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Modèle prédictif du comportement dynamique du fluide dans les actionneurs pneumatiques
C. R. Acad. Sci. Paris, Machines, mkcanismes,
t. 325, SCrie II b, p. 553-561, 1997 robotiques/Machines, mechanisms,
robotics
ModHe predictif du comportement dynamique du fluide dans les actionneurs pneumatiques Olivier
GEIDER,
Jean-Charles
MARl?
et Robert
Laboratoire de GCnie Mikanique de Toulouse, Institut Ghie Mkcanique, Complexe Scientifique de Rangueil, E-mail : [email protected]. tlse.fr
RCsumC.
CAEN National des Sciences 31077 Toulouse cedex
AppliquCes, 4, France.
Dkpartement
de
modkle prCdictif d’actionneur pneumatique est propose et valid& saris hypothkse restrictive sur 1’Cvolution thermodynamique des volumes sous pression. L’introduction de I’Cchange thermique avec le milieu ext&ieur requiert l’identification d’un coefficient d’Cchange constant, peu influence par I’Clongation du v&in.
Un
Mots ~115s : pneumatique/ actionneur/ modClisation
Accurate actuators Abstract.
model
of fluid
dynamics
in pneumatic
A predictive model of a pneumatic actuator is introduced and validated without any restrictive assumption about the thermal evolution of gas volumes. Taking the thermal balance into account requires the identi$cation of the equivalent exchange coeficient. Estimated values are found not to be sensitive to the jack extension. Keywords:
A bridged
predictive
English
pneumatic /actuator/modeling
Version
This paper deals with modeling of pneumatic actuators. Figure I(a) shows the jack and valve configuration. Figure I(b) describes the boundaries of the control volume employed in the analysis. Subscripts o and,f, respectively, designate supply and return restrictions. p is the subscript for the fluid boundary on the piston, x is the piston position. Until now, pneumatic actuators have been modeled using polytropic flow (Andersen, 1967; Wang and Singh, 1987), adiabatic flow (Kain and Wartelle, 1973) or constant temperature assumptionsin jack chambers (Scavarda and Richard, 1994). These assumptionshave been used in motion control models becausethey can be easily linearized. However, becauseof many nonlinearities they are not accurate enough to be used as predictive models. We propose a new model consistent with control algorithm development.
Note prksentke par SCbastien CANDEL. 1251.8069/9’7/03250553
0 Acadhie
des Sciences/Elsevier,
Paris
553
0. Geider,
J.-C. Mar6
1. General
et R. Caen
study for incompressible
flow
Mass, energy and momentum balances may be expressed with equations (1) and (2). Designating the fluid density by p, X is 1 for the mass, v the fluid velocity for the momentum and x=( e + -;) for the energy where e is the internal energy. Mass and volume change with time. The rate of change of (1) is given by equation (2) where w is the velocity of a point belonging to the boundary and -$ is the material derivative. In practice, equation (2) may be simplified assuming that the flow is one-dimensional in the inlet and exhaust sections. One may then take v, and vf constant in the valve restrictions. Velocities w and v are equal on the surface sP. Using the spatial means (3) and (4) and surface means (5) and (6), equation (2) becomes equation (4) where qL= Ti si Vi and m is the mass of fluid in domain Y. 2. Application
for jack and valve
The analysis is carried out under the following assumptions: the gas is perfect, the internal energy is much greater than the kinetic energy in “Y-, the flow is quasi-steady on o andf. Static characteristics of the flow through the valve are determined using IS0 6358 norm. p is the pressure of the fluid and c, is the constant volume specific heat. With equations (5), the balance of energy is expressed by equation (8) where the heat exchanged by the system @ is given by equation (9) in terms of K, the heat transfer coefficient, s,, the surface of heat exchange, T,, the temperature of the external fluid, T,, the temperature on the upstream surface o and y the isentropic coefficient. The balance of mass in the domain -Y is expressed by equation (10). The relation between p and T is given by the perfect gas state law (11). The dynamical response of the piston is described by equation (12). The set of equations (8) to (12) describes the jack-valve system. 3. Experimental
results
Jack and valve are industrial devices. It is necessary first to validate the quasi-static flow through the valve. One may then examine the equations of fluid flow, when the piston is fixed. In the last part, the model with a moving piston is considered. 3.1. Dynamic j-low through the valve Figure 2 presents the response of the valve to a pulse input. The response curve is calculated from the above model. Theoretical and experimental curves correlate well. This proves that the quasi-static flow assumption is adequate. 3.2. Study with fied
volume
K is determined with a piston kept in the extended position by curve fitting between experimental and theoretical data. Figure 3 presents the dynamic response of the volume Y to a pulse input using the same coefficient K when the piston is initially in the retracted position. Table 1 presents the relative quadratic errors for the proposed model and for adiabatic and constant temperature models in jack chambers. This table shows that the proposed model reduces the modeling errors by a large amount. 3.3. Study with moving piston
The jack is now vertical and the valve is controlled by a pulse such that the piston does not reach its stop ends. Figure 4 presents positions and pressure curves. The theoretical position does not quite follow the experimental value. This is mainly due to the description of friction of the jack seals. In this 554
Dynamique du fluide dans les actiormeurs
pneumatiques
case the theoretical model for friction simulation is a Dahl model (Armstrong-Helouvry, 1991) and it does not reproduce the hysteresis of sealing and bearing. This problem will be solved by a better analysis of the friction. The pressure curve is however well retrieved. 4. Conclusion
An accurate model of pneumatic actuators is formulated without assumptions about the thermal evolution of the gas volume. Results obtained show that the model may be used to predict the dynamic response of the system. Flow-rate valve characteristics and the heat transfer coeffkient are easily determined. Friction modeling still has to be improved in order to get a better correlation between simulated and measured position responses.
1. Introduction De nombreux arguments technico-tconomiques engendrent a l’heure actuelle une forte demande d’actionneurs pneumatiques ?I effet proportionnel, gentralement constitds d’un distributeur directionnel et d’un v&in lintaire @g. Ia). LaJigure lb dtfinit le schema equivalent associC a cet ensemble. Les indices o etfcorrespondent respectivement aux sections d’entree et de sortie de la valve. L’indice p est associe a la frontier-e du volume de contrble en contact avec le piston. La variable x definit la position relative du piston par rapport au corps du v&in.
Section de sortie (b)
(4 Fig. Fig.
1. - SchCma 1. - Scheme
d’un
v&in
of jack
et de son distributeur and valve
combination
(a) et son schCma (a) and scheme
Cquivalent
equivalent
(b). (b).
Le caractere fortement non Iintaire de ces actionneurs devrait exciure i’utilisation dun modkle unique pour la representation fine du comportement et pour la synthese de la commande generalement fondee sur une approche lineaire. Cependant, ces deux objectifs ont souvent Cte confondus par manque de moyens de simulation performants. Les modeles proposes pour une commande en position devaient initialement etre simples, d’ordre rtduit et facilement linearisables. Les premiers travaux dans ce domaine, decrits par Andersen (1967) supposent une evolution polytropique dans le volume de controle ‘%‘-. L’tquation dynamique est lirkariste pour utiliser le formalisme de Laplace. Par la suite, partant d’une hypothese adiabatique, il a et6 propose (Kain et Wartelle, 1973) de considerer que le fluide contenu dans le volume de contrble suivait une evolution 555
0. Ceider,
J.-C. Mark et R. Caen
isentropique au tours de la phase de vidange. Par ailleurs, diverses strategies de commande ont et6 Claborees sur la base d’un modele entierement isentropique, que les chambres du v&in soient en phase de vidange ou de remplissage (Wang et Singh, 1987). Des travaux plus recents (Scavarda et Richard, 1994) ont montre l’indret de modeles dans lesquels la temperature du fluide contenu dans le volume de controle reste constante. Cette hypothese permet d’ecrire des fonctions de transfert bien adaptees aux asservissements en position. Ainsi, a ce jour, la plupart des modeles utilisent l’hypothese d’un comportement polytropique voire isentropique. Ce comportement a CtC defini pour un Ccoulement a flux continu de masse. Comme la masse du fluide contenue dans les chambres du vtrin varie, cette hypothese peut produire des resultats simules en contradiction avec l’experience. De plus, ces modeles ont seulement CtC valid& experimentalement sur l’evolution de I’elongation du v&in en asservissement de position. Cette methode ne permet pas de confirmer la validite du modkle vis-a-vis de variables d’etat plus dynamiques telles que la pression. Le but de notre etude est de proposer un modele de simulation fiddle, destine a l’evaluation d’algorithmes d’asservissement. Nous formulerons done rigoureusement les equations de conservation appliquees au volume de controle. Les resultats obtenus seront utilises pour la modelisation du comportement dynamique d’un vet-in pneumatique qui sera finalement valid&e experimentalement. 2. lhude
gCnCrale en koulement
compressible
Nous considerons le volume de controle -Y borne par les parois de la chambre du v&in, les restrictions o etffixes et la position mobile du piston. Ce volume de contrdle va Ctre utilise pour Ccrire les equations de conservation de l’energie et de la masse, ainsi que le bilan de la quantitt de mouvement pour un fluide compressible non pesant. Toutes les quantites conservees peuvent etre represendes par la forme generique (1) oti p est la masse volumique.
s
pX di3 (1) Y’ La variable X prendra la valeur 1 pour la masse, X = v pour le bilan de quantite de mouvement et pour l’equation de l’energie ou e est l’energie interne massique du fluide. La masse contenue dans le volume de controle et le volume de contrble lui-meme varient au tours du temps. Le volume de contrble n’est done ni eulerien, ni lagrangien. Pour d&ire la derivee temporelle de l’integrale (l), nous utilisons done l’operateur de derivation i. La relation entre l’operateur k et l’operateur de derivation particulaire 2 est donnee par l’equation (2) (Comolet, 1982). Dans cette expression, w est la vitesse en un point de la front&e du volume de controle et v la vitesse du fluide. i
.pXdo=z ~ d //XdG+j/X(w-v) .ndo sY En pratique, la relation (2) est exploitable en introduisant des quantites moyennees sur le volume de controle ou sur sa surface. Pour cette raison, nous definissons pour toute grandeur X, les moyennes spatiales et surfaciques suivantes :
xz
556
s
pX di5 XdG pX da Xda ; x= s y +,; xi= s = ; &r__. s pdGi do da P da s Y” sY s,r sL
(3)
Dynamique
du fluide
dans
les actionneurs
Sur les sections d’entree et de sortie o et J la vitesse w est nulle et sur la vitesses w et v sont Cgales. En considerant que le nombre de Reynolds de restrictions o et .f de la valve est grand, les vitesses v, et vf sont uniformes sur le debit massique qi, traversant ces m&mes sections d’aire si, s’ecrit sous la masse m contenue darts le volume de controle est tgale a p la forme suivante :
v-
pneumatiques
surface du piston, les l’ecoulement dans les leur section. De plus, forme qi = pi si vi, La
do. Ainsi, l’expression
(2) s’ecrit sous
(4) 3. Application
au cas du v&in
et de la valve
3.1. Hypothtbes L’air est considere comme un gaz parfait. Les volumes morts de la valve et du v&in sont comptes dans le volume de controle. La pression dans les chambres du v&in est consideree comme uniforme. Nous assimilons les caracteristiques dynamiques de debit massique a travers les sections o et f aux caracttrktiques statiques de la valve. Cette hypothese est justifiee car l’tcoulement s’etablit bien plus rapidement dans les restrictions de la valve que dans le volume de controle. Elle est verifite experimentalement (section 4.1.). Les caracteristiques statiques de la valve ont CtC determinCes selon la norme IS0 6358. Les debits sont exprimes en fonction des pressions amont et aval et de la temperature amont. 3.2. kquation
de l’knergie
L’equation (5) exprime la conservation de l’energie pour un domaine constitue des memes particules. p est la pression du fluide et @ represente la chaleur khangee avec l’exterieur.
On utilise alors les definitions des moyennes (3), en posant e = c, T (c, : chaleur massique a volume constant., T : temperature du fluide) ; on remarque que la vitesse de chaque point de la front&e du volume V, en contact avec le piston, est constante et l’on applique l’hypothese quasi statique a la conservation de l’energie dans la section d’entree o et dans la section de sortie J pour remplacer l’tquation (4) par la forme (6) oti s,, est la surface du piston.
Pour les memes raisons invoqutes pour la caracterisation des debits massiques dans la valve, on peut appliquer l’hypothese quasi statique. Ainsi la relation (6) devient :
oti T, est la temperature dans le reservoir d’alimentation et cp est la chaleur massique a pression constante. Cette expression ne donne pas separement la valeur de la temperature et celle de la vitesse. On peut cependant negliger l’energie cinetique devant l’energie inteme (la vitesse est au
557
0.
Ceider,
J.-C.
Mark
et R. Caen
maximum de quelques metres par seconde). Dans ces conditions, l’tquation &tre remplacee par :
,~+~~=-l St
de bilan de l’energie peut
c, P\$ sp + YT, qo - yTqf - ; @
(f-3)
ou y designe le rapport des chaleurs massiques. La chaleur massique Cchangte avec le milieu exterieur est donnee par la relation (9) ou T, est la temperature du milieu exterieur, K le coefficient d’tchange thermique equivalent et s, la surface totale d’echange entre le fluide et le milieu exterieur CD= KS,&
T,)
(9)
3.3. Autres Equations de conservation L’equation (4) appliquee a la conservation de la quantite de mouvement permet d’exprimer la vitesse moyenne du fluide dans le volume de controle. Comme l’energie cinetique a Cte negligee, cette equation n’est pas utile ici. Dans le bilan de masse, le terme $ p dG est nul. Ainsi, l’equation s conservation de la masse est donnee par la relation (10) : V
de
3.4. ModSle complet La relation des gaz parfaits permet d’ecrire l’expression suivante : -
mrT p = sp x + v, oti V, est la somme des volumes morts de la valve et du v&in. Le modele du sysdme complet est defini par les equations (8)-(I l), les deux equations de debits massiques dans la valve (IS0 6358) et l’equation dynamique du piston (12). Dans cette equation, M est la masse totale a deplacer, la force F, est la somme des efforts exterieurs appliques sur le piston et le terme Ff est l’effort de frottement global du corps du v&in sur le piston. d2x Mdtz=psP-FF,-Ff 4. Validation
expckimentale
Pour rester proche d’une application industrielle, le montage experimental, represente sur la&we 1, utilise des composants standards. Le v&in est symetrique a double effet et la valve est du type 3/2 a clapet. II est d’abord interessant de verifier l’hypothese quasi statique utilisee pour l’ecoulement a travers les restrictions de la valve. Pour mettre en evidence la pertinence du modele en ce qui concerne le comportement dynamique du fluide, on considere le v&in, piston bloqd. On s’affranchit ainsi des effets de frottements. Enfin, le modele complet, piston libre, est confront6 a l’experience. Sur les representations graphiques, les pressions sont reduites en prenant comme reference la pression relative au reservoir d’alimentation. 4.1. Comportement dynamique de l’e’coulement & la traversie de la valve LJn capteur de pression est month directement sur l’orifice de sortie de la valve. La valve est commandee a l’ouverture, puis a la fermeture, suivant un creneau de 0,l s. La figure 2 donne l’evolution de la pression mesurte au tours du temps. 558
Dynamique
Fig.
2. - Kkponse dynamique 3/2 B clapet.
Fig.
2. -. Dynamic
response bsalve.
du
fluide
dans
les actionneurs
pneumatiques
de la valve of the 3/2
-, 0.02
0
--+.--0.04
~
&
0.08
0.06
-0.1
(0.12
0.16
0.14
Temps (s)
La courbe simulee issue du modele precedemment Ctabli donne une bonne correlation avec la reponse experimentale. Cela justifie l’utilisation de modele quasi statique d’ecoulement dans les restrictions de la valve. Ainsi, seul le retard pur Clectromagnetique de la valve sera pris en compte dans la simulation. 4.2. kttude 2 volume de contr6lejixe Nous identifions le coefficient d’tchange thermique K lorsque le piston est en position sortie (Fg. 3~). La courbe theorique de la$gwe 36 est obtenue avec la valeur de K precedemment determinCe lorsque le piston est en position rentree. L’evolution exptrimentale valide done ce choix d’estimation de K constant.
o:i[ i‘
I 09
.2 08 :
07 e a8 0.6
y r
Ouverture
0.7-L
Fermeture
4
0.5
!
o’4 03
0.3 ~-
L
02
0.2 --
01
0.1
q
.s
04~.
/ iI
0 r
0
0
I
2 T-w
3
4
---we-
0
0.5 0.5
Il.1
(9
1.5
Temp
(a)
Fig. Fig.
3. - k?volution
3. - Pressure
de la pression
response
to a valve
/
2
2.5
(8) @)
& un changement d’itat de la valve et en position rent& (b). pulse
with fxed
extended
pour
jack position
piston
bloquC
(a) and jixed
en position retracted
juck
sortie position
(a) (h).
Le calcul des &arts modele-experience donne une erreur quadratique relative moyenne inferieure a 3 %. I1 est interessant de comparer, dans le tableau Z, cette valeur a celles obtenues par un modele adiabatique puis par un modele a temperature constante dans le volume de controle. Le modele propose reduit les erreurs de modelisation dans un rapport qui peut atteindre 6. 11amtliore done nettement la prediction du comportement du fluide.
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0.
Ceider,
J.-C.
Mark
et R. Caen
TABLEAU
Erreurs
Position
piston
du v&in
Modtle
I
quadratiques relatives moyennes Relative quadratic errors. propok
Mod&
adiabatique
Modkle
B tempkrature
constante
Ouvrrture minimale maximale
0,95 I,22
0,94 2,82
0.94 2,82
Fermeture minimale maximale
I,14 2,Ol
6.10 13,OS
4,64 8,87
4.3. l&de
avec dt+lacement
du piston
Le verin est place en position verticale, tige rentree. La commande de la valve est de type creneau de sorte que le piston n’atteigne pas ses butees. Le frottement a &tC determine experimentalement et simule par un modele de Dahl (Armstrong-Helouvry, 1991). Les reponses en position et en pression du v&in sent representees sur la.figuue 4. La reponse en pression simulee suit bien la courbe experimentale dans la phase d’augmentation et moins bien dans la phase de diminution. Le niveau de frottement des joints utilises dans les v&ins standards a la particularite d’etre extremement sensible aux variations de pression et de vitesse. 11presente aussi une forte hysteresis qui n’est pas representee par le modele de frottement simule. Cela explique les &arts entre les courbes de position simulee et experimentale.
~ x Pression expbimentale 0 Position exphimentale
- Pression simulte -Position simulke 0.6
a -5 : kE 4 ; .B % g k
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3
Fig. 4. - RCponse du v&in $ un crheau d’ouvcrture et de fermeture de la valve. Fig. 4. - Response of the jack for a pulse input.
0.2 0.1 0 0.2
0.3 Temps
5. Conclusions
(9
et perspectives
Nous avons pu, en utilisant des hypotheses simples,ttablir un modele de connaissancefiable faisant intervenir peu de parametres. Grace a la prise en compte des Cchangesthermiques sur le volume de controle, la modtlisation s’affranchit des hypotheses simplificatrices couramment utilides. Les resul-
560
Dynamique
du fluide
dans
les actionneurs
pneumatiques
tats ainsi obtenus ameliorent nettement le caractere predictif du moditle de l’actionneur. Ce modele sera done prochainement utilist pour mettre au point les algorithmes de commande en cours de developpement au sein du laboratoire. La determination des caractkistiques de la valve et le calage du coeffkient d’echange thermique sont facilement et rapidement realisables. L’identification d’un modele de frottement est en revanche plus delicate 2 Ctablir. En consequence, nos travaux actuels portent sur une modelisation plus precise du frottement qui est a l’origine des erreurs de modelisation observees. Note remi:se le 26 fkvrier 1997, accept&e aprks r&&ion
le 3 septembre
1997.
Rkfbrences bibliographiques Andersen II. W., 1967. The analysis a& design o~“przeumatic .systems, John Wiley and Sons inc, New York/London/Sydney. Armstrong-Hklouvry B., 1991. 78-80 in Control of machines with friction, Kluwer Academic Publishers, Boston, Dordecht, London. Comolet R., 1982. 2 1-22 in Mkaniyue expPrimenfa/e desjl~fluides, tome II, Masson, Paris. IS0
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f?l&nents
traversPs
par
un Juide
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~ Dttermination
des
caructbris-
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I 1 54,
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robotics
ModHe predictif du comportement dynamique du fluide dans les actionneurs pneumatiques Olivier
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Jean-Charles
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et Robert
Laboratoire de GCnie Mikanique de Toulouse, Institut Ghie Mkcanique, Complexe Scientifique de Rangueil, E-mail : [email protected]. tlse.fr
RCsumC.
CAEN National des Sciences 31077 Toulouse cedex
AppliquCes, 4, France.
Dkpartement
de
modkle prCdictif d’actionneur pneumatique est propose et valid& saris hypothkse restrictive sur 1’Cvolution thermodynamique des volumes sous pression. L’introduction de I’Cchange thermique avec le milieu ext&ieur requiert l’identification d’un coefficient d’Cchange constant, peu influence par I’Clongation du v&in.
Un
Mots ~115s : pneumatique/ actionneur/ modClisation
Accurate actuators Abstract.
model
of fluid
dynamics
in pneumatic
A predictive model of a pneumatic actuator is introduced and validated without any restrictive assumption about the thermal evolution of gas volumes. Taking the thermal balance into account requires the identi$cation of the equivalent exchange coeficient. Estimated values are found not to be sensitive to the jack extension. Keywords:
A bridged
predictive
English
pneumatic /actuator/modeling
Version
This paper deals with modeling of pneumatic actuators. Figure I(a) shows the jack and valve configuration. Figure I(b) describes the boundaries of the control volume employed in the analysis. Subscripts o and,f, respectively, designate supply and return restrictions. p is the subscript for the fluid boundary on the piston, x is the piston position. Until now, pneumatic actuators have been modeled using polytropic flow (Andersen, 1967; Wang and Singh, 1987), adiabatic flow (Kain and Wartelle, 1973) or constant temperature assumptionsin jack chambers (Scavarda and Richard, 1994). These assumptionshave been used in motion control models becausethey can be easily linearized. However, becauseof many nonlinearities they are not accurate enough to be used as predictive models. We propose a new model consistent with control algorithm development.
Note prksentke par SCbastien CANDEL. 1251.8069/9’7/03250553
0 Acadhie
des Sciences/Elsevier,
Paris
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1. General
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study for incompressible
flow
Mass, energy and momentum balances may be expressed with equations (1) and (2). Designating the fluid density by p, X is 1 for the mass, v the fluid velocity for the momentum and x=( e + -;) for the energy where e is the internal energy. Mass and volume change with time. The rate of change of (1) is given by equation (2) where w is the velocity of a point belonging to the boundary and -$ is the material derivative. In practice, equation (2) may be simplified assuming that the flow is one-dimensional in the inlet and exhaust sections. One may then take v, and vf constant in the valve restrictions. Velocities w and v are equal on the surface sP. Using the spatial means (3) and (4) and surface means (5) and (6), equation (2) becomes equation (4) where qL= Ti si Vi and m is the mass of fluid in domain Y. 2. Application
for jack and valve
The analysis is carried out under the following assumptions: the gas is perfect, the internal energy is much greater than the kinetic energy in “Y-, the flow is quasi-steady on o andf. Static characteristics of the flow through the valve are determined using IS0 6358 norm. p is the pressure of the fluid and c, is the constant volume specific heat. With equations (5), the balance of energy is expressed by equation (8) where the heat exchanged by the system @ is given by equation (9) in terms of K, the heat transfer coefficient, s,, the surface of heat exchange, T,, the temperature of the external fluid, T,, the temperature on the upstream surface o and y the isentropic coefficient. The balance of mass in the domain -Y is expressed by equation (10). The relation between p and T is given by the perfect gas state law (11). The dynamical response of the piston is described by equation (12). The set of equations (8) to (12) describes the jack-valve system. 3. Experimental
results
Jack and valve are industrial devices. It is necessary first to validate the quasi-static flow through the valve. One may then examine the equations of fluid flow, when the piston is fixed. In the last part, the model with a moving piston is considered. 3.1. Dynamic j-low through the valve Figure 2 presents the response of the valve to a pulse input. The response curve is calculated from the above model. Theoretical and experimental curves correlate well. This proves that the quasi-static flow assumption is adequate. 3.2. Study with fied
volume
K is determined with a piston kept in the extended position by curve fitting between experimental and theoretical data. Figure 3 presents the dynamic response of the volume Y to a pulse input using the same coefficient K when the piston is initially in the retracted position. Table 1 presents the relative quadratic errors for the proposed model and for adiabatic and constant temperature models in jack chambers. This table shows that the proposed model reduces the modeling errors by a large amount. 3.3. Study with moving piston
The jack is now vertical and the valve is controlled by a pulse such that the piston does not reach its stop ends. Figure 4 presents positions and pressure curves. The theoretical position does not quite follow the experimental value. This is mainly due to the description of friction of the jack seals. In this 554
Dynamique du fluide dans les actiormeurs
pneumatiques
case the theoretical model for friction simulation is a Dahl model (Armstrong-Helouvry, 1991) and it does not reproduce the hysteresis of sealing and bearing. This problem will be solved by a better analysis of the friction. The pressure curve is however well retrieved. 4. Conclusion
An accurate model of pneumatic actuators is formulated without assumptions about the thermal evolution of the gas volume. Results obtained show that the model may be used to predict the dynamic response of the system. Flow-rate valve characteristics and the heat transfer coeffkient are easily determined. Friction modeling still has to be improved in order to get a better correlation between simulated and measured position responses.
1. Introduction De nombreux arguments technico-tconomiques engendrent a l’heure actuelle une forte demande d’actionneurs pneumatiques ?I effet proportionnel, gentralement constitds d’un distributeur directionnel et d’un v&in lintaire @g. Ia). LaJigure lb dtfinit le schema equivalent associC a cet ensemble. Les indices o etfcorrespondent respectivement aux sections d’entree et de sortie de la valve. L’indice p est associe a la frontier-e du volume de contrble en contact avec le piston. La variable x definit la position relative du piston par rapport au corps du v&in.
Section de sortie (b)
(4 Fig. Fig.
1. - SchCma 1. - Scheme
d’un
v&in
of jack
et de son distributeur and valve
combination
(a) et son schCma (a) and scheme
Cquivalent
equivalent
(b). (b).
Le caractere fortement non Iintaire de ces actionneurs devrait exciure i’utilisation dun modkle unique pour la representation fine du comportement et pour la synthese de la commande generalement fondee sur une approche lineaire. Cependant, ces deux objectifs ont souvent Cte confondus par manque de moyens de simulation performants. Les modeles proposes pour une commande en position devaient initialement etre simples, d’ordre rtduit et facilement linearisables. Les premiers travaux dans ce domaine, decrits par Andersen (1967) supposent une evolution polytropique dans le volume de controle ‘%‘-. L’tquation dynamique est lirkariste pour utiliser le formalisme de Laplace. Par la suite, partant d’une hypothese adiabatique, il a et6 propose (Kain et Wartelle, 1973) de considerer que le fluide contenu dans le volume de contrble suivait une evolution 555
0. Ceider,
J.-C. Mark et R. Caen
isentropique au tours de la phase de vidange. Par ailleurs, diverses strategies de commande ont et6 Claborees sur la base d’un modele entierement isentropique, que les chambres du v&in soient en phase de vidange ou de remplissage (Wang et Singh, 1987). Des travaux plus recents (Scavarda et Richard, 1994) ont montre l’indret de modeles dans lesquels la temperature du fluide contenu dans le volume de controle reste constante. Cette hypothese permet d’ecrire des fonctions de transfert bien adaptees aux asservissements en position. Ainsi, a ce jour, la plupart des modeles utilisent l’hypothese d’un comportement polytropique voire isentropique. Ce comportement a CtC defini pour un Ccoulement a flux continu de masse. Comme la masse du fluide contenue dans les chambres du vtrin varie, cette hypothese peut produire des resultats simules en contradiction avec l’experience. De plus, ces modeles ont seulement CtC valid& experimentalement sur l’evolution de I’elongation du v&in en asservissement de position. Cette methode ne permet pas de confirmer la validite du modkle vis-a-vis de variables d’etat plus dynamiques telles que la pression. Le but de notre etude est de proposer un modele de simulation fiddle, destine a l’evaluation d’algorithmes d’asservissement. Nous formulerons done rigoureusement les equations de conservation appliquees au volume de controle. Les resultats obtenus seront utilises pour la modelisation du comportement dynamique d’un vet-in pneumatique qui sera finalement valid&e experimentalement. 2. lhude
gCnCrale en koulement
compressible
Nous considerons le volume de controle -Y borne par les parois de la chambre du v&in, les restrictions o etffixes et la position mobile du piston. Ce volume de contrdle va Ctre utilise pour Ccrire les equations de conservation de l’energie et de la masse, ainsi que le bilan de la quantitt de mouvement pour un fluide compressible non pesant. Toutes les quantites conservees peuvent etre represendes par la forme generique (1) oti p est la masse volumique.
s
pX di3 (1) Y’ La variable X prendra la valeur 1 pour la masse, X = v pour le bilan de quantite de mouvement et pour l’equation de l’energie ou e est l’energie interne massique du fluide. La masse contenue dans le volume de controle et le volume de contrble lui-meme varient au tours du temps. Le volume de contrble n’est done ni eulerien, ni lagrangien. Pour d&ire la derivee temporelle de l’integrale (l), nous utilisons done l’operateur de derivation i. La relation entre l’operateur k et l’operateur de derivation particulaire 2 est donnee par l’equation (2) (Comolet, 1982). Dans cette expression, w est la vitesse en un point de la front&e du volume de controle et v la vitesse du fluide. i
.pXdo=z ~ d //XdG+j/X(w-v) .ndo sY En pratique, la relation (2) est exploitable en introduisant des quantites moyennees sur le volume de controle ou sur sa surface. Pour cette raison, nous definissons pour toute grandeur X, les moyennes spatiales et surfaciques suivantes :
xz
556
s
pX di5 XdG pX da Xda ; x= s y +,; xi= s = ; &r__. s pdGi do da P da s Y” sY s,r sL
(3)
Dynamique
du fluide
dans
les actionneurs
Sur les sections d’entree et de sortie o et J la vitesse w est nulle et sur la vitesses w et v sont Cgales. En considerant que le nombre de Reynolds de restrictions o et .f de la valve est grand, les vitesses v, et vf sont uniformes sur le debit massique qi, traversant ces m&mes sections d’aire si, s’ecrit sous la masse m contenue darts le volume de controle est tgale a p la forme suivante :
v-
pneumatiques
surface du piston, les l’ecoulement dans les leur section. De plus, forme qi = pi si vi, La
do. Ainsi, l’expression
(2) s’ecrit sous
(4) 3. Application
au cas du v&in
et de la valve
3.1. Hypothtbes L’air est considere comme un gaz parfait. Les volumes morts de la valve et du v&in sont comptes dans le volume de controle. La pression dans les chambres du v&in est consideree comme uniforme. Nous assimilons les caracteristiques dynamiques de debit massique a travers les sections o et f aux caracttrktiques statiques de la valve. Cette hypothese est justifiee car l’tcoulement s’etablit bien plus rapidement dans les restrictions de la valve que dans le volume de controle. Elle est verifite experimentalement (section 4.1.). Les caracteristiques statiques de la valve ont CtC determinCes selon la norme IS0 6358. Les debits sont exprimes en fonction des pressions amont et aval et de la temperature amont. 3.2. kquation
de l’knergie
L’equation (5) exprime la conservation de l’energie pour un domaine constitue des memes particules. p est la pression du fluide et @ represente la chaleur khangee avec l’exterieur.
On utilise alors les definitions des moyennes (3), en posant e = c, T (c, : chaleur massique a volume constant., T : temperature du fluide) ; on remarque que la vitesse de chaque point de la front&e du volume V, en contact avec le piston, est constante et l’on applique l’hypothese quasi statique a la conservation de l’energie dans la section d’entree o et dans la section de sortie J pour remplacer l’tquation (4) par la forme (6) oti s,, est la surface du piston.
Pour les memes raisons invoqutes pour la caracterisation des debits massiques dans la valve, on peut appliquer l’hypothese quasi statique. Ainsi la relation (6) devient :
oti T, est la temperature dans le reservoir d’alimentation et cp est la chaleur massique a pression constante. Cette expression ne donne pas separement la valeur de la temperature et celle de la vitesse. On peut cependant negliger l’energie cinetique devant l’energie inteme (la vitesse est au
557
0.
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Mark
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maximum de quelques metres par seconde). Dans ces conditions, l’tquation &tre remplacee par :
,~+~~=-l St
de bilan de l’energie peut
c, P\$ sp + YT, qo - yTqf - ; @
(f-3)
ou y designe le rapport des chaleurs massiques. La chaleur massique Cchangte avec le milieu exterieur est donnee par la relation (9) ou T, est la temperature du milieu exterieur, K le coefficient d’tchange thermique equivalent et s, la surface totale d’echange entre le fluide et le milieu exterieur CD= KS,&
T,)
(9)
3.3. Autres Equations de conservation L’equation (4) appliquee a la conservation de la quantite de mouvement permet d’exprimer la vitesse moyenne du fluide dans le volume de controle. Comme l’energie cinetique a Cte negligee, cette equation n’est pas utile ici. Dans le bilan de masse, le terme $ p dG est nul. Ainsi, l’equation s conservation de la masse est donnee par la relation (10) : V
de
3.4. ModSle complet La relation des gaz parfaits permet d’ecrire l’expression suivante : -
mrT p = sp x + v, oti V, est la somme des volumes morts de la valve et du v&in. Le modele du sysdme complet est defini par les equations (8)-(I l), les deux equations de debits massiques dans la valve (IS0 6358) et l’equation dynamique du piston (12). Dans cette equation, M est la masse totale a deplacer, la force F, est la somme des efforts exterieurs appliques sur le piston et le terme Ff est l’effort de frottement global du corps du v&in sur le piston. d2x Mdtz=psP-FF,-Ff 4. Validation
expckimentale
Pour rester proche d’une application industrielle, le montage experimental, represente sur la&we 1, utilise des composants standards. Le v&in est symetrique a double effet et la valve est du type 3/2 a clapet. II est d’abord interessant de verifier l’hypothese quasi statique utilisee pour l’ecoulement a travers les restrictions de la valve. Pour mettre en evidence la pertinence du modele en ce qui concerne le comportement dynamique du fluide, on considere le v&in, piston bloqd. On s’affranchit ainsi des effets de frottements. Enfin, le modele complet, piston libre, est confront6 a l’experience. Sur les representations graphiques, les pressions sont reduites en prenant comme reference la pression relative au reservoir d’alimentation. 4.1. Comportement dynamique de l’e’coulement & la traversie de la valve LJn capteur de pression est month directement sur l’orifice de sortie de la valve. La valve est commandee a l’ouverture, puis a la fermeture, suivant un creneau de 0,l s. La figure 2 donne l’evolution de la pression mesurte au tours du temps. 558
Dynamique
Fig.
2. - Kkponse dynamique 3/2 B clapet.
Fig.
2. -. Dynamic
response bsalve.
du
fluide
dans
les actionneurs
pneumatiques
de la valve of the 3/2
-, 0.02
0
--+.--0.04
~
&
0.08
0.06
-0.1
(0.12
0.16
0.14
Temps (s)
La courbe simulee issue du modele precedemment Ctabli donne une bonne correlation avec la reponse experimentale. Cela justifie l’utilisation de modele quasi statique d’ecoulement dans les restrictions de la valve. Ainsi, seul le retard pur Clectromagnetique de la valve sera pris en compte dans la simulation. 4.2. kttude 2 volume de contr6lejixe Nous identifions le coefficient d’tchange thermique K lorsque le piston est en position sortie (Fg. 3~). La courbe theorique de la$gwe 36 est obtenue avec la valeur de K precedemment determinCe lorsque le piston est en position rentree. L’evolution exptrimentale valide done ce choix d’estimation de K constant.
o:i[ i‘
I 09
.2 08 :
07 e a8 0.6
y r
Ouverture
0.7-L
Fermeture
4
0.5
!
o’4 03
0.3 ~-
L
02
0.2 --
01
0.1
q
.s
04~.
/ iI
0 r
0
0
I
2 T-w
3
4
---we-
0
0.5 0.5
Il.1
(9
1.5
Temp
(a)
Fig. Fig.
3. - k?volution
3. - Pressure
de la pression
response
to a valve
/
2
2.5
(8) @)
& un changement d’itat de la valve et en position rent& (b). pulse
with fxed
extended
pour
jack position
piston
bloquC
(a) and jixed
en position retracted
juck
sortie position
(a) (h).
Le calcul des &arts modele-experience donne une erreur quadratique relative moyenne inferieure a 3 %. I1 est interessant de comparer, dans le tableau Z, cette valeur a celles obtenues par un modele adiabatique puis par un modele a temperature constante dans le volume de controle. Le modele propose reduit les erreurs de modelisation dans un rapport qui peut atteindre 6. 11amtliore done nettement la prediction du comportement du fluide.
559
0.
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TABLEAU
Erreurs
Position
piston
du v&in
Modtle
I
quadratiques relatives moyennes Relative quadratic errors. propok
Mod&
adiabatique
Modkle
B tempkrature
constante
Ouvrrture minimale maximale
0,95 I,22
0,94 2,82
0.94 2,82
Fermeture minimale maximale
I,14 2,Ol
6.10 13,OS
4,64 8,87
4.3. l&de
avec dt+lacement
du piston
Le verin est place en position verticale, tige rentree. La commande de la valve est de type creneau de sorte que le piston n’atteigne pas ses butees. Le frottement a &tC determine experimentalement et simule par un modele de Dahl (Armstrong-Helouvry, 1991). Les reponses en position et en pression du v&in sent representees sur la.figuue 4. La reponse en pression simulee suit bien la courbe experimentale dans la phase d’augmentation et moins bien dans la phase de diminution. Le niveau de frottement des joints utilises dans les v&ins standards a la particularite d’etre extremement sensible aux variations de pression et de vitesse. 11presente aussi une forte hysteresis qui n’est pas representee par le modele de frottement simule. Cela explique les &arts entre les courbes de position simulee et experimentale.
~ x Pression expbimentale 0 Position exphimentale
- Pression simulte -Position simulke 0.6
a -5 : kE 4 ; .B % g k
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3
Fig. 4. - RCponse du v&in $ un crheau d’ouvcrture et de fermeture de la valve. Fig. 4. - Response of the jack for a pulse input.
0.2 0.1 0 0.2
0.3 Temps
5. Conclusions
(9
et perspectives
Nous avons pu, en utilisant des hypotheses simples,ttablir un modele de connaissancefiable faisant intervenir peu de parametres. Grace a la prise en compte des Cchangesthermiques sur le volume de controle, la modtlisation s’affranchit des hypotheses simplificatrices couramment utilides. Les resul-
560
Dynamique
du fluide
dans
les actionneurs
pneumatiques
tats ainsi obtenus ameliorent nettement le caractere predictif du moditle de l’actionneur. Ce modele sera done prochainement utilist pour mettre au point les algorithmes de commande en cours de developpement au sein du laboratoire. La determination des caractkistiques de la valve et le calage du coeffkient d’echange thermique sont facilement et rapidement realisables. L’identification d’un modele de frottement est en revanche plus delicate 2 Ctablir. En consequence, nos travaux actuels portent sur une modelisation plus precise du frottement qui est a l’origine des erreurs de modelisation observees. Note remi:se le 26 fkvrier 1997, accept&e aprks r&&ion
le 3 septembre
1997.
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f?l&nents
traversPs
par
un Juide
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~ Dttermination
des
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14.
561