C, C . . La S-algebre G*rMG* est formellement lisse, donc en particulier regu` ´ liere, ` ce qui donne une ´egalite´ dim C H1 Ž G*rMG*, C, C . s e.dim G*rMG* s dim G*rMG*. En resume ´ ´ on a l’egalite ´ ´ suivante concernant H0 Ž G, G*, X . c y b s d.tr CrS q dim G*rMG*. THEOREME ´ ` 43.

Pour le X-module quasi-fini H0 Ž G, X, X . on a l’egalite ´ ´

b y c s Ž dim G y 1 . y d.tr CrS y dim K H1 Ž E, K , K . lorsque les anneaux G et X sont complets. D’apres ` la Remarque 13, on sait nulle la somme alternee ´ des differences ´ b y c concernant les modules quasi-finis de la suite exacte du Corollaire 42. Vu les ´ egalites il reste ` a controler ´ obtenues precedemment ´´ ˆ une ´egalite´ concernant des dimensions de Krull dim GQU y dim G*rMG* s dim G y 1.

MICHEL ANDRE ´

156

Pour l’anneau catenaire ´ ´equidimensionnel G* on a l’egalite ´ ´ dim GQU s dim G* y dim G*rQ s dim G* y 1, et pour la G-algebre ` plate G* on a l’egalite ´ ´ dim G* s dim G q dim G*rMG* Žvoir w8, Theoreme ´ ` 15.1x.. Le theoreme ´ ` est donc demontre. ´ ´ Retenons pour la suite que le X-module H1Ž G, X, X . est de type fini lorsque les anneaux G et X sont complets. Remarque 44. Dans le cas de caracteristique nulle Žsans hypothese ´ ` sur . l’egalite la caracteristique residuelle ´ ´ ´ ´ du theoreme ´ ` est la suivante b y c s Ž dim G y 1 . y d.tr CrS. Toujours en caracteristique nulle, on a ce meme avec la meme ´ ˆ resultat ´ ˆ resultat avec la meme demonstration en supposant G regulier et X ´ ˆ ´ ´ complet Žen remplac¸ant l’Exemple 41 par l’Exemple 40.. Dorenavant les anneaux G et X ne sont plus supposes ´ ´ complets. Pour aller plus loin on a besoin de la definition suivante. ´ D´ EFINITION 45. Soit P un ideal ´ premier de Gˆ Žau-dessus de l’ideal ´ premier nul de l’anneau integre G .. On definit alors le nombre entier ` ´ suivant

ˆP q dim GrP ˆ y dim Gˆ D P s e.dim G qui est aussi la difference des deux nombres entiers positifs ou nuls ´ suivants

ˆP y dim GˆP y dim Gˆ y dim GrP ˆ y dim GˆP . D P s e.dim G

/ ž

ž

/

Ce second nombre entier positif ou nul est le suivant

ˆ i y max dim GrP ˆ i max dim GrP

1FiFn

1FiFm

ˆ les m premiers de pour les n ideaux ´ premiers minimaux Pi de l’anneau G, ces ideaux ´ ´etant ceux contenus dans P. Ce second nombre entier est donc ˆ est ´equidimensionnel. Quant au premier nombre entier nul lorsque G ˆP est un positif ou nul de la difference, il est nul si et seulement si G ´ anneau regulier. ´ EXEMPLE 46. Le nombre D P est nul lorsque G est regulier. En effet la ´ ˆ ˆ ˆ est regularite de G implique celle de G, puis celle de G . L’anneau G ´ ´ P equidimensionnel puisqu’integre. ´ `

VALUATION DISCRETE ` ET DIFFERENTIELLES ´

157

EXEMPLE 47. Le nombre D P est nul lorsque G est excellent. En effet l’excellence de G implique la regularite ´ ´ de GˆP . L’anneau Gˆ est ´equidimensionnel puisque G est excellent et integre ` Žvoir w7, Scholie 7.8.3x.. Par la suite l’ideal ´ premier P sera le noyau de l’homomorphisme ˆg decoulant du monomorphisme de structure g ´ g: G ª X

et

ˆg : Gˆ ª Xˆ.

´ LA DIFFERENCE b y c DANS LE CAS DE ´ CARACTERISTIQUE NULLE Les anneaux G et X sont supposes nulle. La ´ de caracteristique ´ caracteristique residuelle est quelconque. Le noyau de l’homomorphisme ´ ´ ˆ dans Xˆ est note´ P et l’entier D P est celui de la Definition de G 45. Il est ´ ŽExemples 46 et 47.. nul si G est excellent ou si G est regulier ´ On connaıt ˆ les isomorphismes suivants qui permettent de disposer de modules divisibles sans torsion Ždonc ` a difference b y c nulle. et cela pour ´ tout n G 0 Žcas particulier du Lemme 38.

ˆ X . ( Hn Ž E, GˆP , K . Hn Ž G, G, Hn Ž X , Xˆ, Xˆ . ( Hn Ž K , L, L . THEOREME ´ ` 48.

pour X complet,

Ž nul pour n / 0 . .

Pour le X-module quasi-fini H0 Ž G, X, X . on a l’egalite ´ ´ b y c s Ž dim G y 1 . y d.tr CrS q D P

lorsque les anneaux G et X sont de caracteristique nulle. ´

ˆ On sait que le X-module quasi-fini H0 Ž G, X, X . donne un X-module quasi-fini H0 Ž G, X, Xˆ . avec les memes cardinaux. Puisque le module ˆ ˆ Xˆ. est nul, on a la suite JZ que voici H1Ž X, X, 0 ª H0 Ž G, X , Xˆ . ª H0 Ž G, Xˆ, Xˆ . ª H0 Ž X , Xˆ, Xˆ . ª 0.

ˆ Xˆ. est divisible sans torsion, la difference Puisque le module H0 Ž X, X, ´ b y c est la meme ˆ pour les deux autres modules. Mais alors l’egalite ´ ´ du ˆ Autrement dit il suffit de theoreme ´ ` est la meme ˆ pour les anneaux X et X. demontrer le theoreme ´ ´ ` en supposant X complet. En general donc ´ ´ on ne peut pas appliquer le Corollaire 42. Considerons ´ l’homomorphisme suivant et son image W ˆ X, X . . H1 Ž G, X , X . ª H1 Ž G,

MICHEL ANDRE ´

158

Le premier module est de torsion vu l’isomorphisme H1 Ž G, X , X . mX K ( H1 Ž E, K , K . ( 0 et le second module est de type fini vu la suite exacte suivante et la remarque ` a la fin de la demonstration du Theoreme ´ ´ ` 43

ˆ GrP ˆ , X . ª H1 Ž G, ˆ X , X . ª H1 Ž GrP ˆ , X, X .. H1 Ž G, Par consequent W est de type fini et de torsion, donc sa difference byc ´ ´ est nulle. Considerons maintenant la suite JZ suivante et les differences b y c des ´ ´ quelques modules quasi-finis qu’elle lie

ˆ X , X . ª H0 Ž G, G, ˆ X. 0 ª W ª H1 Ž G, ˆ X , X . ª 0. ª H0 Ž G, X , X . ª H0 Ž G, La difference b y c est nulle pour le module W de type fini et de torsion ´ ˆ X . divisible sans torsion. Le module et pour le module H0 Ž G, G, ˆ Ž . H1 G, X, X est de type fini avec l’egalite ´ ´

ˆP , K , K . c y b s a q c s dim K H1 Ž G ˆP , GˆPrPGˆP , K s e.dim GˆP s dim K H1 G

ž

/

ˆPrPGˆP ; K est separable, Žl’extension de corps G vu la caracteristique ´ ´ ˆ ˆ . Ž nulle . Le module H0 G, X, X . est isomorphe au module H0 Ž GrP, X, X . avec l’egalite ´ ´ du theoreme ´ ` dans le cas complet ˆ y 1 . y d.tr CrS. b y c s Ž dim GrP La somme alternee b y c est nulle et demontre qu’il faut ´ des differences ´ ´ introduire la correction

ˆP q dim GrP ˆ y dim Gˆ D P s e.dim G dans l’egalite ´ ´ du theoreme. ´ ` EXEMPLE 49. Si G est un corps de caracteristique nulle, on a les ´

´egalites ´ suivantes c q d s dim C H0 Ž G, C, C . q 1 par la Proposition 26, le Lemme 27 et la Remarque 28, b y c s y1 y dim C H0 Ž G, C, C .

VALUATION DISCRETE ` ET DIFFERENTIELLES ´

159

par le Theoreme 48, vu la caracteristique residuelle nulle. Mais alors ´ ` ´ ´ b q d est nul et on a le resultat ´ b s 0,

c s dim C H0 Ž G, C, C . q 1,

d s 0.

LEMME 50. Si G est un anneau de ¨ aluation discrete ` et si X est complet, il existe un anneau de ¨ aluation discrete intermediaire G* a¨ ec les deux proprietes ` ´ ´´ sui¨ antes: la G-algebre G* est formellement lisse et le G*-module X est de type ` fini. Žvoir le On utilise le corps intermediaire D de l’extension residuelle ´ ´ Lemme 34 et la demonstration du Lemme 36.. Il existe alors une G-algebre ´ ` formellement lisse G*, que l’on peut prendre complete, ` avec un isomorphisme G* mG S ( D. Il s’agit ´ evidemment d’un anneau de valuation discrete ` avec la meme ˆ uniformisante h que G. Avec la G-algebre ` formellement lisse G* et avec l’anneau complet X on a un homomorphisme de G-algebres `

g : G* ª X . Comme le noyau de g est un ideal ´ premier qui ne contient pas h , il s’agit d’un monomorphisme. On le presente sous la forme d’une inclusion ´ G* ; X

avec h X s j e X .

On a ´ evidemment les modules suivants de type fini: D-module C, G*-module Xrj X, G*-module Xrj e X. Le G*-module X est donc quasi-fini et separe. de type fini puisque G* est un anneau de ´ ´ Il est par consequent ´ valuation discrete ` complet Žvoir le Corollaire 9.. LEMME 51. Si G est un anneau de ¨ aluation discrete ` de caracteristique ´ nulle, alors le module H1Ž G, X, X . est nul. Par les Rappels 20 et 21 les modules H3 Ž X, C, C ., H2 Ž G, S, C . et H2 Ž S, C, C . sont nuls. Les deux suites JZ H3 Ž X , C, C . ª H2 Ž G, X , C . ª H2 Ž G, C, C . H2 Ž G, S, C . ª H2 Ž G, C, C . ª H2 Ž S, C, C . demontrent que le module H2 Ž G, X, C . est nul. La suite CV ´ j

H2 Ž G, X , C . ª H1 Ž G, X , X . ª H1 Ž G, X , X .

160

MICHEL ANDRE ´

demontre que le module H1Ž G, X, X . est sans torsion. On a donc un ´ monomorphisme H1 Ž G, X , X . ª H1 Ž G, X , X . mX K ( H1 Ž E, K , K . ( 0 pour terminer la demonstration. ´ LEMME 52. Si G est un anneau de ¨ aluation discrete ` de caracteristique ´ nulle, alors l’entier b du module quasi-fini H0 Ž G, X, X . est nul. Compte tenu du lemme precedent la situation decrite dans le Lemme 50 ´´ ´ donne une suite exacte 0 ª H0 Ž G, G*, X . ª H0 Ž G, X , X . ª H0 Ž G*, X , X . ª 0. L’entier b est nul pour le module de gauche qui est sans torsion et l’entier b est nul pour le module de droite qui est de type fini. Par la Remarque 16, l’entier b est aussi nul pour le module du centre, ce qui demontre le ´ ˆ Xˆ. est nul, on a lemme dans le cas complet. Puisque le module H1Ž X, X, un monomorphisme H0 Ž G, X , Xˆ . ª H0 Ž G, Xˆ, Xˆ .

ˆ qui demontre que l’entier b est nul pour le X-module quasi-fini ´ H0 Ž G, X, Xˆ .. On sait qu’il s’agit de l’entier b pour le module H0 Ž G, X, X . du cas general. ´ ´ D´ EFINITION 53. Si G n’est pas un corps, on peut considerer ´ X s E l X, qui est un anneau de valuation discrete, ` d’uniformisante j , de corps residuel C et de corps des fractions K s E. ´ Il est ´ elementaire de verifier qu’un X-module quasi-fini W donne un ´ ´ X-module quasi-fini X mX W avec les memes cardinaux a, b, c, d Žmais pas ˆ d k en general ´ ´ .. LEMME 54. Le X-module H0 Ž G, X, X . est de torsion. Son entier b est egal ´ a` l’entier b du X-module H0 Ž G, X, X .. Le module est de torsion pour une raison ´ elementaire, independante de ´ ´ la caracteristique, ´ H0 Ž G, X , X . mX K ( H0 Ž E, K , K . ( 0.

VALUATION DISCRETE ` ET DIFFERENTIELLES ´

161

Compte tenu du Lemme 51 on a une suite JZ 0 ª H0 Ž G, X , X . ª H0 Ž G, X , X . ª H0 Ž X , X , X . ª 0 qui fait intervenir les entiers b, b et 0 ŽLemme 52.. L’egalite ´ ´ de b et b est obtenue par la Remarque 16. 55 ŽR. Berger]E. Kunz.. Pour le X-module quasi-fini THEOREME ´ ` H0 Ž G, X, X . l’entier c est ´ egal au degre´ de transcendance de l’extension residuelle modifiee CrC, lorsque les anneaux G et X sont de caracteristique ´ ´ ´ nulle. On introduit les ´ egalites ´ b s b et c s 0 dans les deux ´egalites ´ que donne le Theoreme ´ ` 48.

Ž b y c . s Ž dim G y 1 . y d.tr CrS q D P

Ž b y c . s Ž dim G y 1. y d.tr CrS q D P et on obtient une ´ egalite ´ unique c s d.tr CrC q Ž D P y D P . . Le monomorphisme de X dans X en reste un lorsque l’on complete ` les anneaux ce qui donne le resultat final ´ PsP

DP s DP .

et

EXEMPLE 56. Soit C un corps de caracteristique nulle. D’apres ´ ´ Ch. Rotthaus Žvoir w10, Chap. 1x. il existe un anneau local regulier R ayant les ´ proprietes suivantes ´´ R ; Rˆ s C w U, V , T x , UV et T sont des ´ elements de R, ´

ˆ q VRˆ. sont ´egaux. les ideaux UVR et R l Ž UR ´ Considerons alors la situation suivante ´ G s Rr Ž UV .

et

ˆ Ž U, V . ( C w T x . X s Rr

On a donc une extension residuelle triviale S s C et le complete ´ ´ ´ suivant

ˆ s Rr ˆ Ž UV . G

ˆ avec P s Ž U, V . dans G.

On a les ´ egalites ´ suivantes

ˆP s 2, e.dim G

ˆ s 2, dim G

ˆ s1 dim GrP

MICHEL ANDRE ´

162

ce qui donne D P s 1 dans le Theoreme T de R, ´ ` 48. A cause de l’element ´´ on a l s 0 dans la Proposition 26. Finalement on obtient les entiers b s 2, c s 0, d s 0.

´ LA DIFFERENCE b y c DANS LE CAS DE ´ CARACTERISTIQUE POSITIVE Les anneaux G et X sont supposes positive p. ´ de caracteristique ´ Commenc ¸ons par calculer l’entier c. Modifions le Lemme 52 de la maniere ` suivante. LEMME 57. Si G est un anneau de ¨ aluation discrete ` contenant X p , alors le X-module H0 Ž G, X, X . est sans torsion. On le demontre rapidement en utilisant l’homologie modifiee ´ ´ dite de Frobenius, qui jouit des deux proprietes ´ ´ fondamentales suivantes F0 Ž G, X , X . ( H0 Ž G, X , X .

et

F1 Ž G, X , ? . ( 0,

Žvoir ce foncteur ´ etant nul parce que les anneaux G et X sont reguliers ´ w2, Definition x. 38, Theoreme ´ ´ ` 68, Proposition 73 . D´ EFINITION 58. Considerons l’anneau intermediaire ´ ´ X P ; Ga s G w X P x ; X . Comme X, il n’a que deux ideaux premiers, l’un nul et l’autre maximal, ´ sans ˆ etre forcement un anneau noetherien. On a le corps des fractions ´ ´ suivant et le corps residuel suivant ´ Ea s E w K P x

et

Sa s S w C P x .

On peut considerer ´ le X-module quasi-fini H0 Ž G a , X , X . ( H0 Ž G, X , X . . D´ EFINITION 59. Considerons l’anneau de valuation discrete ´ ` X˜ s E a l X

d’uniformisante j˜

Žcette intersection n’est pas un corps car elle contient j p .. On a le corps des fractions suivant et le corps residuel C˜ ´ K˜ s E w K p x

et

S w C p x ; C˜ ; C.

VALUATION DISCRETE ` ET DIFFERENTIELLES ´

163

On peut considerer ´ le C-module de type fini H0 Ž S a , C, C . ( H0 Ž S, C, C . ,

˜ C, C . est un quotient. dont H0 Ž C, THEOREME ´ ` 60 ŽR. Berger]E. Kunz.. a l’egalite ´ ´

Pour le X-module H0 Ž G, X, X . on

˜ C, C . q m c s dim C H0 Ž C,

a¨ ec

m s 0 ou 1

lorsque les anneaux G et X sont de caracteristique positi¨ e. ´ Considerons une suite exacte ou ´ ` W9 est de torsion, ou ` W est quasi-fini Ždonc W0 aussi. et ou ` W0 est sans torsion f

W9 ª W ª W0 ª 0. On a alors les ´ egalites ´ Im f s Wtor

donc c s c0 .

Cela s’applique ` a la suite JZ concernant les modules suivants W9 s H0 Ž G a , X˜, X .

de torsion

puisque G a et X˜ ont le meme ˆ corps des fractions, W s H0 Ž G a , X , X . ( H0 Ž G, X , X . avec l’entier c de l’enonce, ´ ´ W0 s H0 Ž X˜, X , X .

sans torsion

d’apres ` le Lemme 57. On a alors l’egalite ´ ´ de la Proposition 26

˜ C, C . q l0 . c s c0 q d0 s dim C H0 Ž C, On termine avec m s l0 qui est decrit ´ ci-dessous. Remarque 61. D’apres ` l’Exemple 29 on a les deux cas suivants. Ou bien l’uniformisante j de X peut ˆ etre choisie dans X˜ Žet alors on peut utiliser l’uniformisante j˜s j de X˜ . et l’entier m est ´ egal ` a 0. Ou bien l’uniformisante j de X ne peut pas ˆ etre choisie dans X˜ Žet alors on peut utiliser l’uniformisante j˜s j p de X˜ . et l’entier m est ´ egale ` a 1. Il s’agit maintenant de calculer la difference b y c. A nouveau il faut ´ ˆ ˆ considerer l’homomorphisme de G dans X, son noyau P et l’entier D P de ´

MICHEL ANDRE ´

164

la Definition 45. Mais cela ne suffit pas; d’apres 43 qui ´ ` le Theoreme ´ ` concerne le cas complet, on sait que le module d’imperfection H1Ž E, K, L. doit intervenir. D´ EFINITION 62. Avec les carres ´ commutatifs suivants

6

6

K

6

d’ou `

ˆP G

E

6

6

Xˆ

6

6

X

ˆ G

6

G

L,

on peut considerer ´ l’homomorphisme

ˆP , L, L . . p : H1 Ž E, K , L . ª H1 Ž G ˆ ˆP , L, L. est de type fini comme le module On sait que le X-module H1Ž G d’imperfection de l’enonce ´ ´ du Theoreme ´ ` 43. On obtient donc un L-module de dimension finie Im p note ´ H1 Ž E, K , L . . Remarque 63. Dans la suite JZ H2 Ž K , L, L . ª H1 Ž E, K , L . ª H1 Ž E, L, L . le module de gauche est toujours nul. Dans la suite JZ

ˆP , L . ª H1 Ž E, L, L . ª H1 Ž GˆP , L, L . H1 Ž E, G ˆP est geometriquement le module de gauche est nul si la E-algebre G ` ´ ´ reguliere. ´ ` On a donc un monomorphisme p et un isomorphisme H1 Ž E, K , L . ( H1 Ž E, K , L .

ˆP est geometriquement si la E-algebre G reguliere, ` ´ ´ ´ ` donc en particulier si l’anneau G est excellent Žavec en outre D P nul selon l’Exemple 47.. LEMME 64.

Soit le module sans torsion V s Im H1 Ž G, Xˆ, Xˆ . ª H1 Ž X , Xˆ, Xˆ .

et soit le module de type fini

ˆ Xˆ, Xˆ . . W s Im H1 Ž G, Xˆ, Xˆ . ª H1 Ž G, Alors l’entier c de W est la somme de l’entier c de V et de la dimension de H1Ž E, K, L..

VALUATION DISCRETE ` ET DIFFERENTIELLES ´

165

On a deux suites exactes qui permettent d’appliquer la Remarque 17 H1 Ž G, X , Xˆ . ª H1 Ž G, Xˆ, Xˆ . ª V ª 0

ˆ Xˆ . ª H1 Ž G, Xˆ, Xˆ . ª W ª 0. H1 Ž G, G, ˆ Xˆ. est divisible. On a alors En effet le module H1Ž G, G, ˆ Xˆ, Xˆ . . W s Im H1 Ž G, X , Xˆ . ª H1 Ž G, Pour ce module de type fini, l’entier c s a q c est ´ egal ` a la dimension du L-module

ˆ Xˆ, Xˆ . mXˆ L Im H1 Ž G, X , Xˆ . mXˆ L ª H1 Ž G, c’est-a-dire du L-module ` Im p s H1 Ž E, K , L . . L’egalite ´ ´ des entiers de la Remarque 17 permet de conclure. THEOREME ´ ` 65.

Pour le X-module quasi-fini H0 Ž G, X, X . on a l’egalite ´ ´

b y c s Ž dim G y 1 . y d.tr CrS y dim L H1 Ž E, K , L . q D P lorsque les anneaux G et X sont de caracteristique positi¨ e. ´ Il faut adapter la demonstration du Theoreme 48. Le premier para´ ´ ` graphe de cette demonstration devient le Lemme 64 et voici ce qui ´ concerne les deux autres. Considerons b y c des ´ `a nouveau la suite JZ suivante et les differences ´ quelques modules quasi-finis qu’elle lie

ˆ Xˆ, Xˆ . ª H0 Ž G, G, ˆ Xˆ . 0 ª W ª H1 Ž G, ˆ Xˆ, Xˆ . ª 0. ª H0 Ž G, Xˆ, Xˆ . ª H0 Ž G, ˆ Xˆ. est divisible sans torsion avec l’egalite Le module H0 Ž G, G, ´ ´ b y c s 0.

ˆ X, ˆ Xˆ. est de type fini avec l’egalite Le module H1Ž G, ´ ´ ˆP , L, L . c y b s a q b s dim L H1 Ž G ˆP q dim L H1 GˆPrPGˆP , L, L s e.dim G

ž

/

MICHEL ANDRE ´

166

compte tenu de la suite JZ que voici

ˆPrPGˆP , L, L ª H1 GˆP , GˆPrPGˆP , L ª H1 Ž GˆP , L, L . 0 ( H2 G

ž ˆ rPGˆ ª H žG 1

P

P

/ ž ˆ , L, L / ª H ž G 0

P

/ ˆ rPGˆ , L / ( 0. ,G P

P

ˆ X, ˆ Xˆ. est isomorphe au module H0 Ž GrP, ˆ ˆ Xˆ. avec Le module H0 Ž G, X, l’egalite ´ ´ du theoreme ´ ` dans le cas complet ˆ y 1 . y d.tr CrS y dim L H1 GˆPrPGˆP , L, L . b y c s Ž dim GrP

ž

/

La somme alternee b y c est nulle, ce qui demontre le ´ des differences ´ ´ resultat suivant: ´

Ž dim G y 1 . y d.tr CrS q D P y Ž c de W .

ˆ Xˆ.. est ´ egal ` a la difference b y c du module H0 Ž G, X, ´ Considerons aussi la suite JZ suivante et les differences b y c des ´ ´ quelques modules quasi-finis qu’elle lie 0 ª V ª H1 Ž X , Xˆ, Xˆ . ª H0 Ž G, X , Xˆ . ª H0 Ž G, Xˆ, Xˆ . ª H0 Ž X , Xˆ, Xˆ . ª 0.

ˆ Xˆ. sont divisibles sans torsion, donc avec b y c Les modules HnŽ X, X, nul. Le module V est sans torsion, donc avec b y c ´ egal ` a yc. Le ˆ X-module H0 Ž G, X, Xˆ . a la meme difference b y c que le X-module ˆ ´ H0 Ž G, X, X .. La somme alternee des differences b y c est nulle, ce qui ´ ´ demontre le resultat suivant: ´ ´ b y c de H0 Ž G, Xˆ, Xˆ . q Ž c de V . est ´ egal ` a la difference b y c du module H0 Ž G, X, X .. ´ L’egalite du theoreme. ´ ´ du Lemme 64 termine la demonstration ´ ´ ` PROPOSITION 66. Lorsque X est complet et que X P est contenu dans G, ˆ a un unique ideal l’anneau G ´ premier minimal, le noyau P de son homomorphisme de Frobenius. En outre la dimension de plongement de l’anneau ˆP est ´egale a` l’entier b du module quasi-fini H0 Ž G, X, X .. artinien G

ˆ et Gˆ ª X on adjoint l’homoAux homomorphisms canoniques G ª G morphisme de Frobenius X ª G. On obtient ainsi un triple de Frobenius Žvoir w2, Definition 15x. ´ ˆª X ª . ªGªG

VALUATION DISCRETE ` ET DIFFERENTIELLES ´

167

En effet l’homomorphisme compose ´

ˆ ª X ª G ª Gˆ G est l’unique homomorphisme qui prolonge l’homomorphisme compose ´

ˆ ª X ª G ª Gˆ GªG c’est-a-dire l’homomorphisme compose ` ´ Fr

ˆ GªG ª G

ou

Fr

ˆ ª G, ˆ GªG

et cet unique prolongement est donc bien l’homomorphism de Frobenius ˆ Pour ce triple de Frobenius, on a de G.

ˆ Spec G ( Spec X ( Spec G, ˆ est local, de dimension 1, avec un unique premier minimal P. Il donc G est ´ elementaire de verifier qu’il s’agit du noyau de l’homomorphisme de ´ ´ ˆ Frobenius de G. Le S-module C est de type fini, puisque l’extension en question a une ˆ p-base finie. On a donc successivement les G-modules de longueur finie P Xrj X, puis Xrj X, enfin XrMX. Pour la topologie M-adique l’anneau ˆ est complet et le G-module ˆ ˆ G X est separe. X ´ ´ Mais alors le G-module ˆ Ž . est de type fini. Par consequent le X-module H0 G, X, X est de type ´ fini. Pour ce module l’entier b est nul et l’entier c se calcule par le Theo´ reme ` 43 ˆPrPGˆP , K , K . c s dim K H1 G

ž

/

ˆ X, X . Comme H0 Ž G, X, X . est la somme directe non-canonique de H0 Ž G, et d’un module divisible, ` a savoir ˆ X . ª H0 Ž G, X , X . , Im H0 Ž G, G, il s’agit en fait ci-dessus de l’entier c du X-module H0 Ž G, X, X .. Il s’agit maintenant d’appliquer le Theoreme 65. On a des ´ egalites ´ ` ´ ´evidentes dim G s 1,

ˆP . D P s e.dim G

d.tr CrS s 0,

La proposition decoule donc de l’egalite ´ ´ ´ suivante

ˆPrPGˆP , K , K dim K H1 Ž E, K , K . s dim K H1 G

ž

demontree ´ ´ dans la remarque suivante.

/

MICHEL ANDRE ´

168

Remarque 67. On va utiliser l’homologie de Frobenius. Le triple de Frobenius de la demonstration precedente donne deux triples de Fro´ ´´ benius

ˆP ª GˆPrPGˆP ª , ªEªG ˆPrPGˆP ª K ª . ªEªG On a un premier carre ´ commutatif Žvoir w2, Remarque 35x.

ž

u

/

ˆP , GˆPrPGˆP , K H1 G

6

ˆPrPGˆP , K H1 E, G

ž

s

/

t

6

6

ž

ˆP , GˆPrPGˆP , K F1 G

6

ˆPrPGˆP , K F1 E, G

/

ž

/

ou ` le but de s est nul Žvoir w2, Proposition 73x. et ou ` t est un isomorphisme Žvoir w2, Remarque 35x., donc ou ` u est nul. On a un second carre´ commutatif Žvoir w2, Remarque 35x.

ž

/

g

ˆPrPGˆP , K H0 E, G

6

ˆPrPGˆP , K , K H1 G

ž

a

b

6

ˆPrPGˆP , K F0 E, G

6

6

ˆPrPGˆP , K , K F1 G

ž

/

/

ž

/

ou ` le but de a est nul Žvoir w2, Proposition 73. et ou ` b est un isomorphisme donc ou maintenant le diagramme commu` g est nul. Considerons ´ tatif suivant

ˆPrPGˆP , K, K . H1Ž G

p w

ˆPrPGˆP , K, K .. H1Ž G

6

6

6

ˆP , K, K . H1Ž G

6

u

6

ˆP , GˆPrPGˆP , K . H1Ž G

¨

6

H1Ž E, K, K .

6

ˆPrPGˆP , K . H1Ž E, G

Comme u est nul et ¨ surjectif Žcar Im ¨ et Ker g sont ´ egaux., on obtient un isomorphisme

ˆPrPGˆP , K , K w
ž

/

ce qui termine la demonstration de la Proposition 66. ´ PROPOSITION 68. Lorsque X est complet et que G est excellent, l’anneau G a s Gw X p x est noetherien et son complete ´ ´ ´ Gˆa a un unique ideal ´ premier ˆPa est ´egale a` minimal P. La dimension de plongement de l’anneau artinien G l’entier b du module quasi-fini H0 Ž G, X, X ..

VALUATION DISCRETE ` ET DIFFERENTIELLES ´

169

Par le theoreme ´ ` de localisation de la lissite´ formelle Žvoir w3x., l’homomorphisme G ª G* de la Remarque 37 est regulier. On a donc la ´ propriete de N. Radu, voir w9x; pour une demonstration ´ ´ Žc’est un resultat ´ ´ plus facile, voir w4x. G mG P G* P est un anneau noetherien. ´ Puisque l’anneau G a en est un quotient, il est lui aussi noetherien. ´ Compte tenu de l’isomorphisme H0 Ž G, X , X . ( H0 Ž G a , X , X . la Proposition 68 est donc un corollaire de la Proposition 66.

REFERENCES 1. M. Andre, commutatives,’’ Springer-Verlag, BerlinrHeidel´ ‘‘Homologie des algebres ` bergrNew York, 1974. 2. M. Andre, ´ Homologie de Frobenius, Math. Ann. 290 Ž1991., 129]181. 3. M. Andre, ´ Localisation de la lissite´ formelle, Manuscripta Math. 13 Ž1974., 297]307. 4. M. Andre, du theoreme ´ Autre demonstration ´ ´ ` liant regularite ´ ´ et platitude en caracteris´ tique p, Manuscripta Math. 82 Ž1994., 363]379. ¨ 5. R. Berger et E. Kunz, Uber die Struktur der Differentialmoduln von diskreten Bewertungsringen, Math. Z. 77 Ž1961., 314]338. 6. A. Grothendieck, ‘‘Elements de geometrie algebrique. III. Premiere ´ ´ ´ ´ ` partie,’’ Presses Universitaires, Paris, 1961. 7. A. Grothendieck, ‘‘Elements de geometrie algebrique. IV. Seconde partie,’’ Presses ´ ´ ´ ´ Universitaires, Paris, 1965. 8. H. Matsumura, ‘‘Commutative Ring Theory,’’ Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1986. 9. N. Radu, Une classe d’anneaux noetheriens, Re¨ . Roumaine Math. Pures Appl. 37 Ž1992., ´ 79]82. 10. Ch. Rotthaus, Nicht ausgezeichnete universell japanische Ringe, Math. Z. 152 Ž1977., 107]125. 11. D. Sharpe et P. Vamos, ‘‘Injective Modules,’’ Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1972.