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Nouvelles remarques sur l'analyticité des solutions milds des équations de Navier–Stokes dans R3
C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 338 (2004) 443–446
Analyse mathématique
Nouvelles remarques sur l’analyticité des solutions milds des équations de Navier–Stokes dans R3 Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset Département de mathématiques, Université d’Evry, bd F. Mitterrand, 91025 Evry cedex, France Reçu et accepté le 7 janvier 2004 Présenté par Yves Meyer
Résumé Nous donnons une nouvelle preuve élémentaire de l’analyticité en espace des solutions milds des équations de Navier–Stokes sur R3 . Pour citer cet article : P.-G. Lemarié-Rieusset, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 338 (2004). 2004 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés. Abstract Further remarks on the analyticity of mild solutions for the Navier–Stokes equations in R3 . We give a new simple proof that mild solutions for the Navier–Stokes equations on R3 are spatial analytic. To cite this article: P.-G. Lemarié-Rieusset, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 338 (2004). 2004 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.
L’analyticité en la variable d’espace des solutions des équations de Navier–Stokes est bien comprise depuis les travaux de Masuda [7]. L’analyticité spatiale des solutions dans les espaces de Lebesgue a été récemment considérée par plusieurs auteurs (Grujiˇc et Kukavica [4], Lemarié–Rieusset [5,6], Giga et Sawada [3]). La méthode que nous avions développée dans [5] se basait, comme dans l’approche de Foias et Temam [1], sur l’étude de l’opérateur √ √ √ b2 (u, v) = e −t e− −t u · e− −t v . Cependant, cet opérateur n’est pas facilement étudiable pour des données u et v dans des espaces Lp , et nous l’avions remplacé par l’opérateur √ √ √ b1 (u, v) = e tΛ1 e− tΛ1 u · e− tΛ1 v , où Λ1 est le multiplicateur de Fourier de symbole |ξ1 | + |ξ2 | + |ξ3 |. Sur une idée de Montgomery-Smith [8], nous √ √ −t i ty· ∇ par e avec y 1, avec un gain évident : remplaçons ici e √ √ √ ei t y·∇ e−i ty·∇ u · e−i ty·∇ v = uv. Adresse e-mail : [email protected] (P.-G. Lemarié-Rieusset). 1631-073X/$ – see front matter 2004 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés. doi:10.1016/j.crma.2004.01.015
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P.-G. Lemarié-Rieusset / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 338 (2004) 443–446
Cela nous permet de montrer pour un espace de Banach E assez général que la solution du problème de Cauchy pour l’équation de Navier–Stokes sur tout l’espace√asociée à une valeur initiale u0 ∈ E 3 a une solution qui satisfait sur un intervalle ]0, T [ l’estimation sup0
· ( e(t −s)P∇ u ⊗ u) ds.
(2)
0
La méthode des itérations de Picard fournit alors une méthode simple pour rechercher des solutions de l’Éq. (2). On définit l’opérateur bilinéaire B par t B( u, v) =
· ( e(t −s)P∇ u ⊗ v) ds.
(3)
0
Si B est continu sur (ET )3 , où ET est un espace de Banach de fonctions sur ]0, T [×R3 : B( u, v) C0 u E v E , ET
T
T
(4)
alors, pour toute donnée initiale à divergence nulle u 0 qui satisfait que (et u0 )0
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(H2) Pour t > 0, et est continu de E vers G et il existe C 0 et α ∈ [0, 1/2] tel que pour tout f ∈ E on a t e f Ct −α/2 f E . G
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(5)
Pour T ∈ ]0, +∞], on définit ET l’espace des fonctions continues de ]0, T [ vers G qui vérifient √ √ sup sup t α/2 ei ty·∇ f (t, ·)G < ∞ et lim sup t α/2 ei ty·∇ f (t, ·)G = 0, t →0 y 4 √ f ET = sup0
0
normé par Alors, pour tout T < +∞ (α < 1/2) ou tout T +∞ (α = 1/2), l’opérateur bilinéaire B est continu de (ET )3 × (ET )3 vers (ET )3 . Plus précisément, on a √ u, v)E C1 T 1/2−α u, v)(t, ·)E + B( u ET v ET , (6) sup sup ei ty·∇ B( T
0
où C1 ne dépend pas de T , de u ni de v. u0 E , de sorte que l’Éq. (2) a une solution sur ]0, T [×R3 pour T asDe plus, et u0 ET C2 sez petit (ou pour T√ = ∞ si α = 1/2 et que u0 E est assez petite), telle que u ∈ C([0, T [, E 3 ) et sup0
√ −t u E
<∞:
Théorème 2. Soit E un espace invariant de fonctions tests. Alors il existe une constante C telle que, pour tout f ∈ E, on a √−t √ e f E C sup ei t y·∇ f E . (10) y 4
Démonstration. On note, pour j ∈ {1, 2, 3} et ε ∈ {−1, 1}, Ωj,ε = {ξ ∈ S 2 | ε ξj > 1/2}. À une partition de l’unité 1 = 3j =1 ε∈{−1,1} ωj,ε où la fonction ωj,ε est C ∞ sur S 2 et à support compact dans Ωj,ε , on associe les
multiplicateurs de Fourier ωj,ε (D) de symbole ωj,ε ( ξξ ). On considère également θ ∈ D(R3 ) avec θ (ξ ) = 1 pour √ √ ξ 1 et 0 for ξ 2, et on lui associe le multiplicateur de Fourier θ ( tD), de symbole θ ( tξ ). On écrit e
√ −t
3 √ √ √ √ √ √ Id −θ ( tD) ωj,ε (D) e −t eiε t 4∂j e−iε t 4∂j f. f = θ ( tD) e −t f + j =1 ε∈{−1,1}
(11)
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√ √ √ Or l’opérateur (Id −θ ( tD))ωj,ε (D) e −t eiε t 4∂j est un opérateur de convolution √ avec un noyau Kj,ε,t (x) = √ 1 x √ K ( t ), où Kj,ε appartient à la classe de Schwartz. Par ailleurs, θ ( tD) e −t est un opérateur de t 3/2 j,ε 1 convolution avec un noyau Kt (x) = t 3/2 K( √xt ), où 1 K(x) = θ (ξ ) e ξ eix·ξ dξ. (2π)3
(12)
Pour α ∈ N3 avec |α| 3, il est immédiat que x α K(x) est une fonction bornée, puisque intégrable : α ∂ ξ −2 Cα ξ χ ξ <2 . ∂ξ α θ (ξ ) e
∂α ξ ) ∂ξ α (θ (ξ ) e
est
(13)
D α α −2 Pour R ∈ ]0, 1], on pose fα,R = θ ( D R )(x K) et gα,R = (1 − ω( R ))(x K). Comme la fonction ξ χ ξ <2 ξ appartient à L3/2,∞ , on voit que fα,R C θ ( R ) L3,1 C R 1/3 . Par ailleurs, pour j = 1, . . . , 3, on a
−2 ξ −2 dξ ξ −3 |ξ |2 xj gα,R (x) C . ξ + dξ C R R R|ξ |2
Pour |x| 1 et R = |x|−3/4 , on trouve |x α K(x)| C|x|−1/4. 1 |K(x)| dx < ∞. On obtient finalement que |K(x)| C (1+ x ) 13/4 et donc
✷
On vérifie facilement qu’on peut appliquer ces résultats aux espaces suivants : • espaces de Lebesgue : E = Lp avec 3 p < ∞ (on a G = L2p et α = 3/(2p)), ∈ (Lp )3 } pour 1 < p < 3 (avec G = W˙ 1,r • espaces de Sobolev homogènes : E = W˙ 1,p = {f ∈ L3p/(3−p) | ∇f 1 3 où 1/r = 2 (1/p + 1/3) et α = 2 (1/p − 1/3)), • espaces de Sobolev : E = W 1,p pour 3/2 p < ∞ (avec G = W 1,r où 1/r = 12 (1/p + 1/3) et α = 3 2 (1/p − 1/3) si 3/2 p < 3 et r = 2p et α = 3/(2p) si 3 p < ∞). Références [1] C. Foias, R. Temam, Gevrey class regularity for the solutions of the Navier–Stokes equations, J. Funct. Anal. 87 (1989) 359–369. [2] G. Furioli, P.G. Lemarié-Rieusset, E. Terraneo, Unicité dans L3 (R3 ) and d’autres espaces limites pour Navier–Stokes, Rev. Mat. Iberoamericana 16 (2000) 605–667. [3] Y. Giga, O. Sawada, On regularizing-decay rate estimate for solutions to the Navier–Stokes initial value problem, Nonlinear Anal. Appl. (2003) à paraître. [4] Z. Grujiˇc, I. Kukavica, Space analyticity for the Navier–Stokes and related equations with initial data in Lp , J. Func. Anal. 152 (1998) 247–466. [5] P.G. Lemarié-Rieusset, Une remarque sur l’analyticité des solutions milds des équations de Navier–Stokes dans R3 , C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 330 (2000) 183–186. [6] P.G. Lemarié-Rieusset, Recent Developments in the Navier–Stokes Problem, Chapman & Hall/CRC, 2002. [7] K. Masuda, On the analyticity and the unique continuation theorem for solutions of the Navier–Stokes equation, Proc. Japan Acad. 43 (1967) 827–832. [8] S. Montgomery-Smith, Communication personnelle.
Analyse mathématique
Nouvelles remarques sur l’analyticité des solutions milds des équations de Navier–Stokes dans R3 Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset Département de mathématiques, Université d’Evry, bd F. Mitterrand, 91025 Evry cedex, France Reçu et accepté le 7 janvier 2004 Présenté par Yves Meyer
Résumé Nous donnons une nouvelle preuve élémentaire de l’analyticité en espace des solutions milds des équations de Navier–Stokes sur R3 . Pour citer cet article : P.-G. Lemarié-Rieusset, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 338 (2004). 2004 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés. Abstract Further remarks on the analyticity of mild solutions for the Navier–Stokes equations in R3 . We give a new simple proof that mild solutions for the Navier–Stokes equations on R3 are spatial analytic. To cite this article: P.-G. Lemarié-Rieusset, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 338 (2004). 2004 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.
L’analyticité en la variable d’espace des solutions des équations de Navier–Stokes est bien comprise depuis les travaux de Masuda [7]. L’analyticité spatiale des solutions dans les espaces de Lebesgue a été récemment considérée par plusieurs auteurs (Grujiˇc et Kukavica [4], Lemarié–Rieusset [5,6], Giga et Sawada [3]). La méthode que nous avions développée dans [5] se basait, comme dans l’approche de Foias et Temam [1], sur l’étude de l’opérateur √ √ √ b2 (u, v) = e −t e− −t u · e− −t v . Cependant, cet opérateur n’est pas facilement étudiable pour des données u et v dans des espaces Lp , et nous l’avions remplacé par l’opérateur √ √ √ b1 (u, v) = e tΛ1 e− tΛ1 u · e− tΛ1 v , où Λ1 est le multiplicateur de Fourier de symbole |ξ1 | + |ξ2 | + |ξ3 |. Sur une idée de Montgomery-Smith [8], nous √ √ −t i ty· ∇ par e avec y 1, avec un gain évident : remplaçons ici e √ √ √ ei t y·∇ e−i ty·∇ u · e−i ty·∇ v = uv. Adresse e-mail : [email protected] (P.-G. Lemarié-Rieusset). 1631-073X/$ – see front matter 2004 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés. doi:10.1016/j.crma.2004.01.015
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Cela nous permet de montrer pour un espace de Banach E assez général que la solution du problème de Cauchy pour l’équation de Navier–Stokes sur tout l’espace√asociée à une valeur initiale u0 ∈ E 3 a une solution qui satisfait sur un intervalle ]0, T [ l’estimation sup0
· ( e(t −s)P∇ u ⊗ u) ds.
(2)
0
La méthode des itérations de Picard fournit alors une méthode simple pour rechercher des solutions de l’Éq. (2). On définit l’opérateur bilinéaire B par t B( u, v) =
· ( e(t −s)P∇ u ⊗ v) ds.
(3)
0
Si B est continu sur (ET )3 , où ET est un espace de Banach de fonctions sur ]0, T [×R3 : B( u, v) C0 u E v E , ET
T
T
(4)
alors, pour toute donnée initiale à divergence nulle u 0 qui satisfait que (et u0 )0
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(H2) Pour t > 0, et est continu de E vers G et il existe C 0 et α ∈ [0, 1/2] tel que pour tout f ∈ E on a t e f Ct −α/2 f E . G
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(5)
Pour T ∈ ]0, +∞], on définit ET l’espace des fonctions continues de ]0, T [ vers G qui vérifient √ √ sup sup t α/2 ei ty·∇ f (t, ·)G < ∞ et lim sup t α/2 ei ty·∇ f (t, ·)G = 0, t →0 y 4 √ f ET = sup0
0
normé par Alors, pour tout T < +∞ (α < 1/2) ou tout T +∞ (α = 1/2), l’opérateur bilinéaire B est continu de (ET )3 × (ET )3 vers (ET )3 . Plus précisément, on a √ u, v)E C1 T 1/2−α u, v)(t, ·)E + B( u ET v ET , (6) sup sup ei ty·∇ B( T
0
où C1 ne dépend pas de T , de u ni de v. u0 E , de sorte que l’Éq. (2) a une solution sur ]0, T [×R3 pour T asDe plus, et u0 ET C2 sez petit (ou pour T√ = ∞ si α = 1/2 et que u0 E est assez petite), telle que u ∈ C([0, T [, E 3 ) et sup0
√ −t u E
<∞:
Théorème 2. Soit E un espace invariant de fonctions tests. Alors il existe une constante C telle que, pour tout f ∈ E, on a √−t √ e f E C sup ei t y·∇ f E . (10) y 4
Démonstration. On note, pour j ∈ {1, 2, 3} et ε ∈ {−1, 1}, Ωj,ε = {ξ ∈ S 2 | ε ξj > 1/2}. À une partition de l’unité 1 = 3j =1 ε∈{−1,1} ωj,ε où la fonction ωj,ε est C ∞ sur S 2 et à support compact dans Ωj,ε , on associe les
multiplicateurs de Fourier ωj,ε (D) de symbole ωj,ε ( ξξ ). On considère également θ ∈ D(R3 ) avec θ (ξ ) = 1 pour √ √ ξ 1 et 0 for ξ 2, et on lui associe le multiplicateur de Fourier θ ( tD), de symbole θ ( tξ ). On écrit e
√ −t
3 √ √ √ √ √ √ Id −θ ( tD) ωj,ε (D) e −t eiε t 4∂j e−iε t 4∂j f. f = θ ( tD) e −t f + j =1 ε∈{−1,1}
(11)
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√ √ √ Or l’opérateur (Id −θ ( tD))ωj,ε (D) e −t eiε t 4∂j est un opérateur de convolution √ avec un noyau Kj,ε,t (x) = √ 1 x √ K ( t ), où Kj,ε appartient à la classe de Schwartz. Par ailleurs, θ ( tD) e −t est un opérateur de t 3/2 j,ε 1 convolution avec un noyau Kt (x) = t 3/2 K( √xt ), où 1 K(x) = θ (ξ ) e ξ eix·ξ dξ. (2π)3
(12)
Pour α ∈ N3 avec |α| 3, il est immédiat que x α K(x) est une fonction bornée, puisque intégrable : α ∂ ξ −2 Cα ξ χ ξ <2 . ∂ξ α θ (ξ ) e
∂α ξ ) ∂ξ α (θ (ξ ) e
est
(13)
D α α −2 Pour R ∈ ]0, 1], on pose fα,R = θ ( D R )(x K) et gα,R = (1 − ω( R ))(x K). Comme la fonction ξ χ ξ <2 ξ appartient à L3/2,∞ , on voit que fα,R C θ ( R ) L3,1 C R 1/3 . Par ailleurs, pour j = 1, . . . , 3, on a
−2 ξ −2 dξ ξ −3 |ξ |2 xj gα,R (x) C . ξ + dξ C R R R|ξ |2
Pour |x| 1 et R = |x|−3/4 , on trouve |x α K(x)| C|x|−1/4. 1 |K(x)| dx < ∞. On obtient finalement que |K(x)| C (1+ x ) 13/4 et donc
✷
On vérifie facilement qu’on peut appliquer ces résultats aux espaces suivants : • espaces de Lebesgue : E = Lp avec 3 p < ∞ (on a G = L2p et α = 3/(2p)), ∈ (Lp )3 } pour 1 < p < 3 (avec G = W˙ 1,r • espaces de Sobolev homogènes : E = W˙ 1,p = {f ∈ L3p/(3−p) | ∇f 1 3 où 1/r = 2 (1/p + 1/3) et α = 2 (1/p − 1/3)), • espaces de Sobolev : E = W 1,p pour 3/2 p < ∞ (avec G = W 1,r où 1/r = 12 (1/p + 1/3) et α = 3 2 (1/p − 1/3) si 3/2 p < 3 et r = 2p et α = 3/(2p) si 3 p < ∞). Références [1] C. Foias, R. Temam, Gevrey class regularity for the solutions of the Navier–Stokes equations, J. Funct. Anal. 87 (1989) 359–369. [2] G. Furioli, P.G. Lemarié-Rieusset, E. Terraneo, Unicité dans L3 (R3 ) and d’autres espaces limites pour Navier–Stokes, Rev. Mat. Iberoamericana 16 (2000) 605–667. [3] Y. Giga, O. Sawada, On regularizing-decay rate estimate for solutions to the Navier–Stokes initial value problem, Nonlinear Anal. Appl. (2003) à paraître. [4] Z. Grujiˇc, I. Kukavica, Space analyticity for the Navier–Stokes and related equations with initial data in Lp , J. Func. Anal. 152 (1998) 247–466. [5] P.G. Lemarié-Rieusset, Une remarque sur l’analyticité des solutions milds des équations de Navier–Stokes dans R3 , C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 330 (2000) 183–186. [6] P.G. Lemarié-Rieusset, Recent Developments in the Navier–Stokes Problem, Chapman & Hall/CRC, 2002. [7] K. Masuda, On the analyticity and the unique continuation theorem for solutions of the Navier–Stokes equation, Proc. Japan Acad. 43 (1967) 827–832. [8] S. Montgomery-Smith, Communication personnelle.