Les anneaux de saturne en 1969. Etude morphologique et photométrique. II. Déconvolution des courbes photométriques

ICARUS

19,212-223

(1973)

Les Anneaux de Saturne m&rique. II. Dkonvolution

en 1969. Etude Morphologique des Courbes Photom&riques

et

PhotoBrutes

G. COUPINOT Institut

d’Astrophysique,

Received

September

98 his, Bd Arago, 11, 1972;

revised

75016Park

January

29,1973

L’objet du present travail a et6 d’ameliorer le pouvoir de r&solution des cliches de P. Guerin, en effectuant une deconvolution des coupes photometriques brutes. 11 a fallu d’abord chercher le proiil de dissipation, tire du cliche lui-meme, puis Studier theoriquement le filtre de bruit effectif de plusieurs methodes de d&onvolution. Le calcul par transformation de Fourier finalement adopt6 utilise le programme de multiplexage numerique “F.F.T.“. On peut estimer avoir gagne un facteur deux au moins dans le pouvoir separateur ; ceci a permis de mettre en evidence des paliers intermediaires dans la division de Cassini et de constater que le fond de cette division est loin d’etre obscur, et contient done une certaine quantite de matiere. The objective of the present work is to improve the resolution of P. Guerin’s photographs of the rings of Saturn by deconvoluting the raw photometric curves. First we search for the apparatus function from the exposure itself, then study theoretically the effective noise flter of several methods of deconvolution. The calculation by Fourier transform finally adopted uses the numerical multiplexing program of fast Fourier transforms. We gain at least a factor two in resolution. This permits us to deduce conspicuous intermediate steps in the Cassini division, and to ascertain that the center of this division is far from being dark and hence contains a certain quantity of matter.

INTRODUCTION

Le present travail constitue une tentative faite en vue d’obtenir la photometric reelle des anneaux de Saturne en lumiere jaune et violette par deconvolution & une seule dimension des coupes photometriques des photographies prises par P. Guerin le 28 octobre 1969, qui sont donnees dans l’article precedent. La photometric de l’image d’un objet B travers un instrument d’observation astronomique est le produit de convolution de la photometric reelle de celui-ci, par une fonction de dissipation instrumentale et atmospherique qui n’est autre que l’image d’un point lumineux (etoile) prise dans les mdmes conditions d’observation. Cette relation de convolution est a deux dimensions et on commet done une erreur systematique en ramenant le probl&me & une seule dimension lorsque l’on Copyright All rights

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212

n’utilise qu’une coupe photometrique de l’image. Cette erreur a Bte calculee, dans le cas de la dissipation theorique d’Airy, par Nagaoka pour des disques uniformes d’assez grand diametre, et par H. Camichel pour de petits disques. 11s ont montre que cette erreur Btait faible si les dimensions de l’objet etaient grandes devant l’etalement. Dans le cas d’une fonction de dissipation quelconque mais isotrope et pour des objets presentant la symetrie radiale, on montre facilement que l’on peut n’utiliser qu’une simple coupe photometrique diametrale en employant des transform&es de Hankel. La transformation de Hankel est Bquivalente a une transform&e de Fourier a deux dimensions dans le cas de fonctions a symetrie de revolution ; elle equivaut egalement a une integration dans une direction, suivie d’une tra’nsformee de Fourier a une seule dimension dans la

LES

ANNEAUX

direction perpendiculaire. Dans ces conditions, lorsque le rayon de courbure de l’objet est grand par rapport & 1’6talement on peut considkrer que sa photom&rie est & une seule dimension et remplacer la transformation de Hankel par une transformation de Fourier, la fonction d’appareil &ant l’image d’une ligne. Dans le cas des images Btudiees ici, le rayon de courbure moyen est de 15" d’art, variant de 10" & 20”, tandis que la limite de r&solution (&al&e par P. GuBrin) est de l’ordre de 0.3”. On peut done estimer lt5gitime de faire un traitemerit & une seule dimension. Pour effectuer la d&convolution, il faut connaitre l’ktalement de l’image d’un point lumineux prise dans les m8mes conditions d’observation que celles de l’objet (Saturne). Aucune photographie d’6toile n’a Bti: prise par P. Guerin le 28 octobre 1969 en vue de connaitre ainsi, de faqon indhpendante, la fonction de dissipation. De telles photographies n’auraient Btt5 utilisables que si l’on avait pu &re siir de les obtenir par turbulence atmosphkrique identique Q celle qui affecte les images de la plan&e, or tel n’est pas le cas : m&me par t&s belles images, la turbulence atmosphkrique n’est pas nulle, et surtout elle varie d’une prise de vue & la suivante, c’est du reste pour cette raison qu’une s&lection des meilleurs negatifs de Saturne a 4% retenue pour obtenir la courbe photom&rique brute. De plus, en photographie classique, il est probablement impossible de deduire d’un clich& stellaire la fonction de dissipation, ce qui tient & l’existence d’un seuil de sensibilite de 1’6mulsion. En effet, 0. Reynolds a mont& en 1967 que la fonction de dissipation est le produit de convolution de la dissipation theorique de l’instrument (c’est-&-dire la classique tache d’Airy si le t&scope, B pupille circulaire, est optiquement parfait et utilis4 a,u foyer) par une fonction de perturbat,ion atmosph&ique ind&pendante de l’instrument. Cette derniere fonction n’est connue que par ses propri&&s statistiques qui dependent de la dur&e de la mesure, c’est-&-dire du temps de pose. Si celui ci est t&s court (moins de l/loos) l’image stellaire apparait comme un en-

DE

SATURNE

II

213

semble discret de disques d’diry, ce qui lui donne l’aspect d’une grappe de raisin; cet aspect, signal& par J. RGsch d&s 1958, est actuellement Btudit5 par A. Labeyrie (1970). On peut l’enregistrer photographiquement pour autant que 1’6clat de 1’Btoile soit suffisant, eu Bgard & la brievet& de la pose, pour impressionner correctement la plaque. La position et la durBe de vie de ces grains sont t&s variables ; une pose plus longue (de l’ordre de 1 s pour les clich& de Saturne) integre ces variations spatiales et temporelles, mais le seuil de sensibilite de l’emulsion Blimine les grains qui ne durent pas assez longtemps ou qui se deplacent trop rapidement. 11 n’est done pas possible d’enregistrer correctement l’image compl&e d’une Btoile avec une prBcision photom&rique suffisante pour en dkduire, par calcul, 1’6talement d’une ligne lumineuse. On a done int&& & tirer 1’6talement du cliche lui-m&me car l’effet de seuil n’intervient pratiquement pas sur les photographies de Saturne Btudiees ici ; ce sont des images &endues largement expos&es (mais sans sur-exposition) sur la plus grande partie de leur surface. Seuleslesr&gionstr&.sous-expo&es de ces images (limite exterieure extrbme de l’anneau A, limite interieure de l’anneau C, anneau B) sont affect&es d’un Btalement incorrectement traduit par 1’8mulsion en raison du seuil de sensibilith. L’Btalement en tous les autres points de ces images (y compris dans la division de Cassini, dont le fond atteint la densit& 0.68) est, en revanche, correctement traduit : chacun des points envoie de la lumi&re A une certaine distance autour de lui, et m&me si cette lumiere fluctue t&s vite de nombreuses fois au tours de la du&e de la pose, elle contribue & impressionner les regions voisines car elle s’ajoute & l’&clairement propre de ces rAgions, qui se situe t&s au-dessus du seuil. On a vu d’autre part, dans l’article p&c&dent, que la limite de &solution a BtB uniformisee par compositage des enregistrements microphotom&riques. Une d&onvolution & partir de la courbe photom&rique brute de l’image planktaire, en supposant que 1’6talement est le mgme en tous les points de l’image, est done possible pour autant

214

COUPINOT

qu’on ne l’etende pas aux regions sousexposees, oh elle perdrait toute signification. DETERMINATION

DU

PROFIL

INSTRUMENTAL

Pour les cliches obtenus en 1964 & la camera electronique par J. Riisch et G. Wlitrick, le profil intrumental fut deduit de l’etalement de l’image du bord exterieur de l’anneau A, en supposant que celui-ci retombait brutalement a zero. Nous avons adopt& ici une autre hypothese: d’une part la sous-exposition de la photographie classique ne permet pas de bien connaitre la photometric du pied de l’anneau A, et d’autre part l’etalement sur l’image de ce bord est nettement plus importante que l’etalement des bords de la division de Cassini, ce qui montre que la variation de luminance est plus brutale dans la division de Cassini qu’au bord de l’anneau A. Ceci indique que ce bord ne presente pas une chute brutale, ou qu’il existe de la lumiere en avant de l’anneau A. Pour obtenir le profil de d&convolution, nous avons done fait l’hypothese que la division de Cassini etait un creneau bien tranchi: de largeur 2x, et de profondeur He inconnues, les deux bords &ant de hauteurs differentes (Hb et Ha) mais connues d’aprbs l’image. Puisque sur les negatifs la densite du fond de la division de Cassini excede largement celle du seuil, on est assure que la sous-exposition n’intervient pas pour reduire les pieds du profil d’etalement. Si on appelle L(u) l’etalement normalise de l’image d’une ligne lumineuse (profil instrumental), l’image observee est :

cherchee, par la somme de deux pits de Dirac, I’un cent& en zA et d’amplitude(H, - H,) et l’autre cent& en xB et d’amplitude H, - H,. La Fig. 1, representant la fonction D(x), montre que les deux extrema sont bien &par&, ce qui laisse presager que l’etalement est inferieur & la largeur de la division de Cassini, soit 1” sur le cliche jaune. Le calcul suivant permet d’obtenir les caracteristiques du modele cherche. En designant par d(s) et t(s) les transformees de Fourier respectives de D(x) et L(U) il vient : d(s) =

t($){(Hb - H,) e--2jnsQ - (H, -H,)

e-2jnsxA).

Soit 2x, la largeur reelle de la division de Cassini et x, l’abscisse de son centre, on peut &ire :

d(s) = t(s) e-*jnsxc((Hb - H,) e-*jnsxo - (H, - H,) e2jnsxo}. Le centre reel de la division est voisin du minimum dans I’image (point oh (Dx) s’annule), ce minimum &ant legerement

I(x) = HQJym L(x - u) du + Hc/Zl L(x - u)

du + H, J;r L(x - u) du. En calculant photometrique

la d&iv&e D(x) du profil de l’image, il vient :

D(x) = (H, - H,) L(x, - x) - (H, -H,)

L(x - x/J.

Cette d&iv&e est done le produit de convolution de la fonction de dissipation

\;,I’

FIG. 1. D&i&e de la luminance de la division de Cassini.

dans

l’image

LESANNEAUXDESATURNEII

215

Le profil de deconvolution que nous avons finalement adopti: correspond a l’etalement de l’image dans la partie superieure du bord de l’anneau B, c’esta-dire a la decroissance de la partie positive de la derivee de la luminance. La largeur a mi-hauteur de ce profil dt(s) = d(s) e2jnsxc= t(S){(Hb - NJ cos 271820 d’etalement dans le jaune est de 0.4”, ce - j(H, + H, - 2H,) sin 27~s~~) qui correspond & l’etalement theorique de l’image d’une ligne lumineuse dans un Si l’etalement de l’image d’un point lumineux est isotrope, le profil L(U) est telescope de 30cm de diametre et represente trois fois le pouvoir separateur symetrique et par suite t(s) est reel. theorique dansle jaune (0.13”) du telescope Dans ces conditions les zeros des parties de 105cm utilisi? pour le cliche. Cette rkelle et imaginaire de dt(s) situ& avant la valeur de 0.4” exe&de quelque peu la frequence de coupure sont ceux de cos limite de resolution des photographies ~nsx, d’une part et de sin 27csx0 d’autre part. 11 est alors facile d’en deduire la composites en lumiere jaune, telle qu’elle a et& estimee par P. G&in. (0.3”) largeur 2x, de la division ce Cassini. Sur la photometric brute du cliche La conservation de l’energie entre de la l’image et l’objet permet de calculer la violet les paliers intermiidiaires division de Cassini sont directement viluminance H, du fond de la division de sibles; le contraste reel de ces formations Cassini . est probablement plus grand que dans le On peut Qgalement calculer H, a partir jaune, cependent il semble aussi que le du rapport des parties reelle et imaginaire pouvoir separateur du cliche violet soit de la transform&e de Fourier translatee ; meilleur que celui du cliche jaune (au en effet t(s) disparait alors et il vient : moins dans cette partie bien exposee de F(dt(s)) H, + H, - ZH, l’image). En effet, la largeur a mi-hauteur -= tg zmx, du profil de dissipation dans le violet, r@(dt(s)) H,-Ha calcule dans les m&mes conditions que La precision obtenue de cette faqon dans le jaune n’est que de 0.3” environ ce n’est pas t&s bonne, de faibles erreurs sur quirepresente lalimite deresolutionestim&e x0 se traduisant par d’importantes variapar P. Gutkin. tions de la tangente. On peut alors calculer la fonction de transfert (transform&e de Fourier du En possession du profil d’etalement et profil de dissipation) en remarquant que: en considerant comme legitime le traiteId(s,l’ = t(s)‘{(&, - HJ2 + (H, - HJ2 ment a une seule dimension, il faut - 2(H, - H,) (H, - H,) cos 4nsx,J, resoudre l’equation de convolution S = B* L,’ c’est-a-dire calculer la photometric ce qui permet de connaitre t(s) jusqu’au B de l’objet connaissant la photometric S premier zero, qui sera pris comme frede son image et la for&ion d’etalement L. quence de coupure. 11 s’agit done de construire une fonction L’ensemble des resultats des calculs L-’ telle que L*L-’ = 6(S &ant la distriprecedents nous a montre que l’hypothese neutre du bution de Dirac, &ment d’un creneau simple n’est pas entierement produit de convolution) ; on en deduira exacte et qu’il existe des accidents dans alors B = S+L-‘. la division de Cassini. Le probleme de la recherche de L-’ est Aucun modele coherent ne permet de rendu difficile par la prksence de bruit trouver H, nul, ce qui prouve que la dans la courbe photometrique de l’image, presence de lumiere dans le fond de la 1 Le signe * reprbsente le produit de convoludivision de Cassini n’est pas reductible tion: B*L= fm B(u)L(.1: u)czu =S(z) au seul Btalement de l’image. j -co decal& du cot& de l’anneau A moins lumineux. On peut done, connaissant une valeur approchee de xc, faire une translation de la transformee de Fourier d(s), afin de faire disparaitre le terme e-2j7isXc.I1 vient alors:

COTJF'INOT

216

ainsi le signal enregistre R est la somme de l’image reelle B*L et d’un bruit N dont l’origine essentielle est la granularite de la plaque photographique. Dans le domaine des frequences spatiales, la formation de l’image se traduit par un filtrage par la fonction de transfert t(s), transform&e de Fourier de l’etalement L. Au spectre de l’image reelle s’ajoute le spectre du bruit n(s) : T(S) = b(s) *t(s) + n(s). La restitution de l’objet est theoriquement obtenue en Bcrivant :

Le probleme de la d&convolution est finalement de trouver un filtre de bruit deformant le moins possible l’objet tout en diminuant le plus possible les composantes du bruit. Ces deux exigences &ant contradictoires, la construction d’un filtre de bruit optimum est tres delicate. On peut considerer, apres J. W. Brault & 0. R. White, que le filtre optimum est celui qui rend minimum l’ecart quadratique moyen entre l’approximation BA de l’objet et l’objet reel B. Soit (AB2)

s ‘1 (BA(x) - B(x))~ dx minimum.

0) = IQ) - ~(~M~)Mais, outre que l’on ne connait pas n(s), la fonction t(s) n’est pas definie sur tout le domaine des frequences spatiales. En effet, tout instrument d’optique se comporte comme un filtre passe-bas Bliminant completement les composantes de frequences superieures a la frequence de coupure F,. D’autre part, la fente de largeur 2a du microphotometre effectue un filtrage par la fonction sin(2zas)/zs et annule ainsi certaines frequences spatiales. L’amplification de restitution l/t(s) devient done infinie pour ces frequences de coupure (telescope et fente). On se rend compte que le bruit, qui n’a pas subi les filtrages precedents, est alors beaucoup plus amplifie que l’image reelle et risque de noyer l’objet restitue. Pour diminuer la contribution du bruit lors de la restitution de l’objet, on utilise une amplification g(s) filtree par le filtre de bruit f(s), soit g(s) =f(s)/t(s), ce qui revient a filtrer le signal avant d’effectuer la restitution. Dans ces conditions, on calcule un spectre approche ha(s) de l’objet tel que: ha(s) = r(s) -g(s) = b(s) *f(s) + n(s) -g(s). On obtient

BA(x) de l’objet

alors

une

approximation

B(z), avec BA = B*F +

N*G c’est-a-dire que l’on commet une erreur de restitution systematique 8. laquelle s’ajoute le bruit amplifie. L’erreur de restitution F, transformee de Fourier du filtre de bruit f(s), peut introduire des oscillations parasites analogues au phenom&e de Gibbs.

=

L’application du theoreme de Parseval permet de transposer cette equation au domaine des frequences spatiales :

(AB*)

=

s II 1W)

(1 -f(4)

+ W

YW(412

h.

Xi on admet que le bruit n’est pas correle avec le signal, on peut negliger tous les produits “croises”, et &ire : (AB2)

= ~+~(lba(s)l’

(1 -f(s))2

+ In(s)I2 .f(s)2/t(s)‘) ds. En faisant a( AB2)/i3f(s) = 0, on en deduit le filtre de bruit optimum :

IW124d2 ‘(‘) = lb(a)j2.t(8)* + jn(s)j2. Ce filtre optimum est generalement impossible a construire, car on ne connait pas le spectre de puissance de l’objet et souvent tres ma1 celui du bruit. Cependant ce filtre optimum possede des proprietes caracteristiques qui pourront nous guider dans la construction pratique du filtre : f(s) est positif et toujours inferieur & 1, avec f(0) = 1; s s’annule aux frequences air t(s) est nn?; ’ f(s) tend vers 0 lorsque s tend vers la frequence de coupure F,; dans le cas le plus courant oh l’etalement

LES

ANNEAUX

est isotrope, t(s) est reel et le gain optimum est :

t(s) g(s)= b(s)2b(s)* t(s)’ + n(s)’

S(x) = 2&x)

- u) + B(x + u)} au.

J,” L(u)

+ B”(x)

p

de Taylor

du L(u)

clu.

En posant

du=CT*, s; u*L(u) il vient : B(x) = X(x) - u2B”(x). Xi on calcule la d&iv&e seconde a l’aide de la difference seconde entre les points (z ~ a) et (x + a), on obtient : B”(x)

= -{2B(x)

- B(x -a)

217

II

Dans une premiere approximation remplace B(z) par R(x), d’oh:

- B(x + a)}/a?

on

+ (+‘){m(4

= R(x)

- q-8

Choix d’une Me’thode de De’convolution Le choix dune methode particuliere de calcul doit etre guide par le filtre de bruit effectif de cette methode. Nous avons done etudie quelques unes des methodes classiques, en calculant leur filtre effectif et en comparant les proprietes de ce filtre a celles du filtre optimum defini plus haut. (A) kernplacement de 1’6quation intkgrale par un systdme d’e’quations line’aires. 11 faut alors effectuer une inversion de matrice et un grand nombre de multiplications matricielles. Nous n’avons pas Btudie cette methode dont l’optimisation par moindres car&s rend difficile le calcul du filtre de bruit. (B) Mdhode par dkrrivations successives (Eddington). Les d&iv&es d’une fonction observee sont t&s ma1 connues, ce qui amplifie le bruit. Si on se limite au premier ordre, le filtre de bruit est facile & calculer. En supposant que l’etalement est isotrope, soit L(u) symetrique, on peut ecrire :

En utilisant un developpement au premier ordre, on a:

SATURNE

B(x)

done g(s) tend vers 0 lorsque s tend vers F, et s’annule pour t(s) = 0.

X(x) = 10” L(u){B(x

DE

- a) - R(x + a,}.

On retrouve alors pour B(x) la meme expression que dans la methode de deconvolution graphique de Braccwell, le filtre de bruit est done le m&me ; il sera Btudie plus loin. (C) Mdthode gruphique (Bracewell). Si on trace une corde dont la projection est de longueur 2a, centree sur le point & corriger, on prend : B(x) = X(x) + pPM, PM = X(x) -

X(x - a) + X(x + a) 9Y

_----E

t!--

?+

P

p I

x-a En remplaqant S(x) image reelle par le signal observe R(x), il vient :

w4 = Rx)+ (P/2) Wx) - R(x- a)- R(x+ a)}. On obtient la meme expression que dans la methode d’Eddington, a condition de prendre p = 202/a2, ce que fait Bracewell en le justifiant d’ailleurs par d’autres considerations. On peut chercher a optimiser le choix de p et a. Nous ne le ferons pas ici, mais nous remarquerons que l’expression de B(z) revient a prendre comme fonction de restitution : G(u) = Cl+ P) a(u) - (p/2)

{W - a)+ qu+ a,>.

L’amplification

de restitution

g(s) = 1 + p - p cos 2nsu,

est done :

218

COUPINOT

et le filtre de bruit: f(s) = t(s) .(l + p - p cos 27csa). La Fig. 2 represente le filtre de bruit et l’amplification de restitution. Puisque p est positif, l’amplification est toujours plus grande que 1, elle oscille entre 1 et l.+ 2~ et ne s’annule pas pour les fret(s). Par contre le quences annulant filtre de bruit s’annule pour ces frequences, mais on ne peut pas savoir a priori s’il reste inferieur a 1. On peut finalement estimer que ce filtrage du bruit est loin d’btre optimum. On peut remarquer que l’on a inter&t a rendre g(s) minimum au voisinage de la frequence de coupure, pour cela il faut que cos27~J’~a = 0 c’est-a-dire que a = (l/4 + k/2)/P,. Si on utilise ces methodes & des ordres 31 developper plus Bleves, cela revient g(s) en une serie trigonometrique. 1000

E

I

600

Ces deux methodes sont cependent interessantes, car elles permettent d’effectuer t&s rapidement une d&convolution partielle, lorsqu’on ne connait pas avec precision la fonction d’etalement. (D) Me’thode par rhrrences (Van Cittert). La fonction de restitution G est prise &gale & L-’ et construite par un developpement en serie a partir de L(u). Dans le domaine des frequences spatiales on a: l/t(s)

= l/(1

- (1 - t(s))} = 1 + &? (1 -t(s))‘,

d’oh : G(u) = S(a) + T (S(u) - L(u))*~. La puissance symbolique *i represente i produits de convolution successifs. La serie preckdente converge si (6(u) - L(u))*’ tend vers 0 lorsque i tend vers l’infini, c’est-b-dire si (1 - t(s))’ tend vers 0. Ce qui n’est verifie que pour les frequences spatiales inferieures a s,,, premier 0 de t(s). Pour 6tre stir de la convergence de cette methode, il faut faire t(s) = 0 pour s > sa, ce qui revient & faire le produit de convolution de L(u) par sinSzus,/~u. Connaissant G(u) on obtient &4(x) : BA(x) = R(z)*G(u)

= R(z)

+ ,z, %)*(@u)

- L@))*i.

La formule prtkedente permet de construire une suite de fonctions approchees BA, obtenues apres j recurrences. Ona BA, = R + BAj-,*(6

- L) = BA,-, + R - BAj-,*L

En posant Cj = R - BA,*L, on voit facilement

que :

cj = c,-, *(S - L) I.6

1 0.6

, 1.0

et que: BA=R+

FIG. 2. Fonctions de filtrage des frkquences spatiales dans volution de Bracewell.

et d’amplification le cas de la d&on-

s Cj j=l

On construit ainsi des corrections sucessives aui font nasser de l’imarre a une

LES

ANNEAUX

approximation de l’objet. La convergence de la suite ainsi obtenue est difficile & affirmer, m6me en moyenne quadratique. On peut songer A optimiser la correction Cj B chaque &ape, en posant BA,+l = BA, + eJCJ ; on peut calculer Ed afin de rendre minimum 1’6cart quadratique moyen entre le signal R et l’image calculke BAj+l*L* En posant

SE&j+,= I I~(R-

DE

SATURNE

II

219

1000 6 < ICQ6 s 60c 0 4E so-

BAj+,*L)2dX, IO-

et en faisant :

6-

aSEQj+,_ - 0, d ej

on obtient : Ej = i

yICj(Cj*L)

dx

~;(cj*L)2ax * s On peut alors affirmer que SEQj+1 G SEQ,. L’expBrience montre que Ed tend rapidement vers 2 ; la restitution de l’objet devient done t&s mauvaise, car la suite ainsi obtenue ne converge plus vers B(x). Cette optimisation de la correction n’a d’intM% que si l’on n’effectue que quelques rkcurrences. L’arrkt aprks n r&urrences dans la mkthode classique fournit une approximation BA, de l’objet, avec : BA, = R + 2 R*(6 - L)“’ i=l L’amplification

de restitution

est done :

c/(s)= 1 + j, (1- t(s))‘, et le filtre de bruit : f”(S)

=

1 -

(1 -

t(s))“+‘.

La reprksentation de fn(s) est simple en raison des symktries par rapport B la droite d’ordonn6e 0.5 (cette reprksentation est don&e par la Fig. 3). Le filtre de bruit tend vers la fonction caractkristique de l’intervalle de frkquence 0, s0 lorsque n tend vers l’infini. Par contre l’amplification g(s) ne s’annule pas pour sO, mais tend vers n + 1.

FIG. 3. Ponctions de filtrage et d’amplification des frbquences spatiales dans le cas de la d&onvolution par rkcurrences de Van Cittert.

Le filtrage du bruit n’est done pas t&s efficace, surtout si l’on ne prend pas la p&caution de faire la convolution annulant t(s) au dek de la frbquence s,,. (E) De’convolution par transforme’e de Fourier. Cette mAthode applique directemerit les kultats thkoriques pr&.Adents et permet de construire le filtre de bruit que l’on veut. En utilisant le multiplexage (Fast Fourier Transform) le temps de calcul d’une transformation de Fourier est k&s rkduit, ce qui permet d’essayer plusieurs filtres de bruit Ne connaissant pas le spectre de puissance du bruit, il nous Btait impossible d’employer le filtre optimum classique ; nous avons alors cherche & construire un filtre de bruit poskdant les propriktk caractkristiques Bvoqu6es plus avant.

COUPINOT

220

Le principe Btait de rkaliser un filtre s’annulant pour le premier z&o de la fonction de transfert et tel que l’amplification de restitution s’annule Bgalement pour cette m&me frbquence de coupure. Nous avons finalement adopt& le filtre suivant : de 0 & sd de sd & s,

f(s) = 1; f(s) = [ I-

(~~2]2k.

Les paramktres sd et k(entier) servaient Q ajuster au mieux le filtre afin de limiter l’amplificatfion maximum de restitution & une certaine valeur qui a varik de 30 pour les parties de faible luminance du cliche jaune ?k80 pour les parties les plus exposees du clichk violet. La Fig. 4 reprkente le filtre de bruit et l’amplification de restitution. L’erreur de restitution rkultant de

l’emploi calculant

d’un tel filtre la transform&e

est connue de Fourier

en de

f(s).

Pour la fonction f(S) que nous avons cette erreur de restitution employke, pr&ente des oscillations et des parties nkgatives, ce qui provoque sur l’objet restit& des oscillations analogues au phlinomene de Gibbs. Cet effet est d’autant plus important que la frkquence sd est petite, c’est-&-dire en definitive que l’amplification maximum de restitution est faible ; ce qui explique que cet effet soit beaucoup plus important dans l’objet jaune que dans le violet. On pourrait chercher & construire un filtre de bruit limitant le phknomene signal6 ci-dessus, il faut pour cela que l’erreur de restitution ne posskde pas de parties rkgatives. On peut utiliser pour f(s) une fonction d’auto-corr&lation, sa transform&e de Fourier sera alors toujours positive. On peut encore construire directement l’erreur de restitution et en deduire le filtre de bruit. Le probkme est alors de rkaliser un filtrage “optimum.” CONDUITEDUCALCUL

FIG. 4. Fonctions de filtrage et d’amplification des frkquences spatiales dans le cas de la d&onvolution par transformke de Fourier.

Les clichks, pris alors que Saturne Ptait & une distance de 8.2385 unites astronomiques de la Terre, ont 6th Bchantillonnks avec un pas correspondant & 0.0482 secondes d’art sur le ciel, soit environ le tiers du pouvoir separateur theorique. (0.13” dans le jaune, & la longueur d’onde eficace de 58OOA). Aprks calcul de la transform&e de Fourier de la dissipation par la mkthode Fast Fourier Transform (F.F.T), une interpolation a permis de faire colncider le premier z&o de la fonction de transfert avec la frkquence de coupure de Nyquist. Ceci a ramen& le pas & 0.06” dans le violet et & 0.07” dans le jaune. Nous avons finalement uniformi& le pas d’kchantillonnage & 0.075” afin de restituer l’objet avec que l’on peut done un pas de 0.15", considkrer comme pouvoir de r&solution final. L’amplificetion maximum resultant de la construction du filtre de bruit a Bti: limit&e & 30 pour les regions faiblement exposkes du clichk jaune et & 50 pour le

LESANNEAUXDESATURNEII

D,stonce

5.

Courbe

photom&rique

calculee

qu centre

221

du dmque en secondes d’orc

des anneaux

reste de ce m&me cliche ; pour le cliche violet nous avons pu porter l’amplification maximum a 80. A partir des points calcules (represent& par des triangles sur les Fig. 5 et 6) nous avons, avec P. G&in, trace manuellement un trait continu, en tenant compte de l’effet de Gibbs; c’est ce trace qui est represente sur les figures definitives pour lesquelles la plan&e a et& ramenee a la distance standard de 9.539 unites astronomiques.

de Saturne

it 9.539 U.A.

dans

le jaune,

le 28 octobre

1969.

RESULTATS

Des details apparaissent par rapport 8. la photometric brute, en particulier dans le jaune oh les accidents de la division de Cassini sont bien mis en evidence. (RappeIons que ces accidents sont directement visibles sur la courbe photometrique brute en lumiere violette.) 11 apparait aussi que le bord exterieur de l’anneau A comporte un decrochement (visible en jaune comme en violet) et semble se

r

IO

FIG.

6. Courbe

photom&riquc

calculk

des

annoaux

de Saturne

dans

lo violet,

le 28 octobre

1969.

COUPINOT

222

prolonger assez loin vers l’exterieur (encore que les mesures faites dans cette region t&s sous-exposee des negatifs soient douteuses.) Enfin, un point important est acquis ; le fond de la division de Cassini est loin d’&tre vide de mat&e, sa luminance est environ la moitie’ de la luminance maximale de l’anneau A. On peut suggerer que la presence de matiere dans le fond de la division de Cassini: et l’existence d’accidents sur les flancs de cette division, sont likes au fait que les satellites dont les periodes de revolution sont en rapport simple avec celle de la division de Cassini, ne sont pas rigoureusement en resonance. En ce qui concerne les “divisions” secondaires (minima relatifs d’intensite) dans les anneaux A et B, elles semblent, pour la plupart, moins prononckes en lumiere violette qu’en lumiere jaune, ce qui ne tient certainement pas & une resolution inferieure des negatifs en violet, puisque l’effet inverse s’observe pour les accidents des flancs de la division de Cassini qui apparaissent deja sans d&convolution sur les images en violet. 11 s’agirait done bien de differences intrinseques, likes & des variations locales de pouvoir reflecteur en

fonction de la longuer d’onde. La position de ces divers accidents est, en revanche, la m&me dans le jaune et le violet. On notera l’absence complete de “la division m&me apres d&convolution ; de Lyot”, mais & son emplacement s’observe un t&s brutal changement de luminance traduisant le passage de l’anneau B & l’anneau c. La position des differents accidents des anneaux est don&e dans le tableau suivant Les chiffres fournissent la distance au centre de Saturne.

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Photographies G&in

Anneau D (maximum) Division de GuCrin (centre) Bord interieur anneau C Zone brillante anneau C Bord intbrieur anneau B Minimum 1 anneau B Minimum 2 anneau B Minimum 3 anneau B Division Cassini, palier 1 (bord exterieur anneau B) Division Cassini, fond Division Cassini, palier 2 Minimum 1 anneau A Minimum 2 anneau A Palier pied anneau A (ou bord extkieur anneau A ) LI Mesure

au point

d’inflexion

de la courbe

de

Jaune

Violet

10.10” 10.45” 10.50” 12.20” 13.30”” 14.00” 14.55” 16.20” 16.95”

10.10” 10.45” 10.50” 12.20” 13.25”n 14.00” 14.65” 16.15 16.95”

15.20” 17.70” 18.50” 19.10” 19.90”

17.25” 17.65” 18.50” 19.20” 19.90”

photometrique.

Mesures (Micrometro

de Dollfus a double-imago)

10.40”

h 0.25”

13.32”

* 0.12”

17.02”

* 0.05”

17.20”

& 0.03”

19.72”

i

0.05”

LES

ANNEUX

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9

DE

SATURNE

II

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