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Etude de la diffraction par une fente pratiquee dans un ecran infiniment conducteur d'epaisseur quelconque
\',duroc 9, numher 4
OPTICS COMMUNICATIONS
December 1973
E T U D E D E LA D I F F R A C T I O N PAR U N E F E N T E P R A T I Q U E E DANS UN ECRAN INFINIMENT CONDUCTEUR
D'EPAISSEUR QUELCONQUE
J.L. ROUMIGUIERES, D. MAYSTRE, R. PETIT et M. CADILHAC Laboratoire d'Optique Electromagndtique, Universitd de Provence Centre de Saint-Jdr6me, 13397 Marseille Cddex 4, France
Requ le 18 Juillet 1973
This paper deals with the rigorous electromagnetic theory of the diffraction of a plane wave by a split in a thick screen. The screen is perfectly conducting, the width of the slit is of the order of the wavelength, and the electric field t~ parallel to the slit. Particular attention has been paid to the numerical treatment in order to obtain a high ao:uraey with a short computer time. !. Introduction Dans le but d'6tendre au cas d'une seule fente les rdsultats num6riques obtenus pour un r,~seau lamellaire reposant sur un empilement de couches minces [ 1l, on dtudie, dans le domaine de r6sonance, et pour chacun des deux cas fondamentaux de polarisation+ le probl~me plus simple de ia diffraction d'une onde plate par une fente pratiquee dans un 6cran epais et infiniment conducteur plat6 dans le vide. L'espace est rapport.i "a un tri~dre orthonorm(: Oxvz de vecteurs unitaires t;x . dy, ez et, en adoptant une d~pendance de temps en e~p (---i~t), nous reprdsentons route grandeur physique par son amplitude complexe. Une onde plane incidente don'. le champ ~lectrique E ~ = ~. exp [iklx sin 0 (y - ½h) cos 0)] est suppos6 parall~le ~ Oz pour simplifier I'expos& illumine une fente de largeur c d6coup6e parallUement h Oz darts un 6cran parfaitement conducteur d'~paisseur h (fig. ! ). II s'agit de determiner E t x , y ) , projection sur Oz du champ ¢lectrique total, et, puisque nous supposons que la iargeur c de la fente est de l'ordre de la longueur d'onde X = 2n/k, il est n¢cessaire de faire appel aux equations de I'dectromagn~tisme. En depit d'une presentation differente, le formalisme utilis¢ s'apparente h celui de Wirgin [2] ; il consiste h racorder deux d~veloppements en ondes planes valables au-dessus et au-dessous de I'¢cran avec un d~veloppe ment modal valable h l'int6rieur de la fente. On remarquera qu'une attention particuli¢re a¢t¢ accordee au traitement numerique pour essayer d'obtenir une tr~s bonne pr6cision tout en maintenant de faibles temps de calcul.
2. ~
en ~quations
Pour les m~mes raisons que da,qs nos pr~c6dentes publications [ 1, 3], nous d~crivons le champ dans la fente par un d6veloppement modal. Puisque le champ est nul dans le m~tal, on a done si - -~h < ) , ~< ~h.~• £ l x , . v } = C(x) ~ n = ]
(a n cos/any + bn sin/any ) sin(nTrx/c)
(1)
avec On = k2 - n'.'r'/c * ~ *~, C ( x ) = I rd x E [0 c], C(x) = 0 six ~ [O,c]. Si.v < - ~h, le champ total s'identifie au champ diffract6 E d ~ x . y ) , mais s i y > ½h et puisque nous nous int6ressons ~ la perturbation caus6e par la pr6sence de la fente, nous posons: .~68
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•y
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Fig. 1. Notations: OC = c, OA = OB =/h.
Ed(x, y) = E(x, y) - exp [ik(x sin 0 - (y - ½h) cos 0)] + exp [ik(x sin 0 + ( y - ~h) cos 0 ) ] ,
(2)
expression dont le dernier terme repr6sente le champ qui serait spdculairement r6fl6chi par l'6cran en l'absence de fente. Par analogie avec ce qui a 6t6 dit pour les r6seaux lamellaires, nous allons d'abord montrer qu'& l'ext6rieur de la fente, le champ diffract~ peut ~tre d~crit par deux d6veloppements en ondes planes. Pour eela, utilisant la reprdsentation de F,gurier, posons:
Ed(x,y) = e x p ( i k x sinO)
u(v,y) exp(i2rrvx)dv,
si y > ½h ;
(3)
v(v,)'}exp(i2rrvxldv,
si y < - ½ h .
(4 t
-.c,o
Edlx,yl=exp(ikxsinO)f
En portant ces d6veloppements dans l'6quation de ttehnholtz, il vient 616mentairement:
u(v, y } = A(v) exp li×(v)(y - ~h )] + A' (v) exp I - i X ( v ) ( Y - ½h)] ,
(5)
u l v . y ) = B'(v) exp l ix(v}kv +~h)] + B l v ) exp [ - i x ( v ) ( y
(6)
+½h)] ,
avec: ct(v) = 2."rv + k sin 0, et ~{v) = vt-k 2 -- e2(v) ou ix, l'~-(ff), k 2. La condition d'ondes sortantes entraine A'(v) = B '(v} = 0, si bien qu'en reportant (5) et (6) dans (3) et (4), on a les d6veloppements en ondes planes cherches: Ea(x,y) = f
Edlx,Y) = f
A(v)expli×(v)(y-~h)+ie(v)xldv,
siy>½h;
B(vlexpl-ix(vlO'+~hl+i~lv)xldv,
sly<.
(7)
½h.
(81
,,o
Ainsi, les 4qs. ( ! ), (7) et (8) ram~nent la ddlermination du champ diffract6/t celle de deux suites de coefficients
anet b n e t de deux fonctions A(v) et B(v). Pour cela, comme dans [ 1 ] et [31, on 6crit pour), = +- -~h la continuit6 du champ Elx,),) et de la d6riv4e 3F/Sy de la fonction F(x,y) = C(x)E(x,y). On obtient ainsi quatre relations o6 figurent a n , b n, A(v) et B(v) et, par 61imination de A(v) et B(v) apt4s transformation de Fourier, il reste les deux relations:
. . . .
2ik cos(0)~(v)+ i ~ (a, cosu,, ½a + % sinu,, {h)~(v}, Ix(v)T,,(v)l tt = I
oo
(9}
= G ,,.,,,( ..,,,. s~. u,.'h + b,,cos~,,'J,)/,,i~), n= I
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i ~., la,, cospn~h
b,, sinp,, ~h}CIv) * [X{,,)fn(v)i = E
j,,--]
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/an(a,, sin p,, }h + bn cos/an } h ) f n ( v ) ,
If0)
I1=]
relations dans iequelles le signe * d6signe le produit de convolution, C(v) est la transform~e de Fourier de C ( . ~ , et •6A v) = .I'~"sin (n,'v,'/c) exp i - i~(v)xl dx est celle de )'~7(x) = C(x) exp ( - - i k x sin 0) sin (mrx/c). Les fonctions fn(v) forment une base orthogonale puisque, d'aprgas I'dgalit6 de Parseval et la d~finition de fn(X): #, ~ .
j
"~ ,:,o
t;,lv)t;,,lvldv= f
C
Z,(x)fm(x')dx= f
sin(nnx/c)sin(mrrx/c)dx=icS,,,n.
(111
On peut donc, en projetant (9) et (10) sur les J~flv) obtenir un syst~me lindaire infini pour les a n et les b n. !1 suffit p~mr cela de savoir calculer les coefficients Mnm ddfinis par: +c.e
= j
(12)
3. T r a i t e w e n t n u m 6 r i q u e
En appliquant au second membre de (12) l'6galitd de Parseval, on remarque qu'il est possible de supprimer le
C(x} provenant de la partie entre crochets sans modifier la valeur de I'intdgrale, puisque ('(x)]~(x) = ]~flx). Done en appliquant une seconde lois l'6galit6 de Parseval pour revenir "a une intdgration en v il vient: .'tf,~,,: =
!
.t~flV)k(V)]"m(vldv.
(13}
ce qul rf,,hail pas 5 priori ,.Svidellt sur (12). I:[n utilisant ( 13j, c,p. trouve l'expressitm de M,m~: 1"..... = ( ,., , , ' - c --,) fd 1 I l)mc°"s°"' c2)~,/}< - ' - 5 a -' d a , ; 3, )/ ) 3 . ~ | a 2- tl-rr~.,c-j(Of m2lr2/
.J
M::,,~ =
"
si t z + m c~timpair
•
{14)
si n + m est pair,
O,
~.eite intcgrale put 6tre consid6rde cumme la somme de deux intdgrales au sens de ('auchy. ka premi&e, qui correspond au premier terme du numdrateur de 1141. se fair analytiquement, ka seconde, donn6e par: '-~
Jnm . . f. . . . "~
.---)
-5
c.~s(e, c N / k " a" '.-~: ~ _ "~. . . . :C;,/ .~ dot.
la 2- n - ~ ; - . ' c - ) l a -
1151
m-rr-,c-
est l'integralc d'une fonction oscillante ddcroissant seulement comme 1/1ol 3 quand lal --" oo (.)n nc change pas sa valeur cn remplaqant cos lot') par exp{iac) ce qui revient 5 ajouter une fonction impaire 5 I'intdgrande: j ..... = , •
( ".:
.-,
la-
c x p l i a c l x / ' k : a ~, ~- ~ --~ - ~ - - 5 - - - c - d a "
n"z-.,c"He "~ - tn-rr-/c')
(15'}
.-XprSs ,:ette transfl~rmation, il apparait que l'intdgrande est la restriction 'a l'axe rdel d'une function g(z) de la ~ariable complexe : = a + il3 ~acondition toutefois de placer une coupure sur chacune des deux demi-droites D 1 et D, trig. 21 pour tenir compte de la d~termination de X(v):
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f
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lil C~'I
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hl
III
~
P, l"
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Fig. 2. Calcul des Mnm.
exp ( i zc)x/k-TS-z'-~'z"
g(z) ........
,,2-.2i :2)i1.2 ,;;2;;G-5 Si C I est le therein (fig. 2} qui contourne par le haut les p61es de glz):
d,,,,, = fg(z)dz--
6.,,,t !)"
c2x/'A'2~2-;;?ii'~'-2)'2n2n,
(16)
('l oi~ Ic terme contenant le symbole de Kronecker provient de I'intdgration sur les demi-cercles et~tourant les p6ies. Par ddformation du therein d'intdgration, on peul remplacer C 1 par C 2 I fig. 2):
.i,m = . f g ( z ) d z
' v gF",~- ¢ ~ 6ran(i) n c~
.....
(17)
, -~-Y,~ n - / _ n - r"r ,
("2 et. puisquc la contribution du demi-cercle de I'infini est nulle, il suffit en fait d'int6grer le long de D ! . ('eci est numdriquement trds.lilcih' puisqu'aux bords de D I g(z) d~croit exponentiellement el sans osciller quand ~--, ~. Nous utilisons une m6thode d'int6gration de type Gauss Laguerre [41. l.a projection de 10) ct (10) stir lesf,{ul conduit "1 deux 6quations matricielles:
Pa+Ob=S,
Pa. Ob=O,
(.9' ,lO')
dans lesquelles a. b, S sont des matrices colonnes infinies (d'dldments a m, b m e t S m ) ndcessairement tronqudes un rang N pour les besoins du calcul num6rique: P e t O sont des matrices carr6es de meme rang N d6finies par:
Pro,, = cost/a,, ~h)Mm, ,
i6m,,U m ~, sin(o,,, ~tl).
DIIgC
S m = 2 k c o s ( 0 } - q :;- . k ' c ' s m 20
Qmn = sin(/an~h)Mmn + iSm,,/a,, ~c cos(/a m ~tl),
~3 [(-l)mexp(ikcsinO) m-u"
S m =ikccosO ,
11,
pour m r r 4 : k c s i n O , si
tort = kc sin0 .
En fait, (9') et (10') se ddcouplent, ce qui permet de ddterminer sdpar6ment a e t b: a = _i,p I S b ,70 ~ -. 1 S. Les lonctions A(v) et B(v) se ddduisent facilement de ia connaissance des a n et b,~. Notons que pour 6viter un d6passement de capacit6 de l'ordina!eur, il est pr6f6rable de prendre comme inctmnues: a n - - a . cos(ta n ~hL ,
=
r
f
b n = b n sin 1/.~n ~h),
4. Crit6res de validit6 des calculs Comme toujours, nous nous assurons de la convergence des valeurs successivement obtenues pour a n et b n quand N attgmente. On dispose d'autre part de la loi de conservation de 1'6nergie que l'on obtient ici en faisat~t 371
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axec le contour I" de la fig. 3 et compte tenu des d~iveloppements (7) et (8), un calcul semblable ;i celui qui a ~!t6 fair dans ! 51 : !
! f~, {IA(v)l 2 + l B ( v ) 1 2 ) X ( v j d v
}
=1.
Rappclons qu'au prLx tic quelqucs modifications, cette m~thode est aussi facilement utilisable lorsque le champ magn,Stique est ~arall~ie aux sillons (cas Hil ). Dans ce cas, et si h = ~ . , le raisonnement employ6 pour un n!seau pa~ Marf-chal et Stroke ~6] montre que, quelle que soit la largeur c de la fente, la somme de deux ondes planes H I Iv) et H2(Y) se propageant en sens inverse (fig. 4) v6rifie les 6quations de Maxwell et la condition aux limites imposC-e par i'~Scran, On ne d6duit que si la fente est 6clair~ie par la seule onde H l , le champ diffract~ en M est ~gal en mt~lule au champ diffract6 au point M' symm6trique de M par rapport fi Ox. Cette propriO~i a ~t~ num~!. riquement v,brifi~e pour ~ = 0,5890 pro, h = 0,2945 pm et (" = 1,3 h; comme elle n'apparait pas dans ie formalisme que nous venons de de~crirc, ce r6sultat constitue "~la fois une v6rification de la th6orie et du programme num~rique.
5. Exem~le de r~ultats Les cal, .s ont ~t6.iusqu'ici effectu~s stir l'ordinateur CII 10070 mais on estime que le temps de calcul serait de l'ordre de la s,-conde sur UNIVAC 1108. La consen'ation de I'~nergie est g~n6r',tlement v~rifi6e avec une pr~icision sup~rieure i' 10 3 La fig. 5 donne le diagramme de rayonnement obtenu pour le cas Ell avec k c = 4.0 et kh = 10.66. Les autres calculs dQ~i effectuLis pour ce cas de polarisation montrent que, s i c est plus petit que ~ ~, le champ transmis est migligeable (son flux est de l'ordre de 10 .`5 lois le flux incident lorsque h/X est de I'ordre de 0.75 ). ( es conclusions ne sont pas valables pour l'autre cas fondamental de polarisation et une exploitation syst6matiqu ~ pourrait ~tre entreprise si la n~cessit~ s'en faisait sentir. by
tP)
tY
,
i tg. 3. Chermn d'mU~gratton pour la formule de conservation d'~;;lcr.,.z-ie.
M.
&Y
i
~H4
-,///////////j M~°
~ Ht
tlg. 4. Syrfietne du champ diffract6 dans un cas parliculicr. J
;.
|ig. A. Diagrammc dc rayonnelnL'1~l poar l'tnclden~c normalc: OM est proportionnel A l'efficacit~ angulaire IA(v)l 2 × .~a(v)/4kTr Re (A(0)} ou IB(u)12 xI(v)/4kn Rc {A (0)}.
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R~f~rences II] J.L. Roumiguieres, D. Maystre et R. Petit, Optics Commun. 7, 4 (1973) 402. 12] A. Wirgin, Compt, Rend. Acad. Sci Paris 270 ~1970) 1457. 131 I). Maystre et R. Petit. Optics Commun. 5, 2 ~1972) 9(I. 141 J.P. Boujot et P. Maroni, C.N.R.S., publication n ° MMX/8.1.8/AI ~1968) 32. 151 R. Petit, Revue d'Optique 6 (1966) 273. 161 A. Marech,'d et G.W. Stroke, Compt. Rend. Acad. Sci. Paris 249 (1959) 2042.
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D'EPAISSEUR QUELCONQUE
J.L. ROUMIGUIERES, D. MAYSTRE, R. PETIT et M. CADILHAC Laboratoire d'Optique Electromagndtique, Universitd de Provence Centre de Saint-Jdr6me, 13397 Marseille Cddex 4, France
Requ le 18 Juillet 1973
This paper deals with the rigorous electromagnetic theory of the diffraction of a plane wave by a split in a thick screen. The screen is perfectly conducting, the width of the slit is of the order of the wavelength, and the electric field t~ parallel to the slit. Particular attention has been paid to the numerical treatment in order to obtain a high ao:uraey with a short computer time. !. Introduction Dans le but d'6tendre au cas d'une seule fente les rdsultats num6riques obtenus pour un r,~seau lamellaire reposant sur un empilement de couches minces [ 1l, on dtudie, dans le domaine de r6sonance, et pour chacun des deux cas fondamentaux de polarisation+ le probl~me plus simple de ia diffraction d'une onde plate par une fente pratiquee dans un 6cran epais et infiniment conducteur plat6 dans le vide. L'espace est rapport.i "a un tri~dre orthonorm(: Oxvz de vecteurs unitaires t;x . dy, ez et, en adoptant une d~pendance de temps en e~p (---i~t), nous reprdsentons route grandeur physique par son amplitude complexe. Une onde plane incidente don'. le champ ~lectrique E ~ = ~. exp [iklx sin 0 (y - ½h) cos 0)] est suppos6 parall~le ~ Oz pour simplifier I'expos& illumine une fente de largeur c d6coup6e parallUement h Oz darts un 6cran parfaitement conducteur d'~paisseur h (fig. ! ). II s'agit de determiner E t x , y ) , projection sur Oz du champ ¢lectrique total, et, puisque nous supposons que la iargeur c de la fente est de l'ordre de la longueur d'onde X = 2n/k, il est n¢cessaire de faire appel aux equations de I'dectromagn~tisme. En depit d'une presentation differente, le formalisme utilis¢ s'apparente h celui de Wirgin [2] ; il consiste h racorder deux d~veloppements en ondes planes valables au-dessus et au-dessous de I'¢cran avec un d~veloppe ment modal valable h l'int6rieur de la fente. On remarquera qu'une attention particuli¢re a¢t¢ accordee au traitement numerique pour essayer d'obtenir une tr~s bonne pr6cision tout en maintenant de faibles temps de calcul.
2. ~
en ~quations
Pour les m~mes raisons que da,qs nos pr~c6dentes publications [ 1, 3], nous d~crivons le champ dans la fente par un d6veloppement modal. Puisque le champ est nul dans le m~tal, on a done si - -~h < ) , ~< ~h.~• £ l x , . v } = C(x) ~ n = ]
(a n cos/any + bn sin/any ) sin(nTrx/c)
(1)
avec On = k2 - n'.'r'/c * ~ *~, C ( x ) = I rd x E [0 c], C(x) = 0 six ~ [O,c]. Si.v < - ~h, le champ total s'identifie au champ diffract6 E d ~ x . y ) , mais s i y > ½h et puisque nous nous int6ressons ~ la perturbation caus6e par la pr6sence de la fente, nous posons: .~68
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Fig. 1. Notations: OC = c, OA = OB =/h.
Ed(x, y) = E(x, y) - exp [ik(x sin 0 - (y - ½h) cos 0)] + exp [ik(x sin 0 + ( y - ~h) cos 0 ) ] ,
(2)
expression dont le dernier terme repr6sente le champ qui serait spdculairement r6fl6chi par l'6cran en l'absence de fente. Par analogie avec ce qui a 6t6 dit pour les r6seaux lamellaires, nous allons d'abord montrer qu'& l'ext6rieur de la fente, le champ diffract~ peut ~tre d~crit par deux d6veloppements en ondes planes. Pour eela, utilisant la reprdsentation de F,gurier, posons:
Ed(x,y) = e x p ( i k x sinO)
u(v,y) exp(i2rrvx)dv,
si y > ½h ;
(3)
v(v,)'}exp(i2rrvxldv,
si y < - ½ h .
(4 t
-.c,o
Edlx,yl=exp(ikxsinO)f
En portant ces d6veloppements dans l'6quation de ttehnholtz, il vient 616mentairement:
u(v, y } = A(v) exp li×(v)(y - ~h )] + A' (v) exp I - i X ( v ) ( Y - ½h)] ,
(5)
u l v . y ) = B'(v) exp l ix(v}kv +~h)] + B l v ) exp [ - i x ( v ) ( y
(6)
+½h)] ,
avec: ct(v) = 2."rv + k sin 0, et ~{v) = vt-k 2 -- e2(v) ou ix, l'~-(ff), k 2. La condition d'ondes sortantes entraine A'(v) = B '(v} = 0, si bien qu'en reportant (5) et (6) dans (3) et (4), on a les d6veloppements en ondes planes cherches: Ea(x,y) = f
Edlx,Y) = f
A(v)expli×(v)(y-~h)+ie(v)xldv,
siy>½h;
B(vlexpl-ix(vlO'+~hl+i~lv)xldv,
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(7)
½h.
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Ainsi, les 4qs. ( ! ), (7) et (8) ram~nent la ddlermination du champ diffract6/t celle de deux suites de coefficients
anet b n e t de deux fonctions A(v) et B(v). Pour cela, comme dans [ 1 ] et [31, on 6crit pour), = +- -~h la continuit6 du champ Elx,),) et de la d6riv4e 3F/Sy de la fonction F(x,y) = C(x)E(x,y). On obtient ainsi quatre relations o6 figurent a n , b n, A(v) et B(v) et, par 61imination de A(v) et B(v) apt4s transformation de Fourier, il reste les deux relations:
. . . .
2ik cos(0)~(v)+ i ~ (a, cosu,, ½a + % sinu,, {h)~(v}, Ix(v)T,,(v)l tt = I
oo
(9}
= G ,,.,,,( ..,,,. s~. u,.'h + b,,cos~,,'J,)/,,i~), n= I
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i ~., la,, cospn~h
b,, sinp,, ~h}CIv) * [X{,,)fn(v)i = E
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relations dans iequelles le signe * d6signe le produit de convolution, C(v) est la transform~e de Fourier de C ( . ~ , et •6A v) = .I'~"sin (n,'v,'/c) exp i - i~(v)xl dx est celle de )'~7(x) = C(x) exp ( - - i k x sin 0) sin (mrx/c). Les fonctions fn(v) forment une base orthogonale puisque, d'aprgas I'dgalit6 de Parseval et la d~finition de fn(X): #, ~ .
j
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t;,lv)t;,,lvldv= f
C
Z,(x)fm(x')dx= f
sin(nnx/c)sin(mrrx/c)dx=icS,,,n.
(111
On peut donc, en projetant (9) et (10) sur les J~flv) obtenir un syst~me lindaire infini pour les a n et les b n. !1 suffit p~mr cela de savoir calculer les coefficients Mnm ddfinis par: +c.e
= j
(12)
3. T r a i t e w e n t n u m 6 r i q u e
En appliquant au second membre de (12) l'6galitd de Parseval, on remarque qu'il est possible de supprimer le
C(x} provenant de la partie entre crochets sans modifier la valeur de I'intdgrale, puisque ('(x)]~(x) = ]~flx). Done en appliquant une seconde lois l'6galit6 de Parseval pour revenir "a une intdgration en v il vient: .'tf,~,,: =
!
.t~flV)k(V)]"m(vldv.
(13}
ce qul rf,,hail pas 5 priori ,.Svidellt sur (12). I:[n utilisant ( 13j, c,p. trouve l'expressitm de M,m~: 1"..... = ( ,., , , ' - c --,) fd 1 I l)mc°"s°"' c2)~,/}< - ' - 5 a -' d a , ; 3, )/ ) 3 . ~ | a 2- tl-rr~.,c-j(Of m2lr2/
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si t z + m c~timpair
•
{14)
si n + m est pair,
O,
~.eite intcgrale put 6tre consid6rde cumme la somme de deux intdgrales au sens de ('auchy. ka premi&e, qui correspond au premier terme du numdrateur de 1141. se fair analytiquement, ka seconde, donn6e par: '-~
Jnm . . f. . . . "~
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-5
c.~s(e, c N / k " a" '.-~: ~ _ "~. . . . :C;,/ .~ dot.
la 2- n - ~ ; - . ' c - ) l a -
1151
m-rr-,c-
est l'integralc d'une fonction oscillante ddcroissant seulement comme 1/1ol 3 quand lal --" oo (.)n nc change pas sa valeur cn remplaqant cos lot') par exp{iac) ce qui revient 5 ajouter une fonction impaire 5 I'intdgrande: j ..... = , •
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c x p l i a c l x / ' k : a ~, ~- ~ --~ - ~ - - 5 - - - c - d a "
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(15'}
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III
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P, l"
IDa
Fig. 2. Calcul des Mnm.
exp ( i zc)x/k-TS-z'-~'z"
g(z) ........
,,2-.2i :2)i1.2 ,;;2;;G-5 Si C I est le therein (fig. 2} qui contourne par le haut les p61es de glz):
d,,,,, = fg(z)dz--
6.,,,t !)"
c2x/'A'2~2-;;?ii'~'-2)'2n2n,
(16)
('l oi~ Ic terme contenant le symbole de Kronecker provient de I'intdgration sur les demi-cercles et~tourant les p6ies. Par ddformation du therein d'intdgration, on peul remplacer C 1 par C 2 I fig. 2):
.i,m = . f g ( z ) d z
' v gF",~- ¢ ~ 6ran(i) n c~
.....
(17)
, -~-Y,~ n - / _ n - r"r ,
("2 et. puisquc la contribution du demi-cercle de I'infini est nulle, il suffit en fait d'int6grer le long de D ! . ('eci est numdriquement trds.lilcih' puisqu'aux bords de D I g(z) d~croit exponentiellement el sans osciller quand ~--, ~. Nous utilisons une m6thode d'int6gration de type Gauss Laguerre [41. l.a projection de 10) ct (10) stir lesf,{ul conduit "1 deux 6quations matricielles:
Pa+Ob=S,
Pa. Ob=O,
(.9' ,lO')
dans lesquelles a. b, S sont des matrices colonnes infinies (d'dldments a m, b m e t S m ) ndcessairement tronqudes un rang N pour les besoins du calcul num6rique: P e t O sont des matrices carr6es de meme rang N d6finies par:
Pro,, = cost/a,, ~h)Mm, ,
i6m,,U m ~, sin(o,,, ~tl).
DIIgC
S m = 2 k c o s ( 0 } - q :;- . k ' c ' s m 20
Qmn = sin(/an~h)Mmn + iSm,,/a,, ~c cos(/a m ~tl),
~3 [(-l)mexp(ikcsinO) m-u"
S m =ikccosO ,
11,
pour m r r 4 : k c s i n O , si
tort = kc sin0 .
En fait, (9') et (10') se ddcouplent, ce qui permet de ddterminer sdpar6ment a e t b: a = _i,p I S b ,70 ~ -. 1 S. Les lonctions A(v) et B(v) se ddduisent facilement de ia connaissance des a n et b,~. Notons que pour 6viter un d6passement de capacit6 de l'ordina!eur, il est pr6f6rable de prendre comme inctmnues: a n - - a . cos(ta n ~hL ,
=
r
f
b n = b n sin 1/.~n ~h),
4. Crit6res de validit6 des calculs Comme toujours, nous nous assurons de la convergence des valeurs successivement obtenues pour a n et b n quand N attgmente. On dispose d'autre part de la loi de conservation de 1'6nergie que l'on obtient ici en faisat~t 371
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axec le contour I" de la fig. 3 et compte tenu des d~iveloppements (7) et (8), un calcul semblable ;i celui qui a ~!t6 fair dans ! 51 : !
! f~, {IA(v)l 2 + l B ( v ) 1 2 ) X ( v j d v
}
=1.
Rappclons qu'au prLx tic quelqucs modifications, cette m~thode est aussi facilement utilisable lorsque le champ magn,Stique est ~arall~ie aux sillons (cas Hil ). Dans ce cas, et si h = ~ . , le raisonnement employ6 pour un n!seau pa~ Marf-chal et Stroke ~6] montre que, quelle que soit la largeur c de la fente, la somme de deux ondes planes H I Iv) et H2(Y) se propageant en sens inverse (fig. 4) v6rifie les 6quations de Maxwell et la condition aux limites imposC-e par i'~Scran, On ne d6duit que si la fente est 6clair~ie par la seule onde H l , le champ diffract~ en M est ~gal en mt~lule au champ diffract6 au point M' symm6trique de M par rapport fi Ox. Cette propriO~i a ~t~ num~!. riquement v,brifi~e pour ~ = 0,5890 pro, h = 0,2945 pm et (" = 1,3 h; comme elle n'apparait pas dans ie formalisme que nous venons de de~crirc, ce r6sultat constitue "~la fois une v6rification de la th6orie et du programme num~rique.
5. Exem~le de r~ultats Les cal, .s ont ~t6.iusqu'ici effectu~s stir l'ordinateur CII 10070 mais on estime que le temps de calcul serait de l'ordre de la s,-conde sur UNIVAC 1108. La consen'ation de I'~nergie est g~n6r',tlement v~rifi6e avec une pr~icision sup~rieure i' 10 3 La fig. 5 donne le diagramme de rayonnement obtenu pour le cas Ell avec k c = 4.0 et kh = 10.66. Les autres calculs dQ~i effectuLis pour ce cas de polarisation montrent que, s i c est plus petit que ~ ~, le champ transmis est migligeable (son flux est de l'ordre de 10 .`5 lois le flux incident lorsque h/X est de I'ordre de 0.75 ). ( es conclusions ne sont pas valables pour l'autre cas fondamental de polarisation et une exploitation syst6matiqu ~ pourrait ~tre entreprise si la n~cessit~ s'en faisait sentir. by
tP)
tY
,
i tg. 3. Chermn d'mU~gratton pour la formule de conservation d'~;;lcr.,.z-ie.
M.
&Y
i
~H4
-,///////////j M~°
~ Ht
tlg. 4. Syrfietne du champ diffract6 dans un cas parliculicr. J
;.
|ig. A. Diagrammc dc rayonnelnL'1~l poar l'tnclden~c normalc: OM est proportionnel A l'efficacit~ angulaire IA(v)l 2 × .~a(v)/4kTr Re (A(0)} ou IB(u)12 xI(v)/4kn Rc {A (0)}.
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R~f~rences II] J.L. Roumiguieres, D. Maystre et R. Petit, Optics Commun. 7, 4 (1973) 402. 12] A. Wirgin, Compt, Rend. Acad. Sci Paris 270 ~1970) 1457. 131 I). Maystre et R. Petit. Optics Commun. 5, 2 ~1972) 9(I. 141 J.P. Boujot et P. Maroni, C.N.R.S., publication n ° MMX/8.1.8/AI ~1968) 32. 151 R. Petit, Revue d'Optique 6 (1966) 273. 161 A. Marech,'d et G.W. Stroke, Compt. Rend. Acad. Sci. Paris 249 (1959) 2042.
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