Algèbres de Lie kählériennes et double extension

JOURNAL OF ALGEBRA ARTICLE NO.

185, 774]795 Ž1996.

0350

Algebres de Lie kahleriennes et double extension ` ¨ ´ Jean-Michel Dardie ´ et Alberto Medina* ´ G.D.R. 144, UA 1407 du CNRS, Departement de Mathematiques, Uni¨ ersite´ de ´ ´ Montpellier II, Case 051, Place E. Bataillon, 34095 Montpellier 5, France Communicated by Georgia Benkart Received August 9, 1995

A Kahler Lie algebra is a real Lie algebra carrying a symplectic 2-cocycle v and ¨ an integrable complex structure j such that v Ž x, jŽ y .. is a scalar product. We give a process, called Kahler double extension, which realizes a Kahler Lie algebra as ¨ ¨ the Kahler reduction of another one. We show that every Kahler algebra is ¨ ¨ obtained by a sequence of such a process from 04 or a flat Kahler algebra; it is ¨ obtained from 04 iff it contained a lagrangian sub-algebra. These methods allow us to prove that any completely solvable and unimodular Kahler algebra is commuta ¨ tive. Q 1996 Academic Press, Inc.

´ ´ INTRODUCTION. RESUME Un triplet Ž g, v , j . ou de Lie reelle de dimension ` g est une algebre ` ´ finie, v un 2-cocycle scalaire non degeneree ´ ´ ´ ´ de g et j une structure complexe integrable sur g, tels que l’identite ´ ´ g Ž x, y . [ v Ž x, j Ž y . . definit un produit scalaire sur g, est appele ´ ´ une algebre ` de Lie kahlerienne. ¨ ´ A un tel objet correspond, du point de vue geometrique, un unique groupe ´ ´ de Lie, connexe et simplement connexe, muni d’une structure de ¨ ariete ´´ kahlerienne in¨ ariante Žpar les translations . ` a gauche. ¨ ´ Nous developpons ici une methode de devissage des algebres de Lie ´ ´ ´ ` kahleriennes, qui nous permet de fournir une technique de construction de ¨ ´ ces algebres, reduite de Lie ` `a partir de l’algebre ` ´ `a zero ´ et, d’une algebre ` Žplate. produit semi-direct de deux algebres kahlerienne abeliennes. ¨ ´ ` ´ * E-mail adresse: [email protected]. 774 0021-8693r96 $18.00 Copyright Q 1996 by Academic Press, Inc. All rights of reproduction in any form reserved.

ALGEBRES DE LIE KAHLERIENNES ` ¨ ´

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Ce devissage utilise des resultats recents concernant les algebres de Lie ´ ´ ´ ` telles que Ž g, v . dites symplectiques w17, 6x. Nous nous servons ` a fond du fait que l’espace vectoriel sous-jacent ` a une algebre de Lie symplectique ` est muni d’un produit Ž` a associateur . symetrique a ´ ` gauche ŽS.G.., dit parfois de Koszul et Vinberg w8, 24x defini ´ par la formule

v Ž xy, z . s yv Ž y, w x, z x . , qui verifie la relation w x, y x s xy y yx. Voir aussi w2x. ´ Geometriquement, ceci signifie qu’un groupe de Lie symplectique est ´ ´ naturellement pourvu d’une structure affine in¨ ariante a ` gauche. Nos methodes de devissage des algebres de Lie kahleriennes prolongent ´ ´ ` ¨ ´ celles de I.I. Piatetski-Chapiro w21, 22x dans son ´ etude des j-algebres de ` J.L. Koszul w12x. Une j-algebre resoluble dont ` est une algebre ´ kahlerienne ¨ ´ ´ le 2-cocycle symplectique est un 2-cobord. Notre idee est l’adaptation aux algebres de Lie kahleriennes du ´ maıtresse ˆ ` ¨ ´ procede de Lie symplec´ ´ de double extension symplectique d’une algebre ` tique introduit et developpe ´ ´ dans w17, 6x. Voici quelques mots resumant nos principaux resultats. ´ ´ Supposons que Ž g, v , j . contient un ideal ´ Žde Lie. totalement isotrope. Alors son orthogonal symplectique I H est un ideal ´ `a gauche de g, l’algebre de Lie quotient I HrI est naturellement kahlerienne et la sous` ¨ ´ algebre de Lie jŽ I . de g est sous-jacente ` a une structure d’algebre ` ` S.G.-hessienne au sens de Shima w23x. Dans ce cas g se presente comme ´ double extension kahlerienne de l’algebre de Lie kahlerienne I HrI, dite ¨ ´ ` ¨ ´ Ž . Ž . reduite, par l’algebre ´ ` hessienne J I Theoreme ´ ` 3.4 . A contrario, si g ne contient pas d’ideal ´ Žde Lie. totalement isotrope, alors g est produit semi-direct de deux algebres abeliennes kahleriennes, l’action correspon` ´ ¨ dante ´ etant fidele ` et se faisant par des endomorphismes antisymetriques, ´ relativement ` a la forme symplectique v et au produit scalaire g ŽTheoreme ´ ` 2.2.. D’autre part, nous demontrons que toute algebre de Lie kahlerienne ´ ` ¨ ´ completement resoluble s’obtient a partir de l’algebre reduite ` ´ ` ` ´ `a zero, ´ par Ž . une suite de doubles extensions kahleriennes par des algebres hessiennes ¨ ´ ` . de dimension 1 ŽTheoreme 4.1 . Ce resultat est le pendant kahlerien du ´ ` ´ ¨ ´ theoreme 2.5 de w17x. Nous en deduisons que toute algebre de Lie ´ ` ´ ` kahlerienne completement resoluble unimodulaire est abelienne ¨ ´ ` ´ ´ ŽTheoreme de la theorie de la double extension ´ ` 4.5.. Cette consequence ´ ´ est ` a comparer avec le theoreme ´ ` A de w1x. Il est important de signaler que les trasvaux fondamentaux, de S. G. Gindikin, I. I. Piatetski-Chapiro et E. B. Vinberg, poursuivis en suite par J. Dorfmeister et K. Nakajima, sur les varietes homogenes, ´ ´ kahleriennes ¨ ´ ` developpent deja des techniques d’etude des algebres de Lie kahleriennes, ´ ´` ´ ` ¨ ´

DARDIE ´ ET MEDINA ´

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qui sont valables ` a deformation de la structure de Lie pres: de ´ ` des algebres ` Lie kahleriennes non isomorphes peuvent correspondre ` a la meme ¨ ´ ˆ variete ´´ Kahlerienne. ¨ ´ Pour clore cette introduction, disons que le present travail apparaıt, ´ ˆ `a notre avis, comme une suite et un complement logiques aux travaux de A. ´ Lichnerowicz et le second auteur developpes ´ ´ dans w16, 15x.

` 1. STRUCTURE DES ALGEBRES DE LIE SYMPLECTIQUES Dans cette section g est une algebre de Lie de dimension finie sur un ` corps commutatif K de caracteristique nulle. Si v g ZL2 Ž g, K. est un ´ Ž . 2-cocycle resp. un 2-cobord scalaire non degenere ´ ´ ´ ´ de g, le couple Ž g, v . est appele ´ une algebre ` de Lie symplectique Žresp. une algebre ` symplectique . exacte . Dans une telle algebre ` la formule

v Ž xy, z . s yv Ž y, w x, z x .

Ž 1.

definit sur l’espace g un produit Ž` a associateur . symetrique a ´ ´ ` gauche ŽS.G.. xy s L x y s R y x, tel que l’on a l’identite ´ xy y yx s w x, y x Žvoir par exemple w17x.. Nous dirons alors que le crochet de g est sous-jacent au produit S.G. de g. Le fait suivant joue un role ˆ important dans la suite: 1.1. LEMME. Une algebre ` de Lie symplectique contient un ideal ´ abelien ´ non tri¨ ial I qui est symplectique ou totalement isotrope. Dans les deux cas I H est un ideal ´ a` gauche de g. Demonstration. Le crochet de g ´ etant celui des commutateurs d’un ´ produit S.G., l’ideal ´ derive ´ ´ de l’algebre ` de Lie g est distinct de g, compte tenu d’un resultat fondamental de J. Helmstetter w10x. Considerons le ´ ´ dernier terme non nul de la suite derivee de l’algebre ´ ´ du radical resoluble ´ ` de Lie g. Il s’agit d’un ideal Ab de g. Puisque v est un 2-cocycle, ´ abelien ´ on a l’identite ´

E v Ž w x, y x , z . s 0

Ž 2.

pour x, y et z dans g ou la somme cyclique. Il en resulte que ` E designe ´ ´ Ab l Ab H est un ideal ´ de g. Ceci implique la premiere ` assertion du lemme. Que I H est un ideal de Ž1.. ´ `a gauche de g resulte ´ Ceci ´ etant nous avons

ALGEBRES DE LIE KAHLERIENNES ` ¨ ´

1.2. PROPOSITION.

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Soit Ž g, v . une algebre ` de Lie symplectique.

Ža. Si g contient un ideal symplectique I alors g est produit ´ abelien ´ semi-direct d’algebres de Lie de I par I H l’action de I H sur I se faisant par ` des endomorphismes antisymetriques. ´ Žb. Si g contient un ideal ´ abelien ´ totalement isotrope I alors, la suite canonique i

p

0 ª I ¨ I H ª I H rI s B ª 0

Ž 3.

est une suite exacte d’algebres S.G. et l’algebre ` ` de Lie quotient B est symplectique pour la forme obtenue par restriction et passage au quotient de celle de g. Demonstration. Le lemme 1.1 garantit que I H est un ideal ´ ´ `a gauche de g et donc une sous-algebre de Lie de g. L’identite ` ´ Ž2. implique que I H agit sur I par des endomorphismes antisymetriques. Ainsi la premiere ´ ` assertion est demontree. ´ ´ D’autre part la formule Ž1. montre que I est un ideal la suite canonique est une suite ´ bilatere ` de I H et par consequent ´ exacte d’algebres S.G. ` Le resultat suivant precise la proposition 1.2 en caracterisant les algebres ´ ´ ´ ` de Lie symplectiques reelles ne contenant par d’ideaux abeliens totale´ ´ ´ ment isotropes. Il decoule du theoreme ´ ´ ` F.II. g de w14x. 1.3. THEOREME ´ ` . Soit Ž g, v . une algebre ` de Lie symplectique reelle ´ ne contenant pas d’ideal ´ abelien ´ totalement isotrope. Alors g est produit semidirect de son ideal ´ deri ´ ¨ ´e DŽ g . s w g, g x qui est abelien ´ par DŽ g . H qui est une sous-algebre de g l’action ´ etant fidele ` abelienne ´ ` et se faisant par des endomorphismes antisymetriques. De plus D Ž g . est somme directe orthogo´ nale d’ideaux ´ de g de dimension 2. Demonstration. Soit I1 un ideal minimal de g. D’apres ´ ´ abelien ´ ` l’hypothese ` I1 est symplectique. Comme I1 est minimal ou bien I1 ; DŽ g . ou bien I1 l D Ž g . s  04 . La seconde possibilite ´ est `a exclure car I1 serait central dans g et donc de dimension 1 ce qui est absurde. Ainsi g est produit semi-direct de I1 par I1H l’action de I1H sur I1 ´ etant irreductible ´ Žpuisque I1 est minimal.. Si I1H contient un ideal minimal I2 qui symplectique on aura ´ abelien ´ H I1 s I2 = I2H avec I2 ; D Ž I1H. . Puisque I2 est inclus dans le radical resoluble de I1H , il est contenu dans le noyau de toute representation finie ´ ´ H irreducible de l’algebre de Lie I . En particulier I commute avec I ´ ` 1 2 1. Une iteration du procede que nous venons d’utiliser, nous permet de ´ ´´ decomposer l’algebre g comme produit semi-direct d’un ideal I, qui est ´ ` ´ produit direct d’ideaux abeliens Ii symplectiques, par l’orthogonal sym´ ´ plectique I H de I. Ce produit semi-direct est tel que chaque representa´

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DARDIE ´ ET MEDINA ´

tout ideal minimal de I H tion r i de I H dans Ii est irreductible, ´ ´ abelien ´ ´etant totalement isotrope. Montrons que I H est abelien. Considerons un ideal minimal A1 ´ ´ ´ abelien ´ de I H . Ou bien A1 ; D Ž I H. ou bien A1 l D Ž I H. s  04 . Si A1 ; D Ž I H. alors A1 est inclus dans le noyau de toute representation irreductible de ´ ´ I H . En particulier A1 est un ideal ´ de g qui est totalement isotrope, ce qui contredit l’hypothese ` faite sur g. Ainsi A1 l D Ž I H. s  04 , d’ou que A1 est central dans I H et ` il resulte ´ H par suite I est produit direct de A1 pour un autre ideal ´ B1. Comme consequence tout ideal ´ ´ de B1 est un ideal ´ de I H et plus particulierement ` tout ideal de B1 est central dans I H et est en somme directe avec ´ abelien ´ D Ž I H. . Ceci implique que I H se presente comme produit direct de son ´ centre par son ideal ´ derive ´ ´ qui est semi-simple. Par ailleurs, puisque I H est une algebre ` de Lie symplectique, son centre est orthogonal `a son ideal ´ derive semi-simple D Ž I H. est symplectique ´ ´ ce qui entraıne ˆ que l’algebre ` d’ou ` sous-jacente `a un produit S.G. ce qui est absurde. Il faut donc conclure que I H est abelien. ´ Il nous reste ` a prouver que les ideaux Ii sont de dimension 2. Nous ´ savons que la representation en question r i : I H ª spŽ Ii . est irreductible et ´ ´ que I H est abelienne. Par consequent l’image de r i est une sous-algebre ´ ´ ` de Lie abelienne de l’algebre des commutateurs d’un corps contenant K ´ ` dans son centre. De plus puisque Im r i ne contient pas l’application id I i alors Im r i et id I i engendrent une sous-algebre ` associative et commutative de ce corps de dimension G 2. Or si K s R une telle algebre est de ` dimension au plus 2. Par consequent Im r i est de dimensioan 1 et elle ´ laisse stable une droite ou un plan de Ii . Mais comme dim Ii G 2 et r i est irreductible on en deduit que dim Ii s 2. ´ ´ 1.4. EXEMPLE. Il est facile de montrer que c’est seulement au-dela ` de la dimension six que l’on trouve des exemples d’algebres de Lie symplec` tiques reelles ne contenant pas d’ideal totalement isotrope. En fait ´ ´ abelien ´ en dimension 6 il n’y a que l’algebre suivante qui rempli les conditions ` demandees: ´ g est l’algebre ` de Lie dont le crochet dans la base B s  e i 4, 1 F i F 6, est donne ´ par

w e1 , e3 x s e4 , w e1 , e4 x s ye3 ; w e2 , e5 x s e6 ; w e2 , e6 x s ye5 munie du 2-cocycle scalaire

v s eU1 n eU2 q eU3 n eU4 q eU5 n eU6  eUi , 1 F i F 64 ´ etant la base duale de g.

ALGEBRES DE LIE KAHLERIENNES ` ¨ ´

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` 2. STRUCTURE DES ALGEBRES DE LIE ¨ ´ KAHLERIENNES Dans la suite Ž g, v . est une algebre et j est ` de Lie symplectique reelle ´ une structure complexe sur g integrable c’est-a-dire verifiant la condition ´ ` ´ suivante quels que soient x et y dans g:

w jx, jy x y w x, y x y j w x, jy x y w jx, y x s 0.

Ž 4.

Posons 2.1. D´ EFINITION. Un triplet Ž g, v , j . ou de Lie ` Ž g, v . est une algebre ` symplectique reelle et j une structure complexe integrable sur g sera dit ´ ´ une algebre si la formule ` de Lie kahlerienne ¨ ´ g Ž x, y . s v Ž x, jy .

Ž 5.

definit un produit scalaire Ždefini ´ ´ positif. sur g. Si Ž g, g . est une algebre symetrique ` de Lie munie d’une forme bilineaire ´ ´ non degeneree ´ ´ ´ ´ g la relation g Ž x I y, z . s

1 2

 g Ž w x, y x , z . y g Ž w y, z x , x . q g Ž w z, x x , y . 4

Ž 6.

definit un produit x I y sur g dit de Levi-Civita. ´ Il est connu que l’on a x I y y y I x s w x, y x . Si le produit x I y est S.G. nous dirons que Ž g, g . est une algebre ` metrique ´ plate. Nous avons compte tenu du theoreme 1.3 le resultat suivant Ž` a ´ ` ´ comparer avec le theoreme ´ ` 2 de w15x.. 2.2. THEOREME Alors g ´ ` . Soit Ž g, v , j . une algebre ` de Lie kahlerienne. ¨ ´ ne contient pas d’ideal ´ propre totalement isotrope pour v si et seulement si g est produit semi-direct de son ideal par son ´ deri ´ ¨ ´e DŽ g . qui est abelien ´ orthocomplement qui est une sous-algebre l’action ´ etant ´ ` de Lie abelienne, ´ fidele pour la forme ` et se faisant par des endomorphismes antisymetriques ´ symplectique et la metrique de D Ž g .. De plus Ž g, g . est metrique plate. ´ ´ Demonstration. Si Ž g, v , j . est sans ideal ´ ´ totalement isotrope le theoreme 1.3 implique immediatement que g est unimodulaire et d’apres ´ ` ´ ` w x Ž . le theoreme 4 de 16 l’algebre g, g est metrique plate. ´ ` ` ´ Posons Dx y s x I y ou par g. ` I est le produit de Levi-Civita defini ´ Puisque Ž g, g . est plate ce produit est symetrique a gauche. ´ `

DARDIE ´ ET MEDINA ´

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Soit F: g ª gl Ž g ., x ¬ Dx : y ª x I y la representation d’algebre de ´ ` Lie associee ´ `a ce produit. Suivant J. Milnor w18x, Žker F . Hg est une sous-algebre de Lie abelienne de g et de plus g s ker F = Žker F . Hg ` ´ H g l’action de Žker F . sur ker F se faisant par des endomorphismes antisymetriques pour g. ´ D’autre part il est clair que D Ž g . s w g, g x est inclus dans ker F. Soit S l’orthogonal pour g de D Ž g . dans ker F. On a alors g s D Ž g . [ Ž S [ Žker F . Hg . c’est-a-dire g s D Ž g . [ Ž D Ž g .. Hg . ` Ž . D’apres ` 6 et le fait que l’on a g Ž aI b, c . q g Ž b, aI c . s 0 pour tout a, b et c dans g il resulte ´ Dy x s 0

pour tout

ygg

et tout

x g DŽ g .

Hg

de sorte que w x, y x s Dx y pour tout y g g et tout x g D Ž g . Hg . Ceci implique pour x g D Ž g . H , y g g et z g g les relations: g Ž z, j w x, y x . s v Ž z, j 2 w x, y x . s v Ž z, j 2 Ž Dx y . . s g Ž z, j Ž Dx y . . s g Ž z, Dx j Ž y . . car j( Dx s Dx ( j puisque Ž g, v , j . est kahlerienne. Par consequent ¨ ´ ´ jŽw x, y x. s Dx jŽ y . s w x, jŽ y .x g D Ž g ., ce qui entraıne que j preserve D Ž g .. ˆ ´ De plus D Ž g . Hv s D Ž g . Hg et par suite l’action de D Ž g . Hv sur D Ž g . se fait par des endomorphismes antisymetriques pour g et v . ´ L’assertion reciproque etant evidente ceci acheve ´ ´ ´ ` la preuve du theoreme. ´ ` Dans ce qui suit nous allons preciser la structure des algebres de Lie ´ ` kahleriennes contenant un ideal ¨ ´ ´ totalement isotrope. 2.3. LEMME. Soit Ž g, v , j . une algebre Si I est un ` de Lie kahlerienne. ¨ ´ ideal de g totalement isotrope alors on a: ´ Ž1. Ž2. Ž3. Ž4.

I est abelien. ´ Ž . j I est une sous-algebre ` de Lie de g. I H ljŽ I . s  04 . I H ljŽ I . H est un supplementaire de I dans I H stable par j. ´

Demonstration. Comme I ; I H et v est un 2-cocycle la formule Ž2. ´ implique que I est abelien. ´ La formule Ž4. appliquee ´ `a x et y appartenant `a I implique

w jx, jy x s j Ž w jx, y x q w x, jy x . , d’ou ` la seconde assertion du lemme.

ALGEBRES DE LIE KAHLERIENNES ` ¨ ´

781

Par ailleurs comme g Ž?, ? . s v Ž?, j ? . definit une forme definie positive, ´ ´ pour x g I _  04 on aura v Ž x, jx . ) 0 c’est-a-dire jŽ x . f I H . La derniere ` ` assertion du lemme est immediate. ´ Le lemme nous permet de specialiser la proposition 1.2 au cas des ´ algebres de Lie kahleriennes de la fac¸on suivante: ` ¨ ´ 2.4. PROPOSITION. Soit Ž g, v , j . une algebre Si g ` de Lie kahlerienne. ¨ ´ contient un ideal ´ totalement isotrope I alors dans la suite exacte Ž3., d’algebres ` S.G. l’algebre I HrI herite, par restriction et ` de Lie symplectique reduite ´ ´ passage au quotient de celle de g, d’une structure d’algebre ` de Lie kahlerienne. ¨ La notion qui suit decrit la version infinitesimale d’un groupe de Lie ´ ´ muni d’une structure affine et d’une metrique riemannienne invariantes ` a ´ gauche, la metrique ´ ´etant localement hessienne. 2.5. D´ EFINITION. Soit Ž V, g . une algebre S.G. munie d’un produit ` scalaire g. Si g est un 2-cocycle de l’algebre V ` a coefficients dans le ` V-bimodule trivial, au sens de Nijenhuis w20x nous dirons suivant Shima w23x que Ž V, g . est une algebre ` hessienne. Ainsi que Ž V, g . soit hessienne signifie que g verifie l’identite ´ ´ suivante quels que soient x, y et z dans V g Ž w x, y x , z . s g Ž x, yz . y g Ž y, xz .

Ž 7.

ou le crochet des commutateurs de g. ` w , x designe ´ Nous avons le resultat suivant: ´ 2.6. THEOREME Si I est un ´ ` . Soit Ž g, v , j . une algebre ` de Lie kahlerienne. ¨ ´ ideal ´ propre totalement isotrope de g alors la sous-algebre ` de Lie jŽ I . de g est sous-jacente a ` une structure d’algebre ` hessienne de produit S.G. donne´ par la formule x ) y s p Ž xy .

pour

x, y

jŽ I . s V

dans

Ž 8.

ou ` p est la projection sur V parallele ` a` I H et de produit scalaire induit par celui de g. Demonstration. Nous savons deja ´ ´ ` que g s I H [jŽ I . dont I H est un ideal ´ `a gauche de l’algebre ` symetrique ´ `a gauche g et jŽ I . une sous-algebre ` de l’algebre de Lie de g. Dans ces conditions on verifie directement que ` ´ Ž8. definit un produit S.G. sur jŽ I . compatible avec la structure de ´ sous-algebre ` de Lie de g. Il nous reste `a montrer que g Ž x, y . s v Ž x, j Ž y . . est un 2-cocycle d’algebre ` S.G.

pour

x, y

dans

V s jŽ I .

DARDIE ´ ET MEDINA ´

782

Pour x, y, z dans V nous avons d’une part g Ž w x, y x , z . s v Ž z, j Ž w x, y x . . tandis que l’identite ´ Ž4. s’ecrit ´ j Ž w x, y x . s j Ž x . , y q x, j Ž y . . Ainsi nous avons: g Ž w x, y x , z . s v Ž z, j Ž x . , y

. q v Ž z,

x, j Ž y .

.

s v Ž yz , j Ž x . . y v Ž xz, j Ž y . . . Cepedant nous pouvons ´ ecrire

v Ž xz, j Ž y . . s v Ž x ) y, j Ž y . . car xz y x ) z g I H . Par consequent il resulte que l’on a pour x, y, z dans V: ´ ´ g Ž w x, y x , z . s g Ž x, y ) z . y g Ž y, x ) z . . Ceci prouve le resultat. ´ 2.7. THEOREME Si I est un ´ ` . Soit Ž g, v , j . une algebre ` de Lie kahlerienne. ¨ ´ ideal ´ totalement isotrope de g alors I [ jŽ I . est une sous-algebre ` kahlerienne ¨ ´ de Ž g, v , j . qui contient I comme ideal ´ lagrangien Ž i.e., I s I Hv .. Demonstration. Il faut montrer que I [ jŽ I . est stable par j, puis que la ´ restriction de v ` a cette sous-algebre de Lie de g est non degeneree ` ´ ´ ´ ´ et finalement que I est lagrangien. La premiere ` affirmation est ´evidente. Quand aux deux autres elles sont des consequences directes des faits suivants: ´

v Ž x, j Ž x . . s 0 m x s 0. I est totalement isotrope par hypothese ` et ´evidemment sa dimension est la moitie ´ de celle de I [ jŽ I .. 2.8. Remarque. A priori il y a deux produits S.G. sur jŽ I . compatibles avec sa structure de Lie ` a savoir, celui defini ´ par le 2-cocycle symplectique sur I [ jŽ I . et celui fourni par la formule Ž8.. En fait ces deux produits

ALGEBRES DE LIE KAHLERIENNES ` ¨ ´

783

coıncident compte tenu des identites ¨ ´ suivantes ou ` x et y sont dans jŽ I . et a dans I:

v Ž x ) y, a . s v Ž xy, a . s yv Ž y, w x, a x . s yv 0 Ž y, w x, a x . s v 0 Ž xy, a . ou ` v 0 est le 2-cocycle symplectique induit par v sur I [ jŽ I .. 2.9. D´ EFINITION. Soit g une algebre de Lie dont le crochet est le ` commutateur d’un produit S.G. On appelle algebre de Lie cotangente ` symplectique de g, notee ´ g* =L g, l’espace vectoriel produit g* = g muni du crochet fourni par la formule

Ž a , x . , Ž b , y . s Ž LUx b y LUy a , w x, y x .

Ž 9.

ou contragrediente de celle donnee ` L* est la representation ´ ´ ´ par les multiplications ` a gauche. Cette definition est motivee ´ ´ par le fait qu’il a ´ete´ remarque´ dans w17x que le 2-cocycle scalaire

v 1 Ž Ž a , x . , Ž b, y . . s a Ž y . y b Ž x . fait de g* =L g une algebre de Lie symplectique. D’autre part M. ` N’guiffo-Boyom nous a signale de ´ w19x que g* =L g devient une algebre ` Lie kahlerienne si g est supposee ¨ ´ ´ hessienne. En fait nous avons le resultat ´ suivant: 2.10. PROPOSITION. Soit Ž g, v , j . une algebre Alors ` de Lie kahlerienne. ¨ ´ g contient un ideal ´ lagrangien si et seulement si g est isomorphe a` l’algebre ` cotangente d’une algebre ` hessienne. Demonstration. Supposons que I soit un ideal ´ ´ lagrangien de Ž g, v .. D’apres hessienne et une ` 2.6 et 2.7 le sous-espace jŽ I . est une algebre ` sous-algebre de Lie de g qui est en dualite ` ´ avec I au moyen de v . Par Ž g, v . est isomorhe ` consequent a l’algebre cotangente symplectique de ´ ` Ž . j I . Reciproquement soit Ž V, g . une algebre hessienne et Ž g, v . avec g s ´ ` U V =LV son algebre ` cotangente symplectique. Munissons g de l’endomorphisme d’espace vectoriel defini ´ par: Pour x g V, jŽ x . g V * est donne ´ par jŽ x .Ž y . [ yg Ž x, y .. Pour a g V *, jŽ a . [ x si a s g Ž x, ? .. Une verification directe montre que j 2 s yid. D’auntre part on constate ´ que le fait que g est un 2-cocycle scalaire de V implique que le tenseur de

784

DARDIE ´ ET MEDINA ´

Ž g, v , j . est une algebre Nijenhuis de j est nul. Par consequent de Lie ´ ` kahlerienne dans laquelle V * est un ideal ¨ ´ ´ lagrangien. La notion qui s’en degage nous sera utile un peu plus tard. ´ 2.11. D´ EFINITION. Soit Ž V, g . une algebre hessienne. On appelle ` algebre kahlerienne cotangente de Ž V, g . l’algebre de Lie cotangente ` ¨ ´ ` symplectique Ž g, v . de Ž V, g . munie de la structure complexe integrable ´ introduite ci-dessus.

¨ ´ 3. DOUBLE EXTENSION KAHLERIENNE D’UNE ` ¨ ´ ALGEBRE DE LIE KAHLERIENNE Soit Ž g, v , j . une algebre contenant un ideal ` de Lie kahlerienne ¨ ´ ´ propre totalement isotrope I. Dans ce paragraphe nous approfondissons l’etude ´ des suites canoniques exactes d’algebres de Lie suivantes: ` 0 ¨ I ¨ I Hª B s I HrI ª 0 0 ¨ I ¨ g ª grI ª 0.

Ž 3. Ž 10 .

Notre ´ etude nous permettra de fournir une methode de reconstruction de ´ Ž g, v , j . ` a partir de l’algebre reduite B et de l’algebre ` de Lie kahlerienne ¨ ´ ´ ` hessienne V s jŽ I ., Cette methode sera dite de double extension kahlerienne ´ ¨ ´ de B par V. D’apres ` le paragraphe 2 nous savons que Ž3. est une suite exacte d’algebres S.G. Elle est donc decrite par la donnee ` ´ ´ d’une representation ´ d’algebre de Lie g : B ª gl Ž I . et par la classe de cohomologie d’un ` 2 Ž 2-cocycle b g ZS.G. B, I . ou ` I est regarde´ comme B-bimodule pour les actions m ? a s g Ž m.Ž a . et a ? m s 0 pour m dans B et a dans I. D’autre part, comme consequence du lemme 2.3, l’algebre de Lie ´ ` quotient grI est, en tant qu’espace vectoriel, somme directe de la sousalgebre B et d’une autre sous-algebre ` ` que l’on peut identifier `a. V. Cette decomposition s’exprime par l’existence de deux representations d’algebres ´ ´ ` de Lie r : V ª gl Ž B . et u : B ª gl Ž V . qui verifient avec des notations ´ en ques´evidentes les conditions suivantes quels que soient les ´elements ´ tion

r Ž x . Ž w m, n x . s r Ž x . m, n q m, r Ž x . n y r Ž u Ž m . x . n q r Ž u Ž n. x . m

Ž 11 .

u Ž m . Ž w x, y x . s u Ž m . x, y q x, u Ž m . y y u Ž r Ž x . m . y q u Ž r Ž y . m . x.

Ž 129.

ALGEBRES DE LIE KAHLERIENNES ` ¨ ´

785

Identifions l’espace B au sous-espace I H ljŽ I H. de g. Pour m g B, x g V et a g I [ V * on a alors

v Ž w m, x x , a . s yv Ž x, ma. ou ce qui revient au meme, ˆ

² u Ž m . x, a: s y² x, g Ž m . a: ou la dualite avec la repre` ² , : designe ´ ´ usuelle. Ainsi donc g coıncide ¨ ´ sentation contragrediente de u . D’autre part pour m, n dans B et x dans ´ V nous pouvons ´ ecrire

² b Ž m, n . , x: s yv 9 Ž r Ž x . m, n .

Ž 13 .

ou ` b est comme ci-dessus. On remarque qu’en fait Ž13. met en bijection l’espace des applications bilineaires de B dans V * et l’espace HomŽ B, HomŽ V, B .. en associant ` a b ´ bilineaire, l’homomorphisme qui ` a m fait correspondre l’application x ¬ ´ r Ž x . m. Regardons HomŽ V, B . comme un B-module pour l’action m ? w s w ? u Ž m. q adŽ m.( w ou ` m est dans B et w est dans HomŽ V, B .. La condition Ž11. se traduit alors par le fait que l’application de B dans HomŽ B, V . definie par r est un 1-cocycle relatif ` a cette action. ´ 2 Ž En outre on verifie sans peine que ZS.G. B, V *. et ZL1 Ž B, HomŽ B, V .. ´ 2 Ž ainsi que BS.G. B, V *. et BL1 Ž B, HomŽ B, V .. se correspondent dans la bijection definie plus haut. On a aussi le resultat qui suit qui generalise le ´ ´ ´ ´ lemme 2.1 de w17x. 3.1. LEMME. La relation Ž13. definit un isomorphisme entre les espaces ´ 2 Ž de cohomologie HS.G. B, V *. et HL1 Ž B, HomŽ B, V ... En ce qui concerne la suite Ž10., elle est determinee ´ ´ d’une part par un representation d’algebre ´ ` de Lie h : grI ª gl Ž I ., et d’un 2-cocycle relatif `a cette representation. ´ Compte tenu de la decomposition grI s B [ V la representation h ´ ´ s’ecrit ´ h Ž m q x . s u *Ž m. q LUx ou ` L x : V ª V, y ¬ xy est le produit S.G. de V. Puisque w m q x, n q y x s w m, n x q r Ž x . n y r Ž y . m q w x, y x q u Ž m. y y u Ž n. x, la condition que h soit un morphisme d’algebre ` de Lie se traduit par l’identite. ´

u * Ž w m, n x q r Ž x . n y r Ž y . m . q LUŽw x , y xq u Ž m. yy u Ž n. x . s u * Ž m . q LUx , u * Ž n . q LUy

DARDIE ´ ET MEDINA ´

786

quels que soient les ´ elements en question. Or si l’on tient compte que u * ´ et L* sont des representations d’algebre ´ ` de Lie, l’identite´ peut s’ecrire ´

u * Ž yr Ž y . m . q LUu Ž m. y s u * Ž m . , LUy ou ce qui revient au meme ˆ

u Ž r Ž y . m. x y u Ž m. y ) x s y ) u Ž m. x y u Ž m. Ž y ) x . condition qui s’ecrit ´

u Ž m. Ž y ) x . s u Ž m. y ) x q y ) u Ž m. x y u Ž r Ž y . m. x

Ž 12 .

quels que soient x, y dans V et m dans B. Soulignons ici que Ž12. implique Ž129.. Explicitons maintenant le cocycle implique ´ dans la suite exacte Ž10.. Il s’agit d’une application bilineaire alternee ´ ´ w : Ž B [ Y . 2 ª I qui compte tenu de la decomposition grI s B [ V et de l’etude de la suite exacte Ž3. ´ ´ s’ecrit: ´

Ž m q x, n q y . ¬ bˆŽ m, n . q k Ž x, n . y k Ž y, m . ou plus ` bˆ est l’application antisymetrisee ´ ´ de b . Les identifications decrites ´ haut de B et V ` a des sous espaces de g entrainent que les applications bˆ et k satisfont les conditions suivantes:

² bˆŽ m, n . , x: s v Ž x, w m, n x . s y  v 9 Ž r Ž x . m, n . q v 9 Ž m, r Ž x . n . 4 Ž 14 .

² k Ž x, m . , y: s y  g Ž u Ž j9 Ž m . . x, y . q g Ž x, u Ž j9 Ž m . . y . 4

Ž 15 .

car on a

² k Ž x, m . , y: s yv Ž y, w x, m x . s yv Ž m, xy . s yv Ž j Ž m . , j Ž xy . . s yv Ž j Ž m . , xj Ž y . q j Ž x . y . s y v Ž jŽ m. , x , jŽ y . . q v Ž jŽ m. , y , jŽ x . . 4 . Reste ` a´ etudier la condition de cocycle pour w , relative ` a h. Celle ci est connue des qu’elle est connue dans les trois cas qui suivent ` Ži. pour m, n et l dans B Žii. pour x, y dans V et l dans B Žiii. pour x dans V et n et l dans B.

ALGEBRES DE LIE KAHLERIENNES ` ¨ ´

787

Cependant on s’aperc¸oit vite que la condition de cocycle dans le cas Ži. ´equivaut `a Ž11. tandis que Žii. signifie que Ž12. est verifiee. ´ ´ Reste donc ` a clarifier le cas Žiii.. Pour ceci introduisons les representa´ tions doubles P et Q de r et u donnees ´ respectivement par P Ž x . [ r * Ž x . m id q id m r * Ž x . Q Ž m . [ u * Ž m . m id q id m u * Ž m . et definissons P ? v 9 et Q ? g par ´

Ž P ? v 9. Ž x ? y . [ Ž P Ž x ) y . y P Ž x . P Ž y . . ? v 9

Ž 16 .

Ž Q ? g . Ž m, n . [ Ž Q Ž j w m, n x . y Q Ž m . Q Ž j Ž n . . q Q Ž n . Q Ž j Ž m . . . ? g . Ž 17 . Regardons B* n B* comme V-bimodule pour Ž B* n B*. ? V s 0, l’action

`a gauche de V sur B* n B* se faisant au moyen de P comme ci-dessus. Nous obtenons alors, directement, le resultat technique suivant: ´

3.2. LEMME. Ž1. P ? v 9 est un 2-cobord symetrique de l’algebre ´ ` syme´ trique a ` gauche V a` coefficients dans le V-bimodule B* n B*. Ž2. Q ? g est un 2-cobord de l’algebre ` de Lie B a` coefficients dans le B module V m V relatif a ` Q. Ž3. Que w soit un cocycle dans le cas Žiii. ´ equi¨ aut a ` la relation: P ? v 9 st Q ? g

Ž 18 .

ou ` P ? v 9 Ž resp. Q ? g . est regarde´ comme application de V m V Ž resp. B m B . dans B* m B* Ž resp. V * m V *.. En ce qui concerne le crochet de g il s’exprime, en termes des ´ elements introduits, par les formules

w m, n x s w m, n x B q bˆŽ m, n . w x, y x s w x, y x V w x, m x s r Ž x . m y u Ž m . x q k Ž x, m .

Ž 19 .

w x, a x s LUx Ž a. w m, a x s u * Ž m . a pour m, n dans B s I H ljŽ I . H ; a dans V * s I et x et y dans V s jŽ I .. Remarquons aussi que r laisse stable la structure complexe j9 de l’algebre ` kahlerienne reduite B, c’est-a-dire que l’on a: ¨ ´ ´ `

r Ž x . , j9 s 0

quel soit x dans V .

Ž 20 .

788

DARDIE ´ ET MEDINA ´

Afin de faciliter l’enonce qui suivent, introduisons la notion ´ ´ des resultats ´ suivante: 3.3. D´ EFINITION. Soit V une algebre ` de Lie sous jacente `a un produit symetrique de Lie. Deux representations ´ `a gauche et B une algebre ` ´ d’algebres de Lie r : V ª gl Ž B . et u : B ª gl Ž V . sont dites Ž u , r .-liees ` ´ si elles verifient les conditions Ž11. et Ž12.. ´ Ceci ´ etant, voici une proposition qui resume les fait les plus importants ´ que nous venons de mettre en lumiere. ` 3.4. THEOREME et I un ´ . Soit Ž g, v , j . une algebre ` de Lie kahlerienne ¨ ´ ideal ´ propre de g tel que I ; I H . Alors l’algebre ` de Lie quotient B s I HrI est naturellement kahlerienne, jŽ I . s V est une spous-algebre ¨ ´ ` de g sous-jacente a a ` un produit symetrique ´ ` gauche hessien et l’algebre ` de Lie quotient grI s B [ V est une algebre ` de Lie double par un couple Ž r , u . de representation ´ Ž u , r .-liees ´ qui ¨ ´erifient Ž18. et Ž20.. En fait, compte tenu de l’analyse que nous venons de faire, il suit le resultat suivant: ´ Ž V, g . 3.5. THEOREME ´ ` . Soit Ž B, v 9, j9. une algebre ` de Lie kahlerienne, ¨ ´ Ž u , r .-liees. une algebre ` hessienne et Ž r , u . deux representations ´ ´ Si r et u ¨´ erifient Ž18. et Ž20. l’espace ¨ ectoriel g s V * [ B [ V muni du crochet defini ´ par Ž19., de la forme symplectique et de la structure complexe somme de celles de B et de l’algebre cotangente de V est une algebre ` kahlerienne ¨ ´ ` de Lie kahlerienne dont Ž B, v 9, j9. est une algebre reduite. ¨ ´ ` kahlerienne ¨ ´ ´ Posons 3.6. D´ EFINITION. L’algebre decrite dans le theoreme ` de Lie kahlerienne ¨ ´ ´ ´ ` 3.5 est dite l’algebre de Lie double extension kahlerienne de l’algebre ` ¨ ´ ` Ž B, v 9, j9. par l’algebre kahlerienne hessienne Ž V, g . suivant le couple ¨ ´ ` Ž r , u .. Le resultat qui suit illustre en partie la portee ´ ´ de l’idee ´ de double extension kahlerienne. ¨ ´ 3.7. THEOREME est obtenue par une ´ ` . Toute algebre ` de Lie kahlerienne ¨ ´ suite de doubles extensions kahleriennes a` partir de l’algebre a ¨ ´ ` reduite ´ ` zero ´ ou d’une algebre plate n’ayant pas d’ideal ` kahlerienne ¨ ´ ´ totalement isotrope non tri¨ ial. Demonstration. D’apres kahlerienne qui ´ ` le theoreme ´ ` 3.4 une algebre ` ¨ ´ H possede un ideal propre I tel que I ; I est double extension kahlerienne ` ´ ¨ ´ de B s I H rI par jŽ I .. Si B contient un ideal ´ de meme ˆ nature que I le processus se poursuit jusqu’a ` l’obtention d’une algebre ` sans ideal ´ isotrope ou d’une algebre reduite a zero. Ceci prouve la proposition. ` ´ ` ´

ALGEBRES DE LIE KAHLERIENNES ` ¨ ´

789

Soulignons que l’algebre de Lie symplectique de l’exemple 1.4 admet ` une structure kahlerienne definie par jŽ e1 . s e2 , jŽ e3 . s e4 , jŽ e5 . s e6 et ¨ ´ ´ on peut verifier que cette algebre de Lie kahlerienne ne contient pas de ´ ` ¨ ´ sous-algebre ` lagrangienne. A contrario nous avons 3.8. THEOREME contient une sous-algebre ´ ` . Une algebre ` de Lie kahlerienne ¨ ´ ` lagrangienne si et seulement si elle est obtenue par une suite de doubles extensions kahleriennes a a ¨ ´ ` partir de l’algebre ` reduite ´ ` zero. ´ Demonstration. Supposons g obtenue par une suite de doubles exten´ sions kahleriennes sur le ¨ ´ `a partir de l’algebre ` 04, montrons par recurrence ´ nombre fait de doubles extensions que g contient une sous-algebre la` grangienne. Le resultat d’une premiere de ´ ` double extension kahlerienne ¨ ´  04 est une algebre cotangente kahlerienne d’une algebre hessienne; elle ` ¨ ´ ` contient donc un ideal ´ lagrangien d’apres ` 2.10. Par ailleurs si B est une algebre kahlerienne contenant une sous-algebre lagrangienne L9, une ` ¨ ´ ` double extension kahlerienne de B par V contient L s L9 [ V * comme ¨ ´ sous-algebre ` lagrangienne d’apres ` le theoreme ´ ` 3.5 et les formules Ž19.. Reciproquement supposons qu’une algebre de Lie kahlerienne g, ´ ` ¨ ´ obtenue par une suite de doubles extensions kahleriennes ¨ ´ `a partir d’une algebre kahlerienne B n’ayant pas d’ideal ` ¨ ´ ´ totalement isotrope, ait une sous-algebre ` lagrangienne L. Notons Ž Vi ., 1 F i F r , la suite des algebres ` hessiennes impliquees ´ dans les doubles extensions. L’espace g est somme orthogonale de deux sous-espaces vectoriels symplectiques B et VpU [ ??? [ V1U [ V1 [ ??? [ Vp . Si p1 est la projection sur B associee ´ `a cette decomposition, p1Ž L. est un sous-espace lagrangien de B par construction ´ de la forme symplectique sur g. De plus p1Ž L. s L l B et par suite L1 [ p1Ž L. est une sous-algebre ` lagrangienne de B. Reste ` a montrer que B ne contient pas de sous-algebre lagrangienne. ` Pour ceci prouvons que B contient une sous-algebre symplectique E ` isomorphe ` a celle de l’exemple 1.4. Nous savons que B s’exprime comme un produit semi-direct orthogonal B s D Ž B . = D Ž B . H compte tenu du theoreme un ´ element non nul e1 Žresp. e2 . de D Ž B . H ´ ` 2.2. Considerons ´ ´ agissant non trivialement Žresp. trivialement. sur un plan P1 Žresp. P2 . et trivialement Žresp. non trivialement. sur le plan P2 Žresp. P1 .. De tels elements existent d’apres ´´ ` 2.2 et le theoreme ´ ` 1.3. Il est facile de constater que E s P1 [ P2 [ VectŽ e1 , e2 . est une sous-algebre symplectique de B ` isomorphe ` a celle de l’exemple 1.4. Decomposons B en somme orthogo´ nale B s E [ F ou F est un sous-espace symplectique de B et designons ` ´ par L1 une sous-algebre lagrangienne de B supposee exister. Si p1 est la ` ´ projection de B sur E parallele ´ `a F, il s’avere ` que p1Ž L1 . s L1 l E est une sous-algebre lagrangienne de E. Or nous savons que l’algebre de ` ` l’exemple 1.4 ne contient pas de sous-algebre lagrangienne. Par conse` ´ quent le theoreme ´ ` est demontre. ´ ´

790

DARDIE ´ ET MEDINA ´

4. APPLICATIONS DE LA DOUBLE EXTENSION ¨ KAHLERIENNE Dans ce paragraphe nous prouvons que toute algebre kahlerienne ` ¨ ´ completement resoluble s’obtient par une suite de doubles extensions ` ´ kahleriennes par des droites ` a partir de l’algebre ¨ ` reduite ´ `a 04. La theorie ´ de la double extension kahlerienne permet alors de demontrer que toute ¨ ´ algebre kahlerienne completement resoluble et unimodulaire Ži.e., telle ` ¨ ´ ` ´ Ž . . que l’homomorphisme: x ¬ tr ad x est nul est abelienne ce qui gegeralise ´ ´´ un resultat de Bon-Yao Chu sur les algebres kahleriennes nilpotentes w2x. ´ ` ¨ ´ 4.1. THEOREME completement resoluble est ´ ` . Toute algebre ` kahlerienne ¨ ´ ` ´ obtenue par suite de doubles extensions kahleriennes par des algebres de ¨ ´ ` dimension un a au ¨ ecteur nul. ` partir de l’algebre ` reduite ´ Demonstration. Soit Ž g, v , j . kahlerienne completement resoluble et I ´ ¨ ´ ` ´ un ideal ´ de dimension 1 de g. On a alors I ; I H , la suite exacte d’algebres S.G. ` 0 ª I ¨ I Hª B s I HrI ª 0 et g est double extension kahlerienne de B par jŽ I . d’apres ¨ ´ ` 3.4 et 3.5. Il nous suffit donc de prouver que B est completement resoluble. ` ´ Soit Ž Ii . 0 F i F n un drapeau d’ideaux de g, c’est-a-dire Ii ; Iiq1 et dim ´ ` Ii s i pour 0 F i F n s dim g. Posons Jl [ Il l I H . On constate sans peine que les Jl sont des ideaux de I H pour 1 F l F n y 1 et que l’on a ´ dim Jl s l ou l y 1. Si dim Jl s l alors Jl s Il et pour tout entier naturel tel que i F l on a Ji s Ii . Ainsi dim Jl y dim Jly1 s 1 ou 0 pour 1 F l F n. En supprimant un terme, nous pouvons construire une suite, I s J1 ; J 2 ; ??? ; Jny2 ; I H d’ideaux de I H . Par passage au quotient nous obtenons ainsi un drapeau ´ d’ideaux de l’algebre B. Celle-ci est donc completement resoluble. ´ ` ` ´ La proposition qui suit complete ` 4.1. 4.2. PROPOSITION. Soit Ž B, v , j . une algebre de dimension n ` kahlerienne ¨ ´ Ž V, g 9. une algebre completement resoluble, ` ´ ` hessienne de dimension 1 et Ž r , u . un couple de representations ¨´ erifiant les conditions du theoremoe 3.5. ´ ´ ` Alors l’algebre de B par V sui¨ ant Ž r , u . est ` g double extension kahlerienne ¨ ´ completement resoluble si et seulement si ou bien u s 0 et r preser ` ´ ´ ¨ e un drapeau d’ideaux de B ou bien u / 0 et il existe un drapeau Ž Jl . 0 F l F n ´ d’ideaux ´ de B stable par r a¨ ec Jny 1 s ker u . Avant de fournir la preuve de la proposition, ´ enonc¸ons le resultat ´ suivant qui precise la situation etudiee. ´ ´ ´

ALGEBRES DE LIE KAHLERIENNES ` ¨ ´

791

4.3. Scholie. Pour Ž B, v 9, j9. admettant Ž Ii . i comme drapeau d’ideaux, ´ Ž r , u . comme dans la proposition et x g V tel que g Ž x, x . s 1, x ? x s l x avec l g R, l’algebre g double extension kahlerienne de Ž B, v 9, j . con` ¨ ´ tient comme drapeaux d’ideaux: ´ Ž1. us0 Ž2.

V * s I ; V * [ I1 ; ??? ; V * [ Iny1 ; V * [ B s I H ; g, si V * s I ; V * [ I1 ; ??? ; V * [ ker u ; V * [ ker u [ R ¨ ; g

avec ¨ s l u y u Ž u. x, u g B orthogonal ` a ker u pour la metrique et tel ´ que v 9Ž u, j9Ž u.. s 1, si u / 0. Ž Ii . i de B un drapeau d’ideaux Demonstration. Si u s 0 et r preserve ´ ´ ´ les formules Ž19. permettent de verifier que la suite de sous-espaces de g ´ definie dans Ž1. est un drapeau d’ideaux de g. ´ ´ Si u / 0, il nous faut prouver que V * [ ker u [ R ¨ est un ideal ´ de g. Or, V * [ ker u ´ etant un ideal ´ de g, les formules:

w x, ¨ x s lw x, u x w u, ¨ x s u Ž u . w x, u x w x, u x s r Ž x . u y u Ž u . x q Ž . V . ou la composante de w x, u x dans la direction de V * montrent ` Ž . V * , designe ´ que V * [ ker u [ R ¨ est un ideal ´ de V. En effet r Ž x . ? u s l u q U avec U g ker u d’apres ` Ž12.. Que les conditions ´enoncees ´ dans 4.2 sont neces´ saires decoule de 4.1 et du fait suivant: ´ 4.4. LEMME. Soit Ž g, v , j . une algebre completement resolu` kahlerienne ¨ ´ ` ´ ble de dimension n. Alors g contient au drapeau d’ideaux ´ Ž Il . 0 F l F n tel que Iny 2 ; I H . Demonstration. Nous savons que si I1 est un ideal ´ ´ de g de dimension 1 alors I1 ; I1H et I1HrI 1 est une algebre completement resolu` kahlerienne ¨ ´ ` ´ ble Žtheoreme I1H rI1 contient un ideal ´ ` 4.1.. Par consequent ´ ´ K de codimension 1 stable par r . Par suite I1 [ K est un ideal ´ de g de codimension 2. Comme I1 ; I1 [ K et g est completement resoluble on peut construire ` ´ un drapeau d’ideaux de g ayant I1 et I1 [ K parmi ses termes. L’ideal ´ ´ Iny 2 s I1 [ K satisfait alors ` a la condition exigee ´ dans l’enonce´ du lemme. Le theoreme de la double extension kahlerienne nous ´ ` 4.1 et la theorie ´ ¨ ´ permettent d’etablir le resultat suivant: ´ ´ 4.5. THEOREME completement resoluble et uni´ ` . Toute algebre ` kahlerienne ¨ ´ ` ´ modulaire est abelienne. ´ Pour demontrer le theoreme ´ ´ ` nous aurons beson des faits ´enonces ´ dans les deux proposition suivantes.

DARDIE ´ ET MEDINA ´

792

4.6. PROPOSITION. Soit Ž g, v , j . une algebre unimodulaire. ` kahlerienne ¨ ´ Si I est un ideal reduite ´ totalement isotrope de g alors l’algebre ` kahlerienne ¨ ´ ´ B s I HrI est unimodulaire. a l’algebre Demonstration. Identifions Ž g, v , j . ` ´ ` de Lie double extension kahlerienne de l’algebre reduite B par V [ jŽ I . suivant Ž r , u .. Ceci ¨ ´ ` ´ identifie B au sous espace I H ljŽ I . H de g. Considerons Bs ´  e1 , . . . , e p , e pq1 , . . . , e2 p , a1 , . . . , a k , a kq1 , . . . , a2 k 4 une base orthonormee ´ de g telle que  e1 , . . . , e p , . . . , e2 p 4 est une base de B et  a1 , . . . , a k 4 est une base de I avec e pq i s jŽ e i . pour 1 F i F p et a kqi s jŽ a i . pour 1 F i F k. Puisque B est orthonormee ´ nous pouvons ´ecrire pour m g B l’identite´ suivante: 2p

tr Ž ad Ž m . . s

Ý v Žad Ž m . ei , j Ž ei . . is1 k

q Ý  v Ž ad Ž m . a l , j Ž a l . . q v Ž ad Ž m . a lqk , j Ž a lqk . . 4 . ls1

Compte tenu des formules Ž19. ceci s’ecrit ´ comme, 2p

tr Ž ad Ž m . . s

Ý v 9 Žad B Ž m . ei , j Ž ei . . is1 k

q Ý  v Ž u * Ž m . a l , j Ž a l . . q v Ž u Ž m . a lqk , j Ž a lqk . . 4 . ls1

Cependant pour 1 F l F k on a:

v Ž u * Ž m . a l , j Ž a l . . q v Ž u Ž m . a lqk , j Ž a lqk . . s v Ž u * Ž m . a l , a lqk . q v Ž a l , u Ž m . a lqk . s 0. Ainsi puisque par hypothese, ` trŽadŽ m.. s 0 pour tout m dans B, il resulte ´ que trŽad B Ž m.. s 0. Ceci prouve le resultat annonce. ´ ´ L’assertion suivante est une consequence directe du theoreme ´ ´ ` 4.1 et de la proposition precedante. ´ 4.7. PROPOSITION. Toute algebre completement resoluble et ` kahlerienne ¨ ´ ` ´ unimodulaire est obtenue a a ` partir de l’algebre ` reduite ´ ` zero ´ par une suite de doubles extension kahleriennes par des algebres de dimension 1, chaque ¨ ´ ` algebre de la suite ´ etant unimodulaire. ` kahlerienne ¨ ´ Demonstration du theoreme. Nous allons demontrer que la seule algebre ´ ´ ` ´ ` kahlerienne completement resoluble unimodulaire de dimension 2 k est ¨ ´ ` ´ l’algebre Ab 2 k , par recurrence sur k. ` abelienne ´ ´

ALGEBRES DE LIE KAHLERIENNES ` ¨ ´

793

Si k s 1, le resultat est vrai, puisque la seule algebre ´ ` de Lie unimodulaire de dimension 2 est Ab2 . Compte tenu de l’hypothese le probleme est donc de ` de recurrence, ´ ` determiner les doubles extensions kahleriennes g de l’algebre Ab 2 k s B ´ ¨ ´ ` par Ž V, g . avec dim V s 1 suivant Ž r , u . qui sont completement resolubles ` ´ et unimodulaires. Soit x dans V verifiant g Ž x, x . s 1 et xx s l x avec l dans R. Notons ´ d s r Ž x .. Supposons u / 0. Il existe alors u dans B tel que v 9Žker u , j9Ž u.. s 0 et v 9Ž u, j9Ž u.. s 1. La condition Ž12. signifie que d stabilise ker u et que d Ž u. s l u q U avec U g ker u . Comme w d , j9x s 0 on a de plus

d Ž j9 Ž u . . s l j9 Ž u . q j9 Ž u .

U g ker u l j9 Ž ker u . .

et

Ecrivons la condition Ž18. pour x, u et j9Ž u.. Compte tenu de ce qui precede ´ ` on obtient 6 l2 q 2 v 9 Ž u, j9 Ž u . . s 2 u Ž j9 u, j9 Ž u .

. y 4u Ž u . 2

ou ce qui revient au meme ˆ 2

6 l2 q 2 v 9 Ž u, j9 Ž u . . q 4u Ž u . s 2 u Ž j9 u, j9 Ž u .

..

Or B ´ etant abelienne il resulte que u Ž u. s 0 ce qui contredit l’hypothese. ´ ` Par consequent u s 0. ´ D’autre part la condition w d , j9x s 0 signifie que d est C lineaire, notons ´ d C cet endomorphisme. D’apres un drapeau de Ab 2 k ce qui ´ equivaut ` 4.2 l’application d preserve ´ `a dire que d a toutes ses valeurs propres reelles. ´ Notons d * le transpose directement ´ de d par rapport `a v 9. On verifie ´ que w d *, j9x s 0 et un calcul montre que Ž d *. C est le transpose ´ de d C par rapport ` a la forme hermitienne hŽ a, b . [ v Ž a, jŽ b .. q i v Ž a, b .. Par ailleurs la condition Ž18. signifie dans ce cas que

Ž d q d *. d q

ž

l 2

id g sp Ž B, v 9 .

/

ce qui implique trŽŽ d q d *.Ž d q Ž lr2.Id.. s 0. Il revient au meme ˆ d’ecrire ´ trŽ d 2 . q trŽ d *d . q Ž lr2.trŽ d q d *. s 0 Ž*.. Montrons que les trois termes de Ž*. sont positifs. Puisque d a toutes ses valeurs propres reelles trŽ d 2 . G 0. En outre ´ trŽ d *d . s 2R e trŽŽ d *d . C . mais Ž d *d . C s Ž d *. C et trŽŽ d *. C d C . g R car d et d * ont toutes leurs valeurs propres reelles. D’ou ´ ` trŽ d *d . s 2 trŽŽ d *. C d C .. Comme Ž d *. C est le transpose de d par rapport ´ `a h, on a, C

794

DARDIE ´ ET MEDINA ´

trŽ d *d . G 0. Mais comme g est unimodulaire, trŽad g Ž x .. s yl q trŽ d . s 0. D’ou ` trŽ d . s l s trŽ d *., et finalement Ž lr2.trŽ d q d *. s l2 G 0. Ainsi Ž*. implique l s 0 et trŽ d *d . s trŽŽ d *. C d C . s 0 ce qui entraıne ˆ d C s 0, i.e., d s 0. D’apres ` les formules Ž19., il suit que g est une algebre ` de Lie abelienne.

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