Classification formelle de feuilletages singuliers de (C2, 0)

C. R. Acad. Sci. Paris, t. 325, Systtimes dynamiques/Dynamical

SCrie

I, p. 773-778, Systems

Classification formelle singuliers de ( C2, 0) Jean-Fraqois

MATTE1

et Ihiane

J.-F. M. : Laboratoiw kmile Pitard, UMR 118, route dp Narbonne, 31062 Toulouse E-mail : [email protected] 6. S. : Institut de Mathkmatiyues, 46-56, 5’ &age, Case 247, 4, place E-mail : [email protected]

R&urn&

1997

de feuilletages SALEM CNRS Cede%.

5580, 04.

UniversitB

UMR CNRS 9994, Universitk Jussiru, 75252 Paris Cedex

Paul-Sabatier,

Pierre-et-Marie-Curie. 05.

donne sousdes conditions g&&iques. une liste compkte d’invariants formels locaux pour un germede feuilletageformel (singulier) 3, 2 I’origine de C’, c’est&dire dond par une l-fotme diffkrentielle w = a(~, y) ds + b(s: y) dy 3 coefficients formels.

On

Formal

classification

of singular foliations

of ( C2, 0)

Abstract.

Undergenericconditions,we give a completelist of localformal invariantsfor a germ of a formal (singular)foliation F4 (at the origin of C’, i.e. given by a difSerentia1 l-form w = a(~, y) dz + b(x, y) dy with formal coeficients.

Abridged

English

Version

A deformation of w with space of pararneters (C*,O) is a family of differential l-forms qt = ut(x, y) dx + bt(x; y) dy on C2, which is singular at the origin, where the coefficients at and b, are formal power series in x and y depending analytically on the parameter t E (0, 0). such that for t = 0, one has v. = w. A local formal invariant associated to the foliation 3U given by the differential l-form w is an object which remains constant for each deformation of w when this deformation is trivial for the relation of fo_rmalconjugation of foliations. After a finite number of blow-ups at points, we get a new foliation 3,,, (the reducedfoliation) with a finite number of reduced singularities on a neighbourhood M w of the exceptional divisor D,. We say that a l-form w is of the first kind (resp. of the .recond kind) if VD, is an invariant set of 3W, and if no singular point c E Sing(?,,) c V, is a resonant tangent saddle (resp. a tangent saddle) along a component of DD,. Note prhentke 0764~4442/97/03250773

par Bernard

MALGRANGE.

0 AcadCmie

des Sciences/Elsevier,

Paris

773

J.-F.

Mattei

et k. Salem

The valence of a component D of 2)” is the number ~(0) of singular points of ?d on D. A chain of D, is either a connected component of D,&, - U1,(D)>3 D joining two components of V, of valence > 3, or an intersection point of two components of-D, with valence > 3. We denote the holonomy group of a component D by HD. A l-form of the first kind is generic if H 13 is non-abelian for V(D) > 3, and if every germ of a transversally formal first integral of FL at a fsingular point of 7, located on a chain is constant. The dual tree of a l-form of the first kind #ir is the weighted graph with arrows W*(w) constructed in the following way: There is a l-l correspondence between vertices of W*(w) and irreducible components of ‘DD,. There is an edge between two vertices of W*(w) if the corresponding components of D)w intersect. We attach an arrow to a vertex of W*(U) for each singular point of .?w on the corresponding component of VD,, which is a Iregular point of V,. The weight at a vertex of A*(w) is the Chern class of the normal bundle to the corresponding, component. The semilocal type E(U) of FU is the data consisting of: the dual tree, the formal types of the local reduced models at the singular points c of F&, and the formal types of the holonomy groups HD of the components D of DD,. It is clearly a formal invariant of .FU. A deformation 17= (v~)+~(c~,~) of w is %equi,Gzgzdur if for any sufficiently small value of the parameter t, one has S^L(qt) G E(U). Let Zy, be the sheaf of germs over D, at points in D:, of transversally formal vector fields of M, which are basic for Fd, i.e. with their flows leaving .??, and V, local formal invariants is given by the following theorems: THEOREM.

- Let LU‘be u~formul generic l-form of the jrst

invariant.

A complete list of

kind. For a “natural adapted”

covering U

of v.4, the C-vector space H1 (u; .6~~) has finite dimension cl. IJ moreover, w is of the second kind, then d = h(w) + 7’(w) with: and

7(w)

= #{chains

of Vd}:

where e(w) is the set of all singular points (0 included) appearing in the reduction process of w, and v, is the algebraic multiplicin, ?f the foliation at rn. THEOREM. - Let w be u formal generic l-fcm,n of thejirst kind. Thze exists a deformation w of w with space of parameters Q 2 (Cd, 0), which is SL-uni~~ersul:for any SL-equisingulur deformation 77with space of parameters (C”. 0), there exists u germ of an unulytic map X : (CP, 0) + Q and an analytic family (@‘t)tE(CP,O)of germs of formal difiomorphisms of ( C2, 0), which for all sufficiently small t, conjugates on (C? X {t}, (0, t)). up to a multiplicative unity, the l-forms qt and GA(~). Moreover, the fuctorizution X is unique.

The deformation W is unique up to fokmal conjugation, and there is a canonical identification of the tangent space of Q at 0 to H1(U; BF, 1).

1. Singularitb

gCnCriques

Rappelons qu’un germe de feuilletage formel FU B l’origine de C?, donnCpar un germe de 1-forme w = a(~, M)dz + b(:c! 9) dy, B coefficients ‘des s&ties formelles en :c et y, et 2 singularit isolCe Sing(3;) = {a,(~! y) = b(z, y) = 0} = {O}, admet une rt?duction des s&gulurite’s canonique (voir [6] ou [3]). C’est-8-dire que l’on dispose d’une ,application holomorphe E, : M, -+ C2 construite par une successionfinie d’Cclatements de points au-dessusde (0) telle que :

774

Classification

formelle

de feuilletages

singuliers

de (C’.

0)

en chaque point m du diviseur exceptionnel VD, := 2;~~ (0), le de feuilletage (transversalement formel (‘) le long de Do,) a singularites isolees yU, qui se constht 2 parh de &z(w) est reduit : dans des coordonnees locales transversalement formelles (u, 11) en m, le getme de Fw est defini par : 1. 3, = g(u,v) du. avec g E C[[u,v]], g(O,O) # 0, ou bien 2. w, = Au dv + pv du + . . ’ avec p # 0, X/p E C - &>pour ces proprietes. Lorsque, dans 2, la valeur propre X est nulle, on clit que la singularit est de type selle-rwud. Un selle-nceud est dit tangent a une branche II du diviseur V, si D est varie’te’ invariante faible : dans un bon systeme de coordonnees ( z1 , ~2 ) au point singulier, on a D = {zr = 0}, et F’ est donne par une I-forme du type : A(zl, z2)dzl + ~~(1-1+ . . ,)dzz avec p # 0. Le selle-nozud est dit tangent resonnant si de plus l’holonomie locale le long de II au point singulier est periodique. Nous dirons que w est de premiere espece (resp. de deuxibme espece) si DD, est un ensemble invariant de 3d, et si aucun point singulier de 3m n’est de type selle-nceud tangent rhonnant (resp. selle-nceud tangent) le long d’une composante du diviseur D”. L’ensemble des formes de premikre esphe est une intersection dhombrable d’ouverts pro-algCbriques de Zariski de l’espace des 1-formes formelles (voir [4]). Appelons valence v(D) d’une composante L) de.Dti, le nombre de points singuliers de F. situ& sur D. Nous dhignons par chaine de Dw, sollt une composante connexe de VD, - UoCDI~3 D qui joint deux composantes de valence > 3, soit un point d’intersection de deux composantes de D, de valence 2 3. Nous imposons aux formes de premiere espece les conditions generiques suivantes qui portent sur les groupes HD assoc@s aux composantes D de Dti, c’est-a-dire les groupes d’holonomie des feuilles D’ := D - (Sing(3w) n D) : Une I-forme de premihe espkce est ge’ne’rique si HD n’est pas abilien pour v(D) > 3, et si tout germe d’intkgrale premikre transversalement formelle de yw en un point singulier de ?d situ6 sur une chaine, est constant (2). On a densitt pour la topologie de Krull : l

germe

l

PROPOSITION 1.1. - Si w est de premiere espece. il existe k EFN tel que tome I-forme q satisfaisant f%) = j”( w ) est aussi de premiere espdce. D#eplus, pour tout 1 > 0, il existe r > 1 et une 1-forme de premiere espece ge’ne’riquew’ ve’rifiant jt(w) = j’(w’) et telle que tome I-forme q satisfaisant f(v) = f(w’) est aussi de premiere especege’ne’rique.

On montre (voir [4]) que l’ensemble des I-formes de premibe espbcequi ne sont pas gCnCriques, est un sous-ensemblepro-algebrique de codimension infinie de l’ensemble des I-formes de premi&re espkce. de champs de vecteurs Notons gp, le faisceau de base VD, des germes aux points de 2. c’est-h-dire leurs flots laissent invariants transversalement formels de M, qui sont basiquespour pw, Un recouvrement adapte’ U de est form6 des traces sur le feuilletage yw et le diviseur de petits polydisques UC(c) de rayon c > 0 centrh aux singularit& c de 3w, et des composantes connexes de - UcESingC~-;=,) UC(c/2). Vu

Vd

V,.

V,

V,

est un C-espace vecloriel 1.2. - Soit w de premiere espbcegenerique. Alors H1 (w &) de dimensionfinie d. Si de plus w est de deuxieme espke, on a d = 6(w) + F(w) avec : TH~OR~ME

S(W) =

c

(urn - ‘)z(u- - 2l

et

F(w) = #{chaines de 27,):

mErAw) 775

J.-F.

Mattei

et c. Salem

02 Q(W) dksigne E’ensemble de tous les points singuliers (y compris 0) qui apparaissent duns la suite d’klatements donnant la rkduction de w, e.t v, dksigne la mutiplicite’ alge’brique au point m du transfomze’ strict du feuilletage. En fait, lorsque w est de deuxieme especegenerique, tome chdne de D, admet une section globale non triviale du faisceau quotient ‘?p don& par la suite exacte : w

oti XFw

designe le faisceau de base DD, des germes aux points de DD, de champs de vecteurs

transversalement formels tangents a gJ. D’autre part, nous montrons l’exactitude de la suite 0-

H’(ZA;+)

-

D’aprts [2], on a l’tgalite dime H1 ( 24.> x^x) aisement que dime H1 (u; ?y)

2. DCformations

H(U;!?,) = WI

-+

H’(U&

) -

0.

sarisaucune hypothese sur w. On montre alors y

= F(w).

CquirCductibles

Une dt;formation de .Fw de base (CY, 0) est la donnee (a unite multiplicative p&s) d’une 1-forme differentielle sur (C? x Cp, 0) du type 71 := A(z, y; t) dz + B(x, y; t) dy avec A(z, y; 0) = a(~, y), B(z, y; 0) = b(z, y) et A(O,O; t) = B(O,O; t) = 0, ou A est B sont des series formelles en 2: et y, a coefficients des series en t = (tl , .... tp), qui convergent sur un m&me polydisque de centre 0. On intreprete r~ comme une famille vt de I-formes differentielles formelles en les variables z,y, dont les coefficients dependent analytiquement de t. Nous dirons que 77 est Pquirkductible s’il existe une application ill : M, + (C” x CP, 0) composte d’une succession d’eclatements Ej

:Mj

i

Mj-‘,

j = 1,. . .! h>

MO := C? x Cp,

M,

:= Mh,

de centres lisses Cj c Mj telle que : 1. la restriction de pr o El: o . . . o Ej,, oti pr(s, y; t) := t, a chaque composante connexe de Cj est un biholomorphisme sur un voisinage l/v de 0 E CP, j = 1, .,: . , h ; 2. pour t assezpetit, la restriction de E, SIx-l(;f). oti TT:= pr o E,, est l’application de reduction de vt; 3. la famille des lieux singuliers de .?& forme un sous-ensemble analytique du diviseur VD, := g;‘(O x W) dont chaque composante connexe est biholomorphe a W via rr. La construction de d&formations formelles equireductibles peut se faire de la man&e suivante grace au theoreme de realisation ci-dessous(dans [4] nous en donnons une version plus complete qui permet aussi un controle des jets en z,y des qt) : Considerons l’espace produit M, x Cr’ muni du diviseur ‘D, x 0, et identifions M, 2 M, x (0). Pour chaque composante D de TDw,notons de nouveau D’ := D - (Sing(&) n D). Donnons nous : 1. au voisinage de chaque point c de Sing(.?A,), une deformation transversalement formelle le long de (D x CP, (~~0)) du germe de :F, - en c, qui laisse DD, invariant et admet (c, t) comme unique singularite ; 2. pour chaque composante D de TDw,une deformation formelle, dependant analytiquement de t E (0, 0) de la representation de 7r1(13’) dans Gf( C, 0) donnee par l’holonomie de gd.

776

Classification

formelle

de feuilletages

singuliers

de ( C2. 0)

Notons S, la collection de ces oJjets B kquivalence formelle p&s. Ainsi, pour chaque paire (c, D), oti c est un point singulier de 3d situ6 sur la composante D du diviseur, on dispose de deux familles de diffkomorphismes formels dependant analytiquement du paramktre t E (Cp. 0) : la famille des holonomies locales &.,D;t en (c, t) le long de D x {t} de la dkformation donnCe par 1, et la dkformation $c,D;t de l’holonomie de y. le long d’un petit lacet sur D autour de c donnte par 2. Nous dirons que S, est un systsme semi-local cohe’rent si chaque famille de diffkomorphismes formels (4~;~)~ est conjuguke (par une famille de diffkomorphismes formels dkpendant analytiquement de t) h la famille (lCf,,D:t)l. Trivialement, une dkformation kquirkductible induit un systkme semi-local coherent. Rtkiproquement : THBOR~ME

2.1. - Tout systkme semi-local cohe’rent est induit par une d&formation

e’quirkductible.

Ce thkorkme se dkmontre en construisant, par des techniques de recollement, une dkformation de yti rkalide sur une dkformation M’ du germe de M, le long de ID, ; puis en montrant que M’ peut &tre obtenue par une succession d’klatements. La difficult6 principale, due au caractkre formel des recollements, est levee g&e au thtorkme de <s ci-dessous. Notons AutcP(M,) (resp. &&,(MII.)) le faisceau de groupes de base VD, des germes aux points de VD, de familles de diffkomorphismes holomorphes (resp. transversalement formels) de M,, qui dkpendent analytiquement d’un paramktre t E (Cp, 0), qui laissent invariant le diviseur D), et qui valent l’identitk pour t = 0. Munissons le diviseur V, de l’idCa1 I, image rkiproque par 3, de 1’idCal maximal (x, y) c C[[z, y]]. Notons AutFL(M,,,) le faisceau des <
2.2, - Soient U un recouvrement adapt6 de D, et k assez grand. Les applications H1(U, A&p

(M,))

--+ H1(Z4, Aut$

naturelles

(M,))

et H1(U,G,,(M,)) sont bijectives. En particulier, aussi bijective.

3. DCformations

l’application

+ H1(&Aut~!(M,)) naturelle

H1(U, AutcP (M,))

-+ H1 (U, zcP

(M,))

est

Cquisingulihes

Nous dirons qu’une dkformation 7 de 3ti est ,ir type semi-local formel constant, ou SL-PquisinguliBre si elle induit un systkme semi-local formellement conjugk au syst&me semi-local constant ; en d’autres termes, si l’on peut construire dans M,, au voisinage de chaque point singulier c E Sing(?‘) c M, = 7r- ‘(0) C M, et au voisinage (effilk) de chaque composante CpointCe D’ c M, c M, de V,, une famille analytique de diffkomorphismes transversalement formels le la collection de long de V,, qui conjugue la famille yVt B la famille constante. Notons (9,,,), ces conjugaisons. La non-trivialit globale se lit dans le cocycle a,,(? f := 9,, t~ U,.‘, qui est B valeurs dans le faisceau G, (.?” ) de base V, des germes de familles analytiques d’automorphismes transversalement formels de 3w, qui valent l’identitk pour t = 0. Au premier ordre, la <
t E (C: 0) est un cocycle

de cohomologie

w

t~=O?I valeurs dans go-.

dans H1 (U; go Y ), oti U dkigne

un recouvrement

On notera

adapt6 de V,.

L-1 2

sa classe

t=o

777

J.-F.

Mattei

TH~~ORBME

d&formation

et i.

Salem

3.1. - Tout I-cocycle St-PquisinguliPre

existe une deformation

de Z1 (IY; G,

(Fw))

est rkalise’ comme cocycle associe’ Li une

de w. De plus, &ant don&s

SL-e’quisinguliPre

Une liste complkte d’invariants

E Zl(l4;

iTyd), il

77de w de base (C”, 0) telle que :

a& i-1 = ! at,

r E N* et X1, . . .,X,

IXj]

j = l,...,r.

t=o

formels

locaux est donnCe par le thCor&me suivant :

THGOR~ME 3.2. - Soit w une l-forme de premitre espke ge’ne’rique. I1 existe alors une dkformation w de w d’espace de paramttres Q N (Cd, 0), qui est SL-universelle dans le sens suivant : pour toute dt;formation SL-e’quisinguliBre 7) d’espace de paramttres quelconque (CP, 0), il existe un germe d’application analytique X : (CP, 0) 4 Q et une famille (@t)+G(Cp, 0j de germes de diflkomorphismes transversalement formels de (C’, 0) dkpendant analytiquement du paramPtre t, qui pour chaque t assei petit, conjuguent sur (C” X {t}, (0, t)), #irunite’ multiplicative pr&, les I-formes qt et WA(~).De plus, la factorisation A est unique. La deformation W est unique SIconjugais_onformelle p&s, et l’on a une identification canonique de l’espace tangent de Q en 0 avec H1(U; f?,- ). Plus prkidment, le th&or?me suivant, joint B (3.1) donne le mode de construction de W. w THI~OR~ME

3.3. - Une dkfonnation 11d’espace de parambtres (0,

3 L-1

esptke g&nne’rique est SL-universelle si et seulementsi les ‘2 de H1(ZA; Gus).

0) d’une 1-forme de premidre

. j = 1, . . . ! q, forment une base t=o

Dans [5], nous construisons deux feuilletages analytiques naturels sur l’espace universe1 Q, dont chaque feuille correspond ?I un espacede modules analytiques, respectivement topologiques.

Pendantcette recherchele second auteur a bCnCfici6 d’une bourse du FNRS. (‘) Le faisceau desfunctions trunsversalementformelles est le faisceau (de base 23,) cornpEt &par6 du faisceau 0.~~ des fonctions holomorphes sur M,, pour la topologie d&ink: par les puissances du sous-faisceau d’idCaux des fonctions nulles sur VD,. Par extension des scalaires, on dkfinit de m&me les notions de formes diffkrentielles, feuilletages, champs de vecteurs, diff6omorphismes, . transversalement formels. (“) Des conditions gCnCriques similaires sont introduites par L. Le Floch pour obtenir un r&what de rigidit formelle (voir [l]). Note remise le 7 fkvrier

1997, acceptke le 17 fkvrier

1997.

RCfkrences bibliographiques [l] [2] [3] [4] [5] [6]

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